Lista 1 - Cap. 3
Prof. Ariaster B. Chimeli
Monitor: João Marcolin (joao.marcolin@usp.br)
EAE0203 - Microeconomia I
FEA - USP
1 de Maio de 2020
1. (Exercı́cio 3.3 Nicholson Ed. 10) Considere as seguintes funções de utilidade:
(a) U (x, y) = xy
(b) U (x, y) = x2 + y 2
(c) U (x, y) = ln x + ln y
Mostre que cada uma destas funções possui Taxa Marginal de Substituição
(TMS) decrescente, mas as utilidades marginais são constante, crescente e decrescente, respectivamente. O que você conclui?
T MS =
∂U/∂x
∂U/∂y
(a) U (x, y) = xy: utilidades marginais constantes.
∂U
=y
∂x
∂U
=x
∂y
y
T MS =
x
(b) U (x, y) = x2 y 2 : utilidades marginais crescentes.
∂U
= 2xy 2
∂x
∂U
= 2x2 y
∂y
y
T MS =
x
(c) U (x, y) = ln x + ln y: utilidades marginais decrescentes.
∂U
1
=
∂x
x
∂U
1
=
∂y
y
y
T MS =
x
1
Note que U (x, y) = xy é uma função homotética: sua TMS depende apenas da razão y/x.
U (x, y) = x2 y 2 e U (x, y) = ln x + ln y são transformações monotônicas da primeira função logo, também são homotéticas e apresentam a mesma TMS da primeira função. Por outro
lado, a transformação monotônica afeta a utilidade marginal de cada bem.
2. (Exercı́cio 3.4 Nicholson Ed. 10) Como visto na figura 3.5, uma forma de
mostrar convexidade de curvas de indiferença é mostrar que, para quaisquer
dois pontos (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) pertencentes a uma curva de indiferença que provê
2 y1 +y2
é ao menos tão grande quanto
, 2
U = k, a utilidade associada ao ponto x1 +x
2
k. Use essa abordagem para discutir a convexidade das curvas de indiferença
dadas pelas três funções abaixo. Mostre graficamente.
(a) U (x, y) = min (x, y)
(b) U (x, y) = max (x, y)
(c) U (x, y) = x + y
(a) Considere duas cestas (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) na mesma curva de indiferença U (x, y) = k.
Se xi 6= yi , dizemos que o bem em menor quantidade ”limita”a função utilidade: não importa o quanto aumentemos a quantidade do bem em excesso, a pessoa só obtém utilidade
igual à quantidade do bem em menor quantidade. No gráfico, a área hachurada nos dá o
conjunto de cestas que dão utilidade maior que a obtida na curva de indiferença desenhada.
Supondo que x1 6= y1 e x2 6= y2 , há duas situações para levar em consideração:
• suponha que o bem que limita a cesta 1 seja o mesmo bem que limita a cesta 2 - por
exemplo, k = x1 ≤ y1 e k = x2 ≤ y2 , e temos
U (x1 , y1 ) = x1 = k ≤ y1
U (x2 , y2 ) = x2 = k ≤ y2
x1 + x2
k+k
x1 + x2 y 1 + y 2
U
,
=
=
=k
2
2
2
2
• suponha agora que o bem que limita a cesta 1 seja diferente do bem que limita a cesta
2
2 - por exemplo, k = x1 ≤ y1 e k = y2 ≤ x2 . Temos
k+k
x1 + x2
>
=k
2
2
y1 + y2
k+k
>
=k
2
2
x1 + x2 y 1 + y 2
U
,
>k
2
2
E esses são os únicos casos interessantes de analisar, pois se uma das cestas apresenta igualdade xi = yi , então a outra cesta ou é igual à primeira (e uma combinação das duas oferece
a mesma utilidade k) ou apresenta excesso em apenas um dos bens (e uma combinação
das duas também oferece a mesma utilidade k). Logo, as curvas de indiferença da função
U (x, y) = min (x, y) são convexas.
