Analysis 1 für Informatikstudien
6. Übungsblatt – Lösungen
26. Zeichnen Sie (ungefähr) die Funktionsgraphen der folgenden Funktionen (ohne Computer/Taschenrechner, sondern indem Sie nachdenken und vielleicht ein paar bestimmte
Werte ausrechnen). Wie entstehen die Funktionsgraphen der hier angegebenen Funktionen aus denen auf Seiten 77–84 im Skriptum?
a)
f (x) =
x 2
2
+3
Lösung. Der Graph der Funktion sieht wie folgt aus:
.
Der Graph von f geht aus jenem von x hervor, indem man ihn in x-Richtung um
den Faktor 2 streckt und um 3 nach oben verschiebt.
2
b)
π
f (x) = cos x −
2
Lösung. Der Graph der Funktion sieht wie folgt aus:
.
Der Graph von f geht aus dem Graphen des Kosinus durch Verschiebung um
nach rechts hervor.
c)
f (x) = sin (−4x)
1
π
2
Lösung. Der Graph der Funktion sieht wie folgt aus:
.
Der Graph von f geht aus dem Graphen des Sinus durch Stauchung in x-Richtung
um den Faktor 4 und Spiegelung an der y-Achse hervor.
d)
f (x) = sin x2
Lösung. Der Graph der Funktion sieht wie folgt aus:
.
27. Zeigen Sie durch Vergleich mit der geometrischen Reihe dass
x 2 x3 x4
+
+
+ . . . ≤ x2 ,
2!
3!
4!
für alle x ∈ R mit |x| ≤ 1.
Zeigen Sie damit unter Verwendung der Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion,
dass
1 + x − x2 ≤ e x ≤ 1 + x + x2 ,
für alle x ∈ R mit |x| ≤ 1,
und damit direkt unter Verwendung von Definition 3.6.1 dass
ex − 1
= 1.
x→0
x
lim
Lösung. Sei x ∈ R mit |x| ≤ 1. Dann gilt n! ≥ 2n−1 für alle n ≥ 2: Dies können wir
entweder mit vollständiger Induktion oder mit der folgenden Überlegung nachprüfen:
n!
2n−1
=
n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1
n n−1 n−2
3
2
=
·
·
···
·
≥ 1.
2 · 2···2
2 | {z
2 } | {z
2 } |{z}
2 |{z}
2
|{z}
≥1
2
≥1
≥1
≥1
≥1
Somit können wir die gegebene Summe folgendermaßen abschätzen:
∞
X
x2 x3 x4
xn
+
+
+ ... =
2!
3!
4!
n!
n=2
∞
X
xn
≤
n!
n=2
= |x|2
= x2
∞
X
|x|n−2
n!
n=2
∞
X
n=0
|x|n
(n + 2)!
∞
X
|x|n
2
≤x
2n+1
n=0
=
≤
∞
x2 X |x|n
2 n=0 2n
∞
x2 X n
2
1
2
n=0
2
=
x 1
2 1−
1
2
= x2 .
Dabei verwenden wir die Dreiecksungleichung und Beispiel 19 auf Seite 37 des Vorlesungsskript. Weiters gilt unter Verwendung der Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion, dass
ex =
∞
X
xn
n=0
n!
=1+x+
∞
X
xn
n=2
n!
und daher
x
|e − x − 1| =
∞
X
xn
n=2
n!
≤ x2 .
Das ist äquivalent zu
−x2 ≤ ex − x − 1 ≤ x2
und
1 + x − x2 ≤ ex ≤ 1 + x + x2 .
