Représentation dans l’espace d’état
1. Introduction
Limitation aux EDP de premier ordre.
L’avantage de cette représentation réside dans :
• Représentation temporelle et ne fait appel à aucune transformation
• Le même formalisme est utilisé en continu et en discret,
• Facilite le traitement des systèmes nonlinéaires
• Bien adaptée aux méthodes d’optimisation, de contrôle et de stabilisation.
1
Exemple: 1
L’équation de la maille :
u (t )  Ri (t )  L
dv(t )
d 2 v(t )
u (t )  RC
 LC
 v(t )
2
dt
dt
X 1 (t )  v(t )
X 1 (t )  v(t )
X 2 (t )  X 1 (t )
X 2 (t )  v(t )
L’équation différentielle devient :
R
1
1
X 2 (t )   X 2 (t ) 
X 1 (t ) 
ut )
L
LC
LC
di(t )
 v(t )
dt
On définit dans

2
Les vecteurs :
 X 1 (t ) 

X (t )  
X
t
)
 2 
 X 1 (t )  X 2 (t )


R
1
1
X 1 (t ) 
u (t )
 X 2 (t )   X 2 (t ) 
L
LC
LC

 X 1 (t )   0


1
X (t )  
 X t )   
 2   LC
1   0 
R    1 u (t )
  

L   LC 
y t = v t = X 1 (t ) = 1 0 X(t)
On définit les matrices A, B et C /
0
1
𝐴 = −1 −𝑅
𝐿𝐶
𝐿
0
𝐵= 1
𝐿𝐶
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 =𝐶𝑋 𝑡
 

 X t ) 
 2 
et X (t )   X 1 (t ) 
𝐶= 1 0
Exemple 2 : Mécanique
𝑠: 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑘 𝑠 : 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑅𝑎𝑖𝑑𝑒𝑢𝑟
𝑘 𝑠 = 𝐾. 𝑠
𝐹 𝑠, 𝑠 : 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
𝐹 𝑠, 𝑠 = 𝑓 𝑠
L’équation du mouvement donne :
𝑑2 𝑠(𝑡)
𝑑𝑠(𝑡)
𝑚
+
𝑓
+ 𝑘𝑠 𝑡 = 𝑢(𝑡)
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
4
On définit :
𝑋1 𝑡 = 𝑠 𝑡
𝑋1 𝑡 = 𝑠 𝑡 = 𝑋2 𝑡
𝑓
𝑘
𝑢(𝑡)
𝑋2 𝑡 = 𝑠 𝑡 = − 𝑋2 𝑡 − 𝑋1 𝑡 +
𝑚
𝑚
𝑚
𝑦 𝑡 = 𝑠 𝑡 = 𝑋1 𝑡
𝑋 𝑡
𝑋 𝑡 = 1
𝑋2 𝑡
0
𝑘
=
−
𝑚
1
𝑓
−
𝑚
𝑋1 𝑡
𝑋2 𝑡
0
+ 1 𝑢(𝑡)
𝑚
avec
0
𝑘
𝐴=
−
𝑚
1
𝑓
−
𝑚
0
𝐵= 1
𝑚
𝐶= 1 0
L’équation d’état devient
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 =𝐶𝑋 𝑡
2. Quelques méthodes d’obtention des équations d’état
1. A partir de l’équation différentielle entrée-sortie
𝑑𝑛 𝑦(𝑡)
𝑑𝑛 −1 𝑦(𝑡)
𝑑𝑦(𝑡)
+
𝑎
+.
…
…
…
.
.
