Zusammenfassung NuS II

Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Version 12.8.2022 Komplexe Wechselstromrechnung Zeigerdefinition � jy û = ûej 'u Komplexer Zeiger 2 Die Länge des (Spitzenwert-)Zeigers ist gleich dem Spitzenwert der sinusförmigen Spannung u(t). Phasenverschiebung 'u = arctan � 3� 2 ωt1 ωt2 = û cos(!t + 'u ) Zeitverlauf ωt 1 u 0 x M Im{û} Re{û} u(t) = Re{ûej !t } dazugehöriger ωt 2 u 0 u � 2 � Bemerkung: Der betrachtete Zeiger ist über die Kosinusfunktion definiert. Zeiger können generell vektoriell addiert/subtrahiert werden, wenn diese sinusförmige Grössen mit derselben Frequenz beschreiben. Allgemein gilt: ! = 2⇡f 3� 2 ωt Kenngrössen periodischer Grössen (Periode T ) ū = Mittelwert 1 T |ū| = Gleichrichtwert Z 1 T s t0 +T u(t) dt t0 Z t0 +T t0 U = Uef f = E↵ektivwert |u(t)| dt Für sinusförmige Grössen gilt |ū| = Di↵erentiation d dt 2û ⇡ 1 T Z t0 +T û p 2 und U = u2 (t) dt t0 ) û = p 2U Strom-/Spannungs-Beziehungen der Bauelemente R Integration Spannung (zeitabhängig) Strom dt ! 1/j ! ! j! Widerstand Induktivität Kondensator û = R · î û = j!L · î û = u(t) = R · i(t) î = 1 R uL (t) = L · · û î = 1 j!L diL (t) dt · û i(t) = 1/R · u(t) iL (t) = i(0) + 1/L Impedanz ZR = R Z L = j !L = jXL Admittanz YR = 1 R =G Zeiger 'u = 'i i 'u = 'i + Strom und Spannung in Phase ⇡ 2 · î uC (t) = u(0) + 1/C R î = j!C · û R ic (t) dt duC (t) dt iC (t) = C · uL (t) dt Z C = 1/j !C = jXC mit XC = 1/!C Y L = 1/j !L = jBL mit BL = 1/!L u 1 j!C Y C = j!C = jBC u ' u = 'i i In Induktivitäten, die Ströme sich verspäten ⇡ 2 i u Der Strom eilt vor im Kondensator Transformatorgleichungen (Bild rechts) u1 = L 1 di1 dt M di2 dt und u2 = M di1 dt L2 di2 dt û1 = j!L1 · î1 bzw. p - M = k L1 L2 : Gegeninduktivität (! magnetische Kopplung) - Transformation von Komponenten von Sekundär- auf Primärseite (ü = N1 /N2 ): R0 = Rü2 , C 0 = C/ü2 , L0 = Lü2 - Für das Vorzeichen gilt (analog für M , L1 und L2 ): j!M · î2 û2 = j!M · î1 und i1 i1 u1 • Wählt man die Bezugsrichtungen für i1 und i2 so, dass ein Strom auf den Punkt zu- und ein Strom vom Punkt wegfliesst, dann gilt: i1 /i2 = N2 /N1 . i2 N1 N2 u1 u2 N1 j!L2 · î2 i2 N2 u2 u1 N1 i2 = =ü u2 = N2 i1 (Gilt für fest gekoppelten & verlustlosen (d.h. idealen) Transformator) • Wählt man die Bezugsrichtungen für u1 und u2 so, dass beide beim Punkt starten oder beide dort enden, dann gilt: u1 /u2 = N1 /N2 . 1 Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Impedanz und Admittanz Impedanz Z = |Z| ej ' = R + j X = 1/Y [⌦] Admittanz Y = |Y | ej Scheinwiderstand |Z| = Scheinleitwert |Y | = p = G + jB = R2 + X 2 = p G2 + B 2 = 1 Z R: Wirkwiderstand, X: Blindwiderstand [S] G: Wirkleitwert, B: Blindleitwert 1 |Y | tan ' = X/R = 1 |Z| tan = B/G = ( 90  '  90 ) ' Umrechnung Z!Y G= R R = R2 + X 2 |Z|2 B= X = R2 + X 2 Y !Z R= G G = G2 + B 2 |Y |2 X= B = G2 + B 2 X |Z|2 B |Y |2 Knotengleichung, Maschengleichung, Parallelschaltung, Serienschaltung Knotengleichung N X îk = 0 N X ûk = 0 Serienschaltung Z gesamt = Z 1 + Z 2 + . . . + Z N k=1 Maschengleichung Parallelschaltung k=1 1 Y gesamt = 1 Y1 + 1 Y2 + ... + 1 YN 1 Z gesamt = 1 Z1 + 1 Z2 + ... + 1 ZN Y gesamt = Y 1 + Y 2 + . . . + Y N Parallelschaltung mit zwei Impedanzen Z gesamt = Z1Z2 Z 1 +Z 2 Serienschaltung mit zwei Admittanzen Y gesamt = Y 1Y 2 Y 1 +Y 2 Spannungsteiler, Stromteiler î n X Zk mit Z ges = Zk Z ges k=1 Spannungsteiler ûk = û Belasteter Spannungsteiler Z2ZL û2 = û Z 1 (Z 2 + Z L ) + Z 2 Z L Stromteiler îk = î Z1 u^ 1 u^ ges Z2 Zn u^ 2 u^ n î û ZL Yk Y gesamt i 2 u^ Spannungsteiler Z1 u^ 1 Z2 u^ 2 Belasteter Spannungsteiler i1 i2 Z1 Z2 Stromteiler Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Superposition Bei linearen Netzwerken können Netzwerksgrössen durch Superposition berechnet werden. Dafür werden für jede Quelle folgende Schritte durchgeführt: 1. Alle bis auf die jeweils betrachtete Quelle unwirksam machen: • Spannungsquellen ! Kurzschluss • Stromquellen ! Leerlauf 2. Gesuchte Netzwerksgrösse