Formelsammlung
zu den Vorlesungen
Mathematik I - III
in den Studiengängen
Technische Informatik
und
Nachrichtentechnik
der FHTE
Vorwort zur 2. Auflage
Diese Formel- und Verfahrenssammlung ist entstanden aus den Vorlesungen von Prof.
Dr.-Ing. Bernhard Bauer im Zeitraum WS 94/95 - WS 95/96. Sie hat zum Ziel, den
behandelten Stoff in kurzer, prägnanter Form zusammenzufassen, und erhebt keinen
Anspruch auf Vollständigkeit. Als ideale Ergänzung empfiehlt sich die "Mathematische
Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler" von Lothar Papula.
Aufgrund der guten Resonanz der 1. Auflage habe ich die vorliegende 2. Auflage im Stoff von
Mathe I um die Kapitel Differential- und Integralrechnung und um den Stoff von Mathe III
erweitert. Verbesserungsvorschläge bitte per e-mail an: tiw4frfl@rz.fht-esslingen.de.
» Copyright 1997 by Frank Flatten
Inhaltsverzeichnis
Mathematik I
1.
Vektorrechnung .......................................................................................................... 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Allgemeines .......................................................................................................
Skalarprodukt ....................................................................................................
Kreuzprodukt .....................................................................................................
Spatprodukt .......................................................................................................
Zusammenfassung der Produktanwendungen ...................................................
Anwendungen in der analytischen Geometrie ...................................................
1.5.1
Darstellung von Geraden und Ebenen .................................................
1.5.2
Umwandlung PAR – PARFREI ........................................................
1.5.3
Umwandlung PARFREI – PAR ........................................................
1.5.4
1.5.5
1.5.6
2.
1
1
2
2
2
3
3
3
3
Schnitte ............................................................................................... 4
Abstände .............................................................................................. 4
Winkel ................................................................................................. 4
Lineare Algebra .......................................................................................................... 5
2.1
2.2
2.3
Matrizen ............................................................................................................ 5
Determinanten ................................................................................................... 5
Lineare Gleichungssysteme ............................................................................... 5
Mathe-Formeln
Seite I
Inhalt
3.
Komplexe Arithmetik ................................................................................................. 6
3.1
3.2
3.3
4.
6
6
7
7
7
7
7
Differentialrechnung ................................................................................................... 8
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5.
Allgemeines .......................................................................................................
Rechengesetze ...................................................................................................
Anwendungen ....................................................................................................
3.3.1
Überlagerung von Schwingungen .......................................................
3.3.2
Algebraische Gleichungen ..................................................................
3.3.3
Nicht-algebraische Gleichungen .........................................................
3.3.4
Gebiete in der Gauß´schen Zahlenebene .............................................
Erste Ableitung elementarer Funktionen ........................................................... 8
Differentiationsregeln ........................................................................................ 9
Implizite Differentiation .................................................................................... 9
Logarithmisches Differenzieren ........................................................................ 9
Anwendung: Kurvendiskussion ...................................................................... 10
4.5.1
Monotonie und Krümmung ............................................................... 10
4.5.2
Relative Extremwerte ........................................................................ 10
4.5.3
Wendepunkte und Sattelpunkte ........................................................ 10
4.5.4
Verschiebung, Spiegelung und Streckung von Kurven .................... 10
Integralrechnung ....................................................................................................... 11
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Unbestimmtes Integral und Stammfunktion ................................................... 11
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt ................................................................ 11
Elementare Integrationsregeln für bestimmte Integrale .................................. 12
Integrationsverfahren ....................................................................................... 12
5.4.1
Grundintegrale .................................................................................. 12
5.4.2
Integration durch Substitution ........................................................... 13
5.4.3
Partielle Integration (Produktintegration) ......................................... 13
5.4.4
Integration gebrochenrationaler Funktionen - Partialbruchzerlegung 14
Uneigentliche Integrale ................................................................................... 15
Einige andere häufig benötigte Integrale ......................................................... 16
Mathematik II
6.
Differentialgleichungen und DGL-Systeme ............................................................ 17
6.1
Allgemeine DGL 1. Ordnung .......................................................................... 17
6.1.1
Integration durch Trennung der Variablen ........................................ 17
6.1.2
Integration durch Substitution ........................................................... 17
Mathe-Formeln
Seite II
Inhalt
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
7.
Lineare DGL 1. Ordnung ................................................................................
Lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten .................................
DGL 2. Ordnung, die auf DGL 1. Ordnung zurückgeführt werden können ...
Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ............................
Homogene Lösung und Störansatz ..................................................................
Resonanzfall ....................................................................................................
Komplexer Ansatz für partikuläre Lösung ......................................................
Euler´sche DGL ...............................................................................................
Anfangs- Rand- und Eigenwertprobleme ........................................................
Anwendung: Schwingungs-DGL ....................................................................
6.8.1
Freie Schwingung ..............................................................................
6.8.2
Erzwungene Schwingung ..................................................................
DGL-Systeme ..................................................................................................
6.9.1
Normalform einer DGL n-ter Ordnung .............................................
6.9.2
Systeme linearer DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ....
Stabilität von DGL-Systemen ...........................................................
18
18
19
20
20
21
22
22
23
24
24
24
25
25
25
26
Potenz- und Fourier-Reihen ..................................................................................... 28
7.1
7.2
7.3
Allgemeine Konvergenzkriterien ....................................................................
7.1.1
Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen.......................................
7.1.2
Quotienten- und Wurzelkriterium......................................................
Potenzreihen ....................................................................................................
7.2.1
Allgemeine Form der Potenzreihe ....................................................
7.2.2
Konvergenzradien von Potenzreihen ................................................
7.2.3
Taylor-Reihe .....................................................................................
7.2.4
Rechenregeln für Potenzreihen .........................................................
7.2.5
Fehlerabschätzung .............................................................................
7.2.6
Spezielle Potenzreihen ......................................................................
Fourier-Reihen ................................................................................................
7.3.1
Fourier-Reihen für 2p-periodische Funktionen ................................
7.3.2
Spezialfälle 2p-periodische Funktionen ............................................
28
28
28
28
28
28
28
29
29
30
31
31
31
7.3.3
7.3.4
7.3.5
7.3.6
7.3.7
32
32
33
34
34
Mathe-Formeln
Fourier-Reihen für T-periodische Funktionen ..................................
Spezialfälle T-periodische Funktionen .............................................
Komplexe Form der Fourier-Reihe ...................................................
Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Darstellung ..........
Fourier-Transformation .....................................................................
Seite III
Inhalt
Mathematik III
8.
Laplacetransformation ............................................................................................. 35
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
9.
Einführungsbemerkungen und Definition .......................................................
Sätze zur Laplacetransformation .....................................................................
8.2.1
Korrespondenzen zum 1. Differentiationssatz ..................................
8.2.2
Rücktransformation mit Hilfe der Partialbruchzerlegung .................
8.2.3
Faltung und Faltungssatz ..................................................................
Wichtige Korrespondenzen .............................................................................
Ergänzungen ....................................................................................................
8.4.1
Laplacetransformation eines Rechteckimpulses ...............................
8.4.2
Laplacetransformation periodischer Funktionen ...............................
8.4.3
Sprungfunktionen mit Verschiebeanteil ............................................
Anwendung: Lösung von DGL und DGL-Systemen ......................................
8.5.1
Allgemeines Lösungsverfahren .........................................................
8.5.2
Lineare DGL 1. Ordnung ..................................................................
8.5.3
Lineare DGL 2. Ordnung ..................................................................
8.5.4
Zusätzliche Bemerkungen .................................................................
8.5.5
Lösung von DGL-Systemen ..............................................................
8.5.6
Beispiel ..............................................................................................
35
36
36
36
37
38
39
39
39
39
40
40
40
40
40
40
41
Vektoranalysis ........................................................................................................... 42
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
Differentialrechnung bei Funktionen mehrerer Variabler ............................... 42
9.1.1
Partielle Differentiation .....................................................................
9.1.2
Tangentialebene und totales Differential ..........................................
9.1.3
Kettenregel für Funktionen von 2 Variablen ....................................
9.1.4
Höhere partielle Ableitungen und Satz von Schwarz .......................
Darstellung von Kurven ..................................................................................
Tangentenvektor ..............................................................................................
Gradient ...........................................................................................................
Vektorfelder und Potentialfelder .....................................................................
9.5.1
Skalar- und Vektorfelder ...................................................................
9.5.2
Potentialfelder ...................................................................................
Liniennintegrale (Arbeits-/Kurvenintegrale) ...................................................
9.6.1
Definition des Linienintegrals ...........................................................
9.6.2
Bemerkungen zum Linienintegral .....................................................
9.6.3
Wegunabhängiges Linienintegral im Potentialfeld ...........................
Mathe-Formeln
Seite IV
42
42
43
43
44
44
44
45
45
45
47
47
47
47
Inhalt
10. Wahrscheinlichkeitsrechnung ................................................................................. 49
10.1
10.2
Anhang:
Kombinatorik ..................................................................................................
10.1.1 Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen ..........................................
10.1.2 Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen ......................................
10.1.3 Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen ............................................
10.1.4 Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen ........................................
10.1.5 Überlegung mit Baumdiagramm .......................................................
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten .................................................................
10.2.1 Gleichwahrscheinlichkeit ..................................................................
10.2.2 Additionssatz .....................................................................................
10.2.3 Multiplikationssatz ............................................................................
10.2.4 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ...........................................
10.2.5 Zusammengesetzte Zufallsexperimente ............................................
10.2.6 Satz von Bayes ..................................................................................
10.2.7 Binomialverteilung ............................................................................
49
49
49
49
49
49
50
50
50
50
50
51
51
51
Besondere Werte trigonometrischer Funktionen
Mathe-Formeln
Seite V
Inhalt
1. Vektorrechnung
1.1 Allgemeines
Betrag:
r
r r
v
a = a x2 + a y2 + a z2 = a ⋅ a = a 2
r2 r r r
a = a ⋅a = a2
Richtungswinkel:
ay
cos β = r
a
r
a y = a ⋅ cos β
a
cos α = rx
a
r
a x = a ⋅ cos α
a
cos γ = rz
a
r
a z = a ⋅ cos γ
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
Addition, Subtraktion:
F I
GG JJ
GH a JK
F I
GG JJ
GH b JK
F I
GG JJ
GH a ± b JK
ax
bx
a x ± bx
r r
a ± b = a y ± by = a y ± by
z
S-Multiplikation:
z
z
r
b
r r
a −b
r r
a +b
z
r
a
F I
GG JJ
GH λ ⋅ a JK
λ ⋅ ax
r
λ ⋅ a = λ ⋅ ay
z
1.2 Skalarprodukt
Berechnung:
F IF I
GG JJ GG JJ
GH a JK GH b JK
ax
bx
r r
a ⋅ b = a y ⋅ by = a x ⋅ bx + a y ⋅ by + az ⋅ bz
z
z
r r r r
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ
Orthogonalität:
Schnittwinkel:
Projektion:
Mathe-Formeln
Projektion:
r r
r r
a ⋅b = 0 ⇐ a ⊥ b
r
b
r r
a ⋅b
cos ϕ = r r
a ⋅b
r
r ar ⋅ b r
ba = r 2 ⋅ a
a
ϕ
r
ba
r
a
r r
r
a ⋅b
ba = b ⋅ cos ϕ = r
a
Seite 1
Vorzeichen – Richtung!
Vektorrechnung
1.3 Kreuzprodukt
Berechnung:
Besonderheiten:
r
i
r
j
r
k
d
i b
g d
r
r
r
r r
a × b = a x a y az = i ⋅ a ybz − a zby − j ⋅ a xbz − a zbx + k ⋅ a xby − a ybx
bx by bz
r
r
r r
r r r
r r r
a × b = a ⋅ b ⋅ sin ϕ
a ×b ⊥ a ∧ a ×b ⊥ b
r
r
r
i
j
k
r r r
×r
r
r
r
a × ar = 0 r
i
−j
0
k
r
r
r
r
r
r
a ×b = − b × a
j
i
−
k
0
r
r
r
r
r
r r
r r r
λ ⋅ a × b = λ ⋅ a × b = a × λ ⋅b
j
−i
k
0
Kollinearität:
d i
d i b g
r
r r r
r
a × b = 0 ⇐ a AA b
Anwendungen:
AParallelogramm
ADreieck =
i
d i
r
r
oder a AB b
r r 1 r r
r r
= a × b = ⋅ da + b i × da − b i
2
1 r r
⋅ a ×b
2
1.4 Spatprodukt
Berechnung:
r r r
r r r
a b c = a ⋅ b × c ⋅ cos ϕ
r r r
ϕ = ∠ a,b × c
besser Berechnung über Determinante (siehe Kreuzprodukt)!
Besonderheiten:
d
i
b
g
d
r r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
a b c = a⋅ b ×c = b c a = b ⋅ c ×a = c a b = c ⋅ a ×b
i
(zyklische Vertauschung)
r r r
r r r
(Vertauschung von benachbarten Vektoren
a b c =−b a c
r r r
r r r
a b c =− a c b
ändert das Vorzeichen des Vektorprodukts!)
Komplanarität:
Anwendungen:
r r r
r r r
a b c = 0 ⇔ a , b , c liegen in einer Ebene!
r r r
VSpat = a b c
1 r r r
VTetraeder = ⋅ a b c
6
senkrecht
parallel
in einer Ebene
linear abhängig
linear unabhängig
Mathe-Formeln
2 Vektoren
r r
a ⋅b = 0
r r r
a ×b = 0
3 Vektoren
r
a
r
a
r
a
r r r
a ×b = 0
r r r
a ×b ≠ 0
Seite 2
r
b
r
b
r
b
r
c =0
r
c =0
r
c ≠0
r r r r
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ
r r r r
a × b = a ⋅ b ⋅ sin ϕ
r r r r r r
a b c = a⋅ b ×c
d
i
r r r
r r r
a b c = a ⋅ b × c ⋅ cos ϕ
r r r
r r r
a b c =−b a c
Vektorrechnung
1.5 Anwendungen: analytische Geometrie
1.5.1 Darstellung von Geraden und Ebenen
Gerade:
r r
r
x = x0 + λ ⋅ a
Parameterdarstellung (PAR)
A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0 (Gerade als Schnitt zwischen 2 Ebenen)
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Parameterfreie Darstellung (PARFREI)
Ebene:
r
r r
r
x = x0 + µ 1 ⋅ a + µ 2 ⋅ b
Parameterdarstellung (PAR)
Ax + By + Cz + D = 0
Parameterfreie Darstellung (PARFREI)
1.5.2 Umwandlung: PAR → PARFREI
Gerade: Prinzip:3 skalare Gleichungen mit 4 Unbekannten werden auf
2 Gleichungen mit 3 Unbekannten zurückgeführt.
(eine Gleichung nach λ auflösen und in die anderen einsetzen!)
Bsp:
Ebene:
F x I F 2I F 2 I
GG yJJ = GG1 JJ + λ ⋅ GG 1JJ
H z K H 0K H −1K
x = 2 + 2λ
⇒
y = 1+ λ
z = −λ ⇒ λ = − z
⇒
x = 2 − 2z
y = 1− z
r
r r
r
r r r
x = x0 + µ1 ⋅ a + µ 2 ⋅ b ⇒ a × b = n ⇒ nx ⋅ x + ny ⋅ y + nz ⋅ z + d = 0
r
Punktprobe mit x0 ergibt d!
1.5.3 Umwandlung: PARFREI → PAR
Gerade: Prinzip:Parameter einführen
x = 5+ λ
Bsp. 1: x = z + 5 , y = 4 − 2 z ⇒ z = λ ⇒ y = 4 − 2 λ ⇒
z=λ
x − x 0 y − y 0 z − z0
Bsp. 2:
=
=
=λ ⇒
ax
ay
az
Ebene:
Prinzip:2 Parameter einführen
Ax + By + Cz + D = 0 ⇒
x=−
D B
C
− y− z
A A
A
y = µ1
z = µ2
Mathe-Formeln
F x I F 5I F 1 I
GG yJJ = GG 4JJ + λ ⋅ GG −2JJ
H z K H 0K H 1 K
x = x0 + λ ⋅ a x
y = y0 + λ ⋅ a y
z = z0 + λ ⋅ a z
F xI FG − DA IJ FG − BA IJ FG − CA IJ
⇒ G yJ = G 0 J + µ ⋅ G 1 J + µ ⋅ G 0 J
GH z JK G 0 J G 0 J G 1 J
GH JK GH JK GH JK
1
Seite 3
2
Vektorrechnung
1.5.4 Schnitte
r
r
r
r
r
r
Gerade - Gerade: geg: g: x g = x1 + λ ⋅ a1 , h: xh = x2 + µ ⋅ a2
r
r
r
r r
r
Annahme: g, h liegen in einer Ebene → x g = xh ⇒ x1 + λ ⋅ a1 = x2 + µ ⋅ a2
→ 3 Gleichungen für 2 Unbekannte (λ , µ )
⇒ LGS muß komplett lösbar sein, sonst sind Geraden windschief!!!