𝑎
+ 𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑢(𝑡)
𝑛−1
1
𝑑𝑡 𝑛
𝑑𝑡 𝑛 −1
𝑑𝑡
On définit les variables d’état
X 1 (t ) 𝑡 = 𝑦 𝑡
𝑋1 𝑡 = 𝑦 𝑡 = 𝑋2 𝑡
𝑋..2 𝑡 = 𝑦 𝑡 = 𝑋3 𝑡
𝑋𝑛−1 𝑡 = 𝑦 𝑛−1 𝑡 = 𝑋𝑛 𝑡
𝑑𝑛 𝑦
𝑋𝑛 𝑡 = 𝑛 = −𝑎0 𝑋1 𝑡 −𝑎1 𝑋2 𝑡 … … . −𝑎𝑛−1 𝑋𝑛 𝑡 + 𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
On définit le vecteur d’état
𝑋 𝑡 =
𝑋1 𝑡
𝑋2 𝑡
⋮
𝑋𝑛 𝑡
∈ 𝑅 𝑛𝑥1
6
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 =𝐶𝑋 𝑡
𝐴=
0
0
⋮
⋮
−𝑎0
1
0
⋮
⋮
−𝑎1
0
1
⋮
⋮
−𝑎2
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
1
⋮
. . −𝑎𝑛−1
𝐵=
0
0
⋮
⋮
1
𝐶= 1
0 ⋯ 0
𝐴 ∈ 𝑅 𝑛×𝑛
𝐵 ∈ 𝑅 𝑛×1
𝐶 ∈ 𝑅1×𝑛
2. A partir du diagramme de simulation
Soit l’équation différentielle d’ordre n avec des dérivées de
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑛 𝑢
𝑑𝑢
+
𝑎
+
⋯
⋯
+
𝑎
+
𝑎
𝑦
=
𝑏
+
𝑏
+ 𝑏0 𝑢
𝑛−1
1
0
𝑛
1
𝑑𝑡 𝑛
𝑑𝑡 𝑛 −1
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑛
𝑑𝑡
Soient les opérateurs dérivée D et intégrale
1
𝐷
𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−1 ⋯ ⋯ + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛 𝐷𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝐷𝑛−1 ⋯ ⋯ + 𝑏1 𝐷 − 𝑏0 𝑢 𝑡
7
𝑦 𝑡 =
1
𝐷𝑛
−𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 𝐷𝑛−2 ⋯ ⋯ − 𝑎1 𝐷 − 𝑎0 𝑦 𝑡
+ 𝑏𝑛 𝐷𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝐷𝑛−1 ⋯ ⋯ + 𝑏1 𝐷 + 𝑏0 𝑢 𝑡
1
1
𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛 𝑢 𝑡 +
𝑏 𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−1 𝑦 𝑡 + 2 𝑏𝑛−2 𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−1 𝑦 𝑡
𝐷 𝑛−1
𝐷
1
1
+ 𝑛−1 𝑏1 𝑢 𝑡 − 𝑎1 𝑦 𝑡 + 𝑛 𝑏0 𝑢 𝑡 − 𝑎0 𝑦 𝑡
𝐷
𝐷
⋯⋯
Le Diagramme de simulation est donné par
8
On définit la sortie des intégrateurs, comme des variables d’état
L’équation de la sortie :
𝑦 𝑡 = 𝑋1 𝑡 + 𝑏𝑛 𝑢(𝑡)
Les états du système dépendant de 𝑦 𝑡
𝑋1 = 𝑋2 𝑡 + 𝑏𝑛−1 𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−1 𝑦 𝑡
𝑋2 = 𝑋3 𝑡 + 𝑏𝑛−2 𝑢 𝑡 − 𝑎𝑛−2 𝑦 𝑡
⋮
𝑋𝑛−1 = 𝑋𝑛 𝑡 + 𝑏1 𝑢 𝑡 − 𝑎1 𝑦 𝑡
𝑋𝑛 = 𝑏0 𝑢 𝑡 − 𝑎0 𝑦 𝑡
Les états du système sont indépendant de 𝑦 𝑡
𝑋1 = 𝑋2 𝑡 − 𝑎𝑛−1 𝑋1 (𝑡) + 𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛 𝑢(𝑡)
𝑋2 = 𝑋3 𝑡 − 𝑎𝑛−2 𝑋1 (𝑡) + 𝑏𝑛−2 − 𝑎𝑛−2 𝑏𝑛 𝑢(𝑡)
⋮
𝑋𝑛−1 = 𝑋𝑛 𝑡 −𝑎1 𝑋1 𝑡 + 𝑏1 −𝑎1 𝑏𝑛 𝑢 𝑡
𝑋𝑛 = −𝑎0 𝑋1 𝑡 + 𝑏0 − 𝑎0 𝑏𝑛 𝑢 𝑡
Représentation d’état généralisée
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
9
𝐴=
−𝑎𝑛−1
−𝑎𝑛−2
⋮
⋮
−𝑎0
1 0 ⋮
0 1 ⋮
⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮
0 0 ..
