IV. Variables Aleatorias Continuas y
IV.
sus Distribuciones de Probabilidad
1
Variable Aleatoria Continua
Definición
Se dice que una variable aleatoria X es continua si su
conjunto de posibles valores es todo un intervalo (finito o
infinito) de números reales.
Por ejemplo, una v.a. continua puede ser el tiempo de
retraso con el que un alumno o un profesor llega al aula de
clases ó también el peso o la estatura de los estudiantes de
l FE
la
FE.
2
La función de densidad de una variable
aleatoria continua
La función f(x) es una función de densidad de probabilidad
para la variable aleatoria continua X, definida sobre el
conjunto de los números reales, sí:
1.- f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R
∞
2.-
∫ f ( x)dx = 1
−∞
3.- P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a < X ≤ b ) = P ( a ≤ X < b )
= P (a < X < b ) =
b
∫
a
3
f X ( x ) dx
La función de densidad de una variable
aleatoria continua
`
Esto es, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo
[a, b] es el área bajo la gráfica de la función de densidad, como
lo ilustra la figura 4.1 La gráfica de f (x), se conoce a veces
como curva d
de densidad.
d
id d
`
Esto es, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo
[a, b] es el área bajo la gráfica de la función de densidad, como
lo ilustra la figura. La gráfica de f(x), se conoce a veces como
curva de densidad.
4
La función de densidad de una variable
aleatoria continua
Propiedades
Para una v.a. X, fX (x) satisface las siguientes propiedades:
f (x) ≥ 0 , ∀x
1
1.
∞
2.
∫
fX
(x )dx
=1
−∞
3.
P ( x1 ≤ X ≤ x2 ) =
x2
∫ f ( x ) dx
X
x1
Note además que P(X = c) = 0, para cualquier número real c.
5
La función de densidad de una variable
aleatoria continua
Ejemplo
Un profesor de la UNAM nunca termina su clase antes del
término de la hora, mas nunca se pasa de 2 minutos de ésta.
S X : ell tiempo
Sea
i
que transcurre entre ell término
é i de
d la
l hora
h
y
el término efectivo de la clase. Suponga que la fdp de X viene
dada por:
`
`
⎧ kx 2 0 ≤ x ≤ 2
fX (x) = ⎨
⎩ 0 d . o. m .
6
La función de densidad de una variable
aleatoria continua
1.
2.
3.
4.
7
Encuentre el valor de k.
¿Cuál es la probabilidad de que la clase termine a
menos de un minuto después del término de la hora?
¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe entre
60 y 90 segundos después del término de la hora?
¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe por lo
menos 90 segundos después del término de la hora?
La función de densidad de una variable
aleatoria continua
a)
∞
∫ f X ( x ) dx =
−∞
0
∞
2
∫ 0 dx + ∫ kx 2 dx + ∫ 0 dx
0
2
−∞
2
8
k 3
= x
=
k
3
3
0
Como
∞
8
3
∫ f X ( x ) dx = 1 ⇒
k = 1 ⇒ k=
3
8
−∞
b ) P ( X ≤ 1) =
8
1
1
3
∫ x 2 ddx =
x
8
0 8
3
1
=
0
1
8
=
0 125
0,125
La función de densidad de una variable
aleatoria continua
c) P (1 ≤ X ≤ 1,5) =
=
d ) P ( X ≥ 1,5
, )=
3
1,5
1 3
3 2
∫ x dx = x
8
1 8
2
1
≈
0,2969
64
19
2
1,5
∫ 3 x2dx
1,5 8
= 1− ∫
3 2
x dx
8
0
3
= 1−
9
1
8
3 2
x
0
= 1−
27
64
=
37
64
≈ 0, 5781
Función de Distribución Acumulada
La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua X,
con una función de densidad f(x) es:
x
F(x)
( ) = P(X
( ≤ x) =
∫ f ( s)ds
−∞
para − ∞ ≤ x ≤ ∞
De la definición de función de distribución acumulada de una variable
aleatoria continua se deducen las ppropiedades
p
siguientes:
g
1.- F(−∞) = 0
2.- F(∞) = 1
3.- P( x1 ≤ X ≤ x2) = F(x2) − F(x1)
dF ( x )
= f ( x)
4.dx
10
Función de Distribución Acumulada
`
11
Función de Distribución Acumulada
Se ilustra el cálculo de probabilidades entre a y b como
una diferencia entre las probabilidades acumuladas en la
fda (“áreas”).
