Tài liệu lưu hành nội bộ
ÁNH XẠ
VD1 : Cho ánh xạ f : R  R xác định bởi f  x   2 x 3  1 . Tìm
f  0  , f 1 , f 1 1 , f 1 1;17  , f
0;1
Giải :
f  0   2.03  1  1; f 1  2.13  1  3; f 1 1   x  R / f  x   1   x  R / 2 x 3  1  1  0
f 1 1;17    x  R /1  f  x   17   x  R /1  2 x 3  1  17
  x  R / 0  2 x3  16   x  R / 0  x 3  1  8   x  R / 0  x  2  0; 2
f
0;1   f  x  / 0  x  1 Ta có : 0  x  1  0  x
Vây f
3
 0  2 x3  1  1  2 x3  1  3
0;1  1;3
VD 2 : Chứng minh rằng ánh xạ f : R  R xác định bởi f  x   2 x 3  1 là song ánh và tìm ánh xạ ngược.
Giải :
x1 , x2  R mà x1  x2  2 x13  1  2 x23  1  x13  x23  f  x1   f  x2 
 f là đơn ánh. 1
y  R, f  x   y  2 x3  1  y  2 x3  y  1  x 3 
Vậy, y  R, x  y  R, f  x  
3
y 1
x
2
y 1
 R  f là toàn ánh
2
3
y 1
R
2
 2
Từ (1) và (2), suy ra f là song ánh.
Cách 2 :
f 1 : R  R
Ánh xạ ngược
yx
3
y 1
2
là ánh xạ ngược của f .
y  R, xét phương trình y  f  x   y  2 x3  1  x 
nghiệm duy nhất là x 
VD3 : Cho ánh xạ :
3
3
y 1
. Như vậy y  R, phương trình y  f  x  có
2
y 1
nên f là song ánh.
2
f :RR
x  f  x   3x 2  x  2
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
a)
f có phải làm song ánh không ?Tại sao ?
b) Tìm f  0  , f 1 , f
0;1 , f 0; 2
Giải :
1 1
1
 b 
1
a) Ta có : f     f    3.   2    2  3
36 6
12
 2a 
6
Với y  3 , xét phương trình f  x   3  3x 2  x  2  3  3x 2  x  1  0
  1  4.3  11  0  Phương trình vô nghiêm
Như vậy với y  3  Phương trình f  x   3 vô nghiệm nên f không phải làm toàn ánh  f cũng không
phải làm song ánh.
+ Xét tính đơn ánh :
 x1  0
Ta có : f  x   2  3x  x  2  2  3x  x  0  x  3x  1  0  
 x2  1
3

2
2
1
Như vậy với x1  0, x2  , ta có x1  x2 nhưng f  x1   f  x2   2 . Vậy f không phải làm đơn ánh.
3
c) f  0   2, f 1  0, f
f  x  , max f  x  
0;1  min

 
 