(b) U (x, y) = max (x, y)
Raciocı́nio similar ao do item anterior. Considere duas cestas (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) da mesma
curva de indiferença U (x, y) = k. Se uma das cestas é tal que xi = yi , então a outra cesta
ou é igual à primeira (e uma média das duas cestas dá a mesma utilidade k) ou tem uma
quantidade menor de um dos bens (e uma média das duas cestas dá a mesma utilidade k).
Então, os casos interessantes são aqueles em que x1 6= y1 e x2 6= y2 . Temos então dois casos:
• Suponha que o mesmo bem está em maior quantidade nas duas cestas: por exemplo,
x1 ≥ y1 ⇒ U (x1 , y1 ) = max (x1 , y1 ) = x1 = k
x2 ≥ y2 ⇒ U (x2 , y2 ) = max (x2 , y2 ) = x2 = k
Logo,
max
x1 + x2 y1 + y2
,
2
2
=
x1 + x2
k+k
=
=k
2
2
• Suponha que bens diferentes estão em maior quantidade em cada cesta: por exemplo,
x1 ≥ y1 ⇒ U (x1 , y1 ) = max (x1 , y1 ) = x1 = k
x2 ≤ y2 ⇒ U (x2 , y2 ) = max (x2 , y2 ) = y2 = k
3
Logo, como x1 = y2 = k e x2 , y1 < k,
x1 + x2
<k
2
y1 + y2
<k
2 x1 + x2 y 1 + y 2
max
,
<k
2
2
E as curvas de indiferença desta função não são convexas.
(c) U (x, y) = x + y. Agora considere duas cestas (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) que pertençam à mesma
curva de indiferença U (x, y) = k. Ou seja, devemos ter
x1 + y1 = x2 + y2 = k
Logo,
U
x1 + x 2 y 1 + y 2
,
2
2
=
x1 + y1 + x2 + y2
k+k
x1 + x2 y1 + y2
+
=
=
=k
2
2
2
2
Ou seja, a curva de indiferença é linear.
3. (Exercı́cio 3.7 Nicholson Ed. 10)
(a) Um consumidor está disposto a trocar 3 unidades de x por 1 unidade de y
quando ele possui 6 unidades de x e 5 unidades de y. Ele também está disposto
a trocar 6 unidades de x por 2 unidades de y quando ele possui 12 unidades de
x e 3 unidades de y. Ele é indiferente entre a cesta (6,5) e a cesta (12,3). Qual
é a função de utilidade pelos bens x e y? Dica: Qual é o formato da curva de
indiferença?
(b) Um consumidor está disposto a trocar 4 unidades de x por 1 unidade de y
quando ele está consumindo a cesta (8,1). Ele também está disposto a trocar
1 unidade de x por 2 unidades de y quando ele está consumindo a cesta (4,4).
Ele é indiferente entre essas duas cestas. Assumindo que a função de utilidade é
uma Cobb-Douglas da forma U (x, y) = xα y β , onde α e β são constantes positivas,
qual é a função de utilidade do consumidor?
(c) Houve informação(ões) redundante(s) no item (b)? Se sim, qual o mı́nimo
de informações necessárias nessa questão para se derivar a função utilidade?
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(a) Em sı́ntese, o enunciado nos diz que:
• Quando consome a cesta (6,5), a pessoa está disposta a trocar 3 de x por 1 de y.
• Quando consome a cesta (12,3), a pessoa está disposta a trocar 6 de x por 2 de y.
• A pessoa é indiferente entre as cestas (6,5) e (12,3).
