11.520 · Matemàtiques per a les Telecomunicacions · PAC4
2023-24-Sem.2 · Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
Data d’inici: 13/05/2024
Consultora: Miriam Valiente Martos
Data lı́mit de lliurament: 02/06/2024
• Envia la solució en un arxiu PDF. No s’acceptarà cap altre format. Comprova l’estat dels arxius
entregats (que no estiguin buits o siguin corruptes). Els professors NO acceptarem arxius modificats
passat el termini de lliurament.
• Recorda que la PEC és individual. La detecció de falta d’originalitat serà penalitzada d’acord amb
la normativa vigent de la UOC. A més, en lliurar-la, has de assegurar-te i comprovar que l’arxiu que
es pugi és el correcte, és responsabilitat de l’alumne fer la entrega correctament. No s’acceptaran
entregues fora de termini.
• Justifica sempre les teves respostes.
• Tots els exercicis puntuen per igual.
• Pots utilitzar software matemàtic (per exemple, CalcMe) per comprovar els resultats de les integrals
i fer gràfiques si fos necessari, però recorda detallar tots els passos seguits.
• $ID apareix al llarg dels exercicis per designar una xifra que es correspon amb l’última xifra de l’IDP
de l’estudiant. Pots TROBAR el teu IDP a Campus UOC → Espai Personal → Informació Personal
→ Dades personals. Per exemple, si l’IDP és 908.573, $ID=3. Substitueix $ID pel seu corresponent
valor per realitzar els exercicis des de l’inici de la resolució.
• En aquesta activitat no està permès l’ús d’eines d’intel·ligència artificial.
IDP de l’Alumne:
Exercicis:
1. Considerem el procés aleatori
Z(t) = c sin(ωt + ϕ) + d cos(ωt + ϕ),
on c i d són variables aleatòries independents, i ϕ és un angle fix. Aquest procés es troba
freqüentment en el modelatge de senyals en comunicacions i anàlisi de soroll.
1
11.520 · Matemàtiques per a les Telecomunicacions · PAC4
2023-24-Sem.2 · Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
(a) Estacionarietat del procés Z(t):
Determina les condicions teòriques, en funció de les variables aleatòries c i d i els seus
paràmetres estadı́stics, perquè el procés Z(t) sigui estacionari. Considera la mitjana i
la variància de c i d en la teva anàlisi.
(b) Estacionarietat en sentit ampli:
Analitza si el procés Z(t) pot ser considerat estacionari en sentit ampli. Evalua la funció
d’autocorrelació RZ (τ ) i discuteix com la independència entre c i d, juntament amb les
seves distribucions, afecta la dependència temporal de RZ (τ ).
Solució
Per a ressoldre aquest exercici necessitem emprar el Mòdul 7, Apartat 1.
(a) Estacionarietat del procés Z(t)
La mitjana de Z(t) es calcula com:
E[Z(t)] = E[c] sin(ωt + ϕ) + E[d] cos(ωt + ϕ).
Perquè Z(t) sigui estacionari, és necessari que E[c] i E[d] siguin zero. Això garanteix
que la mitjana no depèn de t.
(b) Estacionarietat en sentit ampli
La funció d’autocorrelació de Z(t), RZ (τ ), és:
RZ (τ ) = E[Z(t)Z(t + τ )]
Si assumim que E[c2 ] = E[d2 ] = σ 2 i les condicions de l’apartat a, llavors RZ (τ ) és
independent de t només si E[cd] = 0.
El procés està donat per:
Z(t) = c sin(ωt + ϕ) + d cos(ωt + ϕ).
Considerem el producte de Z(t) amb Z(t + τ ):
Z(t)Z(t + τ ) = (c sin(ωt + ϕ) + d cos(ωt + ϕ))(c sin(ω(t + τ ) + ϕ) + d cos(ω(t + τ ) + ϕ)).
2
11.520 · Matemàtiques per a les Telecomunicacions · PAC4
2023-24-Sem.2 · Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
Expansió del producte:
Z(t)Z(t + τ ) = c2 sin(ωt + ϕ) sin(ω(t + τ ) + ϕ) + cd sin(ωt + ϕ) cos(ω(t + τ ) + ϕ)+
+dc cos(ωt + ϕ) sin(ω(t + τ ) + ϕ) + d2 cos(ωt + ϕ) cos(ω(t + τ ) + ϕ).
Utilitzant la independència de c i d i assumint que E[cd] = 0, simplifiquem:
E[Z(t)Z(t + τ )] = E[c2 ] sin(ωt + ϕ) sin(ω(t + τ ) + ϕ) + E[d2 ] cos(ωt + ϕ) cos(ω(t + τ ) + ϕ).
E[c2 ] + E[d2 ]
cos(ωτ ) = σ 2 cos(ωτ ),
2
indicant que RZ (τ ) només depèn de τ i, per tant, el procés és estacionari en sentit ampli.
RZ (τ ) = E[Z(t)Z(t + τ )] =
2. Considera un servidor que rep missatges modelats per un procés de Poisson amb
λ = 2 · $ID + cos(π · $ID)
missatges per hora.
(a) Calcula la probabilitat de rebre exactament 2 missatges entre les 10:00h i les 10:20h.
(b) Determina la probabilitat que no es rebin missatges en els primers 10 minuts després
de les 11:00h.
(c) Calcula el valor mitjà de missatges rebuts en una hora i determina la correlació entre
els missatges rebuts en els primers 30 minuts i els següents 30 minuts de cada hora.
Solució
Per a ressoldre aquest exercici necessitem emprar el Mòdul 8, Apartat 2.