(Anmerkung: PARFREI in PAR umwandeln)
Gerade - Ebene:
1. Weg: Gerade und Ebene in PAR: r
r
r r
r
g = E ⇒ x0 + λ ⋅ a = x1 + µ1 ⋅ b + µ 2 ⋅ c
→ 3 Gleichungen für 3 Unbekannte (λ , µ 1 , µ 2 )
⇒ LGS nach λ auflösen und in g einsetzen ⇒ Schnittpunkt
2. Weg: Gerade in PAR, Ebene in PARFREI: (Seite 63 Bsp. 38)
g in 3 skalare Gleichungen zerlegen und in E einsetzen
→ nach λ auflösen und in g einsetzen ⇒ Schnittpunkt
(gilt für beide Wege: falls LGS nicht lösbar → kein Schnittpunkt! → g parallel E!)
Ebene - Ebene:
1. Weg: E1 , E2 in PARFREI: (Seite 65)
stellt bereits die Schnittgarade dar falls Darstellung in PAR
verlangt: Parameter einführen (z = λ). Man erhält ein
LGS ( x = f b λ g , y = f b λ g , z = λ ) ⇒ Gerade in PAR
r
r
r
r
r
r
r
r
2. Weg: E1: x E 1 = x1 + µ 1 ⋅ a + µ 2 ⋅ b , E 2 : x E 2 = x2 + λ 1 ⋅ c + λ 2 ⋅ d
gleichsetzen: E1 = E2 (Seite 66 Bsp. 40)
→ 3 Gleichungen für 4 Unbekannte
⇒ Lösung des LGS in Abhängigkeit einer Unbekannten (z.B. λ 2 )
setzt man nun λ 1 und λ 2 = p in E2 ein, erhält man g in PAR
1.5.5 Abstände
Punkt - Ebene:
HNF:
d=
A ⋅ Px + B ⋅ Py + C ⋅ Pz + D
A2 + B 2 + C 2
Punkt - Ebene mit Lotfußpunkt: 1.) g ermitteln aus Normalenvektor von E und Punkt P
2.) Q durch Schnitt g, E (siehe oben 2. Weg)
r r
3.) d = Q − P
Punkt - Gerade:
1.) E ⊥ g durch P (Richtungsvektor = Normalenvektor + Punktprobe P)
2.) Q durch Schnitt g, E (siehe oben 2. Weg)
r r
3.) d = Q − P
1.5.6 Winkel
r r
a1 ⋅ a2
Gerade - Gerade: Winkel zwischen den Richtungsvektoren: cos ϕ = r r
a1 ⋅ a2
Gerade - Ebene:
Ebene - Ebene:
Mathe-Formeln
Gegenwinkel (zu 90°) zwischen Richtungsvektor der Geraden
r r
a ⋅n
und Normalenvektor der Ebene: sin ϕ = r r
a ⋅n
r r
n1 ⋅ n2
Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen: cos ϕ = r r
n1 ⋅ n2
Seite 4
Vektorrechnung
2. Lineare Algebra
2.1 Matrizen
LM a
:
M
A = (a ) = M a
MM :
MNa
11
Schreibweisen:
i1
ik
m1
... a1n
:
... ain = A(m,n) = ( aik ) ( m,n)
:
... amk
... amn
A ± B = ( aik ± bik )
Rechenregeln:
OP
PP
PP
PQ
... a1k
:
... aik
:
i = 1 ... n
k = 1 ... m
p ⋅ A = p ⋅ ( aik ) = ( p ⋅ aik )
Zeilenindex
Spaltenindex
Wichtig:
A ( m ,n ) ⋅ B ( n ,q ) = C ( m ,q )
A⋅ B ≠ B ⋅ A
(dabei ist cik das Skalarprodukt
der i. Zeile von A mit der k. Spalte von B.)
Transponieren:
A ( m ,n ) = A ( n ,m )
Invertieren:
A ⋅ x = b ⇒ x = A ⋅b
(x-te Zeile wird zur x-ten Spalte!)
a22 − a12
1
mit
A −1 =
⋅
det A − a21 a11
Es gilt:
A⋅ A = A ⋅ A = E
T
−1
−1
−1
und
LM
N
−1
OP
Q
( A ) −1 = A
2.2 Determinanten
D = det A =
Definition:
a11
a12
a21 a22
= a11 ⋅ a22 − a21 ⋅ a12
b1
a11 x1 + a12 x2 = b1
⇔ A ⋅ x = b ⇒ x1 =
(nur für 2x2 Matrizen)
a12
a11
b1
b a22
a
b
D1
D
= 2
, x2 = 2 = 21 2
a11 a12
D a11 a12
D
a21 a22
a21 a22
Cramer-Regel:
a21 x1 + a22 x2 = b2
Rechenregeln:
- det A = det A
- D = 0, wenn 1 Zeile oder Spalte nur 0 enthält
- D = 0, wenn 2 Zeilen oder Spalten proportional oder gleich sind
- Vertauscht man 2 bel. Spalten oder Zeilen, so ändert sich das Vorzeichen
- gem. Faktoren einer Zeile oder Spalte können ausgeklammert werden
T
2.3 Lineare Gleichungssysteme
LM x
GAUSS-Algorithmus: M x
MN x
x
x
x
OP LM x
x xP ⇒ M0
MN 0
x x PQ
x x
OP
xP
p PQ
x
x x
x
x
r
q
0 Lösungen für: r = q = 0 und p ¡ 0
∞ Lösungen für: r = q = p = 0
1 Lösung für: r = 0 und q ¡ 0
Lösbarkeit von n,n-Systemen:
inhomogen: A ⋅ x = b , b ≠ 0
homogen: A ⋅ x = 0
det A ≠ 0
1 Lösung
nur triviale Lösung
det A = 0
0 Lösungen oder
∞ Lösungen
∞ Lösungen
Die Determinante einer ∆-Matrix ergibt sich aus dem Produkt der Hauptdiagonalelemente!
Mathe-Formeln
Seite 5
Lineare Algebra
3. Komplexe Arithmetik
3.1 Allgemeines
Darstellungsformen:
Umrechnung:
z = x + j⋅ y
z* = ( x + j ⋅ y )* = x − j ⋅ y
z = r ⋅ (cos ϕ + j ⋅ sin ϕ )
z* = r ⋅ (cos ϕ − j ⋅ sin ϕ )
z = r ⋅ e jϕ
z* = r ⋅ e − j ϕ
x = r ⋅cos ϕ
y = r ⋅sin ϕ
r = z = x2 + y2
ϕ = arc z = arg z = arctan
bg
bg
wenn Re z < 0 : ⇒
!!!
FG y IJ
H xK
F yI
ϕ = arctanG J + 180° !!
H xK
bg
1 + j = 2 ⋅ e j 45° = 2 ⋅ e
1 = e j0
−1 = e ± j 180° = e ± j π
j = e j 90° = e
j
− j = e − j 90° = e
1 − j = 2 ⋅ e − j 45° = 2 ⋅ e
π
2
−j
=
1
j
π
4
−j
−1 + j = 2 ⋅ e j 135° = 2 ⋅ e
π
2
j
j
π
4
3π
4
−1 − j = 2 ⋅ e − j 135° = 2 ⋅ e
−j
3π
4
3.2 Rechengesetze
Addition; Subtraktion: z1 ± z2 = ( x1 + j ⋅ y1 ) ± ( x2 + j ⋅ y2 ) = ( x1 ± x2 ) + j ⋅ ( y1 ± y2 )
c
hc h b g
Fr I
g
= G J ⋅e b
Hr K
b
Multiplikation:
z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ e j ϕ1 ⋅ r2 ⋅ e j ϕ 2 = r1 ⋅ r2 ⋅ e j ϕ1 + ϕ 2
Division:
z1 r1 ⋅ e j ϕ1
=
z2 r2 ⋅ e j ϕ 2
1
g
j ϕ1 − ϕ 2
2
oder durch konjugiert komplexe Erweiterung:
b
b
gb
gb
g b
g
gb
x + j ⋅ y1 ⋅ x2 − j ⋅ y2
x + j ⋅ y1 ⋅ x2 − j ⋅ y2
z1 x1 + j ⋅ y1
=
= 1
= 1
z2 x 2 + j ⋅ y 2
x2 + j ⋅ y2 ⋅ x2 − j ⋅ y2
x22 + y22
Potenzieren:
Wurzelziehen:
Mathe-Formeln
c
zn = r ⋅ e jϕ
n
h
n
g
= r n ⋅ e j n⋅ϕ
F ϕ + k ⋅360° IJ
K k = 0, 1, 2, ... , (n-1)
n
jG
z = n r ⋅e H
Seite 6
Komplexe Arithmetik
3.3 Anwendungen
3.3.1 Überlagerung von Schwingungen (bei gleichem w!)
b
g
b
g
b
A ⋅ cos ω t + ϕ A + B ⋅ cos ω t + ϕ B = C ⋅ cos ω t + ϕ C
Es gilt:
E
g
A ⋅ e j ϕ A + B ⋅ e j ϕ B = C ⋅ e j ϕC
Vorgehensweise:
1.) Umwandlung der Zeitfunktionen in komplexe Exponentialform
2.) Addition - grafisch
- algebraisch durch:
- Umrechnung in Komponentenform
- Addition
- Rückführung in Exponentialform
3.) Rückführung der komplexen Form in die Zeitfunktion
3.3.2 Algebraische Gleichungen
Algebraische Gleichungen n-ten Grades haben immer n Lösungen. Dabei gilt:
- sind alle Koeffizienten reell,
dann sind die Lösungen entweder reell oder konjugiert komplex!
- gibt es komplexe Koeffizienten,
läßt sich keine allgemeine Aussage über die Lösungen machen!
3.3.3 Nicht-Algebraische Gleichungen
Lösung :
- Ansatz:
z=x+jy
- Trennung nach Real- und Imaginärteil
- Lösung des LGS
Achtung:
- Es kann sein, daß Real- oder Imaginärteil verschwinden: – x ; y = 0!
- Wenn x ; y nicht reell werden – keine Lösung der Ausgangsgleichung!
3.3.4 Gebiete in der Gauß´schen Zahlenebene
Solche Gebiete werden durch Nicht-Algebraische Ungleichungen beschrieben.
Lösung:
- prinzipielle Behandlung wie bei Nicht-Algebraischen Gleichungen
- dann: Testpunkt einsetzen, zur Bestimmung des Gebietes
Besonderheit: Kreis:
Mathe-Formeln
z − z0 = r
Seite 7
Komplexe Arithmetik
4. Differentialrechnung
4.1 Erste Ableitung elementarer Funktionen
bg
Funktion f x
Potenzfunktion
Wurzelfunktion
n ⋅ x n −1
xn
bg
Trigonometrische Funktionen
Arkusfunktionen
Expotentialfunktionen
2⋅
n
n m n−m
⋅ x
m
1
v x
bg
sin b x g
cos b x g
tan b x g
cot b x g
arcsin b x g
arccos b x g
arctan b x g
arccot b x g
ex
Mathe-Formeln
v’ x
2
2
2
1
1 − x2
1
−
1− x2
1
1 + x2
1
−
1 + x2
bg
bg
log b x g
sinh b x g
cosh b x g
tanh b x g
coth b x g
ln x
a
Hyperbelfunktionen
bg
vb x g
cos b x g
− sin b x g
1
cos b x g
1
−
sin b x g
−
ex
ln a ⋅ a x
ax
Logarithmusfunktionen
bg
vb x g
v, x
v x
xm
Gebrochene Funktion
bg
Ableitung f ’ x
Seite 8
1
x
1
ln a ⋅ x
bg
cosh b x g
sinh b x g
1
cosh b x g
1
−
sinh b x g
2
2
Differentialrechnung
4.2 Differentiationsregeln
Summenregel
1
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
bg
y = f b x g + f b x g + ... + f b x g
y = ub x g ⋅ v b x g
ub x g
y=
vb x g
y = F c ub x g h
y = C⋅ f x
Faktorregel
2
n
bg
y = f b x g + f b x g + ... + f b x g
y = u b x g ⋅ v b x g + ub x g ⋅ v b x g
u b x g ⋅ v b x g − ub x g ⋅ v b x g
y =
vb x g
dy dy du
=
⋅
oder f b x g = F b ug ⋅ u b x g
dx du dx
y, = C ⋅ f ’ x
,
’
1
’
2
’
n
,
,
,
,
,
,
2
’
’
,
Kettenregel: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung"
4.3 Implizite Differentiation
b g
Eine Funktion in impliziter Form F x , y = 0 wird gliedweise nach der Variablen x differenziert, wobei y als eine von x abhängige Funktion zu betrachten ist. Desshalb muß beim Differenzieren von y die Kettenregel angewendet werden! Anschließend wird nach y' aufgelöst.
Beispiel:
b g
F x , y = x 2 + y 2 − 16 = 0
⇒
c
h
d 2
x + y 2 − 16 = 2 x + 2 y ⋅ y , = 0
dx
⇒
y, = −
x
y
4.4 Logarithmisches Differenzieren
Manche Funktionen lassen sich nicht nach den bisher bekannten Regeln differenzieren. Solche
Funktionen müssen dann vorher auf geeignete weise behandelt werden.
Beispiel:
y = x x ( x > 0)
bg c h
bg
d cln b y gh dy 1
d
c
ln b y gh =
⋅ = ⋅y
dx
dy
dx y
1.) Logarithmieren: ln y = ln x x = x ⋅ ln x
2.) Differenzieren: linke Seite:
c b gh b g
d
c x h = y = y ⋅ cln b x g + 1h = x ⋅ cln b xg + 1h
dx
rechte Seite:
⇒
Mathe-Formeln
x
,
,
bg
d
1
x ⋅ ln x = ln x + x ⋅ = ln x + 1
dx
x
x
Seite 9
Differentialrechnung
4.5 Anwendung: Kurvendiskussion
4.5.1 Monotonie und Krümmung
bg
Die 1. Ableitung y , = f ’ x gibt die Steigung der Kurventangente an und bestimmt somit das
Monotonie-Verhalten der Funktion:
b g
b g
y , = f ’ x0 > 0 : monoton wachsend
b xg bestimmt das Krümmungsverhalten der Funktion:
b x g > 0 : Linkskrümmung
y = f b x g < 0 : Rechtskrümmung
Die 2. Ableitung y ,, = f
y ,, = f ’’
y , = f ’ x0 < 0 : monoton fallend
’’
,,
’’
0
0
4.5.2 Relative Extremwerte
Hinreichende Bedingungen für lokale Extremwerte:
1.)
2.)
b g
f bx g = 0
f ’ xE = 0
’
E
und
f
’’
und
f
’’
bx g < 0
bx g > 0
E
⇒
Hochpunkt
E
⇒
Tiefpunkt
4.5.3 Wendepunkte und Sattelpunkte
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte:
f
’’
bx g = 0
und
0
f
’’’
bx g ≠ 0
(VZW (f") Richtung egal!)
0
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Hinreichende Bedingung:
b g
f ’ x0 = 0, f
’’
bx g = 0
0
und
b g
f ’’’ x0 ≠ 0
4.5.4 Verschiebung, Spiegelung und Streckung von Kurven
bg
Ersetzt man y = f x durch
so wird die Kurve
a) y = f x − x0
um x0 in x-Richtung verschoben
b g
b) y = f b x g + y
c) y = − f b x g
d) y = f b − x g
e) x = f b y g
f) y = a ⋅ f b x g
g) y = f bb ⋅ x g
h) y = f b x g
um y0 in y-Richtung verschoben
0
Mathe-Formeln
an der x-Achse gespiegelt
an der y-Achse gespiegelt
an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt
mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckt
mit dem Faktor 1/b in x-Richtung gestreckt
Teile unterhalb der x-Achse werden an ihr
gespiegelt
Seite 10
Differentialrechnung
5. Integralrechnung
5.1 Unbestimmtes Integral und Stammfunktion
bg bg
bg
Eine differenzierbare Funktion F x mit F ’ x = f x heißt Stammfunktion oder
unbestimmtes Integral von f x . Man schreibt:
bg
bg bg
F’ x = f x
z
⇔
bg
bg
f x dx = F x + C
wobei C die Integrationskonstante darstellt und beliebige reelle Zahlenwerte annehmen kann.