Se a pessoa está consumindo a cesta (6,5) e aceita trocar 3 de x por 1 de y, ela vai para a cesta
(3,6), que deve ser indiferente a (6,5). Então as cestas (3,6), (6,5) e (12,3) são indiferentes
entre si. Note que as taxas de troca sugeridas pelo problema implicam uma TMS constante:
a pessoa troca 3 unidades de x por 1 unidade de y independentemente da cesta que ela
está consumindo. Este é o caso de uma função de utilidade de substitutos perfeitos, do tipo
U (x, y) = αx + βy. Como sabemos que U (6, 5) = U (12, 3) e U (6, 5) = U (3, 6), podemos
achar α e β: e chegamos à função utilidade desta pessoa, dada por
U (x, y) = x + 3y
(b) Sabemos que para U (x, y) = xα y β a TMS é dada por
T MS =
αy
∂U/∂x
=
∂U/∂y
βx
Sabemos também que U (8, 1) = U (4, 4), então
8α 1β = 4α 4β
(23 )α = (22 )α+β
β
23α = 22α+2
α = 2β
Então a função utilidade desta pessoa é algo como U (x, y) = x2β y β para algum β > 0. Se
supomos α + β = 1, a função utilidade será U (x, y) = x2/3 y 1/3 . Mas podemos nos contentar
com U (x, y) = x2β y β pois qualquer transformação monotônica desta função (inclusive mudanças no valor de β) vai preservar o ordenamento de preferências descrito.
(c) Se sabemos que a função utilidade tem um formato do tipo U (x, y) = xα + y β e sabemos
que U (8, 1) = U (4, 4), não precisamos saber as trocas que esta pessoa está disposta a fazer
em cada ponto, pois podemos calcular a taxa de trocas a partir da TMS.
5
4. (Exercı́cio 3.9 Nicholson Ed. 10) Dotações iniciais
Suponha que uma pessoa possua inicialmente quantidades de dois bens que
provêm utilidade a ela. Essas quantidades iniciais são dadas por x̄ e ȳ.
(a) Mostre graficamente essas quantidades iniciais na curva de indiferença desta
pessoa.
(b) Se essa pessoa pode trocar x por y (ou vice versa) com outras pessoas, qual
tipo de troca ela faria voluntariamente? Qual tipo de troca não seria feita?
Como essas trocas se relacionam com a TMS dessa pessoa no ponto (x̄, ȳ)?
(c) Suponha que uma pessoa está relativamente contente com a dotação inicial
recebida e, por isso, levará em consideração apenas trocas que aumentem a utilidade em pelo menos k. Como você ilustraria essa situação em um mapa de
curvas de indiferença?
(a) Aqui não há uma única resposta certa. Como a questão não especifica o formato da
função utilidade, qualquer curva de indiferença serviria.
(b) Quando dizemos que a TMS de uma pessoa no ponto (x̄, ȳ) é igual a A, queremos
dizer que neste ponto a pessoa está disposta a trocar A unidades de y por uma unidade de x.
Qualquer oportunidade de troca a uma taxa diferente da TMS provê uma oportunidade de
aumentar a utilidade. Suponha que a TMS desta pessoa no ponto (x̄, ȳ) seja igual a A ∈ R.
Então,
• Se esta pessoa tem a oportunidade de trocar B unidades de y por uma unidade de x,
B > A, ela vai trocar x por y, aumentando sua utilidade. Essa situação é ilustrada no
gráfico da esquerda, abaixo: as cestas que ela pode alcançar a esta taxa de troca que
lhe dão uma utilidade maior estão na linha vermelha.
• Se esta pessoa tem a oportunidade de trocar C unidades de y por uma unidade de x,
C < A, ela vai trocar y por x, aumentando sua utilidade. Essa situação é ilustrada no
gráfico da direita, abaixo: as cestas que ela pode alcançar a esta taxa de troca que lhe
dão uma utilidade maior estão na linha vermelha.
Nos gráficos abaixo, desenhei uma curva de indiferença pensando numa utilidade CobbDouglas. Isto não é essencial para responder a questão.
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(c) Veja o gráfico abaixo: a pessoa só vai fazer uma troca se ela levá-la para um nı́vel de
utilidade maior ou igual à curva de indiferença vermelha.
5. (Exercı́cio 3.10 Nicholson Ed. 10) Utilidade Cobb-Douglas.
O exemplo 3.3 mostra que a TMS de uma função Cobb-Douglas U (x, y) = xα y β é
dado por T M S = (α/β)(y/x).
(a) Este resultado depende de α + β = 1? Essa soma tem alguma relevância para
a teoria da escolha?