Cálculo de P ( a ≤ X ≤ b ) a partir de las probabilidades
acumuladas.
12
Esperanza Matemática
Esperanza Matemática
Sea X una variable aleatoria continua con función de
densidad f(x). Se llama esperanza matemática o valor
esperado, valor medio o media de X al número real.
E( X ) = μ =
∞
∫ x f ( x)dx
−∞
Significado
g
de la esperanza
p
Como valor medio teórico de todos los valores que puede
tomar la variable. Representa
p
una medida de centralización.
13
Esperanza Matemática
Ejemplo: La distribución de la cantidad de grava (en toneladas)
vendida a una empresa en particular proveedora de materiales
para la construcción, en una semana dada, es una v.a. X continua
con fdp:
fd
(
)
⎧⎪ 3 1 − x 2 0 ≤ x ≤1
fX ( x) = ⎨ 2
⎪⎩0 de otra manera
¿Cuántas toneladas esperarías que se vendan durante esa
semana?
14
Esperanza Matemática
Solución:
Por definición tenemos:
∞
1
3
E ( X ) = ∫ x ⋅ f X ( x ) dx = ∫ x ⋅ (1 − x ) dx = = 0,375
8
−∞
0
3
2
2
Lo cual significa que esperaríamos que se vendieran 0,375
0 375
[Ton] ó 375 [kg] de grava a la empresa proveedora de
materiales para la construcción.
construcción
15
Esperanza Matemática
`
16
Varianza
Definición
Medida del cuadrado de la distancia promedio entre la
media y cada elemento de la población.
Sea X una variable aleatoria continua con distribución de
probabilidad f(x) y media μ. La varianza de X es calculada
por medio de:
∞
∞
−∞
−∞
σ 2 = E [( X − μ ) 2 ] = ∫ ( x − μ ) 2 f ( x) dx = ∫ x 2 f ( x)dx − μ 2
17
Desviación estándar
`
18
IV.1.
IV 1 La distribución Uniforme
`
19
IV.1.
IV 1 La distribución Uniforme
`
b
∫ f ( x)dx = 1
a
b+a
μ = E[ x] =
2
(b − a) 2
( )=
Var(x)
12
20
IV.1.
IV 1 La distribución Uniforme
`
Densidad de una v.a. Uniforme
21
IV.2. Distribución de Probabilidad
Exponencial
`
22
IV.2. Distribución de Probabilidad
Exponencial
`
∞
− λx
λ
e
∫ dx
0
b
lim ∫ λe −λx dx
b →∞
23
0
IV.2. Distribución de Probabilidad
Exponencial
t = e − λx
Sea:
dt
= − λ e − λx
dx
dt = −λe −λx dx
b
Entonces:
b
lim ∫ e −λx (λ )dx = − lim ∫ e −λx (− λ )dx
b →∞
b →∞
0
0
Realizando el cambio de variable
b
( )
− lim ∫ e dt = − lim e
t
b →∞
Sustituyendo: t = e − λx
24
0
b →∞
b
0
( )
= − lim e
b →∞
t
b
− λx b
0
⎛ 1 ⎞
= − lim⎜ λx ⎟
b→∞ e
⎝
⎠0
IV.2. Distribución de Probabilidad
Exponencial
Evaluando la integral:
⎡ ⎛ 1 ⎞
⎡
⎛ 1 ⎞⎤
⎛ 1 ⎞⎤
= − ⎢lim⎜ λb ⎟ − lim⎜ λ (0 ) ⎟⎥ = − ⎢0 − lim⎜ 0 ⎟⎥
⎣b → ∞ ⎝ e ⎠ b → ∞ ⎝ e ⎠ ⎦
⎣ b →∞⎝ e ⎠ ⎦
[
]
⎡
⎛ 1 ⎞⎤
= − ⎢0 − lim⎜ ⎟⎥ = − − lim(1) = lim(1) = 1
b →∞
b →∞
⎣ b →∞⎝ 1 ⎠ ⎦
Lo cual queda demostrado.
