Résumé sur les circuits RC, RL et RLC
Circuit RC :
K1
E
R
i
K2
q
-q
C
uR
uC
Pour la décharge :
interrupteur en position K2
Pour la charge : interrupteur en position K1
(équivalent à l’alimentation par un générateur BF délivrant une tension créneau comprise entre 0 et E)
Loi
de maille
Relations
Equation
Diff
Forme
générale
Conditions
Initiales
équations
Énergie
emmagasinée
charge du condensateur
uR + uC = E
R.i + q = E
C
uR = R.i
uC = q
i = dq
C
dt
dq + q = E (équation en q)
dt R.C R
duC + uC = E (équation en u )
C
dt R.C R.C
dx + x = K
De l’équation :
dt τ
De la solution : x = A.exp( –t ) + B
τ
uC (t=0) = 0
(donc uR (t=0) = E)
uC = E x (1 – exp ( −t ) )
R.C
d’où
q = C.E x (1 – exp ( −t ) )
R.C
E
dq
i=
= exp ( −t )
R
R.C
dt
uR = R.i = E exp ( −t )
R.C
1 2 1
1
À chaque instant : EC = 2 q = 2 C u2 = 2 q.u
C
Au début de la charge : EC = 0
1
A la fin de la charge : EC = 2 C E2
(E : tension de charge)
décharge du condensateur
uR + uC = 0
R.i + q = 0
C
uR = R.i
uC = q
i = dq
C
dt
dq + q = 0 (équation en q)
dt R.C
duC + uC = 0 (équation en u )
C
dt R.C
avec τ = R.C
uC (t=0) = E
(donc uR (t=0) = - E)
uC = E exp ( −t )
R.C
d’où
q = C.E exp ( −t )
R.C
E
dq
i=
= - exp ( −t )
R
R.C
dt
uR = R.i =- E exp ( −t )
R.C
Rem : avec l’orientation choisie sur le schéma cidessus, i est donc négatif pendant la décharge
Ec est quelque fois appelée :
Ee ou We (« e » comme électrique)
1
Au début de la décharge : EC = 2 C E2
A la fin de la décharge : EC = 0
(E : tension de charge)
Compétences exigibles
Il faut savoir :
1) mettre en place l’équation différentielle
2) trouver la solution de cette équation
a) à partir de le forme générale de la solution
b) en tenant compte des conditions initiales
Toutes les équations doivent être mises en place en respectant les orientations i, q, u des schémas de ce
résumé
-1Michel LAGOUGE - Documents Terminale S
Circuit RL :
K1
E
R
i
K2
uR
L
uL
Pour l’établissement du courant : interrupteur en position K1
On supprime E : interrupteur en position K2
(équivalent à l’alimentation par un générateur BF délivrant une tension créneau comprise entre 0 et E)
On admet que toute la résistance est comprise dans R : cette résistance inclut donc la résistance de la bobine et celle du
générateur
Loi
de maille
Relations
Equation
Diff
Forme
générale
Conditions
Initiales
équations
Énergie
emmagasinée
Établissement du courant
uR + uL = E
R.i + L di = E
dt
uR = R.i
uL = L di
dt
di + R.i = E (équation en i)
dt L L
duR + R.uR = R.E (équation en u )
R
L
dt
L
Disparition du courant
uR + uL = 0
R.i + L di = 0
dt
uR = R.i
uL = L di
dt
di + R.i = 0 (équation en i)
dt L
duR + R.uR = 0 (équation en u )
R
dt
L
L
dx + x = K
avec τ = R
dt τ
De la solution : x = A.exp( –t ) + B
τ
uR (t=0) = 0
(donc uL (t=0) = E)
uR = E x (1 – exp (−R.t) )
L
De l’équation :
uR (t=0) = E
(donc uL (t=0) = -E)
uR = E x exp (−R.t)
L
d’où
E
i = R x (1 – exp (−R.t) )
L
di
uL = L = E x exp (−R.t)
dt
L
d’où
E
i = R x exp (−R.t)
L
di
uL = L = -E x exp (−R.t)
dt
L
R représente la résistance totale du circuit.
si on décompose R en Rr et RL
l’expression de i n’est pas modifiée mais
Rr.E
uRr = R x (1 – exp (−R.t) )
L
E
di
uL = RL.i + L
= R x [RL + Rr x exp (−R.t)]
dt
L
1
À chaque instant : EL = 2 L i2
R représente la résistance totale du circuit.
si on décompose R en Rr et RL
l’expression de i n’est pas modifiée mais
Rr.E
uRr = R x exp (−R.t)
L
E
di
uL = RL.i + L
= - R Rr x exp (−R.t)]
dt
L
EL est quelque fois appelée :
Em ou Wm (« m » comme magnétique)
Au début de l’établissement du courant : EL = 0
1
1
A la fin : EL = 2 L I2 =2 L (E)2
R
(E : tension lors de l’établissement du courant)
-2Michel LAGOUGE - Documents Terminale S
Définitions :
Circuit RLC :
amorties (R ≠ 0)
entretenues (R = 0)
(il faut un système d’entretien pour compenser la résistance du circuit cf le montage « à résistance négative)
oscillations libres
R
K
i
K1
E
uR
C
-q
q
uC
L
uL
interrupteur en position K : on charge le condensateur
interrupteur en position K2 : on provoque la décharge oscillante dans le circuit RL
Attention : l’orientation du schéma ci-dessous ne correspond pas – volontairement ! - à celle vue en cours .
Bien comprendre les différences pour l’établissement de la loi de maille
Loi
de maille
Relations
Equation
Diff
Décharge oscillante
uL + uR + uC = 0
L di + R.i + q = 0
C
dt
q
uL = L di
uR = R.i
uC =
dt
C
et i = dq (avec les orientations choisies)
dt
2
d q + R dq + q = 0 (équation en q)
dt2 L dt L.C
d2uC + R duC + uC = 0 (équation en u )
C
dt2 L dt L.C
Seule est à connaître la solution de l’équation
différentielle pour R = 0 soit :
d2q + q = 0 (équation en q)
L.C
dt2
d2uC + uC = 0 (équation en u )
C
dt2 L.C
Forme
générale
Conditions
Initiales
équations
1
avec ω02 = L.C
2
d
x
2
De l’équation :
+ ω0 .x = 0
dt2
De la solution : x = A.cos (ω0.t + φ)
uC (t=0) = - E ou q (t=0) = - C.E
uC = - E..cos (ω0.t)
ou
q = - CE cos (ω0.t)
d’où
i = ω0 CE sin (ω0.t)
Énergie
1 2 1
2
2
emmagasinée À chaque instant : EL = 2 L i = 2 L ω0 [CE.sin (ω0.t)]
1
si pas de résistance : EL + Ec = 2 C.E2 = Cste
2
si résistance : d(EL + Ec) = dq . (Ld q2 + q ) = - R.i2
dt
dt
dt .C
T0 = 2 π L.C
1 2 11
Ec = 2 q = 2 C [CE.cos (ω0.t)]2
C
1
puisque L ω02 = C
(
d(EL + Ec)= 0)
dt
la perte d’énergie correspond à l’effet Joule
-3Michel LAGOUGE - Documents Terminale S