Cálculo I
Apostila 2
Limites
 Teorema da Substituição
Seja c um número real e seja f(x) = g(x) para todo x ≠ c. Se o limite de g(x)
existe quando x tende a c, então o limite de f(x) também existe e:
lim f x   lim gx 
x c
x c
Exemplo 8: Determine, algebricamente, o limite da função f ( x ) 
x2  x  6
quando x
x3
tende a –3.
x2  x  6 0
lim
 (Indeterminação)
x 3
x3
0
Todavia, como ambos os limites do numerador e do denominador são zero,
sabemos que eles têm um fator comum (x + 3). Assim, para todo x ≠ –3, podemos
cancelar este fator, obtendo:
lim
x 3
x  3  x  2
x2  x  6
 lim
x 3
x3
x3
lim x  2  5
x  3
Exemplo 9: Determine, algebricamente, o limite da função f ( x ) 
x3  1
quando x
x 1
tende a 1.
lim
x 1
x3  1 0
 (Indeterminação)
x 1 0
Todavia, como ambos os limites do numerador e do denominador são zero,
sabemos que eles têm um fator comum (x – 1). Assim, para todo x ≠ 1, podemos
cancelar este fator, obtendo:



x3  1
x  1  x 2  x  1
lim
 lim
x 1 x  1
x 1
x 1
lim x 2  x  1  3
x 1
Exemplo 10: Determine, algebricamente, o limite da função f ( x ) 
x tende a –2.
x2  x  2
0
lim

0
x 2
x2
4
x2  x  2
quando
x2
Cálculo I
Elvézio
Apostila 2
 Limites Unilaterais
Na apostila anterior vimos que um limite pode não existir pelo fato de uma
função tender para valores diferentes à esquerda e à direita de c. Esse tipo de
comportamento pode ser descrito de modo mais conciso com o conceito de limite
unilateral.
lim f x  L (Limite à esquerda)
 
x c
lim
f x   L
x c

(Limite à direita)
O primeiro limite lê-se como “o limite de f(x) quando x tende para c pela
esquerda é L.” O segundo limite lê-se como “o limite de f(x) quando x tende para c pela
direita é L.”
Exemplo 11: Determine, algebricamente, o limite da função f ( x ) 
2x
x
quando x
tende a 0 pela esquerda e também pela direita.
 2x se x  0
Como 2x  
temos:
 2x se x  0
lim
x 0
lim
x 0
2x
x
2x
x

 2x
 2
x

 2x
 2
x
Observe que a função tem limites diferentes à esquerda e à direita. Em tais casos,
o limite de f(x) quando x tende a c não existe. Para que o limite de uma função exista
quando x tende a c, ambos os limites laterais devem existir e serem iguais.
 Existência de um Limite
Se f é uma função e c e L são números reais, então:
lim f x   L
x c
se e somente se ambos os limites à esquerda e à direita são iguais a L.
Exemplo
12:
Determine,
algebricamente,
 4  x se x  1
f ( x )  
quando x tende a 1.
2
4x  x se x  1
.
2.
o
limite
da
função
Cálculo I
Apostila 2
Elvézio
 4  x se x  1
Como f ( x )  
temos:
2
4
x

x
se
x

1

lim 4  x  4  1  3
x 1
lim 4x  x 2  4  1  12  4  1  3
x1
Como ambos os limites laterais existem e são iguais a 3, ou seja, convergem,
então decorre que o limite de f(x) quando x tende a 1 existe. Logo:
lim f x   3
x 1
 Comportamento Não-Limitado
O exemplo 11 ilustra um limite que não existe porque os limites à esquerda e à
direita são diferentes, isto é, não convergem.
Outra maneira importante pela qual um limite pode não existir é quando f(x)
aumenta ou diminui indefinidamente, ou seja, tende a infinito, quando x tende para c.
Exemplo 13: Calcule o limite (se possível): lim
x 2
3
3
3


x 2 x  2
22 0
com x tendendo a 2.
3
x2
 será necessários determinar os limites laterais
Como lim
3
3
3
 

 
x 2 x  2
2  2 peq 
3
3
3
lim
 

 
x 2 x  2
2  2 peq 
lim
Como a função é não-limitada quando x tende para 2, o limite não existe. Em
outras palavras, o problema aqui não que os limites laterais não convergiram, mas sim o
fato da função ser não-limitada, ou seja, tender ao infinito.
Observação: O sinal de igualdade em
lim
f x   
x c

ou
lim
f x   
x c

não significa que o limite exista! Pelo contrário, diz-nos como o limite deixa de existir
denotando o comportamento não-limitado de f(x) quando x tende para c.
.
3.
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Apostila 2
x2  1
Exemplo 14: Calcule o limite (se possível): lim
x 1
x 1
Observe que ao aplicar o limite direto obteremos uma indeterminação:
lim
x2  1
x 1
x 1
12  1