mit nur dieser Quelle berechnen Spannungen und Ströme ergeben sich als Summe aller berechneten Teillösungen. Leistungen können nicht summiert werden! Maschenstromverfahren 1. Vereinfachung: Vor dem Aufstellen der Gleichungen evtl. Netzwerk vereinfachen und alle gesteuerten Quellen durch unabhängige Quellen ersetzen. iR1 u^ R1 R1 u^ R2 2. Stromquellenersatz: Stromquellen durch Leerlauf ersetzen ) Elementarmaschenset M* u^ 3. Maschenströme: Weise jeder Elementarmasche im Set M * einen Maschenstrom zu. R2 iR2 iM1 u^ 4. Stromquellenmasche: Füge Stromquellen wieder ein und ergänze für jede Stromquelle einen zusätzlichen bekannten Maschenstrom, der sich über eine beliebige Masche schliessen kann. iR3 R3 iM2 R3 R4 iR4 iR5 i i R5 Ersatzschaltbild eines Übertragers mit gesteuerten Quellen M 5. Maschengleichungen: Stelle für jede Elementarmasche im Set M * die Maschengleichung auf. u^ 1 iMi L2 L1 u^ 2 iMj 6. Gleichungsumformung: Umformen des Gleichungssystems: – Steuergleichungen der gesteuerten Quellen einsetzen u^ 1 – Alle bekannten Quellengrössen auf die ”rechte” Seite der Gleichungen bringen iMi L1 u^ 2 L2 iMj – Sortieren der Gleichungen nach den Maschenströmen Anzahl der Gleichungen: NM = Zweige jwM iMi jwM iMj Knoten + 1 Knotenpotentialverfahren 1. Vereinfachung: Vor dem Aufstellen der Gleichungen evtl. Netzwerk vereinfachen und alle gesteuerten Quellen durch unabhängige Quellen ersetzen. u^K4+u^ 2. Spannungsquellenwandlung: Wandele alle realen Spannungsquellen jeweils zu einer realen Stromquelle um. 3. Bezugsknoten: Wähle einen beliebigen Bezugsknoten K0 mit Potenzial ' ˆ0 = 0. Z7 5. Knotenspannungen: Weise jedem Knoten ausser dem Bezugsknoten eine Knotenspannung ûK⌫ zu. Bei den 2 Knoten, die von einer Hüllfläche umgeben sind, wird dem Knoten µ am Endpunkt des Bezugspfeils der Spannung ûqµ die Knotenspannung ûKµ und dem Knoten µ+1 am Startpunkt des Bezugspfeils der Spannung ûqµ die abhängige Knotenspannung ûKµ+1 = ûKµ + ûqµ zugewiesen. 6. Knotengleichung: Stelle für alle Knoten mit unabhängiger Knotenspannung ûK⌫ die Knotengleichung auf. Für die Knoten, die direkt mit einer Spannungsquelle verbunden sind, wird dabei die Knotengleichung für die Hüllfläche aufgestellt. 7. Gleichungsumformung: Umformen des Gleichungssystems: – Steuergleichungen der gesteuerten Quellen einsetzen – Alle bekannten Quellengrössen auf die ”rechte” Seite der Gleichungen bringen – Sortieren der Gleichungen nach den Knotenspannungen Anzahl der Gleichungen: Nk = Knoten 1 3 u^q=k i^5 K4 Z2 Z6 Z4 i K2 Z8 u^K4 4. Hüllfläche: Führe jeweils eine Hüllfläche um die beiden Netzwerkknoten ein, die direkt über eine ideale Spannungsquelle ûqµ verbunden sind. Z1 K1 K5 K3 Z3 u^ K1 u^K2 0 Hüllfläche i5 u^K3 Z5 Bezugsknoten ^ =^ +u^ µ+1 µ qµ µ+1 u^Kµ+1 Bezugsknoten û ^ Kµ 0 u^ qµ µ ^µ Ersatzschaltbild eines Transformators für das Knotenpotenzialverfahren (ohne Potenzialtrennung) î1 = Y 1 û1 + Y M û2 u^ 1 u^1 i1 L1 M i2 L2 i1 i2 Y1 u^ 2 u^2 Y2 Y u^ Y u^ M 1 M 2 î2 = Y M û1 + Y 2 û2 L2 L1 M , Y und Y Y1 = = = 2 M j!(L1 L2 M 2 ) j!(L1 L2 M 2 ) j!(L1 L2 M 2 ) Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Leistung im Wechselstromkreis Relative Phase ' = 'u 'i Momentanleistung p(t) = u(t) i(t) I U Z = U I cos '+U I cos(2!t+'u +'i ) S = P + jQ = S = |S| = Wirkleistung [W] p P 2 + Q2 = U I P = U I cos ' = Re(S) = Blindleistung [VAr] ⇤ 1 û î 2 1 R 2 î j Im(S) U Imaginäre Achse Scheinleistung [VA] u 2 S I jQ i P Reelle Achse Re(S) Q = U I sin ' = Im(S) Für Q > 0 ist die Last induktiv, für Q < 0 ist diese kapazitiv. Induktive Verbraucher: Q > 0 da ' > 0 (û eilt vor î ) Kapazitive Verbraucher: Q < 0 da ' < 0 (û eilt nach î ) (und für ohmsche Verbraucher Q = 0). Leistungsfaktor = P/S = cos ' Zi Leistungsanpassung Bei der Leistungsanpassung soll die Wirkleistung im Verbraucher maximiert werden. Die Wirkleistung wird maximal, wenn die Blindleistung minimal wird, d.h. i Ri u^ q u^ q u Z L = Z ⇤i jXi i RL ZL jXL mit der Innenimpedanz Z i = Ri + j Xi und