Formelsammlung BM Mathematik Seite 1 Logik . v nicht und oder entweder oder wenn dann genau dann wenn Negation Konjunktion Disjunktion Alternative Implikation Äquivalenz Bruchrechnen: a c a c = b d b d n a n a = b b a c a d a d : = = b d b c b c Doppelbrüche werden mit dem kgV aller Teilnenner erweitert. Mengenlehre Polynomdivision: {} A \ Beispiel: (9x 3 − 6x 2 − 8x ): (3x − 4) = 3x 2 + 2x − (9 x 3 − 12 x 2 ) ist Element von ist nicht Element von ist eine Teilmenge von ist eine echte Teilmenge von Leere Menge Vereinigungsmenge Durchschnittsmenge Komplementärmenge von A Differenzmenge („ohne“) 6x 2 ( Natürliche Zahlen Natürliche Zahlen ohne 0 Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Potenzen: {0; 1; 2; 3; 4; …} {1; 2; 3; …} Intervalle [a; b] ]a; b] [a; b[ ]a; b[ ]-;a] [b; [ ) 0 Zahlenmengen + − 8x − 6x 2 − 8x geschlossenes Intervall von a bis b linksoffenes Intervall von a bis b rechtsoffenes Intervall von a bis b offenes Intervall von a bis b linksoffenes Intervall von - bis a rechtsoffenes Intervall von b bis a n = a a n −1 a0 = 1 a1 = a (00) ist nicht definiert 1 a −1 = a 1 a −n = n a Potenzgesetze: ax ay = ax +y a x : ay = a x −y (ax )y = axy a x b x = (ab )x a ax : bx = p q q a = ap x b Arithmetik und Algebra a|c ggT kgV a ist ein Teiler von c grösster gemeinsamer Teiler kleinstes gemeinsames Vielfaches Wurzeln: m n m a =an n (a > 0; m, n ; m 1; n 2) 1=1 n n 0 =0 a n = a (a > 0) Binomische Regeln: (a b)2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 (a b)3 = a 3 3a 2b + 3ab 2 b 3 Pascal’sches Dreieck: Wurzelgesetze: na na nb = nab (n a )k = n ak nm =n nb nk mk a a b n = am a = m n a = mn a Vorsätze des internationalen Einheitssystems (SI): Formelsammlung BM Mathematik 1 000 000 000 000 = 1 000 000 000 = 1 000 000 = 1 000 = V4.2 / R. Richarz 1012 109 Tera T Giga G 106 103 Mega M Kilo k 05.06.2019 Formelsammlung BM Mathematik 100 = 10 = 0,1 = 0,01 = 0,001 = 0,000 001 = 0,000 000 001 = 0,000 000 000 001 Logarithmen: = 102 101 Hekto h Deka da 10-1 10-2 Dezi d Zenti c 10-3 10-6 Milli m Mikro µ 10-9 10-12 Nano n Piko p Seite 2 hc = a sin (90 − ) Hypotenuse, Winkel (c, ) a = c sin = 90 − b = c cos = 90 − Kathete, Hypotenuse (a, c) sin = cos = a c b = c 2 − a2 y = log a x a y = x loga 1 = 0 loga a = 1 lg a = log10 a ln a = loge a aloga x = x loga a x = x loga (u v ) = loga u + loga v u loga = loga u − loga v v ( ) ( ) loga u x = x loga u loga x = lg x ln x = lg a ln a Bogenmass b und Radiant: 180 Länge des zugehörigen Bogens auf dem Einheitskreis b= 1 rad = 1 = 180 180 = 57 17'45" rad = 0,017453 rad 180° = 360° = 2 Winkelfunktionen am rechtwinkliges Dreieck: a c b cos = c a tan = b b cot = a sin = Gegeben zwei Katheten (a, b) Gegenkathete Hypotenuse Ankathete Hypotenuse Gegenkathete Ankathete Ankathete Gegenkathete Lösungen 1 A = ab 2 hc = q= ab a2 + b2 a2 a2 + b2 b2 sin = a a2 + b2 b a2 + b2 1 2 a cot 2 a c= sin A= p= a2 + b2 sin = Kathete, Winkel (a, ) c = a2 + b2 tan = a b tan = b a b = a tan(90 − ) Formelsammlung BM Mathematik V4.2 / R. Richarz 05.06.2019 Formelsammlung BM Mathematik Elementare Vektorgeometrie: Seite 3 Zentriwinkelsatz: P1P3 = P1P2 + P2P3 a+b = b+a = 2 Kehrvektor: −a a−b =a+ −b Sehnen-Tangenten-Winkelsatz: u a = u a Komponenten: p1 p = OP = p2 ( ) a u a1 a1 b1 a1 b1 = u 1 = a b a b 2 a2 u a2 2 2 2 Länge (Betrag) eines Vektors: c c = c = 1 = c12 + c22 c2 = Sehnensatz: AS SC = BS SD Sekantensatz: SA SB = SD SC c = a 2 + b 2 + 2 a b cos Geometrie Stereometrie Rechtwinkliges Dreieck: A= Volumen ab 2 Würfel Quader Oberfläche A Mantelfläche M A = 6a 2 A = 2(ab + ac + bc ) V = a3 V = abc Satz von Pythagoras: c 2 = a2 + b2 Prisma Pyramide V = Gh Gh V = 3 Kathetensatz (Satz von Euklid): a2 = cp b2 = cq Zylinder V = Gh = r 2h M = 2rh Kegel Gh r 2h V= = 3 3 4 3 V= r 3 M = rs Höhensatz: h 2 = pq Kugel Allgemeines Dreieck: 1 1 1 A = a ha = b hb = c hc 2 2 2 Kugelsegment V= h 2 (3r − h) A = 4r 2 A = 2r1h + r12 3 a,b,c Seiten, G,G1 Grundfläche, h Höhe, G2 Deckfläche, s Mantellinie, r1 Radius des Kugelschnitts Quadrat: A = a2 d = a 2 Lineare Gleichungen ax + b = 0 Lösungsweg: Parallelogramm: Variable auf einer Seite isolieren A = a ha = b hb Quadratische Gleichungen Trapez: ax 2 + bx + c = 0 a+c A= h 2 A = r 2 Kreisbogen: b= 180 r Sektor: A= − b b2 − 4ac 2a Satz von Vieta: b c x1 + x 2 = − x1 x 2 = a a Kreis: u = 2r x1,2 = r 2 360 Thaleskreis: = 90 Formelsammlung BM Mathematik Zerlegung in Linearfaktoren: ax 2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x 2 ) Bruchgleichungen Bruchgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Nenner eines Bruches steht. Vorgehen zur Lösung von Bruchgleichungen: 1. Alle Nenner faktorisieren 2. Hauptnenner bestimmen 3. Gleichung mit Hauptnenner multiplizieren 4. Je nach Art der entstandenen Gleichung weiterfahren. V4.2 / R. Richarz 05.06.2019 Formelsammlung BM Mathematik Seite 4 Verschiebung längs der x-Achse: Wurzelgleichungen y = (x + d )2 d>0 Verschiebung entlang der x-Achse nach links d<0 Verschiebung entlang der x-Achse nach rechts Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Radikanden einer Wurzel vorkommt. Lösunsmethode: 1. Wenn möglich auf eine Form bringen, in der die Wurzeln nicht als Summand einer Summe (oder Differenz) auftreten) 2. Gleichung quadrieren (oder Potenzieren) 3. Je nach Art der entstandenen Gleichung weiterfahren. Exponentialgleichungen Diskriminante: y = ax 2 + bx + c D = b 2 − 4ac D>0 zwei Nullstellen D=0 eine Nullstellen D<0 keine Nullstellen Scheitelpunkt: Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten einer Potenz vorkommt. y = ax 2 + bx + c b b 2 S (xS ; y S ) = S − ;c − 2a 4a Lösungsmethoden: • • • • Funktionsgleichung bei bekanntem Scheitelpunkt: Bei gleicher Basis ohne Summen oder Differenzen durch Vergleich der Exponenten Bei gleicher Basis mit Summen und Differenzen: Durch Angleichen