Übungsblatt 0
mit Lösungshinweisen
Lineare Algebra und Geometrie I – WS 2021/2022
Akad. Rätin Dr. Cynthia Hog-Angeloni
Dr. Anton Malevich
Aufgabe 0.1 Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
a) 0 < 1 ∨ 1 ≥ 2,
b) 0 > 1 ∧ 1 ≤ 2,
c) 0 < 1 ⇒ 1 ≤ 2,
d) 0 > 1 ⇔ 1 ≥ 2.
Bilden Sie die Negationen der obigen Aussagen. Sorgen Sie dafür, dass in den negierten
Aussagen das Zeichen ¬ nicht mehr vorkommt.
Lösung.
a) wahr ∨ falsch ist wahr. Negation: 0 ≥ 1 ∧ 1 < 2.
b) falsch ∧ wahr ist falsch. Negation: 0 ≤ 1 ∨ 1 > 2.
c) wahr ⇒ wahr ist wahr. Negation: 0 < 1 ∧ 1 > 2.
d) falsch ⇔ falsch ist wahr. Negation: (0 > 1 ∧ 1 < 2) ∨ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≥ 2).
Aufgabe 0.2 Konstruieren Sie die Wahrheitstafeln für die folgenden Aussagen.
a) (¬A ⇒ A) ⇒ A,
b) ¬A ⇒ (B ∧ ¬B) ⇒ A,
c) (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)],
Lösung.
a) (¬A ⇒ A) ⇒ A.
A ¬A ¬A ⇒ A (¬A ⇒ A) ⇒ A
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b) ¬A ⇒ (B ∧ ¬B) ⇒ A.
A B ¬A ¬B B ∧ ¬B ¬A ⇒ (B ∧ ¬B)
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¬A ⇒ (B ∧ ¬B) ⇒ A
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c) (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)].
A B C A ∨ B (A ∨ B) ∨ C B ∨ C A ∨ (B ∨ C)
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S. 1/3
Lineare Algebra und Geometrie I (Blatt 0)
S. 2/3
Da die grünen Spalten identisch sind, sind die entsprechenden Aussagen äquivalent.
Aufgabe 0.3 Es sei A = { x ∈ N | x teilt 18}.
a) Wieviel Elemente hat A? Geben Sie A explizit an.
b) Es sei nun B = { x ∈ N | 4 < x ≤ 9}. Bestimmen Sie A ∩ B, B ∪ A, B \ A, A \ B.
Lösung.
a) A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, |A| = 6.
b) Es gilt B = {5, 6, 7, 8, 9} und daher:
A∩B = {6, 9}, B ∪A = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 18}, B \A = {5, 7, 8}, A\B = {1, 2, 3, 18}.
Aufgabe 0.4
a) Skizzieren Sie zu den folgenden Mengen die Venn-Diagramme.
B \ C,
A ∩ B,
A ∩ (B \ C),
A \ (B ∩ C),
(A ∩ B) \ C,
A \ (B ∪ C).
b) Schreiben Sie zu jedem der folgenden Venn-Diagramme eine passende “Formel” aus.
Lösung.
a)
b) A ∪ C, A ∩ C, A ∪ (B \ C), A ∩ (B ∪ C) ∪ (B ∩ C) sowie
A \ (B \ C) ∪ B \ (A \ C) ∪ C \ (A \ B) ∪ A ∩ B ∩ C .
Aufgabe 0.5 Es sei A = {1, 2, 3, 4, 5}. Zählen Sie alle
a) Teilmengen von A mit genau einem Element,
b) Teilmengen von A mit genau zwei Elementen,
c) Teilmengen von A mit maximal zwei Elementen,
d) Teilmengen von A, die die Elemente 1, 2 und 3 enthalten,
e) Teilmengen von A, die das Element 5 enthalten,
f) Teilmengen von A
auf.
Lineare Algebra und Geometrie I (Blatt 0)
Lösung.
S. 3/3
a) |{{1} , {2} , {3} , {4} , {5}}| = 5.
b) |{{1, 2} , {1, 3} , {1, 4} , {1, 5} , {2, 3} , {2, 4} , {2, 5} , {3, 4} , {3, 5} , {4, 5}}| =
5
2
= 10.
c) Leere Teilmenge (mit 0 Elementen), die Teilmengen aus a) und b), also 1+5+10 = 16.
d) |{{1, 2, 3} , {1, 2, 3, 4} , {1, 2, 3, 5} , {1, 2, 3, 4, 5}}| = 4.
e) 24 = 16.
f) |P(A)| = 25 = 32.