der Lastimpedanz Z L = RL + j X L Dreiphasensysteme Allgemein Beim symmetrischen Dreiphasensystem sind die Quellenspannungen je um 120 = U , I bezeichnen die E↵ektivwerte von Stranggrössen und UL , IL Aussenleitergrössen. ⇤ 3 û î 2 1 1 Scheinleistung (im symmetrischen System) S= Wirkleistung bei symmetrischer Belastung P = 3U I cos ' 2⇡ 3 zueinander phasenverschoben. = P + jQ Wirkleistung bei gleichen Widerständen in Dreieck und 2 /R = 3 · P P4 = 3 · UL ⇤ Sternschaltung, d.h. R4 = R⇤ Für gleiche Leistung der Stern- und der Dreieckschaltung Für gleiche Blindleistung der Stern- und der Dreieckschaltung 2 UL R4 = ⇣U ⌘2 pL 3 R⇤ ) R4 = 3R⇤ L4 = 3L⇤ C4 = 1 C 3 ⇤ 4 Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Sternschaltung Aussenleitergrössen UL = Leistung P p P =U 3U , 3 P IL = I Ik cos 'k bei symmetrischer Last u^ 12 u^ 1 k=1 = 3U I cos ' u^ 3 Symmetrische Sternschaltung Z 1 = Z 2 = Z 3 , d.h. î1 + î2 + î3 = 0 = îN ) N -Leiter nicht notwendig p Aussenleiterspannungen û12 = û23 = û31 = 3û û1 = û2 = û3 = û p12 3 = û p23 3 = u^ 2 L1 i1 N iN L2 i2 L3 i3 u^ 31 u^ 23 u^ Z1 Z3 Z1 Z2 u^ Z3 u^ Z2 û p31 3 Aussenleiterspannungen eilen gegenüber entsprechenden Strangspannungen um 30 vor, wenn û1 gegenüber û2 voreilt, d.h. wenn die (Phasen-) Reihenfolge der Spannungen u1 ! u2 ! u3 ist. Im Fall von u1 ! u3 ! u2 eilen die Aussenleiterspg. gegenüber den Strangspg. um 30 nach. Sternschaltung mit Neutralleiter Bei unsymmetrischer Belastung fliesst ein Strom îN im Neutralleiter: îN = î1 + î2 + î3 mit îk = ûk Zk Sternschaltung ohne Neutralleiter Bei unsymmetrischer Belastung tritt eine Spannung ûM am Sternpunkt des Verbrauchers auf: û Y + û2 Y 2 + û3 Y 3 û ûZk = ûk ûM mit îk = ZZk ûM = 1 1 k Y1+Y2+Y3 Dreieckschaltung p Aussenleitergrössen UL = U , IL = Für die Quellenströme gilt (î2 , î3 analog) î1 = îZ1 îZ3 = Leistung P p (Ik = |îk |/ 2) P =U 3 P 3I L1 û1 Z1 û3 Z3 iZ1 u^ 1 ^ u12 u^ 3 iZ3 u^ 31 Ik cos 'k u^ 2 = 3 U I cos ' Z1 Z3 k=1 bei symmetrischer Last i1 u^ 23 L2 i2 L3 i3 Z2 iZ2 Stern-Dreieck Umwandlung Die Stern- und die Dreiecksschaltung weisen mit folgenden Zusammenhängen zwischen den Knoten KN 1, KN 2 und KN 3 jeweils die gleichen Gesamtwiderstände auf. 1 Z12 2 1 Z1 Z13 Z23 2 3 Stern ! Dreieck 0 Z3 Z2 3 Z 23 Z 31 Dreieck ! Stern Z 12 Z 31 P Z Z 23 Z 12 Z2 = P Z Z 31 Z 23 Z3 = P Z Z1 = mit P Z1Z2 Z3 Z2Z3 = Z2 + Z3 + Z1 Z3Z1 = Z3 + Z1 + Z2 Z 12 = Z 1 + Z 2 + Y 1Y 2 Y 12 = P Y Y 2Y 3 Y 23 = P Y Y 3Y 1 Y 31 = P Y Z = Z 12 + Z 13 + Z 23 5 mit P Y =Y1+Y2+Y3 Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Frequenzabhängige Netzwerke Hoch-/Tiefpass Filter Hoch- und Tiefpass Filter sind frequenzabhängige Spannungsteiler Phase: 'u = 'u2 'u1 Für Filter 1. Ordnung gilt bei der Grenzfrequenz fg : Z1 1. |Re(Z 1 + Z 2 )| = |Im(Z 1 + Z 2 )| 2. Phasenverschiebung ' = 45 3. Ausgangsamplitude ist Eingangsamplitude 1 p 2 RL-Hochpass Filter: Z 1 = R und Z 2 = j !L û2 û1 Übertragungsfunktion = Grenzfrequenz fg = RL-Tiefpass Filter: Z 1 = j !L und Z 2 = R p !L R2 +(!L)2 'u = Phase ⇡ 2 arctan R 2⇡L Übertragungsfunktion ⇣ !L R ⌘ Phase Grenzfrequenz RC-Hochpass Filter: Z 1 = 1/j !C und Z 2 = R û2 û1 Übertragungsfunktion 'u = Phase Grenzfrequenz fg = û2 û1 = p R R2 +(!L)2 'u = fg = arctan R 2⇡L ⇣ !L R ⌘ RC-Tiefpass Filter: Z 1 = R und Z 2 = 1/j !C !RC 1+(!RC)2 Übertragungsfunktion ⇡ 2 Phase = p Z2 u^ 2 u^ 1 mal so gross wie arctan (!RC) Grenzfrequenz 1 2⇡RC û2 û1 = p 'u = fg = 1 1+(!RC)2 arctan (!RC) 1 2⇡RC Für Filter 2. Ordnung gilt bei der Resonanzfrequenz f0 : 1. Re(Z 1 + Z 2 ) = 0 2. Phasenverschiebung ' = 90 LC-Hochpass Filter: Z 1 = 1/j !C und Z 2 = j !L Übertragungsfunktion Phase Resonanzfrequenz û2 û1 = 1 'u = f0 = LC-Tiefpass Filter: Z 1 = j !L und Z 2 = 1/j !C 1 2⇡ Übertragungsfunktion 1 ! 2 LC ⇡ 2 p arctan(! LC) Phase Resonanzfrequenz 1 p LC 6 û2 û1 = 1 1 ! 2 LC 'u = f0 = 2⇡ p arctan(! LC) 1 p LC Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Bode-Diagramm Gezeichnet wird von kleinen zu grossen Frequenzen, d.h. links nach rechts / Darstellung in dB-Skala ! F (!)