Álgebra Linear & EDO
2o Semestre 2015
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Professor: Tiago Pereira
1. Verifique se V = {(x, y) 2 R2 } é um espaço vetorial sobre R com as operações de
adição e de multiplicação por escalar dados por:
a) (x1 , y1 )
(x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ); ↵
b) (x1 , y1 )
(x2 , y2 ) = (x1 , y1 ); ↵
c) (x1 , y1 )
(x2 , y2 ) = (2x1
d) (x1 , y1 )
(x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ); ↵
(x, y) = (x, ↵y)
(x, y) = (↵x, ↵y)
2y2 , x2 + y1 ); ↵
(x, y) = (x, ↵y)
(x, y) = (y, ↵x)
2. Seja V = {x 2 R, x > 0} com as operações de adição e de multiplicação por
escalares dadas por:
x
y = xy; ↵
x = x↵ , ↵ 2 R
Verifique que V é um espaço é um espaço vetorial sobre R.
3. Seja n 2. Assinale a alternativa em que S é um subespaço vetorial de Rn (munido
das operações usuais). Justifique sua resposta.
a) S = {(x1 , · · · , xn ) 2 Rn : x1 + · · · + xn + 1 = 0}
c) S = {(x1 , · · · , xn ) 2 Rn : x1 > 0, · · · , xn > 0}
e) S = {(x1 , · · · , xn ) 2 Rn : x1 + · · · + xn = 0}
4. Justifique cada uma das alternativas
a) W = {(x, y) 2 R2 |x  0} não é um subespaço vetorial de R2 munido das
operações usuais de some entre vetores e multiplicação entre escalar real e vetor.
b) O conjunto
=
n ✓ -1
0
1
-1
◆ ✓
-1
,
1
0
1
◆ ✓
0
,
-1
1
0
◆ ✓
0
,
0
1
0
◆ o
,
contido no espaço vetorial Mat(2, R) munido da soma entre matrizes e multiplicação entre escalar real e matriz usuais é L.D.
5. Seja W = {(x, y) 2 R2 , x, y > 0} com as operações de adição e multilplicação por
escalares dados por
(x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 )
(x, y) = (x↵ , y ↵ )
↵
a) Verifique que W é um espaço vetorial sobre R.
b) Ache uma base de W .
n✓ x y ◆
6. Sejam S1 =
2 Mat(2, R) | x
z w
n✓ 1
S2 =
1
2
0
◆ ✓
0
,
1
o
y+z =0 e
1
1
◆ ✓
1
,
0
0
0
◆o
.
a) Determine uma base e a dimensão de S1 \ S2
✓
◆
3 4
b) Seja M =
. Verifique se M 2 S1 \ S2 .
1 -2
7. Sejam a 2 R e
S = {(1, a, 1), (1, 1, a), ( 1, 1, 1)}
Determine a para que S seja uma base de R3 .
8. Considere o espaço vetorial F de todas as funções reais de uma variável t. Mostre
que os seguintes conjuntos formam sistemas linearmente independentes de F .
a) {1, t}.
b) {t, t4 }.
c) {tet , e2t }.
d) {t, cos t}.
9. Seja V o espaço vetorial das funções de R em R, e Vp o subconjunto das funções
pares, isto é, que satisfazem
f ( x) = f (x) 8x 2 R
e Vi o subconjunto das funções impares, isto é, que satisfazem
f ( x) =
Prove que
a) Vp e Vi são subespaços de V
b) Vp + Vi = V
c) Vp \ Vi = {0}
2
f (x) 8x 2 R
10. Seja W o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3 cujos elementos satisfazem p( 1) = p(1) munido das operações usuais de soma multiplicação escalar.
a) Ache uma base para W
b) Qual a dimensão de W ?
11. Considere o espaço vetorial P3 (R). Determine uma base para o subespaço vetorial
de P3 (R) definido por
S = {p(x) 2 P3 (R) | p( 1) + p0 ( 1) = 0 e p(1) = 0}
12. Considere o espaço vetorial real P2 (R) e o subconjunto U definido por
U = {p(x) 2 P2 (R)|
Z
1
p(x)dx + 2p0 (0) = 0}
1
a) Mostre que o subconjunto U é um subespaço vetorial de P2 (R)
b) Determine uma base para o subespaço U
c) Determine uma subespaço W de P2 (R) de modo que P2 (R) = U
W
13. Seja ⇧ = {(x, y, z) 2 R3 | x 2y + 4z = 0}. Obtenha uma base {(~v1 , ~v2 , ~v3 )} de R3
de tal modo que ~v1 , ~v2 2 ⇧.
14. Mostre que se U, W são subespeços de V de dimensão finita, então
dimU + dimV = dim(U + V ) + dim(U \ W )
3