Die Integration ist somit die Umkehrung der Differentiation, es gilt daher:
d
dx
z
bg
bg
f x dx = f x
5.2 Bestimmtes Integral - Flächenberechnung
bg
bg
bg
Ist F x Stammfunktion der stetigen positiven Funktion f x , so berechnet sich die Fläche
zwischen der Kurve, der x-Achse und den Geraden x = a und x = b als bestimmtes Integral
von f x in der Form:
z
b
A=
bg
bg
f x dx = F x
b
a
bg bg
=F b −F a
a
Die Ableitung eines bestimmten Integrals ist immer gleich Null:
d
dx
z
b
bg
f x dx = 0
a
Bei der Flächenberechnung gibt es zwei Vereinfachungen:
z
a
für gerade Funktionen:
−a
bg
z
a
bg
f x dx = 2 ⋅ f x dx
z
a
für ungerade Funktionen:
0
−a
bg
f x dx = 0
Die Fläche zwischen zwei Kurven berechnet sich über die Intagraldifferenz:
z
f o x − f u x dx
bg
bg
b
A=
bg bg
a
wobei f o x und f u x die obere bzw. untere Grenzfunktion darstellen.
ACHTUNG: Bei der Flächenberechnung muß prinzipell der Betrag des bestimmten Integrals
gebildet werden, außerdem muß man aufgrund eventueller Vorzeichenwechsel der Funktion
genau auf die Festlegung der Integrationsgrenzen achten!
Mathe-Formeln
Seite 11
Integralrechnung
5.3 Elementare Integrationsregeln für bestimmte Integrale
Faktorregel
Summenregel
z
z
z
z
z
z
bg
z bg
f b x g + g b x g dx = z f b x g dx + z g b x g dx
U
f b x g dx = F bbg − F b a g|
|V ⇒ z f b xg dx = − z f b xg dx
f b x g dx = F b a g − F bb g|
|W
f b x g dx = z f b x g dx + z f b x g dx
f b x g dx = z f b t g dt = z f b u g du = ...
OP = f b xg
d L
b
g
(siehe Flächeninhaltsfunktion)
f
t
dt
M
dx N z
Q
k ⋅ f x dx = k ⋅ f x dx
b
Vertauschung der
Integrationsgrenzen
b
a
a
b
a
a
b
Aufspaltung eines
bestimmten Integrals
Beliebige
Integrationsvariable
c
b
c
a
a
b
x
Ableitung nach der
oberen Grenze
a
5.4 Integrationsverfahren
5.4.1 Grundintegrale
z
z
z
z
z
z
z
z
z
x n dx =
1
⋅ x n +1 + C
n +1
1
dx = ln x + C
x
e x dx = e x + C
a x dx =
1
⋅ax + C
ln a
bg
bg
bg
sin x dx = − cos x + C
bg
bg
cos x dx = sin x + C
bg
1
dx = tan x + C
cos2 x
bg
1
2
bg
sin x
1
1 − x2
bg
dx = − cot x + C
( n ≠ −1)
z
z
z
z
z
z
z
z
|RS arcsin b xg + C
|T− arccosb xg + C
1− x
1
|R arctan b xg + C
dx = S
1+ x
T|−arccot b xg + C
sinh b x g dx = cosh b x g + C
cosh b x g dx = sinh b x g + C
1
2
1
2
1
2
2
bg
1
dx = tanh x + C
cosh 2 x
bg
bg
1
dx = − coth x + C
sinh 2 x
bg
1
x +1
2
1
x −1
2
R|ar tanh b xg + C = 1 ⋅ ln FG 1 + x IJ + C
2 H 1− xK
|
dx = S
||ar coth b xg + C = 1 ⋅ ln FGH x + 1IJK + C
2
x −1
T
Mathe-Formeln
dx =
Seite 12
bg
e
j
dx = ar sinh x + C = ln x + x 2 + 1 + C
bg
dx = ar cosh x + C = ln x + x 2 − 1 + C
x <1
für
x >1
Integralrechnung
5.4.2 Integration durch Substitution
Die Methode der Integration durch Substitution entsteht durch Umkehrung der Kettenregel der
Differentialrechnung und hat zum Ziel ein Integral in einfachere Grund- oder Stammintegrale
zu zerlegen. Dabei geht man nach folgenden fünf Schritten vor:
bg
ub x g = 1 + 3 x
Beispiel:
1.) Bestimmung einer Hilfsfunktion:
2.) Transformation des Differentials:
f x = 1+ 3 x
⇒
du
=3
dx
1
dx = ⋅ du
3
3.) Durchführung der Substitution:
z
4.) Ermittlung der Stammfunktion in u:
1
⋅
3
5.) Rücksubstitution:
I=
⇒
z
1 + 3 x dx =
z
I=
1
1
u ⋅ du = ⋅
3
3
z
z
1 + 3 x dx
u du
1 2
u du = ⋅ ⋅ u 3 2 + C
3 3
b
2
⋅ 1+ 3 x
9
g
32
+C
Wichtig dabei ist der Schritt 2, die Umrechnung des alten Differentials dx in das neue
Differential du; dies erhält man durch Ableitung der Substitutionsgleichung u(x).
Wichtige Integralsubstitutionen:
Integraltyp
z
z
z
z
b
Substitution
g
f a x + b dx
u = a x + b;
bg bg
f b x g ⋅ f b x g dx
f b xg
dx
f b xg
f g x ⋅ g , x dx
’
’
bg
u = f b x g;
u = f b x g;
u=g x ;
du = a ⋅ dx
bg
du = f b x g dx
du = f b x g dx
du = g , x dx
’
’
neues Integral
1
⋅ f u du
a
z
bg
z f bug du
z
z
u du =
1 2
⋅u + C
2
du
= ln u + C
u
5.4.3 Partielle Integration (Produktintegration)
Die Rechenvorschrift für die Partielle Integration oder Produktintegration entsteht durch
Integration der Produktregel der Differentialrechnung:
zbg
bg
z
bg bg
bg bg
u x ⋅ v , x dx = u x ⋅ v x − u , x ⋅ v x dx
Die Integration gelingt, wenn sich der Integrand in Faktoren u(x) und v’(x) mit folgenden
Eigenschaften zerlegen läßt: Zu v’(x) kann einfach eine Stammfunktion ermittelt werden und
das Integral auf der rechten Seite läßt sich lösen!
Beispiel:
z
x ⋅ cos x dx = x ⋅ sin x − sin x dx
= x ⋅ sin x + cos x + C
Mathe-Formeln
Seite 13
bg
bg
bg
z
bg
bg
R|Su = x;
|Tv = cos b xg;
,
u, = 1
bg
v = sin x
Integralrechnung
5.4.4 Integration gebrochenrationaler Funktionen - Partialbruchzerlegung
Jede unecht gebrochenrationale Funktion läßt sich eindeutig darstellen als Summe einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochenrationalen Funktion. Ganzrationale Funktionen
lassen sich leicht integrieren, echt gebrochenrationale Funktionen müssen erst in Summen von
Partialbrüchen gemäß folgender Tabelle zerlegt werden:
Nennerfaktor
x − x0
zugehöriger Ansatz
A
x − x0
(einfach)
bx − x g
2
A1
A2
+
x − x0
x − x0
...
Bx+C
2
x +b x +c
b
(doppelt)
0
...
x2 + b x + c
cx
2
+b x +c
(einfach)
h
2
g
2
B1 x + C1
B2 x + C2
+
2
x + b x + c x2 + b x + c
c
(doppelt)
...
h
2
...
Vorgehensweise:
1.) Die gegebene Funktion muß echt gebrochenrational sein, wenn nicht – Polynomdivision!!
2.) Abspaltung von Linearfaktoren durch ausklammern oder probieren (Nennernullstellen!).
3.) Zerlegungsansatz nach Tabelle.
4.) Mit Hauptnenner durchmultiplizieren.
5.) Bestimmung der Koeffizienten durch Grenzwertmethode (einsetzen der Nennernullstellen)
oder einsetzen einfacher Werte (z.B. 0, ™1, ...) und Lösung des entstehenden LGS.
Beispiel:
bg
f x =
x −1
x −1
A
A
=
= 1 + 2
x + 5x + 6
x+2 x+3
x+2 x+3
b
2
Grenzwertmethode:
x = −2:
x = −3:
Ergebnis:
f x =
Mathe-Formeln
bg
gb g
b g b
⋅ HN
x − 1 = A1 x + 3 + A2 x + 2
−3 = A1
−4 = − A2
⇒
⇒
g
A1 = −3
A2 = 4
x −1
−3
4
=
+
x + 5x + 6 x + 2 x + 3
2
Seite 14
Integralrechnung
Die resultierenden Partialbrüche lassen sich jetzt folgendermaßen integrieren:
z
zb
A
dx = A ⋅ ln x − x0 + C
x − x0
allgemein:
zb
A
x − x0
g
m
dx = − A ⋅
z
A
x − x0
1
1
⋅
m − 1 x − x0
b
g
g
2
dx = − A ⋅
1
+C
x − x0
m −1
Bx+C
dx muß man den Bruch weiter zerlegen, und zwar so
x +b x +c
daß im ersten Teil der Summe im Zähler die Ableitung des Nenners steht und der zweite Teil
der Summe im Zähler eine Konstante enthält.
Bei Integralen der Form
Beispiel:
z
I=
2
3x − 1
dx = ?
x + 2x + 5
2
3x − 1
3
2x + 2
4
= ⋅ 2
−
x + 2x + 5 2 x + 2x + 5 x +1 2 + 4
b g
2
Integration durch Substitution (1.Summand: u = x 2 + 2 x + 5 ; 2. Summand: u =
Ergebnis:
c
IJ
K
FG
H
h
3
x +1
⋅ ln x 2 + 2 x + 5 − 2 ⋅ arctan
+C
2
2
I=
x +1
):
2
5.5 Uneigentliche Integrale
Ist b eine Unendlichkeitsstelle von f(x), so definiert man:
z
b
bg
a
RS f b xg dx UV
Tz
W
u
f x dx = lim
u →b −
(bei b uneigentliches Integral)
a
Existiert ein endlicher Grenzwert, so heißt das Integral konvergent; ist der Grenzwert
uneigentlich, so heißt das Integral divergent.
Ist a eine Unendlichkeitsstelle von f(x), so erhält man das an der unteren Grenze a
uneigentliche Integral durch eine entsprechende Definition.
Beispiel:
z
1
I=
0
z
u
dx
1− x2
⇒
0
dx
1− x2
bg
= arcsin x
u
0
bg
= arcsin u
Ist der Integrationsbereich unbeschränkt, so definiert man:
z
∞
a
bg
RS f b x g dx UV;
Tz
W
b
f x dx = lim
b →∞
a
z
b
bg
m
b gr = π2
I = lim arcsin u
u →1−
RS f b x g dx UV
Tz
W
b
f x dx = lim
−∞
⇒
a →−∞
a
Sind die Grenzwerte endlich, so heißen die uneigentlichen Integrale konvergent, andernfalls
heißen sie divergent.
Mathe-Formeln
Seite 15
Integralrechnung
5.6 Einige andere häufig benötigte Integrale
z ba x + bg dx = babnx++1bgg⋅ a
z
zb
z b
z
z
z
n +1
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
dx
1
= ⋅ ln a x + b
a x +b a
für n ≠ −1
n
x dx
x b
= − 2 ⋅ ln a x + b
a x +b a a
x dx
a x+b
dx
1
a x +b
= − ⋅ ln
x⋅ a x +b
b
x
b
g
a x + b dx =
2
⋅
3a
ba x + b g
dx
x⋅ a x +b
3
=
b
1
+ 2 ⋅ ln a x + b
a ⋅ a x +b a
g
=
b
2
2
g
1
1
a x +b
− 2 ⋅ ln
b⋅ a x +b b
x
x ⋅ a x + b dx =
b
g
b
g ba x + bg
2 ⋅ 3a x − 2 b
⋅
15 a 2
b
g
3
2 ⋅ a x − 2b
dx
=
⋅ a x +b
3a2
x⋅ a x +b
dx
2
= ⋅ a x +b
a x +b a
ca + x h
cos b a x g
sin b a x g dx = −
1
x ⋅ a 2 + x 2 dx = ⋅
3
g
2
x ⋅ dx
2 3
2
a +x
2
= a2 + x2
2
x sin b 2 a x g x sin b a x g ⋅ cos b a x g
b
g
−
= −
a
2
4a
2
2a
sin ba − b g ⋅ x sin b a + bg ⋅ x
sin b a x g ⋅ sin bb x g dx =
−
für a ≠ b
2 ⋅ ba − bg
2 ⋅ ba + b g
sin b a x g x ⋅ cos b a x g
cos ba x g x ⋅ sin b a x g
b
g
x ⋅ sin b a x g dx =
−
x
⋅
cos
a
x
dx
=
+
z
a
a
a
a
sin b a − bg ⋅ x sin b a + bg ⋅ x
cos ba x g ⋅ cos bb x g dx =
+
für a ≠ b
2 ⋅ ba − bg
2 ⋅ ba + bg
sin ba x g
x sin b 2 a x g x sin b a x g ⋅ cos b a x g
cos b a x g dx =
cos b x g dx = +
= +
z
a
2
4a
2
2a
sin b a x g
sin ba x g
sin b a x g ⋅ cos ba x g dx =
sin b a x g ⋅ cos b a x g dx =
z
bn + 1g ⋅ a für n ≠ −1
2a
1
tan ba x g
tan ba x g dx = − ⋅ ln cos b a x g
tan b a x g dx =
−x
z
a
a
1
cot b a x g
cot ba x g dx = − ⋅ ln sin ba x g
b
g
cot
a
x
dx
=
−
−x
z
a
a
1
e
e dx = ⋅ e
e ⋅ sin bb x g dx =
⋅ a ⋅ sin bb x g − b ⋅ cos bb x g
z
a
a +b
F a x − 1IJ ⋅ e
e
x ⋅ e dx = G
e
⋅
cos
b
x
dx
=
⋅ [a ⋅ cos (b x ) + b ⋅ sin (b x )]
(
)
∫
H a K
a +b
ln b x g dx = x ⋅ ln b x g − 1
z ln bxg dx = x ⋅ ln b xg − 2 x ⋅ ln b xg + 2 x
x
1 O
ln b x g
1
L
x ⋅ ln b x g dx =
⋅ Mln b x g −
für m ≠ −1 z
dx = ⋅ ln b x g
P
m +1 N
m + 1Q
2
x
z
sin 2 x dx =
2
2
2
2
2
2
2
n +1
2
n
2
2
ax
ax
ax
ax
2
ax
ax
ax
ax
2
2
2
m +1
2
3
2
m
Mathe-Formeln
2
Seite 16
Integralrechnung
6. Differentialgleichungen
6.1 Allgemeine DGL 1. Ordnung
6.1.1 Integration durch Trennung der Variablen - Separierbare DGL
bg
bg
bg
bg
g y
f x
bg bg
Anwendung bei DGL´s der Form:
y, =
f x
g y
y, =
Lösung durch Einführung von:
y, =
dy
dx
dadurch ergibt sich:
z bg z bg
z z
g y dy =
durch Integration ergibt sich:
⇒
f x dx
y, = f x ⋅ g y
bg bg
Gb y g = F b x g + C
g y dy = f x dx
dy
= dx
⇒
ln y = x + ln C *
y
hier ist es sinnvoll eine Integrationskonstante mit ln C * zu wählen, dadurch ergibt sich:
Häufig ergeben sich Terme der Form:
ln
y
=x
C*
⇒
y = C* ⋅ e x
⇒
y = C ⋅ ex
6.1.2 Integration durch Substitution
Typ I: DGL´s der Form:
b
y, = f a x + b y + c
g
Substitution:
u = a x +b y +c
differenzieren nach x:
u, = a + b ⋅ y,
bg
y, = f u
mit
⇒ separierbare DGL:
Rücksubstitution:
Typ II: DGL´s der Form:
damit:
y = x ⋅u
mit
y, = f u
bg
u, = a + b ⋅ f u
dx =
du
a +b⋅ f u
bg
y, = f
y
x
bg
FG y IJ
H xK
Ähnlichkeitsdgl.
c u = u b x g, y = y b x gh
differenzieren ergibt:
bg
du
⇒ separierbare DGL:
⋅ x = f bug − u
dx
Rücksubstitution ergibt y b x g .
Mathe-Formeln
bg
bg
bg
du
= a +b⋅ f u
⇒
dx
Integration ergibt u x .