der Exponenten Wenn keine Summen oder Differenzen von Potenzen vorkommen: Durch Logarithmieren Oftmals kann die Potenz auch substituiert werden. Logarithmische Gleichungen Logarithmische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Argument eines Logarithmus auftritt f (x ) = a (x − xS )2 + y S Potenzfunktionen Grundform: y = xn n>0: n<0: n gerade n ungerade Parabeln Hyperbeln Achsensymmetrisch zur y-Achse Punktsymmetrisch zum Ursprung Wurzelfunktionen Lösungsmethode: Potenzieren Grundform: f (x) = n x m x>0 Lineare Funktionen y = mx + n m Steigung, n y-Achsenabschnitt Grundform: Funktionsgleichung aus zwei Punkten ermitteln: m= f ( x1) − f ( x2 ) x1 − x2 a>1: a>1: n = f ( x1) − m x1 indirekt y =k x y x = k f (x ) = a x Wachstumsfunktion Zerfallsfunktion (oder a − x mit a>1) Oft werden Wachstums- und Zerfallsfunktionen auch wie folgt beschrieben: Proportionalität direkt Exponentialfunktionen d.h. y = kx d.h. 1 y =k x t y = A0 2 − Wachstumsfunktion t y = A0 2 Quadratische Funktionen Zerfallsfunktion : Halbwertszeit Normalparabel: y = x2 Logarithmische Funktionen Vertikale Streckung/Stauchung: 2 Grundform: f(x) = loga x y = ax a 1 gestaucht a 1 gestreckt Ganze rationale Funktionen (Polynomfunktionen) Spiegelung an der x-Achse (längs der y-Achse): 2 Grundform: f (x ) = an x n + an −1x n −1 + .... + a2 x 2 + a1x 1 + a0 n ; ai y = ax a0 Verschiebung längs der y-Achse: y = x2 + c c>0 Verschiebung entlang der y-Achse nach oben c<0 Verschiebung entlang der y-Achse nach unten Formelsammlung BM Mathematik V4.2 / R. Richarz 05.06.2019 Formelsammlung BM Mathematik Komplexe Zahlen Eigenschaften der Winkelfunktionen: (a1 + b1i ) (a2 + b2 i ) == (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i (a1 + b1i ) = a1a2 + b1b2 (a2 + b2i ) a22 + b22 − a1b2 + b1a2 + a22 + b22 i Polardarstellung und Umrechnung: x + yi = r cis r = x +y 2 x −1 cos 2 x + y2 = x 2 - cos −1 2 x + y2 Funktionsgleichung Definitionsbereich Wertebereich Periode Nullstellen cis = cos + i sin 2 x = r cos y = r sin Seite 5 für y 0 für y 0 Einheitskreis: Sinus f(x) = sin x Kosinus f(x) = cos x Tangens f(x) = tan x - < x < - < x < - < x < x (2k + 1) -1 y 1 2 k -1 y 1 2 f(x)= -1 für 3 x= + 2k 2 - < y < k Symmetrieungerade eigenschaften Funktion besondere f(x) = 1 für Stellen x = + 2k 2 Winkelfunktionen k + k 2 gerade Funktion f(x) = 1 für x = 2k ungerade Funktion f(x)= -1 für x = + 2k Quadrantenbeziehungen: Grad Bogenmass sin cos tan cot 90 x 180 x x sin x cot x tan x sin x − cos x tan x cot x x 2 cosx 270 x 3 x 2 − cos x 360 x 2 x sin x cot x tan x sin x cosx tan x cot x f-(y = cos-1 y 0° x 180° f-(y) = tan-1 y -90° x 90° Umkehrfunktionen: eineindeutiger Definitionsbereich von f(x) Umkehrfunktion Definitionsbereich der Umkehrfunktion f-(y) = sin-1 y -90° x 90° arc sin y arc cos = sin-1 x y = cos-1 x -1y1 -1y1 arc tan y = tan-1 x -y Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen: sin = cos(90 − ) sin = sin (180 − ) sin2 + cos2 = 1 tan = sin cos Spezielle Werte der Winkelfunktionen: f(x) = sin x f(x) = cos x 0° 0 1 f(x) = tan x 0 f(x) = cot x Nicht def. 30° 1 2 1 3 2 1 3 3 3 45° 1 2 2 1 2 2 1 60° 1 3 2 1 2 1 1 3 3 Formelsammlung BM Mathematik 3 90° 1 0 nicht def. 0 V4.2 / R. Richarz 05.06.2019 2 Formelsammlung BM Mathematik Geometrische Reihe: Allgemeines Dreieck Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an 1− q n Sn = a 1− q Sn = n a Sinussatz: a b c = = = 2r sin sin sin Seite 6 (r = Umkreisradius) (für q 1) (für q = 1) Kosinussatz: a2 = b2 + c 2 − 2bc cos Grenzwerte b2 = c 2 + a2 − 2ca cos Grenzwertsätze: c 2 = a2 + b2 − 2ab cos A= lim (f1(x ) + f2 (x )) = lim f1(x ) + lim f2 (x ) 1: Fläche: 8: tan tan 1 tan tan 9: tan( ) = x → x0 x → x0 lim f1(x ) lim (c f1(x )) = c lim f1(x ) x → x0 lim f1 (x ) lim c (f1 (x )) = c x → x0 x → x0 Goniometrie sin( ) = sin cos cos sin cos( ) = cos cos sin sin x → x0 x → x0 6: Additionssätze: x → x0 f (x ) x → x 0 lim 1 = lim f2 (x ) x → x 0 f 2 (x ) x → x0 5: 7: x → x0 x → x0 4: a m = b n m,n Abschnitte von wc auf c x → x0 lim (f1(x ) f2 (x )) = lim f1(x ) lim f2 (x ) 3: Winkelhalbierende: x → x0 lim (f1(x ) − f2 (x )) = lim f1(x ) − lim f2 (x ) 2: 1 1 1 a b sin = b c sin = a c sin 2 2 2 x → x0 ) ( lim (f1(x ))n = lim f1(x ) x→x x → x0 0 ( ) n lim n f1(x ) = n lim f1(x ) x → x0 x → x0 lim (log(f1(x ))) = log lim f1(x ) x→x 0 x → x0 Doppelte Winkel: sin( 2 ) = 2 sin cos Vektorgeometrie cos( 2 ) = cos 2 − sin 2 = 1 − 2 sin 2 = 2 cos 2 − 1 Abstand zweier Punkte: tan(2 ) = 2 tan Halbe Winkel: (sin 2 )2 = 1 − cos 2 tan = 2 (x 2 − x1 )2 + (y 2 − y 1 )2 + (z2 − z1 )2 P1P2 = 1 − tan2 Parametergleichung der Geraden im Raum: (cos 2 )2 = 1 + cos 2 sin 1 − cos = 1 + cos sin Folgen und Reihen Arithmetische Folge: an = an −1 + d an = a + (n − 1)d x x 0 a1 r = y = y 0 + t a2 z z a 0 3 Ortsvektor eines beliebigen Punktes + t Richtungsvektor Gerade durch 2 Punkte: ( r = r1 + t r2 − r1 Koordinatengleichung der Geraden in der Grundebene: y = mx + n Arithmetische Reihe: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an n(a + an ) Sn = 2 Geometrische Folge: an = a q n −1 Formelsammlung BM Mathematik ) m= y 2 − y1 x 2 − x1 m Steigung, n y-Achsenabschnitt Zwei beliebige Punkte n = y 1 − mx1 Parametergleichung der Ebene im Raum: a1 b1 x x0 r = y = y 0 + u a 2 + v b2 a b z z 0 3 3 V4.2 / R. Richarz 05.06.2019 Formelsammlung BM Mathematik Ebene durch 3 Punkte: ( ) ( r = r1 + u r2 − r1 + v r3 − r1 Quotientenregel: ) Sind zwei Funktionen u und v an der Stelle x differenzierbar und ist v ' (x ) 0 , so ist auch die Funktion q mit q (x ) = u (x ) an dieser Stelle differenzierbar und es gilt v (x ) u' (x ) v (x ) − v ' (x ) u (x ) q' (x ) = (v (x ))2 Zweigliedrige Determinante: a b c d Seite 7 = ad − bc Betrag/Länge eines Vektors: Kettenregel: a = a = a12 + a22 + a32 Ist die Funktionen u an der Stelle x differenzierbar