25
IV.2. Distribución de Probabilidad
Exponencial
Función de distribución:
x
Demostración: F ( x) = λe −λt dt
∫
0
La integral se resuelve por cambio de variable:
Sea:
w = e − λt
dw
= − λ e − λt
dx
d = −λe −λt dt
dw
d
26
IV.2. Distribución de Probabilidad
Exponencial
Entonces:
x
F ( x) = ∫ λe −λt dt
0
x
x
0
0
F ( x) = ∫ e −λt (λ )dt = − ∫ e −λt (− λ )dt
Realizando el cambio de variable:
x
F ( x) = − ∫ e −λt (− λ )dt
0
x
F ( x) = − ∫ e dw = −e
w
0
27
w x
0
IV.2. Distribución de Probabilidad
Exponencial
`
F ( x ) = −e
w x
F ( x ) = −e
− λt x
0
[
F ( x) = −[e
0
F ( x ) = − e − λx − e − λ ( 0 )
− λx
− e0
F ( x ) = 1 − e − λx
28
]
]
IV.2. Distribución de Probabilidad
Exponencial
La media y la varianza de la distribución exponencial son:
E (x
( x) =
V ( x) =
Var
Respectivamente.
29
1
λ
1
λ2
IV.2. Distribución de Probabilidad
Exponencial
Propiedad de la “pérdida de memoria” de la distribución
exponencial.
exponencial
1.
2.
3.
4.
30
La distribución exponencial carece de memoria, es decir:
t
P (X > x + > x) = P(X > t)
X
L distribución
La
d
b ó exponenciall es la
l generalización
l
ó all caso continuo de
d
la distribución Geométrica.
La distribución exponencial aparece, en ocasiones, caracterizada
utilizando
ili d como parámetro
á
lla media,
di
1
E (x ) = μ =
λ
La distribución exponencial se caracteriza por tener una razón de
fallo constante; la probabilidad de fallar en cualquier intervalo no
depende de la vida anterior. Es, por lo tanto, adecuada para
d
describir
ibi la
l aparición
i ió de
d fallos
f ll all azar. La
L razón
ó de
d fallo
f ll viene
i
dada
d d
por:
h(t) = λ.
IV
IV.3
IV.3.
3. Distribución de Probabilidad Normal
`
`
El 12 de noviembre de 1733, Abraham DeMoivre
desarrolló la ecuación matemática de la curva normal. De
igual manera proporcionó una base sobre la cual se
f d
fundamenta
una gran parte de
d la
l teoría
í de
d la
l estadística
dí i
inductiva.
A la
l d
distribución
b ó normall se le
l llama
ll
también
bé
Distribución Gaussiana en honor a Karl Friedrich
Gauss.
Gauss
31
IV 3 Distribución de Probabilidad Normal
IV.3.
Definición
Una variable aleatoria continua X tiene una distribución
normal con parámetros μ y σ2 , siendo μ un número real
cualquiera y σ > 0,
0 siendo su función de densidad de
probabilidad de la forma siguiente:
f (x ) =
Con:
─∞<x<∞
─∞<μ<∞
σ>0
32
1
e
2π σ
(
x − μ )2
−
2σ 2
IV 3 Distribución de Probabilidad Normal
IV.3.
