1
Limite - Revisão
O conceito de limite de uma função contribui para a análise do comportamento da função na vizinhança de um determinado ponto.
Intuitivamente, dada uma função f (x) e um ponto b que pertence ao
domínio de f (x), dizemos que o limite à direita da função é L, quando x !
b+ , f (x) ! L. Analogamente, dizemos que o limite à esquerda da função é
M , quando x ! b , f (x) ! M: Limites à direita e limites à esquerda são
denominados limites laterais. Caso L = M , então a…rmamos que existe o
limite de f (x), ou seja:
lim f (x) = L:
x!b
Limites in…nitos ocorrem quando x tende a um determinado valor, f (x)
tende para +1 ou 1, por exemplo:
lim f (x) = +1, lim f (x) = +1, lim+ f (x) =
x!b+
x!b
x!b
1 e lim f (x) =
x!b
1.
Quando x ! +1 ou x ! 1, o limite de f (x) é denominado limite
no in…nito ( ou nos extremos do domíno), ou seja:
lim f (x) = m, lim f (x) = l:
x!+1
x! 1
A reta x = x0 é denominada assíntota vertical quando os limites laterais
de x0 são limites in…nitos. Analogamente, a reta y = y0 é denominada
assíntota horizontal quando y0 é um limite no in…nito.
1.1
Continuidade
A f (x) é contínua em a se e somente se as seguintes condições são satisfeitas:
i) f (a) existe,
ii) existe o limx!a f (x), e
iii) limx!a f (x) = f (a).
A função será descontínua em a se uma dessas condições não for satisfeita.
1
2
Derivada
A reta secante é qualquer reta que passe por dois pontos de uma função. Se
ela passar pelos pontos P (x1 ; f (x1 )) e Q(x1 + x; f (x1 + x)), a inclinação
desta reta será:
x) f (x1 )
; x 6= 0:
x
Seja o ponto P um ponto …xo e Q móvel, podemos agora alterar x.
Quando x ! 0, a reta secante tende à reta tangente.
Seja f (x) contínua em x1 , a reta tangente ao grá…co de f no ponto
P (x1 ; f (x1 )) é:
i) a reta P , com inclinação:
mP Q =
f (x1 +
x) f (x1 )
;
x!0
x
ii) a reta x = x1 , se o limite acima for +1 ou 1:
Se nem i) e nem ii) forem satisfeitas, então não existe reta tangente ao
grá…co de f no ponto P (x1 ; f (x1 )):
A derivada de uma função f é a função denotada por f 0 , tal que seu
valor em qualquer valor x do domínio de f seja dado por:
m(x1 ) = lim
f 0 (x) = lim
f (x1 +
f (x +
x!0
x)
x
f (x)
;
se este limite existir. Para x = x1 :
x) f (x1 )
;
x!0
x
Se f é derivável em x1 , então f é contínua em x1 : Uma função não será
derivável em x1 pelas seguintes razões:
i) se ela for descontínua em x1 ,
ii) se ela for contínua em x1 , mas f possui uma reta vertical no ponto
x = x1 ,
iii) se ela for contínua em x1 , mas f não possui uma reta tangente no
ponto x = x1 .
f 0 (x1 ) = lim
f (x1 +
2
2.1
Teoremas sobre Derivação
1) f (x) = c ) f 0 (x) = 0;
2) f (x) = xn ) f 0 (x) = nxn
1
(n 2 Q);
3) f (x) = cx ) f 0 (x) = c;
4) h(x) = f (x) + g(x) ) h0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x);
5) h(x) = f (x)g(x) ) h0 (x) = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x);
6) h(x) =
2.2
f (x)
g(x)
) h0 (x) =
f 0 (x)g(x) g 0 (x)f (x)
(g(x))2
(g(x) 6= 0):
Regra da Cadeia
Dada 2 funções f e g, a função composta f og é de…nida como:
(f og)(x) = f (g(x));
e o domínio de f og é o conjunto de todos os valores x no domínio de g tal
que g(x) esteja no domínio de f:
Regra da Cadeia: Se a função g for derivável em x e a função f for
derivável em g(x), então f og será derivável em x, e:
(f og)0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x):
3
2.3
Aplicações de Derivada
Um função f de…nida num intervalo será crescente naquele intervalo, se
e somente se, f (x1 ) < f (x2 ) sempre que x1 < x2 , onde x1 e x2 são quaisquer números no intervalo. Analogamente, ela será decrescente naquele
intervalo, se e somente se, f (x1 ) > f (x2 ) sempre que x1 < x2 :
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a; b] e derivável em
(a; b):
i) se f 0 (x) > 0 para todo x em (a; b), então f (x) será crescente em [a; b];
ii) se f 0 (x) < 0 para todo x em (a; b), então f (x) será decrescente em
[a; b]:
A função f terá um valor máximo relativo em c se existir um intervalo
aberto contendo c, no qual f (x) esteja de…nida, tal que f (c)
f (x) para
todo x nesse intervalo. Analogamente, ela terá um valor mínimo relativo
em c se f (c) f (x) para todo x nesse intervalo.
