FICHE MÉTHODE
Équations récurrentes linéaires
Econométrie financière · M1 · Panthéon-Sorbonne · 2025-2026
MÉTHODE
1
Équation scalaire homogène
Principe : on cherche toutes les solutions de l'équation sans second membre. La solution générale
est une combinaison linéaire de solutions élémentaires déduites des racines du polynôme
caractéristique.
Étapes
1
Écrire le polynôme caractéristique P(λ). Remplacer x_{t+k} par λ^k dans
l'équation.
Si l'équation est a·x_{t+1} = b·x_t, on écrit P(λ) = λ − b/a (ou directement selon la
forme donnée).
2
Calculer les racines de P(λ) = 0. Chaque racine λ_i d'ordre m_i contribue m_i
solutions de base :
3
Écrire la solution générale : combinaison linéaire de toutes ces solutions (autant
de constantes que l'ordre de l'équation).
4
Appliquer les conditions initiales (valeurs de x_0, x_1…) pour déterminer les
constantes.
t^0 · λ_i^t,
t^1 · λ_i^t,
...,
t^(m_i-1) · λ_i^t
EXEMPLE TIRÉ DU TD — EXERCICE 1
Équation : λ_{t+1} = 0.5 · λ_t avec λ_0 = 1
Étape 1 — Polynôme caractéristique : P(λ) = λ − 0.5
Étape 2 — Racine : λ = 0.5 (ordre 1, donc une seule solution de base : 0.5^t)
Étape 3 — Solution générale : λ_t = C · 0.5^t
Étape 4 — Condition initiale λ_0 = 1 : C · 0.5^0 = C = 1 → λ_t = 0.5^t
Conclusion : E(X_t) = 0.5^t → tend vers 0 quand t → ∞
EXEMPLE TIRÉ DU TD — EXERCICE 3 (RACINE DOUBLE COMPLEXE)
Équation : x_{t+4} = -2x_{t+2} − x_t
Polynôme : P(λ) = λ^4 + 2λ^2 + 1 = (λ^2 + 1)^2 = (λ+i)^2(λ−i)^2
Racines : i et −i, chacune d'ordre 2.
Solution générale (forme complexe) :
x_t = a_10·(−i)^t + a_11·t·(−i)^t + a_20·(i)^t + a_21·t·(i)^t
Passage à la forme réelle (voir rappel en fin de fiche) :
x_t = A·cos(tπ/2) + B·sin(tπ/2) + C·t·cos(tπ/2) + D·t·sin(tπ/2)
MÉTHODE
2
Équation avec second membre (non homogène)
Principe : la solution générale est la somme de la solution de l'équation homogène (sans f(t)) et
d'une solution particulière.
Étapes
1
Résoudre l'équation homogène associée (f(t) = 0) → solution x_H avec
constantes libres.
Choisir la forme de la solution particulière x_P selon la forme de f(t) :
2
f(t) = constante
f(t) = polynôme
f(t) = α^t
f(t) = t · α^t
→
→
→
→
x_P = c
x_P = at + b (même degré)
x_P = c · α^t
x_P = (at + b) · α^t
3
Identifier les coefficients : substituer x_P dans l'équation et égaliser terme à
terme.
4
Solution générale = x_H + x_P. Utiliser les conditions initiales pour fixer les
constantes.
EXEMPLE TIRÉ DU TD — EXERCICE 2A (F(T) = CONSTANTE)
Équation : λ_{t+1} = 0.5·λ_t + 0.2 avec λ_0 = 0
Étape 1 — Homogène : x_H = α · 0.5^t
Étape 2 — Forme x_P : x_P = c (constante car f(t) = 0.2)
Étape 3 — Identification : c = 0.5c + 0.2 → 0.5c = 0.2
Étape 4 — Solution générale : λ_t = 0.4 + α · 0.5^t
Condition initiale λ_0 = 0 : 0 = 0.4 + α → α = −0.4
→
c = 0.4
Résultat : λ_t = 0.4(1 − 0.5^t)
EXEMPLE TIRÉ DU TD — EXERCICE 2B (F(T) = 0.2T, POLYNÔME)
Équation : λ_{t+1} = 0.5·λ_t + 0.2t avec λ_0 = 0
Étape 1 — Homogène : x_H = α · 0.5^t
Étape 2 — Forme x_P : x_P = at + b (même degré que f(t) = 0.2t)
Étape 3 — Identification :
a + b(t+1) = 0.5(at + b) + 0.2t
→ (0.5a + b) + 0.5bt = 0.2t
→ 0.5b = 0.2 → b = 0.4 et 0.5a + b = 0
→
a = −0.8
Étape 4 — Solution générale : λ_t = −0.8 + 0.4t + α · 0.5^t
Condition initiale λ_0 = 0 : 0 = −0.8 + α
→
α = 0.8
Résultat : λ_t = −0.8 + 0.4t + 0.8 · 0.5^t
MÉTHODE
3
Système d'équations récurrentes (diagonalisation)
Principe : on diagonalise la matrice A pour découpler le système en deux équations scalaires
indépendantes, chacune résoluble par la méthode 1 ou 2.
Étapes
1
Calculer les valeurs propres : résoudre det(A − λI) = 0.
2
Calculer les vecteurs propres associés à chaque valeur propre λ_i : résoudre (A
− λ_i·I)·v = 0.
3
Former la matrice de passage P (colonnes = vecteurs propres) et calculer P⁻ ¹.
On obtient A = P · D · P⁻ ¹ avec D = diag(λ_1, λ_2).