(*)
u x in Substitutionsgleichung (*) einsetzen
und nach y x auflösen.
u=
Substitution:
ergibt sich
⇒
bg
c u = u b x g, y = y b x gh
ergibt sich:
y , = u + x ⋅ u,
f u = u + x ⋅ u,
Seite 17
(*)
⇒
z
⇒
bg
x ⋅ u, = f u − u
z
du
dx
=
f u −u
x
bg
Differentialgleichungen
6.2 Lineare DGL 1. Ordnung
bg bg bg bg
y, x + g x ⋅ y x = r x
DGL´s der Form:
1. Schritt: Lösung der homogenen DGL
bg bg bg
ln y = − G b x g + ln C
y, x + g x ⋅ y x = 0
separierbar!
bg
⇒
z z bg
dy
= − g x dx
y
bg
y h x = C ⋅ e − G b x g = C ⋅ y1 x
⇒
*
bg bg
dy
= −g x ⋅ y x
dx
2. Schritt: Lösung der inhomogenen DGL durch Variation der Konstanten
Ansatz:
b g b g b g (*)
y b xg = C b xg ⋅ y b xg + C b xg ⋅ y b xg
y x = C x ⋅ y1 x
′
,
,
1
1
einsetzen in inhomogene DGL:
b g b g b g b g b g b g b g [...] = 0 !!! (siehe DGL)
rb xg
rb xg
⇒
C b xg =
⇒ C b xg = z
dx + K
y b xg
y b xg
F r b xg dx + K I ⋅ y b xg
einsetzen in Ansatz (*):
⇒
y b xg = G z
H y b xg JK
C ′ x ⋅ y1 x + C x ⋅ y1, x + g x ⋅ y1 x = r x
′
1
1
1
1
bg bg bg
r b xg
y b x g = K ⋅ y b x g,
y bxg = y bxg⋅ z
dx
y b xg
Allgemein: y x = yh x + y p x
mit
h
p
1
1
1
und
bg
y1 x = e − G b x g
bg
Eine andere Möglichkeit bietet auch ein geeigneter "Störansatz" zur Bestimmung von y p x
(siehe Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten)
6.3 Lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
DGL´s der Form:
bg
bg bg
y, x + a ⋅ y x = r x
1. Schritt: Lösung der homogenen DGL
bg
bg
y, x + a ⋅ y x = 0
⇒
bg
yh x = C ⋅ e − a ⋅ x
2. Schritt: Lösung der inhomogenen DGL
Möglichkeit 1:
Möglichkeit 2:
Mathe-Formeln
Variation der Konstanten (s.o.)
"Störansatz"
Seite 18
Differentialgleichungen
6.4 DGL 2. Ord. die auf 1. Ord. zurückgeführt werden können
durch Substitution in zwei besonderen Fällen:
Typ A:
c h
y ,, = f x , y ,
(... y fehlt!)
Substitution:
u = y,
Beispiel:
y ,, + y ,
c h
2
=0
u = y , ⇒ y ,, = u , =
Sub:
bg
y ,, = f y
du
= dx
u2
(... x und y´ fehlen!)
Multiplikation mit y´ ("integrierender Faktor")
bg
⇒
y , ⋅ y ,, = f y ⋅ y ,
wegen:
⇒
⇒
dy
dx
y, =
mit
⇒
c h = 2⋅ y ⋅ y
1
⋅ c y h = z f b y g ⋅ dy
2
d ,
y
dx
2
,
z
z
y , ⋅ y ,, ⋅ dx =
y ,, ⋅ dy =
z
⇒
,,
z
bg
z
bg
f y ⋅ y , ⋅ dx
f y ⋅ dy
y ,, ⋅ dy =
c h
1 ,
⋅ y
2
2
, 2
Beispiel:
y ,, = −
1
;
y2
⇒
y,
y2
⇒
y ,, ⋅ y , = −
bg
bg
bg
bg
y 0 = 2; y , 0 = 1
z
y ,, ⋅ dy = −
z
dy
y2
2
y
⇒
y, =
⇒
2 23
⋅ y = 2 ⋅ x + C2
3
bg
2 !
3
mit y 0 = K = 2
⇒
⇒
y, =
mit
⇒
dy
dx
F2
y=G ⋅
H3
K= 8
Seite 19
Multiplikation mit y´:
c h
1 ,
⋅ y
2
⇒
1 1
= + C1
2 2
mit y 0 = 2; y , 0 = 1 ergibt sich
Mathe-Formeln
1
= x + C1
u
⇒
dx
= ln x + C 1 + C 2
x + C1
y = u ⋅ dx =
Rücksub:
du
+ u2 = 0
dx
⇒
z z
z z
−
separierbage DGL:
Typ B:
du
dx
⇒
⇒
I
2 ⋅ x + KJ
K
F2
yb x g = G ⋅
H3
2
=
⇒
z
1
+ C1
y
C1 = 0
y ⋅ dy =
z
2 ⋅ dx
2
3
2⋅x+
I
8J
K
2
3
Differentialgleichungen
6.5 Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
bg
an y (n) + an −1 y (n −1) +... + a1 y , + a0 y = r x
DGL´s der Form:
1. Schritt: Lösung der homogenen DGL mit charakteristischer Gleichung
Ansatz:
aus der n-ten Ableitung von y wird die n-te Potenz von λ
an y (n) + an −1 y (n −1) +... + a1 y , + a0 y = 0
⇒
an λn + an −1 λ( n −1) +... + a1 λ + a0 = 0
⇒ jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen λk, die entweder reell
oder paarweise konjugiert komplex sind. Zu jedem λk gehört eine
Fundamentallösung: yk = e λ k x
Beispiel DGL 2. Ordnung:
(Euler-Ansatz)
a2 y ,, + a1 y , + a0 y = 0
⇒ charakteristische Gleichung: a2 λ2 + a1 λ + a0 = 0
Lösung dieser Quadratischen Gleichung unterscheidet 3 Fälle:
Fall 1:
λ1 ≠ λ 2 ∈ R
⇒
allgemeine Lösung:
yh = C1 ⋅ e λ1 ⋅ x + C2 ⋅ e λ 2 ⋅ x
Fall 2:
λ1 = λ 2 = λ ∈ R ⇒
allgemeine Lösung:
yh = C1 + C2 ⋅ x ⋅ e λ⋅ x
Fall 3:
λ 1,2 = a ± jb ∈ C ⇒
allgemeine Lösung:
yh = e a⋅ x ⋅ C1 ⋅ cos bx + C2 ⋅ sin bx
λ 1 = 0,
yh = C1 + C2 ⋅ e λ 2 ⋅ x
Wenn a0 = 0 (kein y in DGL)Æ
λ2 = ?
b
b
g
g
2. Schritt: Lösung der inhomogenen DGL mit "Störansatz"
Man ermittelt eine allgemeine Form für yp, die der Form der Störfunktion r(x) angepaßt ist,
und führt einen sinnvollen Koeffizientenvergleich durch. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden: Normalfall und Resonanzfall. Besteht die Störfunktion aus zwei oder mehreren
additiven Anteilen r1(x) und r2(x), so ermittelt man zwei unterschiedliche partikuläre
Lösungen yp1 und yp2 und addiert sie. Anschließend muß man den Ansatz n mal ableiten und
in die DGL einsetzen. Nach Vereinfachung führt man den Koeffizientenvergleich durch.
Störfunktion r(x)
Ansatz yp
a
A
ohne Resonanz
n
x
a0 + a1 x +... + an x n
A0 + A1 x +... + An x n
a ⋅ e k ⋅x
a ⋅ cos mx
A ⋅ e k ⋅x
a ⋅ sin mx
A1 ⋅ cos mx + A2 ⋅ sin mx
a1 ⋅ cos mx + a2 ⋅ sin mx
a ⋅ e k ⋅ x ⋅ cos mx
a ⋅ e k ⋅ x ⋅ sin mx
A1 ⋅ e k ⋅x ⋅ cos mx + A2 ⋅ e k ⋅ x ⋅ sin mx
a1 ⋅ e k ⋅ x ⋅ cos mx + a2 ⋅ e k ⋅x ⋅ sin mx
Mathe-Formeln
Seite 20
Differentialgleichungen
Achtung: Resonanzfall!
Im Resonanzfall muß ein modifizierter Ansatz durchgeführt werden. Resonanz liegt vor, wenn
die (oder ein Teil der) Störfunktion einer Fundamentallösung der DGL entspricht oder wenn
eine der folgenden Situationen vorliegt:
Störfunktion r(x)
Ansatz yp
a0
x ⋅ A0
a0 + a1 x +... + an x n
c
mit Resonanz
h
a) l = 0 einfacher Eigenwert
x ⋅ A0 + A1 x +... + An x n
b) l = 0 s-facher Eigenwert
x s ⋅ A0 + A1 x +... + An x n
a1 ⋅ e k ⋅ x ⋅ cos mx + a2 ⋅ e k ⋅x ⋅ sin mx
c
c
h
h
a) l = k ™ jm einfache Eigenwerte
x ⋅ A1 ⋅ e k ⋅ x ⋅ cos mx + A2 ⋅ e k ⋅ x ⋅ sin mx
b) l = k ™ jm s-fache Eigenwerte
x s ⋅ A1 ⋅ e k ⋅ x ⋅ cos mx + A2 ⋅ e k ⋅x ⋅ sin mx
c
h
y ,, − 6 y , − 16 y = 3 + 2 x
Beispiel:
1. Schritt:
2. Schritt:
char. Gl.
λ2 − 6λ − 16 = 0
bg
r x = 3+ 2x
⇒
⇒
⇒
3. Schritt:
Mathe-Formeln
⇒
yh = C1 ⋅ e −2 x + C2 ⋅ e8 x
y ,p = A1 ,
y ,,p = 0
−6 A1 − 16 A0 − 16 A1 x = 3 + 2 x
Koeffizientenvergleich:
x 1:
x 0:
λ 1 = −2 , λ 2 = 8
keine Resonanz
y p = A0 + A1 x ,
in DGL:
⇒
− 16 A1 = 2
−6 A1 − 16 A0 = 3
yp = −
UV
W
⇒
1
9
A1 = − , A2 = −
8
64
9 1
− x
64 8
y = yh + y p = C1 ⋅ e −2 x + C2 ⋅ e8 x −
Seite 21
9 1
− x
64 8
Differentialgleichungen
Komplexer Ansatz für die partikuläre Lösung
bg b
g
b g
y b x g = e ⋅ b A ⋅ cos mx + A ⋅ sin mx g = A ⋅ e ⋅ cos bmx + ϕ g
g
r b x g = Remr% b x gr
mit
r% b x g = a ⋅ e ⋅ e b
g
y b x g = Ren y% b x gs mit
y% b x g = A ⋅ e ⋅ e b
r x = e k ⋅x ⋅ a1 ⋅ cos mx + a2 ⋅ sin mx = a ⋅ e k ⋅ x ⋅ cos mx + Φ
Störfunktionen der Form:
k ⋅x
zugehöriger Ansatz:
k ⋅x
p
1
2
k ⋅x
komplexe Darstellung:
k ⋅x
p
bg
p
j mx + Φ
j mx + ϕ
p
Ableiten von y% p x und einsetzen in die zugehörige komplexe DGL führt zu einer komplexen
Bestimmungsgleichung für A und j.
Beispiel:
y ,, + 4 y , + 3 y = 8 e − x ⋅ cos 2 x
bg
(Eigenwerte -1,-3; keine Resonanz!)
r x = 8 e − x ⋅ cos 2 x = 8 e − x ⋅ e j b2 x g = 8 eb2 j −1g x
bg
Ableiten: y% b x g = Ae
y% b x g = Ae
Ansatz:
y% p x = Ae − x ⋅ e j b2 x + ϕ g = Ae jϕ ⋅ eb2 j −1g x
,
p
jϕ
b
b
g
g
⋅ eb2 j −1g x ⋅ 2 j − 1
b
g
2
jϕ
,,
⋅ eb2 j −1g x ⋅ 2 j − 1 = Ae jϕ ⋅ eb2 j −1g x ⋅ −3 − 4 j
p
in DGL: y% ,, + 4 y% , + 3 y% = 8 e − x ⋅ e j 2 x = 8 eb2 j −1g x
⇒
Ae jϕ ⋅ eb2 j −1g x ⋅ −3 − 4 j + 4 ⋅ 2 j − 1 + 3 = 8 e b2 j −1g x
: eb2 j −1g x
c
jϕ
b
b
g
g h
jϕ
⇒
Ae ⋅ −4 + 4 j = 8
⇒
Ae jϕ =
⇒
y% p = 2 ⋅ e
⇒
y p = Re y% p = 2 ⋅ e − x ⋅ cos 2 x −
8
4 2
−j
⋅e
3π
4
−j
3π
4
⇒
Ae ⋅ 4 2 ⋅ e
j
3π
4
A = 2, ϕ = −
⇒
F
=8
3π
4
I
jG 2 x− J
b g
⋅ e 2 j −1 x = 2 ⋅ e − x ⋅ e H 4 K
FG
H
d i
3π
4
3π
IJ
K
6.6 Euler´sche DGL
DGL´s der Form:
bg
an x n y ( n) +... + a2 x 2 y ,, + a1 x y , + a0 y = r x
bg
y= f x !
&&
y&
y − y&
;
y ,, = 2 t
t
e
e
Einsetzen in DGL ergibt eine DGL mit konstanten Koeffizienten für y(t)!
Substitution:
x = et ;
bg
y t =...
Rücksubstitution:
Mathe-Formeln
y, =
bg
über: t = ln x
ergibt Lösung: y = f(x)!
at
(ersetze alle e durch xa!)
Seite 22
Differentialgleichungen
6.7 Anfangs- Rand- und Eigenwertprobleme
Anfangswertproblem
Merkmal: mehrere Bedingungen an der gleichen Stelle x0:
b g
b g
Bsp. DGL 2. Ordnung: Æ 2 Anfangsbedingungen y x0 = y0 ;
y , x0 = y1
Randwertproblem
Merkmal: mehrere Bedingungen an unterschiedlichen Stellen a, b:
bg
y ,, + y = 0
Bsp.:
a)
b)
c)
bg
F πI
yG J = 1
H 2K
y 0 =0
bg
yb πg = 1
y 0 =0
bg
yb πg = 0
y 0 =0
allg. Lösung: y x = C1 cos x + C2 sin x
⇒
0 = C1 cos 0 + C2 sin 0 ⇒
C1 = 0
⇒
1 = C1 cos
π
π
+ C2 sin ⇒
2
2
C2 = 1
⇒
y P = sin x
⇒
0 = C1 cos 0 + C2 sin 0 ⇒
C1 = 0
⇒
1 = C1 cos π + C2 sin π ⇒
C1 = −1
Æ
Widerspruch!
⇒
0 = C1 cos 0 + C2 sin 0 ⇒
C1 = 0
⇒
0 = C1 cos π + C2 sin π ⇒
C1 = 0
Æ
kein Widerspruch!
Æ
allg. Lösung für dieses RWP:
Æ
keine Lösung für dieses RWP!
C2 ist frei wählbar!
y P = C2 ⋅ sin x
Eigenwertproblem
b g
bg
ybl g = 0
⇒
mit C1 = 0
⇒
y 0 =0
⇒
0 = C1 ⋅ 1 + C2 ⋅ 0
⇒
b g
0 = C ⋅ sin bω l g
b g
C1 = 0
0 = C1 cos ω l + C2 sin ω l
2
b g
nichttrivial lösbar falls: sin ω l = 0
n⋅π
⇒
ω ⋅l = n⋅π
⇒
ω=
l
⇒
Gesamtschwingungsbild:
Mathe-Formeln
b g
allg. Lösung: y = C1 cos ω x + C2 sin ω x
Bsp. schwingende Saite: y ,, + ω 2 y = 0
b g
y P = C2 ⋅ sin ω x
bg
∞
y x = ∑ Cn ⋅ sin
n =1
⇒
FG n ⋅ π ⋅ xIJ
H l K
Seite 23
⇒
yn = Cn ⋅ sin
C2 = beliebig
FG n ⋅ π ⋅ xIJ
H l K
Differentialgleichungen
6.8 Anwendung: Schwingungs - DGL
6.8.1 Freie Schwingungen
a &&
x + b x& + c x = 0
DGL´s der Form:
Mit den Abkürzungen: δ =
b
;
2a
c
;
a
ω0 =
&&
x + 2 δ x& + ω 20 x = 0
ergibt sich:
ω d = ω 20 − δ 2 ;
D=
λ 1,2 = − δ ± δ 2 − ω 20
mit den Lösungen:
δ=0
⇔
D=0
λ 1,2 = ± j ⋅ ω 0
⇒
x t = C1 cos ω 0 t + C2 sin ω 0 t
⇔
0 < D <1
⇒
x t = e − δ t ⋅ C1 cos ω d t + C2 sin ω d t
⇔
D =1
⇒
x t = C1 + C2 t ⋅ e −δ t
⇔
D >1
Fall 1:
0 < δ < ω0
Fall 2:
λ 1,2 = − δ ± j ⋅ ω d
δ = ω0
Fall 3:
λ 1,2 = − δ
δ > ω0
Fall 4:
bg
ungedämpfte Schwingung
b g
bg
b g
schwache Dämpfung
b g
bg b
b g
Grenzfall
g
starke Dämpfung
bg
λ 1,2 = − δ ± δ 2 − ω 20 ⇒
δ
ω0
x t = C1 e λ1 t + C2 e λ 2 t
6.8.2 Erzwungene Schwingungen
b g
DGL´s der Form:
&&
x + 2 δ x& + ω 20 x = ω 20 x$ E ⋅ cos ω E t
mit Lösung:
x p t = x$ p ⋅ cos ω E t − ϕ
Allgemeiner Fall:
δ>0
⇔
D>0
Fall 1:
ω E < ω0
⇒
0<ϕ<
Fall 2:
ω E > ω0
⇒
Fall 3:
ω E = ω0
⇒
⇒
x$ p =
bg
cω
ω 20 ⋅ x$ E
2
0
− ω 2E
Mit den Abkürzungen: u =
ergibt sich:
Mathe-Formeln
b
V=
h
2
+ 4 δ 2 ω 2E
ωE
;
ω0
D=
c1 − u h
π
2
unterkritisch
π
<ϕ<π
2
π
ϕ=
2
überkritisch
tan ϕ =
;
δ
;
ω0
1
2 2
g
V=
;
+ 4 D2 u2
Seite 24
2δ ωE
ω 20 − ω 2E
x$ p
x$ E
tan ϕ =
2 Du
1 − u2
V ... Amplitudengang
j ... Phasengang
Differentialgleichungen
6.9 DGL - Systeme
6.9.1 Normalform einer DGL n-ter Ordnung
Jede DGL n-ter Ordnung läßt sich in ein System von DGLs 1. Ordnung umwandeln.