𝐶= 1
0
⋮
⋮
1
0
𝐵=
0 ⋯ 0
𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛
𝑏𝑛−2 − 𝑎𝑛−2 𝑏𝑛
⋮
𝑏1 − 𝑎1 𝑏𝑛
𝑏0 − 𝑎0 𝑏𝑛
𝐷 = 𝑏𝑛
3. Forme dans le plan de phase (The phase variable forme)
Soit la fonction de transfert G(s) décrite par :
Y(s) 𝑏𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑠 𝑛−1 … … 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 N(s)
G s =
= 𝑛
=
U(s)
𝑠 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 … … 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
D(s)
10
On définit
𝑋1 𝑡 = 𝑧 𝑡
𝑋1 𝑡 = 𝑧 𝑡 = 𝑋2 𝑡
⋮
𝑛−1
𝑑 𝑧(𝑡)
𝑋𝑛−1 𝑡 =
= 𝑋𝑛 𝑡
𝑑𝑡 𝑛 −1
Cherchons
z s =
𝑑𝑛 𝑧(𝑡)
𝑋𝑛 𝑡 =
𝑑𝑡 𝑛
U(s)
U(s)
= 𝑛
D(s) 𝑠 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 … … 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
𝑠 𝑛 𝑧 𝑠 = −𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 𝑧 𝑠 − 𝑎𝑛−2 𝑠 𝑛−2 𝑧 𝑠 … … − 𝑎1 𝑠𝑧 𝑠 − 𝑎0 𝑧 𝑠 + U(s)
𝑑𝑛 𝑧(𝑡)
𝑑𝑛−1 𝑧(𝑡)
𝑑𝑧(𝑡)
=
−𝑎
−
⋯
−
𝑎
− 𝑎0 𝑧 𝑡 + u(t)
𝑛−1
1
𝑑𝑡 𝑛
𝑑𝑡 𝑛 −1
𝑑𝑡
𝑋𝑛 𝑡 = −𝑎𝑛−1 𝑋𝑛 (𝑡) − 𝑎𝑛−2 𝑋𝑛−1 (𝑡) … … −𝑎1 𝑋2 (𝑡) − 𝑎0 𝑋1 (𝑡) + u(t)
D’autre part :
11
𝑌 𝑠 = 𝑁 𝑠 𝑧 𝑠 = 𝑏𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑠 𝑛−1 … … 𝑏1 𝑠 + 𝑏0 𝑧 𝑠
𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛 𝑧 𝑛 𝑡 + 𝑏𝑛−1 𝑧 𝑛−1 𝑡 … … + 𝑏1 𝑧 𝑠 + 𝑏0 𝑧 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑏𝑛 −𝑎𝑛−1 𝑋𝑛 𝑡 − 𝑎𝑛−2 𝑋𝑛−1 𝑡 … … −𝑎1 𝑋2 𝑡 − 𝑎0 𝑋1 𝑡 + u t
+𝑏𝑛−1 𝑋𝑛 𝑡 + 𝑏𝑛−2 𝑋𝑛−1 𝑡 … … +𝑏1 𝑋2 𝑡 + 𝑏0 𝑋1 (𝑡)
= 𝑏0 − 𝑎0 𝑏𝑛 𝑋1 𝑡 + 𝑏1 − 𝑎1 𝑏𝑛 𝑋2 (𝑡)+... + 𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛 𝑎𝑛−1 𝑋𝑛 𝑡 + 𝑏𝑛 u t
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
→
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
𝐴=
0
⋮
⋮
⋮
−𝑎0
1
0
⋮
⋮
−𝑎1
0
1
⋮
⋮
−𝑎2
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
1
⋮
. . −𝑎𝑛−1
C = (𝑏0 − 𝑎0 𝑏𝑛 , 𝑏1 − 𝑎1 𝑏𝑛 , … … … 𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛 )
𝐵=
𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛
𝑏𝑛−2 − 𝑎𝑛−2 𝑏𝑛
⋮
𝑏1 − 𝑎1 𝑏𝑛
𝑏0 − 𝑎0 𝑏𝑛
12
D = 𝑏𝑛
4. Pluralité des représentations.
Soit la représentation
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
On cherche une autre représentation X t / X t = TX t avec T une matrice
inversible
𝑇 ∈ 𝑅 𝑛×𝑛 matrice carrée et 𝑑𝑒𝑡 𝑇 ≠ 0 pour 𝑋 ∈ 𝑅 𝑛 , 𝑢 𝑡 ∈ 𝑅𝑚
Si on pose
X t = TX t alors
et 𝑦(𝑡) ∈ 𝑅𝑝
𝑋 𝑡 = TX t = 𝐴 𝑇X 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑇X 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
X t =𝐴X 𝑡 +𝐵𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝐶 X 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
Les matrices de passage 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑒𝑡 𝐷 sont données par :
13
𝐴 = 𝑇 −1 𝐴𝑇,
𝐵 = 𝑇 −1 𝐵,
𝐶 = 𝐶𝑇 et 𝐷 = 𝐷
Cas général
A, B, C et D sont des matrices dépendantes du temps
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡)
Cette représentation possède d’autres représentations
x t = T(t)x t
Det(T(t))≠ 0 ∀ 𝑡
x t = T t x t + T t x t = A t T t x t + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) T t x t + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡)
T t x t = A t T t −T t
x t + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 =𝐶 𝑡 T t x t +𝐷 𝑡 𝑢 𝑡
X t = T −1 t
A t T t −T t
𝑦 𝑡 =𝐶 𝑡 T t X t +𝐷 𝑡 𝑢 𝑡
X t + T −1 t 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
14
X t = A t X t + 𝐵 (𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 =𝐶 𝑡 X t +𝐷 𝑡 𝑢 𝑡
Les formules de passage sont :
A t = T −1 t
𝐵 𝑡 = T −1 t 𝐵(𝑡)
A t T t −T t
𝐷 𝑡 =𝐷 𝑡
𝐶 𝑡 =𝐶 𝑡 T t
3. Intégration des équations d’état
Soit l’équation d’état
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡)
15
Le schéma fonctionnel est donné par :
• Cas Scalaire
𝑥 𝑡 = 𝑎(𝑡) 𝑥 𝑡 + 𝑏(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝑐(𝑡) 𝑥 𝑡 + 𝑑(𝑡) 𝑢(𝑡)
L’équation homogène S.S.M est donnée par :
𝑥 𝑡 =𝑎 𝑡 𝑥 𝑡
→
𝑑𝑥
= 𝑎 𝑡 𝑑𝑡
𝑥 𝑡
𝑡
→
𝑡0
𝑑𝑥(𝜏)
=
𝑥(𝜏)
𝑡
𝑎 𝜏 𝑑𝜏
𝑡0
16
𝑥(𝑡)
𝐿𝑛
=
𝑥(𝑡0 )
𝑡
𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡0 𝑒