[dB] = 20 log10 (F (!)) 1. Faktorisieren der Funktion: F ges (j!) = K0 (j!)r F 1 (j!) · F 2 (j!) · . . . · F n (j!) | {z } F⇤ ges (j!) Teilsysteme Fi (j!) in Standardform Fi (j!) = 1 + j!Tn,i Fi (j!) = 1 1+j!Tp,i 2 Fi (j!) = 1 + 2di Tn,i (j!) + (j!)2 Tn,i Fi (j!) = Steigung +20dB/Dekade Phase +90 (zwischen 0.1!i & 10!i ) Steigung -20dB/Dekade Phase -90 (zwischen 0.1!i & 10!i ) Steigung +40dB/Dekade Phase +180 (siehe Punkt 9) Bedingung: di  1, sonst Polynom mit 2 reellen Nullstellen 1 2 1+2di Tp,i (j!)+(j!)2 Tp,i Steigung -40dB/Dekade Phase -180 (siehe Punkt 9) Bedingung: di  1, sonst Polynom mit 2 reellen Polstellen 2. Teilsysteme nach aufsteigenden Eckfrequenzen !i = 1/Tni bzw. !i = 1/Tpi sortieren (!1 = kleinste Eckfrequenz) Amplitudengang (doppellogarithmische Darstellung) ⇤ (0)| · ! r ) 3. Startpunkt: !1 / FdB (!1 ) = 20 log10 (|K0 Fges 1 4. Startpunkt nach links: Gerade mit Steigung r·20dB/Dekade (Für r = 0 waagerechte Gerade) 5. Startpunkt nach rechts: Geradensegmente von einer Eckfrequenz bis zur nächst höheren Eckfrequenz. Bei jeder Eckfrequenz !i ändert Amplitudengang Steigung je nach Teilsystem, das zur Eckfrequenz gehört (s.o.). Mehrfache Pol-/Nullstellen: Steigungsänderung mehrfach nehmen. 6. Annäherung: Ecken bei Eckfrequenz noch um ± 3dB bzw. Vielfachen davon bei mehrfachen Pol-/Nullstellen abrunden (+n·3dB bei konvexem / -n·3dB bei konkavem Verlauf). Dies gilt nur für konjugiert komplexe Pole mit Dämpfung di > 1/2. Falls di < 1/2: - Resonanzüberhöhung bei !i um - Amplitude: |F (j!i )| = 1 2di - Resonanzkreisfrequenz !r = !i Phasengang (logarithmische x-Achse) 7. Startfrequenz !1 nach links: '(0) = ( q 20 log10 (2di )dB oberhalb Geradennäherung 1 2d2i ) Punkt um r · 90 180 + r · 90 20 log10 (2di q 1 d2i )dB oberhalb Geradennäherung ⇤ (0) > 0 falls K0 Fges ⇤ falls K0 Fges (0) < 0 8. Startpunkt nach rechts: Phase ändert sich bei jeder Eckfrequenz !i je nach Teilsystem (s.o.). 9. Annäherung: Glieder 1. Ordnung – Phasenverlauf mit ±45 /Dekade zwischen 0.1!i und 10!i Konjugiert komplexe Pole: Phasenänderung bei Eckfrequenz um so steiler, je kleiner di Phasengang für Teilsystem Fi (j!) ist punktsymmetrisch zu dazugehörigen Eckfrequenz !i . 10. ! ! 1: Phase 'ges strebt gegen (m n) · 90 (n Grad Nenner- & m Grad Zählerpolynom). 7 Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Schwingkreise Resonanzfrequenz p1 LC !0 = 2⇡f0 = Strom î & Spannung û sind bei ! = !0 in Phase, d.h. Im(Z) = 0 i Serienschwingkreis (Spannungsüberhöhung – “Saugkreis”) Gesamte Impedanz Z = R + j (!L Güte QS = Einfluss der Güte ûLmax û Maxima von Spulen- & !L = !0 q Kondensatorspannung q 1 R = ûCmax û ' 1 q ( 1 2 d 2 s 1 p mit ds  ! < !0 ! = !0 ! > !0 2 p 2 Güte QP = R q Einfluss der Güte îLmax î Maxima von Spulen- & !L = !0 Kondensatorspannung !C = !0 q = u^ îCmax î q iR C L ' ( 1 2 d 2 p 1 1 1 1 d2 2 p R u^ R i 1 ) !L Y = G + j (!C u^ C Kapazität bestimmt Verhalten Gesamtimpedanz minimal (Z = R), Strom maximal Induktivität bestimmt Verhalten Parallelschwingkreis (Stromüberhöhung – “Sperrkreis”) Gesamte Admittanz C Z 1 Qs  1 Qs Qs > 1 mit ds  1 d2 2 s L u^ L u^ L C 1 !C = !0 1 ) !C R iC iL L C Y 1 Qp  1 Qp Qp > 1 p mit dp  2 p mit dp  2 ! < !0 ! = !0 ! > !0 Induktivität bestimmt Verhalten Gesamtimpedanz maximal (Z = R), Strom minimal Kapazität bestimmt Verhalten Allgemein Güte Q= 2⇡·Gespeicherte Energie Verluste pro Periode Die Güte ist ein Mass für Spannungs- bzw. Stromüberhöhung. (Je grösser Q, desto ausgeprägter ist das Resonanzverhalten.) Für Q  1 p 2 ergibt sich keine Strom- bzw. Spannungsüberhöhung. Für Q > 4 kann näherungsweise angenommen werden, dass die Strom- bzw. die Spannungsüberhöhung gleich dem Wert der Güte ist und dass die Maxima näherungsweise bei !0 liegen. Bei einer RL-Serienschaltung ist die Güte QRL = !L und bei einer RC Parallelschaltung QRC = !RC. R Dämpfung d= 1 Q Verstimmung ⌫= ⇣ Bandbreite B= ! !0 f0 Q !0 ! = f2 ⌘ Normierte Verstimmung: ⌦ = Q⌫ f1 Ortskurven Ortskurven beschreiben den Verlauf der Spitze eines von der Frequenz abhängigen komplexen Zeigers Z = Z(!). Der Zeiger stellt im Falle der Impedanzortskurve die Impedanz Z(!) bzw. im Falle der Admittanzortskurve die Admittanz Y (!) = Z dar. Eine Resonanz tritt auf, wenn die Ortskurve die reelle Achse schneidet. Tipps zum Zeichnen • Grenzbetrachtungen: ! ! 