Physikalisches Institut
Universität Bonn
Theoretische Physik
Übungsblatt 1
16.04.2021
Sommersemester 2021
Quantenmechanik
Prof. Dr. Albrecht Klemm, Kilian Bönisch und Sören Kotlewski
Abgabedatum: 23.04.2021
–Informationen–
Wir können unter nachfolgenden E-Mail-Adressen kontaktiert werden:
aklemm@th.physik.uni-bonn.de
kilianboenisch@uni-bonn.de
kotlewski@th.physik.uni-bonn.de .
Aufgrund der anhaltenden Covid-19 Pandemie wird der Übungsbetrieb auch dieses Semester
wieder digital stattfinden. Falls noch nicht geschehen, melden Sie sich hierzu bitte zu einer
der Übungsgruppen auf unserer Ecampus-Website an. Die Zugangsdaten zum Zoom-Raum der
Übungsgruppe werden Ihnen dann von Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor mitgeteilt.
Die Übungsblätter werden freitags auf der Ecampus-Kursseite veröffentlicht und sind bis zum
darauf folgenden Freitag (12:00 Uhr) in digitaler Form abzugeben. Die Abgabe Ihrer Lösungen
erfolgt in Absprache mit Ihrer Tutorin/ Ihrem Tutor.
Es darf maximal in Zweiergruppen abgegeben werden. Um zur Klausur zugelassen zu werden,
müssen mindestens 50% der Punkte auf den Übungszetteln erreicht werden.
Dieses erste Übungsblatt wird sowohl Anwesenheitsaufgaben, die im ersten Tutorium besprochen
werden, als auch Hausaufgaben enthalten, die bis zum 23.04.2021 abgegeben werden können und
in der darauf folgenden Woche besprochen werden.
–Anwesenheitsaufgaben–
A1.1 Fouriertransformationen
Fouriertransformationen bilden ein zentrales Werkzeug in der Analyse von partiellen Differentialgleichungen und damit insbesondere in der Wellenmechanik und der Quantentheorie.
In dieser Aufgabe wollen wir uns mit der formalen Definition der Fouriertransformation vertraut machen, wichtige Eigenschaften beweisen und eine Transformation explizit durchführen.
Eine Anwendung der Fouriertransformation zur Lösung der freien Schrödinger-Gleichung wird
in Aufgabe A1.2 diskutiert.
1
Sei f : Rn → C eine integrierbare Funktion. Die Fouriertransformierte von f (~x) ist gegeben
durch die Funktion
Z
dn x −i~k·~x
˜
~
~
e
f (~x)
f (k) = F[f ](k) :=
(2π)n/2
In der Physik wird diese Funktion auch Spektralfunktion genannt.
a) Zeigen Sie, dass für g(~x) = f (~x +~a) und h(~x) = f (λ~x) (wobei ~a ∈ Rn und λ ∈ R konstant
sind) die Fouriertransformierten gegeben sind durch
1 ˜~
h̃(~k) = F[h](~k) =
f (k/λ)
|λ|n
~
g̃(~k) = F[g](~k) = eik·~a f˜(~k),
b) Zeigen Sie: Die Fouriertransformation ist eine Lineare Abbildung, das heißt
F[f + g](~k) = F[f ](~k) + F[g](~k),
F[µf ](~k) = µF [f ](~k)
für beliebige integrierbare Funktionen f, g und µ ∈ C konstant.
c) Definieren wir zusätzlich die Faltung zweier Funktionen f, g : Rn → C als
Z
(f ? g)(~x) := dn y f (~y )g(~x − ~y ),
so können wir auch die Fouriertransformierte eines Produkts von Funktionen berechnen.
Zeigen Sie:
1
F[f · g](~k) =
(F[f ] ? F[g])(~k)
(2π)n/2
d) Überprüfen Sie, dass die inverse Fouriertransformation F −1 gegeben ist durch
Z
dn k i~k·~x ˜ ~
−1 ˜
F [f ](~x) =
e f (k).
(2π)n/2
e) Im Umgang mit Differentialgleichungen ist von besonderem Interesse, wie sich die Fouriertransformation zusammen mit Ableitungen verhält. Berechnen Sie dazu die Fouriertransformierte der Funktion ϕj (~x) = ∂x∂ j f (~x) sowie die partielle Ableitung der Fouriertransformierten von f . Sie sollten die folgenden Ergebnisse finden1 :
F[ϕ](~k) = F[∂xj f (~x)](~k) = ikj F[f ](~k),
∂
F[f ](~k) = −iF[xj · f ](~k)
∂kj
Hinweis: Nehmen Sie für die erste Relation an, dass es sich bei der Funktion f um eine
”Schwartz-Funktion” handelt, das bedeutet, dass sie beliebig oft stetig differenzierbar ist
und dass im Grenzwert xj → ±∞ die Funktion f , sowie all ihre Ableitungen schneller
verschwinden, als jedes Polynom.
1
Diese Resultate zeigen, weshalb die Fouriertransformation bei der Lösung partieller Differentialgleichungen
sehr nützlich ist. Dank ihr können Differentialoperatoren in ”gewöhnliche” Funktionen transformiert werden
(∂xj ↔ ikj ).
2
2
f) Betrachten Sie eine Gaußsche Glockenkurve G(x) = e−x /2 (in einer Dimension). Überzeugen
Sie sich, dass ihre Fouriertransformierte G̃(k) wieder eine Gaußsche Glockenkurve ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass für <(a) > 0 das sogenannte Gauß-Integral den Wert
r
Z ∞
π
−ax2
dxe
=
a
−∞
hat. Betrachten Sie hierzu das Quadrat dieses Integrals und berechnen es unter Verwendung ebener Polarkoordinaten.