und ist die Funktion v an der Stelle u (x ) differenzierbar, dann ist auch die verkettete Funktion f = v u (gesprochen: v nach u) an der Stelle x differenzierbar und es gilt f ' (x ) = v ' (u(x )) u' (x ) Skalarprodukt: ( ) a b = b a = ab cos a, b = a1b1 + a2 b2 + a3 b3 Umkehrregel: ab = 0 a ⊥ b Es sei f eine in ihrem Definitionsintervall a;b eine umkehrbare und differenzierbare Funktion mit f ' (x ) 0 für ( ) ab cos a, b = ab x a;b. Dann ist die Umkehrfunktion f −1(y ) an der Stelle y = f (x ) ebenfalls differenzierbar und es gilt Vektorprodukt: (f a2 b3 − a3 b2 a b = a3 b1 − a1b3 = −b a a1b2 − a2 b1 ab ⊥ a −1 (y ))' = 1 f ' (x ) Ableitung der Potenzfunktion: Die Funktion f (x ) = x a list für jedes a sowie alle x ab ⊥ b differenzierbar und besitzt die Ableitung f ' (x ) = a x a −1 Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms: ( ) a b = ab sin a, b Ableitungen der trigonometrischen Funktionen: Die Sinusfunktion f (x ) = sin(x ) ist in ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar und besitzt die Ableitungsfunktion f ' (x ) = cos(x ) . Differenzialrechnung Konstantenregel: Die Kosinusfunktion f (x ) = cos(x ) ist in ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar und besitzt die Ableitungsfunktion f ' (x ) = − sin(x ) . Eine konstante Funktion f (x ) = c mit (c , aber fest) besitzt für alle x die Ableitung f ' (x ) = 0 Die Potenzfunktion f (x ) = x n mit (n; n≥1) ist differenzierbar und es gilt f ' (x ) = n x n−1 . Die Tangensfunktion f (x ) = tan(x ) ist in ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar und besitzt die 1 Ableitungsfunktion f ' (x ) = = 1 + tan 2 (x ) . cos 2 x Faktorregel: Ableitung von Exponentialfunktionen: Ist g eine differenzierbare Funktion, so ist auch die Funktion f (x ) = k g (x ) mit (k, aber fest) differenzierbar, Die Exponentialfunktion f (x ) = a x (a > 0) ist an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar. Ihre Ableitung ist a x ln a . Ist die Basis a = e, so stimmt die Funktion Potenzregel: und es gilt f ' (x ) = k g ' (x ) f (x ) = e x mit ihrer Ableitungsfunktion f ' (x ) = e x überein. Summenregel: Sind zwei Funktionen u und v an der Stelle x differenzierbar, so ist an dieser Stelle auch die Summenfunktion s(x ) = u (x ) + v (x ) differenzierbar, und es gilt s' (x ) = u' (x ) + v ' (x ) Produktregel: Sind zwei Funktionen u und v an der Stelle x differenzierbar, so ist auch die Funktion p mit p(x ) = u (x ) v (x ) an dieser Stelle differenzierbar und es gilt p' (x ) = u' (x ) v (x ) + v ' (x ) u(x ) Formelsammlung BM Mathematik Ableitung von Logarithmusfunktionen: Die Logarithmusfunktion f (x ) = loga x (a > 0, a 1) ist an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar. Für ihre Ableitung gilt: 1 f ' (x ) = x ln a Für g (x ) = ln x , d.h. für die Basis e ergibt sich somit g ' (x ) = V4.2 / R. Richarz 1 x 05.06.2019 Formelsammlung BM Mathematik Graphischer Taschenrechner