11

0
0
Para eliminar a indeterminação aplicaremos a técnica da racionalização, que
consiste em multiplicar o numerador e denominador pelo termo inverso daquele que
contém a raiz:
lim
x2  1
x 1
x 1
x 1

x 1
Observe que no denominador temos o produto da soma pela diferença:
a  b  a  b  a2  b2
assim obtemos:
lim
x


1  x 1
x 1
2
x 1
e no numerador temos a diferença dos quadrados:
a 2  b 2  a  b  a  b
logo:
lim
x  1  x  1  

x 1
x 1
x1
na qual podemos simplificar e assim eliminar a indeterminação.
lim x  1 
x1


x 1
Por fim, basta aplicar o limite diretamente
lim x  1 
x 1


x  1  1  1 
Exemplo 15: Calcule o limite (se possível): lim
 1  1  2  2  4
x3
x 3 3
4  x 1
Observe que ao aplicar o limite direto obteremos uma indeterminação:
lim
x 3 3
x3
4  x 1

33
3
4  3 1

0
0
Neste exercício aplica-se outra técnica muito útil em limites envolvendo raiz,
que é a mudança de variável, que consiste em um truque algébrico que facilita a solução
da indeterminação da forma 0 sobre 0.
.
4.
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Apostila 2
A mudança de variável para este exercício é y  3 4  x e elevando ao cubo
nos dois lados temos:
y 3  4  x , portanto x  4  y 3
Lembre que também devemos transformar o ponto limite. A partir da equação
y  3 4  x podemos dizer que quando x  3 temos y  1 .
Substituindo obtém-se um novo limite similar ao primeiro, que ainda contém
uma indeterminação da forma:
lim
y 1
4  y3  3 1 y3

y 1
y 1
ou ainda,


 y3  1
lim
y 1
y 1
Note que, desta vez podemos reescrever o limite abrindo o numerador aplicando
a diferença entre os cubos:
lim
y 1


 y  1  y 2  y  1
y 1
simplificando temos:


lim  y 2  y  1
y 1
agora é só calcular o limite:


lim  12  1  1  3
y 1
Como determinar o limite quando y tende a 1 é o mesmo que calcular o limite
quando x tende a 3, essa resposta é válida para o limite original, portanto:
lim
x 3 3
x3
4  x 1
 3
 Propriedades dos Limites
1)
u  lim
v  para u  ux  e v  vx 
u  v   lim
lim
x c
x c
x c
2)
u para u  ux  e K é uma constante
k  u  k  lim
lim
x c
x c
3)
u  lim
v  para u  ux  e v  vx 
u  v   lim
lim
x c
x c
x c
4)
u
 u  lim
x c
lim


x c 
v 
 v  lim
x c
para u  ux  e v  v x 
.
5.
Cálculo I
Apostila 2


5)
um   lim
u
lim
xc
xc
6)
m
u
lim
u  m lim
x c
x c
7)
loga u  loga lim
u
lim
x c
x c
8)
uv   lim
u
lim
xc
xc

para u  ux 
m

para u  ux 

lim  v 
x c

para u  ux 
para u  ux  e v  vx 
 Cálculos possíveis envolvendo Limites
0
0

0   0
0  
  
  
  
  

 ,

k
0
 
k
0
 Indeterminações de Limites

0
0
0


0
00
1
.
6.
Elvézio
Cálculo I
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
10. Determine o limite (se existir):
a) lim x 2  2x  1
b) lim 5  x 3
c) lim 5 3x  1
d) lim
x3
x 2
x
x  1 2  x
x 2
e) lim
x 2  4x
4x
g) lim
x3
x2  9
x 4
x  3
f) lim
x 2
x2  4
h) lim
x 2 2  x
2x 2  x  3
x 1
x 1
i) lim
j) lim
x 1
x2  1
x2  x  2
x2
k) lim
x2
x 2
 x 2  4x  6 se x  2
l) lim 
x 2  2  4 x  x 2 se x  2

x 2
x4
m) lim
x 4
3
n) lim
x 9
x 1  2
x9
o) lim
5x  1
x3
p) lim
2x 2  7 x  5
x2
q) lim
 2x  4
 1 x
r) lim
x 3  5x 2  4x
 2x 3  3 x  1
s) lim
2x 4  5 x 3  1
3x 2  4
x 3
x 0
x  1
x  
x  
 x 3  2x
t) lim
x   x 5  3x 2  2
.
7.
x2  4
2x