Análise Complexa e Equações Diferenciais
Notas Sobre as Aulas Teóricas
João Teixeira, Maria João Borges
2o¯ Semestre de 2015/16
Índice
1 Análise Complexa
1.1 Notas Históricas Sobre Números Complexos . . . . . . . . . . .
1.2 Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Estrutura Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Inexistência de relação de ordem total em C . . . . . . .
1.2.3 Potências de Expoente Inteiro e Polinómios Complexos .
1.2.4 Estrutura Geométrica, Representação Polar e Fórmula de
1.2.5 Raı́zes Índice n de um Número Complexo . . . . . . . .
1.3 Sucessões e Séries de Números Complexos . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Sucessões de Números Complexos . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Séries Numéricas (Reais ou Complexas) . . . . . . . . .
1.3.3 Série Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Resultados Gerais de Convergência de Séries Complexas
1.3.5 Série Harmónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Séries de Mengoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7 Convergência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.8 Séries Reais de Termos Não Negativos . . . . . . . . . .
1.3.9 Séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.10 Séries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.11 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Funções Complexas de Variável Complexa . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Definição e Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Continuidade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Derivada Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Equações de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . .
1.4.7 Teorema de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.8 Demonstração do Teorema de Cauchy-Riemann . . . . .
1.4.9 Propriedades das Funções Analı́ticas . . . . . . . . . . .
1.4.10 Condições de Cauchy-Riemann em Coordenadas Polares
1.4.11 Noções Básicas da Topologia em C . . . . . . . . . . .
1.4.12 Funções harmónicas em R2 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Integração em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Curvas em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Integral complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Euler
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1.5.3 Teorema de Cauchy e suas consequências . . . . . . . . . . . . . . .
Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Analiticidade de uma Série de Potências . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Zeros de uma Função Analı́tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Definição de Série de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Teorema de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Singularidades, Resı́duos e Teorema dos Resı́duos . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.2 Classificação das Singularidades Isoladas . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Resı́duos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.4 Teorema dos Resı́duos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Aplicações do Teorema dos Resı́duos ao Cálculo de Integrais Reais . . . . . .
1.10.1 Integrais Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2 Integrais Impróprios de 1a espécie de Funções Racionais . . . . . . . .
1.10.3 Integrais Impróprios de 1a espécie envolvendo funções Trigonométricas
1.6
2 Equações Diferenciais Ordinárias
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Notação e Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ordem e Soluções de uma Equação Diferencial Ordinária . . .
2.1.3 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem . . . . .
2.2 Equações Escalares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Determinação da Solução Geral . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Equações Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Equações Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Equações Redutı́veis a Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Existência, Unicidade e Prolongamento de Soluções . . . . . . . . . .
2.3.1 Teorema de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Exemplo de não unicidade de solução . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Condição de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 O teorema de Picard (revisitado) e alguns exemplos . . . . . .
2.3.6 Prolongamento de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7 Comparação de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Equações Vectoriais de 1¯a Ordem (ou Sistemas) . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Condição de Lipschitz e Teorema de Picard no Caso Vectorial
2.4.2 Equações Vectoriais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Equações vectoriais Lineares — Caso Não Homogéneo . . . .
2.4.4 Equações Vectoriais Lineares de Coeficientes Constantes . . .
2.5 Equações Lineares de Ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Equação linear de 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Equação linear de 2a ordem de coeficientes constantes . . . .
2.5.3 Equação linear de ordem n e equação vectorial equivalente . .
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2.6
2.5.4 Solução geral da equação homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Equação homogénea de ordem n de coeficientes constantes . . . . . .
2.5.6 Soluções Particulares Através da Fórmula de Variação das Constantes
2.5.7 Método dos Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.8 Aplicações à resolução de equações vectoriais de 1a ordem . . . . . .
Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Definição e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Aplicações da Transformada de Laplace às equações diferenciais . . .
2.6.3 Distribuição Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Inversão da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Introdução às Equações Diferenciais Parciais
191
3.1 Método de Separação de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.2.1 Definição e convergência pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.2.2 O Núcleo de Dirichlet e as Somas Parciais das Séries de Fourier . . . . . 199
3.2.3 Série de Fourier de Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.2.4 Série de Fourier de Cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.3 Problema de Dirichlet Homogéneo para a Equação do Calor Unidimensional . . . 205
3.3.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.3.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.4 Problema de Dirichlet não Homogéneo para a Equação do Calor Unidimensional . 207
3.5 Problema de Neumann Homogéneo para a Equação do Calor Unidimensional . . 208
3.6 Unicidade de Solução do Problema de Dirichlet para a Equação do Calor . . . . 210
3.7 A Equação das Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.7.1 Problema da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.8 Equação de Laplace Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.8.1 Problema de Dirichlet Semi-Homogéneo para a Equação de Laplace . . . 216
3.8.2 Problema de Dirichlet não Homogéneo para a Equação de Laplace . . . . 219
5
6
Capı́tulo 1
Análise Complexa
1.1
Notas Históricas Sobre Números Complexos
1
A introdução do conceito de número complexo está relacionada com as tentativas de resolução
de equações algébricas, que tiveram lugar durante a Idade Média.
No seu compêndio de Álgebra, Al-Khawarizmi (780-850) apresenta a solução de vários tipos
de equações quadráticas, que estão de acordo com a “fórmula resolvente” que hoje consta dos
programas do ensino secundário, quando restrita a soluções positivas. Sob o califa al-Ma’mun,
cujo reinado ocorreu entre os anos 813 e 833, em Bagdad, al-Khawarizmi tornou-se membro da
“Casa da Sabedoria” (Dar al-Hikma), uma espécie de academia cujos estudos incidiam sobre a
álgebra, geometria e astronomia. Aı́ foram efectuadas traduções em árabe de obras do perı́odo
greco-romano, o que salvou algumas delas da destruição.
O compêndio de Al-Khawarizmi é um manual eminentemente prático, em estilo retórico (sem
fórmulas) seguindo a tradição babilónia e hindu da resolução de problemas práticos de agrimensura
e contabilidade, mas contendo também demonstrações geométricas das soluções dos problemas,
inspiradas nos métodos gregos. Al-Khwarizmi enunciou seis casos distintos de equações do segundo
e primeiro grau; em notação moderna, temos: (1) ax2 = bx, (2) ax2 = c, (3) bx = c, (4)
ax2 + bx = c, (5) ax2 + c = bx e (6) bx + c = ax2 . Isto era necessário pois os matemáticos desse
tempo não reconheciam coeficientes nulos nem números negativos. Al-Khwarizmi apresentou
sistematicamente as soluções de cada um desses problemas algébricos, e que eram conhecidas
desde o tempo dos babilónios, mas acrescentou-lhes demonstrações geométricas, inspiradas nos
Elementos de Euclides.
Visto que não considerava números negativos, o seu estudo não levou
√
à introdução de −1, como hoje é feito quando se define esse número como sendo uma das
soluções de x2 = −1.
Os métodos da álgebra conhecidos pelos árabes foram difundidos em Itália pela tradução em
latim da obra de al-Khawarizmi, feita por Gerard de Cremona (1114-1187). Mas foi o trabalho
matemático de Leonardo Pisano (1170-1250), mais conhecido pelo seu pseudónimo, Fibonacci,
que mais efectivamente difundiu a notação numérica e a álgebra em uso pelos árabes.
Ao tempo, Pisa era uma importante cidade comercial, que servia de nó a muitas rotas comerciais do Mediterrâneo. Guglielmo Bonacci, o pai de Fibonnaci, era um despachante (ou, segundo
outros, um oficial aduaneiro) numa cidade hoje situada na Argélia, de nome Béjaı̈a, anteriormente
conhecida por Bugia ou Bougie, e de onde velas de cera eram exportadas para a Europa. Em
França, as velas ainda hoje são denominadas bougies. Fibonacci foi assim educado no norte de
1
Esta secção é de leitura facultativa.
7
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
África, pelos mouros, e mais tarde viajou extensivamente por todo o Mediterrâneo, tendo tido
a oportunidade de conhecer muitos mercadores e aprender o sistema de numeração árabe, bem
como a álgebra. Tornara-se então óbvio o facto de a aritmética e a álgebra elementar serem
bastante relevantes para a contabilidade e as finanças.
Nos três séculos seguintes, o trabalho de Fibonnaci dominou quer os aspectos teóricos da
álgebra quer as técnicas de resolução de problemas práticos. Com a ascenção da classe mercantil
em Itália, particularmente acentuada nos séculos XIV e XV, o ambiente matemático foi bastante
influenciado pela expansão do negócio dos maestri d’abbaco. Esta maior ênfase comercial gerou
grande procura por livros de matemática simplificados, escritos em linguagem comum e muito
diferentes dos longos tratados em latim com demonstrações geométricas, que os precederam.
No final do século XV, os maestri d’abbaco haviam acrescentado muito pouco aos resultados
conhecidos no século XII. Mas a atmosfera cultural mais exigente do Renascimento fez os textos
regressar paulatinamente à tradição teórica, representada pelos Elementos de Euclides e pelo
Libber Abbaci de Fibbonaci.
Merece especial destaque o livro Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità, de Luca Pacioli (1445-1517) que, por ser o primeiro texto impresso (e não manuscrito, como
anteriormente) de matemática, teve larga difusão e tornou-se popular por condensar num volume
toda a matemática conhecida até então. Se é certo que o conteúdo matemático da Summa acrescentava pouco ao que já se conhecia, a sua apresentação diferia, de forma substancial, da das
suas fontes. Como vimos, as obras dos séculos XIII e XIV tinham um estilo puramente retórico,
com todo o conteúdo (excepto os números) descrito em linguagem verbal. Porém, a Summa
de Paccioli apresenta pela primeira vez os cálculos algébricos em forma abreviada, utilizando os
percursores das modernas fórmulas matemáticas.
Com isto, a álgebra inicia nova evolução. As equações do terceiro grau tornam-se alvo de
grande interesse, particularmente porque o maior rigor permitiu descobrir vários erros de que
padeciam os trabalhos dos maestri d’abbaco, e que foram transmitidos acriticamente de geração
em geração.
Como sabemos, da equação genérica do 3o grau,
x3 + ax2 + bx + c = 0,
pode-se ser facilmente obter a equação cúbica reduzida,
y 3 + py + q = 0,
através da mudança de variável y = x + a3 . Scipione del Ferro conseguiu, provavelmente em 1504,
resolver um dos casos irredutı́veis de coeficientes positivos,
(a) x3 + px = q.
Admitindo apenas p, q > 0, os outros dois casos possı́veis da equação reduzida (aparentemente
não resolvidos por del Ferro) são:
(b) x3 = px + q,
(c) x3 + q = px.
A data exacta da descoberta não se conhece, por causas que em seguida se explicam.
Naquela época, em Itália, o mundo dos matemáticos era extremamente competitivo. Os
estudantes pagavam directamente ao professor cada disciplina que frequentavam. Assim, caso
8
1.1. NOTAS HISTÓRICAS SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
ficassem descontentes com o nı́vel ou a qualidade do ensino, podiam suspender sumariamente
o pagamento. Um professor que caı́sse em desgraça podia ser forçado a deixar a escola, ou
mesmo a cidade. Para lutar pela sua reputação, assegurando assim a subsistência, os professores
participavam em competições públicas em que o vencedor ganhava prestı́gio e, presumivelmente,
um maior número de alunos. O formato destas competições era a de um duelo: o desafiante
iniciava a contenda propondo uma lista de problemas a um professor mais famoso, enquanto o
desafiado ripostava com uma lista de problemas de dificuldade comparável. Ela declarado vencedor
aquele que conseguisse um maior número de respostas correctas. Em tal atmosfera, o guardião de
uma nova solução ou técnica de demonstração dispunha de uma vantagem considerável sobre os
seus potenciais concorrentes. O segredo era, assim, muito importante, sendo que um matemático
nunca sentia grande interesse pela publicação das suas mais importantes descobertas.
Deste modo, a descoberta de del Ferro não foi comunicada à comunidade matemática, pelo
que as ideias novas que introduzia (e suscitava) não tiveram impacto imediato. A morte de
del Ferro, em 1526, permitiu a um seu discı́pulo, Fiore, libertar-se da promessa de sigilo que
havia contraı́do. Fiori não perdeu muito tempo e, em 1530, desafiou Tonini da Coi para uma
competição. Incapaz de resolver os problemas, Tonini da Coi desafiou por sua vez um seu rival,
Niccolò Tartaglia. Nessa ocasião, Tartaglia respondeu que esses problemas eram impossı́veis. Mas
quando, em 1535, Fiori o desafiou directamente, Tartaglia descobriu sozinho a solução e ganhou
mesmo a competição, ao conseguir resolver também a equação reduzida no caso (b).
Uma dificuldade com estas equações, que é visı́vel no caso (b) mas que não aparece no
caso (a), é a possibilidade de aparecer a raiz quadrada de um número negativo como resultado
intermédio do cálculo de uma solução real positiva. Utilizando notação moderna, a dedução é
simples. Substituindo x = u + v em x3 = px + q obtém-se:
(u + v)3 = u3 + v 3 + 3uv(u + v) = p(u + v) + q
Fazendo 3uv = p na equação acima
2
obtém-se o sistema:
u3 + v 3 = q
e u3 v 3 =
p 3
3
.
Deste sistema resulta uma equação quadrática em u3 , (u3 )2 + p3
obtém:
r
r
q
q
3
+ w + 3 − w,
x=u+v =
2
2
onde
3
= qu3 , de cuja solução se
r q 2 p 3
−
.
w=
2
3
O denominado casus irreducibilis ocorre quando a valor sob o sı́mbolo da raiz quadrada, em w, é
negativo.
Cardano soube do feito de Tartaglia e pediu-lhe para partilhar a sua descoberta, por forma a
que a mesma pudesse ser publicada, com o devido reconhecimento de autoria, no livro que estava
a escrever. Tartaglia, incialmente relutante em aceitar o pedido de Cardano, ante a insistência
acabou por lhe comunicar a descoberta, no ano de 1539. Em 1545, Cardano publicou finalmente o
seu tratado, intitulado Ars Magna. Com a meticulosidade que evidencia em questões matemáticas,
2
A equação original só tem uma incógnita, portanto podemos adicionar esta relação entre as variáveis u e v,
que apenas fixa uma delas como função da outra.
9
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Cardano indicou del Ferro como primeiro autor e Tartaglia como tendo descoberto o resultado
independentemente, o que deu origem a uma das mais intensas controvérsias sobre a prioridade
de uma descoberta.
Em Ars Magna (1545), Cardano apresenta as soluções de del Ferro e Tartaglia dos vários
casos de equações do 3o grau com coeficientes positivos. Isto torna-se possı́vel, em parte, à
custa do estabelecimento de identidades algébricas. Porém, permaneciam os métodos de prova de
Euclides. Ora, as considerações geométricas necessárias para obter as demonstrações criavam um
problema: que significado se devia dar a um número negativo? O que significava um segmento
de comprimento negativo, um quadrado de área negativa, ou um cubo de volume negativo?
O que significava a diferença a − b, quando a < b? Ora Euclides, os árabes, Fibonacci, os
maestri d’abaco, Pacioli, e Cardano contornaram sempre o problema da mesma forma: para
não admitirem coeficientes negativos consideraram vários casos para uma mesma equação (da
forma que vimos); pois só assim lhes era possı́vel interpretar as equações do segundo grau como
problemas geométricos envolvendo comprimentos de segmentos e áreas de polı́gonos.
Além disso, os números negativos introduziam uma enorme dificuldade quando apareciam
sob o sı́mbolo de raiz quadrada. Cardano estava ciente do problema e evitou discutir o casus
irreducibilis em Ars Magna. Para uma equação do 2o grau, ele explica assim a dificuldade 3 : “se
ax = x2 + b então:
r a 2
a
− b.
(1.1)
x= ±
2
2
2
[...] Se não se pode subtrair b de a2 [no caso em que (a/2)2 − b < 0] então o problema é
um falso problema, e a solução que foi proposta não se verifica”. Esta impossibilidade apenas
significava que a interpretação geométrica da época (requerida pelos √
métodos de prova disponı́veis)
invalidava, à partida, os casos que poderiam levar à introdução de −1.
No entanto, no capı́tulo 37 de Ars Magna, Cardano enuncia o problema
x + y = 10
(1.2)
xy = 40
afirmando depois:
“É evidente que este caso é impossı́vel. No entanto, procederemos como se segue: dividimos
10 em duas partes iguais, cada uma igual a 5. Estas elevamos ao quadrado, o que dá
25. Subtraia 40 do 25 anteriormente obtido, como eu mostrei no capı́tulo sobre operações
[aritméticas] no livro VI, de onde resulta -15, a raiz√quadrada do√qual adicionada ou subtraida
de 5 dá as soluções do problema. Estas são 5 + −15 e 5 − −15.”
Como o problema (1.2) é equivalente à equação quadrática x2 + 40 = 10x, ele resolveu-o com a
fórmula (1.1), o que pode hoje ser considerado como óbvio mas decerto não o era na época. De
facto, o uso de propriedades algébricas como meio de demonstração estava ainda na sua infância.
2 − 40 = −15, ele comentou que “como tal resultado é negativo, o leitor
Quando calculou (10/2)
√
terá que imaginar −15” e concluiu admitindo que “isto é verdadeiramente sofisticado, pois com
isto pode-se fazer as operações que não se pode fazer no caso de um número negativo e de
outros [números]”. Assim, a rejeição das limitações da interpretação geométrica vigente produzia
uma nova entidade algébrica cujas propriedades eram bem distintas de tudo o que até então era
conhecido, uma entidade cuja interpretação geométrica escapava ao conhecimento da época. Por
3
traduzimos as fórmulas em notação moderna
10
1.1. NOTAS HISTÓRICAS SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
isso, Cardano viu-se na obrigação de escrever “e assim progride a subtileza da aritmética sendo o
desı́gnio da mesma, como se diz, tão refinado quanto inútil”.
Em 1463, o humanista Johannes Müller, mais frequentemente designado pelo pseudónimo Regimontanus, comunicou que havia descoberto “os óptimos livros de Diofanto”, o maior algebrista
grego e que viveu em Alexandria provavelmente na segunda metade do século III da nossa era. O
livro mais importante que escreveu é a Aritmética, onde introduz uma notação simbólica similar à
que fora sido desenvolvida até ao século XVI, com sı́mbolos diferentes para uma incógnita, para o
quadrado de uma incógnita, para o cubo, etc, e onde resolvia equações e inequações utilizando o
que ele designou por fórmulas inderminadas, e que são de facto propriedades algébricas genéricas,
hoje descritas através de fórmulas com quantificadores. Até ao Renascimento, a Aritmética de
Diofanto fora descoberta e traduzida várias vezes, a primeira das quais realizada por al-Karaji,
em Bagdad, no século X. Porém, nunca até então a obra tinha conseguido impôr-se aos métodos
geométricos de Euclides, largamente difundidos por al-Khwarizmi e, no Ocidente, por Fibonacci.
Considere-se, por exemplo, o seguinte problema do tomo II desse tratado: “Encontrar três
números tais que o quadrado de qualquer um deles menos o seguinte dá um quadrado”. Usando
notação moderna para descrever a solução de Diofanto, ele tomou x + 1, 2x + 1, e 4x + 1 como
os três números pretendidos e verificou que satisfaziam as seguintes condições:
(x + 1)2 − (2x + 1) = x2 ,
(1.3)
ou seja, um quadrado, e
(2x + 1)2 − (4x + 1) = 4x2 ,
também um quadrado, e já agora
(4x + 1)2 − (4x + 1) = 16x2 ,
igualmente um quadrado. O facto de este problema ter uma infinidade de soluções permitiu a
Diofanto enunciar uma propriedade genérica que os números em questão satisfazem. Em notação
moderna, a propriedade escreve-se:
Para qualquer x, (x + 1)2 − (2x + 1) = x2
A sua técnica de demonstração usa os métodos algébricos, tı́picos da análise matemática moderna;
além disso, Diofanto não procurou posteriormente qualquer demonstração geométrica da validade
do resultado, como era norma.
Durante a segunda metade da década de 1560, Antonio Maria Pazzi descobriu uma cópia
manuscrita da Aritmética de Diofanto na Biblioteca do Vaticano e mostrou-a a Rafael Bombelli.
Convencidos dos seus méritos, os dois homens iniciaram a tradução da obra, tendo completado
o trabalho em cinco dos volumes que a constituem. Esta descoberta provocou uma mudança
significativa no ambiente matemático. Numa altura em que a vantagem dos métodos geométricos
na solução de questões algébricas tinha sido enfraquecida pelas descobertas das soluções das
equações do quarto grau e dos números negativos e complexos como soluções dessas equações,
a abordagem não geométrica de Diofanto encontrou finalmente um ambiente favorável à sua
difusão. Em 1572, quando Bombelli publica uma nova e mais completa edição o seu longo
tratado L’Algebra parte maggiore dell’Arithmetica divisa in tre libri, os termos de inspiração árabe
cosa (para incógnita) e census (para o seu quadrado) são substituı́dos pelas traduções tanto e
potenza da terminologia diofantina usada para representar número (arithmos, em grego) e potência
(dynamis, em grego). Além disso, Bombelli removeu quase todos os problemas práticos originários
11
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
dos maestri d’abbaco, substituindo-os pelos problemas abstractos de Diofanto. Na sua introdução
ao tomo III, ele anunciou que havia quebrado com o costume usual de enunciar problemas “...
sob o desfarce de acções humanas (compras, vendas, trocas directas, câmbios, juros, desfalques,
emissão de moeda, ligas, pesos, sociedades, lucro e prejuı́zo, jogos e outras inúmeras transacções
e operações baseadas na vida diária)”. Ele pretendia ensinar “a aritmética [álgebra] avançada,
à maneira dos antigos”. A variação introduzida pela álgebra de Bombelli, o seu tratamento de
problemas cuja solução era impossı́vel pelos métodos geométricos constituia, ao mesmo tempo, o
reconhecimento de que a solução dos problemas algébricos não requeria justificação geométrica.
Assim, em “l’Algebra” Bombelli segue
√ Cardano mas oferece uma discussão completa do casus
irreducibilis, introduzindo a notação −1 nas operações com números complexos. Por exemplo,
ele considera a equação
x3 = 15x + 4,
para a qual a fórmula de Cardano dá a solução:
q
q
√
√
3
3
x = 2 + −121 + 2 − −121
Definindo
q
3
e
q
3
2+
2−
√
√
√
−121 = a + b −1
√
−121 = a − b −1,
e elevando ao cubo ambos os membros das igualdades acima, ele conclui facilmente que a = 2 e
b = 1, pelo que a solução
√
√
x = 2 + −1 + 2 − −1 = 4,
apesar de ser real e positiva, só pôde ser obtida por intermédio de números complexos.
René Descartes (1596-1650), que foi essencialmente um filósofo, produziu também importante
obra cientı́fica. Instado pelos seus amigos a comunicar as suas ideias filosóficas, publicou em 1537
o “Discours de la méthod pour bien conduire sa raison et chercheur la vérité dans les sciences”.
Esta obra tem três apêndices cientı́ficos: “La Dioptrique, “Les Météores” e “La Géométrie”.
Em La Geometrie, Descartes introduz ideias que estão na base da moderna geometria analı́tica.
Porém — e infelizmente para a análise complexa — o filósofo considerava os números complexos
como uma impossibilidade geométrica. Por exemplo, no método que usou para resolver a equação
x2 = ax − b2 , com a e b2 positivos, Descartes introduz a palavra imaginário: “Para qualquer
equação podemos imaginar tantas raizes [quanto o seu grau determina], mas em muitos casos
não existe a quantidade que correponde à que imaginámos”.
John Wallis (1616-1703), na sua “Algebra”, fez notar que os números negativos — à existência
dos quais se havia também colocado objecções filosóficas durante vários séculos – têm uma
interpretação fı́sica perfeitamente razoável, cuja base era uma recta com uma marca designando
o ponto zero e os números positivos sendo aqueles que estão a uma correspondente distância
do zero para a direita, enquanto os negativos estão a uma distância correspondente (em valor
absoluto) para a esquerda. Assim surgiu o conceito moderno de recta real.
Abraham de Moivre (1667-1754) nasceu em França mas refugiou-se em Londres, aos dezoito
anos de idade, segundo se crê por motivos religiosos. Em 1698, mencionou que Newton descobrira,
em 1676, um caso particular da fórmula que, em notação moderna, se escreve:
n
cos θ + i sen θ = cos(nθ) + i sen(nθ).
12
1.1. NOTAS HISTÓRICAS SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
Abraham de Moivre conhecia este resultado e usou-o varias vezes, mas é devido a Euler o primeiro
enunciado explı́cito do mesmo.
Leonhard Euler (1707-1783) nasceu em Basileia, na Suiça, mas viveu a maior parte da sua
vida em S. Petersburgo e em Berlim. Privou com figuras importantes da história mundial como
Frederico II (o Grande) da Prússia e a czarina Catarina (a Grande) da Rússia.
Euler é considerado um dos melhores e mais produtivos matemáticos de todos os tempos.
A sua obra tocou tantas áreas distintas que é impossı́vel descrevê-la em poucas linhas. Alguns
dos seus maiores sucessos devem-se à facilidade com que ele formulava problemas da vida real
utilizando para tal a linguagem da análise matemática. Tal era a atmosfera que se vivia depois
do sucesso de Newton e de Leibniz na criação do cálculo diferencial, assunto que Euler depois
desenvolveu sem ter deixado de tornar os seus fundamentos consideravelmente mais simples de
compreender e de aplicar.
√
Euler introduziu a notação abreviada i = −1; além disso, muita da notação da análise
matemática moderna como, por exemplo, a representação
P de uma função genérica por f (x), a
notação actual das funções trigonométricas, o sı́mbolo
usado em somatórios e séries, a ele se
deve. Euler vizualizava correctamente os números complexos como pontos do plano, da mesma
forma que hoje o fazemos, embora não tenha explicitado uma construção dos números complexos
baseada nessa ideia. Também introduziu a representação polar, x + iy = r(cos θ + i sen θ);
descobriu que as soluções da equação z n = 1 são vértices de um polı́gono regular de n lados;
definiu a exponencial complexa a partir de
eiθ = cos θ + i sen θ
Um caso particular desta identidade,
eiπ = −1,
foi considerada por Richard P. Feynman a “fórmula mais notável da matemática”, por relacionar
de forma simples os três números não racionais, π, e e i, mais conhecidos. O seu estudo da
exponencial permitiu-lhe definir logaritmos de números reais negativos, e mostrar que só podiam
ser números complexos.
A primeira definição consistente de número complexo é devida ao norueguês Caspar Wessel
(1745-1818). Em 1799, Wessel publicou o artigo “On the Analitic Representation of Direction:
An Attempt” nas Memoirs da Royal Danish Society of Mathematics. Wessel’s paper, escrito
em dinamarquês, passou despercebido, e a sua importância só foi reconhecida um século depois,
em 1897. A abordagem de Wessel recorre a vectores no plano: ele usou a soma de vectores
e definiu o produto de forma equivalente ao que hoje fazemos quando somamos os argumentos
e multiplicamos os módulos. Independentemente de Wessel, Jean-Robert Argand (1768-1822),
um bibliotecário parisiense que se pensa não ter tido educação formal em matemática, mandou
imprimir numa gráfica comum, em 1806, uma brochura anónima com o tı́tulo “Ensaio sobre a
Intepretação Geométrica de Quantidades Imaginárias”. A. Legendre obteve uma cópia deste texto,
que o mencionou numa carta a um irmão de Jacques Français; este último publicou, em 1813, um
artigo nos Annales de Mathématiques com a definição básica dos números complexos. No último
parágrafo do seu artigo, Jacques reconheceu a importância da carta de Legendre, e pediu ao autor
anónimo que se identificasse. Argand tomou conhecimento disto, e a sua resposta encontra-se no
número seguinte da revista.
É porém sabido que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) conhecia a representação geométrica
dos números complexos desde 1796 mas não a publicou até 1831. Entretanto William Rowan
Hamilton (1805-1865), um importante fı́sico e matemático, cujas descobertas mais importantes
13
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
são a mecânica hamiltoniana e os quaterniões, publicou em 1831 um importante trabalho onde os
(mais tarde designados por) números complexos são definidos como pares ordenados de números
reais, (a, b). A sua soma foi definida por (a, b) + (c, b) = (a + b, c + d) e o seu produto por
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad). Isto constitui, com efeito, a definição algébrica moderna dos
números complexos. Finalmente, em 1831, Gauss decide-se a publicar um artigo onde introduz a
designação número complexo, Gauss sumariza assim as dificuldades enfrentadas:
“Se este assunto tem até agora sido tratado de um ponto de vista errado, e logo
envolto em mistério e obscurecido, é em grande medida√o uso de uma terminologia
desadequada que deve ser culpado. Tivessem +1, −1 e −1, em vez de sido chamados de unidade positiva, negativa e imaginária (ou, pior ainda, impossı́vel), recebido
os nomes, por exemplo, de unidade directa, inversa e lateral, então dificilmente teria
existido qualquer contexto para tal obscuridade.”
1.2
1.2.1
Números Complexos
Estrutura Algébrica
Define-se o conjunto dos números complexos como sendo
C = z = x + iy tal que x, y ∈ R
em que i2 = −1. O número real x é denominado parte real do complexo z, x = Re z, e y é
denominado parte imaginária do complexo z, y = Im z.
Podemos considerar os números reais como sendo os complexos cuja parte imaginária é 0.
Por outro lado, os complexos com parte real nula denominam-se imaginários puros. De forma
simplificada
Im z = 0 ⇔ z ∈ R , Re z = 0 ⇔ z ∈ iR
• Conjugado de um complexo:
Se z = x + iy, define-se o seu conjugado por
z = x − iy
(Re z = Re z e Im z = − Im z)
É óbvio que
z̄¯ = z
,
∀z ∈ C
• Igualdade de complexos:
Se z = x + iy, w = a + ib ∈ C
z=w
⇔
x=a
e y=b
Exemplo:
1. O 0 (complexo) é o número cujas partes real e imaginária são 0 (real)
z=0
⇔
14
Re z = Im z = 0
1.2. NÚMEROS COMPLEXOS
2. z = z̄ se e só se Im z = 0, ou seja
⇔
z = z̄
z∈R
• Soma/Produto de complexos:
Se z = x + iy, w = a + ib ∈ C
z + w = (x + a) + i(y + b)
zw = (xa − yb) + i(xb + ya)
,
O conjunto C munido destas operações diz-se um corpo, isto é
– A soma tem as seguintes propriedades:
∗ a soma de quaisquer números complexos é tambem um número complexo (fechado
para a soma)
Se z, w ∈ C ⇒ z + w ∈ C
∗ prorpiedade associativa
z + (w + u) = (z + w) + u = z + w + u
∗ propriedade comutativa
z+w =w+z
∗ existência de elemento neutro, 0
z+0=z
∗ existência de inverso aditivo (simétrico), representado por −z
z + (−z) = 0
– O produto tem as seguintes propriedades:
∗ o produto de quaisquer números complexos é tambem um número complexo (fechado para o produto)
Se z, w ∈ C ⇒ zw ∈ C
∗ propriedade associativa
z(wu) = (zw)u = zwu
∗ propriedade comutativa
zw = wz
∗ existência de elemento neutro, 1
1z = z
∗ existência de elemento absorvente 0
0z = 0
∗ todos os complexos diferentes de 0 têm inverso multiplicativo (inverso), representado por 1z
1
z( ) = 1
z
15
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
– verifica-se a propriedade distributiva do produto relativamente à soma
z(w + u) = zw + zu
• Simétrico/Diferença de complexos: Se w = a + ib ∈ C
−w = −a − ib
ou seja
Re(−w) = − Re w , Im(−w) = − Im w
Como consequência da existência de simétrico, podemos definir a subtracção de dois complexos como sendo a soma pelo simétrico, se z = x + iy, w = a + ib ∈ C
z − w = (x − a) + i(y − b)
• Inverso/Quociente de complexos:
Se w = a + ib ∈ C \ {0}
w̄
a − ib
1
==
= 2
w
ww̄
a + b2
Como consequência da existência de inverso para todo o complexo não nulo, podemos
definir o quociente de dois complexos como sendo o produto pelo inverso. Se z = x + iy,
w = a + ib ∈ C e w 6= 0
(x + iy)(a − ib)
z
=
w
a 2 + b2
w−1 =
É fácil de mostrar que para z = x + iy ∈ C, se tem
Re z =
z+z
2
;
Im z =
z−z
2i
e se além disso w = a + ib ∈ C
z+w = z+w
;
zw = z w
w−1 = (w)−1 (w 6= 0)
;
Pelas propriedades de corpo, os números complexos verificam as mesmas propriedades algébricas
dos números reais. Em particular a importante lei do anulamento do produto:
zw = 0
1.2.2
⇔
z=0
∨
w=0
Inexistência de relação de ordem total em C
Uma relação de ordem total (estrita) num conjunto M é uma relação, <, que verifica:
(1) Dados a, b ∈ M então verifica-se uma e só uma das seguintes proposições: a < b ou b < a
ou a = b. (tricotomia)
(2) Dados a, b, c ∈ M tais que a < b e b < c então a < c. (transitividade)
Se M for um corpo, a relação diz-se compativel com a soma e o produto se
(3) Dados a, b, c ∈ M , se a < b então a + c < b + c.
(4) Dados a, b, c ∈ M , se a < b e c > 0 então que ac < bc.
16
1.2. NÚMEROS COMPLEXOS
Um corpo munido de uma relação de ordem compatı́vel com a sua soma e produto diz-se um
corpo ordenado. Os números racionais e os números reais, com a soma, o produto e a relação de
ordem usuais, constituem dois bem conhecidos exemplos de corpos ordenados.
Dados quaisquer a, b ∈ M , diz-se que a > b se b < a. A partir das propriedades de corpo e
dos axiomas de ordem prova-se que se a < 0 então −a > 0 (basta usar o axioma 3. com b = 0 e
c = −a), de onde resulta que:
(5) Dados a, b, c ∈ M , se a < b e c < 0 então ac > bc.
Isto implica, em particular, que 1 > 0 (e que −1 < 0). 4
A partir destes resultados prova-se então que não existe qualquer relação de ordem em C
que seja compatı́vel com a soma e o produto (isto é, que satisfaça as propriedades 1-4). Pois
supondo que existia, então, pela propriedade tricotómica, ou i > 0 ou i < 0. Mas se i > 0
então i2 = i ∗ i > i ∗ 0 = 0 (propriedade (4)) o que contradiz i2 = −1 < 0. Se i < 0 então
i2 = i ∗ i > i ∗ 0 = 0 (propriedade (5)) o que também contradiz i2 = −1 < 0.
1.2.3
Potências de Expoente Inteiro e Polinómios Complexos
Se n ∈ Z e z ∈ C
zn =