Man führt dazu Zustandsgrößen ein, und erhält ein System der Zustandsgleichungen:
bg c
y ( n) x = f x , y , y , ,..., y ( n −1)
Geg:
Æ
y
=
y1
y,
=
y1,
=
y2
y
,,
=
y
,
2
=
y3
y
:
,,,
=
y
:
,
3
=
y4
:
y ( n)
=
yn,
=
f x , y1 , y2 ,..., yn
⇒
&&&
x = −2 x + 3 x& + t
&&&
x − 3 x& + 2 x = t
Bsp.
h
Normalform
b
U|
|V
||
W
LM
MM
N
LM
MM
N
OP
PP
Q
g
OP LM
PP MM
QN
OP
PP
Q
LM OP
MM PP
NQ
x = x1
x&1
0 1 0 x1
0
x& = x&1 = x2
⇔ x&2 = 0 0 1 ⋅ x2 + 0
&&
x = x&2 = x3
x&3
t
−2 3 0 x 3
&&&
x = x&3 = −2 x1 + 3 x2 + t
bg
x& = A ⋅ x + r t
In kompakter Matrixschreibweise:
6.9.2 Systeme linearer DGL 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten
bg
x& = A ⋅ x + r t
DGL´s der Form:
haben die Lösung:
bg bg bg
x t = xh t + x p t
1. Schritt: Lösung des homogenen Systems
1.)
x& = A ⋅ x
2.)
x = c ⋅ eλ t ;
x& = λ c ⋅ e λ t
3.)
λ c = A⋅c
⇔
4.)
det A − λ E = 0
Æ charakt. Gleichung Æ n Eigenwerte
5.)
λ 1 ,..., λ n
Æ einsetzen in (3) Æ c(i)
6.)
x
7.)
x t = K1 x
b
(i )
g
= c eλi t
bg
(i )
(1)
b A − λ Eg⋅c = 0
nichttrivial lösbar für
Æ Fundamentallösungsvektoren
+ K2 x +... + Kn x
( 2)
( n)
Dieses Schema funktioniert für einfache reelle Eigenwerte!
Mathe-Formeln
Seite 25
Differentialgleichungen
Bsp: x&1 = 2 x1 + x2
x&2 = 3 x1 + 4 x2
A=
LM2 1OP
N3 4Q
⇒
x& = A ⋅ x
⇒
det A − λ E = 0!
⇒
λ1 = 5; λ 2 = 1 (Eigenwerte)
mit
b
g
⇒
2−λ
1
3
4−λ
LM−3 1 OP ⋅ LM c OP = 0
N 3 −1Q Nc Q
L1 1OP ⋅ LM c OP = 0
= 1: ⇒ M
N3 3Q Nc Q
L1O
L1O
xbt g = K M P e + K M P e
N3Q
N−1Q
mit λ 1 = 5: ⇒
⇒
1
b A − λ E g ⋅ c = 0!
= λ2 − 6 λ + 5 = 0
c (1) =
Wahl: c1 = 1 Æ c2 = -1 ⇒
c(2)
2
mit λ 2
1
2
⇒
5t
LM1OP
N3Q
L1O
=M P
N−1Q
Wahl: c1 = 1 Æ c2 = 3 ⇒
t
1
2
Neben reellen, kann A auch einfache Paare konjugiert Komplexer Eigenwerte besitzen:
Æ Zu
l1,2 = a ™ jb erhält man komplexe Fundamentallösungsvektoren:
bg
bg
x (1) = Re x% ; x (2) = Im x%
Beispiel:
x% = c e ( a ± j b) t
sind dann die reellen Fundamentallösungsvektoren.
UV LM OP LM
W N Q N
OP LM OP
QN Q
1 4 x1
x&1 = x1 + 4 x2
x&1
⇔
=
⋅
⇔ x& = A ⋅ x
x&2 = − x1 + x2
x&2
−1 1 x 2
b
g
det A − λ E =
1− λ
4
−1
1− λ
= λ2 − 2 λ + 5 = 0
λ 1,2 = 1 ± 2 j
⇒
OP ⋅ LM c OP = 0 ⇒ c = LM2 j OP
−2 j Q N c Q
N −1 Q
L2 j O
Komplexer Lösungsvektor:
x% = c e
= M P ⋅ e ⋅ b cos 2 t + j ⋅ sin 2 t g
N −1Q
L−2 sin 2 t + 2 j cos 2 t OP = e LM−2 sin 2 t OP + j e LM2 cos 2 t OP
x% = e M
N − cos 2 t − j sin 2 t Q N − cos 2 t Q N− sin 2 t Q
Lösung als Linearkombination:
RS x bt g = e b−2 K sin 2 t + 2 K cos 2 t g
xbt g = K x + K x ⇔
T x bt g = e b− K cos 2 t − K sin 2 t g
Einsetzen von λ 1 = 1 + 2 j in LGS:
LM−2 j
N −1
4
1
2
(1+ 2 j ) t
t
t
t
t
t
(1)
1
(2)
1
1
2
2
t
2
1
2
Stabilität von DGL-Systemen:
Ein DGL-System x& = A ⋅ x heißt:
a) stabil, wenn alle Lösungsfunktionen beschränkt sind,
b) asymtotisch stabil, wenn gilt:
b g
Re λ i < 0 für alle i = 1, 2, ..., n
c) grenzstabil, wenn es Eigenwerte auf der imaginären Achse gibt.
Mathe-Formeln
Seite 26
Differentialgleichungen
2. Schritt: Lösung des inhomogenen Systems
bg
b g OP
PP
b gQ
Zur Lösung der inhomogenen DGL x& = A ⋅ x + r t wird ein geeigneter Störansatz gemäß der
Form der Störfunktion r(t) gemacht:
p1 t
Fall 1.) Störfunktion von der Form: r t =
: eα t
p(i) vom Grad ‹ m
pn t
LM
bg M
MN
a) a = 0, und l = 0 kein Eigenwert! (keine Resonanz)
q1 t
⇒
xp =
:
alle q(i) vom Grad = m!
qn t
LM b g OP
MM PP
N b gQ
b) a ¡ 0, und l = a kein Eigenwert! (keine Resonanz)
LM q bt g OP
⇒
x = M : Pe
alle q(i) vom Grad = m!
MNq bt gPQ
Störfunktion von der Form: r b t g = a cos bβ t g + a sin bβ t g
Voraussetzung:
λ = ±β j kein Eigenwert! (keine Resonanz)
⇒
x = d cos bβ t g + d sin bβ t g
1
αt
p
n
Fall 2.)
(1)
(1)
(2)
(2)
p
Bsp: x& =
LM2 1OP ⋅ x − LM 3t OP e
N3 4Q N3 t + 5Q
−t
LM1OP e
N3Q
2. inhomogene Lösung: Ansatz mit
La + a t OP e ⇒ x& = LMa − a − a t OP e
x =M
Nb + b t Q
Nb −b −b t Q
bg
x h t = K1
1. homogene Lösung siehe oben:
0
−t
1
p
5t
1
0
1
1
0
1
+ K2
−t
1
t
(Kettenregel!)
p
0
LM 1 OP e
N−1Q
einsetzen in DGL und :e − t
⇒
⇒
LMa − a − a t OP = LM2 1OP ⋅ LMa + a t OP − LM 3t OP
N b − b − b t Q N3 4Q N b + b t Q N3 t + 5Q
LM 3 a − a + b + b3 a + b g t OP = L 3 t O
N3 a − b + 5b + b3 a + 5b g t Q MN3 t + 5PQ
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
Koeffizientenvergleich ergibt: a0 = 0; a1 = 1; b0 = 1; b1 = 0 ⇒
Allgemeine Lösung:
Mathe-Formeln
x = x h + x p = K1
LM1OP e
N3Q
Seite 27
5t
+ K2
LM 1 OP e + LMt OP e
N−1Q N1Q
t
xp =
LMt OP e
N1Q
−t
−t
Differentialgleichungen
7. Potenz- und Fourier-Reihen
7.1 Allgemeine Konvergenzkriterien
7.1.1 Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen
Für alternierende Reihen gilt:bilden die Koeffizienten ak eine monoton fallende Nullfolge,
so ist die Reihe konvergent.
7.1.2 Quotienten- und Wurzelkriterium
a
qQ = lim k +1
k →∞ a
k
q<1 Æ
q>1 Æ
q=1 Æ
qW = lim k ak
k →∞
Konvergenz
Divergenz
keine Aussage möglich !
7.2 Potenzreihen
7.2.1 Allgemeine Form der Potenzreihe
∞
∑a
k
k =0
bx − x g
b
g b
= a0 + a1 x − x0 + a2 x − x0
k
0
g + ...
2
7.2.2 Konvergenzradien von Potenzreihen
a
r = lim k
k →∞ a
k +1
F
r = lim G
GH
bzw.
k →∞
1
k
ak
( x0 ist Entwicklungspunkt ! )
I
JJK
7.2.3 Taylor-Reihe
Die Funktion f(x) sei in der Umgebung der Stelle x0 beliebig oft differenzierbar, dann gilt:
bg
∞
f x =∑
Mathe-Formeln
k =0
f
(k )
bx g ⋅bx − x g
0
k!
0
k
b g b gb
g
= f x0 + f ′ x0 ⋅ x − x0 +
Seite 28
f
′′
b x g ⋅ b x − x g + ...
2
0
2!
0
Potenz- und Fourier-Reihen
7.2.4 Rechenregeln für Potenzreihen
Ÿ Potenzreihen dürfen innerhalb ihres Konvergenzbereiches beliebig oft gliedweise
differenziert und integriert werden. Der Konvergenzbereich ändert sich dadurch nicht.
Ÿ Potenzreihen mit gleichem Entwicklungspunkt dürfen in ihrem gemeinsamen Konvergenzbereich addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Der neue Konvergenzbereich ist
der kleinste von den ursprünglichen ( r = min(r1, r2) ) !
b g uvbb xxgg bildet man nach folgendem Schema:
Umformung: f b x g ⋅ v b x g = ub x g , mit allgemeinem f(x) das Produkt f b x g ⋅ v b x g ausrechnen
Ÿ Den Quotienten zweier Potenzreihen f x =
und anschließender Koeffizientenvergleich mit u(x).
Dabei grenzen die Nullstellen des Nenners den Konvergenzbereich ein!
Ÿ Bei einfachen Funktionen erhält man die Potenzreihe oft durch geeignete Substitution und
anschließendes Einsetzen in bekannte Potenzreihen.
Vorsicht bei Substitutionen mit Winkelfunktionen!!!
Ÿ Berechnung nicht-elementarer Integrale: häufig durch Substitution ersetzte Potenzreihe
gliedweise integrieren und Integrationsgrenzen einsetzen, z.B.:
z
x
e −t dt
2
mit der Reihe für ex und der Substitution z = -t2 ergibt sich:
0
e
z
−t 2
t4 t6
= 1 − t + − + ...
2 ! 3!
2
x
e −t dt = x −
2
0
durch Integration und Einsetzen der Integrationsgrenzen:
x3
x5
x7
+
−
+ ...
3 2!⋅ 5 3!⋅ 7
bg
bg
u x
x →0 v x
entscheidend sind nach der Potenzreihenentwicklung für u(x) und v(x) die Koeffizienten der
niedrigsten Potenzen!
Ÿ Berechnung von Grenzwerten unbestimmter Ausdrücke: z.B.:
lim
7.2.5 Fehlerabschätzung, Genauigkeit der Reihenentwicklung bis zum n-ten Glied
Für alternierende Reihen gilt nach Leibniz: Fehler < an < "Fehlergrenze"
(der Unterschied zwischen Reihengrenzwert und Teilsummengrenzwert ist kleiner als das
erste vernachlässigte Glied!)
Durch Lösung der Ungleichung
an < "Fehlergrenze" erhält man die
Anzahl der Glieder, die notwendig sind, um die Reihensumme mit einer bestimmten
Genauigkeit zu berechnen.
Mathe-Formeln
Seite 29
Potenz- und Fourier-Reihen
7.2.6 Spezielle Potenzreihen
b g
∞
1
k
=
−1 x 2 k = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + −...
∑
2
1+ x
k =0
b g
r =1
∞
−1
x
x x2 x3 x4
= ∑ ( k +1) ⋅ x ( k +1) = − + − + −...
2 + x k =0 2
2 4
8 16
e
−
x
2
b−1g
=∑
∞
k =0
ce h
−x 2
sin
k
2k ⋅ k !
=e
−2 x
k
⋅ xk = 1−
x x2
x3
+ − 3
+ −...
2 8 2 ⋅ 3!
b−1g ⋅ 2
=∑
∞
k
k =0
k!
b g
k
⋅ xk = 1− 2x +
4 2 23 3
x − x + −...
2!
3!
x ∞
x ( 2 k +1)
x x3
x5
k
= ∑ −1 (2 k +1)
= −
+ 5 − +...
2 k =0
2
2 k + 1 ! 2 8 ⋅ 3! 2 ⋅ 5!
4 + 5x = 2 +
b
g
5
25 2 125 3
x−
x +
x − +...
4
64
512
2 ⋅ sin x ⋅ cos x = 2 x −
r=2
r =∞
r =∞
r =∞
r =1
4 3 4 5
x + x − +...
3
15
r =∞
sin x
5
5
101 5 101 6
x +
x +...
= x + x2 + x3 + x4 +
1− x
6
6
120
120
r =1
cos x
x3 x 4 x5
=
1
−
+
− + − +...
x
3
6 30
ex
r =∞
2
1
3
19 6
ex
= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 +
x +...
cos x
3
2
10
90
r=
b g
r =1
1+ x
2
2
= 2 x + x 3 + x 5 +...
1− x
3
5
r =1
ln 1 + x
1
4
3
23
11
= x − x 2 + x 3 − x 4 + x 5 − x 6 + −...
2
1− x
2
3
4
15
12
ln
π
2
Mathe-Formeln
Seite 30
Potenz- und Fourier-Reihen
7.3 Fourier-Reihen
7.3.1 Fourier-Reihen für 2p-periodische Funktionen
Jede in -p < x < p definierte, stückweise stetige Funktion f(x) läßt sich darstellen als
konvergente trigonometrische Reihe der Form:
bg
f x =
c
b g
b gh
a0 ∞
+ ∑ ak cos k x + bk sin k x
2 k =1
z bg
z bg
z bg
b g
π
1
ak =
f x ⋅ cos k x dx
π −π
mit:
speziell:
k = 0, 1, 2, 3,...
b g
π
bk =
1
f x ⋅ sin k x dx
π −π
a0 =
1
f x dx
π −π
π
k = 1, 2 , 3,...
a0
ist der Mittelwert / Gleichanteil /
2
Offstet der periodischen Funktion f(x). )
( Das Absolutglied
Die Fourier-Reihe konvergiert für jedes x gegen:
a)
f(x)
an jeder Stetigkeitsstelle
b)
1
f x0 + + f x0 −
2
b g b g
an jeder Sprungstelle x0
Da die Integranden 2p-periodisch sind, kann auch jedes andere Intervall der Länge 2p als
Integrationsintervall verwendet werden.