Para ser una función de densidad de probabilidad debe de
satisfacer las siguientes condiciones.
1. Que f(x) ≥ 0 para toda x que pertenece a los números
reales.
Que por ser una función exponencial lo cumple.
∞
2.
∫ f (x )dx = 1
−∞
33
IV 3 Distribución de Probabilidad Normal
IV.3.
Propiedades.
1.
Es unimodal.
2.
La moda, mediana y moda poseen el mismo valor.
3.
El dominio de f(x) son todos los números reales y su imagen
está contenida en los reales positivos.
4.
Es simétrica respecto de la recta x − μ.
Esto se debe a que:
f(μ + x) = f(μ − x)
5.
Tiene una asíntota horizontal en y = 0
En efecto y = 0 es una asíntota horizontal, ya que:
lim f ( x ) = 0
x→∞
34
IV 3 Distribución de Probabilidad Normal
IV.3.
6.
Alcanza un máximo absoluto en el punto:
⎛
1
⎜⎜ μ ,
2π σ
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
Demostración
Sea:
f (x ) =
35
1
2π σ
(
x − μ )2
−
e
2σ 2
IV 3 Distribución de Probabilidad Normal
IV.3.
Derivando con respecto a μ.
f ′( x ) =
f ′( x ) =
1
e
2π σ
1
e
2π σ
(
x − μ )2
−
⎛ 2( x − μ )
⎞
(
)
−
−
1
⎜
⎟
2
2σ
⎝
⎠
(
x − μ )2
−
⎛ 2( x − μ ) ⎞
⎜
⎟
2
⎝ σ
⎠
2σ 2
2σ 2
Igualando a cero:
1
2π σ
−
e
( x − μ )2
2σ 2
⎛ 2( x − μ ) ⎞
⎜
⎟=0
2
⎝ σ
⎠
De donde resulta:
x−μ = 0
x=μ
36
IV 3 Distribución de Probabilidad Normal
IV.3.
Obteniendo la segunda derivada:
⎛ x − μ ⎞⎛ x − μ ⎞
⎛ 1 ⎞
f ′′( x ) = f ( x )⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ + f ( x )⎜ − 2 ⎟
⎝ σ ⎠⎝ σ ⎠
⎝ σ ⎠
⎛ ( x − μ )2 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎟
(
)
f ′′( x ) = f ( x )⎜⎜
f
x
+
⎜− 2 ⎟
4
⎟
⎝ σ ⎠
⎝ σ
⎠
⎡⎛ ( x − μ )2 ⎞ 1 ⎤
⎟− 2⎥
f ′′( x ) = f ( x )⎢⎜⎜
4
⎟ σ
⎢⎣⎝ σ
⎥⎦
⎠
⎛ 1
f ′′( x ) = f ( x )⎜ 2
⎝σ
37
⎞ ⎡⎛⎜ ( x − μ )
⎟ ⎢⎜
2
⎠ ⎢⎣⎝ σ
2
⎞ ⎤
⎟ − 1⎥
⎟
⎠ ⎥⎦
IV 3 Distribución de Probabilidad Normal
IV.3.
De donde resulta:
f ′′( x ) = −
Entonces:
1
σ2
f(μ) < 0
Y como:
x=μ
Por lo tanto:
f (μ ) =
1
2π σ
Lo que prueba que el máximo se encuentra en:
⎛
⎜ μ, 1
⎜
2μσ
⎝
38
⎞
⎟
⎟
⎠
IV 3 Distribución de Probabilidad Normal
IV.3.
Es creciente en el intervalo (─ ∞, μ) y decreciente en
(μ, ∞):
7.
Si x < μ, es f´(x) > 0, entonces la función es creciente
Si x > μ, es f´(x) < 0, entonces la función es decreciente
39
IV 3 Distribución de Probabilidad Normal
IV.3.