0 und ! ! 1 Grundregeln der Inversion Gerade durch den Ursprung • Achsenschnittstellen: Real- bzw. Imaginärteil Null setzen. 1 (!) $ Gerade durch den Ursprung Gerade nicht durch den Ursprung $ Kreis durch den Ursprung • Komplizierte Netzwerke: Ortskurven von Teilnetzwerken punktweise addieren. Kreis nicht durch den Ursprung $ Kreis nicht durch den Ursprung • Admittanz/Impedanz umwandeln mittels Möbiustransformation. 8 Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Fourieranalyse Fourierreihe periodisch Eine periodische Funktion f (x), welche endlich ist und sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen lässt, in denen f (x) stetig und monoton ist, erfüllt die Dirichlet’schen Bedingungen. Das heisst: f (x) lässt sich als eine Summe von trigonometrischen Funktionen darstellen. Im Beispiel der Spannung u(t) lässt sich dies z.B. wie folgt interpretieren: u(t) = U0 + û1 · cos(!t + '1 ) + û2 · cos(2!t + '2 ) + . . . |{z} | {z } | {z } DC Periodendauer T = 2⇡/! Normalform u(t) = a0 + Spektralform u(t) = a0 + Amplitudenspektrum RT 1 T Koeffizientenberechnung a0 = 2 T b̂n = 2 T ĉn = q n=1 P1 h n=1 ĉn cos(n!t u(t) dt 0 u(t) cos(n!t) dt 0 u(t) sin(n!t) dt RT â2n + b̂2n n) = a0 + ân b̂n tan('n ) = P1 n=1 ĉn tan( 1. Oberschwingung i ân · cos n2⇡ Tt + b̂n · sin n2⇡ Tt 0 RT ân = P1 Grundschwingung sin(n!t + 'n ) n) = b̂n ân Fourierreihen von typischen Signalen: Zeitfunktion Ueff u Fourier-Koeffizienten a0 = û p 3 0 T/2 T u(t) = 2û 2T 4ˆ u ⇡2 ⇥ 1 32 cos(3!t) + 1 52 u 0 T/2 u ( t) = T 8ˆ u ⇡2 2T ⇥ 1 32 sin(!t) sin(3!t) + u 0 T u ( t) = 2T û 2 û ⇡ ⇥ sin(!t) + u 0 T/2 T 2T 1 52 1 2 8ˆ u 1 ⇡ 2 n2 ( ⇤ 1) sin(2!t) + Ueff T 2T n+3 2 u 2ˆ u ⇡ u 0 T/2 u ( t) = ⇥ T 4ˆ u ⇡ 2T ⇥ 1 2 sin(!t) ⇤ û 1 ⇡ n 1 3 sin(3!t) + ... 2ˆ u 1 ⇡ n( T/2 T 2T sin(3!t) 0 ⇤ 1)n+1 b̂n = +... sin(3!t) + 1 5 T T/2 2T t cos(4!t) 3·5 ⇤ u ( t) = T 2T û ⇡ + û 2 0 u ( t) = 2T 2ˆ u ⇡ p 3 3ˆ u ⇡ h 1 2 t + cos(6!t) 5·7 2ˆ u ⇡ , ân + ... i n = +1 4ˆ u ( 1) 2 ⇡ (n+1)(n 1) cos(6!t) 5·7 û ⇡ , ân û 2 = +... i 2ˆ u 1 ⇡ (n+1)(n 1) n = 2, 4, 6, ... 0  t  T /2 h für sin(!t) T b̂1 = t u ⇤ + a0 = T/2 4ˆ u 1 ⇡ (n+1)(n 1) = n = 2, 4, 6, ... û 2 0 4ˆ u 1 ⇡ n sin(5!t) + ... a0 = û p 2 u n = 1, 3, 5, ... 1 3 cos(4!t) 3·5 u u(t) = u ˆ| cos(!t)| h u 4ˆ u cos(2!t) u(t) = 2ˆ ⇡ + ⇡ 1·3 2ˆ u ⇡ , ân n = 2, 4, 6, ... sin(5!t) n = 1, 2, 3, ... 1 3 t 0 b̂n = û t sin(!t) + sin(2!t) + a0 = û p 2 u(t) = u ˆ| sin(!t)| h u 4ˆ u cos(2!t) u(t) = 2ˆ + ⇡ ⇡ 1·3 u(t) = u ˆ sin(!t) u ( t) = t n = 1, 3, 5, ... +... a0 = 2 û u 1 ân = 2ˆ ⇡ n sin(n2⇡ ) n = 1, 2, 3, ... p û 2 2 T T Fourier-Koeffizienten ⇥ ⇤ u 1 1 u(t)= 2 û + 2ˆ ⇡ sin(2⇡ ) cos(!t) + 2 sin(4⇡ ) cos(2!t) + 3 sin(6⇡ ) cos(3!t) + ... n = 1, 2, 3, ... û p 3 t u 0 a0 = 12 u, ˆ b̂n = û p 3 t = cos(5!t) + ... b̂n = û p 3 t Zeitfunktion 4ˆ u 1 ⇡ 2 n2 n = 1, 3, 5, ... t cos(!t) + 1 ˆ ân 2 u, cos(2!t) 1·3 q û 12 + cos(3!t) 2·4 p 3 3 8⇡ cos(6!t) 5·7 + cos(4!t) 3·5 a0 = ân = + cos(6!t) 5·7 + ... i p 3 3ˆ u 2⇡ p 3 3ˆ u 1 ⇡ (n+1)(n 1) n = 3, 6, 9, ... i cos(9!t) ... 8·10 Fourier-Transformation nicht-periodisch Für den Grenzübergang T ! 1 geht das diskrete Linienspektrum in ein kontinuierliches Spektrum über. Durch den Zusammenhang T = 2⇡/! streben gleichzeitig die Abstände ! zwischen den Oberschwingungen zu immer kleineren Werten. F {u(t)} F 9 1 {U (!)