7.3.2 Spezialfälle 2p-periodischer Funktionen
a)
f(x) ist eine gerade Funktion ( f(x) = f(-x) ):
ak =
2
π
⇒
b)
z
π
bg
b g
f x ⋅ cos k x dx
k = 0,1, 2 , 3,...
bg
b g
bk = 0 k = 1, 2, 3,...
0
f x =
a0 ∞
+ ∑ ak cos k x
2 k =1
f(x) ist eine ungerade Funktion ( f(x) = -f(-x) ):
2
bk =
π
ak = 0 k = 0,1, 2, 3,...
⇒
Mathe-Formeln
bg
∞
z
π
bg b g
f x ⋅ sin k x dx
k = 1, 2 , 3,...
0
b g
f x = ∑ bk sin k x
k =1
Seite 31
Potenz- und Fourier-Reihen
7.3.3 Fourier-Reihen für T-periodische Funktionen
Allgemein läßt sich eine T-periodische Funktionen mit T =
2π
2π
, bzw ω =
darstellen
ω
T
durch:
bg
f x =
c
b
g
b
a0 ∞
+ ∑ an cos n ω x + bn sin n ω x
2 n =1
z bg
z bg
z bg
b
T
gh
g
2 2
an =
f x ⋅ cos n ω x dx n = 1, 2 , 3,...
T −T 2
mit:
2
bn =
T
T
−T
2
a0 =
T
und:
2
T
b
g
f x ⋅ sin n ω x dx n = 1, 2 , 3,...
2
2
f x dx
−T 2
7.3.4 Spezialfälle T-periodischer Funktionen
a)
f(x) ist eine gerade Funktion ( f(x) = f(-x) ):
4
an =
T
⇒
b)
z
T
2
bg
b
g
f x ⋅ cos n ω x dx n = 0,1, 2 , 3,...
bn = 0 n = 1, 2 , 3,...
0
bg
f x =
b
a0 ∞
+ ∑ an cos n ω x
2 n =1
g
f(x) ist eine ungerade Funktion ( f(x) = -f(-x) ):
4
bn =
T
an = 0 n = 0,1, 2, 3,...
⇒
Mathe-Formeln
bg
∞
b
f x = ∑ bn sin n ω x
n =1
z
T
2
bg b
g
f x ⋅ sin n ω x dx
n = 1, 2 , 3,...
0
g
Seite 32
Potenz- und Fourier-Reihen
7.3.5 Komplexe Form der Fourier-Reihen
Über die Eulersche Formel lassen sich sin- und cos-Funktion darstellen als:
b g 21 ce
j
sin bn x g = − ce
2
cos n x =
jnx
+ e− j n x
jnx
h
− e− j n x
h
Damit läßt sich eine beliebige reelle Fourier-Reihe mit der Periode 2p entwickeln zu:
bg
f x =
c
b g
b gh
a0 ∞
+ ∑ an cos n x + bn sin n x
2 n =1
∞
∞
n =1
n =1
= c0 + ∑ cn ⋅ e j n x + ∑ c−n ⋅ e − j n x
bg
f x =
∞
∑c
n
⋅ e jn x
n =−∞
Dabei gilt:
c0 =
a0
;
2
cn =
b
g
1
an − j bn ;
2
weiter gilt:
b g
b g
c−n = cn* =
cn + c−n = cn + cn* = 2 Re cn = an
cn − c− n = cn − cn* = 2 j Im cn = − j bn
UV
W
⇒
b
1
an + j bn
2
g
b g
b = −2 Imbc g
an = 2 Re cn
n
n
Komplexe Fourier-Reihe mit Periode 2p
bg
f x =
∞
∑c
n
⋅ e jnx
n =−∞
z
π
bg
1
cn =
f x ⋅ e − j n x dx
2 π −π
Komplexe Fourier-Reihe mit Periode T
f bt g = ∑ c ⋅ e
∞
j nωt
n
n =−∞
z
T
ω=
2π
T
bg
1 2
cn =
f t ⋅ e − j n ω t dt
T −T
Mathe-Formeln
2
Seite 33
Potenz- und Fourier-Reihen
7.3.6 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Darstellung
Es gilt:
bg
f x =
c
b
g
b
gh
b
g
∞
∞
a0 ∞
a
+ ∑ an cos n ω x + bn sin n ω x = 0 + ∑ An ⋅ cos n ω x + ϕ n = ∑ cn ⋅ e j n ω x
2 n =1
2 n =1
n =−∞
An = an2 + bn2 = 2 cn
mit:
Weiter gilt:
und
ϕ n = − arctan
b g
bn
= arc cn
an
m r
R1
U
= 2 Re S b a − j b g ⋅ c cos b n x g + j sin b n x ghV
2
T
W
= a cos b n x g + b sin b n x g
c− n ⋅ e − j n x + cn ⋅ e j n x = cn* ⋅ e j n x + cn ⋅ e j n x = 2 Re cn ⋅ e j n x
n
n
n
n
7.3.7 Fourier-Transformation
Im Gegensatz zur Fourier-Reihe, die eine periodische Funktion als Summe von
harmonischen Schwingungen mit einem diskreten Frequenzspektrum darstellt, stellt das
Fourier-Integral die Entwicklung einer nichtperiodischen Funktion in ein kontinuierliches
Spektrum mit stetig variierender Frequenz dar.
Dabei nennt man den Übergang von der einen zur anderen Form Fourier-Transformation.
Formeln:
z
bg
∞
F ω =
−∞
bg
bg
f t ⋅ e − j ω t dt
z
∞
("Fourier-Integral")
bg
1
f t =
F ω ⋅ e j ω t dω
2 π −∞
dabei ist f(t) die Zeitfunktion und F(w) ist die Spektraldichte oder "Fourier-Transformierte".
In der Technik wird häufig statt der Kreisfrequenz w die Frequenz f =
ω
eingesetzt.
2π
Dadurch ergibt sich eine andere Darstellungsform:
bg
bg
st =
Mathe-Formeln
z bg
∞
S f =
s t ⋅ e − j 2 π f t dt
−∞
zbg
∞
S f ⋅ e j 2 π f t df
−∞
Seite 34
Potenz- und Fourier-Reihen
8. Laplacetransformation
8.1 Einführungsbemerkungen und Definition
Im Gegensatz zur Fouriertransformation, die eine zweiseitige Transformation darstellt und
bei der die Zeitfunktionen im Bereich - < t <  definiert sein können, stellt die Laplacetransformation eine einseitige Transformation dar, bei der nur Zeitfunktionen für t ≥ 0
zugelassen sind. Damit auch anwachsende Funktionen transformiert weden können, wird
zusätzlich ein konvergenzerzeugender Faktor e − α t eingeführt. Die Laplacetransformation wird
dann durch eine Fouriertransformation dieser erweiterten Funktion f *(t) definiert:
t <0
b g RS f bt g0⋅ e für
für t ≥ 0
T
6 m f b t gr = z f b t g ⋅ e
dt = z f b t g ⋅ e b
f* t =
mit:
−α t
∞
*
ergibt sich:
∞
− j 2 π ft
*
t =−∞
g dt
− α+ j 2 π f t
t =0
Durch Einführung der komplexen (Kreis-)Frequenz p = α + j 2 π f = α + j ω ergibt sich:
m b gr = z f bt g ⋅ e
∞
6 f* t
− pt
b g m b gr
dt = F p = < f t
t =0
(Laplace-Integral)
Hiermit ist die Laplacetransformation definiert. Dabei ist zu beachten, daß:
p ¶ C ist und Re{p} = a > 0
(statt "p" wird oft auch "s" verwendet!)
b g RS f b0t g fürfür tt ≥< 00
T
f bt g = f bt g ⋅ σ bt g
die Funktion f (t) definiert ist als: f t =
oder als:
bg
(Der Teil σ t wird oft weggelassen, man muß ihn sich aber immer dazudenken! Wenn
b g
ein Verschiebeanteil vorhanden ist muß σ t − T auf jeden Fall geschrieben werden!)
für t < 0
b g RS10 für
T t ≥0
bg
Dabei ist σ t die Einheitssprungfunktion und definiert als: σ t =
Die Einheitssprungfunktion wird zur Darstellung von abschnittsweise definierten Funktionen
verwendet, z.B.:
f t = σ t − σ t − Ti
bg bg b
g
Der Einheitsimpuls oder Dirac-Impuls d(t) ist die Ableitung der Einheitssprungfunktion.
δ t = σ& t
bg bg
Verschiedene Vorgehensweisen zur Laplace-Transformation und -Rücktransformation:
f t
F p
F p
f t
bg
bg
1.) Korrespondenzentabellen
2.) Sätze zur Laplacetransformation
3.) Laplace-Integral
Mathe-Formeln
bg
bg
1.) Korrespondenzentabellen
2.) Sätze: vor allem Faltung und PBZ
3.) Integral (für uns nicht lösbar)
Seite 35
Laplacetransformation
8.2 Sätze zur Laplacetransformation
bg
bg
f t
(1)
Linearität + Additionssatz
(2)
Ähnlichkeitssatz
(3)
Verschiebungssatz
(4)
Dämpfungssatz
(5)
1. Differentiationssatz
(6)
2. Differentiationssatz
bg
f ba t g;
F p
bg
bg
a1 ⋅ f 1 t + a2 ⋅ f 2 t
b g b g
e ⋅ f bt g
e −a p
a>0
b
−a t
F p+a
bg
bg b g
F b pg
1
⋅ F b pg
p
b − t g ⋅ f bt g
z f bτg dτ
n
Integrationssatz
g
p⋅ F p − f 0+
f’t
(n)
t
(7)
FG IJ
H K
⋅ F b pg
1
p
⋅F
a
a
a>0
f t − a ⋅σ t − a ;
0
1. Endwertsatz
bg bg
lim f b t g
=
bg bg
lim p ⋅ F b pg
2. Endwertsatz
lim f t
bg
=
lim p ⋅ F p
(8)
Faltungssatz
(9)
(10)
F1 p ⋅ F2 p
f1 t * f 2 t
t →∞
t →0
bg
a1 ⋅ F1 p + a2 ⋅ F2 p
p→ 0
bg
p →∞
8.2.1 Korrespondenzen zum 1. Differentiationssatz
bg
f bt g
f bt g
f bt g
bg
p ⋅ F b pg − f b0 + g
p ⋅ F b p g − p ⋅ f b0 + g − f b0 + g
p ⋅ F b pg − p ⋅ f b0 + g − p ⋅ f b0 + g − f b0 + g
f t
F p
’
’’
2
’’’
...
bg
f (n) t
’
3
...
...
2
bg
’
b g
’’
b g
b g
p n ⋅ F p − p n −1 ⋅ f 0 + − p n −2 ⋅ f ’ 0 + −K − f n −1 0 +
8.2.2 Rücktransformation mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
Eine komplizierte gebrochenrationale Funktion im Frequenzbereich läßt sich nicht so ohne
weiteres in den Zeitbereich zurücktransformieren. Um eine Rücktransformation durchführen
zu können, ist es erforderlich die Funktion in Teilfunktionen zu zerlegen (PBZ). Diese werden
dann einzeln über Tabellen und Sätze zurücktransformiert und am Schluß alle addiert.
Mathe-Formeln
Seite 36
Laplacetransformation
8.2.3 Faltung und Faltungssatz
Definition: Unter der Faltung zweier Funktionen f1(t) und f2(t) versteht man die Operation:
bg bg
f1 t * f 2 t =
z
∞
bg b g
f 1 τ ⋅ f 2 t − τ dτ
τ =−∞
Das Ergebnis der Faltung ist eine Funktion in Abhängigkeit von t.
b g
Spiegelung von f b τ g
an der y-Achse
– es entsteht f b − τ g
Verschiebung von f b − τ g
bg
Bestimmung des Terms f 2 t − τ aus f 2 τ in zwei Schritten:
1.)
2
2
2.)
b g
2
um t in t-Richtung ergibt f 2 t − τ
dabei gilt:
t > 0: Verschiebung nach rechts!
t < 0: Verschiebung nach links!
Bei stückweise definierten Funktionen
sind Fallunterscheidungen bezüglich der
Integrationsgrenzen zu machen!
Weiter gilt: die Faltung ist kommutativ
bg bg bg bg
f1 t * f 2 t = f 2 t * f1 t
Aufgrund dieser Kommutativität ist es ratsam, zu überlegen welche der beiden Funktionen
man verschiebt. Meistens lassen sich e-Funktionen mit Verschiebeanteil relativ leicht
integrieren, hingegen ist es oft sehr schwierig, trigonometrische Funktionen mit
Phasenverschiebung zu integrieren.
bg
bg
bg bg b g
b g ⋅ σ b t − τ g dτ
f bt g * f bt g = z σ b τ g − σ b τ − T g ⋅ e
R|
=
0
0
für t < 0
|
= S z 1 ⋅ e ⋅ e dτ = 1 − e
für 0 ≤ t < T
||
Tz 1⋅ e ⋅ e dτ = e ce − 1h für t ≥ T
Beispiel: f 1 t = e −t ⋅ σ t ;
f2 t = σ t − σ t − T
∞
2
− t −τ
1
τ =−∞
t
−t
τ
−t
τ
−t
0
T
−t
T
0
Faltungssatz:
Die Multiplikation im p-Bereich entspricht der Faltung im t-Bereich (und umgekehrt).
bg bg
F1 p ⋅ F2 p
Mathe-Formeln
bg bg
f1 t * f 2 t =
z
∞
bg b g
f 1 τ ⋅ f 2 t − τ dτ
τ =−∞
Seite 37
Laplacetransformation
8.3 Wichtige Korrespondenzen
bg
bg
F p
bg
f t
bg
F p
f t
p
a e a t − b eb t
a −b
1)
1
2)
1
p
bg
1 ⋅σ b t g
3)
1
p2
bg
4)
1
p n+1
tn
n!
21)
b p − bg
2
5)
a
p + a2
sin a t
22)
b p − bg
2
6)
p
2
p + a2
cos a t
23)
1
p
1
πt
7)
a
2
p − a2
sinh a t
24)
1
p+a
e −a t
πt
8)
p
p − a2
cosh a t
25)
9)
1
p−a
ea t
26)
10)
1
p p−a
ea t − 1
a
27)
t ⋅e
28)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
δ t
2
b
g
1
b p − ag
p
b p − ag
2
g
1
b1 + a pg
p
b1 + a pg
at
1− e
−
t
a
c
c
cp
cp
t
−
1
a
−
a
t
e
a3
b g
33)
e a t − eb t
a −b
34)
+a
2
hc
hc
hc p
+b
2
2
hc
+ a 2 p2 + b2
a3
2
+ a2
ap
2
cp
cp
32)
2
+a
ap
2
+a
h
h
a ⋅ sin a t − b ⋅ sin b t
a 2 − b2
h
a 2 ⋅ cos a t − b 2 ⋅ cos b t
a 2 − b2
1
sin a t − a t ⋅ cos a t
2
h
b
2
g
t
⋅sin a t
2
h
b
1
sin a t + a t ⋅ cos a t
2
h
2 2
h
cos a t −
2 2
h
1
b p − a gb p − bgb p − cg
Seite 38
t
a
cos b t − cos a t
a 2 − b2
1
p + 2 a p + a 2 + b2
2
−
a ⋅ sin b t − b ⋅ sin a t
a 2 − b2
2
+a
t
b
b g
2 2
p3
2
h
t
−
ebt ⋅ cos a t
p3
cp
31)
2
2
−e
a −b
−
+ a2
p2
cp
30)
2
2
t
a
ebt ⋅ sin a t
ab
p + a p2 + b2
p
2
2
p + a p2 + b2
2
−
ae b −be
ab a −b
+ a2
p−b
29)
t
−
1
a
⋅
⋅
t
e
a2
b p − a gb p − bg
Mathe-Formeln
at
1 − at
⋅e
a
1
p 1+ a p
b
20)
e
a
b1+ a t g e
2
1
1+ a p
1
19)
t ⋅σ t
2
b p − a gb p − bg
1
b1 + a pgb1 + b pg
p
b1 + a pgb1 + b pg
18)
g
at
⋅ sin a t
2
1 −a t
⋅ e ⋅ sin b t
b
c
b c − b ge + b a − c g e + b b − a g e
ba − bgba − cgbb − cg
at
−
bt
ct
Laplacetransformation
8.4 Ergänzungen
8.4.1 Laplacetransformation eines Rechteckimpulses
für 0 < t < T
b g RS10 sonst
= σ bt g − σ b t − T g
T
fT t =
1− e − Ti p
p
i
i
Verschiebt man diesen Impuls um T so erhält man nach dem Verschiebungssatz:
b g
1− e − Ti p −T p
⋅e
p
fT t − T
8.4.2 Laplacetransformation periodischer Funktionen
Die Funktion f0(t) sei auf 0 < t < T definiert, außerhalb dieses Intervalls sei f0(t)=0.