Logarithmen Auf dem TI-89/Voyage 200 gibt es keine log Taste. Die Funktion log() muss dort Buchstaben für Buchstaben eingegeben werden. Auf dem TI-nspire ist die log Taste vorhanden. Man muss jedoch die Basis 10 eingeben. Mit der Taste ln wird der natürliche Logarithmus berechnet. Zur Lösung von Gleichungen mit komplexen Variablen wird statt der Funktion „solve“ die Funktion „csolve“ verwendet. Beispiel : x 2 + x + 0.5 = 0 Eingabe: csolve(x2+x+0.5*x) Resultat: x = -0.5 + 0.5i or x = -0.5 – 0.5i Polarform: Der Winkel-Modus sollte immer auf Radiant eingestellt sein, da der TI Rechner sonst manchmal ein Gemisch von Grad und Radiant berechnet! Für Logarithmen von anderen Basen benutzt man auf dem TI-89/Voyage die Umrechnung: loga (x ) = Seite 8 Eingabe: (31.11) Klammer obligatorisch! oder e^(i1.11) Beispiel: 3 cis 1,11 ln(x ) ln(a ) Anzeige: Auf dem TI-nspire kann mit der log Taste die Basis eingegeben werden. Mit Mode/Complex Format kann umgeschaltet werden Gleichungen REAL Man verwendet die Funktion „solve“ zeigt nur reelle Zahlen an, ausser wenn komplexe Zahlen eingegeben wurden RECTANGULAR zeigt das Format a + b i an POLAR zeigt das Format r e i an Beispiel: 2x 2 − 14x + 24 = 0 Folgen und Reihen Eingabe TI-89/Voyage: Beispiel: solve(2x2-14x+24=0,x) 10 2n Eingabe TI-nspire: n =1 2 solve(2x -14x+24=0,x) Eingabe: Gleichungssysteme Man verwendet die Funktion „solve“ (2^n,n,1,10) Grenzwerte Beispiel: Die Berechnung von Grenzwerten ist sehr empfindlich auf Rundungsfehler. Der Modus Exact/Approx sollte deshalb nicht auf Approximate eingestellt sein. (1) 2x + 3y + z = -2 (2) -x – y + 2z = 5 (3) 4x + 2y - 3z = -6 Die Berechnung erfolgt mit Hilfe der Funktion Eingabe TI-89/Voyage: solve(2x+3y+z=(-)2 and -x-x+2z=5 and 4x+2y-3z=5 and 4x+2y-3z=(-)6,{x,y,z}) Richtung negativ: linksseitiger Grenzwert Richtung positiv: rechtsseitiger Grenzwert Richtung nicht angegeben: beide Grenzwerte Eingabe TI-nspire: solve( limit(Term,Variable, Punkt[,Richtung]) 2 x + 3 y + z = ( −)2 ,x,y,z) − x − y + 2z = 5 4 x + 2y − 3z = ( −)6 Vektorgeometrie [a;b;c] a TI-nspire auch b c Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen können ganz normal mit Realteil und Imaginärteil eingegeben werden. Dazu muss nur beachtet werden, dass für die imaginäre Einheit i nicht der normale Buchstabe i, sondern das Zeichen für i (blaue Taste und Taste i) verwendet wird. Beispiel : (2 + 3i ) Eingabe: (2+3i)3 Resultat: -46+9i 3 Formelsammlung BM Mathematik Vektor mit Komponenten a,b und c norm(v1) Länge des Vektors v1 dotp(v1,v2) Skalarprodukt von v1 und v2 crossp(v1,v2) Vektorprodukt von v1 und v2 det(a) Determinante der Matrix a V4.2 / R. Richarz 05.06.2019 Formelsammlung BM Mathematik Seite 9 Ableitungen Die Ableitung wird mit der Funktion d(Funktion,Variable) durchgeführt Beispiel: s (t ) = a t 2 2 Eingabe: d(a:2*t^2,t) Resultat: a·t Formelsammlung BM Mathematik V4.2 / R. Richarz 05.06.2019