} U (!) = u(t) = Z 1 2⇡ 1 1 Z u(t) e 1 j !t dt U (!) ej !t d! 1 Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Symmetrien und Vereinfachungen Gerade Funktionen a0 = 2 T 4 T ân = u(t) = u( t) R T/2 0 u(t) dt, 0 u(t) cos(n!t) dt R T/2 Ungerade Funktionen b̂n = 0 b̂n = (! Spiegelung an y-Achse) u(t) = u( t) Halbwellensymmetrie a0 = â2n = b̂2n = 0 R u(t) = u(t + T /2) â2n 1 = T2 0T u(t) cos ((2n R b̂2n 1 = T2 0T u(t) sin ((2n 1)!t) dt = 4 T 1)!t) dt = 4 T a0 = â2n = b̂n = 0 R Halbwellensymmetrie â2n 1 = T8 0T/4 u(t) cos ((2n R T /2 u(t) cos ((2n 1)!t) dt 0 u(t) sin ((2n 1)!t) dt & ungeraden Anteil schiebung um t0 ug (t) = uu (t) = 1 2 1 2 Wirkleistung [W] u(t) sin(n!t) dt a0 = ân = b̂2n = 0 R Halbwellensymmetrie b̂2n 1 = T8 0T/4 u(t) sin ((2n 1)!t) dt u(t) = u( t) = 1)!t) dt u(t + T /2) [u(t) + u( t)] [u(t) u( t)] ân,neu = ân · cos(n!t0 ) b̂n · sin(n!t0 ) b̂n,neu = ân · sin(n!t0 ) + b̂n · cos(n!t0 ) Leistung nichtsinusförmiger Grössen E↵ektivwert 0 u(t) = ug (t) + uu (t) mit Achsen-/Zeitver- R T/2 Ungerade Fkt. mit u(t + T /2) Zerlegung in geraden 4 T (! Punktspiegelung) 0 R T /2 Gerade Fkt. mit u(t) = u( t) = a0 = ân = 0 (ân & b̂n – Spitzenwerte bei der n-ten Harmonischen) v u 1 ⌘ u 1 X⇣ 2 U = ta20 + ân + b̂2n 2 n=1 P = 1 T Z Orthogonalität 0 RT (n, m 2 N+ ) 0 RT T u(t)i(t) dt 0 0 RT 1 ⌘ 1 X⇣ = U 0 I0 + ûn în cos('un 'in ) 2 n=1 Kenngrössen nichtsinusförmiger Verläufe RT 0 RT 0 sin(n!t) sin(m!t)dt = 0 für m 6= n sin(n!t) sin(m!t)dt = T 2 für m = n cos(n!t) cos(m!t)dt = 0 für m 6= n cos(n!t) cos(m!t)dt = T 2 für m = n cos(n!t) sin(m!t)dt = 0 (Un – E↵ektivwert der n-ten Harmonischen) pP1 E↵ektivwert des Wechselanteils U⇠ U⇠ = Grundschwingungsgehalt g (0  g  1) g= U1 U⇠ Gesamtklirrfaktor k (0  k  1) k= p P1 Total Harmonic Distortion (THD) T HD = ( Scheitelfaktor ⇠ ⇠= Formfaktor F F = U⇠ |u| Welligkeit w w= U⇠ |U0 | n=1 n=2 U⇠ û U⇠ 2 Un Un2 = = pP1 n=2 10 q q 2 U⇠ U2 U⇠ U12 U02 = p 1 p Un2 )/U1 = k/ 1 g2 = k2 pP1 n=2 2 kn Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Schaltvorgänge Schaltvorgang in RC-Netzwerken S Bei energielosem Anfangszustand steigt die Kondensatorspannung beginnend mit uc (t = t0 ) = 0 V auf den stationären Endwert uc (t ! 1) = U an. Für schnelle Änderungen des Stromes wird der Kondensator ein Kurzschluss, für langsame ein Leerlauf. Ein Einschaltvorgang: h i t t0 uC (t) = uC (t ! 1) uC (t ! 1) uC (t = t0 ) e RC i t t0 1h iC (t) = uC (t ! 1) uC (t = t0 ) e RC R Die obigen Gleichungen können auf allgemeine RC-Netzwerke angewendet werden. Dabei ist der Widerstand R der e↵ektive Widerstand, der beim Laden der Kapazität wirksam ist. Dieser ergibt sich aus dem Widerstand an den Klemmen der Kapazität, wobei Stromquellen durch Leerläufe und Spannungsquellen durch Kurzschlüsse ersetzt werden müssen. Die Kapazität C ist die e↵ektive Kapazität, die geladen wird – z.B. parallel oder Kondensatoren in Serie, die zu einem Ersatzkondensator zusammengefasst werden. DGL für t t0 Zeitkonstante U = uR +uC = RC duC (t) dt R iC(t) t=t0 uR(t) U C uC(t) + uC(t) ⌧ = RC Schaltvorgang in RL-Netzwerken S Eine Spule wirkt Änderungen des Stromes entgegen. Für schnelle Änderungen des Stromes wird die Spule ein Leerlauf, für langsame ein Kurzschluss. Ein Einschaltvorgang: h i R iL(t) t=t0 uR(t) U L uL(t) R uL (t) = R iL (t ! 1) iL (t = t0 ) e L (t t0 ) h i iL (t) = iL (t ! 1) iL (t ! 1) iL (t = t0 ) e R (t L t0 ) Die obigen Gleichungen können auf allgemeine RL-Netzwerke angewendet werden. Dabei ist der Widerstand R der e↵ektive Widerstand und L die e↵ektive Induktivität – analog zum Schaltvorgang in RC-Netzwerken (siehe oben). DGL für t t0 Zeitkonstante U = uR +uL = R iL(t) + L diL (t) dt ⌧ = L/R 11 Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Laplace Transformation Laplace Eigenschaften und Korrespondenzen Laplace-Transformation ist Weiterentwicklung der Fourier-Transf. Gehen für s = j ! ineinander über. Bedingung: u(t) = 0 für t < 0. Komplexe Frequenz s= Laplace Transformation u(t) = L 1 {U (s)} b U (s) u(t) u(at), a>0 u(t t0 ) t u(t) ( t)n u(t) u0 (t) u(n) (t) Rt 0 u(⌧ ) d⌧ 1 e t/⌧ ⌧ 1 ⌧2 t e t/⌧ ( 0 t<0 ramp(t) = t t>0 cos(!t) sin(!t) exp(at) b b b b b b b b b b b b b + j !, d! = r r r r r r r 1 a e 1 j ds = 1 2⇡j Rs b U (s)est ds s̄ r u(t)e st dt 0 u(t) U ( as ) st0 1 R U (s) = L{u(t)} = U (s) e U 0 (s) t2 u(t) u(t) r sn U (s) r 1 s r s s2 +! 