· · · · z} se n > 0

|z · z {z



n
vezes












1
se n = 0
1
z −n
se n < 0
Como consequência das propriedades comutativa e associativa do produto, verificam-se as propriedades
z n wn = (zw)n
,
z n z p = z n+p
Podemos então definir um polinómio como sendo
P (z) = an z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0
em que ao , a1 , ... an são constantes complexas. Mais tarde demonstraremos o seguinte resultado:
Teorema Fundamental da Álgebra
Se P (z) é um polinómio de grau n ∈ N então P admite exactamente n raı́zes (contando com
multiplicidades).
Isto significa, que se P é um polinómio de grau n ∈ N, existem n complexos z1 , ..., zn tal que
P (zk ) = 0 para todo k = 1, ..., n e como tal podemos escrever o polinómio na forma factorizada
P (z) = an (z − z1 )...(z − zn )
4
Note que o que provámos aqui não é auto-evidente: vimos que em qualquer corpo ordenado (e não apenas
em R) se verifica 1 > 0, etc.
17
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
1.2.4
Estrutura Geométrica, Representação Polar e Fórmula de Euler
Cada elemento x + iy ∈ C, pode ser identificado com o ponto (x, y) do plano R2 .
Na figura (1.1) podemos observar uma representação geométrica de C. Nela, as rectas verticais
representam os complexos com a mesma parte real, Re z = α, e as rectas horizontais representam
os complexos com a mesma parte imaginária, Im z = β. Assim, cada complexo z = α + iβ, é
unicamente representado pela intersecção de duas rectas Re z = α e Im z = β.
Im z
Re z = α
Im z = β
β
z = α + iβ
α
Re z
Figura 1.1: O Plano Complexo.
Em particular, Im z = 0 é o eixo real, Re z = 0 é o eixo imaginário e a sua intersecção é a
origem.
Tal como em R2 , podemos também usar as coordenadas polares para representar um número
complexo. Assim, se z = x + iy ∈ C, denomina-se por módulo de z, o número real
p
|z| = x2 + y 2 .
Por outro lado se z 6= 0, denomina-se por argumento de z qualquer número real θ que verifique
as igualdades
x = |z| cos θ
e
y = |z| sen θ.
Isto implica que
y
,
x
para x 6= 0. Desta forma, o complexo z pode ser escrito na forma polar por:
z = |z| cos(arg z) + i sen(arg z) .
tg θ =
Por agora apenas para simplificar a escrita, introduzimos a notação:
cos(arg z) + i sen(arg z) = eiarg z
Com esta abreviatura, a representação de um complexo na forma polar reduz-se a |z|eiarg z . Na
figura (1.2) encontra-se a representação geométrica de um complexo em coordenadas polares.
18
1.2. NÚMEROS COMPLEXOS
Im z
arg z = θ
z = reiθ
r
θ
Re z
|z| = r
Figura 1.2: Representação polar de um número complexo.
Nestas coordenadas, as semi-rectas com origem em 0 representam os complexos com o mesmo
argumento, arg z = θ, e as circunferências centradas na origem representam os complexos com o
mesmo módulo, |z| = r. Assim, cada complexo z = reiθ , é representado pela intersecção de uma
semirecta com uma circunferência.
Euler definiu a exponencial de um número imaginário por
eiθ = cos θ + i sen θ
para qualquer θ ∈ R.
Trata-se da famosa fórmula de Euler. Esta definição justifica-se pelo facto de cos θ + i sen θ ter as
propriedades que se esperam de uma função exponencial. Usando apenas trigonometria, pode-se
provar facilmente que para quaisquer θ, ϕ ∈ R e k ∈ Z:
ei(θ+ϕ) = eiθ eiϕ
eiθ e−iθ = 1
1
eiθ
k
= eiθ .
e−iθ =
eikθ
Recorrendo então à fórmula de Euler, a forma polar de um número complexo escreve-se, simplesmente:
z = |z| ei arg z .
(1.4)
Tomando z = −1 em (1.4) obtém-se
eiπ = −1,
fórmula também devida a Euler e que relaciona os três números não racionais mais conhecidos da
Matemática.
O valor do argumento de um complexo não é único:
se θ verifica a igualdade (1.4) então θ + 2kπ, com k ∈ Z, também verifica (1.4).
19
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
No entanto é único em cada intervalo de comprimento 2π, isto é, para cada z 6= 0 e α ∈ R existe
um único θ ∈ [α, α + 2π[ ou a ]α, α + 2π], tal que θ é o argumento de z.
• θ é o Argumento Principal se verifica (1.4) e pertence ao intervalo ] − π, π].
• θ é o Argumento Mı́nimo Positivo se verifica (1.4) e pertence ao intervalo [0, 2π[.
• Para certo α ∈ R, θ pertence ao Ramo α do Argumento se verifica (1.4) e pertence ao
intervalo [α, α + 2π[.
Dados z, w ∈ C, verifica-se que:
|z + w| ≤ |z| + |w| (desigualdade triangular)
Geometricamente a desigualdade triangular é consequência do facto de que num triângulo o
comprimento de qualquer dos lados é sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros
dois lados. Analiticamente, podemos demonstrá-la assim:
|z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w)
= zz + zw + wz + ww = |z|2 + zw + zw + |w|2
= |z|2 + 2Re(zw) + |w|2 ≤ |z|2 + 2|zw| + |w|2
= |z|2 + 2|z| |w| + |w|2 = (|z| + |w|)2
Como consequência desta desigualdade, tem-se que:
∀ z, w ∈ C
|z − w| ≥ |z| − |w| .
A partir da representação polar e da fórmula de Euler é fácil de obter algumas propriedades
adicionais que melhor especificam a estrutura geométrica do conjunto dos números complexos, e
que não se podem obter no espaço vectorial R2 . Assim, se z = reiθ e w = ρeiϕ então:
z = |z|e−iθ
,
zw = r ρei(θ+ϕ)
,
z
r
= ei(θ−ϕ)
w
ρ
|zw| = |z||w|
,
|z|
z
=
w
|w|
pelo que
zz̄ = |z|2
arg (z) = −arg (z)
,
,
arg (zw) = arg (z) + arg (w)
20
,
z
arg ( ) = arg (z) − arg (w)
w
1.2. NÚMEROS COMPLEXOS
1.2.5
Raı́zes Índice n de um Número Complexo
A partir da expressão do produto de números complexos na forma polar, obtém-se a fórmula de
De Moivre:
z n = |z|n einθ , ∀n ∈ N.
Daqui se deduz que qualquer complexo z = |z|eiθ não nulo admite n raı́zes ı́ndice n distintas
dadas por:
p
√
θ+2kπ
n
, k = 0, 1, ..., n − 1.
z = n |z|ei n
Para o caso n = 2 (raı́zes quadradas), a expressão anterior é equivalente a:
√
z=±
p
θ
|z| ei n
.
Para n ≥ 3, as raı́zes ı́ndice n de um número complexo formam um polı́gono regular de n lados.
É de notar que algumas propriedades das raı́zes reais 5 não são satisfeitas pelas raı́zes complexas, mesmo se interpretadas no sentido da igualdade de conjuntos.
Exemplo:
1. Determinar todos os valores de
√
4
−1 =
√
4
√
4
−1 e
√
i. Por um lado
eiπ = ei
π+2kπ
4
,
k = 0, 1, 2, 3 ,
pelo que as raı́zes quartas de −1 estão representadas no conjunto
n iπ
o
3iπ
5iπ
7iπ
R1 = e 4 , e 4 , e 4 , e 4
.
Por outro lado
p
√
i = eiπ/2 = ei
π +2kπ
2
2
π
= ei( 4 +kπ)
,
k = 0, 1 ,
e assim as raı́zes quadradas de i estão representadas no conjunto
o
n iπ
5iπ
R2 = e 4 , e 4
.
√
√
É óbvio que R2 ⊂ R1 pelo que 4 −1 6= i. No entanto, a igualdade verifica-se para 2 das
5iπ
iπ
iπ
raı́zes: e 4 e a sua simétrica, e 4 = −e 4 .
Um exemplo de uma propriedade das raı́zes reais não satisfeita pelas complexas é: se x ∈ R+ , n, m e p ∈ N
então:
√ p
√
√
√
nm
xmp = n xp e n xp = n x
5
.
21
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
2. Determinar todos os valores de
p
4
(1 + i)2 e
√
4
√
4
1+i
2
. Por um lado
π +2kπ
√
2
4
, k = 0, 1, 2, 3 ,
2i = 2 ei 4
p
pelo que os valore possı́veis de 4 (1 + i)2 são os elementos do conjunto
p
4
(1 + i)2 =
√
√
√
√
iπ
5iπ
9iπ
13iπ
4
4
4
4
R1 = { 2e 8 , 2e 8 , 2e 8 , 2e 8 }
Por outro lado
√
2 √
2 q
4 √
8
4
1+i =
2 eiπ/4 =
2 ei
e assim os valore possı́veis de
√
4
1+i
2
π +2kπ
4
4
2
=
√
4
2 ei
.
π +2kπ
4
2
, k = 0, 1, 2, 3
estão representados no conjunto
√
√
√
√
√
√
iπ
9iπ
17iπ
25iπ
iπ
17iπ
4
4
4
4
4
4
R2 = { 2e 8 , 2e 8 , 2e 8 , 2e 8 } = { 2e 8 , 2e 8 }
√
2
p
Mais uma vez se conclui que R2 ⊂ R1 , pelo que 4 (1 + i)2 6= 4 1 + i .
q√
p√
2
3
3. Determinar todos os valores de 3 ( 3 − i)2 e
3 − i . Por um lado
r
q√
2 p
−π
√
3
3 +2kπ
3
3
3
2e−iπ/6 = 4e−iπ/3 = 4 ei 3
( 3 − i)2 =
pelo que os valores possı́veis de
,
k = 0, 1, 2 ,
q√
3
( 3 − i)2 são os elementos do conjunto
√
√
√
πi
5πi
11πi
3
3
3
R1 = { 4e− 9 , 4e 9 , 4e 9 }
Por outro lado
2 p
q
2 √ −i π6 +2kπ 2 √ −i π3 +4kπ
3 √
3
3
3
3−i =
2e−iπ/6 =
2e 3
= 4e 3
, k = 0, 1, 2
e assim os valore possı́veis de
p√
3
2
3 − i estão representados no conjunto
√
√
√
πi
11πi
23πi
3
3
3
R2 = { 4e− 9 , 4e 9 , 4e 9 }
q√
Verifica-se neste caso que R1 = R2 . Pelo que neste caso se verifica que 3 ( 3 − i)2 =
2
p√
3
3−i .
De facto podemos enunciar a seguinte propriedade:
Se z ∈ C, n, p são números naturais primos entre si, sentão
√ p
√
n p
z = nz
onde a igualdade deve ser interpretada como igualdade entre conjuntos.
22
1.3. SUCESSÕES E SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS
1.3
1.3.1
Sucessões e Séries de Números Complexos
Sucessões de Números Complexos
Uma sucessão de números complexos, (zn )n∈N é uma aplicação
N ∋ n 7→ zn = xn + iyn ∈ C,
ou seja, uma aplicação (ou função) que a cada número natural, n, faz corresponder um e um
só número complexo zn = xn + iyn . É costume representar uma sucessão por (zn ) ou ainda,
mais abreviadamente, pelo seu termo geral, zn . As sucessões xn = Re zn (a parte real de zn ) e
yn = Im zn (a parte imaginária de zn ) são sucessões reais.
A sucessão zn diz-se limitada se existe um número real positivo M tal que |zn | ≤ M para
todo n ∈ N.
• Se zn = xn + iyn então
zn é limitada em C sse xn e yn são limitadas em R.
Exemplos:
1
é limitada, visto que |zn | = n1 ≤ 1, para todo o n ∈ N.
in
q
√
n + 2i
2. A sucessão zn =
é limitada, pois |zn | = 1 + n42 ≤ 5 para qualquer n ∈ N.
n
1. A sucessão zn =
3. A sucessão zn = ein é limitada, pois |zn | = 1, para todo o n ∈ N.
Limite de uma sucessão. Sucessão convergente:
A sucessão zn diz-se convergente para L ∈ C, usando-se a notação
L = lim zn = lim zn
n→∞
ou, equivalentemente,
zn → L
se e só se para qualquer ǫ > 0, existe N ∈ N tal que
se n ≥ N então |zn − L| < ǫ.
Esta definição significa que dado qualquer erro ǫ > 0, existe uma ordem N ∈ N a partir da qual
todos os termos da sucessão (os termos zN +1 , zN +2 , . . .) são aproximações do limite, L, com erro
inferior a ǫ.
Exemplos:
1. A sucessão zn =
in
é convergente e o seu limite é 0, visto que para qualquer ǫ > 0
n3
in
1
= 3 <ǫ
3
n
n
1
para n > √
3
ǫ
√
A definição de convergência é verificada para qualquer ǫ > 0 tomando N = N (ǫ) > 1/ 3 ǫ.
23
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
2. A sucessão zn =
n + 2i
é convergente e o seu limite é 1, visto que para qualquer ǫ > 0
n
2i
2
n + 2i
−1 =
= <ǫ
n
n
n
para n >
2
ǫ
A definição de convergência é verificada para qualquer ǫ > 0 tomando N = N (ǫ) > 2/ǫ.
As propriedades seguintes são consequências quase imediatas das definições anteriores.
Teorema:
Sendo (zn ) uma sucessão complexa convergente, então
1. A sucessão (zn ) é limitada.
2. O seu limite é único.
3. Se (wn ) é uma sucessão limitada e lim zn = 0 então lim(zn wn ) = 0.
n
n
Diz-se que zn é uma sucessão de Cauchy se e só se para qualquer ǫ > 0, existe N ∈ N tal que
se n, m ≥ N então |zn − zm | < ǫ.
Esta definição é equivalente a:
lim
n,m→+∞
.
zn − zm = 0
Prova-se que uma sucessão complexa é convergente se e só se é uma sucessão de Cauchy.
Listamos em seguida algumas propriedades dos limites de sucessões complexas convergentes,
que nos permitem utilizar a ´’algebra de limites conhecida das sucessões de termos reias convergentes.
Propriedades:
Se (zn ) e (wn ) são sucessões complexas convergentes, então
1. Se zn = xn + iyn e L = A + iB então
L = lim zn ⇔ A = lim xn e B = lim yn
n→∞
n→∞
n→∞
2. (z n ) é convergente e lim z̄n = lim zn ;
3. A sucessão real (|zn |) é convergente e lim |zn | = |lim zn |.
4. (zn + wn ) é convergente e lim(zn + wn ) = lim zn + lim wn ;
5. (zn − wn ) é convergente e lim(zn − wn ) = lim zn − lim wn ;
6. (zn wn ) é convergente e lim(zn wn ) = lim zn lim wn ;
7. se adicionalmente lim wn 6= 0, (zn /wn ) é convergente e lim(zn /wn ) = lim zn / lim wn .
24
1.3. SUCESSÕES E SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS
Limite infinito
Se (zn ) é uma sucessão complexa, definimos
lim zn = ∞
n
sse ∀M > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N n > N ⇒ |zn | > M
Não entraremos em detalhe acerca do significado de limite infinito em C, no entanto é fácil de
demonstrar que lim zn = ∞ é equivalente a cada uma das afirmações:
n
• lim |zn | = ∞
n
• lim
n
1
=0
zn
Observa-se que se pelo menos uma das sucessões (Re zn ) ou (Im zn ) diverge para infinito, então
a sucessão (zn ) terá também limite infinito. Porém, o recı́proco pode não se verificar.
Tal como no caso real, a ágebra de limites não é aplicável quando pelo menos uma das
sucessões converge para infinito.
Exemplo:
Ex. 1 As sucessões (neiπn ) e (n + ni ) convergem para ∞, tendo em conta que:
lim |neiπn | = lim n = ∞ e
n
n
lim Re (n +
n
i
) = lim n = ∞
n
n
Ex. 2 Progressão Geométrica de razão z
Para z ∈ C fixo, define-se a progressão geométrica de razão z como sendo a sucessão cujo
termo geral é z n ; ou seja, o seu conjunto de termos é:
{z, z 2 , z 3 , . . . , z n , . . .}
Escrevendo os termos da progressão na forma
concluir que:

 0
lim z n =
∞
n→+∞

1
trigonométrica, z n = |z|n ein arg z , pode-se
se |z| < 1
se |z| > 1
se z = 1
Se |z| = 1 e z 6= 1, então z n não tem limite (finito ou infinito).
1.3.2
Séries Numéricas (Reais ou Complexas)
Dada uma sucessão de números complexos, zn , define-se formalmente série de números complexos
ou série numérica como a “soma”:
∞
X
zn = z1 + z2 + . . . + zn + . . .
(1.5)
n=1
Os números z1 , z2 , ..., denominam-se termos da série (1.5); a sucessão zn ∈ C diz-se o
termo geral (ou termo de ordem n) da série (1.5). Note-se que (1.5) designa uma “soma de uma
infinidade de termos”. Através da definição de limite de sucessões, introduzida na secção anterior,
é possı́vel dar um significado concreto a este tipo de “somas”.
25
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Define-se, associada à série
∞
X
n=1
zn , a sucessão das somas parciais (SN )N ∈N , por
S1 = z1
S2 = z1 + z2
S3 = z1 + z2 + z3
..
.
SN
= z1 + z2 + ... + zN =
N
X
zn
n=1
..
.
Note-se que, no termo geral escrito na forma SN =
N
X
zn , n é variável muda.
n=1
Definição: (Natureza da série)
• Se a sucessão das somas parciais SN é convergente em C, isto é, se existe S ∈ C tal que
lim SN = S
N →∞
a série
∞
X
zn diz-se convergente e
n=1
S=
∞
X
zn
n=1
S é denominado por a soma da série.
• Se a sucessão das somas parciais SN não converge em C (SN não tem limite ou tem limite
∞
X
zn diz-se divergente.
infinito) a série
n=1
Proposição
A natureza de uma série não depende do valor dos seus primeiros termos, ou seja:
∀p, q ∈ N0 , as séries
1.3.3
∞
X
zn e
n=p
∞
X
zn têm a mesma natureza.
n=q
Série Geométrica
Para cada z ∈ C, a série
∞
X
z n denomina-se série geométrica de razão z. Para z = 1, a série
n=0
diverge. Para z 6= 1, a correspondente sucessão das somas parciais é dada por:
SN =
N
X
zn =
n=0
1 − z N +1
.
1−z
Como z N +1 → 0 para |z| < 1 e z N +1 não converge em C quando |z| ≥ 1 (com z 6= 1), conclui-se
que:
26
1.3. SUCESSÕES E SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS
• Se |z| < 1 a série geométrica de razão z é convergente e
∞
X
zn =
n=0
∞
X
1
1−z
zn =
n=p
zp 1−z
• Se |z| ≥ 1 a série geométrica de razão z é divergente.
1.3.4
Resultados Gerais de Convergência de Séries Complexas
• Condição necessária à convergência de uma série
Se a série
∞
X
zn é convergente então lim zn = 0.
n→∞
n=0
• Como consequência directa desta propriedade (tomando o contra-recı́proco), tem-se:
Se lim zn 6= 0 então a série
n→∞
∞
X
zn é divergente.
n=0
Chama-se a atenção para o facto de que zn → 0 não implica que a série de termo geral zn
seja convergente.
• A série complexa
convergentes e
∞
X
zn é convergente sse as séries reais
∞
X
zn =
∞
X
n
zn e
∞
X
Re zn + i
∞
X
∞
X
∞
X
Im zn são ambas
n
Im zn .
n
n
n
vamente, então
Re zn e
n
n
• Linearidade. Se as séries
∞
X
wn são convergentes para as somas S e T , respecti-
n
∞
X
(zn + wn ) é convergente e a sua soma é S + T .
– a série
n
∞
X
(λzn ) é convergente e a sua soma é λS.
– para qualquer λ ∈ C, a série
n
• Critério de Cauchy.
A série
∞
X
zn é convergente
n
sse
a sucessão das somas parciais associada é uma sucessão de Cauchy
sse
para qualquer ǫ > 0, existe N ∈ N tal que:
para todos os n, m > N , |zn+1 + zn+2 + · · · + zm | < ǫ.
27
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
1.3.5
Série Harmónica
A série harmónica é dada por:
∞
X
1
n
n=1
Note-se que a sucessão das somas parciais desta série verifica:
S2N − SN =
1
1
1
1
1
1
+ ··· +
>
+ ··· +
=N
= ,
N +1
2N
2N
2N
2N
2
para qualquer N ∈ N. Em consequência, (SN ) não satisfaz o critério de Cauchy (basta tomar
ǫ < 21 ). Por isso, a série harmónica é divergente.
1.3.6
Séries de Mengoli
Uma série de Mengoli (ou série telescópica) é uma série da forma
∞
X
n=1
zn − zn+1
em que zn ∈ C, para todo o n ∈ N. A sua sucessão das somas parcias reduz-se a
SN = z1 − zN +1 ,
pelo que a série converge sse existe lim zn . Nesse caso:
n→∞
∞
X
n=1
1.3.7
zn − zn+1 = z1 − lim zn
n→∞
Convergência Absoluta
X
zn diz-se absolutamente convergente se a série real
|zn | convergir. Costuma-se
X
X
designar
|zn | como a série dos módulos (de
zn ).
X
A série
zn diz-se simplesmente convergente se for convergente e a série dos seus módulos
X
X
for divergente i.e., se a série
zn convergir e a série
|zn | divergir. A partir do critério de
Cauchy, deduz-se a:
A série
X
Proposição: (critério da convergência absoluta)
Toda a série absolutamente convergente é convergente.
1.3.8
Séries Reais de Termos Não Negativos
Considere-se un uma sucessão de termos reais não negativos. Sendo assim, a sucessão das somas
parciais associada à série de termos geral un , (SN ) é monótona (crescente) e minorada (S1 ≤ SN
para qualquer N ∈ N). Conclui-se então que neste caso
X
un é convergente sse (SN ) é majorada.
28
1.3. SUCESSÕES E SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS
Critérios de Convergência
• Critério geral de comparação
Se un e vn são sucessões reais tais que para todo n ∈ N se verifica 0 ≤ un ≤ vn , então:
X
X
a) Se
vn é convergente tambem
un é convergente.
X
X
b) Se
un é divergente tambem
vn é divergente.
n
Demonstração:
P
a) Se SN = u1 +u2 +· · ·+uN e TN = v1 +v2 +· · ·+vN então como vn é convergente,
TN é convergente, logo limitada. Como, para todo o N ∈ N, 0 ≤ SN ≤ TN , SN
também é limitada; como também é monótona, logo é convergente.
P
P
b) Caso contrário (isto é, se
vn fosse convergente),
un seria
P então pela alı́nea a)
convergente, o que contradiz a hipótese. Logo,
vn tem que ser divergente.
Nota: a conclusão do critério geral de comparação permanece válida se 0 ≤ un ≤ vn se
verifica apenas a partir de certa ordem pois, como vimos, a natureza das séries não depende
do valor dos seus termos iniciais.
Exemplo:
Considere-se a série
para n > 1
∞
X
1
. Dado que para todo n ∈ N se tem log n < n, teremos que,
log
n
n=2
1
1
>
log n
n
∞
X
1
diverge
n
n=2
e
pelo primeiro critério geral de comparação a série
∞
X
n=2
1
será também divergente.
log n
• Corolário do Critério Geral de Comparação
Se un e vn são sucessões reais e a < b são números reais positivos tais que
0 ≤ avn ≤ un ≤ bvn
então
P
un e
P
para todo o n ∈ N,
vn têm a mesma natureza.
Nota: este resultado é consequência simples do critério geral de comparação (porquê?).
• 2o¯ Critério de Comparação
un
= l. Então, se
Sejam un e vn sucessões reais de termos não negativos tais que lim
vn
X
X
l ∈]0, +∞[ conclui-se que as séries
un e
vn têm a mesma natureza.
Demonstração: Considere-se ǫ < l, ou seja, tal que l − ǫ > 0. Pela definição de limite,
existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão un /vn verificam
l−ǫ<
29
un
< l + ǫ,
vn
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
pelo que (como vn ≥ 0):
0 ≤ (l − ǫ)vn < un < (l + ǫ)vn .
Usando agora o corolário do critério geral de comparação, obtém-se o resultado.
Exemplo:
Considere-se a série
∞
X
2n + 1
√ . Dado que
n n
n=1
lim
n
2n+1
√
n n
√1
n
=2<∞
e
∞
X
1
√ diverge
n
n=1
∞
X
2n + 1
√ é divergente.
pelo segundo critério geral de comparação a série
n n
n=1
• Critério de D’Alembert
Seja un uma sucessão real de termos positivos tal que existe
un+1
l = lim
n→∞ un
Então:
a) Se l < 1 a série
X
un é convergente.
n
b) Se l > 1 a série
X
un é divergente.
n
Nota: No caso l = 1, o critério de D’Alembert é inconclusivo.
Demonstração: A ideia genérica desta prova é estabelecer uma comparação da série
com uma série geométrica de razão, r, apropriada. Para tal:
P
un
a) Dado ǫ > 0 tão pequeno que l + ǫ < 1 (como l < 1, basta tomar ǫ < 1 − l), a definição
de limite da sucessão un+1 /un garante-nos que a partir de certa ordem:
un+1
< l + ǫ < 1.
un
Seja r = l + ǫ. Então:
r n+1
un+1
<l+ǫ=r = n
un
r
Multiplicando ambos os membros da desigualdade anterior por
un
r n+1
obtém-se:
un
un+1
< n.
r n+1
r
Assim, un /r n é decrescente, logo majorada por um certo M > 0:
un
≤M
⇒ un ≤ M r n
rn
Além disso, un > 0 para qualquer n P
∈ N. Do critério geral de comparação, como
P
n
M r é convergente (r < 1), então
un também é uma série convergente.
30
1.3. SUCESSÕES E SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS
b) Dado ǫ > 0 tão pequeno que l − ǫ > 1 (como l > 1, basta tomar ǫ < l − 1), a definição
de limite da sucessão un+1 /un garante-nos que a partir de certa ordem:
un+1
>l−ǫ>1
un
Seja r = l−ǫ. Procedendo de forma análoga à demonstração de (a) (exercı́cio), resulta
que, para algum L > 0:
0 < Lr n < un
P n
P
Do critério geral de comparação, como
Lr é divergente (r > 1), então
un é
também divergente.
Exemplo:
∞
X
n2
Considere-se a série
. Sendo un =
en3
n=1
un+1
= lim
lim
n
n
un
(n+1)2
3
e(n+1)
2
n
en3
n2
en3
= lim
n
tem-se que
n + 1 2
n
en
pelo que, por aplicação do Critério de D’Alembert, a série
3 −(n+1)3
=0<1
∞
X
n2
é convergente.
en3
n=1
• Critério da Raiz
Seja un sucessão real de termos não negativos, tal que existe
√
l = lim n un
n→∞
Então
– se l < 1 a série
X
un é convergente.
n
– se l > 1 a série
X
un é divergente.
n
Notas:
– No caso l = 1, o critério da raiz é inconclusivo.
– Se quiser justificar este resultado, use a ideia da prova do critério de D’Alembert. Os
detalhes são um pouco mais simples, neste caso.
Exemplo:
Considere-se a série
∞
X
n
2n+(−1) . Começamos por observar que o Critério de D’Alembert
n=0
n
não é aplicável; pois tomando un = 2n+(−1) , então:
 2n
= 12 se n par,
un+1  2n+1
=
 2n+2
un
= 8 se n ı́mpar.
2n−1
31
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
un+1
não existe. No entanto
n
un
1
(−1)n
√
n
lim n un = lim 2n+(−1)
= lim 21+ n = 2 > 1
Pode-se, por isso, concluir que lim
n
n
n
pelo que, por aplicação do critério da raiz, a série
∞
X
n
2n+(−1) é divergente.
n=0
• Critério da Raiz de Cauchy
Seja un uma sucessão real de termos não negativos e defina-se
√
lim sup n un = l (finito ou infinito).
Então
a) se l < 1 a série
X
un é convergente;
n
b) se l > 1 a série
X
un é divergente;
n
Notas:
√
– Define-se lim sup n un como o supremo do conjunto dos sublimites de un . Um sublimite de un é um limite de uma subsucessão de un .
√
– Este resultado generaliza o critério da raiz às situações onde o lim n un não existe.
– No caso l = 1, o critério da raiz é inconclusivo.
Exemplo:
∞
X
5
. Começamos por observar que o critério da raiz não
(3 + (−1)n )n
n=0
é aplicável (e, consequentemente, o critério de D’Alembert também não) visto que, com
5
un = (3+(−1)
n )n , se tem
 1√
n
 4 5 para n par
√
n
un =
 1√
n
2 5 para n ı́mpar
√
Assim sendo, a subsucessão dos termos pares de n un converge para 41 , mas a subsucessão
√
√
dos termos ı́mpares de n un converge para 21 ; desta forma, o limite de n un não existe. No
√
entanto, o conjunto dos sublimites da sucessão n un é
1 1
,
4 2
Considere-se a série
e assim
lim sup
n
√
n
un =
1
<1
2
pelo que, por aplicação do Critério da raź de Cauchy, a série
32
∞
X
5
é convergente.
n )n
(3
+
(−1)
n=0
1.3. SUCESSÕES E SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS
• Critério do Integral
Seja f : [1, ∞[→ R uma função contı́nua, positiva e decrescente. Se, para qualquer n ∈ N,
se tem f (n) = un , então
∞
X
un é convergente sse existe (em R) o lim
Z
N
N →∞ 1
n=1
Demonstração: Seja SN a sucessão das somas parciais de
∞
X
f (x) dx.
un . Atendendo a que f é
n=1
decrescente, para qualquer n ∈ N se n ≤ x ≤ n + 1 então un+1 = f (n + 1) ≤ f (x) ≤
f (n) = un , o que implica que
Z n+1
.
f (x) dx ≤
un
un+1
≤
|{z}
| {z }
n
R
=
R n+1
n
=
f (n+1) dx
n+1
n
f (n) dx
Somando as desigualdades anteriores para n = 1, 2, . . . N − 1, obtém-se:
S N − u1 =
N
X
n=2
un ≤
Z
N
1
f (x) dx ≤
N
−1
X
n=1
un = SN −1 ,
(1.6)
RN
Note que, como f é uma função positiva, a sucessão TN = 1 f (x) dx é crescente. Das desigualdades (1.6) conclui-se que TN é convergente sse SN é convergente, o que é equivalente
à conclusão que querı́amos obter.
1.3.9
Séries de Dirichlet
Uma série de Dirichlet é uma série da forma
∞
X
1
nα
n=1
,
α∈R
Se α ≤ 1, então 0 < nα ≤ n, pelo que
0<
1
1
≤ α,
n
n
para todo
P 1 o n ∈ N. Pelo critério geral de comparação, como a série harmónica,
série
nα também diverge.
No caso α > 1, seja f (x) = x1α = x−α . Como
lim
Z
N →∞ 1
N
x
−α
x1−α
dx = lim
N →∞ 1 − α
N
1
1
=
lim
1 − α N →∞
pelo critério do integral, a série converge.
Podemos então concluir que:
• A série de Dirichlet converge sse α > 1.
• A série de Dirichet diverge sse α ≤ 1.
33
1
N α−1
−1 =
P
1
n,
1
,
α−1
diverge, a
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
1.3.10
Séries Alternadas
Uma série de termos reais diz-se alternada se os seus termos forem alternadamente positivos e
negativos. Se assumirmos que o primeiro termo de uma série alternada é negativo (respectivamente
positivo), então a série pode ser escrita na forma
∞
X
(−1)n an
(1.7)
n=1
P∞
P∞
n+1 a = −
na
, em que an > 0. Basta então estudar (1.7).
resp.
(−1)
(−1)
n
n
n=1
n=1
Critério de Leibnitz:
Se (un ) é uma sucessão de termos reais positivos, decrescente e tal
∞
X
(−1)n un é convergente.
que lim un = 0, então a série alternada
n→∞
n=1
Exemplo: Determinação do erro da aproximação da soma de uma série alternada por uma
soma parcial.
Se uma série alternada converge obedecendo às condições do critério de Leibniz então, para
N + 1 par, (−1)N +1 aN +1 > 0, e então:
∞
X
(−1)n an −
n=1
N
X
(−1)n an = aN +1 − (aN +2 − aN +3 ) − (aN +4 − aN +5 ) − · · ·
|
{z
} |
{z
}
n=1
>0
>0
− (aN +k − aN +k+1 ) − · · · < aN +1
|
{z
}
>0
Se N + 1 é ı́mpar, deduzimos do caso anterior que:
∞
X
n
(−1) an −
n=1
N
X
n
(−1) an =
n=1
∞
X
n+1
(−1)
n=1
an −
N
X
(−1)n+1 an < aN +1
n=1
Assim, o erro que se comete ao aproximar a série (1.7) pela sua sucessão das somas parciais,
−a1 + a2 + · · · + (−1)N aN , é menor que aN +1 .
Nota: a estimativa anterior só foi provada para séries que satisfazem as condições do critério
de Leibniz. No caso geral não é possı́vel controlar o erro de aproximação da soma de uma série
da forma acima descrita.
A série harmónica alternada,
∞
X
(−1)n
n=1
n
,
é um exemplo de uma série que converge mais não converge absolutamente. Trata-se do exemplo
mais simples de uma série simplesmente convergente.
34
1.3. SUCESSÕES E SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS
1.3.11
Séries de Potências
Para z0 ∈ C e an uma sucessão de termos complexos define-se a série de potências de z − z0 (ou
série de potências centrada em z0 ) por:
∞
X
n=0
an (z − z0 )n = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · + an (z − z0 )n + · · ·
(1.8)
Os termos da sucessão an denominam-se coeficientes da série e z0 é o seu centro. Para cada
z ∈ C a série poderá ou não convergir, pelo que será adequado definir o conjunto:
)
(
∞
X
an (z − z0 )n converge ,
z∈C :
n=0
Este conjunto é denominado região de convergência de (1.8).
Pela mudança de variável w = z − z0 , podemos reduzir o estudo da natureza de (1.8) ao caso
em que z0 = 0, que é:
∞
X
n=0
an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n + · · ·
Qual é a forma do domı́nio de convergência de uma série de potências? O seguinte resultado
permite obter uma resposta para esta questão.
Teorema de Abel
Considere-se a série de potências centrada em z0 e de coeficientes cn . Então:
a) Se existe ξ ∈ C \ {z0 } tal que
∞
X
n=0
cn (ξ − z0 )n converge, a série
∞
X
n=0
cn (z − z0 )n converge
absolutamente em todos os valores de z para os quais |z − z0 | < |ξ − z0 |.
b) Se existe ξ̄ ∈ C \ {z0 } tal que
∞
X
n=0
n
cn (ξ̄ − z0 ) diverge, a série
todos os valores de z para os quais |z − z0 | > |ξ̄ − z0 |.
∞
X
n=0
cn (z − z0 )n diverge em
Demonstração:
como vimos, basta provar o resultado para caso z0 = 0, isto é, para as séries
P
do tipo
an z n .
P
a) Supondo que existe um ponto z = ξ onde a série
an z n converge, então lim an ξ n = 0.
n→∞
A existência deste limite implica, em particular, que an ξ n é uma sucessão limitada, ou seja:
existe
M > 0 tal que |an ξ n | ≤ M
para qualquer n ∈ N.
Tomando qualquer valor de z que verifique |z| < |ξ|, define-se r =
Desta forma:
35
|z|
. Assim, 0 < r < 1.
|ξ|
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
n
|z|n
|z|
n
|an z | = |an ||z| = |an ||ξ|
= |an ξ |
≤ M rn
para qualquer n ∈ N.
n
|ξ|
|ξ|
P
P
Note que a série
M r n = M r n é convergente,
P poisn é uma série geométrica de
Prazão
r < 1. Pelo critério geral de comparação, a série
|an z | também converge; logo
an z n
converge absolutamente para |z| < |ξ|.
n
n
n
P
b) Supondo que existe z = ξ¯ onde a série
an z n diverge, então a série terá que divergir para
|z| > |ξ̄|. Pois, caso contrário — se existisse
ẑ, com |ẑ| > |ξ̄|, onde a série convergisse —
P
como |ξ̄| < |ẑ|, pela alı́nea (a) a série
an z n convergiria absolutamente em z = ξ̄, o que
contradiz a hipótese.
O raio de convergência, R, de uma série de potências
(
R = sup ρ ∈ [0, +∞[ :
∞
X
n=0
n
an (z − z0 )
P∞
n=0 an (z
− z0 )n define-se por:
converge em |z − z0 | < ρ
)
R está bem definido, pois o conjunto acima nunca é vazio e R ≥ 0. De notar que esse conjunto
pode ser não limitado; nesse caso, R = ∞.
Utilizando o teorema de Abel, conclui-se facilmente o seguinte (porquê?):
Teorema: (região de convergência de uma série de potências)
∞
X
an (z − z0 )n e seja R o seu raio de convergência. Então:
Considere-se a série de potências
n=0
a) A série converge absolutamente no disco {z : |z − z0 | < R}.
b) A série diverge na região {z : |z − z0 | > R}.
O disco de convergência da série de potências é definido como sendo o interior da sua região de
convergência, ou seja, a região dada por |z − z0 | < R.
Apoiando-nos nos critérios de convergência das séries de termos não negativos e no teorema
de Abel, podemos obter fórmulas para o cálculo do raio de convergência de (1.8). Assim:
O raio de convergência da série
∞
X
n=0
• R = lim
n→∞
•
•
an (z − z0 )n é dado por:
an
, caso este limite exista.
an+1
p
1
= lim n |an |, caso este limite exista.
R n→∞
p
1
= lim sup n |an | (Teorema de Cauchy-Hadamard).
R
n→∞
36
1.3. SUCESSÕES E SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS
an
, usamos o critério de D’Alembert.
n→∞ an+1
Mais uma vez, estudaremos apenas o caso z0 = 0. Assim:
Para mostrar que, caso o limite exista, R = lim
an+1
|an+1 z n+1 |
=
= |z|
|an z n |
an
def
Supondo que existe R = lim
|z|
an
an+1
an
, então:
an+1
|z|
|an+1 z n+1 |
|z|
=
=
.
n→∞
an
|an z n |
R
lim an+1
L = lim
Para se ter L < 1 — caso em que, pelo critério de D’Alembert a série de potências é absolutamente
convergente — então é necessário que |z| < R. Tomando L > 1 conclui-se que para |z| > R a
série não converge absolutamente.
Além disso, a série diverge sempre para |z| > R. Caso contrário, isto é, se convergisse para
certo ẑ, com |ẑ| > R, então pelo teorema de Abel convergiria absolutamente em qualquer z tal
que R < |z| < |ẑ|, o que contradiz a conclusão do parágrafo
anterior!
P
Conclui-se que o raio de convergência da série
an z n é R. Por mudança de variável w =
z − z0 , obtém-se o resultado para qualquer série de potências de z − z0 .
Note-se que, em teoria, a fórmula do Teorema de Cauchy-Hadamard é de aplicabilidade geral.
Pode, contudo,pnão ser fácil de utilizar na prática; basta pensar em exemplos onde o conjunto dos
sublimites de n |an | é difı́cil de determinar.
Exemplos:
1. Considere-se a série
∞
X
(z − 2i)n
n=0
coeficientes an =
1
n(5i)n ,
n(5i)n
. Por ser uma série de potências de centro em 2i e
o seu disco de convergência será
{z ∈ C : |z − 2i| < R}
em que R é dado por (porque o limite existe)
R = lim
n
5(n + 1)
an
=5
= lim
n
an+1
n
ou seja, o disco de convergência é {z ∈ C : |z − 2i| < 5}.
2. Considere-se a série
∞
X
(in)n z n . Por ser uma série de potências de centro em 0 e coeficientes
n=1
an = (in)n , o seu disco de convergência será
{z ∈ C : |z| < R}
em que R é dado por (porque o limite existe)
R=
limn
1
p
n
!an |
= lim
n
1
=0
n
O disco de convergência desta série é ∅ e o sua região de convergência é {0}.
37
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
3. Considere-se a série
∞
X
n(−i)n (z + i)2n Mais uma vez, o seu disco de convergência será
n=0
{z ∈ C : |z + i| < R}
dado que o centro da série é −i. Visto que no desenvolvimento só ocorrem potências de
expoente par, os coeficientes da série são dados por
n(−i)n para n par
an =
0
para n impar
p
e é fácil de perceber que não existem lim an /an+1 e lim 1/ n |an |. Então
n
n
R=
1
lim sup
p
n
|an |
=
sup{lim
n
1
√
n
n, lim 0}
=1
n
Conclui-se que a região é {z ∈ C : |z + i| < 1}. Em alternativa, poderemos considerar
∞
X
nwn . Dado que
w = −i(z + i)2 e estudar a região de convergência da série
n=0
lim
n
n
=1
n+1
podemos concluir que esta série converge em {w ∈ C : |w| < 1}, o que implicará que a
série inicial é convergente para todos os valores de z tais que
| − i(z + i)2 | < 1
1.4
1.4.1
⇔
|z + i| < 1 .
Funções Complexas de Variável Complexa
Definição e Notação
f : D ⊂ C → C diz-se uma função complexa de variável complexa se a todo z ∈ D fizer
corresponder um e um só w = f (z) ∈ C. Nesse caso
D ∋ z = x + yi
7−→
w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ∈ C
Seja D ⊂ R2 o conjunto em R2 que “corresponde geometricamente” a D ⊂ C, isto é:
(x, y) ∈ D
⇔
x + iy ∈ D
As funções u : D ∈ R2 → R e v : D ∈ R2 → R são denominadas respectivamente, a parte real
e a parte imaginária de f . O conjunto D é denominado o domı́nio de f . Quando nada se diz
acerca de D, subentende-se que:
D = z ∈ C : f (z) está bem definido (em C)
e corresponde, em R2 , a:
D = (x, y) ∈ R2 : u(x, y) e v(x, y) estão bem definidos (em R)
(D é a intersecção dos domı́nios de u e v).
Exemplos:
38
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
1. Consideremos a função f (z) = z 2 + 3. Então
f (x + yi) = (x + yi)2 + 3 = x2 + 2xyi − y 2 + 3 = x2 − y 2 + 3 + 2xyi
Pelo que
Re f = u(x, y) = x2 − y 2 + 3 e
Im f = v(x, y) = 2xy
É óbvio que o domı́nio de f é C.
2. A função f (z) =
z2
z
, tem por domı́nio o conjunto
+1
D = z ∈ C : z 2 + 1 6= 0 = C \ {i, −i}
3. A função definida por f (z) = z 2 − 4z + Re z tem domı́nio C e
f (x + yi) = (x + yi)2 − 4(x + yi) + x = (x2 − y 2 − 3x) + (2xy − 4y)i
pelo que
Re f = u(x, y) = x2 − y 2 − 3x
e
Im f = v(x, y) = 2xy − 4y.
√
4. Sendo n ∈ N, considere-se
f (z) = n z (com −π < arg z ≤ π) e escolhendo o valor da raiz
√
de tal forma a que n 1 = 1. Note que se escolhermos apenas uma das n raı́zes ı́ndice n,
√
então obtemos um único valor para n z. Desta forma, seja:
p
arg z
com π < arg z ≤ π
f (z) = n |z| ei n
Trata-se de uma função cujo valor é uma raiz ı́ndice n de z e que satisfaz f (1) = 1. Além
disso, o seu domı́nio é C e
p
p
√
√
arg z
arg z
Re n z = n |z| cos
e Im n z = n |z| sen
n
n
1.4.2
Funções Elementares
Funções Polinomiais e Racionais
Uma função polinomial é definida através de um polinómio complexo:
P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n ,
onde n é o grau do polinómio e a0 , a1 , . . . an ∈ C os seus coeficientes. O domı́nio das funções
polinomiais é C. Tal como no caso real, se z0 for uma raiz de P (z) então existe Q(z) (de grau
n − 1) tal que a factorização P (z) = (z − z0 )Q(z) é válida.
Uma função racional é dada por
f (z) =
P (z)
,
Q(z)
onde P (z) e Q(z) são polinómios. O domı́nio de f (z) é
D = z ∈ C : Q(z) 6= 0
39
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Admitindo que P (z) e Q(z) não têm raı́zes comuns, então se z0 é uma raiz de Q(z) resulta que
P (z)
→ ∞ quando |z − z0 | → 0. Este é o exemplo mais simples de uma singularidade
|f (z)| = Q(z)
isolada de uma função complexa, conforme veremos mais tarde.
Exponencial Complexa
Para z ∈ C, define-se exponencial complexa por
ez = eRe z cos(Im z) + i sen(Im z)
isto é, se z = x + iy
ez = ex eiy = ex cos y + i sen y
A exponencial complexa é uma extensão da exponencial real ao plano complexo. O domı́nio da
exponencial complexa é C, e
Re ez = ex cos y , Im ez = ex sen y , |ez | = eRe z , arg ez = Im z
Desta forma podemos observar que as imagens por f (z) = ez de complexos com parte real constante (rectas verticais) são complexos com módulo constante (circunferências centradas na origem)
e a imagem de complexos com parte imaginária constante (rectas horizontais) são complexos com
argumento constante (semi-rectas com origem em 0) — ver Figura 1.3.
Re z = a1
Re z = a0
ez
|z| = ea0
Im z = b0
Arg z = b0
|z| = ea1
Im z = b1
Arg z = b1
Figura 1.3: Transformação de rectas horizontais e verticais por f (z) = ez .
Propriedades Elementares da Exponencial Complexa
• Para todos z, w ∈ C,
• Para todo z ∈ C
ez+w = ez ew
ez+2kπi = ez
,
k∈Z
o que significa que a exponencial complexa é periódica de perı́odo 2πi.
40
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
• Para qualquer w ∈ C \ {0}, a equação ez = w pode sempre ser resolvida e tem uma
infinidade de soluções, que são dadas por:
ez = w
⇔
z = log |w| + i(arg w + 2kπ)
k∈Z
,
(porquê?)
Funções Trigonométricas
A partir da fórmula de Euler tem-se, para qualquer y ∈ R:
eiy = cos y + i sen y
e−iy = cos y − i sen y
Somando e subtraindo as
identidades anteriores obtém-se, respectivamente, cos y = 21 eiy + e−iy
1
eiy − e−iy .
e sen y = 2i
Podemos então generalizar as funções trigonométricas reais a funções complexas de variável
complexa, definindo-as, para todo o z ∈ C, por:
cos z =
eiz + e−iz
2
,
sen z =
eiz − e−iz
2i
,
tg z =
sen z
cos z
,
cotg z =
cos z
sen z
É óbvio que as funções sen z e cos z têm domı́nio C, enquanto que o domı́nio da função tg z é
C \ {z : cos z = 0} e o domı́nio da função cotg z é C \ {z : sen z = 0}.
As propriedades das funções trigonométricas complexas são análogas às das funções trigonométricas reais, e podem ser facilmente justificadas a partir das suas definições. Em particular,
para quaisquer z, w ∈ C e k ∈ Z:
• sen2 z + cos2 z = 1
• sen(z + 2kπ) = sen z e cos(z + 2kπ) = cos z
• tg(z + kπ) = tg z
• cotg(z + kπ) = cotg z.
• sen(z ± w) = sen z cos w ± sen w cos z
• cos(z ± w) = cos z cos w ∓ sen z sen w
• sen(−z) = − sen z
• cos(−z) = cos z .
O contadomı́nio das funções sen z e cos z é C. Isto significa que quando as funções reais seno
e coseno são estendidas ao plano complexo, tanto as equações cos z = w como sen z = w passam
a ter solução para qualquer w ∈ C. Por periodicidade, essas equações têm uma infinidade de
soluções — pois se z̄ é solução de cos z = w ou sen z = w, então ẑ + 2kπ também o é, para
qualquer k ∈ Z. Chama-se a atenção que este facto implica, entre outras coisas, que as funções
sen z e cos z não são limitadas em C.
41
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Funções Hipérbólicas
Para z ∈ C definem-se:
ch z =
ez + e−z
2
,
sh z =
ez − e−z
2
,
tgh z =
sh z
ch z
,
cotgh z =
ch z
.
sh z
É óbvio que as funções sh z e ch z têm domı́nio C, enquanto que o domı́nio da função tgh z é
C \ {z : ch z = 0} e o domı́nio da função cotgh z é C \ {z : sh z = 0}.
Todas as igualdades verificadas pelas funções hiperbólicas reais são tambem verificadas pelas
funções hiperbólicas complexas. Em particular, para quaisquer z, w ∈ C e k ∈ Z
• ch2 z − sh2 z = 1
• sh(z + 2kπi) = sh z
• ch(z + 2kπi) = ch z
• sh(z ± w) = sh z ch w ± sh w ch z
• ch(z ± w) = ch z ch w ± sh z sh w
• sh(−z) = − sh z e ch(−z) = ch z .
Logaritmo Complexo
Define-se logaritmo complexo por
w = Log z
⇔
ew = z
⇔
w = log |z| + i(arg z + 2kπ)
k∈Z
Observa-se que o logaritmo complexo está bem definido em C \ {0}.
Atendendo a que os argumentos de z formam um conjunto infinito, da forma {θ+2kπ, k ∈ Z},
em que θ ∈ R é um argumento particular de z, então também Log z terá uma infinidade de valores.
Como tal, Log designa aquilo que em análise complexa se chama uma função multivalente.
De forma a definir funções logaritmo complexo, log : C \ {0} → C (que tomam um único
valor, log z ∈ C) há que restringir o valor do argumento a um intervalo de comprimento 2π,
intervalo esse onde o argumento de z é único. Sendo assim, para qualquer z ∈ C e qualquer
α ∈ R, define-se o ramo α do logaritmo (resp. o valor α do logaritmo) por:
log z = log |z| + i arg z
arg z ∈ [α, α + 2π[
,
(Resp., arg z ∈]α, α + 2π] para o valor α de log). O caso particular em que se considera o
argumento principal, isto é
log z = log |z| + i arg z
,
arg z ∈] − π, π]
denomina-se valor principal do logaritmo.
Os ramos do logaritmo verificam algumas propriedades algébricas da função logaritmo real
apenas a menos de múltiplos de 2πi. Mais rigorosamente, isto significa que para quaisquer
z, w ∈ C e m ∈ Z:
42
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
• log(zw) = log z + log w + 2pπi para certo p ∈ Z.
• log(z/w) = log z − log w + 2pπi para certo p ∈ Z.
• log(z m ) = m log z + 2pπi para certo p ∈ Z.
Exemplos:
h √
i
√
1. Determinar o valor principal de log(2 3 − 2i) + log(−1 − i) e de log (2 3 − 2i)(−1 − i) .
Por um lado
h √
i
h
i
√
log (2 3 − 2i)(−1 − i) = log (4e−iπ/6 )( 2e5πi/4 )
i
h √
i
h √
= log (4 2e13 iπ/12 ) = log (4 2e−11 iπ/12 )
=
5
11π i
log 2 −
2
12
Por outro lado
√
√
log(2 3 − 2i) + log(−1 − i) = log(4e−iπ/6 ) + log( 2e−3πi/4 )
√
3iπ
iπ
5
11π i
= log 4 −
+ log 2 −
= log 2 −
6
4
2
12
Neste exemplo em particular, verifica-se que para o valor principal do logaritmo:
h √
i
√
log(2 3 − 2i) + log(−1 − i) = log (2 3 − 2i)(−1 − i)
i
√
√
5
2. Determinar o valor principal de log (− 3 − 3i) e de 5 log(− 3 − 3i). Por um lado
h
√
5
log (− 3 − 3i)
i
h
h√
i
h√
i
h√
i
4πi/3 5
5 20πi/3
5 2πi/3
= log ( 12e
)) = log ( 12) e
) = log ( 12) e
)
=
5
2πi
log(12) +
2
3
Por outro lado
5
√
√
10πi
12e−2πi/3 = log(12) −
5 log(− 3 − 3i) = 5 log
2
3
Verifica-se, neste exemplo, que para o valor principal do logaritmo
h √
i
√
log (− 3 − 3i)5 = 5 log(− 3 − 3i) + 4πi
Potência de Expoente Complexo
Para z ∈ C \ {0} e w ∈ C fixo, define-se ramo-α da potência de expoente w por:
z w = ew log z
arg z ∈ [α, α + 2π[
,
43
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
O caso especial em que se considera o valor principal do logaritmo, isto é
z w = ew log z
arg z ∈] − π, π]
,
denomina-se valor principal da potência de expoente w.
Como exemplo, calculemos o valor principal de iw , onde w é um número complexo de módulo
1 ou seja, w = eiθ , para certo θ ∈] − π, π[. Temos:
iθ
2
wi = ei log w = ei log(e ) = ei(log 1+iθ) = ei θ = e−θ .
Se quiséssemos determinar o valor multivalente de wi , então terı́amos que considerar todos os
possı́veis valores do argumento de w, que são θ + 2kπ, com k ∈ Z. Neste caso, o resultado é:
n
o n
o
e−θ−2kπ : k ∈ Z = e−θ+2jπ : j ∈ Z
1.4.3
Limites
Sendo f : D → C e z0 ∈ D, define-se
L = lim f (z)
z→z
⇔
∀ǫ > 0 ∃δ > 0 |z − z0 | < δ ⇒ |f (z) − L| < ǫ
Proposição
Se f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x0 + iy0 e L = A + iB então:

lim
u(x, y) = A


 (x,y)→(x0 ,y0 )
L = lim f (z) ⇔
z→z0


lim
v(x, y) = B

(x,y)→(x0 ,y0 )
Em consequência, é válida a seguinte igualdade:
lim f (z) =
z→z0
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
u(x, y) + i
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
v(x, y)
(admitindo que os limites existem).
Demonstração:
Em primeiro lugar, assumindo que existem os limites
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
u(x, y) = A e
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
v(x, y) = B
Por definição, para cada ǫ > 0 existem números positivos δ1 e δ2 tais que
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ1
⇒
|u(x, y) − A| <
ǫ
2
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ2
⇒
|v(x, y) − B| <
ǫ
2
e
44
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
Considere-se δ = min{δ1 , δ2 } Tem-se então que se (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ
u(x, y) + iv(x, y) − (A + iB) = u(x, y) − A + i v(x, y) − B
≤
u(x, y) − A + v(x, y) − B
<
ǫ
ǫ
+ =ǫ
2 2
o que demonstra que o limite lim f (z) = A + iB.
z→z0
Reciprocamente, supondo que existe lim f (z) = A + iB, dados ǫ > 0 sabemos que existe
z→z0
p
δ > 0 tal que se (x + iy) − (x0 + iy0 ) = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ então:
u(x, y) + iv(x, y) − (A + iB) =
Suponhamos que
e
p
(u(x, y) − A)2 + (v(x, y) − B)2 < ǫ
p
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ; então:
p
|u(x, y) − A| ≤ (u(x, y) − A)2 + (v(x, y) − B)2 < ǫ
|v(x, y) − B| ≤
p
(u(x, y) − A)2 + (v(x, y) − B)2 < ǫ.
Do resultado anterior e dos teoremas correspondentes da análise real, deduzimos o seguinte:
Proposição:
Se existirem lim f (z) e lim g(z), tem-se que:
z→z0
z→z0
lim (f ± g)(z) = lim f (z) ± lim g(z);
z→z0
z→z0
z→z0
lim (f g)(z) = lim f (z) lim g(z);
z→z0
z→z0
z→z0
lim (f /g)(z) = lim f (z)/ lim g(z),
z→z0
z→z0
z→z0
sendo esta última propriedade válida desde que lim g(z) 6= 0.
z→z0
Exemplo:
1. lim eπz = −1.
z→i
(z − i)(z − 1)
z−i
z 2 − (i + 1)z + i
= lim
= lim
= −i
z→1 (z + i)(z − 1)
z→1 z + i
z→1 z 2 + (i − 1)z − i
2. lim
É de observar que enquanto o cálculo algébrico de limites em C é semelhante ao de R, a noção
de limite em C é idêntica à de R2 6 .
As vizinhanças de um ponto em C e R2 são discos centrados nesse ponto; ou seja, as vizinhanças em C e em
R são topologicamente idênticas.
6
2
45
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Exemplo:
Re z
representa uma indeterminação do tipo 0/0. Escrevendo z = |z|eiθ
z→0 z
Observa-se que lim
obtém-se
Re z
|z| cos θ
=
= e−iθ cos θ
z
|z|eiθ
Fazendo |z| → 0 verifica-se Re (z)/z converge para um valor que depende de θ (ou seja do
argumento de z) e como tal o seu valor dependerá da forma como z está a convergir para 0.
Assim, por exemplo, se z está a convergir para 0 ao longo do semi-eixo real positivo (θ = 0)
tem-se
Re z
=1,
lim
z→0 , z∈R+ z
enquanto que se z está a convergir para 0 ao longo do semi-eixo imaginário positivo (θ = π/2)
tem-se
Re z
lim
=0.
+
z
z→0 , z∈iR
Re z
não existe.
z→0 z
Conclui-se que lim
1.4.4
Continuidade:
Sendo f : D → C e z0 ∈ D, diz-se que f é contı́nua em z0 se
lim f (z) = f (z0 )
z→z0
Se f é contı́nua em todos z0 ∈ D diz-se que f é contı́nua em D. Demonstra-se que, se f = u+iv,
z0 = x0 + iy0 então f é contı́nua em z0 se e só se u(x, y) e v(x, y) são contı́nuas em (x0 , y0 ).
Sendo assim, se f e g são contı́nuas em z0 então f + g, f − g, f g e no caso de g(z0 ) 6= 0,
f (z)
g(z) são contı́nuas em z0 . Se g é contı́nua em z0 e f é contı́nua em g(z0 ) então f ◦ g é contı́nua
em z0 .
Estudo da Continuidade das Funções Elementares
1. A função f (z) = z = x + iy é contı́nua em C, dado que Re f (z) = x e Im f (z) = y são
contı́nuas em R2 .
2. Para cada n ∈ N, a função f (z) = z n é contı́nua em C, dado que é o produto de funções
contı́nuas em C.
3. Uma função polinomial é contı́nua em C dado que se obtém a partir da soma e produto de
funções contı́nuas em C.
4. Uma função racional P (z)/Q(z) é contı́nua em C \ {z : Q(z) = 0}.
5. A função exponencial f (z) = ez é contı́nua em C, dado que Re f (z) = ex cos y e Im f (z) =
ex sen y são contı́nuas em R2 .
6. As funções sen z, cos z ch z e sh z são contı́nuas em C (obtidas por composição e soma de
funções contı́nuas em C).
46
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
7. Considere-se a função valor principal do log z, isto é,
log z = log |z| + i arg z
,
arg z ∈ ] − π, π]
Por um lado, Re log z = log |z| é uma função contı́nua em R2 \ {(0, 0)} (consequência da
continuidade da função logaritmo real em R+ . Por outro lado, Im log z = arg z é contı́nua
para todos os z tais que arg z ∈ ] − π, π[ (continuidade da função arctg num dos seus
ramos). Falta então estudar a continuidade do valor principal do log z em qualquer ponto
z tal que arg z = π. Para isso, considere-se z0 6= 0 tal que arg z0 = π. Então
π
se Im z > 0
lim arg z =
z→z0
−π se Im z < 0
Conclui-se que não existe lim arg z para qualquer z0 6= 0 com arg z0 = π (pelo que a
z→z0
função arg z não é contı́nua nestes pontos). Consequentemente o domı́nio de continuidade
do valor principal de log z é
−
C \ {z ∈ C : arg z = π} = C \ {xeiπ : x ∈ R+
0 } = C \ R0
O conjunto
{xeiπ : x ∈ R+
0}
é denominado corte do valor principal do logaritmo (complexo).
8. De modo análogo se mostra que, para cada α ∈ R, o domı́nio de continuidade do ramo α
do logaritmo
log z = log |z| + i arg z
,
arg z ∈ ]α, α + 2π]
é
C \ {z = xeiα : x ∈ R+
0}
O conjunto
{z = xeiα : x ∈ R+
0}
é denominado corte do ramo α do logaritmo (complexo).
1.4.5
Derivada Complexa
Diz-se que uma função f : D ⊂ C → C tem derivada complexa (ou que é diferenciável no sentido
de C) em z0 ∈ D se existe
lim
z→z0
f (z0 + h) − f (z0 )
f (z) − f (z0 )
= lim
h→0
z − z0
h
Se o limite existir, define-se
f ′ (z0 ) = lim
z→z0
f (z) − f (z0 )
z − z0
Define-se Domı́nio de Diferenciabilidade como sendo o conjunto de pontos do domı́nio de f para
os quais existe derivada.
Exemplos:
47
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
1. Para f (z) = 2z − z 2 , de domı́nio C, verifica-se que
f (z + h) − f (z)
h→0
h
lim
2(z + h) − (z + h)2 − (2z − z 2 )
h→0
h
= lim 2 − 2z − h = 2 − 2z
=
lim
h→0
Conclui-se que f é diferenciável em C e
f ′ (z) = 2 − 2z
∀z ∈ C
,
2. Para f (z) = f (x + iy) = 2x + 3iy, de domı́nio C, verifica-se que
f (z + h) − f (z)
h→0
h
lim
=
2(x + h1 ) + 3i(y + h2 ) − (2x + 3iy)
h1 +ih2 →0
h
=
2h1 + 3ih2
h→0 h1 + ih2
lim
lim
Observe-se que
• se h1 + ih2 → 0 ao longo do eixo real, ter-se-á que h2 = 0 e o valor do limite
(direccional) é
f (z + h) − f (z)
2h1
lim
= lim
=2
h→0, h∈R
h1 →0 h1
h
• se h1 + ih2 → 0 ao longo do eixo imaginário, ter-se-á que h1 = 0 e o valor do limite
(direccional) é
3ih2
f (z + h) − f (z)
= lim
=3
lim
h2 →0 ih2
h→0, h∈iR
h
f (z + h) − f (z)
h
não existe e como tal o domı́nio de diferenciabilidade de f é o conjunto vazio.
pelo que este limite não existe. Conclui-se que para qualquer z ∈ C, lim
h→0
3. Para f (z) = z Re z, de domı́nio C, verifica-se que
lim
h→0
f (z + h) − f (z)
h
=
=
lim
(z + h) Re(z + h) − z Re z
h
lim
z Re h + h Re z + h Re h
h
h→0
h→0
Re h
h→0 h
= Re z + lim (z + h) lim
h→0
Re h
h→0 h
= Re z + z lim
Observe-se que, escrevendo o número complexo h na forma polar, se tem
|h| cos θ
Re h
= lim
= eiθ cos θ
h→0 h
|h|→0 |h|eiθ
lim
48
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
pelo que este limite não existe. Se z = 0
f (0 + h) − f (0)
=0
h→0
h
lim
f (z + h) − f (z)
h→0
h
não existe (porquê?) pelo que a função não é diferenciaável em C \ {0}. Assim, o domı́nio
de diferenciabilidade de f é {0}.
e como tal f é diferenciável em 0 e f ′ (0) = 0. Por outro lado se z 6= 0, lim
Nota: Os casos anteriores (2 e 3), mostram que não é suficiente que u e v sejam diferenciáveis
em (x0 , y0 ) para que f = u + iv tenha derivada em z0 = x0 + iy0 . Por exemplo para f (z) =
f (x + iy) = 2x + 3iy
Re f = u(x, y) = 2x
,
Im f = v(x, y) = 3y
admitem derivada (no sentido de R2 ) em todos os pontos, e no entanto a função f = u + iv não
admite derivada (no sentido de C) em ponto algum de C.
Tal como para as funções reais de variável real, é válido o seguinte resultado, com demonstração
análoga ao caso real.
Proposição Se a função f : D → C é diferenciável em z0 então f é contı́nua em z0 .
Notemos que, tal como no cálculo real, o recı́proco não pode não ser verdade: existem funções
contı́nuas num determinado ponto do seu domı́nio que não têm derivada nesse ponto (casos 2 e
3 do exemplo anterior. É no entanto muitas vezes utilizado na forma de contra-recı́proco: se f
não é contı́nua em z0 então f não é diferenciável em z0 .
Exemplo:
O valor principal do logaritmo complexo não admite derivada no conjunto
{z = reiπ : r ≥ 0}
Para facilitar a notação, definimos o disco centrado em z0 ∈ C e de raio ǫ > 0 como sendo o
subconjunto de C dado por:
def D(z0 , ǫ) = z ∈ C : |z − z0 | < ǫ .7
A análise complexa estuda essencialmente as funções complexas de variável complexa que são
diferenciáveis em alguma região aberta do seu domı́nio.
Definição: (Função Analı́tica ou Holomorfa)
Uma função diz-se analı́tica ou holomorfa em z0 se
Existe um disco centrado em z0 tal que f admite derivada em todos os pontos desse disco,
ou seja, existe ǫ > 0 tal que f admite derivada em todos os pontos de D(z0 , ǫ).
7
Ao disco D(z0 , ǫ), em C, corresponde em R2 a bola, Bǫ (z0 ), centrada em z0 e de raio ǫ.
49
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Define-se domı́nio de analiticidade ou domı́nio de holomorfia ao maior conjunto onde f é
analı́tica. Uma função cujo domı́nio de analiticidade é C diz-se inteira. Observe-se que o domı́nio
de analiticidade está sempre contido no domı́nio de diferenciabilidade.
Exemplos:
1. Para f (z) = 2z − z 2 vimos que o domı́nio de diferenciabilidade é C, pelo que o domı́nio de
analiticidade é tambem C. Esta função constitui um exemplo de função inteira.
2. Para f (z) = f (x + iy) = 2x + 3iy vimos que que o domı́nio de diferenciabilidade é o
conjunto vazio, pelo que o domı́nio de analiticidade é tambem o conjunto vazio.
3. Para f (z) = z Re z vimos que o domı́nio de diferenciabilidade é {0}, pelo que o domı́nio de
analiticidade é o conjunto vazio.
Nota: O domı́nio de analiticidade de uma função é sempre um conjunto aberto. Um conjunto
D ⊂ C é aberto se para qualquer z ∈ D existe pelo menos um disco centrado em z que está
contido em D.
1.4.6
Equações de Cauchy-Riemann
Considere-se a função complexa f (z) = u(x, y) + iv(x, y) e um ponto z0 = x0 + iy0 pertencente
ao domı́nio de f . Vamos estudar qual (ou quais) as propriedades de uma função complexa que
admite derivada num ponto.
• Condição necessária à existência de derivada
Se f admite derivada em z = x + iy então são verificadas as equações de Cauchy-Riemann
em (x, y), isto é,
se f ′ (z) existe então