0;1

Trong đó : min f  x   min  f  0  , f 1 ,
0;1


max f  x   max  f  0  , f 1 ,
0;1

Vậy f
0;1
25 
25
 1 

f     min 2, 0,    
12 
12
 6 

25 
 25 
 1 

;0 
f     max 2, 0,    0 Vậy f( 0;1)  
12 
 6 

 12 
25 
;0 
0;1   12


f 1  0; 2  x  R / f (x)  0, 2  x  R / 0  f (x)  2
2

x
 x 1

3x  x  2  0
2  1


3
 x   1;    1; 
Ta có : 0  f (x)  2   2

3  4

3x  x  2  2
1  x  4

3
2
2  4

Vậy f 1 0; 2   1;    1; 
3  3

VD4 : Ánh xạ f : R  R xác định bởi f  x  
3x
có phải là đơn ánh, toàn ánh không ?
x 1
2
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
Giải
+ Xét tính đơn ánh :
x1 , x2 , ta có: f (x1 )  f (x 2 ) 
3x1
3x
 2 2  3x1 (x 2 2  1)  3x 2 (x12  1)
2
x1  1 x 2  1
 x1x 2 2  x1  x 2 x12  x 2  (x1  x 2 )  x1x 2 (x 2  x1 ) =0    (x1  x 2 )  x1x 2 (x 2  x1 )   0
 x1  x 2
 (x 2  x1 )  x1x 2 (x 2  x1 )  0  (x 2  x1 )(1  x1x 2 )  0  
 x1x 2  1
1
9
1 9
Chọn x1  3, x2  , ta có x1  x2 nhưng f  x1   f  3  ; f  x2   f     f  x1   f  x2  nên f
3
10
 3  10
không phải là đơn ánh.
+ Xét tính toàn ánh :
y  , xét phương trình y  f  x   y 
3x
 yx 2  3x  y  0
2
x 1
+ Nếu y  0 , phương trình có nghiệm x  0
+ Nếu y  0 thì   9  4 y 2 , chọn y  2 ta có   0 nên pt vô nghiệm. Vậy với y  2  pt f  x   2 vô
nghiệm. Nên f không phải là toàn ánh.
Bài tập :
Bài 1 : Cho f : R  R, f (x)  x 2  3x  1
a) Hỏi f có phải làm đơn ánh, toàn ánh, song ánh không ? Tại sao ?
b) Tìm f
 1; 2 ; f  1; 2 ; f  1;1
1
Giải
2
9 9
5
3
 b 
3 3
a) Ta có : f     f       3.  1 =   1    2
4 2
4
2
 2a 
2 2
Với y  2 , xét phương trình f  x   2  x 2  3x  1  2  x 2  3x  3  0
Δ  32  4.1.3  3  0  pt vô nghiệm
Như vậy với y  2  Phương trình f  x   2 vô nghiệm nên f không phải làm toàn ánh. Suy ra, f cũng
không phải làm song ánh.
+ Xét tính đơn ánh :
x  0
Với y  1 , Ta có : f  x   1  x 2  3x  1  1  x 2  3x  0  x(x  3)  0   1
x 2  3
Như vậy với x1  0, x2  3 , ta có x1  x2 nhưng f  x1   f  x2  . Vậy f không phải làm đơn ánh.
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
b) + f  1; 2   min f  x  ; max f  x  
  

 
1;2
1;2
5  5
3  

Trong đó : min f  x   min f (1), f (2), f ( )  = 5, 1,     
 1;2
4  4
2  

3  
5

max f  x   max f (1), f (2), f ( )  = 5, 1,    5
 1;2
2  
4

Vậy f
 1; 2   54 ;5


+ f 1  1; 2  x  R / f (x)   1; 2  x  R /  1  f (x)  2
x  1  x  2
2
2


 x  3x  1  1 
 x  3x  2  0
Ta có 1  f (x)  2   2
  3  13
 2
3  13
x



 x  3x  1  2
 x  3x  1  0
2
 2
 3  13   3  13 
 x
;1   2;

2 
 2
 
 3  13   3  13 
Vậy f 1  1; 2  
;1   2;

2 
 2
 
+ = f 1  1;1  x  R / f (x)   1;1  x  R /  1  f (x)  1
2
2

x  1  x  2
 x  3x  1  1 
 x  3x  2  0
Ta có 1  f (x)  2   2

 2


0  x  3
 x  3x  1  1
 x  3x  0
 x   0;1   2;3
Vậy f 1  1;1   0;1   2;3
Bài 2 : Cho ánh xạ f : R  R , xác định bởi f  x   5 x 3  2 . Chứng minh f là song ánh và tìm ánh xạ ngược
Giải
y  R , xét phương trình y  f  x 
Ta có : y  5 x3  2  x3 
nhất là x 
3
y2
x
5
3
y2
 R . Như vậy y  R , phương trình y  f  x  có nghiệm duy
5
y2
nên f là song ánh.
5
Ánh xạ ngược :
f 1 : R  R
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
yx
3
y2
5
Bài 3 : Cho ánh xạ ;
f
f :RR
với
f  x   3x 3  2 . Chứng minh
f
là một song ánh. Tìm
0; 2 , f 0; 2 , f [2; ) 
1
Giải
y  R , xét phương trình y  f  x 
Ta có : y  3x3  2  x3 
nhất là x 
+ f
3
y2
x
3
3
y2
 R . Như vậy y  R , phương trình y  f  x  có nghiệm duy
3
y2
nên f là song ánh.
3
0; 2   f  x  / 0  x  22
Ta có : 0  x  2  0  x 3  8  0  3 x 3  24  2  3 x 3  2  26
Vậy f
0; 2   2; 26
+ f 1  0; 2   x  R / 0  f  x   2
2


