Instituto Tecnológico de La Laguna División de Estudios de Posgrado e Investigación Robótica Tarea I Alumno: Ed-yoha Abiram Vaquera Hernández Dr. J. Alfonso Pámanes Garcı́a 28 de febrero del 2020 1. Tarea I Considerar 3 rotaciones sucesivas de un marco ortogonal ΣD con respecto a otro ,ΣA , en angulos α, β, γ con respecto a los vectores ”z,y,x” respectivamente: a) Obtenga la matriz de rotación A D R que describe la orientación de ΣD con respecto a ΣA cuando ΣD alcanza la orientación final. b) Demuestre que det de A D R = 1 mediante angulos de euler. c) Demuestre tambien que det de A D R = 1 mediante angulos de Bryant. 2. Solución a Tenemos las siguientes ecuaciones: cα sα 0 A B R = sα cα 0 0 0 1 cβ 0 sβ B 0 1 0 CR = −sβ 0 cβ 1 0 0 C D R = 0 cγ −sγ 0 sγ cγ Multiplicamos (1) y (2) para obtener A CR : cα sα 0 cβ 0 sβ cαcβ −sα cαsβ A A B 0 1 0 = cβsα cα sαsβ C R =B RC R = sα cα 0 0 0 1 −sβ 0 cβ −sβ 0 cβ Tambien multiplicamos (4) y (3) para obtener A DR : cαcβ −sα cαsβ 1 0 0 A A C cα sαsβ 0 cγ −sγ D R =C RD R cβsα −sβ 0 cβ 0 sγ cγ cαcβ cαsβsγ − cγsα cαcγsβ + sαsγ A D R = cβsα cαcγ + sαsβsγ cγsαsβ − cαsγ −sβ cβsγ cβcγ 1 (1) (2) (3) (4) (5) 3. solución b procedemos a escribir las diagonales para encontrar el determinante : D1 = c2 αc2 βc2 γ + cαc2 βcγsαsβsγ D2 = c2 γs2 αs2 β + c2 αs2 βs2 γ − cαcγsαsβsγ − cαcγsαs3 βsα D3 = c2 βs2 αs2 γ + cαc2 βcγsαsβsγ Procedemos a escribir las diagonales inversas considerando ya el signo negativo : Di1 = cαcγsαsβsγ + c2 αc2 γs2 β + s2 αs2 βs2 γ + cαcγsαs3 βsγ Di2 = c2 αc2 βs2 γ − cαc2 βcγsαsβsγ Di3 = c2 βc2 γs2 α − cαc2 βcγsαsβsγ Con la ayuda de Matlab obtenemos el siguiente resultado : detA D R = D1 + D2 + D3 + Di1 + Di2 + Di3 4. detA DR = 1 (6) cµcν −cµsν sµ A sλsµcν + cλsν −sλsµsν + cλcν −sλcµ DR = −cλsµcν + sλsν cλsµsν + sλcν cλcµ (7) solución c procedemos a escribir las diagonales para encontrar el determinante : D1 = −c2 λc2 µc2 ν − cλc2 µcνsλsµsν D2 = c2 µs2 λs2 ν − cλc2 µcνsλsµsν D3 = cλcνsλs3 µsν + c2 νs2 λs2 µ + c2 λs2 µs2 ν + cλcνsλsµsν Procedemos a escribir las diagonales inversas considerando ya el signo negativo : Di1 = c2 λc2 νs2 µ + s2 λs2 µs2 ν − cλcνsλs3 µsν − cλcνsλsµsν Di2 = cλc2 µcνsλsµsν + c2 µc2 νs2 λ Di3 = cλc2 µcνsλsµsν + c2 µc2 νs2 λ Con la ayuda de Matlab obtenemos el siguiente resultado : detA D R = D1 + D2 + D3 + Di1 + Di2 + Di3 = 1 2