∂u
∂v


(x, y) =
(x, y)

 ∂x
∂y
(1.9)



 ∂u (x, y) = − ∂v (x, y)
∂y
∂x
No caso de existir derivada em z, tem-se que
f ′ (z) =
∂u
∂v
∂v
∂u
(x, y) + i (x, y) =
(x, y) − i (x, y)
∂x
∂x
∂y
∂y
Demonstração: Sabendo, por hipótese, que existe o limite que define a derivada complexa,
f (z + w) − f (z)
,
t→0
w
f ′ (z) = lim
50
(1.10)
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
então calculando esse limite segundo as direcções do eixo real (fazendo w = t → 0) e do
eixo imaginário (fazendo w = it e t → 0), obtêm-se os limites:
v(x + t, y) − v(x, y)
u(x + t, y) − u(x, y)
f (x + iy + t) − f (x + iy)
= lim
+i
lim
t→0
t→0
t
t
t
∂v
∂u
+i
∂x
∂x
v(x, y + t) − v(x, y)
u(x, y + t) − u(x, y)
= lim
+i
t→0
it
it
=
f (x + iy + it) − f (x + iy)
t→0
it
lim
=
∂u
∂v
−i
∂y
∂y
(1.11)
Resulta assim que os dois limites em (1.11) são iguais ao limite em (1.10), ou seja,
f ′ (z) =
∂u
∂v
∂v
∂u
+i
=
−i ,
∂x
∂x
∂y
∂y
de onde resultam imediatamente as equações de Cauchy-Riemann (1.9).
É de salientar que as condições de Cauchy-Riemann não são suficientes para a existência de
derivada num ponto. Estudemos então, com mais detalhe, a questão da aplicabilidade deste
resultado.
• (Contra-Recı́proco) Se as condições de Cauchy-Riemann não se verificam em (x, y) então
f ′ (x + iy) não existe.
Exemplo:
Para a função f (z) = z + Re z tem-se que
Re f (x + iy) = u(x, y) = 2x
pelo que
,
Im f (x + iy) = v(x, y) = y
∂u
∂u
∂v
∂v
(x.y) = 2 ,
(x.y) = 0 ,
(x.y) = 1 ,
(x.y) = 0
∂x
∂y
∂x
∂y
É óbvio que as condições de Cauchy-Riemann não se verificam em qualquer (x, y) ∈ R2 .
Podemos concluir que f (z) = z + Re z não admite derivada em qualquer z ∈ C.
• Se as condições de Cauchy-Riemann se verificam em (x0 , y0 ) então nada se pode concluir
sobre a existência de f ′ (x0 + iy0 ).
Exemplos:
a) Para a função definida em C por
 3
x (1 + i) − y 3 (1 − i)



x2 + y 2
f (z) = f (x + iy) =



0
51
se z 6= 0
se z = 0
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
tem-se que
e
 3
x − y3


 2
x + y2
Re f (x + iy) = u(x, y) =



0
 3
x + y3


 2
x + y2
Im f (x + iy) = v(x, y) =



0
Então
u(h, 0) − u(0, 0)
∂u
(0, 0) = lim
=1
h→0
∂x
h
se (x, y) 6= (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)
se (x, y) 6= (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)
u(0, h) − u(0, 0)
∂u
(0, 0) = lim
= −1
h→0
∂y
h
,
e
∂v
v(h, 0) − v(0, 0)
(0, 0) = lim
=1 ,
h→0
∂x
h
v(0, h) − v(0, 0)
∂v
(0, 0) = lim
=1
h→0
∂y
h
pelo que é óbvio que se verificam as condições de Cauchy-Riemann no ponto (0, 0). Por
outro lado, e escrevendo o incremento ∆z = ρeiθ , tem-se que se existir, f ′ (0) verifica:
f ′ (0) =
f (∆z) − f (0)
∆z→0
∆z
lim
=
ρ3 cos3 θ(1 + i) − ρ3 sen3 θ(1 − i)
ρ→0
ρ3 eiθ
=
cos3 θ(1 + i) − sen3 θ(1 − i)
eiθ
lim
Dado que o resultado do cálculo do limite depende do argumento de ∆z, conclui-se que
f ′ (0) não existe.
b) Para a função f (z) = 2z − z 2 , tem-se que
Re f (x + iy) = u(x, y) = 2x − x2 + y 2
,
Im f (x + iy) = v(x, y) = 2y − 2xy
pelo que
∂u
∂v
∂v
∂u
(x.y) = 2 − 2x ,
(x.y) = 2y ,
(x.y) = −2y ,
(x.y) = 2 − 2x ,
∂x
∂y
∂x
∂y
É óbvio que as condições de Cauchy-Riemann são válidas para qualquer (x, y) ∈ R2 . Vimos
na secção anterior que a sua derivada, f ′ (z), existe para todo z ∈ C. Este é um exemplo
de uma função que verifica as condições de Cauchy-Riemann e que tem derivada complexa
(em C).
52
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
1.4.7
Teorema de Cauchy-Riemann
O seguinte Teorema fornece uma condição suficiente para a existência de derivada complexa.
Teorema de Cauchy-Riemann
Seja f : D → C uma função complexa de variável complexa, dada por f (z) = u(x, y)+iv(x, y)
num conjunto aberto D e z0 = x0 + iy0 ∈ D. Se as funções u e v são contı́nuas, têm derivadas
parciais contı́nuas numa vizinhança de (x0 , y0 ) e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann no
ponto (x0 , y0 ),
∂v
∂u
∂v
∂u
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ) ,
(x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ,
∂x
∂y
∂y
∂x
′
então a derivada f (z0 ) existe (ou seja, f é diferenciável em z0 no sentido complexo) e
f ′ (z0 ) =
∂u
∂v
∂v
∂u
(x0 , y0 ) + i (x0 .y0 ) =
(x0 , y0 ) − i (x0 , y0 )
∂x
∂x
∂y
∂y
Exemplos:
a) Para a função f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) = ey cos x − iey sen x tem-se que
∂u
∂v
∂v
∂u
(x, y) = −ey sen x ,
(x, y) = ey cos x ,
(x, y) = −ey cos x ,
(x, y) = −ey sen x
∂x
∂y
∂x
∂y
Verifica-se facilmente que:
(A) As funções u e v e as suas derivadas parciais são contı́nuas em R2 ;
(B) as condições de Cauchy-Riemann são válidas em R2 .
Por (A) e (B), o Teorema de Cauchy-Riemann permite-nos concluir que f é diferenciável em C,
e para todo z ∈ C
f ′ (x + iy) =
∂u
∂v
(x, y) + i (x, y) = −ey sen x − iey cos x
∂x
∂x
Note que f (z) = f (x + iy) = ey e−ix = e−i(x+iy) = e−iz e f ′ (z) = −if (z) = −ie−iz .
b) Para a função f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) = x3 + i(y − 1)3 tem-se que
∂u
∂v
∂v
∂u
(x, y) = 3x2 ,
(x, y) = 0 ,
(x, y) = 0 ,
(x, y) = 3(y − 1)2
∂x
∂y
∂x
∂y
(A) as funções u e v e as suas derivadas parciais são contı́nuas em R2 ;
(B) as condições de Cauchy-Riemann são válidas sse x2 = (y − 1)2 , isto é para os pontos do
plano, (x, y) pertencentes a pelo menos uma das rectas de equação x = y − 1 ou x = 1 − y.
Podemos então concluir que, dado z ∈ C:
• se z 6∈ {x + iy ∈ C : x = y − 1} ∪ {x + iy ∈ C : x = 1 − y}, por (B) não existe f ′ (z);
• se z ∈ {x + iy ∈ C : x = y − 1} ∪ {x + iy ∈ C : x = 1 − y}, por (A) e (B) existe
f ′ (z) = 3x2 (ou f ′ (z) = 3(y − 1)2 ).
Como tal o domı́nio de diferenciabilidade da função é
{x + iy ∈ C : x = 1 − y} ∪ {x + iy ∈ C : x = y − 1}
e o domı́nio de analiticidade o conjunto vazio.
53
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
1.4.8
Demonstração do Teorema de Cauchy-Riemann
Esta secção, embora numa primeira passagem seja de leitura opcional, é no entanto muito
importante para o aluno compreender a relação entre a derivada complexa e a derivação no sentido
de R2 . Vamos por isso enunciar e provar um teorema que implica a condição necessária e suficiente
anteriormente descrita mas que, além disso, clarifica a noção de derivada complexa.
Se convencionarmos representar i ∈ C pelo o ponto (0, 1) ∈ R2 e 1 ∈ C pelo ponto (1, 0) ∈ R2 ,
podemos identificar cada ponto de C com um e um só ponto de R2 por:
C ∋ α1 + iα2 = α1 (1, 0) + α2 (0, 1) = (α1 , α2 ) ∈ R2
Como tal, qualquer função complexa, f : A ⊂ C → C, com f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), pode
ser interpretada como o campo vectorial (u, v) : A ⊂ R2 → R2 .
Recordamos que a função f é diferenciável no sentido de R2 em a ∈ A (com A aberto) se e
só se existe uma transformação linear Df (a) tal que
f (z + h) − f (z) − Df (a)h
−→ 0
h
quando
h→0
(1.12)
Se f é diferenciável no sentido de R2 em a então:
a) f é contı́nua em a.
b) Existem as derivadas parciais ux =
∂u
∂u
∂v
∂v
, uy =
, vx =
e vy =
em a.
∂x
∂y
∂x
∂y
c) Df (a) é representada pela matriz jacobiana de f em a:
ux (a) uy (a)
Jf (a) =
vx (a) vy (a)
(na base canónica de R2 ).
Se existem e são contı́nuas as derivadas parciais de u e v numa vizinhança de a, então
f = (u, v) tem derivada no sentido de R2 em a.
Lema (relação entre derivada complexa e derivada no sentido de R2 ):
Seja f : A → C, onde A ⊂ C é aberto e a ∈ A. Então a derivada de f em a existe no
sentido complexo se e só se ela existe no sentido de R2 e é representada por um produto
complexo; mais concretamente, dado α ∈ C, são equivalentes as seguintes propriedades
de α:
(i) A derivada complexa, f ′ (a) existe e é igual a α:
f (a + h) − f (a)
=α
h→0
h
lim
(1.13)
(ii) f tem derivada no sentido de R2 em a dada por Df (a)h = αh, para qualquer h, onde
αh designa o produto complexo de α por h.
54
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
Demonstração: De facto, (1.13) é válida se e só se
f (z + h) − f (z) − αh
−→ 0
h
quando h → 0,
o que, atendendo a (1.12), é equivalente a (ii).
Teorema de Cauchy-Riemann-Goursat
Seja f : A → C, onde A ⊂ C é aberto e a = a1 + ia2 ∈ A. São equivalentes as seguintes
proposições:
(a) f tem derivada (complexa) em a, f ′ (a) ∈ C.
(b) f é diferenciável em a no sentido de R2 e existe f ′ (a) ∈ C tal que Df (a)h = f ′ (a)h,
para qualquer h ∈ R2 .
(c) f é diferenciável em a (no sentido de R2 ) e f verifica as equações de Cauchy-Riemann,
∂v
∂u
∂v
∂u
∂x = ∂y e ∂y = − ∂x , em (a1 , a2 ).
Se f tem derivada complexa em a, então
f ′ (a) =
∂u
∂v
∂v
∂u
(a1 , a2 ) + i (a1 , a2 ) =
(a1 , a2 ) − i (a1 , a2 )
∂x
∂x
∂y
∂y
Demonstração:
Prova de que (a) ⇔ (b):
f tem derivada complexa em a, f ′ (a), se e só se:
f (z + h) − f (z)
−→ f ′ (a)
h
quando h → 0
Pelo Lema isto é equivalente a dizer que f tem derivada no sentido de R2 em a dada
por Df (a)h = f ′ (a)h, para qualquer h.
Prova de que (b) ⇔ (c):
Seja h = h1 + ih2 ∈ C, que identificamos com (h1 , h2 ) ∈ R2 . Vamos provar que a
equação
Df (a)h = f ′ (a)h
para qualquer h ∈ R2
é equivalente às equações de Cauchy-Riemann em (a1 , a2 ).
Seja α = α1 + iα2 tal que, para qualquer h = h1 + ih2 ,
Df (a)h = αh
(onde αh representa um produto complexo). A equação anterior é equivalente a
ux uy
vx vy
h1
h2
= (α1 + iα2 ) (h1 + ih2 ) =
55
α1 h1 − α2 h2
α2 h1 + α1 h2
⇔
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA

 ux h1 + uy h2 = α1 h1 − α2 h2

vx h1 + vy h2
= α2 h1 + α1 h2
para qualquer h (com as derivadas parciais calculadas no ponto a). As identidades
anterior são ambas verdadeiras para qualquer h se e só se:

ux



uy
v


 x
vy
=
=
=
=
α1
−α2
α2
α1
(1.14)
Isto prova que existe α ∈ C tal que Df (a)h = αh para todo o h ∈ C se e só se
ux = vy e uy = −vx no ponto a. Assim sendo, e usando de novo o Lema, (b) é
equivalente a (c).
Se f ′ (a) existir, então pela equivalência de (a) e (c) e pelas equações (1.14):
f ′ (a) = α = α1 + iα2 = ux (a) + ivx (a) = vy (a) − iuy (a).
A demonstração do teorema de Cauchy-Riemann é consequência imediata do teorema de
Cauchy-Riemann-Goursat.
Matriz Jacobiana de uma Função com Derivada Complexa
Vimos acima que se f : A → C, com A ⊂ C aberto, tem derivada complexa em a = a1 +ia2 ∈
A então satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em (a1 , a2 ) e é diferenciável no sentido de R2 .
Assim, a matriz jacobiana de f é da forma:
Jf (a) =
α −β
β α
onde α = ux (a) = vy (a), β = uy (a) = −vx (a) e f ′ (a) = ux + ivx = α + iβ. Escrevendo f ′ (a)
na forma polar,
f ′ (a) = r cos θ + ir sen θ,
onde r = |f ′ (a)| e θ = arg f ′ (a), obtém-se:
Jf (a) =
r cos θ −r sen θ
r sen θ r cos θ
=r
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
Conclui-se que Jf (a) tem a forma de uma matriz de rotação multiplicada pelo escalar r = |f ′ (a)|,
sendo que o ângulo de rotação é, precisamente, o argumento de f ′ (a).
56
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
1.4.9
Propriedades das Funções Analı́ticas
O Teorema de Cauchy-Riemann permite demonstrar que, para as funções analı́ticas são válidas as
regras de derivação já conhecidas do cálculo de funções reais de variável real. Mais concretamente:
Soma, produto e quociente
Se f e g são analı́ticas num conjunto D ⊂ C, então:
• f ± g é analı́tica em D e (f ± g)′ = f ′ ± g′ ;
• f g é analı́tica em D e (f g)′ = f ′ g + f g ′ ;
• f /g é analı́tica em D \ {z : g(z) = 0} e (f /g)′ =
f ′ g − f g′
.
g2
Função composta
Se g é analı́tica num conjunto D ⊂ C e f é analı́tica no contradomı́nio de g, g(D), então
• f ◦ g é analı́tica em D e (f ◦ g)′ (z) = f ′ (g(z)) g ′ (z), para qualquer z ∈ D.
Função Inversa
Seja f uma função analı́tica e injectiva em D tal que f ′ (z) 6= 0 para qualquer z ∈ D, f −1 é
contı́nua em f (D) e f (D) é aberto. Então:
• f −1 é analı́tica em f (D) e (f −1 )′ (b) =
1
f ′ (a)
, onde b = f (a).
Demonstração: Sendo b ∈ f (D), considere-se a ∈ D tal que b = f (a). Se z ∈ D e
w = f (z) ∈ f (D), então z = f −1 (w) e:
z−a
f −1 (w) − f −1 (b)
=
w−b
f (z) − f (a)
Como f ′ (z0 ) 6= 0, então o limite seguinte existe e, pela mudança de variável definida pela função
contı́nua z = f −1 (w):
f −1 (w) − f −1 (b)
1
z−a
= lim
= ′
z→a f (z) − f (a)
w→b
w−b
f (a)
lim
(1.15)
Como f (D) é aberto e f −1 tem derivada complexa em f (D) então f −1 é analı́tica e a sua derivada
em f (D) é dada por (1.15).
Estudo da Analiticidade das Funções Elementares
1. A função f (z) = z = x + iy admite derivada em todo z ∈ C, dado que u =Re f (z) = x e
v =Im f (z) = y:
(A) têm derivadas parciais contı́nuas em R2 ;
(B) verificam as condições de Cauchy-Riemann em R2 .
Assim f (z) = z é inteira e para todo z ∈ C
f ′ (z) = f ′ (x + iy) =
57
∂u
∂v
(x, y) + i (x, y) = 1
∂x
∂x
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
2. Para cada n ∈ N, a função f (z) = z n é inteira, dado que é o produto (iterado) de funções
inteiras. Para todo z ∈ C, a derivada é dada por:
(z n )′ = nz n−1
Provemos esta fórmula por indução. O caso n = 1 é o exemplo 1. Admitindo agora que
para certo n ∈ N, (z n )′ = nz n−1 então, usando a regra da derivada do produto e a hipótese
de indução:
(z n+1 )′ = (z n · z)′ = nz n−1 · z + z n · 1 = nz n + z n = (n + 1)z n
3. A função polinomial é inteira dado que é a soma de funções inteiras.
4. A função racional P (z)/Q(z) é analı́tica em C \ {z : Q(z) = 0} dado que é o quociente
de funções inteiras.
5. A função exponencial f (z) = ez admite derivada em todo z ∈ C, dado que u(x, y) =Re f (z) =
ex cos(y) e v(x, y) =Im f (z) = ex sen(y):
(A) têm derivadas parciais contı́nuas em R2 ;
(B) verificam as condições de Cauchy-Riemann em R2 .
Assim f (z) = ez é inteira e para todo z ∈ C
(ez )′ =
∂v
∂u
(x, y) + i (x, y) = ex cos y + iex sen y = ez
∂x
∂x
6. As funções sen z, cos z são inteiras (construidas a partir da composição, soma, diferença e
produto de funções inteiras), tendo-se
′ eiz + eiz ′
′ eiz − eiz ′
= cos z e
cos z =
= − sen z
sen z =
2i
2
As funções tg z e cotg z, por serem o quociente de funções inteiras, são analı́ticas, respectivamente, em
o
n
2k + 1
π : k∈Z
, Dcotg = C \ {z = kπ : k ∈ Z}
Dtg = C \ z =
2
tendo-se, nos seus domı́nios
′ sen z ′
′ cos z ′
1
1
tg z =
=
=−
e
cotg
z
=
cos z
cos2 z
sen z
sen2 z
7. As funções ch z e sh z são inteiras (somas de funções inteiras), tendo-se
′ ez + ez ′
′ ez − ez ′
= ch z e
ch z =
= sh z
sh z =
2
2
As funções tgh z e cotgh z, por serem o quociente de funções inteiras, são analı́ticas, respectivamente, em
n
o
2k + 1
Dtgh = C \ z =
πi : k ∈ Z
, Dcotgh = C \ {z = kπi : k ∈ Z}
2
tendo-se nos seus domı́nios
′ ch z ′
′ sh z ′
1
1
= 2
e
cotgh z =
=− 2
tgh z =
ch z
sh z
ch z
sh z
58
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
8. Considere-se a função valor principal do logaritmo:
log z = log |z| + i arg z,
onde
arg z ∈ ] − π, π[
Trata-se da inversa da restrição função exponencial, f (z) = ez definida na faixa (aberta)
do plano complexo:
D = x + iy : x ∈ R e − π < y < π
Note que f é analı́tica e bijectiva em D, f ′ (z) = ez 6= 0. Além disso, f (D) = C \ K,
onde K = {z ∈ C : arg z = π} é o corte do valor principal do logaritmo (o semi-eixo real
negativo) e f −1 é contı́nua em f (D). Pelo teorema da analiticidade da função inversa, o
valor principal de log z é uma função analı́tica no conjunto aberto C \ K e, para qualquer
b = f (a) = ea ∈ C \ K:
1
1
(1.16)
(log b)′ = a ′ =
(e )
b
Da mesma forma se pode obter que o ramo α do logaritmo é uma função analı́tica em
C \ K, onde K = {z ∈ C : arg z = α} é o respectivo corte, e que (1.16) é válida para
qualquer z ∈ C \ K.
1.4.10
Condições de Cauchy-Riemann em Coordenadas Polares
Esta secção é de leitura opcional. Pode aqui encontrar uma forma alternativa de estudar a
analiticidade do logaritmo complexo.
Como já vimos, qualquer z ∈ C pode ser escrito ou na forma z = x + iy ou na forma polar
z = reiθ , sendo x = r cos θ e y = r sen θ. Assim, também uma função complexa pode ser
caracterizada por
f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
ou f (z) = f (reiθ ) = U (r, θ) + iV (r, θ)
Assim, utilizando a regra da derivação da função composta, as fórmulas acima escritas e as
condições de Cauchy-Riemann já deduzidas obtém-se, por um lado,
∂u ∂x ∂u ∂y
∂u
∂u
∂U
=
+
=
cos θ +
sen θ
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r
∂x
∂y
e, por outro lado,
∂V
∂v ∂x ∂v ∂y
∂v
∂v
∂u
∂u
=
+
= −r
sen θ + r
cos θ = r
sen θ + r
cos θ
∂θ
∂x ∂θ
∂y ∂θ
∂x
∂y
∂y
∂x
Conclui-se que, se r 6= 0
1 ∂V
∂U
=
∂r
r ∂θ
De igual modo
∂U
∂u ∂x ∂u ∂y
∂u
∂u
=
+
= −r
sen θ + r
cos θ
∂θ
∂x ∂θ
∂y ∂θ
∂x
∂y
e
∂v ∂x ∂v ∂y
∂v
∂v
∂u
∂u
∂V
=
+
=
cos θ +
sen θ = −
cos θ +
sen θ
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r
∂x
∂y
∂y
∂x
59
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
concluindo-se que, se r 6= 0
∂V
∂U
= −r
∂θ
∂r
Condição suficiente para a existência de derivada
Se as derivadas parciais de u(r, θ) e v(r, θ) são contı́nuas em (r0 , θ0 ) (com r0 6= 0) e se
verificam as condições de Cauchy-Riemann em coordenadas polares