  x  R / 0  3x3  2  2   x  R / 2  3x3  0   x  R /   x3  0 
3



 
2
2 
  x  R /  3  x3  0    3 ;0
3
3 

 
+ f 1 [2; )    x  R / 2  f  x      x  R / 2  3 x 3  2  
  x  R / 0  3x 3     x  R / 0  x    [0; )
Bài 4 : Cho ánh xạ y  R , xác định bởi f  x   x 3  1 . Chứng minh f là song ánh và tìm ánh xạ ngược
Giải
y  R , xét phương trình y  f  x 
Ta có : y  x3  1  x3  y  1  x 
x
3
3
y  1  R . Như vậy, phương trình y  f  x  có nghiệm duy nhất là
y  1 nên f là song ánh.
Ánh xạ ngược :
f 1 : R  R
yx
3
y 1
Bài 5 : Cho f : R  R, x  y  3x 2  1 . f có là một song ánh không ? Tìm f
 2;1 , f 0;3
1
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
Giải
 b 
a) Ta có : f     f  0   1  0
 2a 
Với y  0 , xét phương trình f  x   0  3x 2  1  0
  02  4.1.2  12  0  pt vô nghiệm
Như vậy với y  0  pt f  x   0 vô nghiệm nên f không phải làm toàn ánh. Suy ra, f cũng không phải là song
ánh.
+ Xét tính đơn ánh :
Với y  1 , ta có : f  x   1  3x 2  1  1  3x 2  0  x  0
Như vậy với x1  0, x 2  1 Ta có x1  x 2 và f (x1 )  f (x 2 ) . Vậy f là đơn ánh.
+ f([-2 ;1])=[min f(x);max f(x)]
 2;1
 2;1
Trong đó : min f(x)= min f (2), f (1), f (0) = 13, 4,1  1
 2;1
Max f(x)= max f (2), f (1), f (0) = 13, 4,1  13
 2;1
Vậy f([-2;1])=[ 1;13 ]
+ f 1 ( 0;3) = x  R / f (x)  0;3  x  R / 0  f (x)  3
x  
3x 2  1  0 3x 2  1  0


Ta có 0  f (x)  3   2
 2
2
3x  1  3
3x  2  0
x  
3

 2 2
 x     ;

 3 3
 2 2
Vậy f 1 (0;3)    ;

 3 3
Bài 6 : Cho ánh xạ f : R  R với f  x   2 x 3  7 chứng minh f là một song ánh. Tìm f
0; 2 , f  5;11
Giải
y  R , xét phương trình y  f  x 
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
1
Tài liệu lưu hành nội bộ
Ta có : y  2 x3  7  x3 
nhất là x 
+ f
3
y 7
x
2
3
y 7
 R. Như vậy y  R , phương trình y  f  x  có nghiệm duy
2
y7
nên f là song ánh.
2
0; 2   f  x  / 0  x  2
Ta có : 0  x  2  0  x 3  8  0  2 x 3  16  7  2 x 3  7  23
Vậy f
0; 2  7; 23
+ f 1  5;11   x  R / 5  f  x   11
  x  R / 5  2 x3  7  11   x  R / 12  2 x3  4   x  R / 6  x3  2


 x  R /  3 6  x  3 2    3 6; 3 2 
Bài 7 : Cho ánh xạ f : R  R , xác định bởi f  x   3 x 3  1 . Chứng minh f là song ánh và tìm ánh xạ ngược.
Tìm f 1 1; 2
Giải
y  R , xét phương trình y  f  x 
Ta có : y  3x3  1  x3 
là x 
3
y 1
x
3
3
y 1
 R. . Như vậy y  R , phương trình y  f  x  có nghiệm duy nhất
3
y 1
nên f là song ánh.
3
Ánh xạ ngược :
f 1 : R  R
yx
3
y 1
3
f 1 1; 2   x  R / f  x   1; 2   x  R /1  f  x   2
x  0
3 x3  1  1