Durch periodische Fortsetzung für t > 0 entsteht die Funktion f(t) mit f(t+T)=f(t).
Für die zugehörige Laplacetransformierten gilt nun:
bg
f bt g
f0 t
bg
1
F b pg ⋅
1− e
F0 p
−T p
0
Beispiel: periodischer Rechteckimpuls
für 0 < t ≤ T
b g RS0A für
T <t ≤T
T
A 1− e
F b pg = ⋅
p 1− e
f t =
b g bg
f t +T = f t
i
i
− Ti p
−T p
8.4.3 Sprungfunktionen mit Verschiebeanteil
bg
b g
ACHTUNG: Funktionen wie z.B. f t = t 2 ⋅ σ t − 1 lassen sich nicht direkt mit Hilfe
des Verschiebungssatzes transformieren (weil einmal t und einmal t-1 als
Funktionsargument steht)!
Hier geht man z.B. folgendermaßen vor:
bg
1.) Verschiebung der Funktion f(t) im t-Bereich, so daß die Sprungfunktion zu σ t wird:
bg b g bg c
2
2 1
F b pg =
+
+
p
p
p
h bg
f * t = t +1 ⋅σ t = t2 + 2t +1 ⋅σ t
2
2.) Transformation von f*(t):
*
3
2
3.) Zurückschieben der Funktion im p-Bereich durch Anwendung des Verschiebungssatzes:
bg
bg
F p = e− p ⋅ F * p = e− p ⋅
FG 2 + 2 + 1 IJ
H p p pK
3
2
Man kann diese Funktion natürlich auch direkt über das Laplace-Integral transformieren,
häufig ist aber die Anwendung von Sätzen und Korrespondenzentabellen schneller!
Mathe-Formeln
Seite 39
Laplacetransformation
8.5 Anwendung: Lösung von DGL und DGL-Systemen
8.5.1 Allgemeines Lösungsverfahren
1.) Ausgangspunkt ist eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten.
2.) Die DGL mittels Laplacetransformation in eine algebraische Gleichung umformen.
3.) Lösung der algebraischen Gleichung im p-Bereich (Frequenzbereich).
4.) Rücktransformation dieser Lösungsfunktion in den t-Bereich ergibt die Lösung der DGL.
8.5.2 Lineare DGL 1. Ordnung
b g Anfangsbedingung: y(0)
Laplacetransformierte: p ⋅ Y b p g − y b0g + a ⋅ Y b p g = G b p g
G b p g + y b 0g
Lösung im p-Bereich: Y b p g =
Ausgangs-DGL:
y, + a y = g t
p+a
8.5.3 Lineare DGL 2. Ordnung
bg
Anfangsbedingungen: y(0), y'(0)
Laplacetransformierte: p ⋅ Y b pg − p ⋅ y b0g − y b 0g + a ⋅ p ⋅ Y b pg − y b0g + b ⋅ Y b pg = G b pg
G b p g + y b 0 g ⋅ b p + a g + y b 0g
Lösung im p-Bereich: Y b p g =
Ausgangs-DGL:
y ,, + a y , + b y = g t
2
,
,
p2 + a p + b
8.5.4 Zusätzliche Bemerkungen
1.) Die Lösung von DGL mit der Laplacetransformation ist vor allem dann vorteilhaft, wenn
man stückweise stetige Störfunktionen hat.
2.) Bei dieser Vorgehensweise werden die Anfangsbedingungen automatisch mit berücksichtigt. Sind die Anfangswerte unbekannt, oder nicht an der Stelle t = 0 gegeben, so schreibt
man statt der Terme y(0) bzw. y'(0) die Konstanten C1 bzw. C2 und erhält damit die allgemeine Lösung der DGL. Durch einsetzen der Anfangsbedingungen erhält man nun die
Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten und damit die spezielle Lösung des AWP.
Häufig ergibt sich aber mit dem Verschiebungssatz eine einfachere Lösungsmöglichkeit!
3.) Betrachtet man die Lösung der Bildfunktion (Gleichung im p-Bereich), so findet sich in
deren Nenner das charakteristische Polynom der DGL; die Nennernullstellen sind deren
Eigenwerte!
4.) Außerdem braucht man sich bei dieser Methode keine Gedanken über Resonanz machen,
da auch diese automatisch mitberücksichtigt wird.
8.5.5 Lösung von DGL-Systemen
Prinzip: 1.) DGL´s transformieren.
2.) Lösung des entstehenden LGS und damit Bestimmung der Bildfunktionen.
3.) Rücktransformation aller Bildfunktionen
oder Rücktransformation nur einer Bildfunktion und Bestimmung der anderen
Lösungsfunktionen über die DGL.
Mathe-Formeln
Seite 40
Laplacetransformation
8.5.6 Beispiel:
Bestimmung von x(t), y(t) und z(t) aus folgendem DGL-System mit Anfangsbedingungen:
x& =
bg
y b 0g = 0
z b 0g = 5
x 0 =0
z ,
y& = 2 x
z& =
,
−y + z ,
Transformation:
bg
Z b pg
pY b p g − 0 = 2 X b p g
p Z b pg − 5 =
−Y b p g + Z b p g
p X p −0=
⇒
pX
−2 X + pY
⇒
⇒
−Z
b g
Y + p −1 Z = 5
_________________________________________________________
−2Z = 0
p2 Y
UV
W
=0
=0
⋅2
+
⋅p
|UV +
⋅c − p h|
W
b g
c− p b p − 1g − 2h Z = −5 p
Y + p −1 Z = 5
_________________________________________________________
2
bg
⇒
Z p =
5 p2
PBZ:
h
2
p = −1:
p = 0:
5=5A
0 = 2 ⋅1 + C
p = 1:
5 = 1 + 2 B + 2 ⋅ −2
b g
⇒
⇒
A=1
C = −2
⇒
B=4
1
1
4p−2
1
2
Z p =
=
+ 4⋅ 2
+ 2
p +1 p − 2 p + 2 p +1
p − 2 p +1 +1
1
p −1
1
1
Z p =
+ 4⋅
+ 4⋅ ⋅
2
p +1
2 p −1 2 +1
p −1 +1
bg
bg
⇒
2
A
Bp + C
5 p2
5 p2
5 p2
= 3
=
=
+ 2
2
2
p −1 + 2 p − p + 2
p +1 p − 2 p + 2
p +1 ⋅ p − 2 p + 2
b g
b gc
= A c p − 2 p + 2 h + B p b p + 1g + C b p + 1g
p2
2
c
b g
p−
h
b g
(beim hinteren Term "4"
ausklammern und Nenner
quadratisch ergänzen!)
(den mittleren Term auf
"cos-Form" bringen und
den "Rest" wieder dazuzählen.)
Rücktransformation:
bg
z t = e − t + 4 ⋅ e t ⋅ cos t + 2 ⋅ e t ⋅ sin t
aus DGL:
d
c
h c
y = z − z& = e − t + 4 ⋅ e t ⋅ cos t + 2 ⋅ e t ⋅ sin t − − e − t + 4 ⋅ e t ⋅ cos t − e t ⋅ sin t + 2 ⋅ e t ⋅ sin t + e t ⋅ cos t
bg
hi
y t = 2 ⋅ e − t + 4 ⋅ e t ⋅ sin t − 2 ⋅ e t ⋅ cos t
x=
d
c
h c
1
1
⋅ y& = −2 ⋅ e − t + 4 ⋅ e t ⋅ sin t + e t ⋅ cos t − 2 ⋅ e t ⋅ cos t − e t ⋅ sin t
2
2
bg
hi
x t = − e − t + 3 ⋅ e t ⋅ sin t + e t ⋅ cos t
Mathe-Formeln
Seite 41
Laplacetransformation
9. Vektoranalysis
9.1 Differentialrechnung bei Funktionen mehrerer Variabler
9.1.1 Partielle Differentiation
Eine Funktion mehrerer Variabler wird partiell differenziert, indem man jeweils eine Variable
als veränderliche Variable und die anderen als Konstanten betrachtet. Am Beispiel einer
Funktion mit zwei Variablen sind dann:
b g
f x x, y =
∂f
= fx
∂x
b g
f y x, y =
und
∂f
= fy
∂y
b g
die partiellen Ableitungen (Ableitungsfunktionen) der Funktion z = f x , y nach der
Variablen x bzw. y, wobei die andere Variable (hier y bzw. x) als Konstante betrachtet wird.
Bei der Berechnung sind die üblichen Ableitungsregeln zu beachten!
b
g
Die partielle Ableitung einer Funktion wird in der Regel an einem bestimmten Punkt
P0 x0 , y0 benötigt und entspricht dann dem Tangens des Steigungswinkels der Kurve in der
entsprechenden Richtung. Man schreibt dann:
b
g b g
f x x0 , y0 = f x P0 =
b
g
∂f
∂f
x0 , y0 =
= tan α
∂x
∂ x bx , y g
0
b
g
b g
b
0
g
∂f
∂f
x0 , y0 =
= tan β
∂y
∂ y bx , y g
wobei α den Richtungswinkel in der y,z-Ebene und β den Richtungswinkel in der x,z-Ebene
darstellt.
f y x0 , y0 = f y P0 =
0
0
Den Wert der pariellen Ableitung erhält man durch einsetzen der Koordinaten des Punktes.
9.1.2 Tangentialebene und totales Differential
b g
b
Die Gleichung der Tangentialebene einer Funktion z = f x , y in einem Punkt P0 x0 , y 0 , z0
mit z 0 = f x0 , y0 berechnet sich zu:
b
g
b
gb
g b
gb
z = z0 + f x x0 , y0 ⋅ x − x0 + f y x0 , y0 ⋅ y − y0
g
g
b g
Die Tangentialebene entspricht einer linearisierten Näherung der Funktion z = f x , y in
einem bestimmten Punkt P0 x0 , y 0 , z0 .
b
g
b g
Unter dem totalen Differential dz einer Funktion z = f x , y zu den Zuwächsen dx und dy
versteht man den Zuwachs längs der Tagentialebene:
b
g
b
g
dz = f x x0 , y0 dx + f y x0 , y0 dy
dz =
∂f
∂f
dx +
dy = f x dx + f y dy
∂x
∂y
Mathe-Formeln
totales Differential an der Stelle (x0, y0)
totales Differential an der beliebigen Stelle (x, y)
Seite 42
Vektoranalysis
Beispiel:
b g
f b P g = 4 ⋅ 3 + b −1g = 13
f b P g = 2 ⋅ 3 ⋅ b −1g = −6
dz b3 / −1g = 13 dx − 6 dy
b
g
Partielle Ableitungen der Funktion z = f x , y = 2 x 2 + x y 2 im Punkt P0 3 / −1
fx = 4 x + y2
⇒
fy = 2x y
⇒
2
Totales Differential:
x
0
y
0
9.1.3 Kettenregel für Funktionen von 2 Variablen
b g
Hängen die Variablen x und y der Funktion z = f x , y von einem Parameter t ab, so erhält
man eine Abhängigkeit der z-Werte von diesem Parameter:
bg
bg bg
z = z t = f x t ,y t
Formales Dividieren des totalen Differentials dz durch dt liefert die Kettenregel für
Funktionen von 2 Variablen:
dz ∂ f dx ∂ f dy
=
⋅ +
⋅
dt ∂ x dt ∂ y dt
9.1.4 Höhere partielle Ableitungen und Satz von Schwarz
b g
b g
Bilden die partiellen Ableitungen f x x , y und f y x , y ebenfalls wieder Funktionen von 2
Variablen, so heißen deren partielle Ableitungen dann partielle Ableitungen 2. bzw. (noch)
höherer Ordnung.
In der Index-Schreibweise ergeben sich hier vier partielle Ableitungen der Form:
bf g
x x
= fxx ;
bf g
x y
= fxy ;
df i
y x
= fyx ;
df i
y y
= fyy
In der Differentialschreibweise erhält man hier (Reihenfolge beachten!):
FG IJ
H K
∂ ∂f
∂2f
=
;
∂x ∂x
∂ x2
fxy =
FG IJ
H K
∂ ∂f
∂2f
=
;
∂y ∂x
∂ y∂x
FG IJ
H K
∂ ∂f
∂2f
=
;
∂x ∂y
∂x∂ y
FG IJ
H K
∂ ∂f
∂2f
=
∂y ∂y
∂ y2
∂2f
∂2f
und f y x =
heißen gemischte partielle Ableitungen.
∂ y∂x
∂x∂ y
Nach dem Satz von Schwarz sind gemischte partielle Ableitungen unabhängig von ihrer
Reihenfolge, falls sie stetig sind.
Beispiel:
Mathe-Formeln
fxy = fyx ;
fxxy = fxyx = fyxx
Seite 43
(falls die Funktionen stetig sind!)
Vektoranalysis
9.2 Darstellungsformen von Kurven
In der Ebene
bg
F b x, y g = 0
x = xbt g; y = ybt g
F xbt g I
r
r bt g = G
H ybt gJK
y= f x
Explizite Form:
Implizite Form:
Parameterdarstellung:
Vektorielle Darstellung:
Im Raum
b g
F b x, y, z g = 0
x = xbt g; y = ybt g; z = zbt g
F xbt g I
r
r b t g = GG y b t gJJ
GH zbt g JK
z = f x, y
9.3 Tangentenvektor
F b gI
b g GG b gJJ = x&bt g ⋅ ir + y& bt g ⋅ rj + z&bt g ⋅ kr = dxdt ⋅ ir + dydt ⋅ rj + dzdt ⋅ kr
GH z&bt g JK
x& t
r&
r t = y& t
9.4 Gradient
b g c b gh c b g b gh
r
Bei einer Funktion z t = f r t = f x t , y t ist die Ableitung von z(t) nach t gleich der
Steigungsänderung von z(t) längs r(t). Die Berechnung erfolgt über das totale Differential und
die Kettenregel:
F I FG IJ
GH JK H K
bg
fx
x&
dz ∂ f dx ∂ f dy ∂ f
∂f
r
=
⋅ +
⋅
=
⋅ x& +
⋅ y& = f x ⋅ x& + f y ⋅ y& =
⋅
= grad f ⋅ r& t
fy
y&
dt ∂ x dt ∂ y dt ∂ x
∂y
F∂ f I
F f I G ∂ x JJ Gradient (Gradientenvektor) von z = f b x, y g .
Dabei heißt grad f = G J = G
H f K GG ∂ f JJ
H ∂yK
x
y
Für Höhenlinien gilt:
b g
f x , y = const
⇒
Daraus ergibt sich:
Mathe-Formeln
und
bg
r
grad f ⊥ r& t
bg
dz
r
= 0 = grad f ⋅ r& t
dt
b g
b g
Der Vektor grad f hat stets die Richtung des stärksten Anstiegs von
z = f x , y und ist in jedem Punkt P0 senkrecht zur Höhenlinie
f x , y = const .
Seite 44
Vektoranalysis
9.5 Vektorfelder und Potentialfelder
9.5.1 Skalar- und Vektorfelder
b
g
c h
Wird jedem Punkt P x , y (, z ) ∈ R 2 R 3 eine reelle Zahl zugeordnet,
b
g
so spricht man von einem Skalarfeld. Die Zahl u = f x , y , z heißt Potential.
R| Fr b x, y g = F F b x, y g I U|
GH F b x, y gJK |
|
R
U
Pb x , y g ∈ R
|
|
F b x , y , z g I V zugeordnet,
F
Wird jedem Punkt S
ein Vektor S
V
T Pb x, y, z g ∈ R W
|| Fr b x, y, z g = GG F b x, y, z gJJ ||
GH F b x, y, z gJK |W
|T
R ebenen UV Vektorfeld.
so spricht man von einem S
TräumlichenW
1
2
2
1
3
2
3
9.5.2 Potentialfelder
F b
gI
b
g GG b
g JJ heißt Potentialfeld,
GH c F b x, y(, z)ghJK
r
wenn ein Potential u = f b x , y (, z )g existiert, für das gilt: F b x , y (, z )g = grad u .