4
Changer de variable : W_t = P⁻ ¹ · Z_t
Le système Z_{t+1} = A·Z_t + B_t devient : W_{t+1} = D·W_t + P⁻ ¹·B_t
→ deux équations scalaires découplées !
5
Résoudre chaque équation scalaire (méthode 1 ou 2 selon le second membre).
6
Revenir aux variables d'origine : Z_t = P · W_t
Appliquer les conditions initiales pour trouver les constantes.
EXEMPLE TIRÉ DU TD — EXERCICE 5 (A = [[2,1],[1,2]])
Système : X_{t+1} = 2X_t + Y_t − 2^t + 2^{t+1} ; Y_{t+1} = X_t + 2Y_t −
t·2^t avec X_0 = Y_0 = 1
Étape 1 — Valeurs propres : det(A − λI) = (2−λ)^2 − 1 = 0 → λ_1 = 1, λ_2 = 3
Étape 2 — Vecteurs propres :
λ_1 = 1 :
λ_2 = 3 :
(A−I)v = 0 → x + y = 0 → V_1 = (1, −1)ᵀ
(A−3I)v = 0 → x − y = 0 → V_2 = (1, 1)ᵀ
Étape 3 — Matrice de passage :
P = [[1, 1], [−1, 1]]
→
P⁻ ¹ = (1/2)·[[1, −1], [1, 1]]
Étape 4 — Changement de variable W_t = P⁻ ¹·Z_t → système découplé :
W_{1,t+1} = W_{1t} + (2^t/2)(1 + t)
W_{2,t+1} = 3·W_{2t} + (2^t/2)(1 − t)
[équation en λ_1 = 1]
[équation en λ_2 = 3]
Étape 5 — Résolution (méthode 2, f(t) = t·2^t → x_P = (at+b)·2^t) :
W_{1t} = (2^t/2)(t−1) + a
W_{2t} = (2^t/2)(t+1) + b·3^t
Étape 6 — Retour aux variables : Z_t = P·W_t
X_t = W_{1t} + W_{2t} = t·2^t + b·3^t + a
Y_t = −W_{1t} + W_{2t} = 2^t + b·3^t − a
Conditions initiales X_0 = Y_0 = 1 : b + a = 1
et
1 + b − a = 1
→
a = b =
;
Y_t = 2^t + (1/2)·3^t −
1/2
Résultats : X_t = t·2^t + (1/2)·3^t + 1/2
1/2
MÉTHODE
4
Décomposition de Cholesky
Principe : écrire une matrice symétrique définie positive A sous la forme A = L·Lᵀ, où L est
triangulaire inférieure. Pour une matrice 2×2, on résout le système par identification terme à terme.
Étapes
1
Poser L triangulaire inférieure : L = [[X, 0], [Y, Z]]
Calculer L·Lᵀ et égaler à A terme à terme :
2
L·Lᵀ = [[X², XY], [XY, Y²+Z²]]
= A = [[a, b], [b, c]]
On obtient le système : X² = a ; XY = b ; Y² + Z² = c
3
Résoudre dans l'ordre : d'abord X (racine carrée), puis Y = b/X, puis Z = √(c − Y²).
4
Deux décompositions : choisir X > 0 (unique décomposition canonique) ou X < 0
(autre décomposition valide).
EXEMPLE TIRÉ DU TD — EXERCICE 6 (A = [[2,1],[1,2]])
Étape 2 — Système d'équations :
X² = 2
→
XY = 1
→
Y² + Z² = 2
X = ±√2
Y = 1/X
→ Z = √(2 − 1/2) = 1/√2
Décomposition 1 (diagonale > 0) :
L = [[√2, 0], [1/√2, 1/√2]]
Décomposition 2 (diagonale < 0) :
L = [[−√2, 0], [−1/√2, −1/√2]]
Vérification : L · Lᵀ doit redonner A = [[2, 1], [1, 2]].
RAPPEL
Racines complexes → forme réelle
Règle générale : toute racine complexe z = r·e^{iθ} apparaît avec son conjugué z̄. On remplace la
paire de solutions complexes par des solutions réelles équivalentes.
z^t = r^t · cos(θt) + i·r^t · sin(θt)
z̄^t = r^t · cos(θt) − i·r^t · sin(θt)
→
Base réelle :
r^t · cos(θt)
et
r^t · sin(θt)
DANS LE COURS : I ET −I (EXERCICES 3 ET 4)
Racine i : r = 1,
θ = π/2 car i = e^{iπ/2}
Les solutions réelles associées sont :
cos(tπ/2)
et
sin(tπ/2)
Racine i d'ordre 2 (exercice 3) :
cos(tπ/2),
t·cos(tπ/2),
sin(tπ/2),
t·sin(tπ/2)
Formules utiles à mémoriser :
(−i)^t + (i)^t = 2·cos(tπ/2)
(−i)^t − (i)^t = 2i·sin(tπ/2)
t·(−i)^t + t·(i)^t = 2t·cos(tπ/2)
t·(−i)^t − t·(i)^t = 2i·t·sin(tπ/2)
ASTUCE : COMMENT IDENTIFIER Θ ?
Si la racine est i : θ = π/2
Si la racine est −i : θ = −π/2 (ou 3π/2)
Si la racine est e^{iθ} : lire directement θ depuis l'écriture polaire.
Dans les exercices de ce TD, toutes les racines complexes ont module r = 1.
Les solutions oscillent donc sans être amorties (pas de facteur r^t croissant ou
décroissant).
Fiche générée d'après les corrections du TD2 · Ibrahim AHAMADA · UP1 · 2025-2026