UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Métodos Estatı́sticos
Probabilidade e Estatı́stica (2023-2)
Primeira Avaliação (P1)
13-09-2023
AVISO: Não serão aceitas respostas sem justificativas: As expressões que levam a alguma resposta numérica
deverão ser indicadas.
Q1) Uma empresa de desenvolvimento de software está buscando estimar a probabilidade de concluir um projeto
no prazo correto. Dados históricos sugerem que alterações nos requisitos do projeto têm influência neste
atraso. Considerou-se 3 tipos de alterações: pequenas (P ), médias (M ) e grandes (G). Sabe-se que a
frequência de alterações pequenas, médias e grandes é, respectivamente, 30%, 40% e 30%. Além disso, a
chance de concluir no prazo quando há alterações pequenas, médias e grandes são, respectivamente, 80%,
60% e 40%.
(a) Calcule a probabilidade de um projeto escolhido aleatoriamente não concluir no prazo.
(b) Dado que o projeto foi concluı́do no prazo, atualize as probabilidades de ter havido alterações pequenas,
médias e grandes. Interprete essa atualização.
Q2) Suponha que o número de interessados em uma viagem de balão na Capadócia, Turquia, oferecida diariamente, seja uma v.a. que segue uma distribuição de Poisson com média de 3 passageiros por viagem. No
balão, além do condutor e o ajudante, há 6 lugares disponı́veis. Se não houver um mı́nimo de 3 interessados,
o custo-benefı́cio não é eficiente. Neste caso, a companhia não se interessa por esta subida e não ocorre a
viagem. Calcule a probabilidade:
(a) de que a viagem não se realize por falta de passageiros interessados;
(b) de que, em um determinado dia, tenha mais interessados na viagem do que vagas no balão;
(c) condicional de que todos os interessados consigam a viagem dado que foi atingido o número mı́nimo de
passageiros.
Q3) Sejam X uma v.a. que representa o número de defeitos graves e Y uma v.a. representando o número de
defeitos menores de um carro sorteado ao acaso. A tabela a seguir mostra como se distribuem algumas das
probabilidades conjuntas p(x, y) para os diferentes valores de X e Y.
Y
P(X = x)
0
1
2
3
0
0, 20 0, 20 0, 14
0, 60
1
0, 15
0, 03
2
0, 02 0, 02 0, 01
0, 10
P (Y = y)
0, 30 0, 20 0, 10
1, 00
X
(a) Sabendo que a tabela representa uma função de massa de probabilidade conjunta, complete-a. Verifique,
também, se o número de defeitos graves é independente do número de defeitos menores.
(b) Calcule, E(X), E(Y) e covariância entre X e Y.
(c) Calcule a covariância entre X e Z, onde Z = 3Y - 2.
Q4) O tempo de vida (em anos) de lâmpadas fabricadas por uma determinada companhia segue é uma variável
aleatória com densidade dada por
1 x
f (x) = e− 4 , x > 0.
4
(a) Calcule a probabilidade de que uma lâmpada produzida por esse fabricante dure pelo menos 6 anos.
(b) Sabendo que um consumidor comprou uma lâmpada produzida por este fabricante há exatos 4 anos
e que ela continua funcionando, calcule a probabilidade de que a lâmpada dure pelo menos 6 anos a
contar da data em que foi comprada.
(c) Para fins de controle de qualidade, a companhia resolve coletar amostras de suas lâmpadas e medir os
tempos de duração de cada uma. Lâmpadas que durem menos de 2 anos são consideradas inadequadas
pela empresa. Num lote de 10 lâmpadas selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que
pelo menos uma seja considerada inadequada?
Boa prova!
Solução
Q1) (a) Seja C = {conclusão no prazo}. Temos:
P (C c ) = P (P ) · P (C c | P ) + P (M ) · P (C c | M ) + P (G) · P (C c | G)
= 0, 3 · 0, 2 + 0, 4 · 0, 4 + 0, 3 · 0, 6 = 0, 06 + 0, 16 + 0, 18 = 0, 4.
(b) Vimos que P (C c ) = 0, 4 e portanto P (C) = 0, 6. Assim,
P (P ) × P (C | P )
0, 3 × 0, 8
24
=
=
= 0, 4.