1 ∂v
∂u



 ∂r = r ∂θ



 ∂u = −r ∂v
∂θ
∂r
no ponto (r0 , θ0 ), então f admite derivada em z0 = r0 eiθ0 .
Como exemplo de aplicação, procedemos ao estudo da analiticidade do valor principal do
logaritmo utilizando a forma polar das equações de Cauchy-Riemann e a regra da derivada da
função inversa.
Considere-se o valor principal de log z:
log z = log(reiθ ) = log r + iθ
,
θ ∈] − π, π]
Vimos que esta função não é contı́nua na semi-recta
{z = xeiπ , x ∈ R+
0}
pelo que neste conjunto não existirá derivada. Para estudar a analiticidade no restante domı́nio,
considere-se
Re log z = u(r, θ) = log r , Im log z = v(r, θ) = θ
Assim
∂u
1
=
∂r
r
,
∂u
=0 ,
∂θ
∂v
=0 ,
∂r
∂v
=1
∂θ
verificam
(A) são contı́nuas em todo r > 0 e θ ∈] − π, π[;
(B) verificam as condições de Cauchy-Riemann no mesmo conjunto.
Conclui-se que o valor principal do log z é analı́tica em C \ {z = xeiπ , x ∈ R+
0 }. Para z
no domı́nio de analiticidade, utilizando a regra da derivação da função inversa e considerando
w = ez ⇔ z = log w:
′
1
1
1
log w = z ′ = z =
(e )
e
w
De modo análogo se mostra que, para cada α ∈ R, o ramo α do logaritmo,
log z = log |z| + iarg z ,
arg z ∈]α, α + 2π],
é uma função analı́tica em
C \ {z = xeiα , x ∈ R+
0 },
sendo, neste conjunto, válida a mesma regra de derivação.
60
1.4. FUNÇÕES COMPLEXAS DE VARIÁVEL COMPLEXA
1.4.11
Noções Básicas da Topologia em C
O conjunto dos complexos C é topologicamente equivalente a R2 , isto é, as definições e propriedades topológicas de C funcionam de forma idêntica às já introduzidas no estudo de R2 . Assim,
dado D ⊂ C, e z ∈ C diz-se que z é um:
• ponto interior de D se existe ǫ > 0 tal que D(z, ǫ) ⊂ D (note que D(z, ǫ) = Bǫ (z));
• ponto exterior se for um ponto interior do complementar de D, C \ D.
• ponto fronteiro se não for nem interior nem exterior, ou seja, se para qualquer ǫ > 0, o disco
D(z, ǫ) intersecta tanto D como o complementar de D. O conjunto de todos os pontos
fronteiros de D designa-se por fronteira de D e representa-se por ∂D;
• ponto aderente se for interior ou fronteiro. O conjunto de todos os pontos aderentes de D
denomina-se por aderência de D e representa-se por D̄. Note que D̄ = D ∪ ∂D.
Diz-se que D é
• aberto se todos os pontos de D são pontos interiores, isto é:
∀z ∈ D ∃ǫ > 0 : D(z, ǫ) ⊂ D.
• fechado se o conjunto C \ D for aberto ou, equivalentemente, se todos os pontos aderentes
a D estão em D, isto é D̄ = D.
• conexo se não existirem subconjuntos não vazios de D, A e B, que verifiquem
– A ∪ B = D;
– Ā ∩ B = ∅ e A ∩ B̄ = ∅.
8
• Um conjunto aberto é conexo se e só se não pode ser escrito como a união de dois conjuntos
abertos e disjuntos.
• simplesmente conexo se for conexo e qualquer curva de fechada for homotópica a um ponto,
isto é, qualquer curva fechada em D pode ser deformada continuamente num ponto sem
sair do conjunto. 9
• multiplamente conexo se for conexo e não for simplesmente conexo.
8
Dois conjuntos não vazios tais que cada um deles é disjunto da aderência do outro, dizem-se separados. Então
D é conexo se e só se não pode ser escrito como a união de dois conjuntos separados.
9
Intuitivamente, um conjunto D é simplesmente conexo se for um “conjunto conexo sem buracos”; “D não
tem buracos” descreve-se rigorosamente pela proposição: para qualquer z : [0, 1] → D contı́nua, com z(0) = z(1)
existe z0 ∈ D e uma função contı́nua H : [0, 1] × [0, 1] → D tal que H(0, t) = z(t) ∀t ∈ [0, 1] e H(1, t) = z0 ,
∀t ∈ [0, 1]. A função H diz-se uma homotopia (de z(t) em z0 ) e deforma continuamente, sem sair de D, a curva
parametrizada por z(t) no ponto z0 .
61
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
1.4.12
Funções harmónicas em R2
Seja U ⊂ R2 aberto, e u : U → R. A função u diz-se harmónica em U sse u ∈ C 2 (U ) e para todo
(x, y) ∈ U
2
∂2u
def ∂ u
+
=0
∆u =
∂x2
∂y 2
∆ designa o operador laplaciano (por vezes também representado por ∇2 ).
Relação entre funções harmónicas (em R2 ) e funções analı́ticas (em C)
• Se f : U ⊂ C → C é analı́tica em U e f = u + iv então u e v são funções harmónicas em
U ⊂ R2 . Nestas condições, u e v denominam-se harmónicas conjugadas.
Observa-se que as partes real e imaginária de uma função analı́tica verificam a equação de
Laplace. Esta ligação entre funções analı́ticas e a equação de Laplace reforça a importância
das funções de variável complexa e abre caminho para numerosas aplicações da matemática.
• Reciprocamente, seja u : U ⊂ R2 → R uma função harmónica e U ⊂ C um conjunto aberto
e simplesmente conexo. Então é sempre possı́vel determinar (a menos de uma constante) a
sua harmónica conjugada v : U → R através das equações de Cauchy-Riemann.
Exemplo:
Considere a função u : R2 → R definida por:
u(x, y) = y(x − 3) .
Vamos começar por mostrar que u é uma função harmónica em R2 . Por ser uma função polinomial,
u ∈ C 2 (R2 ). Por outro lado,
∂u
=y
∂x
,
∂u
=x−3
∂y
,
∂2u
∂2u
=
=0
∂x2
∂y 2
⇒
∂2u ∂2u
+ 2 = 0,
∂x2
∂y
concluindo-se o pretendido e, consequentemente, que u é a parte real (ou imaginária) de uma
função inteira f . Para determinar f = u + iv recorde-se que se f é inteira então as condições de
Cauchy-Riemann são verificadas em todos os pontos (x, y) ∈ R2 . Assim
Z
∂v
y2
∂u
=
⇒ v(x, y) = y dy + c(x) =
+ c(x)
∂x
∂y
2
e
∂v
x2
∂u
=−
⇒ x − 3 = −c′ (x) ⇒ c(x) = − + 3x + c
∂y
∂x
2
Então v(x, y) =
Note que:
y2
2
−
x2
2
+ 3x + c, c ∈ R e
y 2 x2
−
+ 3x + c ,
f (z) = f (x + iy) = y(x − 3) + i
2
2
f (z) = −
c∈R
i 2
i
x + 2x(iy) + (iy)2 + 3i(x + iy) + ic = − z 2 − 3iz + ic.
2
2
62
1.5. INTEGRAÇÃO EM C
1.5
1.5.1
Integração em C
Curvas em C
Sendo z(t) uma função complexa contı́nua de domı́nio [a, b] ⊂ R, define-se caminho ou curva
orientada em C como sendo o conjunto de pontos
n
o
γ = z(t) = x(t) + iy(t) : t ∈ [a, b] ,
que se convenciona percorrido no sentido especificado por z(t). Os pontos z(a) e z(b) denominamse respectivamente o ponto inicial e o ponto final do caminho. A aplicação z(t) diz-se uma
parametrização de γ. 10
Exemplos:
1. Parametrização de um segmento de recta
O segmento de recta que une z0 a z1 pode ser parametrizado por:
z(t) = z0 + t(z1 − z0 ) = tz1 + (1 − t)z0
onde 0 ≤ t ≤ 1
2. Parametrização da circunferência centrada na origem de raio 1
Esta circunferência, se percorrida no sentido directo, pode simplesmente ser parametrizada
por:
z(t) = cos t + i sen t = eit
,
t ∈ [0, 2π]
De facto, é óbvio que x2 (t) + y 2 (t) = cos2 t + sen2 t = 1.
3. Parametrização de uma circunferência genérica
Os pontos, z, de uma circunferência centrada em z0 ∈ C de raio r > 0 verificam |z−z0 | = r.
Assim sendo, z − z0 = reiθ , onde θ é o argumento de z − z0 . Desta forma, podemos tomar:
z(t) = z0 + reit ,
onde 0 ≤ t ≤ 2π,
(se a circunferência for percorrida uma vez no sentido directo), e
z(t) = z0 + re−it ,
onde 0 ≤ t ≤ 2π,
(se a circunferência for percorrida uma vez no sentido inverso).
4. A função z(t) = x(t) + iy(t) definida por
x(t) = t
y(t) = t2
,
t ∈ [−1, 2]
é uma parametrização da porção da parábola y = x2 unindo o ponto z(−1) = −1 + i ao
ponto z(2) = 2 + 4i.
10
Um caminho é pois uma curva à qual se acrescenta uma orientação. Neste sentido, quando nos referirmos a
uma curva percorrida de uma certa forma, estamos a caracterizar um caminho.
63
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
O caminho γ (e a respectiva curva) diz-se
• regular se z(t) é continuamente diferenciável, isto é, se x′ (t) e y ′ (t) existem e são contı́nuas
em ]a, b[). Nesse caso tem-se que
z ′ (t) = x′ (t) + iy ′ (t)
Se z ′ (t) 6= 0 então z ′ (t) designa-se por vector tangente à curva no ponto z(t).
Todas as curvas dos exemplos acima descritos são regulares, sendo que:
1. se z(t) = z0 +t(z1 −z0 ) = tz1 +(1−t)z0 tem-se que z ′ (t) = z1 −z0 (que é constante);
2. se z(t) = eit tem-se que z ′ (t) = ieit ;
4. se z(t) = t + it2 tem-se que z ′ (t) = 1 + 2it.
Em todos os exemplos, existe vector tangente em qualquer dos pontos da curva.
• seccionalmente regular se z(t) é regular para t ∈]a, b[\{t1 , ..., tk };
Exemplo: a curva γ parametrizada por
t + it2 se −1 ≤ t ≤ 2
z(t) =
t + 4i se 2 ≤ t ≤ 3
é seccionalmente regular. É fácil de observar que γ é a união da porção da parábola y = x2
unindo −1 + i a 2 + 4i com o segmento de recta horizontal Imz = 4 unindo 2 + 4i a 3 + 4i.
Ambas as curvas são regulares. No entanto a curva γ não é regular visto não existir z ′ (2).
• simples se z(t) é injectiva em ]a, b] e em [a, b[, isto é, se t1 6= t2 então z(t1 ) 6= z(t2 ) ou
(t1 = a e t2 = b). 11 .
• fechada se z(a) = z(b);
• curva de Jordan se for simples e fechada.
Teorema da Curva de Jordan:
Qualquer curva de Jordan, γ, divide C em duas regiões disjuntas, ambas com fronteira γ, uma
das quais, denotada por interior de γ, int γ, é limitada e a outra, denotada por exterior de γ,
ext γ, é não limitada.
1.5.2
Integral complexo
Se γ ⊂ C é um caminho seccionalmente regular, parametrizado por z : [a, b] → C, e f uma
função complexa contı́nua em γ, define-se
Z
γ
11
f (z) dz =
Z
b
f (z(t))z ′ (t) dt
a
Ou seja, um caminho simples apenas se pode autointersectar nos extremos.
64
(1.17)
1.5. INTEGRAÇÃO EM C
Note-se que o integral do 2o membro da igualdade (1.17) pode ser interpretado como o integral
da função vectorial, F : [a, b] → C dada por F (t) = f (z(t))z ′ (t) para t ∈ [a, b], e que é obtido à
custa do integral de Riemann das funções reais de variável real por:
Z
b
def
F (t) dt =
Z
b
Re F (t) dt + i
a
a
Z
b
Im F (t) dt
(1.18)
a
Exemplo:
R
Pretende-se determinar γ ez̄ dz em que γ é o segmento de recta que une −i a 1 + i. Uma
possı́vel parametrização de γ é
z(t) = −i + t (1 + i) − (−i) = t + i(2t − 1) , t ∈ [0, 1]
Assim
Z
γ
ez̄ dz =
Z
0
1
′
et+i(2t−1) t + i(2t − 1) dt =
Z
1
et+i(1−2t) (1 + 2i)dt =
0
−3 + 4i 1−i
(e − ei )
5
As propriedades elementares do integral de Riemann (por exemplo, a linearidade) verificam-se
para o integral (1.18). Torna-se, no entanto, necessário provar propriedades envolvendo desigualdades. Em particular, queremos verificar que
Z
b
a
F (t) dt ≤
Z
b
|F (t)| dt
a
(esta desigualdade será necessária para majorar integrais complexos). Para tal, escreva-se
I=
Z
b
F (t) dt = reiθ ,
a
com r = |I| e θ = arg I. Então:
Z b
e−iθ F (t) dt
|I| = r = e−iθ I =
a
Z b
Z b
−iθ
Im e−iθ F (t) dt
Re e F (t) dt + i
=
a
|a
{z
}
Z
≤
b
e−iθ F (t) dt =
a
Z
= 0 pois |I|∈R
b
|F (t)|dt
a
Invariância por reparametrização. Seja γ um caminho simples, e f contı́nua em γ. Se z(s),
com s ∈ [a, b], e w(t), com t ∈ [α, β] são duas parametrizações distintas de γ, então
Z
b
′
f (z(s))z (s) ds =
a
65
Z
β
α
f (w(t))w′ (t) dt
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Demonstração:
Consideremos primeiro o caso de uma curva aberta. Dado que a curva é aberta e simples,
z(s) e w(t) são injectivas em, respectivamente, [a, b] e [α, β]. Então ϕ : [α, β] → [a, b], que pode
ser definida por
w(t) = z(ϕ(t)) ∀t ∈ [α, β]
⇔
w =z◦ϕ
ϕ = z −1 ◦ w
⇔
é injectiva em [α, β]. Em consequência:
Z
β
α
f w(t) w′ (t) dt =
Z
β
α
f z(ϕ(t)) z ′ ϕ(t) ϕ′ (t) dt =
Z
b
a
f z(s) z ′ (s) ds
A última igualdade decorre da substituição de variável s = ϕ(t).
O caso de uma curva fechada prova-se agora facilmente, escrevendo-a como a união de duas
curvas abertas.
.
Vemos assim que o integral está bem definido no caso de o caminho ser simples, pois o seu
valor é independente da parametrização utilizada. A partir da definição, mostram-se facilmente
as seguintes propriedades:
Propriedades do integral
• (Linearidade) Se f e g são funções contı́nuas em γ, e α, β constantes complexas, então
Z
Z
Z
α f (z) + β g(z) dz = α f (z) dz + β g(z) dz
γ
γ
γ
• (Aditividade) Se γ é a concatenação de duas curvas regulares, γ = γ1 + γ2 , então
Z
Z
Z
f (z) dz
f (z) dz +
f (z) dz =
γ2
γ1
γ
Note que se o extremo final de γ1 coincide com o extremo inicial de γ2 , a concatenação
dos caminhos γ1 com γ2 , γ1 + γ2 , consiste na união das curvas, percorrendo primeiro γ1 e
depois γ2 .
• (Simetria) Se denotarmos por −γ o caminho γ percorrido em sentido inverso ao de γ,
então
Z
Z
f (z) dz = − f (z) dz
γ
−γ
• (Majoração do Integral) Se f é contı́nua no caminho regular γ, e z(t), com t ∈ [a, b] é
uma parametrização de γ, então
Z
γ
f (z) dz ≤
Z
def
γ
|f (z)| |dz| =
Z
b
a
|f (z(t))||z ′ (t)|dt ≤ M L(γ)
onde M ≥ 0 é um majorante de |f (z)| em γ. Note que o comprimento da curva γ é dado
por:
Z b
Z
|z ′ (t)|dt
L(γ) = |dz| =
a
γ
66
1.5. INTEGRAÇÃO EM C
Exemplos:
1. Considere-se a função f (z) = f (x + iy) = x2 + iy 2 , e a curva γ que une 0 a 2 + i através
do segmento de recta unindo 0 a 1 + i — que designamos por γ1 — e do segmento de
recta unindo 1 + i a 2 + i — que designamos por γ2 . Desta forma, γ = γ1 + γ2 ; usando a
aditividade do integral:
Z
Z
Z
f (z) dz.
f (z) dz +
f (z) dz =
γ2
γ1
γ
Uma parametrização possı́vel para γ1 é
z1 (t) = (1 + i)t
pelo que
Z
Z
f (z) dz =
γ1
1
t ∈ [0, 1]
,
′
f (1 + i)t (1 + i)t dt = (1 + i)
0
Z
1
(t2 + it2 )dt =
0
2i
(1 + i)2
=
3
3
Por outro lado, uma parametrização possı́vel para γ2 é
z2 (t) = t + i
pelo que
Z
f (z) dz. =
γ2
Concluimos que
Z
2
1
Z
f (z) dz =
γ
t ∈ [1, 2]
,
′
f (t + i) t + i dt =
Z
f (z) dz +
Z
Z
2
(t2 + i)dt =
1
f (z) dz. =
γ2
γ1
7
+i
3
7 5i
+
3
3
2. Vamos obter uma estimativa do valor do integral
Z
ez
dz
2
γ z +1
onde γ é a circunferência |z| = 2 percorrida uma vez em sentido directo. Pela propriedade
da majoração do integral temos que
Z
Z
Z
ez
ez
dz ≤
|dz| ≤ M |dz|
2
2
γ z +1
γ
γ z +1
em que M é um majorante do módulo da função
z = x + iy, tem-se que
|ez | = |ex+iy | = ex ≤ e2
ez
z 2 +1
em γ. Para o determinar, e escrevendo
pois na curva
x ≤ |z| = 2
e, como consequência da desigualdade triangular,
|z 2 + 1| ≥ |z|2 − 1 = |4 − 1| = 3
67
se
|z| = 2
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Então, para z ∈ γ
e2
ez
|ez |
≤
≤
z2 + 1
|z 2 + 1|
3
e assim
Z
γ
tendo em conta que
1.5.3
R
γ
ez
e2
≤
dz
z2 + 1
3
Z
γ
|dz| =
4πe2
3
|dz| é igual ao comprimento de γ, ou seja, 4π.
Teorema de Cauchy e suas consequências
Teorema Fundamental do Cálculo (para funções primitiváveis)
Sendo D ⊂ C aberto, se F : D → C é analı́tica em D com derivada, F ′ , contı́nua em D, e
se γ é uma curva simples e seccionalmente regular contida em D que une z1 a z2 , então
Z
F ′ (z) dz = F (z2 ) − F (z1 ).
γ
Neste caso, fazendo f = F ′ , diz-se que F é uma primitiva de f . Resulta então que, se uma
função contı́nua, f , tem primitiva, F , em D:
Z
f (z) dz = F (z2 ) − F (z1 ).
γ1
Dem.: Sendo z = x + iy e F (z) = u(x, y) + iv(x, y):
Z Z
∂u
∂v ′
F (z)dz =
dx + idy
+i
∂x
γ ∂x
γ
Z
Z
∂v
∂u
∂v
∂u
dx −
dy + i
dx +
dy
=
∂x
∂x
γ ∂x
γ ∂x
Dado que F é analı́tica em D, pelas condições de Cauchy-Riemann podemos escrever
Z
Z
Z
∂v
∂u
∂v
∂u
′
dx +
dy + i
dx +
dy
F (z)dz =
∂y
∂y
γ ∂x
γ ∂x
γ
Z Z ∂u ∂u ∂v ∂v =
· dx, dy + i
· dx, dy
,
,
γ ∂x ∂y
γ ∂x ∂y
Z
Z
∇u · dr + i ∇v · dr
=
γ
γ
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos, conclui-se que
Z
F ′ (z)dz = u(z2 ) − u(z1 ) + i v(z2 ) − v(z1 ) = F (z2 ) − F (z1 )
γ
obtendo-se, tal como no caso das funções reais, uma relação entre primitiva e integral de uma
função complexa.
68
1.5. INTEGRAÇÃO EM C
Nesta forma, o teorema aplica-se a qualquer função primitivável sendo, em particular, válido
para funções polinomiais. Se f for uma função primitivável e γ uma curva de Jordan seccionalmente regular, resulta também que
I
f (z) dz = 0.
γ
A generalização deste resultado a qualquer função analı́tica é feita através do seguinte teorema.
Teorema de Cauchy
Se γ é uma curva de Jordan seccionalmente regular e f é analı́tica num aberto simplesmente
conexo contendo γ, então
I
f (z) dz = 0.
γ
“Dem.:” (com uma condição adicional)
Vamos assumir que as parte real e imaginária de uma função analı́tica têm derivada contı́nua
no sentido de R2 12 . Assim, sendo f = u + iv analı́tica em D, u e v são funções continuamente
diferenciáveis em D. Tem-se então que
I I
u(x, y) + iv(x, y) dx + idy
f (z) dz =
γ
γ
I
I
u(x, y) dx − v(x, y) dy + i v(x, y) dx + u(x, y) dy
=
γ
γ
Atendendo às condições do Teorema (γ uma curva de Jordan definida num aberto simplesmente
conexo D) e à condição adicional (u e v continuamente diferenciáveis em D) podemos aplicar o
Teorema de Green13 aos dois integrais de linha da expressão anterior, obtendo-se
ZZ I
ZZ ∂(−v) ∂u ∂u ∂v f (z) dz =
dx dy + i
dx dy
−
−
∂x
∂y
∂x ∂y
γ
intγ
intγ
Visto a região int γ ⊂ D (porque D é simplesmente conexo) e f é analı́tica em D, verificam-se
as condições de Cauchy-Riemann na região int γ e, como tal,
I
f (z) dz = 0.
γ
Exemplos:
12
A conclusão do teorema de Cauchy pode ser obtida sem recurso a esta hipótese adicional. A demonstração
completa do teorema — devida a Goursat — é, contudo, bem mais elaborada do que esta, que apresentamos.
13
Teorema de Green: Sendo γ uma curva de Jordan contida em D ⊂ R2 aberto e simplesmente conexo, e
sendo P e Q duas funções reais de classe C 1 em D, então:
I
ZZ ∂P ∂Q
dx dy
−
P dx + Qdy =
∂x
∂y
γ
intγ
69
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
1. Considere-se a função complexa f (z) = sh(cos2 z). Dado que f é uma função inteira, o
Teorema de Cauchy permite concluir que
I
sh(cos2 z) dz = 0
γ
para qualquer curva de Jordan em C.
1
. Por ser o quociente
2. Dados z0 e z1 ∈ C fixos, considere-se a função complexa f (z) = z−z
0
de funções inteiras, f é analı́tica em C \ {z0 }. Assim, sendo γ a circunferência de centro em
z1 e de raio R < |z1 − z0 | (por forma a que z0 não pertença ao interior da circunferência),
conseguimos determinar um conjunto D aberto e simplesmente conexo que contém a curva
e ao qual z0 não pertence (por exemplo D = {z : |z − z1 | < R + ǫ} com ǫ tão pequeno
quanto seja necessário). Pelo Teorema de Cauchy
I
1
dz = 0
γ z − z0
Considerando agora z1 = z0 e R > 0 arbitrário, é óbvio que não se consegue determinar
D nas condições do teorema visto que, para f ser analı́tica em D, z0 não poderá pertencer
a D. Mas, para que D seja simplesmente conexo, z0 ∈ int γ ⊂ D. Assim o Teorema
de Cauchy não é aplicável. Para calcular o integral, e assumindo que a curva está a ser
percorrida em sentido directo, considere-se a parametrização de γ, z(t) = z0 + Reit , com
t ∈ [0, 2π]. Então
Z 2π
Z 2π
I
1
1
iReit
it ′
dz =
z
+
Re
dt
=
dt = 2πi
0
z0 + Reit − z0
Reit
γ z − z0
0
0
Por outro lado, se γ é percorrida em sentido inverso:
I
I
1
1
dz = −
dz = −2πi
γ − z − z0
γ z − z0
3. A função f (z) = z1 é uma primitiva do valor principal do logaritmo no conjunto D = {z :
Re z > 0}. Dado que (log z)′ = 1z , qualquer que seja C ∈ D, log z + C é a expressão geral
das primitivas de 1z em D.
Consequências do Teorema de Cauchy
• Independência do caminho de integração
Se f é analı́tica num aberto simplesmente conexo, D ⊂ C, z1 , z2 ∈ D e γ1 , γ2 duas curvas
seccionalmente regulares em D unindo z1 a z2 . Então
Z
Z
f (z) dz
f (z) dz =
γ2
γ1
Como consequência, no caso de f ser analı́tica podemos definir
Z z2
Z
f (z) dz = f (z) dz
γ
z1
em que γ é qualquer curva regular unindo z1 a z2 definida em D.
70
1.5. INTEGRAÇÃO EM C
• Primitivação de funções complexas de variável complexa
Dada uma função complexa f definida e contı́nua num aberto D ⊂ C, diz-se que F é uma
primitiva de f em D se F ′ (z) = f (z), para todo z ∈ D. Como vimos, as regras de derivação
das funções analı́ticas são similares às das funções reais de classe C 1 . Assim sendo, as regras
de primitivação das funções analı́ticas são também similares às usadas no caso real.
Exemplo:
1. A função F (z) = − cos z é uma primitiva de f (z) = sen z, visto que (− cos z)′ = sen z.
Dado que (− cos z + C)′ = sen z, qualquer que seja C ∈ C, − cos z + C é a expressão geral
das primitivas de sen z.
2. Se f e g são funções analı́ticas, vimos que o seu produto é tambem uma função analı́tica
e (f g)′ = f ′ g + f g ′ . Então podemos deduzir a fórmula da primitivação por partes
P (f g′ ) = f g − P (f ′ g)
• Teorema Fundamental do Cálculo
(para funções analı́ticas em conjuntos simplesmente conexos)
Se f é analı́tica num aberto simplesmente conexo, D ⊂ C, e z0 ∈ D então a função
Z z
F (z) =
f (z) dz
(1.19)
z0
está bem definida, é analı́tica e é uma primitiva de f , em D. Adicionalmente, se z1 , z2 ∈ D,
então
Z z2
f (z) dz = F (z2 ) − F (z1 )
z1
em que
F′
= f é qualquer primitiva de f em D.
Demonstração:
Dado que f é analı́tica num aberto simplesmente conexo, D, o integral complexo não
depende do caminho de integração e, como tal, F (z) está bem definida para z ∈ D. Para
z ∈ D arbitrário considere-se γ uma curva regular e simples em D unindo z0 a z. Defina-se
tambem r > 0 para o qual B(z, r) ⊂ D, z1 ∈ B(z, r) e s o segmento de recta unindo z a
z1 . Então
Z
Z
f (w) dw
,
F (z1 ) =
F (z) = f (w) dw
s∪γ
γ
É então fácil verificar que
F (z) − F (z1 )
− f (z) =
z − z1
=
R
R
− f (z)(z − z1 )
z − z1
s f (w) dw
− f (z)) dw
z − z1
s (f (w)
Por continuidade de f em D, para qualquer ǫ > 0 existe r > 0 para o qual se tem
|f (w) − f (z)| < ǫ sempre que |z − w| < r. Assim
Z
ǫ
F (z) − F (z1 )
|dw| = ǫ
− f (z) ≤
z − z1
|z − z1 | s
71
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Conclui-se que
lim
z1 →z
F (z) − F (z1 )
= f (z)
z − z1
ou seja, para qualquer z ∈ D tem-se que F ′ (z) = f (z), pelo que F é analı́tica e é uma
primitiva de f em D.
Observe-se que, na demonstração do teorema fundamental do cálculo, a analiticidade de f
é necessária apenas para estabelecer a independência do integral do caminho de integração;
desse facto resulta que a fórmula (1.19) define uma primitiva de f em D.
Exemplo:
Z 1
2
+ zez dz, sendo C a curva parametrizada
Vamos calcular o valor do integral
C z−2
por γ(t) = 3 cos(t) + 2i sen(t), com t ∈ [0, 3π/2].
2
Observe-se em primeiro lugar que a função zez é inteira, pelo que o teorema fundamental
do cálculo é aplicável em D = C. Assim
Z
2 γ(3π/2)
1 2 −2i e−4 − e9
2
= ez
zez dz = P zez
=
,
2
2
γ(0)
3
C
2
2
onde P zez designa uma primitiva da função f (z) = zez . Por outro lado, dado que
1
, há que ter o cuidado de escolher
todos os ramos de log(z − 2) são primitiva da função z−2
um ramo que seja analı́tico num conjunto aberto que contenha a curva C. Para esse efeito,
considere o ramo do logaritmo tal que − π4 ≤ arg (z−2) < 7π
4 ; o seu domı́nio de analiticidade
é:
π
7π
D = {z ∈ C : z = 2 + reiθ onde − < θ <
e r > 0}.
4
4
Para z ∈ D, vamos então usar o ramo:
log(z − 2) = log |z − 2| + i arg (z − 2),
onde
−
π
7π
≤ arg (z − 2) <
.
4
4
1
d
log(z − 2) = z−2
para qualquer
Trata-se de uma função analı́tica em D, com C ⊂ D e dz
z ∈ D. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (para funções primitiváveis):
Z
γ(3π/2)
3
5π
1
= log(−2i − 2) − log(3 − 2) = log 2 + i .
dz = log(z − 2)
z
−
2
2
4
γ(0)
C
Finalmente:
Z 1
e−4 − e9 3
2
5π
+ zez dz =
+ log 2 + i
2
2
4
C z−2
• Teorema de Cauchy Generalizado
Seja D ⊂ C um conjunto aberto e simplesmente conexo, γ uma curva de Jordan em D, γ1 ,
... γn curvas de Jordan contidas no interior de γ e verificando para i 6= j
– int (γj ) ∩ int (γi ) = ∅;
72
1.5. INTEGRAÇÃO EM C
– todas as curvas têm orientação igual à orientação de γ.
Sendo ainda, f uma função analı́tica em int (γ) \ int (γ1 ) ∪ ... ∪ int (γn ) , então
I
f (z) dz =
γ
n I
X
f (z) dz
γi
i=1
Exemplo:
1. Sendo z0 um ponto qualquer de C e γ uma curva de Jordan tal que z0 6∈ γ. Então
I
1
0
se z0 6∈ int γ
dz =
±2πi se z0 ∈ int γ
γ z − z0
Num exemplo anterior, já tinhamos concluido que o integral é 0 se z0 é um ponto
exterior à curva e, efectuando o cálculo pela definição, que
I
1
dz = 2πi
|z−z0 |=R z − z0
onde a curva é percorrida em sentido positivo. O Teorema de Cauchy generalizado permite concluir que se γ for percorrida positivamente e estiver nas condições enunciadas,
se tem
I
I
1
1
dz =
dz = 2πi
z
−
z
z
−
z0
0
|z−z0 |=R
γ
sendo R > 0 escolhido de forma a que D(z0 , R) ⊂ int γ. Idem para o sentido negativo.
2. Sendo γ uma curva de Jordan percorrida em sentido directo e tal que ±1 6∈ γ. Então