Posee dos puntos de inflexión en:
8.
x=μ−σ
x=μ+σ
Considerando la segunda derivada,
derivada la obtenida en el punto seis,
seis e igualando a
2
cero:
⎤
⎛ 1 ⎞⎡ (x − μ )
− 1⎥ = 0
f ( x )⎜ 2 ⎟ ⎢
2
⎝ σ ⎠⎣ σ
⎦
Despejando:
( x − μ )2 = 1
σ2
(x − μ)2 = σ2
De donde resulta:
x−μ=σ
y
x−μ=−σ
Por lo tanto:
x=σ+μ
40
y
x=μ−σ
IV 3 Distribución de Probabilidad Normal
IV.3.
9.
41
Los parámetros μ y σ2 son la media y la varianza
respectivamente.
IV 3 1 Distribución Normal Tipificada
IV.3.1.
Teorema.
Si X tiene una distribución normal con la media y la desviación
estándar, entonces:
Z=
X−μ
σ
Donde:
X es la variable de interés.
μ: es la media.
σ: es la desviación estándar
Z es ell número
Z:
ú
de
d d
desviaciones
i i
estándar
á d d
de X respecto a lla media
di de
d esta
distribución.
La distribución normal estándar tiene media cero y varianza 1, y
se denota como N(0,1).
42
IV 3 1 Distribución Normal Tipificada
IV.3.1.
Propiedades.
1. Su dominio son todos los números reales y su imagen
son los números reales positivos.
2. Es simétrica respecto al eje de ordenadas.
3. Tiene una asíntota horizontal en y = 0.
1
4. Alcanza un máximo absoluto en el punto (0,
).
2π
5
5.
Es creciente en el intervalo ((−∞
∞, 0) y decreciente en el
intervalo (0, ∞).
6
6.
Posee dos puntos de inflexión en x = −1
1 y x = 1,
1
respectivamente.
43
IV 3 1 Distribución Normal Tipificada
IV.3.1.
Áreas de la normal:
1. Aproximadamente el 68% de todos los valores se
encuentran dentro de una desviación estándar.
2. Aproximadamente el 95.5% de todos los valores se
encuentran dentro de dos desviaciones estándar.
3. Aproximadamente el 99.7% de todos los valores se
encuentran dentro de tres desviaciones estándar.
44
IV
IV.3.1
IV.3.1.
3 1. Distribución Normal Tipificada
P b bilid d asociadas
Probabilidades
i d con una di
distribución
t ib ió normall
45
Ejemplos de distribución normal
Ejemplo 1
El tiempo que tarda un automovilista en reaccionar a las
luces de freno traseras de otro vehículo al desacelerar, es
crítico para ayudar a evitar una colisión.
Suponga que esta variable se puede modelar como una
distribución normal con media de 1,25 segundos y
desviación estándar de 0,46 segundos.
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción se
encuentre 1 y 1,75 segundos?
46
Ejemplos de distribución normal
`
Solución:
47
Ejemplos de distribución normal
A continuación se muestra el cálculo de esta probabilidad en
f
forma
gráfica,
áf mostrando la equivalencia en el área
á
entre la
distribución normal y la estándar
48
Ejemplos de distribución normal
Ejemplo 2
En un quiosco de periódicos se supone que el número de
ventas diarias se distribuye normalmente con media 30 y
varianza 2. Determinar:
a)
b)
49
Probabilidad de que en un día se vendan entre 13 y 31
periódicos
ód
Determinar el máximo número de periódicos que se venden
en el 90% de las ocasiones
Ejemplos de distribución normal
`
50
Ejemplos de distribución normal
Ejemplo 3.
Los pesos de 2 000 soldados presentan una
distribución normal de media 65 kgg y desviación típica
p
8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido
al azar pese:
p
a)
b))
c)
d))
51
Más de 61 kg.
Entre 63 y 69 kg.
g
Menos de 70 kg.