2 r sn 2 u0 (0) u(n ... 1) (0) b period. mit T 1 s⌧ +1 1 (s⌧ +1)2 r 1 u(0) U (s) r r sn 1 ⌧1 ⌧2 1 s2 t/⌧ 1 e e t/⌧1 e ⌧ + ⌧e t/⌧ t t/⌧2 E(t) ! s2 +! 2 1 (eat a2 at 1 s a r b u00 (t) u(0) b b U (n) (s) s U (s) r b u(t) + µ v(t) at b 1)E(t) b b b b b r r r r r U (s) U (s) + µ V (s) U (s + a) U 00 (s) s2 U (s) s u(0) RT 1 1 e sT 0 u(t)e u0 (0) st 1 s(s⌧ +1) r 1 (s⌧1 +1)(s⌧2 +1) r 1 s r r dt 1 s2 (⌧ s+1) 1 s2 (s a) Transformation der Komponenten Widerstand U (s) = R I(s) Induktivität di u(t) = L dt U (s) = sL I(s) Kondensator du i(t) = C dt I(s) = sC U (s) I(s) = U (s) = 1 U (s) sL 1 I(s) sC I R U L i(0) + i(0) s sL C u(0) + i(+0) s I u(+0) s 1 sC I u(0) s U U1 Transformator U 1 (s) = sL1 I 1 (s) U 2 (s) = sM I 1 (s) L1 i1 (0) + sM I 2 M i1 (0) + sL2 I 2 U M i2 (0) L2 i2 (0) I1 sL1 i1(+0) s sM I2 U2 sL2 i2(+0) s Einschaltvorgang eines Netzwerks analysieren 1. Transformation des Netzwerks in den Laplace-Bereich. Für geschaltete Spannungsquelle gilt: u(t) = U0 E(t) 2. Die gesuchten Zweigströme und -spannungen berechnen. 3. Rücktransformation der gesuchten Grössen in den Zeitbereich (L 12 b r U (s) = U0 s 1 ). Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Operationsverstärker (OPV/OpAmp) Allgemein Der allgemeine OPV ist folgendermassen aufgebaut: • Zwei Eingänge: Ein invertierenden ( ) mit der Spannung uN und einen nicht-invertierenden (+) mit der Spannung uP . (Bezugspotential jeweils: Masse) + - ued • Einen Ausgang mit der Ausgangsspannung ua . (Bezugspotential: Masse) − uP uN UB+ UB− + • Zwei Betriebspannungsanschlüsse: UB+ und UB . (Bezugspotential: Masse) ia ua + − Masse/Bezugspotenzial Der OPV hat eine sogenannte Openloop-Verstärkung vg mit der die Spannungsdi↵erenz ued = uP uN verstärkt wird und am Ausgang angelegt wird: ua = vg (uP uN ) = vg ued Idealer OPV Der ideale OPV hat folgende Eigenschaften: 8 > <UB+ , • ua = 0, > : UB , • Openloop-Verstärkung: vg ! 1 • Eingangswiderstand: rD ! 1, d.h. ie+ = ie =0 für uP > uN d.h.ued > 0 für uP = uN d.h.ued = 0 für uP < uN d.h.ued < 0 (ua ! Rechteck -Funktion) • Ausgangswiderstand: ra ! 0, d.h. ua verhält sich wie eine ideale Spannungsquelle • Der OPV zeigt keine parasitären E↵ekte Nichtidealer/Realer OPV Der reale OPV hat folgende Eigenschaften: Frequenzverhalten eines realen OPV vg (dB) • Endliche, frequenzabhängige Verstärkung: |v g (!)| < 1 vg0 • Eingangswiderstand: rD < 1, d.h. ie+ 6= 0 6= ie 100 80 • Ausgangswiderstand: ra > 0 60 40 • Die Di↵erenzverstärkung eines realen OPVs sinkt mit zunehmender Frequenz. Durch eine entsprechende Frequenzkompensation wird ein Tiefpassverhalten 1. Ordnung erreicht. 20 Di↵erenzverstärkung v g (!) = 0 ⇣ v g (!) = 1 ⌘ 0 dB Verstärkungs-Bandbreite-Produkt ⌘ -20 dB/decade vg(ω) 10 102 103 104 105 106 107 fb ω f ω= f t t - (Hz) ft vg0 1+j !! v g (!) ⇡ Transitfrequenz 3 dB =105 ( b vg0 vg0 !b ! für für ! ⌧ !b ! !b !t = vg0 !b v g (!) · ! = vg0 · !b = const ( für ! 13 !b ) Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Negative Rückkopplung - Verstärkerschaltungen Der Operationsverstärker mit negativer Rückkopplung (Verstärkerschaltung) kann als Regelkreis betrachtet werden. Verstärkerschaltungen werden in zwei Gruppen unterteilt: Invertierende und nichtinvertierende Verstärker. Bei einfachen Schaltungen erkennt man den Typ daran, ob das Eingangssignal am positiven oder am negativen Eingang anliegt. Nichtinvertierender Verstärker ie+ Invertierender Verstärker ie- Zf ua uN ZN ie ue uP Masse Zf ûa A(!) = =1+ (vg ! 1) ûe ZN ✓ ◆ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ Z Zf 1 A(!) = 1 + Z f 1 + + 1 v (!) Z g ued ieued ue 1 ua = uC = 1 Cf Rt + 0 i3 ua = ue (⌧ ) d⌧ R2 R1 = R4 ) R3 ûa = ûe u Rf = Rf i f = j!CR ue1 ue2 ue3 R1 i1 R2 i2 R2 ua = R2 (ue1 R1 uen ue2 ) uout uin Di↵erenzverstärkung Ad = Di↵erenzspannung ued = uP Common-Mode-Spannung ue,cm = ua = = R2 R1 due dt R3 i3 Rn in Summierverstärker ue1 R0 R1 ue2 R0 R2 Rf if ua ue1 Rf CN Summierverstärker + uP A(!) = 0 R4 i4 uN R1 Rt + ua 1 j!CR 1 RN C f ie- f Rf ue ua ûa = ûe 1 N if CN ie Subtraktionsschaltung (Nur falls ue2 vg Zf (vg ! 