0
se ±1 ∈ ext γ


I

1
πi
se 1 ∈ int γ e − 1 ∈ ext γ
dz =
2
−πi se −1 ∈ int γ e 1 ∈ ext γ

γ z −1


0
se ±1 ∈ int γ
De facto:
∗ se ±1 não pertencem à região interior a γ o resultado é uma consequência imediata
do teorema de Cauchy;
∗ para o caso em que 1 pertence à região interior a γ e −1 pertence à sua região ex1
é analı́tica num conjunto aberto e simplesmente conexo
terior, observa-se que z+1
contendo γ e, como tal, é aplicável a Fórmula Integral de Cauchy
I
γ
1
z+1
I
1
dz =
2
z −1
γ
z−1
dz = 2πi
1
z +1
z=1
= πi
∗ para o caso em que −1 pertence à região interior a γ e 1 pertence à sua região
1
exterior, observa-se que z−1
é analı́tica num conjunto aberto simplesmente conexo
contendo γ e, como tal, é aplicável a Fórmula Integral de Cauchy
I
γ
1
dz =
2
z −1
I
1
z−1
γ
z+1
73
dz = 2πi
1
z−1
z=−1
= −πi
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
∗ por último, se tanto 1 como -1 pertencem à região interior à curva γ, pelo teorema
de Cauchy generalizado
I
I
I
1
1
1
dz =
dz +
dz = 0
2
2
2
γ1 z − 1
γ2 z − 1
γ z −1
em que γ1 é qualquer curva de Jordan percorrida em sentido positivo e tal que 1 ∈
int γ1 e −1 6∈ int γ1 ∪ γ1 , e γ2 é qualquer curva de Jordan percorrida em sentido
positivo e tal que −1 ∈ int γ2 e 1 6∈ int γ2 ∪ γ2 .
• Generalização do Teorema de Cauchy
Sejam γ uma curva de Jordan, z0 um ponto pertencente à região interior a γ e f uma
função analı́tica em int γ \ {z0 } e contı́nua em {z0 }. Então:
I
f (z) dz = 0
γ
Dem: Note que a função f é contı́nua no conjunto limitado int γ. Pelo teorema de Weierstrass, f (z) é limitada em int γ; isto é, existe M > 0 tal que |f (z)| ≤ M para qualquer
z ∈ int γ.
Pelo teorema de Cauchy generalizado, tem-se que, para qualquer ǫ > 0 tão pequeno que o
disco centrado em z0 de raio ǫ esteja contido em int γ:
I
I
f (z) dz
f (z) dz =
|z−z0 |=ǫ
γ
Tomou-se, para a circunferência, a mesma orientação que a de γ. Além disso:
I
I
I
f (z) dz =
f (z) dz ≤
|f (z)||dz|
γ
≤
Fazendo ǫ → 0 obtém-se
I
γ
I
|z−z0 |=ǫ
|z−z0 |=ǫ
I
M |dz| =
f (z) dz ≤ 0
⇒
|z−z0 |=ǫ
|z−z0 |=ǫ
I
|dz| = 2πM ǫ
f (z) dz = 0
γ
• Fórmula Integral de Cauchy
Se γ é uma curva de Jordan e f é analı́tica num aberto simplesmente conexo contendo γ,
então para qualquer z0 ∈ int (γ)
1
f (z0 ) =
2πi
I
γ
onde γ é percorrida uma vez no sentido directo.
74
f (z)
dz
z − z0
1.5. INTEGRAÇÃO EM C
Dem.
Dado que f é analı́tica em int γ, então a função (de z)
(
f (z)−f (z0 )
se z =
6 z0
z−z0
g(z) =
′
f (z0 )
se z = z0
é analı́tica em int γ \ {z0 }. Atendendo a que f tem derivada em z0 ,
lim g(z) = lim
z→z0
z→z0
f (z) − f (z0 )
= f ′ (z0 ) = g(z0 ),
z − z0
o que mostra que g é contı́nua em z0 . Assim, aplicando a generalização do teorema de Cauchy à
função g, obtém-se:
I
I
I
f (z0 )
f (z) − f (z0 )
f (z)
dz =
dz +
dz = 2πif (z0 )
z
−
z
z
−
z
z
− z0
0
0
γ
γ
γ
{z
}
|
=0
Exemplos:
1. Vamos calcular
I
γ
e−z
dz
z − π2
sendo γ qualquer curva de Jordan em C orientada positivamente e tal que π2 ∈ int γ. Dado
que f (z) = e−z é inteira, estamos nas condições da fórmula integral de Cauchy pelo que
podemos concluir que:
I
e−z
−π/2
π
.
π dz = 2πif 2 = 2πie
γ z− 2
2. Vamos calcular
I
γ
z
dz
2z + 1
sendo γ qualquer curva de Jordan em C orientada positivamente e tal que − 12 ∈ int γ.
Atendendo a que a função f (z) = z é inteira, por aplicação da fórmula integral de Cauchy
obtém-se:
I
I
z
1
πi
z
1
1
dz
=
=−
2πif
−
dz =
2
1
2 γ z+2
2
2
γ 2z + 1
3. Vamos calcular
I
γ
cos z
dz
+ 9z
z3
em que γ é a circunferência |z| = 1 percorrida uma vez em sentido directo. A função
integranda é analı́tica em C \ {0, −3i, 3i}; dos pontos onde a função não é analı́tica apenas
0 pertence à região |z| < 1. Assim
I cos z
I
cos z
2πi
cos z
z 2 +9
dz
=
dz = 2πi 2
=
3
z
z + 9 z=0
9
γ
γ z + 9z
onde utilizámos a fórmula integral de Cauchy e o facto de a função f (z) =
num aberto, simplesmente conexo contendo γ (por exemplo |z| < 2),
75
cos z
z 2 +9
ser analı́tica
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
• Derivada de uma função analı́tica
Sendo f uma função analı́tica num aberto simplesmente conexo D. Então a sua derivada
f ′ é uma função analı́tica em D.
Demonstração:
Sendo z ∈ D arbitrário e f analı́tica em D, para qualquer curva de Jordan, γ, contida em
D, percorrida em sentido directo e tal que z ∈ int γ, tem-se que
1
f (z) =
2πi
I
γ
f (w)
dw
w−z
Em particular, para r > 0 tão pequeno que D(z, r) ⊂ D, tem-se que
f (z) =
1
2πi
I
|w−z|=r
f (w)
dw
w−z
onde a circunferência é percorrida uma vez em sentido directo. Então
f (z + h) − f (z)
h
I
1
f (w)
f (w) 1
dw
−
= lim
h→0 2πi |w−z|=r h w − (z + h)
w−z
I
1
1
=
f (w)
lim
dw
2πi h→0 |w−z|=r
(w − z − h)(w − z)
f ′ (z) =
lim
h→0
Vamos mostrar que
lim
I
h→0 |w−z|=r
f (w)
dw =
(w − z − h)(w − z)
I
|w−z|=r
f (w)
dw
(w − z)2
Para tal
I
|w−z|=r
f (w)
dw −
(w − z − h)(w − z)
=
I
f (w)
|w−z|=r
≤
I
≤
M |h|
r2
|w−z|=r
I
|f (w)|
|w−z|=r
I
|w−z|=r
f (w)
dw
(w − z)2
h
dw
(w − z − h)(w − z)2
|h|
|dw|
|w − z − h| |w − z|2
1
|dw|
|w − z − h|
onde M denota o máximo de |f | na circunferência |w − z| = r. Atendendo a que
|w − z − h| ≥ |w − z| − |h| ≥ r − |h|
76
1.5. INTEGRAÇÃO EM C
na circunferência |w − z| = r, podemos concluir que
I
|w−z|=r
I
f (w)
f (w)
dw −
dw
2
(w − z − h)(w − z)
|w−z|=r (w − z)
I
M |h|
|dw|
≤
r 2 r − |h| |w−z|=r
=
2πM |h|
→ 0 quando h → 0
r r − |h|
Demonstrámos assim que se f é analı́tica em D, a sua derivada satisfaz a fórmula
I
f (w)
1
′
dw
f (z) =
2πi γ (w − z)2
para qualquer curva de Jordan γ em D percorrida em sentido directo e tal que z ∈ int γ.
Repetindo o argumento anterior verifica-se que para qualquer z ∈ D
I
f (w)
2
′′
dw
f (z) =
2πi γ (w − z)3
para qualquer curva de Jordan γ em D percorrida em sentido directo e tal que z ∈ int γ.
Conclui-se que a derivada de f ′ está bem definida e existe em D pelo que f ′ é analı́tica em
D.
• Fórmula Integral de Cauchy Generalizada
Nas mesmas condições da fórmula integral de Cauchy, tem-se que para qualquer n ∈ N0 a
derivada de ordem n de f , f (n) , está bem definida, é analı́tica em D e satisfaz a fórmula
I
n!
f (z)
(n)
f (z0 ) =
dz
2πi γ (z − z0 )n+1
para qualquer z0 ∈ int γ.
Exemplo:
1. Pretendemos calcular o valor do integral
I
|z|=2
ez
dz
(z − 1)4
onde se supõe que a curva é percorrida uma vez em sentido directo. Começamos por observar
ez
que a função (z−1)
4 é analı́tica em C \ {1}, pelo que não é analı́tica na região interior à
curva, e como tal não é aplicável o Teorema de Cauchy. Consideremos a função f (z) = ez ,
que é uma função inteira; para z0 = 1 (que pertence à região interior à curva) estamos
em condições de aplicar a fórmula integral de Cauchy generalizada para a derivada de f de
ordem n = 3. Assim:
I
2πi z ′′′
πei
ez
dz =
e
=
4
3!
3
z=1
|z|=2 (z − 1)
77
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
2. Pretendemos calcular o valor do integral
I
log(z + 3)
dz
2 2
|z|=2 z (z + 9)
onde se considera que a curva é percorrida uma vez em sentido directo e log z representa o
valor principal do logaritmo. A função f (z) = zlog(z+3)
2 (z 2 +9) está definida em C \ {−3i, 3i, −3, 0}
e é analı́tica em
C \ {0, 3i, −3i} ∪ {x ∈ R : x ≤ −3}
Considere-se D = {z : |z| < 52 }. Verifica-se que D é aberto, simplesmente conexo, contém
a curva de integração no seu interior. Definindo
f (z) =
log(z + 3)
,
z2 + 9
pelo que vimos acima, f é analı́tica em D. Então, e usando a fórmula integral de Cauchy
para a derivada de ordem 1,
I
|z|=2
log(z + 3)
dz =
z 2 (z 2 + 9)
I
|z|=2
log(z+3)
z 2 +9
z2
3. Pretendemos calcular o valor do integral
I
|z|=1
log(z + 3) ′
dz = 2πi
z2 + 9
z=0
=
2πi
27
f (z)
dz
z3
em que f : C → C é uma função de domı́nio C tal que
Re f (x + iy) = u(x, y) = y 3 − x3 + 3xy 2 − 3x2 y ,
e a curva é percorrida uma vez em sentido horário. Atendendo a que
– u ∈ C 2 (R2 ) .
– para quaisquer x, y ∈ R2
∆u =
∂
∂
∂2u ∂2u
+ 2 =
− 3x2 + 3y 2 − 6xy +
3y 2 + 6xy − 3x2 = 0
2
∂x
∂y
∂x
∂y
concluimos que u é harmónica em R2 pelo que existe v : R2 → R tal que f =
u + iv é uma função inteira. Por outro lado, visto que 0 pertence à região interior da
circunferência |z| = 1, estamos em condições de aplicar a fórmula integral de Cauchy
para a derivada de ordem 2 de f :
I
f (z)
2πi ′′
dz = −
f (0).
3
z
2!
|z|=1
O sinal negativo decorre da orientação da curva. Note-se que a analiticidade de f
permite, através das equações de Cauchy-Riemann, determinar f ′′ (0) sem conhecer
explicitamente a parte imaginária de f . De facto, para qualquer z ∈ C
∂v
∂u
∂u ∂u
+i
=
−i
= − 3x2 + 3y 2 − 6xy − i 3y 2 + 6xy − 3x2
f ′ (z) =
∂x
∂x
∂x
∂y
78
1.5. INTEGRAÇÃO EM C
Usando as notações ũ =Re f ′ e ṽ =Im f ′ , então
′ ∂ ũ
∂ṽ
+i
f ′′ (z) =
f ′ (z) =
∂x
∂x
∂ ∂ =
− 3x2 + 3y 2 − 6xy + i
− 3y 2 − 6xy + 3x2
∂x
∂x
= −6x − 6y + i(−6y + 6x)
Finalmente
I
|z|=1
f (z)
dz
=
−πi
−
6x
−
6y
+
i(−6y
+
6x)
z3
(x,y)=(0,0)
=0
Consequências das fórmulas integrais de Cauchy
• Teorema de Morera
Se D ⊂ C é aberto e f : D → C é contı́nua e
I
f (z) dz = 0
γ
para qualquer curva de Jordan γ contida em D, então f é analı́tica em D.
Demonstração:
Seja w ∈ D arbitrário e considere-se δ > 0 para o qual D(w, δ) ⊂ D
defina-se a função
Z z
f (χ) dχ
F (z) =
14 .
Para z ∈ D(w, δ),
w
Observe-se que a função está bem definida, visto a condição
I
f (z) dz = 0
γ
para qualquer curva de Jordan γ definida em D(w, δ) permitir concluir independência do
integral do caminho de integração. Tal como na demonstração do Teorema Fundamental
do Cálculo podemos então demonstrar que F é analı́tica em D(w, δ) e F ′ (z) = f (z) para
todo z ∈ D(w, δ). A fórmula integral de Cauchy permite concluir que, sendo F analı́tica
em D(w, δ), F ′ é tambem analı́tica em D(w, δ). Conclui-se que f é analı́tica em D(w, δ).
Dado que w foi escolhido arbitrariamente o resultado fica demonstrado.
• Teorema de Liouville
Se f é uma função inteira e limitada então f é constante.
Demonstração:
Dado que f é inteira, a Fórmula integral de Cauchy permite concluir que f ′ é inteira e para
todo z ∈ C se tem
I
f (w)
1
dw
f ′ (z) =
2πi |w−z|=R (w − z)2
14
Tal δ existe visto D ser aberto.
79
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
onde a circunferência de centro em z e raio R > 0 arbitrário, é percorrida uma vez em
sentido positivo. Então
I
f (w)
1
′
dw
|f (z)| =
2πi |w−z|=R (w − z)2
I
1
f (w)
≤
|dw|
2π |w−z|=R (w − z)2
Por outro lado, visto f ser limitada, existe M > 0 para o qual
|f (z)| ≤ M
Então
1
|f (z)| ≤
2π
′
I
,
|w−z|=R
∀z ∈ C
M
M
|dw| =
2
R
r
Visto R ser arbitrário, podemos considerá-lo tão grande quanto se queira; fazendo R → ∞,
concluimos que:
|f ′ (z)| ≤ 0 ⇒ |f ′ (z)| = 0 ⇒ f ′ (z) = 0
pelo que f é constante em C.
• Teorema Fundamental da Álgebra
Seja P (z) um polinómio não constante em C. Então existe χ ∈ C tal que P (χ) = 0.
Demonstração:
Argumentando por contradição, vamos supor que tal χ não existe, isto é
∀z ∈ C
P (z) 6= 0
o que implica de imediato que a função 1/P (z) é inteira. Por outro lado, visto |P (z)| → ∞
quando |z| → ∞, existe R > 0 tal que
1
<1
P (z)
se
|z| > R
(1.20)
|z| ≤ R
(1.21)
e, por continuidade de 1/P (z), existe M > 0 tal que
1
<M
P (z)
se
As desigualdades (1.20) e (1.21) permitem afirmar que 1/P (z) é limitada em C. Pelo
Teorema de Liouville conclui-se que 1/P (z) é constante, o que constitui uma contradição.
• Desigualdade de Cauchy
Se f é uma função analt́ica num conjunto aberto e simplesmente conexo D ⊂ C, z0 ∈ D e
escolha-se r > 0 tal que {z : |z − z0 | = r} ⊂ D. Então
|f (n) (z0 )| ≤
M n!
rn
sendo M ∈ R+ o máximo de |f (z)| em Br (z0 ).
80
∀n ∈ N0
1.6. SÉRIES DE POTÊNCIAS
1.6
1.6.1
Séries de Potências
Analiticidade de uma Série de Potências
P
n
Recordamos que uma série de potências ∞
n=0 an (z − z0 ) com raio de convergência R é absolutamente convergente em para |z − z0 | < R, pelo que a série define uma função complexa de
varı́avel complexa em D(z0 , R).
Pode-se provar que
f (z) =
∞
X
n=0
an (z − z0 )n
é analı́tica em {z : |z − z0 | < R} e, para qualquer z no interior do cı́rculo de convergência,
f ′ (z) =
∞
X
n=1
nan (z − z0 )n−1
Também se pode mostrar que
Z
f (w) dw =
γ
∞
X
n=0
an
Z
γ
(w − z0 )n dw =
∞
X
an
(z − z0 )n+1 − (a − z0 )n+1
n+1
n=0
para qualquer curva regular, γ, contida em D(z0 , R) e onde a e z representam os pontos inicial
e final de γ, respectivamente. Em consequência, as primitivas de f (z) são dadas por
∞
X
an
(z − z0 )n+1 ,
C+
n+1
n=0
C ∈ C.
Em particular, podemos afirmar o seguinte.
Teorema: (Analiticidade de uma série de potências)
Seja
∞
X
an (z − z0 )n em |z − z0 | < R
f (z) =
n=0
isto é, f é uma série de potências centrada em z0 e convergente em |z − z0 | < R. Então f é
analı́tica no seu domı́nio de convergência.
1.7
Séries de Taylor
1.7.1
Teorema de Taylor
Vimos anteriormente que uma função representável por uma série de potências num disco centrado
em z0 é analı́tica (ou holomorfa) em z0 . Reciprocamente, é válido o:
Teorema de Taylor:
81
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Seja f uma função analı́tica num conjunto aberto D ⊂ C. Se z0 ∈ D, então f admite o
desenvolvimento em série de potências de z − z0 dado por
f (z) =
∞
X
f (n) (z0 )
n=0
n!
(z − z0 )n
quando |z − z0 | < R
R é o supremo dos números reais positivos, ρ, para o quais o disco D(z0 , ρ) está contido no
domı́nio de analiticidade de f , isto é, R é a distância de z0 à fronteira de D.
Nota: conclui-se dos teoremas anteriores que afirmar que uma função f é analı́tica (ou
holomorfa) num ponto z0 ∈ C é equivalente a afirmar que f (z) admite uma representação em
série de potências de z − z0 válida numa vizinhança de z0 .
A série
∞
X
f (n) (z0 )
n!
n=0
(z − z0 )n
denomina.se série de Taylor de f em torno de z0 .
No caso particular z0 = 0 a série
∞
X
f (n) (0)
n=0
n!
zn
denomina-se série de Maclaurin de f .
Por ser uma série de potências, ela é uniformemente convergente em D(z0 , r) para todos
0 < r < R, pelo que pode ser integrada e derivada termo a termo. Isto é, se z ∈ D(z0 , R),
′
i) f (z) =
∞
X
f (n) (z0 )
n=1
ii)
Z
(n − 1)!
f (w) dw =
γ
(z − z0 )n−1
∞
X
f (n) (z0 )
n=0
(n + 1)!
(z − z0 )n+1 − (a − z0 )n+1
onde γ é uma curva seccionalmente regular contida em D(z0 , R) e a, z são o extremo inicial e
final (resp.) de γ. Em consequência, as primitivas da série de Taylor de f (z) em torno de z0 são
C+
∞
X
f (n) (z0 )
n=0
(n + 1)!
(z − z0 )n+1 ,
onde C ∈ C é uma constante arbitrária.
Demonstração (do Teorema de Taylor):
Pretende-se mostrar que, dado z0 no domı́nio de analiticidade de f , existe R > 0, tal que para
todo z em D(z0 , R) se tem
∞
X
f (n) (z0 )
(z − z0 )n
f (z) =
n!
n=0
82
1.7. SÉRIES DE TAYLOR
Sendo D o domı́nio de analiticidade de f , considere-se R o maior real positivo para o qual se tem
D(z0 , R) ⊂ D. Para qual quer z ∈ D(z0 , R), defina-se R0 = |z − z0 | e escolha-se R1 ∈]R0 , R[.
Sendo γ = {w : |w − z0 | = R1 } percorrida em sentido directo, por aplicação da fórmula Integral
de Cauchy tem-se que
I
f (w)
1
dw
f (z) =
2πi γ w − z
Por outro lado, e tendo em conta o valor da soma da série geométrica, temos que
∞
X (z − z0 )n
1
1
1
1
=
=
·
=
z−z0
w−z
w − z0 − (z − z0 )
w − z0 1 − w−z
(w − z0 )n+1
n=0
0
dado que, pela escolha que fizemos de R1 :
z − z0
R0
< 1.
=
w − z0
R1
Assim:
f (z) =
1
2πi
I
f (w)
γ
∞
X
(z − z0 )n
dw
(w − z0 )n+1
n=0
Atendendo a que a série geométrica pode ser integrada termo a termo em D(z0 , R1 ) (pois R1 <
R), então:
I
∞ h
i
X
1
f (w)
f (z) =
dw
(z − z0 )n
n+1
2πi
(w
−
z
)
0
γ
n=0
Usando a fórmula integral de Cauchy generalizada, obtém-se o resultado.
Exemplos de Séries de Mac-Laurin:
• f (z) = ez . Dado que para qualquer n ∈ N se tem f (n) (z) = ez , os coeficientes da série de
Mac-Laurin da função exponencial são
1
f (n) (0)
=
n!
n!
an =
Como o domı́nio de analiticidade de ez é C temos então quebrado
z
e =
∞
X
zn
n=0
n!
∀z ∈ C
,
• Para qualquer z ∈ C
sen z =
∞
∞
∞
X
(−1)n z 2n+1
eiz − e−iz
1 X z n in (1 − (−1)n )
1 X z n in
=
=
=
2i
2i
n!
i
n!
(2n + 1)!
n=0
n=0
n ı́mpar
• De igual modo se obtem, que para qualquer z ∈ C
cos z =
∞
X
(−1)n z 2n
n=0
83
(2n)!
n=0
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
• Para |z| < 1
∞
∞
∞
∞
1
d
d X n X d n X n−1 X
1
(k + 1)z k
nz
=
=
z
=
=
z
=
(1 − z)2
dz 1 − z
dz
dz
n=1
n=0
n=0
k=0
• Considerando o valor principal do logaritmo
log(1 − z) = −
Z
1
dz = −
1−z
Z X
∞
n=0
z n dz = −
∞ Z
X
z n dz = −
n=0
∞
X
z n+1
+C
n+1
n=0
este desenvolvimento será válido no maior cı́rculo centrado em 0 onde a função (valor
principal) log(1−z) é analı́tica. Como o seu domı́nio de analiticidade é C\{x ∈ R : x ≥ 1}
o domı́nio de convergência da série é |z| < 1. Atendendo a que o valor principal de log 1 é
0, tem-se que
log(1 − z)
z=0
=−
∞
X
z n+1
+C
n+1
n=0
Desta forma:
log(1 − z) = −
⇔
z=0
∞
X
z n+1
n+1
C = 0.
|z| < 1
,
n=0
• Pretende-se desenvolver a função definida em C \ {−i} por
f (z) = sen(πiz) +
z
z+i
em série de Taylor em torno de z0 = i. Para isso, note-se que
sen(πiz) = sen(πi(z − i + i)) = sen(πi(z − i) − π)
= sen(πi(z − i)) cos(−π)
= −
∞
X
(−1)n π 2n+1 i2n+1
(2n + 1)!
n=0
∞
X
= −i
(z − i)2n+1
π 2n+1
(z − i)2n+1
(2n
+
1)!
n=0
sendo a igualdade válida em C. Por outro lado
1
1
1
=
= z+i
(z − i) + 2i
2i 1 +
sendo a igualdade válida em
z−i
2i
=
∞
1 X (−1)n
(z − i)n
2i
(2i)n
n=0
z−i
< 1, ou seja, em |z − i| < 2. Por último
2i
z = (z − i) + i
84
1.7. SÉRIES DE TAYLOR
obviamente para todo o z ∈ C. Então, para todo o z ∈ D(i, 2)
∞
∞
1 X
X
(−1)n
π 2n+1
2n+1
(z − i)
+ (z − i) + i
(z − i)n
f (z) = −i
(2n + 1)!
2i
(2i)n
n=0
n=0
= −i
∞
X
n=0
π 2n+1
(z − i)2n+1 +
(2n + 1)!
+i
1.7.2
∞
X
∞
X
n=0
(−1)n
(z − i)n+1
(2i)n+1
(−1)n
(z − i)n
n+1
(2i)
n=0
Zeros de uma Função Analı́tica
Seja f uma função analı́tica em D ⊂ C aberto. Diz-se que z0 ∈ D é um zero de ordem p sse
f (z0 ) = f ′ (z0 ) = · · · = f (p−1) (z0 ) = 0
e f (p) (z0 ) 6= 0
Como consequência do Teorema de Taylor, podemos afirmar que:
z0 é um zero de ordem p ∈ N
⇔
f (z) = ap (z − z0 )p + ap+1 (z − z0 )p+1 + · · ·
= (z − z0 )p ap + ap+1 (z − z0 )p+1 + · · ·
para |z − z0 | < ǫ,
1 (p)
e onde ap = p!
f (z0 ) 6= 0. Sendo assim, z0 é um zero de ordem p de f se e só se f admite uma
factorização da forma
f (z) = (z − z0 )p g(z)
num disco |z − z0 | < ǫ, onde g é uma função analı́tica em z0 e g(z0 ) 6= 0.
Exemplos:
• A função f (z) = z 3 − 3z 2 + 3z − 1 tem um zero de ordem 3 em z0 = 1. De facto
z 3 − 3z 2 + 3z − 1 = (z − 1)3 g(z)
,
g(z) ≡ 1
• A função ez − 1 tem um zero de ordem 1 em z0 = 0. De facto
ez − 1 = zg(z)
,
g(z) = 1 +
z z2 z3
+
+
+ ···
2
3!
4!
• A função ez − 1 tem um zero de ordem 1 em z0 = 2kπi, para qualquer k ∈ Z. De facto,
usando a periodicidade da exponencial complexa:
ez − 1 = ez−2kπi − 1 = (z − 2kπi)g(z)
com
g(z) = 1 +
z − 2kπi (z − 2kπi)2 (z − 2kπi)3
+
+
+ ···
2
3!
4!
• A função (ez − 1)2 tem um zero de ordem 2 em z0 = 0. De facto
2
z z2 z3
(ez − 1)2 = z 2 g(z) , g(z) = 1 + +
+
+ ···
2
3!
4!
Note que g é analı́tica em C. (Porquê?)
85
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
1.8
Séries de Laurent
1.8.1
Definição de Série de Laurent
Sendo z0 ∈ C, a série
∞
X
n=−∞
an (z − z0 )n = · · · +
=
a−1
a−2
+
+ a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · ·
2
(z − z0 )
z − z0
∞
X
∞
X
a−n
an (z − z0 )n
+
n
(z
−
z
)
0
n=1
n=0
(1.22)
diz-se uma série de Laurent em torno do ponto z0 .
Nesse caso, diz-se que
∞
X
a−n
a−1
a−2
a−n
=
+
+ ··· +
+ ···
n
2
(z
−
z
)
z
−
z
(z
−
z
)
(z
−
z0 )n
0
0
0
n=1
é a parte principal do desenvolvimento (1.22).
1.8.2
Teorema de Laurent
Teorema de Laurent:
Se f é analı́tica na região anular A(z0 , r, R) = {z ∈ C : r < |z − z0 | < R}, então f pode ser
desenvolvida em série de Laurent em torno de z0
f (z) =
∞
X
n=−∞
onde para todo n ∈ Z
an =
1
2πi
I
γ
an (z − z0 )n
f (z)
dz
(z − z0 )n+1
e γ qualquer curva de Jordan seccionalmente regular contida em A(z0 , r, R), percorrida uma vez
no sentido positivo, e tal que z0 ∈ int γ.
No teorema de Laurent, podemos tomar os raios interior, r (resp. exterior, R) da região anular
+
A(z0 , r, R) como sendo o ı́nfimo de todos os σ ∈ R+
0 (resp., o supremo de todos os ρ ∈ R ∪{∞})
para os quais f é analı́tica em A(z0 , σ, ρ). Em particular, podemos ter r = 0 e R = ∞.
Demonstração:
Escolha-se z ∈ A(z0 , r, R) arbitrário, e sejam r1 , r2 números reais positivos para os quais
r < r1 < |z − z0 | < r2 < R. Considerem-se ainda γ1 e γ2 as circunferências de centro em z0 e
de raios respectivamente r1 e r2 , percorridas em sentido directo. Sendo l um segmento de recta
unindo γ1 a γ2 , defina-se
C = γ2 + l + γ1− + l−
86
1.8. SÉRIES DE LAURENT
Aplicando a fórmula integral de Cauchy, tem-se que
I
I
I
f (w)
f (w)
f (w)
1
1
1
dw =
dw −
dw
f (z) =
2πi C w − z
2πi γ2 w − z
2πi γ1 w − z
Para w ∈ γ2
1
1
1
=
=
w−z
w − z0 − (z − z0 )
(w − z0 ) 1 −
onde tivemos em conta que |z − z0 | < r2 pelo que
f (z) =
=
∞
X
(z − z0 )n
(w − z0 )n+1
n=0
z − z0
< 1. De modo análogo, para w ∈ γ1
w − z0
1
1
−1
=
=
w−z
w − z0 − (z − z0 )
(z − z0 ) 1 −
onde tivemos em conta que |z − z0 | > r1 pelo que
z−z0
w−z0
=
w−z0
z−z0
=−
∞
X
(w − z0 )n
(z − z0 )n+1
n=0
w − z0
< 1. Então
z − z0
I
∞
∞
X
X
1
(z − z0 )n
(w − z0 )n
dw
+
dw
f (w)
f
(w)
(w − z0 )n+1
2πi γ1
(z − z0 )n+1
γ2
1
2πi
I
1
2πi
I
n=0
f (w)
γ2
n=0
∞
X
1
(z − z0 )n
dw +
n+1
(w − z0 )
2πi
n=0
I
f (w)
γ1
−1
X
j=−∞
(z − z0 )j
dw
(w − z0 )j+1
∞ I X
1
f (w)
dw (z − z0 )n
=
n+1
2πi
(w
−
z
)
0
n=−∞ γ
onde, pelo teorema de Cauchy generalizado, γ1 e γ2 foram substituidas por qualquer curva de
Jordan em sentido positivo em A(z0 , r, R) com z0 no seu interior.
Exemplos de Séries de Laurent:
1. Para z ∈ A(0, 0, ∞) (ou seja |z| > 0)
cos
∞
1
1
1
1 X (−1)n
=
=1− 2 −
+
− ···
2n
4
z n=0 (2n)!z
2z
4!z
6!z 6
2. Para z ∈ A(0, 1, ∞) (isto é para |z| > 1)
∞ ∞
1
X
1
1 n+1
1
1
1
1 X 1 n
=
−
=
−
=
+
+
+
·
·
·
=
−
1−z
z
z
z
z z2 z3
−z(1 − z1 )
n=0
n=0
Note-se que o desenvolvimento em série é convergente, pois |z| > 1 implica que |1/z| < 1.
z
3. Sendo f (z) = (z−i)(z+2i)
, vamos determinar todos os possı́veis desenvolvimentos em série
de f em torno de z0 = i. Dado que f é analı́tica em C \ {i, 2i} e z0 = i iremos ter dois
87
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
desenvolvimentos; em A(i, 0, 1) e em A(i, 1, ∞). Observe-se que, como f não é analı́tica
em i, nenhum dos desenvolvimentos será uma série de Taylor.
Para z ∈ A(i, 0, 1), tem-se:
f (z) =
=
z
1
z−i+i
1
z
=
·
=
·
(z − i)(z + 2i)
z − i z − 2i
z−i
z − i + i − 2i
1+
1
1 + i(z − i)−1
1
i =
·
z − i (z − i) − i
i
1 − z−i
i
Dado que estamos a efectuar o desenvolvimento na região z ∈ A(i, 0, 1) tem-se que |z − i| <
1
1 e como tal
representa a soma da série geométrica de razão z−i
i , e assim
1 − z−i
i
∞
∞
∞
1 + i(z − i)−1 X z − i n X (z − i)n X (z − i)n−1
f (z) =
=
+
i
i
in−1
in
n=0
n=0
n=0
Para z ∈ A(i, 1, ∞) também é válido que:
f (z) =
1 + i(z − i)−1
1
·
i
1 − (z−i)
i
No entanto, para z ∈ z ∈ A(i, 1, ∞) tem-se que |z − i| > 1 e ao contrário do caso anterior
1
não representa a soma da série geométrica de razão z−i
i . Porém, tem-se que
1 − z−i
i
i
z−i < 1; para tirar partido desse facto, factorizamos a função como se segue:
f (z) =
1 + i(z − i)−1 −1
1
· (z−i) ·
i
i
1 − z−i
i
Desta forma, para z ∈ A(i, 1, ∞), a função
razão
i
z−i .
f (z) =
1
i
1− z−i
Assim,
∞
∞
∞
n=0
n=0
n=0
X
X
in
in+1
1 + i(z − i)−1 −1 X i n
=−
· (z−i) ·
−
,
i
z−i
(z − i)n+1
(z − i)n+2
i
sendo que este desenvolvimento é válido para
1.9
1.9.1
representa a soma da série geométrica de
i
z−i
< 1, ou seja, |z − i| > 1.
Singularidades, Resı́duos e Teorema dos Resı́duos
Singularidades
Seja f uma função complexa, com domı́nio de analiticidade A ⊂ C. Diz-se que f tem uma
singularidade em z0 ∈ C, se z0 6∈ A (f não é analı́tica em z0 ) e para todo ǫ > 0 verifica-se que
D(z0 , ǫ) ∩ A 6= ∅ (existem pontos numa vizinhança de z0 onde f é analı́tica).
A singularidade z0 diz-se isolada se existe ǫ > 0 para o qual f é analı́tica em
A(z0 , 0, ǫ) = D(z0 , ǫ) \ {z0 } = {z ∈ C : 0 < |z − z0 | < ǫ}.
88
1.9. SINGULARIDADES, RESÍDUOS E TEOREMA DOS RESÍDUOS
Isto significa que f é uma singularidade isolada se e só se f é analı́tica em todos os pontos de
uma vizinhança de z0 com excepção de z0 . A partir daqui, trataremos apenas deste tipo de
singularidades.
Exemplo:
1. A função f (z) =
1
z
é analı́tica em C \ {0}, pelo que 0 é uma singularidade isolada de f .
2. A função f (z) = ez1−1 é analı́tica em C \ {2kπi : k ∈ Z}. Assim as singularidades de
f são todos os complexos da forma 2kπi com k ∈ Z. Atendendo a que para cada k ∈ Z
existe ǫ > 0 tal que f é analt́ica na região 0 < |z − 2kπi| < ǫ (basta tomar para ǫ qualquer
número real positivo menor que 2π) todas as singularidades são isoladas.
3. A função f (z) = log z (valor principal) é analı́tica em C \ {x ∈ R : x ≤ 0}. Assim
as singularidades de f são todos os números reais não positivos. É óbvio que todas as
singularidades de f não são isoladas, pois qualquer vizinhnça de qualquer número real não
positivo contém outros números não positivos.
1.9.2
Classificação das Singularidades Isoladas
Se z0 é uma singularidade isolada de f , o Teorema de Laurent garante que f admite desenvolvimento em série de Laurent centrada em z0
f (z) = · · · +
a−1
a−2
+
+ ao + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · ·
2
(z − z0 )
z − z0
(1.23)
válido sempre que 0 < |z − z0 | < ǫ.
Com base na parte principal desta série, podemos classificar as singularidades isoladas.
• z0 diz-se removı́vel se a série (1.23) tem parte principal nula, ou seja, se:
a−n = 0
,
∀n ∈ N .
Exemplo;
A função f (z) = senz z tem uma singularidade isolada em z = 0. Desenvolvendo em série de
Laurent em torno de z0 = 0, obtém-se
z2 z4 z6
sen z
=1−
+
−
+ ···
z
3!
5!
7!
,
∀z 6= 0
(1.24)
É então óbvio que a parte principal da série é nula e como tal 0 é uma singularidade removı́vel
de f . Note-se que a série que representa a função senz z é uma função inteira (porquê?).
Usando esse facto, podemos então prolongar por analiticidade sen z/z a zero da seguinte
forma
 sen z
se z 6= 0
 z
F (z) =