Die Fouriertransformation kann dann durch eine quadratische Ergänzung auf die Form
eines solchen Gauß-Integrals zurückgeführt werden.
A1.2 Materiewellen
Die Schrödingergleichung eines freien Teilchens lautet:
i~
∂
~2
ψ(~x, t) = −
∆ψ(~x, t) .
∂t
2m
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung kann durch eine (inverse) Fouriertransformation gefunden werden:
Z
d3 k
ψ(~x, t) =
x · ~k)ψ̃(~k, t) .
3 exp(i~
(2π) 2
a) Setzen Sie diesen Ansatz in die freie Schrödingergleichung ein. Leiten Sie hieraus eine
lineare, gewöhnliche Differentialgleichung für ψ̃(~k, t) her.
b) Lösen Sie die Differentialgleichung für ψ̃(~k, t) unter Verwendeung der Startbedingung
ψ̃(~k, t = 0) = ψ̃0 (~k).
c) Interpretieren Sie die gefundene Lösung für ψ(~x, t) physikalisch.
–Hausaufgaben–
H1.1 Teilchencharakter von Licht
(10 Punkte)
Die Beobachtungen, dass sich elektromagnetische Wellen auch teilchenartig verhalten können
und Teilchen Eigenschaften von Wellen besitzen, wenn die Wirkung S des entsprechenden Systems in der Größenordnung von ~ liegt, haben den Weg zur Quantentheorie geebnet. In dieser
Aufgabe wollen wir noch einmal zwei der Experimente, die den Teilchencharakter von Licht
zeigen, genauer betrachten.
a) Der Photoelektrische Effekt:
Wir betrachten den photoelektrischen Effekt an einer Kupferplatte. Die Austrittsarbeit
eines Elektrons beträgt EA = 4.4 eV. Durch das Anlegen einer Gegenspannung von U =
2.0 V verschwindet der Photostrom.
3
(i) Beschreiben Sie kurz das Experiment zum Photoelektrischen Effekt (z.B. anhand
einer Skizze) und erläutern Sie Einsteins Interpretation der Beobachtungen. Welche
Rolle spielen die Frequenz und die Intensität des eingestrahlten Lichtfeldes?
(2 Punkte)
(ii) Wie groß muss die Wellenlänge der Photonen in dem oben beschriebenen Aufbau
mindestens sein?
(3 Punkte)
b) Der Compton-Effekt:
Ein Photon der Frequenz ν wird an einem Elektron gestreut, das anfänglich in Ruhe ist.
Das Photon wird mit einem Winkel ϑ gestreut. Ziel dieser Aufgabe ist es, die Frequenz
ν 0 des gestreuten Photons zu bestimmen.
(i) Welche Relation für ν, ν 0 und p~e 0 folgt aus der Energieerhaltung?
Hinweis: Bei solchen Streuexperimenten ist das Elektron als relativistisches Teilchen
zu behandeln.
(1 Punkt)
(ii) Wie hängt der Betrag des Photonen-Impulses mit der Frequenz des Lichtes zusammen? Nutzen Sie dies um die Impulserhaltung zu formulieren.
Hinweis: Das Koordinatensystem kann so gewählt werden, dass die Bewegung des
ganzen Systems in einer Ebene stattfindet.
(2 Punkte)
(iii) Bestimmen Sie schließlich die Frequenz ν 0 des gestreuten Photons.
(2 Punkte)
H1.2 Wellencharakter von Elektronen - Das Doppelspalt-Experiment
(10 Punkte)
Im Folgenden betrachten wir ein typisches Doppelspalt-Experiment mit Elektronen. Ein Elektronenstrahl treffe auf eine Blende mit zwei kleinen Spalten, die sich im Abstand d voneinander
befinden. Im Abstand L d hinter der Blende wird die Intensität des eintreffenden Elektronenstrahls auf einem Schirm gemessen.
Wir wollen dieses Experiment jetzt mit dem Formalismus der Materiewellen genauer analysieren.
Betrachten Sie dazu eine einlaufende monochromatische Materiewelle mit Wellenvektor ~k.
Hinter den beiden Spalten der Blende breiten sich jeweils kugelförmige Wellenfronten aus. Diese
Kugelwellen werden beschrieben durch2
ψ1/2 (r, t) = ψ0 exp i(k r1/2 − ω0 t)
wobei r1/2 den Abstand vom Messpunkt zum Spalt 1 bzw. zum Spalt 2 beschreibt.
2
Aufgrund der kugelförmigen Ausbreitung dieser Wellen, ist ihre Amplitude ψ0 eigentlich nicht konstant, sondern
fällt mit 1/r ab. Da wir in dieser Aufgabe L d betrachten, ist der Unterschied in den Amplituden der
beiden Kugelwellen sehr klein und kann vernachlässigt werden.
4
a) Bestimmen Sie die resultierende Wellenfunktion ψ(x, t) auf dem Schirm. Hier beschreibt
x die Position auf dem Schirm3 .
Hinweis: Materiewellen genügen dem Superpositionsprinzip. Drücken Sie den Abstand r2
durch den Abstand r1 , sowie einen Weglängen-Unterschied ∆s aus. Wie hängt ∆s von
den Parametern L und d des Doppelspalts, sowie der Messposition x ab?
(5 Punkte)
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 , mit der ein Elektron am
Ort x zur Zeit t gemessen wird.
(3 Punkte)
c) Auf dem Schirm wird ein Interferenz-Muster des Elektronenstrahls beobachtet. Angenommen, die Elektronen haben einen Impuls p. An welchen Positionen xn auf dem Schirm
maximiert sich die Wahrscheinlichkeitsdichte der Elektronen?
(2 Punkte)
3
Betrachten Sie den Schirm nur eindimensional entlang der Richtung, in der auch die Spalten angeordnet sind.
5