Universidade Federal de Itajubá
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2 Prova de MAT003 - Cálculo III - Prof. Lucas
27 de junho de 2019
Valor total: 100 pontos. Escolha APENAS UMA dentre as Questões
Extras 1 e 2. As respostas devem ser justificadas
Questão 1. (30 pontos) Considere os dois campos vetoriais em R2
F~ (x, y) = (2 sen(x) cos(x)ey , sen2 (x)ey ),
~
G(x,
y) = (y − cos(y), x sen(y))
(a) Determine quais desses campos são conservativos, encontrando uma função potencial
em caso afirmativo.
(b) Considere as parametrizações de duas curvas no plano,
~r1 (t) = (t, 0), −1 ≤ t ≤ 1,
~r2 (t) = (− cos(t), sen(t)), 0 ≤ t ≤ π,
e esboce seus gráficos, indicando a sua orientação.
(c) Usando o fato do campo ser conservativo, ou com a ajuda do Teorema de Green,
calcule cada uma das integrais de linha
Z
Z
~
~ · d~r,
F · d~r,
G
C
C
ao longo das duas curvas parametrizadas por ~r1 e ~r2 . Justifique.
Questão 2. (25 pontos) Uma partı́cula se move ao longo dos segmentos de reta da
origem aos pontos (1, 0, 0), (1, 2, 1), (0, 2, 1) e de volta para a origem. Encontre o plano
que contém esses 4 pontos (não precisa mostrar que são coplanares). Usando o Teorema
de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo F~ (x, y, z) = (z 2 , 2xy, 4y 2 ) ao longo desse
trajeto, com a orientação dada.
Questão 3. (25 pontos) Use o Teorema da Divergência (Gauss) para calcular o fluxo
do campo F~ (x, y, z) = x~i − x3 z 2~j + 4yz~k através da superfı́cie do sólido delimitado pelo
cilindro x2 + y 2 = 1, e pelos planos z = 0 e z = x + 2, com o vetor normal apontando
para fora do sólido.
Questão Extra 1. (20 pontos) A base de uma cerca circular com raio de 10m, sobre
um terreno plano, é dada por x = 10 cos t, y = 10 sen t. A altura da cerca na posição
(x, y) é dada pela função h(x, y) = 4 + 0, 01(x2 − y 2 ), de modo que a altura varia de 3m
a 5m. Suponha-se que 1L de tinta cubra 100m2 . Determine a quantidade de tinta que é
necessária para pintar os dois lados dessa cerca.
Questão Extra 2. (20 pontos) Considere o pedaço do helicoide parametrizado por
~r(u, v) = (u cos v, u sen v, v), com 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2π. Sendo F~ (x, y, z) = (zx, zy, 1),
calcule as duas integrais
ZZ
ZZ
ZZ
~
~
y dS,
F · n̂ dS =
F~ · dS
S
S
S