FG F = f = ∂ f IJ
∂f
∂f
Daraus folgt: F = f =
;
F = f =
;
∂x
∂y
∂z K
H
F1 x , y (, z )
r
Ein stetiges Vektorfeld F x , y (, z ) = F2 x , y (, z )
3
1
x
2
Integrabilitätsbedingungen:
y
3
z
r
F ist ein Potentialfeld, falls im:
ebenen Vektorfeld
räumlichen Vektorfeld
∂ F1 ∂ F2
=
= fyx
∂y
∂x
∂ F ∂ F3
fxz = 1 =
= fzx
∂z
∂x
∂ F2 ∂ F3
f yz =
=
= fz y
∂z
∂y
fxy =
fxy =
∂ F1 ∂ F2
=
= fyx
∂y
∂x
b
g
Die Potentialfunktion f x , y (, z ) erhält man durch Integration über die Feldkoordinaten:
R|z F b x, y, z g dx + g b y, z g
|
f b x , y , z g = S z F b x , y , z g dy + g b x , z g
|| F b x, y, z g dz + g b x, y g
Tz
R|z F b x, y g dx + g b y g
f b x, y g = S
|Tz F b x, y g dy + g b x g
1
2
Mathe-Formeln
1
2
Seite 45
1
1
2
2
3
3
Vektoranalysis
Beispiel:
F∂ f I
G ∂ x JJ
F I F 2 x y + 2 z sin b x g cosb x gI G
F
r
G
JJ = G ∂ f J
Gegeben ist ein Vektorfeld F = G F J = G x + z
GG ∂ y JJ
GH F JK G y + sin b x g
J
H
K G∂ f J
GH ∂ z JK
1
2
2
2
3
Handelt es sich um ein Potentialfeld? Wenn ja, wie lautet die Potentialfunktion?
1.) Die Integrabilitätsbedingungen ergeben:
bg bg
∂ F1
∂F
= 2x = 2 ;
∂y
∂x
∂ F1
∂F
= 2 sin x cos x = 3 ;
∂z
∂x
∂ F2
∂F
=1= 3
∂z
∂y
d.h. es handelt sich um ein Potentialfeld.
2.) Zur Bestimmung der Potentialfunktion geht man hier am einfachsten so vor:
es gilt:
F2 = x 2 + z =
g z c x + zh dy + gb x, zg = x y + zy + gb x, zg
b
∂f
⇒ f x, y, z =
∂y
2
2
b g b g ∂∂ xf =! 2 x y + ∂ g∂b xx, zg
∂ gb x, z g
= 2 z sin b x g cosb x g
∂x
weiter gilt: F1 = 2 x y + 2 z sin x cos x =
⇒
und:
b g ∂∂ zf =! y + ∂ g∂b xz, zg
∂ gb x, z g
= sin b x g
F3 = y + sin 2 x =
⇒
(aus (1))
(2)
(aus (1))
2
(3)
∂z
b g z bg
bg bg
!
∂ gb x, zg
= 2 z sinb x g cosb x g + h b x g = 2 z sinb x g cosb x g
∂x
⇒
h b xg = 0
⇒
hb x g = c
jetzt wird aus (3): g x , z = sin 2 x dz = z ⋅ sin 2 x + h x
und aus (4), (2):
(1)
(4)
′
′
(5)
aus (1), (4) und (5) folgt schließlich:
b
g
bg
f x , y , z = x 2 y + zy + z ⋅ sin 2 x + c
Mathe-Formeln
Seite 46
Vektoranalysis
9.6 Linienintegrale (Arbeits-/Kurvenintegrale)
9.6.1 Definition des Linienintegrals
r
r
r
Es sei F x , y , z ein Vektorfeld, r t eine Raumkurve C (mit t1 ≤ t ≤ t 2 ) und r& t der
r
Tangentenvektor an diese Kurve, dann ist das Linienintegral des Vektorfeldes F längs der
Kurve C definiert als:
t2
t2
r r
r
C
r C
r
W = F r t dr =
F1 dx + F2 dy + F3 dz = F1 ⋅ x& + F2 ⋅ y& + F3 ⋅ z& dt = F t ⋅ r& dt
b
g
z
bg
bg
zb
bg
g zb
9.6.2 Bemerkungen zum Linienintegral
1.) Es gilt:
g
t1
r
r& dr
r=
dt
F
GG
H
I
JJ
K
F
GG
H
bg bg
I
JJ
K
r
r
2.) Ist C geschlossen, also r t1 = r t 2 , so schreibt man das Umlaufintegral
z
zd
z
z
3.) Wird C in umgekehrter Richtung durchlaufen (Schreibweise: -C),
r r
r r
−C
C
dann gilt:
F dr = − F dr
C
4.) Weiter gilt:
C
i
z
z
z
r r r C r r C r r
F1 + F2 dr = F1 dr + F2 dr ;
r r
r r
C
K ⋅ F dr = K ⋅ F dr
bg
z
r r
F dr
t1
dx
x& dt
r
r
dr = dy = y& dt = r& ⋅ dt
dz
z& dt
⇒
z
C1
z
z
C
z
r r C2 r r C1 +C2 r r
F dr + F dr =
F dr
5.) Das Linienintegral hängt im allgemeinen stets vom gewählten Weg ab!!!
9.6.3 Wegunabhängiges Linienintegral im Potentialfeld
r
Gegeben ist ein Vektorfeld F x , y , z und ein Skalarfeld f x , y , z . Das Linienintegral
r r t2 r r
C
F dr = F ⋅ r& dt
ist wegunabhängig, wenn:
b
z
g
z
b
g
b
g
t1
r r
1.) F dr das totale Differential du der Funktion u = f x , y , z ist:
r r
du = F dr = F1 dx + F2 dy + F3 dz = f x dx + f y dy + f z dz
r
2.) F als Gradient einer Potentialfunktion u = f x , y , z darstellbar ist:
F1
f1
r
F = F2 = f 2 = grad u
F3
f3
F
GG
H
I
JJ
K
F
GG
H
b
I
JJ
K
g
3.) die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, d.h. des Vektorfeld ein Potentialfeld ist.
Folgerungen der Wegunabhängigkeit:
r r
1.) Es gilt: F dr = 0 , falls keine Singularität im innern des Integrationsweges liegt!
z
2.) Das Linienintegral läßt sich über die Potentialdifferenz zweier Punkte berechnen:
P2
r r
c F dr = f P2 − f P1
z
b g b g
P1
Mathe-Formeln
Seite 47
Vektoranalysis
Beispiele:
LM
LM t OP
OP
r
b g M
und
C: r b t g = 1 − t 1 ≤ t ≤ 2
MM t PP
P
MN
PQ
N Q
LM t ⋅ b1 − t g OP LM t − t OP
LM 1 OP
r r
r&
und
r b t g = −1
F r b t g = Mt + b1 − t g ⋅ t P = M2 t − t P
MM2 t PP
MN t ⋅ t PQ MN t PQ
N Q
r r
r r
F
dr
=
F
z z r btg ⋅ rr&bt g dt = z 1⋅ ct − t h − 1⋅ c2 t − t h + 2 t ⋅ t dt = 10,65
xy
r
2
1.) Gegeben: F x , y , z = x + y z
xz
2
2
2
nun ist:
2
2
2
⇒
C
2
3
3
2
2
1
2
3
3
1
2.) Wichtig ist für diese Vorgehensweise, daß die Kurve in Parameterform oder in
vektorieller Darstellung gegeben und der Wertebereich des Parameters angegeben ist.
Ist die Kurve anders definiert, so muß ein Parameter eingeführt werden, z.B.:
Gegebene Kurve C: Gerade zwischen A(1/0) und B(0/1)
b g LM bb ggOP mit Parameter t ≤ t ≤ t , nun muß x(t) und y(t) so bestimmt
N Q
r F 1I
r F 0I
r
r
werden, daß zur Zeit t : r b t g = A = G J und zur Zeit t : r b t g = B = G J wird;
H 0K
H 1K
L1 − t OP 0 ≤ t ≤ 1
r
dies ist erfüllt für: r b t g = M
NtQ
⇒
x t
r
r t =
y t
1
2
1
2
3.) Ein magnetisches Feld um einen geraden stromdurchflossenen Leiter auf der z-Achse
r
1
H x, y, z = 2
hat die Form:
− y; x; 0
x + y2
cos t
r
Das Linienintegral eines Kreises um den Leiter wird mit C: r t = sin t
0 ≤ t ≤ 2π
0
− sin t
− sin t
r r
r r 2π
r&
zu: H dr = sin 2 t + cos 2 t dt = 2 π
und: H r t = cos t
, r t = cos t
0
0
0
b
g
F b gI
b g GG b g JJ
H
K
b
g
LM b gOP
b g M b gP
MN PQ
z
z
LM b gOP
b g M b gP
MN PQ
bg bg
wenn C den Leiter in z-Richtung umschließt (Singularität)!
Für jede andere geschlossene Kurve, die den Leiter nicht umschließt gilt:
r
4.) Das elektrische Feld um eine Punktladung hat die Form: E = K ⋅
Die Potentialfunktion lautet:
bg
bg
−ϕ P = ϕ* P = − K ⋅
e
e
z
1
x2 + y2
1
x2 + y2 + z2
j
r r
H dr = 0
F xI
GG yJJ
+ z j H zK
2
3
3
b g b g
Damit ergibt sich eine Spannung als Potentialdifferenz: U = ϕ P2 − ϕ P1
Mathe-Formeln
Seite 48
Vektoranalysis
10. Wahrscheinlichkeitsrechnung
10.1 Kombinatorik
10.1.1 Geordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Die Anzahl N der möglichen Variationen von k aus n Elementen ist:
(Variationen ohne Wiederholung)
N=
b
g bg
n!
= n
n−k !
k
Sonderfall k = n : Anzahl der Permutationen n verschiedener Elemente:
N = n!
10.1.2 Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Die Anzahl N der möglichen Kombinationen von k aus n Elementen ist:
(Kombinationen ohne Wiederholung)
Elemente
64444k4
744444
8
n
n k
n ⋅ n − 1 ⋅ n − 2 ⋅...⋅ n − k + 1
n!
;
N=
=
=
=
k
1 ⋅ 2 ⋅ 3⋅...⋅k
k!
k !⋅ n − k !
FG IJ b g
HK
b
g
b gb
g b
g
FG nIJ = FG n IJ
H kK H n − kK
Für die Anzahl N der Permutationen von n Elementen mit 1, 2, ... Gruppen von n1, n2, ...
gleichen Elementen gilt:
N=
n!
n1 !⋅ n2 !⋅...
10.1.3 Geordnete Stichproben mit Zurücklegen
Es werden k von n Elementen gezogen; Anzahl N der möglichen Anordnungen:
(Variationen mit Wiederholung)
N = n ⋅ n ⋅ n⋅... = n k
10.1.4 Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen
Es werden k von n Elementen gezogen; Anzahl N der möglichen Anordnungen:
(Kombinationen mit Wiederholung)
N=
FG n + k − 1IJ
H k K
10.1.5 Überlegung mit Baumdiagramm
Sehr schnell geht so eine Überlegung, wenn man sich ein Baumdiagramm erstellt, und dann
die Zahl der Äste pro Ebene miteinander multipliziert! Dies ist natürlich nur bei einer relativ
kleinen Ereignismenge möglich.
Mathe-Formeln
Seite 49
Wahrscheinlichkeitsrechnung
10.2 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
10.2.1 Gleichwahrscheinlichkeit
b g ΩA
pb Ω g = 1;
c h
Es gilt: p A =
und
p A =
und:
p ∅ = 0;
b g
bg
Ω− A
= 1− p A
Ω
bg
0 ≤ p A ≤1
10.2.2 Additionssatz
b
Ω ... Ereignismenge
g bg bg b g
p AU B = p A + p B − p A B
b g b
p A B = p AI B
mit:
g
oder mit Gegenereignis für drei Ereignisse
b
g
c
p AU BU C = 1− p A B C
h
b g
Wenn sich die Ereignisse gegenseitig ausschließen (disjunkte Ereignisse!), gilt: p A B = 0
g ppb bABBgg = ABB
pb A B g A B
Wahrscheinlichkeit von B, wenn A schon eingetreten ist: pb B / Ag =
=
p b Ag
A
Außerdem gilt: pb A Bg = pb Ag ⋅ pb B / Ag = pb Bg ⋅ pb A / Bg
Zwei Ereignisse A, B mit pb Ag ≠ ∅ und pb B g ≠ ∅ heißen unabhängig, falls:
p b A B g = p b Ag ⋅ p b B g
oder pb A / B g = pb Ag
p b B / Ag = p b B g
10.2.3 Multiplikationssatz
b
p A/ B =
Wahrscheinlichkeit von A, wenn B schon eingetreten ist:
10.2.4 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Gegeben seien die Ereignisse A1, A2, ... , An mit:
A1 U A2 U ... U An = Ω
und
Ai I A j = ∅
Dann gilt für ein beliebiges Ereignis B ⊂ Ω :
bg b g b
g
b g b
i≠ j
für
g
n
b g b
p B = p A1 ⋅ p B / A1 + ... + p A n ⋅ p B / An = ∑ p A k ⋅ p B / Ak
Disjunkte Zerlegung: B = A1 B U A2 B U ... U An B
k =1
g
Ω
Mathe-Formeln
Seite 50
Wahrscheinlichkeitsrechnung
10.2.5 Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Bei einem zusammengesetzten Zufallsexperiment erhält man
1.) die Wahrscheinlichkeit für Elementarereignisse, indem man die Wahrscheinlichkeiten
längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm multipliziert (Pfadregel).
2.) die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller
zu A gehörenden Elementarereignisse addiert (Summenregel).
10.2.6 Satz von Bayes
b
g pb Agp⋅ bpBb Bg / Ag
p A/ B =
Zerlegung von Ω in Ω = A1 U A2 mit A1 = A und A2 = A
⇒
⇒
bg bg b g c h c h
pb Ag ⋅ pb B / Ag
pb A / B g =
pb Ag ⋅ pb B / Ag + p c A h ⋅ pc B / A h
p B = p A ⋅p B/ A + p A ⋅p B/ A
10.2.7 Binomialverteilungen
Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen mit den Einzelwahrscheinlichkeiten p
- genau k mal Erfolg zu haben:
b g FGH nkIJK ⋅ p ⋅ b1 − pg = f b k; n; pg
f b k ; n; p g = f b n − k ; n;1 − pg
p Ak =
n− k
k
B
B
0≤ k ≤n
B
- höchstens k mal Erfolg zu haben (kein mal, ein mal, zwei mal, ... , k mal):
pb x ≤ k g = ∑ f b i; n; p g
k
B
i=0
- mindestens k mal Erfolg zu haben:
b
g
b
g
b
n
p x ≥ k = ∑ f B i; n; p
i= k
b
g
g
b
g
k −1
b
p x ≥ k = 1 − p x ≤ k − 1 = 1 − p x < k = ∑ f B i; n; p
i =0
g
- mindestens k mal und höchstens m mal Erfolg zu haben (k < m):
b
g
m
b
p k ≤ x ≤ m = ∑ f B i; n; p
Mathe-Formeln
i= k
g
Seite 51
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Besondere Werte trigonometrischer Funktionen
15°
sin
cos
tan
cot
-330°
-315°
-300°
-270°
-240°
-225°
-210°
-180°
-150°
-135°
-120°
-90°
-60°
-45°
-30°
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
20°
π
π
π
π
π
π
2π
3π
5π
7π
5π
4π
3π
5π
π
3
4
6
6
4
3
2
3
12
9
6
4
3
2
0,2617 0,3490 0,5235 0,7853 1,0471 1,5707 2,0943 2,3561 2,6179 3,1415 3,6651 3,9269 4,1887 4,7123 5,2359
π
π
11π
7π
5π
3π
4π
5π
7π
5π
3π
2π
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
π
2
3
6
4
3
2
3
4
6
6
4
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
−
2 −
−
3
2
3
3
2
−
0,2588 0,3420
1
0
-1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
−
3 −
−
2 −
2 −
3
2
−
0,9659 0,9396
0
-1
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
−
0,2679 0,3639
-1
1
0
1
3
− 3
3
− 3
3
3
3
1
1
1
1
−
−
3,7320 2,7474
1
0
-1
1
0
3
− 3
3
3
3
3
3
1
2 = 0, 7071
2
1
3 = 0, 8660
2
1
= 0, 5773
3
3 = 1, 7320
FG
H
bg
sin x = cos x −
π
2
IJ
K
bg
tan x =
−
5π
2
−2 π
−
» 1997 by Frank Flatten
3π
2
−π
−
π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
FG
H
bg
cos x = sin x +
bg
bg
sin x
cos x
π
2
IJ
K
7π
11π
2π
4
6
5,4977 5,7595 6,2831
π
π
−
−
0
4
6
1
1
−
2 −
0
2
2
1
1
2
3
1
2
2
1
−
-1
0
3
b=
-1
α⋅π
180°
− 3
α=
-
180°⋅b
π