Module : Analyse et Fouille de Données
Auditoire: D-LSI-ADBD
A-U: 2020-2021
Responsable du Cours: Souhir Bouaziz Affes
Exercice Corrigé : ACP
Enoncé :
Soit le tableau de données suivant :
Noam
Jean
Li
Informatique
4
6
8
Gestion
5
7
0
Où les lignes représentent les individus (noms de quelques étudiants) et les colonnes les
variables (notes en informatique et gestion). Ce tableau de données peut être représenté par la
matrice 𝑋 de données brutes :
4 5
𝑋 = ( 6 7)
8 0
1. Calculer la matrice 𝑀 = 𝑋 − 𝑋̅ des données centrées et la matrice 𝑍 de données
centrées et réduites.
2. Calculer la matrice 𝐶(𝑋) des covariances de 𝑋 et la matrice 𝑅 (𝑋) des corrélations de 𝑋.
3. Vérifier que λ 1  10.152 et λ 2  1.188 sont deux valeurs propres associées à 𝐶(𝑋).
Puis vérifier que les vecteurs unitaires :
−0.407
0.914
𝑉1 = (
) 𝑒𝑡 𝑉2 = (
)
0.914
0.407
sont les vecteurs propres de 𝐶(𝑋) associés à 𝜆1 𝑒𝑡 𝜆2 respectivement.
4. À partir des résultats précédents, déterminer les deux composantes principales de l’ACP
du nuage des individus associé au tableau 𝑋. Pour chacun de ces axes, préciser le
pourcentage de la quantité d’information projetée sur l’axe considéré, et le pourcentage
cumulé.
5. Déterminer la matrice des scores des individus.
Correction :
1. ff
18
12
𝑥1 = 3 = 6
̅̅̅
𝑥2 = 3 = 4
̅̅̅
𝜎(𝑥1 ) = 1.633 𝜎 (𝑥2 ) = 2.944
1
−2 1
𝑀 = 𝑋 − 𝑋̅ = ( 0 3 )
2 −4
−1.225
𝑍 = (0
1.225
0.34
1.02 )
−1.36
2.
116
𝑉𝑎𝑟(x1 ) = 3 − 62 = 2.67
74
𝑉𝑎𝑟(x1 ) = 3 − 42 = 8.67
Cov(x1 , x2 ) =
𝐶 (𝑋 ) = (
((−2)×1)+(0×3)+(2×(−4))
2.67
−3.33
3
−3.33
)
8.67
= −3.33
𝑅 (𝑋 ) = (
1
−0.69
)
−0.69
1
3. La matrice de covariances 𝐶 de taille 𝑝 𝑥 𝑝, elle admet p valeurs propres et 𝑝 vecteurs
propres associés, tels que :
𝐶 𝑉𝑗 = 𝜆𝑗 𝑉𝑗
Dans notre exemple à deux variables, 𝐶 admet 2 valeurs propres et 2 vecteurs propres
tels que soit vérifié les égalités suivantes :
(
𝑣11
2.67 −3.33 𝑣11
) (𝑣 ) = 𝜆1 (𝑣 )
−3.33 8.67
12
12
(
𝑣21
2.67 −3.33 𝑣21
) (𝑣 ) = 𝜆2 (𝑣 )
−3.33 8.67
22
22

Résolution de l’équation 𝑑𝑒𝑡(𝐶 – 𝜆𝐼) = 0
 2.67 - 3.33  1 0 
  λ 

C  λI  
 - 3.33 8.67   0 1 
 2.67  λ - 3.33 

C  λI  
 - 3.33 8.67  λ 
det(C  λI)  2.67  λ 8.67  λ   3.332  0
λ 2  11.34 λ  12.06  0
Δ  b2  4ac  80.3556
λ1 
b Δ
 10.152
2a

λ2 
b Δ
 1.188
2a
Résolution des 2 systèmes d’équations 𝐶𝑉𝑗 − 𝜆𝑗 𝑉𝑗 = 0
 2.67  v 11 - 3.33  v 12  10.152  v 11  0
(I)

 3.33  v 11  8.67  v 12  10.152  v 12  0
2
 2.67  v 21 - 3.33  v 22  1.188  v 21  0
(II)

 3.33  v 21  8.67  v 22  1.188  v 22  0

Une solution possible : les vecteurs unitaires :
2
v  v 12
 1 et v 221  v 222  1
2
11
 Prenons l’équation : 2.67  v11 - 3.33  v12  10.152  v11  0 du
système (I)
- 7.482  v 11 - 3.33  v 12  0  v 11  -0.445  v 12
2
2
Remplacer dans : v 11
 v 12
1
2
2
0.4452 v 12
 v 12
1 
Solution possible : v 12  0.914
v 11  0.407
 Prenons l’équation : 2.67  v 21 - 3.33  v 22  1.188  v 21  0 du
système (II)
1.482  v 21 - 3.33  v 22  0  v 21  2.247  v 22
Remplacer dans : v 221  v 222  1
2.2472 v 222  v 222  1 
Solution possible : v 22  0.407
v 21  0.914
4.
  0.407
Q  
 0.914
0.914 
 : Matrice des deux composantes principales de l’ACP
0.407 
λ 1  λ 2  Var(x 1 )  Var(x 2 )
10.152 + 1.188 = 2.67 + 8.67 = 11.34
Valeur propre
Pourcentage
Pourcentage cumulé
CP1
10.152
89,524
89,524
CP2
1.188
10,476
100
5.
−2 1
1.728 −1.42
−0.407 0,914
̅ ) 𝑄 = 𝑀 𝑄 = [0
] = [ 2.742 1.221 ]
𝑌 = (𝑿 − 𝑿
3] × [
0,914 0,407
2 −4
−4.47
0.2
3