Ta có : 1  f  x   2   3
1
3 x  1  2
x  3
3


1
Vậy f 1 1; 2  0; 3 
3

Bài 8 : Ánh xạ : f : R \ 2  R xác định bởi f  x  
3x  1
có phải là đơn ánh, toàn ánh không ? song ánh
x2
không ?
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
Giải
+ Xét tính đơn ánh :
x1 , x2  R \ 2 mà f  x1   f  x2  
3x1  1 3x2  1

x1  2 x2  2
  3x1  1 x2  2    3x2  1 x1  2   3x1 x2  6 x1  x2  2  3x2 x1  6 x2  x1  2
 6 x2  x2  6 x1  x1  7 x2  7 x1  x1  x2
Do đó f là đơn ánh.
+ Xét tính toàn ánh :
Với y  3 ,xét pt f  x   3 
3x  1
 3  3x  1  3x  6  0 x  7 ( vô nghiệm)
x2
Vậy f không là toàn ánh, nên f cũng không phải là song ánh.
Bài 9 : Cho ánh xạ f : R \ 1  R, f  x  
5x  2
, xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
x 1
Giải
+ Xét tính đơn ánh :
x1 , x2  R \ 1 mà f  x1   f  x2  
5 x1  2 5 x2  2

x1  1
x2  1
  5 x1  2  x2  1   5 x2  2  x1  1  5 x1 x2  5 x1  2 x2  2  5 x2 x1  5 x2  2 x1  2
 5 x2  2 x2  5 x1  2 x1  3 x2  3 x1  x1  x2
Do đó f là đơn ánh.
+ Xét tính toàn ánh :
Với y  5 ,xét pt f  x   5 
5x  2
 5  5 x  2  5 x  5  0 x  3 ( vô nghiệm)
x 1
Vậy f không là toàn ánh, nên f cũng không phải là song ánh.
Bài 10 : Cho ánh xạ: f : R  R; f  x   x 2  1  1 . Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Giải
- Xét tính đơn ánh : Ta có x1  1, x2  1, x1  x2 , nhưng f f  x1   f  x2   2  1 do đó f không là đơn ánh,
nên f cũng không là song ánh.
- Xét tính toàn ánh: y  1 , xét pt f  x   1
 x 2  1  1  1  x 2  1  0  x 2  1  0  x 2  1 ( vô nghiệm). Vậy f không là toàn ánh.
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
Bài 11 : Cho ánh xạ f : R  R : f  x   x 2  2 . Xét tính đơn anh, toàn ánh, song ánh.
Giải
- Xét tính đơn ánh : Ta có x1  1, x2  1, x1  x2 nhưng f  x1   f  x2   3 do đó f không là đơn ánh, nên f
cũng không là song ánh.
- Xét tính toàn ánh: y  1 , xét pt f  x   1
 x 2  2  1  x  1  0 ( vô nghiệm). Vậy f cũng không là toàn ánh.
Bài 12 : Cho ánh xạ: f : R  R  : f  x   x 2  1 . Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Giải
- Xét tính đơn ánh : Ta có x1  1, x2  1, x1  x2 nhưng f  x1   f  x2   2 do đó f không là đơn ánh, nên f
cũng không là song ánh.
- Xét tính toàn ánh : y  R 
 x  y 1
, pt luôn có nghiệm x  R . Vậy f cũng không là toàn
 x2  1  y  x2  y  1  x  y  1  
x  1 y
ánh.
Bài 13 : Cho ánh xạ: f : R 2  C : f  x, y    2 x  y    2 y  x  .i . Hỏi f có là song ánh không ?
Giải
Lấy   x0  iy0 bất kỳ  C  x0 , y0  R  . Xét pt f  x, y   
 y  2 x  x0
2 x  y  x0
  2 x  y    2 y  x   x0  iy0  