𝑎 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡 0 𝑎 𝜏 𝑑𝜏
𝑡0
= 𝑥 𝑡0 ∅(𝑡, 𝑡0 )
avec
∅ 𝑡, 𝑡0
= 𝑒
𝑡
𝑡 0 𝑎 𝜏 𝑑𝜏
Propriétés de ∅ 𝑡, 𝑡0
1. ∅ 𝑡0 , 𝑡0 = 1
−1
2. ∅
𝑡, 𝑡0 = 𝑒
𝑡
0
− 𝑡 𝑎 𝜏 𝑑𝜏
= ∅ 𝑡0 , 𝑡
3. ∅ 𝑡1 , 𝑡2 . ∅ 𝑡2 , 𝑡3 = ∅ 𝑡1 , 𝑡3
4. ∅ t, t 0 = a t ∅ t, t 0
d
5. dt ∅−1 t, t 0
= − a t ∅−1 t, t 0
17
En effet
∅ 𝑡, 𝑡0 . ∅−1 𝑡, 𝑡0 = 1
d
∅ t, t 0 . ∅−1 𝑡, 𝑡0
dt
=0
∅∅−1 + ∅ ∅−1 = 0
∅−1 = −∅−1 ∅ ∅−1
= −∅−1 t, t 0 a t ∅ 𝑡, 𝑡0 . ∅−1 t, t 0
= −a t ∅−1 t, t 0
Pour la solution particulière
d −1
∅ t, t 0 X t
dt
On utilise un calcul intermédiaire
=
d −1
dX t
∅ t, t 0 X t + ∅−1 t, t 0
dt
dt
= −a t ∅−1 t, t 0 X t + ∅−1 t, t 0 X t
= ∅−1 t, t 0 −a t X t + X t
= ∅−1 t, t 0 b(t) u t
18
On intègre entre t 0 et t
𝑡
𝑡0
𝑑 −1
∅ τ, t 0 X τ 𝑑𝜏 =
𝑑𝑡
𝑡
∅−1 𝜏, t 0 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡0
𝑡
∅−1 t, t 0 X 𝑡 − ∅−1 t 0 , t 0 X t 0 =
∅−1 𝜏, t 0 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡0
On multiplie par ∅ 𝑡, 𝑡0
de part de d’autre de l’égalité
𝑡
𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 +
∅ 𝑡, 𝑡0 ∅ 𝑡0 , 𝜏 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡0
𝑡
𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 +
∅ 𝑡, 𝜏 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡0
19
• Cas Vectoriel
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑋 𝑡 ∈ 𝑅𝑛 ,
𝑢 𝑡 ∈ 𝑅𝑛
𝐴 𝑡 ∈ 𝑅𝑛×𝑚 ,
𝐵 𝑡 ∈ 𝑅𝑛×𝑚
L’équation sans second membre
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡
La solution homogène
𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0
La matrice de transition ∅ 𝑡, 𝑡0
Après intégration ∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝑒
• Propriétés de ∅ 𝑡, 𝑡0
1. ∅ 𝑡0 , 𝑡0 = matrice identité In
∀ 𝑡 > 𝑡0
est inversible.
𝑡
𝑡 0 𝐴 𝜏 𝑑𝜏
20
2. ∅ 𝑡2 , 𝑡1 . ∅ 𝑡1 , 𝑡0 = ∅ 𝑡2 , 𝑡0
En effet :
𝑋 𝑡1 = ∅ 𝑡1 , 𝑡0 𝑋 𝑡0
𝑋 𝑡2 = ∅ 𝑡2 , 𝑡0 𝑋 𝑡0
𝑋 𝑡2 = ∅ 𝑡2 , 𝑡1 𝑋 𝑡1 = ∅ 𝑡2 , 𝑡1 ∅ 𝑡1 , 𝑡0 𝑋 𝑡0
∅ 𝑡2 , 𝑡0 = ∅ 𝑡2 , 𝑡1 ∅ 𝑡1 , 𝑡0
3. 𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 = 𝐴 𝑡 𝑋(𝑡) = 𝐴 𝑡 ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0
∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝐴(𝑡) ∅ 𝑡, 𝑡0
4.