Se f (x) for de…nida para todos os valores de x em (a; b) e se f possuir
um extremo relativo em c (a < c < b), então f 0 (c) = 0; se f 0 (c) existir.
Seja c um número no domínio de f e f 0 (c) = 0 ou f 0 (c) não existir, então
c será denominado ponto crítico de f:
Teste da derivada primeira para extremos relativos:
Seja f uma função contínua em todos os pontos do intervalo aberto (a; b),
contendo c e suponha que f 0 exista em todos os pontos de (a; b); exceto
possivelmente em c :
i) se f 0 (x) > 0 para todo os valores de x em algum intervalo tendo c como
extremo direito, e se f 0 (x) < 0 para todo os valores de x em algum intervalo
tendo c como extremo esquerdo, então f terá um valor máximo relativo em
c;
ii) se f 0 (x) < 0 para todo os valores de x em algum intervalo tendo c como
extremo direito, e se f 0 (x) > 0 para todo os valores de x em algum intervalo
tendo c como extremo esquerdo, então f terá um valor máximo relativo em
c;
Para determinar os extremos relativos de f :
1) Calcule f 0 (x):
2) Encontre os pontos críticos de f , isto é, os valores de x para os quais
0
f (x) = 0, ou para os quais f 0 (x) não existe.
3) Aplique o teste da derivada primeira.
4
2.4
Derivadas de ordem superior
Seja f (x) uma função derivável, então f 0 (x) será denominada derivada primeira
de f . Se a derivada de f 0 (x) existir, então f 00 (x) será denominada derivada
segunda de f . E assim sucessivamente podemos de…nir f 000 (x) e outras
derivadas de ordem superior, em que f n (x) representa a derivada de ordem
n de f:
Seja f uma função diferenciável em algum intervalo aberto contendo c,
então:
i) se f 00 (c) > 0, o grá…co de f é côncavo em (c; f (c));
ii) se f 00 (c) < 0, o grá…co de f é convexo em (c; f (c)):
O ponto (c; f (c)) será um ponto de in‡exão do grá…co f se o grá…co
possuir uma reta tangente neste ponto e se existir um intervalo aberto contendo c, tal que se x estiver neste intervalo:
i) se f 00 (x) < 0 se x < c e f 00 (x) > 0 se x > c,ou
ii) se f 00 (x) > 0 se x < c e f 00 (x) < 0 se x > c.
Adicionalmente, se exister f 00 (c), então f 00 (c) = 0:
Teste da derivada segunda para extremos relativos:
Seja c um número crítico de f , no qual f 0 (c) = 0 e suponhamos que f 0
exista para todo x em algum intervalo aberto contendo c. Se f 00 (c) existe e
i) se f 00 (c) < 0; então f tem uma valor máximo relativo em c;
ii) se f 00 (c) > 0; então f tem uma valor mínimo relativo em c:
Para obter um esboço do grá…co de uma função f , você deve seguir os
seguintes passos:
1) Determine o domínio de f:
2) Encontre os interceptos y e x (se possível) do grá…co.
3) Calcule f 0 (x) e f 00 (x).
4) Encontre os números críticos de f:
5) Aplique o teste da derivada primeira.
6) Determine os intervalos nos quais f é crescente (f 0 (x) > 0) ou decrescente (f 0 (x) < 0).
7) Encontre os pontos de in‡exão de f:
8) Veri…que a concavidade do grá…co: côncava (f 00 (x) < 0) ou convexa
00
(f (x) > 0).
9) Veri…que a existência de possíveis assíntotas horizontais ou verticais.
5