(b) Para cestas de commodities onde x = y, de que maneira a TMS depende dos
valores de α e β? Desenvolva uma explicação intuitiva do porquê, se α > β, TMS
> 1. Ilustre seu argumento graficamente.
(c) Suponha que um indivı́duo apenas obtém utilidade de quantidades de x e y
que excedem o nı́vel mı́nimo de subsistência dado por x0 e y0 . Nesse caso,
U (x, y) = (x − x0 )α (y − y0 )β
Essa função é homotética?
(a) O resultado não depende do valor de α + β. Prova:
∂U/∂x
∂U/∂y
αxα−1 y β
=
βxα y β−1
αy
=
βx
T MS =
Além disso, o valor de α + β não tem relevância na teoria da escolha porque, ao aplicarmos à
função de utilidade qualquer transformação monotônica (por exemplo, multiplicando α e β
pelo mesmo número), a função de utilidade continua representando as mesmas preferências.
(b) Nos pontos em que x = y então T M S = α/β. Quando α > β, a pessoa valoriza x
relativamente mais que y: temos T M S > 1, o que significa que quando x = y a pessoa está
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disposta a trocar mais de uma unidade de y para obter apenas uma unidade de x.
(c) Esta função não é homotética pois, se fosse, sua TMS dependeria apenas da razão y/x.
Isto não acontece, como provamos abaixo:
∂U/∂x
∂U/∂y
α(x − x0 )α−1 (y − y0 )β
=
β(x − x0 )α (y − y0 )β−1
α(y − y0 )
=
β(x − x0 )
T MS =
6. (Exercı́cio 3.11 Nicholson Ed. 10) Utilidades marginais independentes.
Dois bens possuem utilidades marginais independentes se
∂ 2U
∂ 2U
=
=0
∂y∂x
∂x∂y
Mostre que se assumirmos utilidade marginal decrescente para cada um dos
bens, então qualquer função de utilidade com utilidades marginais decrescentes
possuirão TMS decrescente. Dê um exemplo para mostrar que o oposto dessa
afirmação não é verdadeira.
O enunciado descreve uma função U (x, y) tal que
∂U
= f (x), f 0 (x) < 0
∂x
∂U
= g(y), g 0 (y) < 0
∂y
∂f (x)
∂ 2U
=
=0
∂y∂x
∂y
∂ 2U
∂g(y)
=
=0
∂x∂y
∂x
Pelas duas últimas linhas, sabemos que y não é argumento de f (x) e que x não é argumento
de g(y). Sabemos que
∂U/∂x
f (x)
T MS =
=
∂U/∂y
g(y)
Então, a TMS é decrescente, pois
• Se aumentamos x, f (x) diminui e g(y) se mantém constante, de modo que a TMS
diminui;
• Se diminuı́mos y, f (x) se mantém constante e g(y) aumenta, de modo que a TMS
diminui.
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O oposto a afirmação no enunciado é ”uma função de utilidade com utilidades marginais decrescentes não possuirá TMS decrescente”. Esta afirmação não é verdadeira. Por exemplo,
tome uma função de utilidade Cobb-Douglas U (x, y) = xα y β . Esta função tem utilidades
marginais decrescentes e sua TMS também é decrescente.
7. (Exercı́cio 3.12 Nicholson Ed. 10) Utilidade CES
(a) mostre que a função CES
U (x, y) = α
yδ
xδ
+β
δ
δ
é homotética. Como a TMS depende da razão y/x?
(b) Mostre que seus resultados do item (a) estão de acordo com a discussão para
os casos onde δ = 1 (substitutos perfeitos) e δ = 0 (Cobb-Douglas).
(c) Mostre que a TMS é estritamente decrescente para todos os valores de δ < 1.
(d) Mostre que se x = y, a TMS para essa função depende apenas dos tamahos
relativos de α e β.
(e) Calcule a TMS para essa função quando y/x = 0, 9 e y/x = 1, 1 para os casos
δ = 0, 5 e δ = −1. O que voc e conclui a respeito de quanto varia a TMS na
vizinhança de x = y? Como você interpretaria isso geometricamente?