2  2 x  x0   x  y0
2 y  x  y0
2 x  y0

2 x  y0

x 0
x 0
R


y

2
x

x

5


5
0



5 x  2 x0  y0
 y  2  2 x0  y0   x0
 y  2 y0  x0  R



5
5



 2 x  y0 2 y0  x0 
2
Vậy pt f  x, y     x0  iy0 ,  duy nhất  x, y    0
,
  R vậy f là một song ánh ?
5
5


Bài 14 : Cho ánh xạ : f :  2 ; 2    1;1
x  f  x   cosx
a)
f có là đơn ánh, toàn ánh, song ánh ?
  1 3  
b) Tìm f 1   ,
)
  2 2  


TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
Giải
a) Xét x1  0, x2  2  x1 , x2   2 , 2  , x1  x2 nhưng f  x1   f  x2   1 nên f không là đơn ánh, và cũng
không là song ánh
+ m   1;1 xét pt f  x   m  cosx  m , pt này luôn có nghiệm x   0; 2    2 ; 2  nên là toàn ánh.

1 

f
x





  1 3   
 1 3   
2 
1

f
;

x


2

;
2

/
f
x

;

x


2

;
2

/
b)Ta có :
 
   


   
  
3

 2 2   
  2 2   
 f  x   2 




 2  x  2


1
 

cosx   2  cos 3  
/
  2  x  2
3
 

cosx  2  cos 6  




 x   3  2k 
/

 x     2 k 


6



  2  x   3  2k  2 
  

  


 
 k  Z    2 , ,  ,   2 ,  2 , ,  ,  2 
3 3 3
6
6 6 6
3

  2  x     2k  2 
 

6
     5 5 11 11 
  , , ,  ,  , , 
,

3 3
6
6 
 3 3 6 6
Bài 15 :Cho ánh xạ : f : R  R  : f  x   x . Xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Giải
+ Lấy x1  1, x2  1, x1 , x2  R, x1  x2 nhưng f  x1   f  x2   1 nên f không là đơn ánh và cũng không là
song ánh.
+ m  R  , xét pt f  x   m  x  m vì m  R   m  0 , suy ra pt trên luôn có nghiệm x  R nên là toàn
ánh.
Bài 16 : Cho ánh xạ f từ [2;  ) vào R xác định bởi f  x   x  2 . f có phải là đơn ánh? Toàn ánh?
Song ánh?
Bài 17 : Xét sự đơn ánh, toàn ánh, song ánh của ánh xạ:
   
f : 0;  x 0;    0;1 x  2; 2  với f  x; y    sin 2 x, 2cosy 
 2  4
Giải:
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ

 
 x1 ; x2  0; 2 
 sin 2 x1  sin 2 x2



 f  x1 ; y1   f  x2 ; y2   
Xét: 
2cosy1  2cosy2
 y ; y  0;  
1
2



 4
  2 x1  2 x2  2k
  x1  x2


2
x



2
x

2
k

2
 1



   x1   x2
2
  y1  y2

 y   y l 
 y1  y2
2
 1
 f không phải đơn ánh
Xét m   0;1 , n   2; 2  , ta có:
arcsin  m 

x

sin
2
x

m


2


2cosy  n
 y  arccos  n 
 

2
 f toàn ánh
Bài 18: Cho ánh xạ: f : R 2  R 2 , f  x    x  1; x  1 . Tìm f  R  , f 1  A  , biết A   x, y   R 2 | x 2  y 2  4
Giải:
x '  x 1
Ta có: f  R    x ', y '  R 2   
 x ' y '  2
 y '  x 1
 f  R    x ', y '  R, x ' y '  2
f 1  A    x  R; f  x   A
  x  1   x  1  4  1  x  1
2
2
 f 1  A    x  R; 1  x  1
f : R2  R2
Bài 19: Cho ánh xạ:
x  f  x    3x  1;3x 2  x 
2
Cho tập A  [0; 4) x(; ] , xác định f 1  A 
3
Giải:
Ta có: f : R 2  R 2
x  f  x    3x  1;3x 2  x 


f 1  A   x  R, f  x   A  x  R,  3x  1;3x 2  x   A
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ


 1

  x 1 
0  3 x  1  4  

1
1


 
 3


  x  R,  2
2    x  R, 
   x  R,   x  
3
3


3 x  x  3  
 2  x  1 

 