P (C)
0, 6
60
P (M ) × P (C | M )
0, 4 × 0, 6
24
P (M | C) =
=
=
= 0, 4.
P (C)
0, 6
60
P (G | C) = 1 − P (P | C) − P (M | C) = 1 − 0, 4 − 0, 4 = 0, 2.
P (P | C) =
Pelo fato de estar condicionado a Conclusão do projeto: A probabilidade das alterações serem pequenas
aumentam, passa de 0,3 para 0,4. Enquanto que, as alterações serem grandes diminuem, passa de 0,3
para 0,2.
Q2) Seja X= Número de passageiros interessados na viagem de balão no dia examinado. X∼Poisson(λ = 3).
−λ x
Então, p(x) = e x!λ , x = 1, 2, 3, . . .
(a) P(A viagemP
não seja oferecida por falta de passageiros) =
P(X≤ 2) = 2i=0 p(i) = e−3 (1 + 3 + 32 /2!) = 8, 5 × e−3 ≈ (0, 4232)0, 6472 ;
(b) P(mais passageiros
P interessados do que vagas disponı́veis) =
P(X≥ 6) = 1 − 6i=0 p(i) = 1 − e−3 (1 + 3 + 32 /2! + 33 /3! + 34 /4! + 35 /5! + 36 /6!) = 0,03350 ≈ 0,03;
−3 (33 /3!+34 /4!+35 /5!+36 /6!)
T
(X≤6))
e
(c) P (X ≤ 6|X ≥ 3) = P ((X≥3)
= PP(3≤X≤6)
P (X≥3)
(X≥3) =
0,6472
= 0,5433
0,6472 ≈ 0, 8394
Q3) (a)
Y
X
0
0
0, 20
1
0, 15
2
0, 05
P (Y = yj ) 0, 40
1
0, 20
0, 08
0, 02
0, 30
2
0, 14
0, 04
0, 02
0, 20
3
0, 06
0, 03
0, 01
0, 10
P(X = xi )
0, 60
0, 30
0, 10
1, 00
Note que P (X = 0, Y = 1) = 0, 2 ̸= P (X = 0)P (Y = 1) = 0, 6 × 0, 3. Logo, as variáveis não são
independentes.
(b) Utilizando as propriedades de covariância temos:
0
z
}|
{
Cov(X, Z) = Cov(X, 3Y − 2) = Cov(X, 3Y ) + Cov(X, −2) = 3 Cov(X, Y ) = 3[E(XY ) − E(X)E(Y )].
Onde
E(X) =
E(Y ) =
2
X
x=0
3
X
xpX (x) = 0, 5
ypY (y) = 1
.
y=0
E(XY ) =
3 X
2
X
xypX,Y (x, y) = 0, 43
y=0 x=0
Assim,
Cov(X, Y ) = [E(XY ) − E(X)E(Y )] = [0, 43 − 0, 5] = −0, 07
(c)
Cov(X, Z) = 3[Cov(X, Y )] = 3[−0, 07] = −0, 21
Q4) (a) Seja X o tempo de vida da lâmpada. Então
Z ∞
h
i∞
x
1 −x
− x4
4
P (X ≥ 6) =
e dx = −e
= 0 + e− 4 = e−1,5 = 0, 2231.
4
6
6
(b)
h
i∞
− x4
−e
P (X ≥ 6)
e−6/4
P (X ≥ 6, X ≥ 4)
6
i
=
=h
= e−0,5 .
=
P (X ≥ 6 | X ≥ 4) =
∞
−4/4
− x4
P (X ≥ 4)
P (X ≥ 4)
e
−e
4
Alternativamente, note que em se tratando de uma variável aleatória exponencial, da propriedade da
falta de memória decorre que
h
i
x ∞
P (X ≥ 6 | X ≥ 4) = P (X ≥ 2) = −e− 4
= e−0,5 .
2
(c) Se Y representa o número de itens inadequados dentre as 10 lâmpadas selecionadas, então Y ∼
Binomial(10, p), onde p = P (X ≤ 2) = 1 − e−0,5 . Logo
P (Y ≥ 1) = 1 − P (Y = 0) = 1 − (1 − p)10 = 1 − e−0,5
10
= 1 − e−5 = 0, 9933.