(a) Como a TMS é função de y/x, a função é homotética.
∂U/∂x
∂U/∂y
αxδ−1
=
βy δ−1
α y 1−δ
=
β x
T MS =
(b) Para δ = 1, T M S = α/β, uma constante, como no caso de uma função de utilidade de
αy
substitutos perfeitos. Para δ = 0, T M S = βx
, igual ao caso Cobb-Douglas.
(c)
∂T M S
= (δ − 1)
∂x
α 1−δ δ−2
y x
β
O primeiro termo entre parênteses é negativo e o segundo é positivo. Então sabemos que
∂T M S/∂x < 0: a TMS é decrescente em x.
(d) Para x = y, T M S = α/β.
9
(e) Para y/x = 0, 9,
• Se δ = 0, 5, T M S ≈ 0, 95 αβ
• Se δ = −1, T M S ≈ 0, 81 αβ
Para y/x = 1, 1,
• Se δ = 0, 5, T M S ≈ 1, 05 αβ
• Se δ = −1, T M S ≈ 1, 21 αβ
Na vizinhança de x = y, a TMS muda mais quando δ = −1 do que quando δ = 0, 5. Ou
seja, quanto menor δ, mais curvadas são as curvas de indiferença. Com δ → −∞, temos o
caso de proporções fixas (complementares perfeitos).
8. (Exercı́cio 3.13 Nicholson Ed. 10) Função quase-linear
Considere a função U (x, y) = x + ln y. Esta é uma função que é usada com relativa
frequência em modelagens econômicas por esta possuir algumas propriedades
úteis.
(a) Encontre a TMS da função. Agora, interprete o resultado.
(b) Confirme que a funçõa é quase-côncava.
(c) Encontre a equação para uma curva de indiferença desta função.
(d) Compare a utilidade marginal de x e de y. Como você interpreta essas
funções? Como os consumidores poderiam escolher entre x e y tentando aumentar sua utilidade a partir de, por exemplo, um aumento no consumo quando sua
renda aumenta?
(e) Considerando como a utilidade vaira de acordo com aumentos nas quantidades dos dois bens, descreva algumas situações onde esta função poderia ser útil.
(a)
T MS =
1
∂U/∂x
=
=y
∂U/∂y
1/y
O bem y tem utilidade marginal decrescente, enquanto o bem x tem utilidade marginal
constante. A TMS diminui à medida que a quantidade de y diminui, mas independe da
quantidade de x que é consumida. Note que esta função não é homotética.
(b) A função é quase-côncava se e somente se
f11 f22 − 2f12 f1 f2 + f22 f12 < 0
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No caso,
f1 = Ux = 1
1
f2 = Uy =
y
f11 = Uxx = 0
f21 = U + yx = 0
f12 = Uxy = 0
1
f22 = Uyy = − 2
y
Logo,
f11 f22 − 2f12 f1 f2 + f22 f12 = 0 − 0 −
1
1
=− 2 <0
2
y
y
(c) Tome um nı́vel de utilidade Ū qualquer, e analise os pontos (x, y) que satisfazem este
nı́vel de utilidade:
U (x, y) = x + ln y = Ū
ln y = Ū − x
y = eŪ −x
(d) A utilidade marginal de x é ∂U/∂x = 1 e a utilidade marginal de y é ∂U/∂y = 1/y. Note
que:
• Se y < 1, Uy > Ux
• Se y = 1, Uy = Ux
• Se y > 1, Uy < Ux
Se a restrição orçamentária da pessoa permite que ela consuma ao menos 1 unidade de y,
ela consome y = 1 e gasta todo o resto da sua renda em x. Se a restrição orçamentária não
permite que a pessoa consuma y ≥ 1, ela gasta toda a sua renda em y.
(e) Esta função é normalmente usada para descrever o consumo de um bem com relação a
todos os outros bens. No caso, ln y pode representar um bem especı́fico, e x um agregado
de todos os outros bens.
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