3 
 3

 1 1
 f 1  A    ; 
 3 3
Bài 20 :
f : R2  R2
Cho ánh xạ:
 x1; x2   f  x1; x2    2 x1  x2  1; x1  2 x2  1
Chứng minh f là đơn ánh
Giải:
Ta có:
f : R2  R2
 x1; x2   f  x1; x2    2 x1  x2  1; x1  2 x2  1
y1 ; y2  R 2 , ta có: f  x1 ; x2   f  y1 ; y2 
  2 y1  y2  1; y1  2 y2  1   2 x1  x2  1; x1  2 x2  1
2 y1  y2  1  2 x1  x2  1 2 y1  y2  2 x1  x2
 y1  x1



  y1 ; y2    x1 ; x2 
 y1  2 y2  1  x1  2 x2  1  y1  2 y2  x1  2 x2
 y2  x2
 f đơn ánh
Bài 21:
Cho ánh xạ: f : R 2  R 2 xác định bởi f  x1 , x2    x1  x2 , 2 x1  x2 
a) Chứng minh f song ánh
b) Tìm f 1 1;1 . Xác định f 1  y1 , y2 
Giải:
Với  x1 , x2   R 2 và với  x1' , x2'   R 2 sao cho f  x1 , x2   f  x1' , x2'  , ta có:
 x1  x2  x1'  x2'
 x1  x2 , 2 x1  x2    x  x , 2 x  x   
'
'
2 x1  x2  2 x1  x2
'
1
'
2
'
1
'
2
 x1  x2  x1'  x2'
 x1  x2  x1'  x2'
 x1  x1'



  x1 , x2    x1' , x2' 


'
'
'
3x1  3x1
 x1  x1
 x2  x2
 f đơn ánh 1
Gỉa sử y   y, y2   R 2 . Ta tìm x   x1 , x2  sao cho f  x   y   x1  x2 , 2 x1  x2    y1 , y2 
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
y  y2

x1  1
 x1  x2  y1

 x1  x2  y1
 x1  x2  y1


3



y1  y2  
2
x

x

y
3
x

y

y
2
y
 1 2
2
 1
1
2
 x1  3
 x  1  y2
 2
3
3
 f toàn ánh  2 
Từ (1) và (2)  f song ánh
Bài 22:
Cho ánh xạ: f : R 2  R 2 , f  x, y    x  2 y, 2 x  y 
a) Chứng minh f là một song ánh
b) Cho tập A   x, y   R 2 | x 2  y 2  45 . Tìm nghịch ảnh f 1  A 
Giải:
a) Chứng minh tương tự câu 21a)
b) Ta có: f : R 2  R 2 , f  x, y    x  2 y, 2 x  y 
A   x, y   R 2 | x 2  y 2  45


f  A   a, b  R 2 x 2  y 2  45, a  x  2 y, b  2 x  y
a  2b

x


a  x  2 y
5
Có: 

b  2 x  y
 y  b  2a

5
 a  2b   b  2a 
2
2
Mặt khác: x  y  45  
 
  45  a  b  225
 5   5 
2
2
2
2


 f  A   a, b  R 2 a 2  b 2  225


f 1  A  x, y  R 2 a 2  b 2  45; a  2 x  y; b  2 x  y
  2 x  y    x  2 y   45  x 2  y 2  9
2
2