(a) L’interval de temps de 10:00h a 10:20h és de 20 minuts, que equival a 13 d’hora. Per
tant, la taxa de missatges en aquest interval és:
λ20 =
1
(2 · $ID + cos(π · $ID))
3
3
11.520 · Matemàtiques per a les Telecomunicacions · PAC4
2023-24-Sem.2 · Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
La probabilitat de rebre exactament 2 missatges es calcula com:
P (X = 2) = e−λ20
λ220
2!
(b) L’interval de temps és de 10 minuts, que equival a 16 d’hora. Per tant, la taxa de
missatges en aquest interval és:
λ10 =
1
(2 · $ID + cos(π · $ID))
6
Per k = 0 (no rebre missatges):
P (X = 0) = e−λ10
(c) El valor mitjà de missatges rebuts en una hora, quan el procés és modelat per un procés
de Poisson amb paràmetre λ, és simplement el propi λ.
E[Missatges per hora] = λ
La correlació entre els missatges rebuts en els primers 30 minuts i els següents 30 minuts
de cada hora per un procés de Poisson és 0, ja que els increments en un procés de Poisson
són independents. Això significa que els missatges rebuts en qualsevol dos intervals
disjunts són independents i, per tant, la seva correlació és zero.
Correlació = 0
3. Donat un procés estocàstic gaussian X(t) amb mitjana zero i funció d’autocorrelació RX (τ ) =
e−|τ | , passa per un sistema lineal amb resposta impulsional h(t) = e−2t u(t), on u(t) és la
funció esglaó i obtenim com a sortida el procés estocàstic Y (t).
(a) Calcula la funció d’autocorrelació de la sortida Y (t).
(b) Determina la mitjana de Y (t).
(c) Calcula l’espectre de potència de Y (t).
Solució
4
11.520 · Matemàtiques per a les Telecomunicacions · PAC4
2023-24-Sem.2 · Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
(a) Funció d’autocorrelació de la sortida Y (t):
Utilitzant la convolució de la resposta impulsional amb la funció d’autocorrelació d’entrada,
Z ∞
RY (τ ) =
h(s)h(s + τ )RX (τ )ds
−∞
Substituint h(t) i RX (τ ), obtenim:
Z ∞
Z ∞
1
e−4s ds = e−3|τ | .
e−2s e−2(s+τ ) e−|τ | ds = e−3|τ |
RY (τ ) =
4
0
0
(Veure Mòdul 8, Apartat 2.2 per a convolució de sistemes lineals)
(b) Mitjana de Y (t):
La mitjana de Y (t) és zero, ja que:
Z ∞
Z ∞
E[Y (t)] = E
h(s)X(t − s)ds =
h(s)E[X(t − s)]ds = 0.
−∞
−∞
(Referència: Mòdul 7, Apartat 1.3, Propietats de mitjana en processos lineals)
(c) Espectre de potència de Y (t):
L’espectre de potència de Y (t) s’obté com:
SY (f ) = |H(f )|2 SX (f ) on H(f ) és la transformada de Fourier de h(t)
Z ∞
1
H(f ) =
e−2t e−j2πf t dt =
2 + j2πf
0
SX (f ) =
1
1
, aixı́ SY (f ) =
1 + 4π 2 f 2
2 + j2πf
2
1
1
.
=
1 + 4π 2 f 2
(2 + 4π 2 f 2 )(1 + 4π 2 f 2 )
(Referència: Mòdul 9, Apartat 3.1, Transformació de l’espectre per sistemes lineals)
4. Considera un sistema de comunicacions on el soroll es modela com un procés estocàstic gaussià
estacionari conegut com soroll blanc gaussià. El soroll blanc gaussià Z(t) té una mitjana de
zero i una funció d’autocorrelació RZ (τ ) = σ 2 δ(τ ), on δ(τ ) és la funció delta de Dirac,
indicant que els valors de soroll en dos temps diferents són completament no correlacionats.
5
11.520 · Matemàtiques per a les Telecomunicacions · PAC4
2023-24-Sem.2 · Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació
(a) Descriu les propietats estadı́stiques del soroll blanc gaussià Z(t), inclòs l’espectre de
potència.
(b) Suposa que aquest soroll blanc gaussià és l’entrada a un filtre lineal amb una funció de
1
. Deriva l’espectre de potència SY (f ) del senyal de sortida
transferència H(f ) = 1+j2πf
Y (t) utilitzant la relació SY (f ) = |H(f )|2 SZ (f ).
(c) Descriu com afecta el filtre lineal al soroll blanc gaussià en termes de distribució de les
freqüencies més altes en l’espectre de potència de la sortida.
Solució
Per a ressoldre aquest exercici necessitem emprar el Mòdul 9, Apartats 1 i 2.
(a) Propietats estadı́stiques de Z(t)
• Mitjana: La mitjana del soroll blanc gaussià és E[Z(t)] = 0.
• Funció d’autocorrelació: RZ (τ ) = σ 2 δ(τ ), que implica que els valors de soroll
en diferents instants estan no correlacionats.
• Espectre de potència: Donat que la funció d’autocorrelació és una delta, l’espectre de potència SZ (f ) és constant i igual a σ 2 .
(b) Impacte del filtre lineal
La sortida Y (t) es descriu com la convolució en el domini del temps de Z(t) amb la
resposta impulsional del filtre h(t), que és h(t) = e−2πt u(t), on u(t) és la funció esglaó
unitari.
SY (f ) = |H(f )|2 SZ (f ) =
1
1 + (2πf )2
σ2
(c) Efecte del filtre
Aquest resultat mostra que el filtre redueix els components de freqüència alta del soroll,
és a dir, indica que el filtre actua com un filtre pass-abaix, reduint la potència de les
freqüències més altes del soroll blanc.
6