∅−1 𝑡, 𝑡0 = ∅ 𝑡0 , 𝑡
5.
d −1
∅ t, t 0
dt
=?
∅−1 t, t 0 ∅ 𝑡, t 0 = 𝐼𝑛
21
d −1
∅ t, t 0 ∅ 𝑡, t 0
dt
= ∅−1 t, t 0 ∅ 𝑡, t 0 + ∅−1 t, t 0 ∅ 𝑡, t 0 = 0
∅−1 t, t 0 ∅ 𝑡, t 0 + ∅−1 t, t 0 A(t)∅ 𝑡, t 0 = 0
∅−1 t, t 0 = −∅−1 t, t 0 A t ∅ 𝑡, t 0 ∅−1 t, t 0
=−∅−1 t, t 0 A(t) In
d −1
∅ t, t 0
dt
= −∅−1 t, t 0 A(t)
Solution particulière
d −1
∅ t, t 0 X t
dt
=
d −1
∅ t, t 0 X t + ∅−1 t, t 0 X t
dt
= −∅−1 t, t 0 A t In X(t) + ∅−1 t, t 0 X(t)
= ∅−1 t, t 0 X t − A t X(t)
= ∅−1 t, t 0 B t u(t)
22
𝑡
→
𝑡0
𝑑 −1
∅ τ, t 0 X τ 𝑑𝜏 =
𝑑𝑡
𝑡
∅−1 τ, t 0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡0
𝑡
→
∅−1 t, t 0 X t = X t 0 +
∅−1 τ, t 0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡0
𝑡
→
∅ t, t 0 ∅−1 τ, t 0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑋 𝑡 = ∅ t, t 0 X t 0 +
𝑡0
𝑡
= ∅ t, t 0 X t 0 +
∅ t, t 0 ∅ t 0 , τ B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡0
𝑡
→
𝑋 𝑡 = ∅ t, t 0 X t 0 +
∅ t, τ B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡0
23
Cas invariant
𝑋 𝑡 =𝐴𝑋 𝑡 +𝐵𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 =𝐶𝑋 𝑡 +𝐷𝑢 𝑡
La solution homogène :
𝑋 𝑡 = ∅ t, t 0 X t 0
∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝑒
𝑡
𝑡 0 𝐴 𝑑𝜏
= 𝑒 𝐴 𝑡−𝑡0
La solution générale :
𝑡
𝑋 𝑡 = 𝑒 𝐴 𝑡−𝑡0 X t 0 +
𝑒 𝐴 𝑡−𝜏 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡0
Cas scalaire
𝑥 𝑡 =𝑎𝑥 𝑡
→
dx t
= 𝑎 𝑑𝑡
x t
24
→ 𝐿𝑜𝑔
𝑥 𝑡
= 𝑎 𝑡 − 𝑡0 → x t = x t 0 𝑒 𝑎 𝑡−𝑡0
𝑥 𝑡0
pour
𝑡0 = 0
x t = x 0 𝑒 𝑎𝑡
→
Ce résultat peut aussi être déterminé par la transformé de Laplace.