Sei nun > 0 gegeben, x0 := 0, x ∈ R mit |x| ≤ 1 und
f (x) :=
3
ex − 1
.
x
Unter Verwendung des eben Gezeigten gilt
|f (x) − 1| =
ex − 1
ex − 1 x
|x|2
|ex − x − 1|
−1 =
−
≤
= |x|
=
x
x
x
|x|
|x|
Das heißt mit der Wahl δ := gilt
|x − x0 | = |x| < δ = =⇒ |f (x) − 1| ≤ |x| < ,
also nach Definition 3.6.1 auch
ex − 1
= 1.
x→0
x
lim f (x) = lim
x→0
28. Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen. Sie können alle Regeln/Formeln
auf Seiten 88-91 im Skriptum verwenden. Sagen Sie immer dazu welche Regeln Sie verwendet haben.
a)
f (x) = x2 + 4
7
Lösung. Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir
6
6
f 0 (x) = 7 x2 + 4 · (2x) = 14x x2 + 4 .
b)
f (x) =
x2
1
+4
Lösung. Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir
f 0 (x) = −
1
2x
· (2x) = −
.
2
(x2 + 4)
(x2 + 4)2
c)
f (x) = x cos (4x)
Lösung. Mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel erhalten wir
f 0 (x) = 1 · cos (4x) + x · (−sin (4x) · 4) = cos (4x) − 4x · sin (4x) .
d)
f (x) = ex sin x2
Lösung. Mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel erhalten wir
f 0 (x) = ex · sin x2 + ex · cos x2 · (2x) = ex · sin x2 + 2x · cos x2 .
4
29. Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen. Sie können alle Regeln/Formeln
auf Seiten 88-91 im Skriptum verwenden. Sagen Sie immer dazu welche Regeln Sie verwendet haben.
a)
2
4
f (x) = e((x +x) )
Lösung. Mit Hilfe der zweifach iterierten Anwendung der Kettenregel erhalten
wir
4
3
3 2 4
2
f 0 (x) = e(x +x) · 4 x2 + x · (2x + 1) = 4 (2x + 1) x2 + x e(x +x) .
b)
f (x) = cos e2x
Lösung. Mit Hilfe der zweifach iterierten Anwendung der Kettenregel erhalten
wir
f 0 (x) = −sin e2x · e2x · 2 = −2e2x sin e2x .
c)
f (x) =
1+x
e(x2 )
Lösung. Mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel erhalten wir
x2
x2
2
1 · e − (1 + x) · e · (2x)
ex · (1 − 2x (1 + x))
1 − 2x (1 + x)
0
=
=
f (x) =
.
2
2
2
2
ex2
(ex )
(ex )
d)
1
f (x) = x tan
x
2
Lösung. Mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel erhalten wir
1
1
1
1
1
0
2
f (x) = (2x) · tan
+x ·
= 2x · tan
−
.
1 · − 2
2
x
x
x
cos ( x )
cos2 ( x1 )
30. Finden Sie (ohne Taschenrechner!) den größten und den kleinsten Wert der Funktion
f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x
im Bereich −3 ≤ x ≤ 3.
5
Lösung. Wir berechnen die erste und zweite Ableitung der Funktion f und erhalten
f 0 (x) = 6x2 + 6x − 12,
f 00 (x) = 12x + 6.
Durch Nullsetzen der ersten Ableitung erhalten wir mögliche Kanditaten für Extremwerte im Inneren des Intervals [−3, 3]:
f 0 (x) = 6x2 + 6x − 12 = 0 ⇐⇒ x2 + x − 2 = 0 ⇐⇒ x = 1 oder x = −2.
Wir setzten x1 = 1 und x2 = −2 in die zweite Ableitung von f ein und erhalten
f 00 (x1 ) = 18 > 0 und f 00 (x2 ) = −18 < 0
und erhalten mit Satz 3.9.4 aus der Vorlesung, dass f in x1 ein lokales Minimum
und in x2 ein lokales Maximum hat. Die einzigen möglichen x-Werte, in denen f
ein Minimum oder Maximum annehmen kann, sind die Ränder (also −3 und 3) und
die lokalen Extrema. Das heißt, wir berechnen die Werte von f in den Punkten x1 ,
x2 und den Randpunkten des Intervalls [−3, 3] und bestimmen damit Minimum und
Maximum:
f (x1 ) = −7,
f (x2 ) = 20,
f (−3) = 9,
f (3) = 45.
Wir sehen, dass f minimal ist im Punkt xmin = 1 und maximal im Punkt xmax = 3.
6