 f 1  A   x, y  R 2 x 2  y 2  9
Bài 23: Cho ánh xạ: f : C  C , f  z   iz 2   4  i  z  9i, i là đơn vị ảo. Xác định f 1 7 
Giải:
Ta có: f  z   iz 2   4  i  z  9i
 f 1 7  là tập hợp các giá trị z sao cho
f  z   7  iz 2   4  i  z  9i  7  iz 2   4  i  z  9i  7  0
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
Tài liệu lưu hành nội bộ
z  3  i
2
Tính   21  20i   2  5i    1
 z2  2  3i
Vậy f 1 7   3  i; 2  3i
Bài 24: Cho ánh xạ: f :  m; 2  R, f  x   x3  3x 2  9 x  1 . Xác định m để f là một đơn ánh
Giải:
Ta có: f  x   x3  3x 2  9 x  1
x  2
f '  x   3x 2  6 x  9  0  
 x  3
Lập bảng biến thiên
Để f là một đơn ánh  f  x  phải đơn điệu x   m; 2
Xét BBT:  1  m  2
Bài 25: Cho ánh xạ: f : R  R , xác định bởi f  x   x 2  2 x  1 và tập hợp A  2;1; 3 . Xác định tập ảnh
f  A  và tập nghịch ảnh f 1  A 
Giải:
+)Xác định tập ảnh: f  A    f  2  ; f 1 ; f  3  7; 2
+)Xác định tập nghịch ảnh
x  1
f  x   2  x2  2x  3  0  
 x  3
f  x   1  x 2  2 x  2  0  x  1  3
f  x   3  x 2  2 x  2  0, vô nghiệm

Do đó, f 1  A  1; 3; 1  3

PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN, TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI CÁC NĂM GẦN
NHẤT
(GÕ XONG GIẢI RỒI ANH, EM TỰ LUYỆN
SAU SAU ĐÓ SẼ ĐĂNG GIẢI SAU)
TRẦN BÁ MINH HIẾU – IT2 – KHÓA: 63 CPA: 3,82 – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HN
a. Tính f
 
với f x  x 6  2 x 3  4, x 

Cho ánh xạ f :
Câu 1.
 .
b. Chứng minh rằng ánh xạ này không toàn ánh.
2
Cho ánh xạ f :
Câu 2.

A   x; y  
2

2


đơn ánh.
Câu 4.
Cho ánh xạ f :
Câu 5.
Cho ánh xạ f :
Cho A 
với
 
 
với f  x, y    x
2
với f x  x  3x  2 . Xác định f 1

2
3
2
với f x  x  3 x  9 x  1 . Xác định m để f là

2
2

 x; y  
2

x  0 và ánh xạ f :
 0; 2  .
 y; x  y . Ánh xạ f có là đợn ánh ,
toàn ánh hay không? Tại sao?
Câu 6.
 

x2  y 2  1 .
Cho ánh xạ f :  m; 2  
Câu 3.
 
với f x , y  x  y ; x  y . Tính f A
2


 A với f  x, y   x2 ; x  y .
Ánh xạ f có là toàn ánh không? Tạo sao?
Xác định tập A 
Câu 7.
2
 
để ánh xạ f : 0;   0;    A với
 4
f  x , y    sin x  cos x; 2 cos y  là song ánh.
Cho ánh xạ f :
Câu 8.
 
3
với f x  x  4 x . Xác định a , b biết

 
f 1 a  0; 2; b .
x3
. Xác định f 1  0;1 .
x1
để ánh xạ f : A  
 1;1   0;   với
\1 
Câu 9.
Cho ánh xạ f :
Câu 10.
Xác định tập A 

2


 
với f x 

f  x, y   sin x; e y là song ánh.
Câu 11.
Cho ánh xạ f :
Câu 12.
Cho ánh xạ f :
\1 
2

2
x1
. Xác định f 1  0;1 .
x 1
với f  x , y    x  ay ; x  y  .Xác định tất cả các giá trị

 
với f x 

của a để f là song ánh.
Câu 13.
Cho ánh xạ f :

A  x
Câu 14.
 
 
3
với f x  x  3 x . Tính f A

 
1
A
và f
với

2  x  4 .
Cho ánh xạ f :
2

2

 

với f x, y  x3 ; x2  y .Chứng minh f là song ánh.
Câu 15.
Cho ánh xạ f :


 
với f z  2 z  2  3i và A  z 

z  1 . Tìm và
 
biểu diễn f A trên mặt phẳng phức.
Câu 16.
Cho ánh xạ f :
 

với f x  2 x  1 có đơn ánh không? Có toàn ánh

với f z  z 6 m  i 3
không? Tạo sao?
Câu 17.
Cho ánh xạ f :
 

a. Tính m để ánh xạ f là ánh xạ toàn ánh



b. Khi m  1 , tìm f 1  

6 

3  i 


12
, m