𝐿 𝑥 𝑡
= 𝐿(𝑎𝑥 𝑡 )
𝑆𝑥 𝑠 − 𝑆𝑥(0) = 𝑎𝑥(𝑠)
𝑆−𝑎 𝑥 𝑠 =𝑥 0
𝐿−1 𝑥 𝑠
= 𝐿−1
→
𝑥 0
𝑥 𝑠 =
𝑠−𝑎
𝑥 0
𝑠−𝑎
x t = x 0 𝑒 𝑎𝑡
25
Cas matriciel
𝑋 𝑡 =𝐴𝑋 𝑡
→
𝑆𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑠 = 𝑋 0
𝑇𝐿−1 𝑋 𝑠
𝑆𝑋 𝑠 − 𝑆𝑋 0 = 𝐴𝑋(𝑠)
𝑋 𝑠 = 𝑆𝐼 − 𝐴 −1 𝑋 0
→
= X t = 𝑒 𝐴𝑡 𝑋(0)
Il faut détériner 𝑒 𝐴𝑡 ? ?
Calcule de 𝑆𝐼 − 𝐴 −1
det 𝑆𝐼 − 𝐴 = 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 +. … … + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
Avec :
𝐴=
0
⋮
⋮
⋮
−𝑎0
1
0
⋮
⋮
−𝑎1
0
1
⋮
⋮
−𝑎2
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
1
⋮
. . −𝑎𝑛−1
26
𝑆𝐼 − 𝐴 −1 = det 𝑆𝐼 − 𝐴
−1
𝑐𝑜𝑚(𝑆𝐼 − 𝐴)
. Chaque élément est une fraction de s
décomposer en éléments
simples et utiliser la 𝑇𝐿−1
Exemple
Soit
−2 −2 0
A= 0
0
1
0 −3 −4
Calculer
𝑒 𝐴𝑡
𝑦 𝑡 =𝐶𝑥 𝑡 +𝐷𝑢 𝑡
𝑡
= 𝑒 𝐴 𝑡,𝑡0 x t 0 + C
𝑒 𝐴 𝑡,𝑡0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏 + 𝐷 𝑢 𝑡
𝑡0
27
4. Notion de matrice de transfert :
𝑠𝑋 𝑠 − 𝑋 0 = 𝐴 𝑋 𝑠 + 𝐵 𝑢 𝑠
𝑋 𝑡 =𝐴𝑋 𝑡 +𝐵𝑢 𝑡
à 𝑡=0
𝑇𝐿
𝑦 𝑡 =𝐶𝑋 𝑡 +𝐷𝑢 𝑡
𝑦 𝑠 =𝐶𝑋 𝑠 +𝐷𝑢 𝑠
𝑠𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑠 = 𝑋 0 + 𝐵 𝑢 𝑠
𝑋 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝑋 0 + 𝐵 𝑢 𝑠
𝑦 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝑋 0 + 𝐵 𝑢 𝑠
+𝐷𝑢 𝑠
𝑦 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝑋 0 + 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐵 + 𝐷 𝑢 𝑠
La fonction de transfert :
Z(s)= 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐵 + 𝐷
Pour simplification, on choisit D=0
28
𝑠𝐼 − 𝐴
−1
𝑇𝐿−1
𝑒
𝐴𝑡
→
−1
𝑍 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴
𝐵
𝑇𝐿−1
𝐶𝑒 𝐴𝑡 𝐵 = 𝑍(𝑡)
Pour une entrée impulsionnelle
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑒 𝐴𝑡 𝐵
Rappels
𝑡
𝑇𝐿−1 𝐹1 𝑠 , 𝐹2 𝑠
= 𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 =
𝑓1 𝑡 − 𝜏 𝑓2 𝑡 𝑑𝜏
0
𝑋 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝑋 0 + 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐵𝑢 𝑠
29
𝑡
𝑇𝐿−1
→
𝑋 𝑡 = 𝑒 𝐴𝑡 𝑋 0 +
𝑒 𝐴(𝑡−𝜏) 𝐵 𝑢(𝜏)𝑑𝜏
0
Exercice
−2 −2 0
1 0
x t = 0
0
1 𝑥 𝑡 + 0 1 𝑢(𝑡)
0 −3 −4
1 1
Calculer
𝑋 𝑡
10
sachant que 𝑋 0 = 5
2
et u t =
t
1
30