Más de 75 kgg
Ejemplos de distribución normal
`
52
Ejemplos de distribución normal
Ejercicio
En un estudio estadístico sobre la altura de los españoles y de los
ingleses. Se han obtenido los siguientes datos:
Nacionalidad
Media
Desviación típica
a)
b)
c)
d)
53
Españoles
Ingleses
170.2
175.4
6.4
5.9
¿Quién es más alto en su país, un español que mide 177 cm o un
inglés que mide 181 cm?
¿C ál es la probabilidad
¿Cuál
r babilidad de quee unn español
es añ l mida más de 180 cm?
¿Cuál es la probabilidad de que un ingles mida entre 160 y 170
cm?
¿Cuál es la probabilidad de que un español sea más alto que un
inglés?
Ejemplos de distribución normal
54
Apéndice
Distribución de Probabilidad Normal
∞
∫ f (x )dx = 1
−∞
Demostración
Sea:
1
f (x ) =
Como:
2π σ
∞
I=
∫
−∞
e
−
( x − μ )2
2σ 2
f ( x )dx =
∞
∫
−∞
1
e
2π σ
−
( x − μ )2
2σ 2
dx
Estableciendo la siguiente igualdad:
t=
55
x−μ
σ
Apéndice
Derivando:
dt =
Entonces:
∞
2π
−∞
Por lo que:
σ
−
1
∫
1
∞
e
dx
( x − μ )2
2σ 2
1
e
2π
∫
−∞
1
σ
t2
−
2
dx
dt
Considerando I2:
∞
I =
2
∫
−∞
56
1
2π
e
−
t2
2
∞
dt ∫
−∞
1
2π
e
−
s2
2
ds
Apéndice
Por lo que ahora tenemos una integral doble de la siguiente
forma:
(
s 2 +t 2 )
∞ ∞
1 − 2
2
I = ∫∫
e
dsdt
2π
− ∞− ∞
De donde resulta:
1
I =
2π
2
57
∞ ∞
∫ ∫e
− ∞− ∞
(s
−
2
+t 2
2
)
dsdt
Apéndice
Realizando un cambio a coordenadas polares.
Sea:
s = r cos α
Y
t = r sen α
Por lo que el área ds y dt se transforma en rdrd α, y los
nuevos intervalos
i
l son:
-∞ < s < ∞ y
-∞ < t < ∞
0<r<∞
58
y
0 < α < 2π
Apéndice
Entonces
1
2
I =
2π
1
2
I =
2π
1
I =
2π
2
1
I =
2π
2
59
2π ∞
∫∫e
(r sen α + r
−
2
∫∫e
2
cos 2 α
2
0 0
2π ∞
2
(
r 2 sen 2α + cos 2 α
−
2
)
∫∫e
r 2 (1)
−
2
rdrdα
0 0
2π ∞
∫∫e
0 0
r2
−
2
rdrdα
rdrdα
rdrdα
0 0
2π ∞
)
Apéndice
Resolviendo:
∞
∫e
r2
−
2
rdr
0
Por cambio de variable
r2
w=−
Sea:
2
dw = − r
dw = − rdr
La integral resultante es:
∞
I 2 = (− )∫ e
0
60
r2
−
2
(− 1)rdr
Apéndice
Por lo que:
∞
∞
0
0
(− )∫ e w dw
d = lim
li ∫ e w dw
d
b →∞
− lim e
w
b →∞
∞
0
= − lim e
b →∞
r2
−
2
∞
0
Sustituyendo:
b
o
⎡
−
−
− ⎢lim e 2 − lim e 2
b →∞
⎢⎣b→∞
2
61
2
⎡
⎤
⎤
1
⎢
⎥ = − lim b 2 − lim 1⎥ = −[0 − 1] = 1
b →∞ ⎥
⎢b → ∞
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
e2
Apéndice
Entonces:
Por lo tanto:
2π
∫0 1dα = α 0 = 2π − 0 = 2π
2π
I2 =
1
[2π ] = 1
2π
I=1
Lo cual queda demostrado.
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