Cálculo I
Ejercicios del tema 3
1. Determina la ecuación de la curva en el primer cuadrante del plano que pasa por el punto (1, 1) y que
en cada punto tiene pendiente −y/x.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
√
a) y 0 = 2x y − 1.
b) y 0 +
c)
d)
e)
3x
y = x26x+1 .
x2 +1
x ln(x)y 0 + y = 3x3
si x > 1.
y0
− x cos2 (y) = 0.
1+x2
y 0 + y tg x = 0 si −π
2
< x < π2 .
3. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial:
(
y 0 + y cos x = sen x cos x
a)
y(0) = 1
(
√
y 0 + y 2 x2 = 0 si x > − 3 3
b)
y(0) = 1
(
(1 + x2 )y 0 = −x3 y 2
c)
y(0) = 1
(
x(x + 1)y 0 + y = 4x(x + 1)2 ln x si x > 0
d)
y(1) = 0
4. Determina una función f que sea derivable en (0, +∞) y que cumpla la siguiente ecuación para todo
x > 0:
Z x
f (t)
f (x) +
dt = x3 .
t
1
5. Determina todas las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y 00 + 2y 0 − 3y = 0.
b) y 00 + 2y 0 + y = 0.
c) y 00 − 2y 0 + 5y = 0.
d ) y 00 − y = x.
e) y 00 + y 0 = x2 + 2x.
f ) y 00 + 4y = e−2x .
g) y 00 + y 0 − 2y = ex .
h) y 00 + 2y 0 + y = 10 cos(3x).
6. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial:

00
0

y + y = x
a) y(0) = 1

 0
y (0) = 0

00
0

y + 4y + 4y = 0
c) y(−1) = 2

 0
y (−1) = 1

00
0
2x

y − 5y + 6y = 10e
b) y(0) = 1

 0
y (0) = 1

00

y + y = sen x
d) y(0) = 0

 0
y (0) = 0