1
se z = 0
em que o valor F (0) = 1 −
z2
3!
+
z4
5!
−
z6
7!
+ ···
89
z=0
= 1.
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
(1.23), reduz-se à série de potências de z − z0 :
f (z) = ao + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · ·
para 0 < |z − z0 | < ǫ.
A função
2
F (z) = ao + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 ) + · · · =
f (z) se z 6= z0
a0
se z = z0
diz-se a extensão analı́tica de f a z0 , e então limz→z0 f (z) existe (é igual a a0 ). Podemos
então enunciar o seguinte resultado:
Proposição (Critério para classificação de uma sing. removı́vel)
z0 é singularidade removı́vel de f sse lim f (z) existe (em C).
z→z0
Demonstração:
Pelo que vimos acima, se z0 é uma singularidade removı́vel então o limz→z0 f (z) existe.
Reciprocamente, se existe o limz→z0 f (z) então f (z) é limitada numa vizinhança de z0 , D;
ou seja, existe M > 0 tal que |f (z)| ≤ M para z ∈ D. Seja δ > 0 suficientemente pequeno
para que a região anular 0 < |z − z0 | ≤ r esteja contida em D e no domı́nio de analiticidade
de f . Tomando n ≥ 1 e 0 < δ < r, e utilizando o teorema de Laurent, os coeficientes da
série (1.23) válida em 0 < |z − z0 | < r são dados por:
I
I
f (z)
1
1
dz =
f (z)(z − z0 )n−1 dz.
a−n =
2πi |z−z0|=δ (z − z0 )−n+1
2πi |z−z0|=δ
Desta forma:
|a−n | ≤
=
1
2π
I
n−1
|z−z0 |=δ
|f (z)||z − z0 |
M δn−1 2πδ
= M δn → 0
2π
M δn−1
|dz| ≤
2π
I
|z−z0 |=δ
|dz|
quando δ → 0
Assim a−n = 0 para n ≥ 1, pelo que z0 é uma singularidade removı́vel de f (z).
Exemplo:
A função f (z) =
z
sen z
tem singularidades nos pontos kπ, k ∈ Z. Dado que
lim f (z) = lim
z→0
z→0
z
z−
z3
3!
+
z5
5!
− ···
= lim
z→0
1
1−
z2
3!
+
a singularidade 0 é removı́vel. Por outro lado, para k 6= 0
z
=∞∈
/C
z→kπ sen z
lim
pelo que as singularidades kπ, k ∈ Z \ {0} não são removı́veis.
90
z4
5!
− ···
=1
1.9. SINGULARIDADES, RESÍDUOS E TEOREMA DOS RESÍDUOS
• z0 é um pólo de ordem p ∈ N, se a série de Laurent (1.23) é da forma
f (z) =
a−p
a−1
+ ··· +
+ ao + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · ·
(z − z0 )p
z − z0
em que a−p 6= 0. Neste caso, a−n = 0 para todo n > p, pelo que a parte principal da
série de Laurent tem apenas um número finito de termos não nulos. Se p = 1 o pólo diz-se
simples.
Exemplo:
z
A função f (z) = sen
z 4 tem uma singularidade isolada em z = 0. Desenvolvendo em série de
laurent em torno de z0 = 0, obtém-se
1
1
z
z3
sen z
=
−
+
−
+ ···
z4
z 3 3!z 5!
7!
,
∀z 6= 0
(1.25)
É então óbvio que a parte principal da série tem apenas dois termos não nulos, pelo que 0
é um polo, e dado que a potência de menor expoente da série é z −3 , a sua ordem é 3.
Podemos então enunciar o seguinte resultado:
Proposição (Critério para classificação de uma sing. tipo polo)
z0 é pólo de ordem p de f sse lim (z − z0 )p f (z) existe (em C) e não é zero.
z→z0
Demonstração:
Pela forma da série de Laurent, é fácil de concluir que se z0 é um pólo de ordem p, então
def
F (z) = (z − z0 )p f (z) = a−p + a−p+1 (z − z0 ) + · · · + a−p+n (z − z0 )n + · · ·
para 0 < |z − z0 | < ǫ. Assim sendo, F (z) é uma função analı́tica em z0 e F (z0 ) = a−p 6= 0,
donde se conclui que limz→z0 (z − z0 )p f (z) = F (z0 ) 6= 0.
Reciprocamente, se o limite anterior existe e é não nulo então F (z) = (z − z0 )p f (z) tem
uma singularidade removı́vel em z0 , pelo que o seu desenvolvimento em série de Laurent em
torno de z0 é da forma:
(z − z0 )p f (z) = F (z) = b0 + b1 (z − z0 ) + b2 (z − z0 )2 + · · · .
Note que b0 = limz→z0 (z − z0 )p f (z) 6= 0. Assim,
f (z) =
b0
b1
+
+ · · · + bp + bp+1 (z − z0 ) + bp+2 (z − z0 )2 + · · ·
p
(z − z0 )
(z − z0 )p−1
onde b0 6= 0, donde segue que z0 é um pólo de ordem p de f (z).
Exemplo:
91
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
z
A função f (z) = 1−cos
z tem singularidades nos pontos 2kπ, k ∈ Z. Atendendo a que
o numerador se anula em 0 e não se anula em 2kπ, para k 6= 0 vamos estudar estas
singularidades separadamente. Assim, para classificar a singularidade 0, note-se que
f (z) =
z
1−
(−1)n z 2n
n=0
(2n)!
P∞
em que G(z) =
1
2
4
1
− z4! + z6! +···
2
=
z
z2
2
−
z4
4!
+
z6
6!
+ ···
=
z
z2
1
2
−
z2
4!
+
z4
6!
+ ···
=
1
G(z),
z
é analı́tica numa vizinhança de 0 e G(0) = 2 6= 0. Conclui-
se que 0 é um polo simples. Para 2kπ, k 6= 0, note-se em primeiro lugar que classificar a
singularidade 2kπ de f (z) é equivalente a classificar a singularidade 0 de f (z +2kπ). Assim,
e mais uma vez utilizando a série de MacLaurin de cos z,
f (z + 2kπ) =
em que H(z) =
z+2kπ
4
1 z2
− 4! + z6! +···
2
z + 2kπ
1
z + 2kπ
=
= 2 H(z)
1 − cos(z + 2kπ)
1 − cos z
z
é analı́tica numa vizinhança de 0 e H(0) = 4kπ 6= 0. Conclui-
mos que 0 é um polo de ordem 2 de f (z + 2kπ) pelo que 2kπ, k 6= 0 é um polo de ordem
2 de f (z).
• z0 diz-se uma singularidade essencial de f , se a parte principal do seu desenvolvimento
em série de Laurent em torno de z0 , válido em A(z0 , 0, ǫ), tem uma infinidade de termos
não nulos.
Exemplo:
A função f (z) = z 3 e1/z tem uma singularidade isolada em 0. Note-se que limz→0 f (z) não
existe dado que a exponencial complexa é perioódica e não é limitada. Assim, suspeita-se
que a singularidade é essencial. De facto, fazendo o desenvolvimento em série de Laurent
de f em torno de 0
f (z) = z 3 + z 2 +
1
1
1
z
+ +
+
+ ···
z 3! 4!z 5!z 2
(1.26)
é fácil de verificar que a parte singular da série (termos a vermelho) tem uma infinidade de
termos, pelo que se confirma que 0 é uma singularidade essencial.
1.9.3
Resı́duos
Se z0 é uma singularidade isolada de f , define-se Resı́duo de f em z0 , Res(f, z0 ), como sendo o
coeficiente a−1 do desenvolvimento em série de Laurent (com centro em z0 ) válida em A(z0 , 0, r).
Exemplo:
Sendo
1. f (z) =
sen z
z ,
por (1.24), Res(f, 0) = 0.
2. f (z) =
sen z
,
z4
1
.
por (1.25), Res(f, 0) = − 3!
3. f (z) = z 3 e1/z , por (1.26), Res(f, 0) =
1
4! .
92
1.9. SINGULARIDADES, RESÍDUOS E TEOREMA DOS RESÍDUOS
Proposição: (cálculo de resı́duos em singularidades não essenciais)
• se z0 é uma singularidade removı́vel, então é óbvio que
Res(f, z0 ) = 0
• se z0 é um pólo de ordem p, então:
Res(f, z0 ) =
i
dp−1 h
1
p
lim
(z
−
z
)
f
(z)
0
(p − 1)! z→z0 dz p−1
Demonstração:
Por hipótese
f (z) =
a−2
a−1
a−p
+ ··· +
+
+ a0 + a1 (z − z0 ) + · · ·
p
2
(z − z0 )
(z − z0 )
z − z0
sendo a série de Laurent uniformemente convergente numa região 0 < |z − z0 | < r. Assim:
(z − z0 )p f (z) = a−p + · · · + a−2 (z − z0 )p−2 + a−1 (z − z0 )p−1 + a0 (z − z0 )p + a1 (z − z0 )p+1 + · · · .
Derivando p − 1 vezes (note que
dp−1
(z
dz p−1
− z0 )k = 0 para k < p − 1) resulta que:
i
dp−1 h
p
(z
−
z
)
f
(z)
= a−1 (p − 1)! + a0 p(p − 1) · · · 3 · 2 (z − z0 )
0
p−1
dz
+a1 (p + 1)p · · · 4 · 3 (z − z0 )2 + · · · .
Tomando o limite quando z → z0 obtém-se:
lim
z→z0
i
dp−1 h
p
(z
−
z
)
f
(z)
= (p − 1)! a−1
0
dz p−1
Exemplo:
Sendo
• f (z) =
0.
z
sen z ,
• f (z) =
z
1−cos z
vimos anteriormente que 0 é uma singularidade removı́vel pelo que Res(f, 0) =
vimos que 0 é um polo simples, pelo que
Res(f, 0) = lim zf (z) = G(0) = 2
z→0
e para k 6= 0, 2kπ são polos de ordem 2, pelo que
′
Res(f, 2kπ) = lim (z − 2kπ)2 f (z) = 2π
z→2kπ
93
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
O seguinte resultado é um caso particular do cálculo de o resı́duo num polo simples,
Proposição:
φ(z)
, com φ(z) e ψ(z) analı́ticas em z0 , φ(z0 ) 6= 0, ψ(z0 ) = 0 e ψ ′ (z0 ) 6= 0 então
Se f (z) = ψ(z)
z0 é um pólo simples de f e
φ(z0 )
Res(f, z0 ) = ′
ψ (z0 )
Demonstração:
Como φ(z) e ψ(z) são analı́ticas em z0 , existem as séries de Taylor daquelas funções válidas
numa vizinhança de z0 . Assim sendo, e atendendo a que ψ(z0 ) = 0
φ(z)
φ(z0 ) + a1 (z − z0 ) + · · ·
φ(z0 ) + a1 (z − z0 ) + · · ·
1
= ′
=
,
2
ψ(z)
ψ (z0 )(z − z0 ) + b2 (z − z0 ) + · · ·
z − z0 ψ ′ (z0 ) + b2 (z − z0 ) + · · ·
pelo que
lim (z − z0 )
z→z0
φ(z)
φ(z0 )
= ′
6= 0.
ψ(z)
ψ (z0 )
Se aplicarmos este resultado à função do exemplo anterior, f (z) =
é bastante mais fácil.
z
1−cos z ,
o cálculo do resı́duo
De forma idêntica se pode provar a seguinte versão da regra de Cauchy, que pode ser útil na
classificação das singularidades não essenciais e cálculo dos respectivos resı́duos.
Teorema: (Caso particular da regra de Cauchy)
φ(z)
, com φ(z) e ψ(z) analı́ticas em z0 e tais que φ(z0 ) = ψ(z0 ) = 0 e ψ ′ (z0 ) 6= 0
Se f (z) = ψ(z)
então:
φ(z)
φ′ (z0 )
lim
= ′
.
z→z0 ψ(z)
ψ (z0 )
1.9.4
Teorema dos Resı́duos
Por aplicação directa do teorema de Cauchy generalizado e do teorema de Larent obtém-se o
resultado seguinte, que se revela muito importante do ponto de vista das aplicações.
Teorema dos Resı́duos
Seja D ⊂ C aberto e simplesmente conexo, e considere-se
i) f uma função analı́tica num aberto D \ {z1 , ..., zk };
ii) γ uma curva de Jordan em D percorrida em sentido directo e tal que z1 ,...,zk ∈ int γ.
94
1.9. SINGULARIDADES, RESÍDUOS E TEOREMA DOS RESÍDUOS
Então
I
f (z) dz = 2πi
γ
k
X
Res(f, zj )
j=1
Exemplos:
(a) Pretendemos determinar o valor do integral
I
2z + 6
dz
2
|z−i|=2 z + 4
onde a curva é percorrida uma vez em sentido positivo. Sendo
f (z) =
2z + 6
2z + 6
=
2
z +4
(z + 2i)(z − 2i)
é óbvio que f é analı́tica em C \ {−2i, 2i}. Dado que
| − 2i − i| = 3 > 2
|2i − i| = 1 < 2,
,
temos que −2i está no exterior da curva enquanto 2i está no seu interior. Aplicando o teorema
dos resı́duos:
I
2z + 6
dz = 2πi Res (f, 2i) .
2
|z−i|=2 z + 4
Como
lim (z − 2i)f (z) =
z→2i
2i + 3
4i + 6
=
,
4i
2i
concluimos que 2i é um pólo simples e Res (f, 2i) = 2i+3
2i . Desta forma:
I
2z + 6
dz = π(2i + 3) .
2
|z−i|=2 z + 4
(b) Pretendemos determinar o valor do integral
I
3
e z dz
|z|=1
3
onde a curva é percorrida uma vez em sentido positivo. A função f (z) = e z é analı́tica em
C \ {0}. A singularidade não é tipo pólo nem removı́vel. Podemos escrever a série de Laurent de
f em torno de z0 = 0 para verificarmos que a singularidade é essencial e determinar o respectivo
resı́duo. Se 0 < |z| < ∞, então
3
ez =
∞
X
3
9
27
3n
= 1 + + 2 + 3 + ···
n
n!z
z 2z
6z
n=0
pelo que se confirma que 0 é singularidade essencial e que Res (f, 0) = 3. Assim sendo:
I
3
e z dz = 6πi .
|z|=1
95
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
(c) Pretendemos determinar o valor do integral
I
z−1
dz
|z|= 3 z sen(πz)
2
onde a curva é percorrida uma vez em sentido inverso. Denominando
f (z) =
z−1
,
z sen(πz)
é fácil de verificar que as singularidades de f são os inteiros, k ∈ Z. No entanto só as singularidades
0, ±1 pertencem à região interior à curva, pelo que, aplicando o Teorema dos Resı́duos (tendo
atenção a orientação da curva), se tem que
I
z−1
dz = −2πi Res (f, 0) + Res (f, 1) + Res (f, −1)
|z|= 3 z sen(πz)
2
Atendendo a que
sen(πz) =
∞
X
(−1)n π 2n+1
n=0
(2n + 1)!
z 2n+1 = πz −
π3z2 π5 z4
(πz)3 (πz)5
+
− ··· = z π −
+
− ···
3!
5!
3!
5!
e a que, para qualquer k ∈ Z, se tem
sen π(z + k) = ± sen(πz),
podemos concluir que, para qualquer k ∈ Z
sen(πz) = (z − k)gk (z)
em que, para cada k, a função gk é analı́tica no ponto k e gk (k) 6= 0. Isto significa que os números
inteiros, k, são todos zeros de primeira ordem da função sen(πz). Assim:
• k = 0 é um pólo de segunda ordem, visto que
1
πz
1
z(z − 1)
= − lim
=− .
z→0 sen(πz)
π z→0 sen(πz)
π
lim z 2 f (z) = lim
z→0
Como consequência
′
Res (f, 0) = lim z 2 f (z)
z→0
= lim
z→0
= lim
z→0
=
z(z − 1)
sen(πz)
!′
(2z − 1) sen(πz) − z(z − 1)π cos(πz)
sen2 (πz)
3
π
(Aconselha-se o uso da série de Maclaurin de sen(πz) para o cálculo do limite acima indicado).
96
1.10. APLICAÇÕES DO TEOREMA DOS RESÍDUOS AO CÁLCULO DE INTEGRAIS REAIS
• k = 1 é uma singularidade removı́vel, visto que
w
πw
1
1
z−1
= lim
= − lim
=−
w→0 (w + 1) sen(πw + π)
z→1 z sen(πz)
π w→0 sen(πw)
π
lim f (z) = lim
z→1
Como consequência Res (f, 1) = 0.
• k = −1 é um pólo simples, visto que
z+1
w
2
(z + 1)(z − 1)
= 2 lim
= 2 lim
=−
z→−1 sen(πz)
w→0 sen(πw − π)
z→−1
z sen(πz)
π
lim (z + 1)f (z) = lim
z→−1
Como consequência Res (f, 1) = − π2 .
Finalmente
I
|z|= 23
3
2
z−1
= −2i
dz = −2πi
+0−
z sen(πz)
π
π
1.10
Aplicações do Teorema dos Resı́duos ao Cálculo de Integrais
Reais
1.10.1
Integrais Trigonométricos
Pretende-se calcular o integral
I=
Z
2π
F (cos θ, sen θ) dθ
0
onde F (u, v) é uma função real dependendo das duas variáveis reais u e v. Como consequência
da fórmula de Euler
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
cos θ =
e sen θ =
2
2i
dz
= iz), o integral pode ser
Temos então que, fazendo z = eiθ (o que implica que |z| = 1 e dθ
escrito na forma
−1
−1
I
I
F ( z+z2 , z−z
2i )
I=
f (z) dz
dz =
iz
|z|=1
|z|=1
z + z −1 z − z −1
1
,
. Por aplicação do teorema dos resı́duos:
onde f (z) = F
iz
2
2i
I = 2πi
k
X
Res (f, zj )
j=0
sendo zj , j = 0, ..., k, as singularidades de F interiores ao cı́rculo unitário.
Exemplo:
Vamos calcular o integral
def
I =
Z
2π
0
dθ
2 + sen2 θ
97
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Considerando a parametrização z = eiθ , com θ ∈ [0, 2π] (da circunferência |z| = 1, percorrida
uma vez no sentido directo), o integral pretendido pode ser escrito como:
I
I
z
dz
1
= 4i
dz
I=
2
4
2
−1
iz
|z|=1 z − 10z + 1
|z|=1 2 + z−z
2i
A função
z
− 10z 2 + 1
np
p
p
p
√
√
√
√ o
é analı́tica em C \
5 + 2 6, − 5 + 2 6, 5 − 2 6, − 5 − 2 6 , sendo claro que:
f (z) =
q
√
5+2 6 >1
z4
q
e
√
5 − 2 6 < 1.
Assim sendo, utilizando o teorema dos resı́duos:
q
q
√ √ .
I = 4i · 2πi Res f, 5 − 2 6 + Res f, − 5 − 2 6
Sendo z0 uma qualquer singularidade de f então z0 é pólo simples, pelo que:
Res (f, z0 ) =
Assim:
e
d
4
dz (z
=
z=z0
4z 3
q
√ Res f, 5 − 2 6 =
4z 2
1
− 20
q
√ Res f, − 5 − 2 6 =
4z 2
1
− 20
Resulta então que:
Z
0
1.10.2
z
− 10z 2 + 1)
2π
z
− 20z
z=
√
z=−
=
z=z0
√
5−2 6
√
4z 2
1
− 20
1
=− √
8 6
√
5−2 6
1
=− √ .
8 6
r
2
2π
2
dθ
= −8π − √
= √ =π
2
2 + sen θ
3
8 6
6
Integrais Impróprios de 1a espécie de Funções Racionais
Pretende-se calcular o integral impróprio
I=
Z
∞
−∞
P (x)
dx = lim
R→∞
Q(x)
em que
(C1) P e Q são polinómios reais;
(C2) Q(x) 6= 0 para todo x ∈ R;
(C3) Grau(Q)−Grau(P ) ≥ 2.
98
Z
R
−R
P (x)
dx
Q(x)
.
z=z0
1.10. APLICAÇÕES DO TEOREMA DOS RESÍDUOS AO CÁLCULO DE INTEGRAIS REAIS
Observe-se que a condição (C2) faz com que a função P (x)/Q(x) seja limitada em R e a condição
(C3) faz com que o integral impróprio seja convergente.
Considera-se a função complexa auxiliar F (z) = P (z)/Q(z), e para R suficientemente grande
a curva ΓR como sendo a fronteira do semi-cı́rculo centrado na origem e de raio R definido no
semiplano {z : Im z ≥ 0}. Por aplicação do Teorema dos resı́duos
I
k
ΓR
X
P
P (z)
def
Res ( , zj ) = α
dz = 2πi
Q(z)
Q
j=0
sendo zj , j = 0, ..., k os zeros de Q com parte imaginária positiva. Por outro lado
ΓR = IR ∪ SR = {z = x : x ∈] − R, R[} ∪ {z = Reiθ : θ ∈ [0, π]}
Então
α=
Fazendo R → ∞,
Z
IR
P (z)
dz +
Q(z)
Z
SR
P (z)
dz =
Q(z)
α = I + lim
R→∞
Dado que existe M ∈
R+
Z
Z
SR
R
−R
P (x)
dx +
Q(x)
Z
SR
P (z)
dz
Q(z)
P (z)
dz
Q(z)
tal que para |z| = R suficientemente grande
M
P (z)
≤ k−l ,
Q(z)
|z|
onde k e l são os graus de Q(z) e P (z), respectivamente. Assim sendo, para R suficientemente
grande
Z
Z
M
P (z)
M πR
Mπ
dz ≤
|dz| = k−l = k−l−1 ,
k−l
R
R
SR |z|
SR Q(z)
Por aplicação da condição (C3) podemos concluir que k − l − 1 ≥ 2 − 1 = 1, pelo que
Z
P (z)
lim
dz = 0
R→∞ SR Q(z)
Conclui-se que
Z
∞
−∞
k
X
P
P (x)
Res ( , zj )
dx = α = 2πi
Q(x)
Q
j=0
sendo zj , j = 0, ..., k os zeros de Q(z) com parte imaginária positiva.
Exemplo:
Determinar o valor de
Z ∞
dx
I=
2
2
−∞ (x + 4)(x + 9)
Considere-se a função complexa de variável complexa
F (z) =
(z 2
1
+ 4)(z 2 + 9)
e para R suficientemente grande a curva γR como sendo a fronteira da região
DR = {z = reiθ ∈ C : 0 < r < R,
99
0 < θ < π}
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
à qual se atribui a orientação positiva (ou sentido directo).
As singularidades de F (z) são ±2i e ±3i. Dado que 2i, 3i ∈ DR e −2i, −3i 6∈ DR , por
aplicação do teorema dos resı́duos
I
F (z) dz = 2πi Res (F, 2i) + Res (F, 3i)
γR
Visto que
1
(1.27)
(z + 2i)(z − 2i)(z − 3i)(z + 3i)
vê-se que todas as singularidades de (1.27) são zeros de ordem 1 do denominador e não anulam
o numerador, pelo que são pólos simples de F (z). Como tal:
1
1
=
Res (F, 2i) = lim (z − 2i)F (z) = lim
2
z→2i (z + 2i)(z + 9)
z→2i
20i
e
1
1
Res (F, 3i) = lim (z − 3i)F (z) = lim 2
=−
z→3i
z→3i (z + 4)(z + 3i)
30i
Então
I
π
F (z) dz = .
30
γ
Por outro lado, atendendo ao facto de que a curva γR é composta pelo segmento
F (z) =
e pela semicircunferência
IR = {z ∈ C : z = x , x ∈ [−R, R[}
SR = {z ∈ C : z = Reiθ , θ ∈ [0, π[}
podemos escrever
π
=
30
Z
F (z) dz +
Z
F (z) dz
SR
IR
Em IR , z = x com x ∈ [−R, R], pelo que
Z
Z R
π
F (z) dz
F (x) dx +
=
30
SR
−R
e, fazendo R tender para +∞
Z
Z ∞
π
F (z) dz
F (x) dx + lim
=
R→∞ SR
30
−∞
Por outro lado
Z
Z
F (z) dz ≤
SR
SR
|F (z)| |dz| ≤
Temos então que
lim
R→∞
o que implica
Z
SR
Z
SR
R→∞ (R2
R→∞
Z
Z
∞
|dz|
− 4)
F (z) dz ≤ lim
lim
e como tal
(|z|2
2
(|z|2
F (z) dz = 0
−∞
100
=
(R2
πR
=0
− 4)2 (R2 − 9)2
SR
F (x) dx =
− 9)
2
π
30
πR
− 4)2 (R2 − 9)2
1.10. APLICAÇÕES DO TEOREMA DOS RESÍDUOS AO CÁLCULO DE INTEGRAIS REAIS
1.10.3
Integrais Impróprios de 1a espécie envolvendo funções Trigonométricas
Pretende-se calcular integrais impróprios do tipo
Z ∞
f (x) cos(ax) dx ,
Z
−∞
∞
f (x) sen(ax) dx
−∞
em que a ∈ R+ e:
(C1) f é analı́tica em C excepto num conjunto finito de singularidades;
(C2) f não tem singularidades no eixo real.
Em ambos os casos, considera-se a função complexa auxiliar
F (z) = f (z) eiaz
e, para R suficientemente grande, a curva ΓR como sendo a fronteira do semi-cı́rculo centrado na
origem e de raio R, contido no semiplano {z : Im z ≥ 0}. Por aplicação do Teorema dos resı́duos
I
f (z)eiaz dz = 2πi
ΓR
k
X
j=0
Res (F, zj ) ≡ I
sendo zj , para j = 0, 1, . . . , k , os zeros de Q com parte imaginária positiva. Note que o valor de
I não depende de R (desde que R > max{|z1 |, . . . , |zk |}). Por outro lado,
n
o n
o
ΓR = IR ∪ SR = z = x : x ∈] − R, R[ ∪ z = Reiθ : θ ∈ [0, π]
Então
I=
Z
f (z)eiaz dz +
IR
Fazendo R → +∞,
I=
Z
Z
∞
f (z) dz =
SR
Z
R
f (z)eiaz dx +
−R
f (z)eiax dx + lim
Z
R→∞ SR
−∞
Z
f (z)eiaz dz
SR
f (z)eiaz dz
Lema de Jordan Seja a > 0 e f uma função analı́tica em C excepto num conjunto finito de
singularidades. Seja SR a semi-circunferência |z| = R, com Im z > 0.
a) Para qualquer R > 0:
Z
SR
|eiaz ||dz| <
π
a
b) Seja f (z) analı́tica em |z| > r, para algum r > 0 e tal que:
max |f (z)| → 0,
|z|=R
então:
lim
Z
R→∞ SR
quando R → +∞
f (z)eiaz dz = 0
Dem.:
101
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
a) Parametrizando
a semicircunferência por z(θ) = Reiθ = R cos θ + iR sen θ, com 0 ≤ θ ≤ π,
√
2
2
então R cos θ + R2 sen2 θ = R, pelo que:
Z π
Z π
Z
iaR cos θ
−aR sen θ
iaz
e−aR sen θ R dθ
(1.28)
e
e
R dθ =
e |dz| =
0
0
SR
Como sen(π − θ) = sen(θ), para θ ∈ [0, π], então θ = π2 é um eixo de simetria do gráfico
da função g(θ) = e−aR sen θ . Desta forma, e atendendo também a que sen θ ≥ π2 θ para
qualquer θ ∈ [0, π/2]:
Z
SR
eiaz |dz| ≤ 2
Z
π/2
0
e−aR sen θ dθ ≤ 2
Z
π/2
e−
2aR
θ
π
dθ =
0
π
π
1 − e−aR <
a
a
(1.29)
def
b) Como M (R) = max |f (z)| → 0 quando R → +∞,
|z|=R
Z
f (z)eiaz dz ≤ M (R)
SR
Z
SR
|eiaz ||dz| ≤
M (R)π
→0
a
quando
R → +∞
P (x)
Exemplo importante: Se f (x) = Q(x)
, onde P (x) e Q(x) são polinómios reais (isto é, os
seus coeficientes são reais), tem-se que se
⇔
Grau Q(z) > Grau P (z)
então
P (z)
Q(z)
≤
C
R
Grau Q(z) − Grau P (z) ≥ 1
para |z| = R, pelo que:
P (z)
→ 0,
Q(z)
em |z| = R
Pelo lema de Jordan:
lim
R→∞
Z
SR
quando R → +∞
P (z) iaz
e dz = 0
Q(z)
Com f satisfazendo (C1) e a > 0, o lema de Jordan determina que:
Z
f (z)eiaz dz = 0
lim
R→∞ SR
Conclui-se que
Z
∞
−∞
f (x)eiax dx = I
Dado que ax ∈ R, resulta da fórmula de Euler que
Z
Z ∞
Z ∞
f (x) cos(ax) dx + i
f (x)eiax dx =
−∞
−∞
102
∞
−∞
f (x) sen(ax) dx
1.10. APLICAÇÕES DO TEOREMA DOS RESÍDUOS AO CÁLCULO DE INTEGRAIS REAIS
pelo que
Z
∞
−∞
f (x) cos(ax) dx = Re I
Exemplo:
Vamos determinar o integral
Z
Z
e
∞
−∞
∞
−∞
f (x) sen(ax) dx = Im I
cos x
dx
4x2 + 1
utilizando o Teorema dos Resı́duos. Para tal considere-se a função complexa
F (z) =
eiz
+1
4z 2
e, para R ∈ R+ suficientemente grande, a curva γR como sendo a fronteira do semi-cı́rculo
{z : |z| ≤ R e Im z ≥ 0}
com orientação positiva (percorrida em sentido directo). Visto F ser analı́tica em C \ { 2i , − 2i },
aplicando o Teorema dos Resı́duos obtém-se
I
F (z) dz = 2πi Res (F (z), 2i )
CR
Dado que
F (z) =
4 z−
eiz
i
2
z+
i
2
,
(1.30)
como i/2 é zero de ordem 1 do denominador de (1.30) e não anula o numerador de (1.30),
conclui-se que i/2 é pólo simples de F . Consequentemente:
i
e−1/2
i
Res (F, 2 ) = lim z −
F (z) =
2
4i
z→i/2
Sendo assim
I
Por outro lado
F (z) dz = π
CR
e−1/2
2
γR = IR ∪ SR = {z = x ∈ [−R, R]} ∪ {z : |z| = R , Im z > 0}
pelo que
e−1/2
=
π
2
e atendendo à definição de IR
π
Fazendo R → ∞
I
F (z) dz =
γR
e−1/2
=
2
e−1/2
π
=
2
Z
Z
Z
F (z) dz +
∞
R
F (x) dx +
Z
F (z) dz
SR
F (x) dx + lim
Z
R→∞ SR
−∞
103
F (z) dz
SR
IR
−R
Z
F (z) dz
CAPÍTULO 1. ANÁLISE COMPLEXA
Atendendo a que Grau(4z 2 + 1)-Grau(1)=2, tem-se que para |z| = R
1
=0
+1
lim
|z|=R→∞ 4z 2
Por aplicação do lema de Jordan, podemos concluir que
Z
F (z) dz = 0
lim
R→∞
e como tal
Z
∞
SR
F (x) dx = π
−∞
π
e−1/2
= √
2
2 e
Finalmente, visto x ∈ R
Z ∞
Z ∞
Z ∞
cos x
sen x
ei x
π
dx =
dx + i
dx = √
2
2
2
2 e
−∞ 4x + 1
−∞ 4x + 1
−∞ 4x + 1
concluindo-se que
Z
∞
−∞
cos x
π
dx = √
2
4x + 1
2 e
104
Capı́tulo 2
Equações Diferenciais Ordinárias
2.1
2.1.1
Introdução
Notação e Definições
Designa-se por equação diferencial uma relação de igualdade entre termos envolvendo uma função
y(x), as suas derivadas e a variável independente x. A equação poderá também depender de
parâmetros não directamente relacionados com a variável independente x. É talvez mais simples
pensar numa equação diferencial como uma equação cuja incógnita pertence a um espaço de
funções
Rn ⊃ D ∋ x = (x1 , x2 , . . . xn ) 7−→ y(x) = y1 (x), . . . , ym (x) ∈ Rm
(pode-se ter C em vez de R). Desta forma, x1 , . . . xn são as variáveis independentes (e a dimensão
do domı́nio de y, n ∈ N, o seu número) e y1 , . . . , ym as variáveis dependentes (e a dimensão do
contradomı́nio de y, m ∈ N, o seu número). Note que os (eventuais) parâmetros não são contados
como variáveis independentes ou dependentes da equação.
As equações diferenciais dizem-se ordinárias se o domı́nio da função y(x) está contido em R,
caso em que as derivadas que nela surgem são totais (em ordem a x ∈ R). Dizem-se parciais se
têm mais do que uma variável independente (o domı́nio de y(x) está contido em Rn ) e envolvem
derivadas parciais de y (em ordem a x1 , x2 , . . .).
As equações diferenciais classificam-se como escalares ou vectoriais consoante tenham uma
ou mais do que uma variável dependente (ou seja, o contradomı́nio de y(x) está contido em R
no caso escalar e Rm no caso vectorial). Nesteúltimo caso é costume considerar que a variável
dependente é o vector y(x) = y1 (x), . . . ym (x) ∈ Rm .
Por exemplo, a equação
dy
+ 2ayx = 0
dx
é ordinária, x é a variável independente e y = y(x) a variável dependente, enquanto a é um
parâmetro. Já a 2a Lei de Newton para o movimento de uma partı́cula em R3
F (t, r) = mr̈,
(2.1)
é uma equação ordinária vectorial, pois r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Aqui utilizou-se a notação
de Newton
dr
d2 r
ṙ =
r̈ = 2
dt
dt
105
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
para representar as 1a e 2a derivadas em ordem a t. A massa da partı́cula, m, é apenas um
parâmetro.
Como exemplos de equações diferencias parciais escalares, podemos indicar a equação de
Laplace num domı́nio bidimensional,
∂2u ∂2u
+ 2 = 0,
∂x2
∂y
(já introduzida na Análise Complexa), onde u : D ⊂ R2 → R; a equação do calor unidimensional,
∂u
∂2u
=k 2
∂t
∂x
onde u : R × [0, L] → R; a equação das ondas unidimensional
2
∂2u
2∂ u
=
c
∂t2
∂x2
onde u : R × [0, L] → R. Também poderemos ter versões tridimensionais destas equações como,
por exemplo, a equação do calor no espaço:
2
∂ u ∂ 2 u ∂ 2 u def
∂u
=k
+ 2 + 2 = k ∇2 u
∂t
∂x2
∂y
∂z
onde u = u(t, x, y, z), com t ∈ R e (x, y, z) ∈ D ⊂ R3 e ∇2 é o operador laplaciano.
Alguns problemas de equações diferencias parciais são de estudo muito difı́cil. Um dos mais
conhecidos exemplos consiste nas equações de Navier-Stokes
∂u
− (u · ∇)u = ν∇2 u + f (t, x)
∂t
div u = 0
onde u = u(t, x, y, z) ∈ D ⊂ R3 , com t ∈ R, (x, y, z) ∈ D ⊂ R3 . As suas soluções descrevem o
campo de velocidade, u, de um fluı́do incompressı́vel de viscosidade ν que ocupa o domı́nio D e
está sujeito a uma força exterior f . Trata-se, pois, de uma equação diferencial parcial vectorial,
que é bem conhecida pelas suas aplicações à hidrodinâmica e aerodinâmica. Para uma descrição
de um problema em aberto relacionado com estas equações ver
http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations
Dedicaremos o que resta deste capı́tulo ao estudo das equações diferenciais ordinárias.
2.1.2
Ordem e Soluções de uma Equação Diferencial Ordinária
Uma equação diferencial (ordinária ou parcial) diz-se de ordem n se a maior ordem das derivadas
das suas variáveis dependentes y1 , · · · ym é n. Representamos o espaço vectorial das funções
contı́nuas y : I → Rm (com I um intervalo aberto) por C(I, Rm ), que abreviaremos para C(I). O
espaço vectorial das funções contı́nuas e com derivadas contı́nuas até à ordem n será representado
por C n (I, Rm ) ou, abreviadamente, C n (I). Assim:
n
o
C n (I) = y ∈ C(I) : y ′ , y ′′ , · · · y (n) ∈ C(I)
106
2.1. INTRODUÇÃO
Uma função f é de classe C n em I se e só se f ∈ C n (I).
Diz-se que uma função y ∈ C n (I), onde I é um intervalo aberto, é uma solução da equação
diferencial (em I) se satisfaz a equação para qualquer t ∈ I, ou seja, se substituindo y1 (t) · · · yn (t)
na equação diferencial se obtém uma identidade, qualquer que seja t ∈ I.
Consideraremos equações diferenciais ordinárias de 1a ordem (escalares ou vectoriais) que
podem ser explicitadas na forma:
dy
= f (t, y),
dt
onde f : I × D, e onde D é um subconjunto aberto de Rm . Uma solução da equação (1) é uma
função y ∈ C 1 (I, Rm ) tal que y(t) ∈ D e y ′ (t) = f (t, y(t)) para qualquer t ∈ I.
Como veremos posteriormente, o estudo de alguns tipos de equações ordinárias de ordem n
(escalares ou vectoriais) pode ser reduzido ao das equações vectoriais de 1a ordem. Por exemplo,
na 2a Lei de Newton (2.1), introduzindo como variável dependente a quantidade de movimento,
p = mṙ, obtém-se a equação vectorial de 1a ordem:


 ṙ =


2.1.3
1
p
m
ṗ = F (t, r)
Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem
Como exemplo, escrevemos a mais simples equação diferencial de 1a ordem, no caso escalar:
y ′ = g(t).
A solução geral desta equação, que se obtém por primitivação, é
y(t) =
Z
g(t)dt + C,
estando bem definida em qualquer intervalo onde g é contı́nua. Note-se que existe uma infinidade
de soluções para a equação diferencial; o mesmo se passa com qualquer equação diferencial
ordinária de 1a ordem, y ′ = f (t, y), desde que f seja uma função contı́nua num conjunto aberto.
Acrescentando à equação de 1a ordem uma condição inicial, obtém-se um problema de valor
inicial (ou problema de Cauchy):
 ′
 y = f (t, y)
(2.2)

y(t0 ) = y0
Em certas condições (veremos isso mais tarde) um problema de valor inicial tem solução única.
O intervalo máximo de solução, Imax , do problema de valor inicial é o “maior intervalo” onde
o problema (2.10) tem solução. Mais exactamente, Imax é o intervalo maximal de existência de
solução 1 .
1
O intervalo Imax diz-se maximal no sentido em que existe uma solução de (2.10) em Imax e qualquer outro
intervalo onde uma solução de (2.10) está definida está contido em Imax
107
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
2.2
2.2.1
Equações Escalares de Primeira Ordem
Determinação da Solução Geral
Muitos métodos de determinação da solução geral de equações diferenciais escalares de 1a ordem
baseiam-se na redução da equação a uma igualdade do tipo
d
(2.3)
G t, y(t) = g(t),
dt
onde G = G(t, y), g = g(t) e a derivada no 1o membro da equação é uma derivada total em
ordem a t. Por primitivação, a solução geral de (2.3), escrita na forma implı́cita, é:
Z
G(t, y(t)) = g(t)dt + C
2.2.2
Equações Lineares
Uma equação escalar de primeira ordem diz-se linear, se pode ser escrita na forma
ẏ + a(t)y = b(t)
(2.4)
A equação diz-se homogénea se b(t) ≡ 0. Nesse caso, ela é equivalente a
y′
= −a(t)
y
d
log |y| = −a(t)
dt
⇔
Primitivando, obtém-se:
log |y| = −
Z
Z
a(t)dt + C ⇔ |y| = e exp − a(t)dt
Z
⇔ y(t) = ±D exp − a(t)dt
C
onde D = eC > 0. Fazendo K = ±D e notando que y(t) ≡ 0 também é solução, obtemos a
solução geral da equação linear homogénea
Z
y(t) = K exp − a(t)dt ,
t∈I
onde I é qualquer intervalo aberto onde a(t) é contı́nua e K ∈ R.
Resolvamos agora a equação não homogénea. Multiplicando a equação (2.4) por uma função
µ(t) tal que µ̇ = a(t)µ, por exemplo, tomando
Z
a(t)dt
µ(t) = exp
obtém-se a equação equivalente 2 :
µ(t)ẏ + µ(t)a(t)y = µ(t)b(t)
2
⇔
As equações são equivalentes pois µ(t) = e
µẏ + µ̇y = µ(t)b(t)
R
a(t)dt
6= 0, para qualquer t
108
⇔
d µy = µ(t)b(t)
dt
2.2. EQUAÇÕES ESCALARES DE PRIMEIRA ORDEM
Assim, a solução geral de (2.4) é dada pela expressão:
Z
i
1 h
µ(t)b(t)dt + C
y(t) =
µ(t)
Teorema: (Existência de solução de um PVI com equação linear)
Seja I ⊂ R, a e b funções contı́nuas em I e t0 ∈ I. Então, para qualquer y0 ∈ R, o PVI

