Variables Aleatorias Bidimensionales
Definición. Sean (X,Y) dos variables aleatorias discretas, entonces existe:
pX,Y(x,y) = P(X = x , Y = y);
(x,y) ∊ Rec (X,Y) llamada Distribución de Probabilidad Conjunta de (X,Y)
o función de cuantía conjunta de (X,Y) tal que cumple con:
1.- 0 < p(x,y) < 1
2.p(x,y)
1
Re cX Re cY
Definición. Sean (X,Y) dos variables aleatorias continuas , entonces existe:
fX,Y(x,y) llamada función de densidad Conjunta de (X,Y) tal que cumple con:
1.- f(x,y) > 0
(x,y) ∊ Rec (X,Y)
f(x , y )dydx
2.-
1
Re cX Re cY
b
d
f(x , y )dydx
3.- P(a < X < b ; c < Y < d) =
x ay c
Definición. Sean (X,Y) dos variables aleatorias discretas, tal que p(x,y) es su función de probabilidad
conjunta, entonces:
p(x) =
p(x, y) ;
x ∊ Rec (X) Distribución de probabilidad Marginal de X
p(x, y) ;
y ∊ Rec (Y) Distribución de probabilidad Marginal de Y
Re cY
p(y) =
Re cX
p(x/y) =
p(x, y)
;
p(y)
(x,y) ∊ Rec (X,Y) Distribución de probabilidad de X condicionada por Y
p(y/x) =
p(x, y)
;
p( x )
(x,y) ∊ Rec (X,Y) Distribución de probabilidad de Y condicionada por X
E(X / Y = yj) =
RecX
x p(x/ y j )
Esperanza de X condicionada por Y = yj
V(X / Y = yj) = E(X2 / Y=yj) - [E(X / Y=yj) ]2
Varianza de X condicionada por Y = yj
Covarianza(X,Y) = E[(X – E(X)(Y-E(Y)] = E(XY) – E(X)E(Y)
xy p(x,y)
E(XY) =
Covarianza de X, Y
Esperanza conjunta de (X,Y)
Re cX Re cY
( X ,Y )
σ X,Y
σXσ Y
;
-1 ≤ ρ ≤ 1 Coeficiente de correlación lineal de Pearson (X,Y)
σ X,Y =CoV (X,Y)
P(X ≤ a / Y = b) =
P(X
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
a , Y=b)
P(Y=b)
Si X e Y son Variables Aleatorias Discretas
Si X e Y son Variables Aleatorias Discretas o Continuas
COORDINACIÓN
Definición. Sean (X,Y) dos variables aleatorias continuas , tal que f(x,y) es su función de densidad
conjunta, entonces:
f(x) =
f(x, y) dy;
x
Rec X
Función de densidad Marginal de X
f(x, y) dx;
y
Rec Y
Función de densidad Marginal de Y
Re cY
f(y) =
Re cX
f(x/ y)
f(x, y)
f(y) Y=y j
f(y/ x)
f(x, y)
Función de densidad de Y condicionada por X = xj
f(x ) X =x j
Función de densidad de X condicionada por Y = yj
Por lo tanto:
a
E(X/ Y = y j )
f(x/ y = b) dx
P(X ≤ a / Y = b) =
f(x,y) = f(y)∙f(x/y) = f(x)∙f(y/x)
x f(x/ Y = y j ) dx
Esperanza de X condicionada por Y = yj
Re cX
V(X / Y = yj) = E(X2 / Y=yj) - [E(X / Y=yj) ]2
x y f(x, y) dydx
E(XY) =
Varianza de X condicionada por Y = yj
Esperanza conjunta de (X,Y)
Re cX Re cY
Cov(X,Y) = E[(X – E(X)(Y-E(Y))] = E(XY) – E(X)E(Y)
Covarianza de X, Y
Propiedades de la Covarianza
1.- Cov(X , X) = V(X) ; Cov(Y , Y) = V(Y)
2.- Cov(aX +b , cY +d) = ac∙Cov(XY) a, b ,c, d ∊ ℝ
3.- Cov(aX + bY , cX +dY) = ac∙V(X) + bd∙V(Y) + (ad + bc)∙Cov(X , Y) a, b ,c, d ∊ ℝ
Definición: Se dice que (X , Y) son variables aleatorias Independientes si y solo si:
(x,y) ∊ Rec (X,Y)
P(X = x , Y = y) = P( X =x)P(Y = y)
f(x, y) = f(x)f(y)
(x,y) ∊ Rec (X,Y)
Si X e Y son v.a. discretas.
Si X e Y son v.a. continuas.
Consecuencias: Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces:
 E(XY) = E(X)E(Y) Cov(X , Y) = 0
(X, Y) = 0
 V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X , Y) = V(X) + V(Y)
 V(X - Y) = V(X) + V(Y) - 2Cov(X , Y) = V(X) + V(Y)
 p(x /y) = pX(x) ; p(y/x) = p(y);

X
N(
X
X+Y
;
2
X
)
N(
Y
y sea
X
+
Y
;
2
X
E(X/Y=yj) = E(X);
N(
2
Y
)
Y
;
2
Y
E(Y/X = xj) = E(Y)
) entonces
X-Y
N(
X
-
Y
;
2
X
2
Y
)
COORDINACIÓN