1) ZN ◆ ⇣ ⌘ Zf 1 1 + + 1 (!) Z uR Cf if (⌧ ) d⌧ = R3 Zf ZN A(!) = ua Di↵erenzierschaltung ie+ A(!) = P + uC if RN ûa = ûe ✓ A(!) = N N - ie+ Integrierschaltung ie ie- ue ZN N Zf if + - ued + ue3 R0 R3 ua ... uen R0 Rn =) ua,cm = 0 uN 1 (uN 2 + uP ) 14 Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) A Mathematik, Konstanten, Einheiten Trigonometrie cos2 (x) + sin2 (x) = 1 sin x cos x sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) tan x = cos(x + y) = cos(x) cos(y) A sin(!t + ↵) + B sin(!t + ) = q = [A cos ↵ + B cos ]2 + [A sin ↵ + B sin ]2 · ✓  ◆ A sin ↵ + B sin · sin !t + arctan A cos ↵ + B cos sin(x) sin(y) 1 cos2 (x) = (cos(2x) + 1) 2 1 2 sin (x) = (1 cos(2x)) 2 sin( x) = sin(x) cos( x) = cos(x) ⇡ arctan(1/x) = 2 tan( x) = tan(x) 1 [cos(x 2 1 cos(x) cos(y) = [cos(x 2 1 sin(x) cos(y) = [sin(x 2 sin(x) sin(y) = arctan(x) y) cos(x + y)] y) + cos(x + y)] y) + sin(x + y)] Komplexe Zahlen Eulersche Formel: Phase: e j' = cos ' + j sin ' Multiplikation: z= z 1 z 2 = (a + jb)(c + jd) = ac bd + j(ad + bc) a + jb b ) ' = arctan c + jd a Konjugation: Division: jd) ac + bd bc ad = 2 +j 2 jd) c + d2 c + d2 r = |z| = p zz ⇤ ( ' = arg(z) = Betrag: z = a + jb ) |z| = |a + jb| = a + jb a + jb ) |z| = = c + jd c + jd p a2 + b2 = s a2 b2 p + = c2 + d 2 zz ⇤ p arctan z ⇤ = (a + jb)⇤ = a Zu Polarkoordinaten: z1 a + jb (a + jb)(c = = z2 c + jd (c + jd)(c z= z = a + jb ) ' = arctan arccos ar arccos a r b a d bc ad = arctan c ac + bd jb falls b sonst 0 Zu kartesischen Koordinaten: a = r cos(') zz ⇤ b = r sin(') Einheiten, Konstanten Name Coulomb Volt Ohm Siemens Farad Tesla Weber Henry Watt Volt Ampere reactive Winkel 0 / 30 / 45 / 60 / 90 / 180 / 270 / 0 ⇡/6 ⇡/4 ⇡/3 ⇡/2 ⇡ 3⇡/2 Symbol C V ⌦ S F T Wb H W VAr Sinus 0 1/2 p 1/ 2 p 3 1/2 1 0 -1 Kosinus 1 p 3 1/2 p 1/ 2 1/2 0 -1 0 Unit As Name Permittivität (Vakuum) Permeabilität (Vakuum) Elementarladung Lichtgeschwindigkeit (Vakuum) Ruhemasse Elektron Ruhemasse Proton J C V A 1 ⌦ As V Vs m2 Vs Vs A J s Prefix Giga Mega Kilo Milli Micro Nano Pico W Tangens 0 p 1/ 3 1 p 3 (! +1) 0 (! 1) 15 Symbol "0 µ0 e c Value s 8.854 ⇥ 10 12 VAm N 7 4⇡ ⇥ 10 A2 1.602 ⇥ 10 19 A s 2.998 ⇥ 108 m s me mp 9.1094 ⇥ 10 1.6726 ⇥ 10 Symbol G M k m µ n p 31 kg 27 kg Value 109 106 103 10 3 10 6 10 9 10 12 Laboratory for High Power Electronic Systems Zusammenfassung Netzwerke und Schaltungen II (D-ITET) Matrix-Berechnungen Allgemeine Matrix-Inversion: A Spezialfall 2⇥2 Matrix ! 1 1 a b = c d det(A) d c 1 b a = ! 1 adj(A) det(A) = 1 ad bc d c b a Spezialfall 0 a b B @d e g h ! Mit 16 3⇥3 Matrix 1 1 0 c ei 1 C B = fA @f g det(A) i dh fh di eg det(A) = aei + bf g + cdh ch ai bg ceg bi cg ah bf cd ae bdi af h 1 ce C af A bd Laboratory for High Power Electronic Systems Symmetrieeigenschaften Beispiele I I Gerade Funktion (Bild a) u(t) = u( t) ˆ ˆ 2 T/2 1 T/2 a0 = u(t)dt = T u(t)dt T 0 2 0 ˆ 4 T/2 ân = u(t) cos(nwt) dt, b̂n = 0 T 0 -T a) 0 T/2 T 2T -T 0 T/2 T 2T t I Ungerade Funktion (Bild b) u(t) = u( t) a0 = 0 ân = 0 ˆ T/2 4 b̂n = u(t) sin(nwt) dt T 0 t b) I Halbwellensymmetrie (Bild c) u(t) = u(t + T/2) a0 = 0 â2n = 0 ˆ 4 T/2 â2n 1 = u(t) cos[(2n 1)wt] dt T 0 ˆ T/2 4 b̂2n 1 = u(t) sin[(2n 1)wt] dt T 0 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich 270/462 b̂2n = 0 T t+2 -T 0 t T/2 T 2T t c) Laboratory for High Power Electronic Systems Symmetrieeigenschaften Beispiele II I Gerade Funktion mit Halbwellensymmetrie (Bild a) u(t) = u( t) = u(t + T/2) b̂n = 0 a0 = 0 â2n = 0 ˆ T/4 8 â2n 1 = u(t) cos[(2n 1)wt] dt T 0 I Ungerade Funktion mit Halbwellensymmetrie (Bild b) -T 0 T/2 T 2T -T 0 T/2 T 2T t a) u(t) = u( t) = u(t + T/2) a0 = 0 ân = 0 b̂2n = 0 ˆ 8 T/4 b̂2n 1 = u(t) sin[(2n 1)wt] dt T 0 t b) Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich 271/462 Laboratory for High Power Electronic Systems

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