 ẏ + a(t)y = b(t)

admite solução única
y(t) =
definida para todo t ∈ I.
y(t0 ) = y0
1 h
µ(t)
Z
t
µ(s)b(s)ds + µ(t0 )y0
t0
i
Exemplo
(1) Determinar a solução do seguinte problema de valor inicial, indicando o intervalo máximo
de existência de solução:
ẇ + w = e−2t
w(0) = 3
A equação ẇ + w = e−2t é linear, com a(t) ≡ 1 e b(t) = e−2t obviamente contı́nuas em R.
Um factor integrante (em I = R) para a equação é:
µ(t) = e
R
dt
= et
Sendo assim
ẇ + w = e−2t ⇔
d t e w = e−t ⇔ w(t) = e−t (−e−t + C) , C ∈ R
dt
Dado que w(0) = 3 conclui-se que C = 4 e a solução do PVI é
w(t) = e−t 4 − e−t
O intervalo máximo de solução corresponde ao maior intervalo onde w(t) está bem definida
e é continuamente diferenciável. Neste caso, Imax = R. Note que solução está definida (e
é continuamente diferenciável) em I = R, pois a(t) e b(t) são contı́nuas em R.
(2) Determinar a solução do (PVI)
2xyy ′ + (1 + x)y 2 = ex
,
x > 0 e y(1) = 2
efectuando a mudança de variável v = y 2 .
Tomando v = y 2 tem-se que v ′ = (y 2 )′ = 2yy ′ . Substituindo na equação
1
ex
xv ′ + (1 + x)v = ex ⇔ v ′ +
+1 v =
x
x
109
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Trata-se de uma equação linear, com a(x) = x1 + 1 e b(x) =
x > 0. Um factor integrante para a equação é:
ex
x
obviamente contı́nuas para
R
1
µ(x) = e ( x +1) dx = xex
Sendo assim
v′ +
pelo que
ex
d x xe v = e2x
+1 v =
⇔ xex v ′ + (1 + x)ex v = e2x ⇔
x
x
dx
1
v(x) =
e2x + c
xex
,
c∈R
Dado que v = y 2 , tem-se que
y(x) =
r
e2x + c
xex
ou
y(x) = −
r
e2x + c
xex
tendo-se o primeiro caso se a condição inicial for positiva e o segundo se a condição inicial
for negativa. Assim e dado que y(1) = 2 > 0, tem-se que a solução do (PVI) é
r
e2x + 4e − e2
y(x) =
xex
Como e2x + 4e − e2 é sempre positivo e xex > 0 se e só se x > 0, então
e2x + 4e − e2
>0⇔x>0
xex
Além disso, o valor inicial x0 = 1 é positivo. Assim, Imax =]0, +∞[.
2.2.3
Equações Separáveis
Uma equação escalar de primeira ordem, diz-se separável se pode ser escrita na forma
f (y)
dy
= g(t)
dt
(2.5)
Para se poder encontrar a sua solução geral, é necessário que f e g estejam definidas e sejam
contı́nuas em subconjuntos
abertos de R.
R
Se F (y) = f (y)dy então:
dy
dy
d
F (y) = F ′ (y)
= f (y)
= g(t).
dt
dt
dt
Em consequência, a solução geral da equação (2.5) é dada implicitamente por
Z
Z
f (y)dy = g(t)dt + C
Note que a equação anterior é da forma
Φ(t, y) = C
onde Φ(t, y) = F (y) −
110
Z
g(t)dt
2.2. EQUAÇÕES ESCALARES DE PRIMEIRA ORDEM
Considere-se uma condição inicial genérica, y(t0 ) = y0 . Se C for escolhido por forma a que (t0 , y0 )
verifique a equação implı́cita, isto é, C = Φ(t0 , y0 ), então o gráfico da solução do PVI é uma
curva de nı́vel da função Φ(t, y). Para ser possı́vel definir uma função S(t) tal que y = S(t) seja
a única solução da equação implı́cita numa vizinhança de t0 , isto é, para que, para (t, y) numa
vizinhança de (t0 , y0 ),
Φ(t, y) = C
⇔
y = S(t)
então é obviamente necessário que a equação Φ(t, y) = C tenha uma e uma só solução pois, caso
contrário, não se pode definir a função S(t). Neste caso, S(t) diz-se uma solução explı́cita (local)
de Φ(t, y) = C. Para poder concluir da existência de solução explı́cita local da equação, é útil o
seguinte teorema:
Teorema da função implı́cita (em R2 ):
Seja G : D → R uma função de classe C 1 num conjunto aberto D ⊂ R2 tal que (t0 , y0 ) ∈ D,
G(t0 , y0 ) = 0 e
∂G
(t0 , y0 ) 6= 0.
∂y
Então a equação
G(t, y) = 0
define uma única função y de classe C 1 numa vizinhança de t0 tal que y(t0 ) = y0 e:
G(t, y(t)) = 0
para t nessa vizinhança.
No caso presente, temos G(t, y) = Φ(t, y) − C, pelo que:
∂
Φ − C (t0 , y0 ) = F ′ (y0 ) = f (y0 ).
∂y
Consequentemente, basta verificar que f (y0 ) 6= 0 para garantir a existência de solução explı́cita
do PVI numa vizinhança de t0 .
Teorema: (Existência de solução (local) do PVI para a equação separável)
Sejam f e g funções reais de variável real contı́nuas em vizinhanças de y0 e t0 respectivamente.
Se f (y0 ) 6= 0, então o PVI

dy

= g(t)
 f (y)
dt


y(t0 ) = y0
admite solução única definida numa vizinhança de t0 . A solução é definida implicitamente pela
equação
Z y
Z t
f (u)du =
g(s)ds
y0
ou, equivalentemente,
Z
t0
f (y)dy −
Z
g(t)dt = C,
com C determinado pela condição inicial y(t0 ) = y0 .
111
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Exemplo
(1) Determinar a solução do PVI

 dy = y(x − 3)
dx
 y(0) = 5
Para determinar soluções tais que y(t) 6= 0, para qualquer t:
Z
1 dy
d
x2
dy
1
= y(x − 3) ⇔
=x−3 ⇔
dy = x − 3 ⇔ log|y| =
− 3x + C
dx
y dx
dx
y
2
pelo que a solução geral da equação é dada por
y(x) = Ke
x2
−3x
2
,
com
K∈R
(Note que y(t) ≡ 0 também é solução da equação diferencial). Atendendo a que y(0) = 5
tem-se que K = 5 e como tal a solução do PVI é
y(x) = 5e
x2
2
−3x
O domı́nio de diferenciabilidade da função y é R, pelo que o intervalo máximo de existência
de solução é Imax = R. (Observe-se também que y(t) 6= 0, para todo o t ∈ R, pelo que as
equivalências acima são sempre válidas).
(2) Determinar a solução do PVI

 dy = −3y
dx
 y(0) = y
0
dy
= −3y admite a solução de equilı́brio (ou
Note-se em primeiro lugar que a equação dx
constante) y(x) ≡ 0, mas esta solução só verifica a condição inicial no caso em que y0 = 0.
Para determinar soluções não constantes,
Z
1 dy
d
1
dy
= −3y ⇔
= −3 ⇔
dy = −3 ⇔ log|y| = −3x + C
dx
y dx
dx
y
pelo que a solução geral da equação é dada por
y(x) = Ke−3x
Atendendo a que y(0) = y0 tem-se que K = y0 e como tal a solução do PVI é
y(x) = y0 e−3x
Na Figura (2.1) encontra-se o traçado de algumas destas soluções. Note-se, em particular,
que a solução constante, y(x) ≡ 0, tem a seguinte propriedade:
1. Todas as outras soluções se aproximam de y(x) ≡ 0 quando x → +∞.
2. Todas as outras soluções se afastam de y(x) ≡ 0 quando x → −∞.
Devido à propriedade 1, dizemos que a solução y(x) ≡ 0 é assimptoticamente estável quando
x → +∞.
112
2.2. EQUAÇÕES ESCALARES DE PRIMEIRA ORDEM
6
4
2
K=0
K=-1/2
K=-1/2
K=1/2
K=1
0
−2
−4
−6
-0.45
-0.33
-0.21
-0.09
0.03
0.15
0.27
0.39
Figura 2.1: A solução de equilı́brio y(t) ≡ 0 e as soluções correspondentes a y0 = ±1/2, y0 = ±1..
2.2.4
Equações Exactas
Seja A ⊂ R2 aberto e M, N : A → R. Uma equação diferencial do tipo
M (t, y) + N (t, y)
dy
=0
dt
(2.6)
diz-se exacta se e só se é equivalente a
d
φ(t, y) = 0,
dt
(2.7)
onde φ : A → R é de classe C 1 .
A solução geral, na forma implı́cita, da equação exacta é, então:
com C ∈ R.
φ(t, y) = C,
Em que condições existe uma tal função φ, de forma a que a equação (2.6) seja equivalente
a (2.7)? Começamos por notar que a equação (2.7) se pode escrever:
∂φ ∂φ dy
+
=0
∂t
∂y dt
(2.8)
Comparando a equação (2.6) com (2.8), concluı́mos que para (2.6) ser exacta é necessário e
suficiente que:
∂φ
∂φ
e
N=
,
M=
∂t
∂y
113
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
ou seja, (M, N ) = ∇φ, para certa função φ ∈ C 1 (A, R). Isto é equivalente a dizer que o campo
(M, N ) é um campo gradiente 3 .
Exemplo: as equações separáveis, como vimos, podem-se escrever na forma
−g(t) + f (y)
dy
= 0,
dt
onde g : A → R e f : B → R são contı́nuas 4 são exactas. De facto, basta tomar um potencial
φ : A × B → R dado por:
Z
Z
φ(t, y) = f (y)dy − g(t)dt.
Este exemplo não parece muito interessante, pois obtivémos o potencial a partir do conhecimento
prévio da solução geral da equação exacta.
Problemas mais interessantes – no sentido em que não podem ser facilmente resolvidos por
outros métodos – podem-se abordar tomando como ponto de partida a seguinte (e já vossa
conhecida) condição necessária para que um campo seja gradiente.
Proposição: se A ⊂ R2 é aberto e simplesmente conexo, M, N : A → R são de classe C 1 e
∂M
∂N
=
∂y
∂t
em A
então existe φ : A → R de classe C 2 tal que (M, N ) = ∇φ. Em particular, isto implica que a
equação M (t, y) + N (t, y)y ′ = 0 é exacta.
Considerando agora um problema de valor inicial de uma equação exacta (2.7) com condição
inicial y(t0 ) = y0 , a sua solução geral é:
φ(t, y) = C,
com C = φ(t0 , y0 )
O teorema da função implı́cita garante a existência de solução local desde que:
∂
∂Φ
(Φ − C)(t0 , y0 ) =
(t0 , y0 ) = N (t0 , y0 ) 6= 0.
∂y
∂y
Teorema:(Existência de solução (local) do PVI para a equação exacta). Sejam A ⊂ R2 aberto
e simplesmente conexo e M, N : A → R de classe C 1 . Se
a)
∂N
∂M
=
em A,
∂y
∂t
b) N (t0 , y0 ) 6= 0,
então existe φ : A → R de classe C 1 tal que 5 .
φ(t, y) = C,
com C = φ(t0 , y0 )
(M, N ) : A → R é um campo gradiente com um potencial φ ∈ C 1 (A, R).
A, B ⊂ R são conjuntos abertos
5
De facto, as hipóteses garantem que φ é de classe C 2 ; mas esta conclusão mais forte não é necessária para o
que iremos fazer.
3
4
114
2.2. EQUAÇÕES ESCALARES DE PRIMEIRA ORDEM
define implicitamente a solução do problema de valor inicial:
para t numa vizinhança de t0 .

dy

=0
 M (t, y) + N (t, y)
dt


y(t0 ) = y0
Exemplo
(1) Determinar a solução geral da equação
e4x + 2xy 2 + (cos y + 2x2 y)
dy
=0
dx
Sendo
M (x, y) = e4x + 2xy 2
e
N (x, y) = cos y + 2x2 y
é fácil de verificar que
(i) M e N são continuamente diferenciáveis em U = R2 ;
∂N
∂M
= 4xy =
para todo (x, y) ∈ R2 .
(ii)
∂y
∂x
Conclui-se que (M, N ) é um campo gradiente em R2 , isto é, existe Φ : R2 → R tal que
∇Φ = (M, N ).
Cálculo de Φ
∂Φ
= M ⇒ Φ(x, y) =
∂x
Z
(e4x + 2xy 2 ) dx + C(y) ⇒ Φ(x, y) =
e4x
+ x2 y 2 + C(y)
4
e, por outro lado
∂Φ
= N ⇒ 2x2 y + C ′ (y) = cos y + 2x2 y ⇒ C(y) = sen y + D
∂y
pelo que
Φ(x, y) =
e4x
+ x2 y 2 + sen y + D , D ∈ R
4
Resolução da equação
Nestas circunstâncias
e4x + 2xy 2 + (cos y + 2x2 y)
d e4x
dy
=0 ⇔
+ x2 y 2 + sen y + D = 0
dx
dx 4
pelo que a solução geral da equação é definida implicitamente por
e4x
+ x2 y 2 + sen y = K , K ∈ R
4
115
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
2.2.5
Equações Redutı́veis a Exactas
Qualquer equação escalar de primeira ordem é redutı́vel a exacta, ou seja, pode ser transformada
numa equação exacta, multiplicando-a por uma função µ(t, y) apropriada. A função µ denominase por um factor integrante da equação, e pode ser calculado resolvendo a equação diferencial
parcial
∂(µN )
∂(µM )
=
∂y
∂t
No geral é impossı́vel de obter uma solução (explı́cita) para esta equação. Pode ser resolvida nos
casos em que o factor integrante, µ depende apenas de uma variável.
- A equação diferencial
dy
=0
dt
é redutı́vel a exacta, com factor integrante só dependendo de t, µ = µ(t), se a função
M (t, y) + N (t, y)
∂M
∂y
−
∂N
∂t
N
depender apenas de t. Se esta condição se verificar, o factor integrante é uma das soluções
da equação diferencial
∂N
∂M
∂y − ∂t
µ
µ̇ =
N
- A equação diferencial
dy
=0
dt
é redutı́vel a exacta, com factor integrante só dependendo de y, µ = µ(y), se a função
M (t, y) + N (t, y)
∂N
∂t
−
∂M
∂y
M
depender apenas de y. Se esta condição se verificar, o factor integrante é uma das soluções
da equação diferencial
∂M
∂N
∂t − ∂y
µ
µ̇ =
M
Em qualquer dos casos, a solução da equação inicial será dada por
Φ(t, y) = C
em que Φ satisfaz
∂Φ
= µM
∂t
,
∂Φ
= µN
∂y
Exemplos:
1. Considere a equação diferencial
3x2 y + 2xy + y 3 + (x2 + y 2 )
116
dy
=0
dx
2.2. EQUAÇÕES ESCALARES DE PRIMEIRA ORDEM
Sendo
M (x, y) = 3x2 y + 2xy + y 3
N (x.y) = x2 + y 2
,
é fácil de concluir que M e N têm derivada contı́nua em R2 (são funções polinomiais) e
∂M
= 3x2 + 2x + 3y 2
∂y
,
∂N
= 2x
∂x
pelo que a equação não é exacta. Admitindo que é redutı́vel a exacta, existe um factor
integrante µ tal que a equação
(3x2 y + 2xy + y 3 )µ + (x2 + y 2 )µ
dy
=0
dx
é exacta. Pelo que
(3x2 y + 2xy + y 3 )
∂µ
∂µ
+ (3x2 + 2x + 3y 2 )µ = (x2 + y 2 )
+ 2xµ
∂y
∂x
Supondo que µ = µ(x) (o que implica ∂µ/∂y = 0) tem-se que
(3x2 + 2x + 3y 2 )µ = (x2 + y 2 )µ′ (x) + 2xµ ⇔
3x2 + 2x + 3y 2 − 2x
µ′ (x)
=
=3
µ(x)
x2 + y 2
Pode-se então verificar que a equação µ′ (x)/µ(x) = 3 é possı́vel de resolver (o segundo
membro não depende de y), e como tal o factor integrante é µ(x) = e3x .
Considere-se então a equação
e3x (3x2 y + 2xy + y 3 ) + e3x (x2 + y 2 )
dy
=0
dx
que por construção é exacta: observe-se que as funções e3x (3x2 y + 2xy + y 3 ) e e3x (x2 + y 2 )
são diferenciáveis em R2 , e
i
i
∂ h 3x 2
∂ h 3x 2
e (3x y + 2xy + y 3 ) =
e (x + y 2 )
∂y
∂x
Sendo assim (µM, µN ) é um campo gradiente em R2 , isto é, existe Φ : R2 → R tal que
∇Φ = (µM, µN ).
Cálculo de Φ
∂Φ
= M µ ⇒ Φ(x, y) =
∂x
Z h
i
e3x (3x2 y + 2xy + y 3 ) dx + C(y)
⇒ Φ(x, y) = x2 ye3x +
y 3 3x
e + c(y)
3
e, por outro lado
∂Φ
= µN ⇒ (x2 + y 2 )e3x + C ′ (y) = e3x (x2 + y 2 ) ⇒ C(y) = const.
∂y
117
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
pelo que
y 3 3x
e + const. , const. ∈ R
3
Φ(x, y) = x2 ye3x +
Resolução da equação
Nestas circunstâncias
3x2 y + 2xy + y 3 + (x2 + y 2 )
dy
dy
= 0 ⇔ e3x (3x2 y + 2xy + y 3 ) + e3x (x2 + y 2 )
=0
dx
dx
⇔
d 2 3x y 3 3x
x ye + e + const. = 0
dx
3
pelo que a solução geral da equação é definida implicitamente por
x2 ye3x +
y 3 3x
e =k , k∈R
3
2. Considere a equação diferencial
y + (2xy − e−2y )
dy
=0
dx
Sendo
M (x, y) = y
N (x.y) = 2xy − e−2y
,
é fácil de concluir que M e N têm derivada contı́nua em R2 e
∂M
=1
∂y
,
∂N
= 2y
∂x
pelo que a equação não é exacta. Admitindo que é redutı́vel a exacta, existe um factor
integrante µ tal que a equação
yµ + (2xy − e−2y )µ
é exacta. Pelo que
y
dy
=0
dx
∂µ
∂µ
+ µ = (2xy − e−2y )
+ 2yµ
∂y
∂x
Supondo que µ = µ(x) (o que implica ∂µ/∂y = 0) tem-se que
µ = (2xy − e−2y )µ′ (x) + 2yµ ⇔
µ′ (x)
1 − 2y
=
µ(x)
2xy − e−2y
1 − 2y
não depende apenas da variável x, pelo que
2xy − e−2y
não existe factor de integração dependendo apenas de x.
É fácil de verificar que a função
Supondo agora que µ = µ(y) (o que implica ∂µ/∂x = 0) tem-se que
yµ′ + µ = 2yµ ⇔
118
µ′ (y)
2y − 1
=
µ(y)
y
2.3. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E PROLONGAMENTO DE SOLUÇÕES
Pode-se então verificar que a equação µ′ (y)/µ(y) = (2y − 1)/y é possı́vel de resolver (o
e2y
.
segundo membro depende apenas de y), e como tal o factor integrante é µ(y) =
y
Considere-se então a equação
1 dy
=0
e2y + 2xe2y −
y dx
que por construção é exacta: observe-se que as funções
em R2 \ {(x, 0) : x ∈ R}, e
∂ h
∂ h 2y i
=
e
2xe2y −
∂y
∂x
e2y e 2xe2y −
1
y
são diferenciáveis
1i
y
Sendo assim (µM, µN ) é um campo gradiente em {(x, y) ∈ R2 : y > 0} (ou em {(x, y) ∈
R2 : y < 0}), isto é, existe Φ : {(x, y) ∈ R2 : y > 0} → R (ou Φ : {(x, y) ∈ R2 : y <
0} → R) tal que ∇Φ = (µM, µN ).
Cálculo de Φ
∂Φ
= M µ ⇒ Φ(x, y) =
∂x
e, por outro lado
Z h
i
e2y dx + C(y) ⇒ Φ(x, y) = xe2y + c(y)
∂Φ
1
= µN ⇒ 2xe2y + C ′ (y) = 2xe2y −
⇒ C(y) = −log|y| + const.
∂y
y
pelo que
Φ(x, y) = xe2y − log|y| + const. , const. ∈ R
Resolução da equação
Nestas circunstâncias, para y 6= 0
y + (2xy − e−2y )
dy
1 dy
= 0 ⇔ e2y + (2xe2y − )
=0
dx
y dx
d 2y
⇔
xe − log |y| + const. = 0
dx
pelo que a solução geral da equação é definida implicitamente por
xe2y − log |y| = k , k ∈ R
2.3
Existência, Unicidade e Prolongamento de Soluções
Consideramos o problema de valor inicial (PVI)

dy

= f (t, y)

dt


y(t0 ) = y0
119
(2.9)
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
onde a função f : D → R tem domı́nio aberto D ⊂ R2 . É costume designar f (t, y) por campo de
direcções da equação diferencial em (2.10); isto deriva do facto de a recta tangente ao gráfico
das soluções da equação diferencial ter, em cada ponto (t, y) desse gráfico, declive igual a
f (t, y). Note que se y(t) é solução da equação diferencial então f (t, y(t)) = dy
dt (t).
Nesta secção estudamos as condições que a função f (t, y) deve verificar para que a solução
do PVI:
• exista;
• seja única;
• esteja definida num intervalo maximal I =]a, b[.
Estas questões matemáticas são muito importantes do ponto de vista das aplicações. Os
métodos numéricos que na prática são aplicados no cálculo aproximado de soluções de uma
equação diferencial ordinária exigem, como hipótese, que a solução do PVI exista, seja única e
que dependa continuamente das condições iniciais — isto é, que seja um problema bem posto. É
sabido que quando um PVI falha uma daquelas propriedades as soluções dos esquemas numéricos
correspondentes podem exibir comportamentos que as tornam inúteis, na óptica das aplicações.
2.3.1
Teorema de Peano
Se exigirmos apenas continuidade de f (t, y), podemos provar o:
Teorema de Peano (Existência de solução local)
Considere-se D ⊆ R2 aberto, e f : D → R, contı́nua em (t, y) ∈ D. Se (t0 , y0 ) ∈ D, o
problema de valor inicial
ẏ = f (t, y)
y(t0 ) = y0
admite pelo menos uma solução, y(t), num intervalo ]t0 − α, t0 + α[ para certo α > 0.
Pode-se então colocar a questão de saber se a continuidade de f (t, y) é suficiente para provar
unicidade de solução. A subsecção seguinte mostra que a resposta a esta questão é negativa.
2.3.2
Exemplo de não unicidade de solução
Considere-se o problema de valor inicial:

 dy = |y|1/2
dt
y(0) = 0 ,
Vamos construir um conjunto infinito de soluções para este PVI.
Começamos por notar que a solução constante y(t) ≡ 0 é solução do PVI. Por outro lado,
admitindo que y(t) > 0, a equação pode ser escrita na forma
Z
d
−1/2 dy
y −1/2 dy = 1 ⇔ 2y 1/2 = t + c
=1 ⇔
y
dt
dt
120
2.3. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E PROLONGAMENTO DE SOLUÇÕES
Desta forma, para t + c > 0 ⇔ t > −c, a função
y(t) =
1
(t + c)2
4
é continuamente diferenciável e satisfaz a equação diferencial para t > −c.
Figura 2.2: A solução de equilı́brio y(t) ≡ 0 e a solução y(t) = t2 /4.
Podemos agora utilizar o método de “cortar” e “colar” a partir das soluções y(t) ≡ 0 e
y(t) = 41 (t + c)2 , para t > −c, para criar novas soluções do PVI. Será necessário, obviamente,
que que no “ponto de colagem” a nova solução seja uma função contı́nua, diferenciável e que
verifique a equação diferencial.
Figura 2.3: As soluções do PVI quando c = 0.
Para t1 > 0, defina-se
yt1 (t) =


 0
se t ≤ t1

 1 t − t 2 se t > t
1
1
4
Verifica-se que yt1 é diferenciável e verifica a equação diferencial em R\{t1 }, pois foi construı́da
à custa das soluções y(t) ≡ 0 e y(t) = 14 (t + c)2 , com c = −t1 . Note que esta escolha de c faz
121
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
precisamente com que
⇔
lim yt0 (t) = lim yt1 (t)
t→t+
1
t→t−
1
0=
t
1
2
−k
2
,
ou seja, que yt1 seja contı́nua em t1 e yt1 (t1 ) = 0. Também as derivadas laterais de yt1 em t1
existem e são nulas, pelo que yt1 satisfaz a equação diferencial em t1 .
Figura 2.4: As soluções yt1 com t1 = 1/5, t1 = 1/2 e t1 = 6/5.
O facto de existir uma infinidade de soluções mostra que a continuidade da função f (t, y) =
no seu domı́nio não é suficiente para garantir unicidade de solução para o PVI.
De facto, temos que
|f (t, x) − f (t, y)| =
onde o termo
p
p
√
y
p
|x| − |y|
|x − y|,
x−y
p
|x| − |y|
,
x−y
não é limitado para x e y num vizinhança qualquer da origem. Isto implica, em particular, que
fixando y = 0 as taxas médias de crescimento da função f não são limitadas. Ora, foi precisamente
nos pontos onde a solução da equação é nula que se observou a bifurcação de soluções!
2.3.3
Condição de Lipschitz
Nesta secção definiremos uma classe de funções contı́nuas que não são necessáriamente diferenciáveis relativamente a y, mas para as quais o Teorema de Picard é válido. O exemplo anterior
sugere que se introduza a seguinte condição adicional sobre f , que é devida a Lipschitz.
Considere-se f : D → R, onde D ⊂ R2 . Diz-se que
122
2.3. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E PROLONGAMENTO DE SOLUÇÕES
• f é lipschitziana relativamente a y em D sse
|f (t, y) − f (t, w)| ≤ K|y − w|
. ∀(t, y), (t, w) ∈ D
A constante K ∈ R+ é denominada a constante de Lipschitz. Observe-se que se a função
f é lipschitziana relativamente a y em D, verificará
f (t, y) − f (t, w)
≤K
y−w
. ∀(t, y), (t, w) ∈ D
o que significa que a taxa de crescimento de f relativamente à segunda coordenada, é
limitada em D. Em particular isto significa que:
– Se ∂f /∂y existe (em D), então ∂f /∂y é uma função limitada em D;
– Se ∂f /∂y não existe em todos os pontos de D (porque não existe lim
para algum (t, y) ∈ D), ainda assim a razão incremental
limitada, para todo h numa vizinhança de 0.
f (t,y+h)−f (t,y)
,
h
h→0
f (t,y)−f (t,y+h)
h
será sempre
• f é localmente lipschitziana relativamente a y em D sse for lipschitziana relativamente
a y em todo o subconjunto compacto de D.
• Critério
∂f
existe e é contı́nua em D ⊂ R2 então f é
∂y
localmente lipschitziana relativamente a y em D.
Se f é contı́nua num aberto D ⊂ R2 e
2.3.4
Teorema de Picard
Enunciaremos, de seguida, o resultado que estabelece existência e unicidade de solução de um
problema de valor inicial relativo a uma equação diferencial ordinária e escalar de primeira ordem.
Veremos mais tarde que este teorema pode ser generalizado às equações vectoriais de primeira
ordem, garantindo nessa versão a existência e unicidade de problemas de valor inicial envolvendo
essas equações e (como sua consequência) também envolvendo equações lineares de ordem n.
Teorema de Picard
Considere-se D ⊆ R2 aberto e f : D → R contı́nua e localmente lipschitziana relativamente a y
em D. Se (t0 , y0 ) ∈ D, o problema de valor inicial
ẏ = f (t, y)
y(t0 ) = y0
admite uma única solução, y(t), definida numa vizinhança de t0 , isto é, num intervalo ]t0 −α, t0 +α[
para algum α > 0.
A demonstração deste teorema é feita de forma construtiva, sendo obtida a solução à custa de
uma sucessão de aproximações da solução. Apresentaremos em seguida essa construção e depois
os vários passos da demonstração do teorema.
123
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Equivalência entre o Problema de Valor Inicial e um Problema Integral
É fácil verificar que o problema de valor inicial

dy

= f (t, y)

dt


y(t0 ) = y0
(2.10)
é equivalente à equação integral
y(t) = y0 +
Z
t
t0
f s, y(s) ds
(2.11)
para y ∈ C 1 (I), sendo I qualquer intervalo aberto contendo t0 .
De facto, se y ∈ C 1 (I) satisfaz o PVI (2.10) então, integrando ambos os membros da equação
diferencial entre t0 e t e usando o teorema fundamental do cálculo:
Z t
Z t
Z t
′
y (s) ds =
f s, y(s) ds ⇔ y(t) − y(t0 ) =
f s, y(s) ds
t0
t0
t0
Usando agora a condição inicial do PVI (2.10), obtém-se a equação integral (2.11).
Reciprocamente, admitindo que y ∈ C 1 (I) é solução da equação integral (2.11) então, aplicando o teorema fundamental do cálculo ao integral do membro direito da equação conclui-se que
y(t) é diferenciável e que:
dy
= f (t, y(t)) ∀t ∈ I.
dt
Assim sendo, y(t) é solução da equação diferencial. Por outro lado, substituindo t por t0 na
equação integral (2.11), obtém-se y(t0 ) = y0 .
A equação integral é, do ponto de vista da análise matemática, muito útil pois a estimação
de integrais é mais fácil que a das derivadas.
Iteradas de Picard
Derivamos agora a partir da equação integral uma sucessão de aproximações — as iteradas de
Picard. Trata-se de uma sucessão de funções contı́nuas yn : I → R definida recursivamente por:
y0 (t) = y0
t
y1 (t) = y0 +
Z
t
y2 (t) = y0 +
Z
Z
t
t0
t0
..
.
yn+1 (t) = y0 +
t0
..
.
124
f s, y0 (s) ds
f t, y1 (s) ds
f s, yn (s) ds
2.3. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E PROLONGAMENTO DE SOLUÇÕES
Exemplo 1: Considere-se o PVI
 ′
 y = 2xy

A solução do PVI (2.12) é
y(x) = ex
(2.12)
y(0) = 1
2
,
IMax = R
Por outro lado a sucessão (yn )n∈N0 das iteradas de Picard associadas ao (PVI) é
y0 (x) = y0 = 1
y1 (x) = 1 +
Z
t
Z
x
Z
x
2sy0 (s) ds = 1 +
(2sy1 (s)) ds = 1 +
(2s) ds = 1 + x2
Z
x
Z
x
2s(1 + s2 ) ds = 1 + x2 +
0
0
y3 (x) = 1 +
x
0
0
y2 (x) = 1 +
Z
(2sy2 (s)) ds = 1 +
2s(1 + s2 +
0
0
x4
2
x4 x6
s4
) ds = 1 + x2 +
+
2
2
6
..
.
Na Figura (2.5) estão representadas as primeiras iteradas de Picard assim como a solução do
(PVI).
3
2.5
2
y_1
y_2
y_3
y(t)
1.5
1
0.5
-0.05
0.07
0.19
0.31
0.43
0.55
0.67
0.79
0.91
Figura 2.5: Algumas iteradas de Picard e a solução do (PVI) (2.12).
125
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Pode-se verificar, por indução matemática, que:
n
yn (x) = 1 +
X x2k
x2k
x2 x4
+
··· +
+ ··· =
.
1!
2!
k!
k!
k=0
Neste caso, a sucessão das iteradas de Picard, yn , é precisamente igual à sucessão das somas
2
parciais da série de Maclaurin da solução do (PVI), y(x) = ex . No entanto, e conforme se ilustra
no exemplo seguinte, tal tipo de identidade pode não se verificar mesmo em casos simples.
Exemplo 2: Considere-se o (PVI)
y′ = y2
y(0) = 1
(2.13)
Vamos construir a sucessão (yn )n∈N0 das iteradas de Picard associadas ao (PVI). Assim:
y0 (x) = y0 = 1
y1 (x) = 1 +
y2 (x) = 1 +
y3 (x) = 1 +
Rx
0
Rx
0
Rx
0
(y0 (s))2 ds = 1 +
(y1 (s))2 ds = 1 +
(y2 (s))2 ds = 1 +
= 1 + x + x2 + x3 +
2x4
3
Rx
1 ds = 1 + x
0
Rx
0
Rx
+
0
(1 + s)2 ds = 1 + x + x2 +
(1 + s + s2 +
x5
3
+
x6
9
+
s3 2
3 ) ds
x3
3
=
x7
63
..
.
Por outro lado, resolvendo a equação diferencial, obtém-se
Z
d
1
′
2
y =y ⇔
.
y −2 dy = 1 ⇔ y(x) =
dx
c−x
A solução do (PVI) será então
y(x) =
1
1−x
,
IMax =] − ∞, 1[
Na Figura (2.6) estão representadas as primeiras iteradas de Picard, bem como a solução do (PVI).
É de observar que quando nos aproximamos do ponto x = 1 (onde a solução do (PVI) explode)
a convergência das iteradas de Picard torna-se cada vez mais lenta.
Pode-se provar (a demonstração não é inteiramente trivial) que as iteradas de Picard deste
problema verificam
yn (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn + Rn+1 (x) = Sn (x) + Rn+1 (x)
(2.14)
onde Rn+1 (x) é uma função polinomial com um zero de ordem n + 1 em x = 0. Note que
Sn (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn é a sucessão das somas parciais da série geométrica, cuja soma é
1
, mas somente em ] − 1, 1[.
precisamente a solução do (PVI), y(x) = 1−x
126
2.3. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E PROLONGAMENTO DE SOLUÇÕES
15
10
5
y_0
y_1
y_2
y_3
y(t)
0
−5
-0.95
-0.75
-0.55
-0.35
-0.15
0.05
0.25
0.45
0.65
0.85
Figura 2.6: Algumas iteradas de Picard e a solução do (PVI) (2.13).
Em casos menos simples que estes dois exemplos — quando f (t, y) não é uma função polinomial — as iteradas de Picard não são polinomiais; no entanto, e mesmo sem se conhecer a forma
explı́cita dessas iteradas, pode-se usar a análise matemática para provar a sua convergência local.
Para concluir a demonstração do Teorema de Picard, iremos mostrar que a sucessão das
iteradas de Picard, dada por
yn+1 (t) = y0 +
Z
t
t0
f s, yn (s) ds ,
(2.15)
converge uniformemente num certo intervalo, I = [t0 − α, t0 + α] para uma função contı́nua, y(t).
A partir deste facto, e tomando o limite quando n → ∞ em ambos os membros da igualdade
(2.15), poderemos então concluir que y(t) satisfaz a equação integral (2.11) em I, pelo que deverá
ser solução do PVI no intervalo aberto ]t0 − α, t0 + α[.
Convergência Uniforme das Iteradas de Picard
Vamos então demonstrar que a sucessão das iteradas de Picard, yn (t), converge uniformemente
num intervalo [t0 − α, t0 + α], para certos α > 0 suficientemente pequenos (o intervalo de valores
possı́veis irá depender de t0 , y0 e f ).
127
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Começamos por estimar a diferença entre duas iteradas de Picard consecutivas 6 :
|yn+1 (t) − yn (t)| =
y0 +
Z
≤
t
Z
t
t0
f s, yn (s) ds − y0 −
Z
t
t0
f s, yn−1 (s) ds
f s, yn (s) − f s, yn−1 (s) |ds|
t0
Vamos estimar a função integranda através da condição de Lipschitz. Considere-se um rectângulo
R = {(t, y) ∈ R2 : t0 − a ≤ t ≤ t0 + a e y0 − b ≤ y ≤ y0 + b} contido no domı́nio, D, de f .
y
y0 + b
(t0 , y0 )
y0
R
y0 − b
t
t0 − a
t0 + a
t0
Figura 2.7: O rectângulo R.
Seja K a constante de Lipschitz de f (relativamente a y) no conjunto compacto R, ou seja, K
verifica:
|f (t, y) − f (t, x)| ≤ K|y − x|
∀(t, y), (t, x) ∈ R
(2.16)
Para que o gráfico das iteradas de Picard permaneça no interior de R (por forma a que a estimativa
de Lipschitz (2.16) seja válida quando aplicada a pontos (t, yn (t)), é necessário que:
1o ) t ∈]t0 − a, t0 + a[, pelo que devemos ter α < a.
2o ) Seja
M = max {|f (t, y)| : (t, y) ∈ R}
Para que t, yn (t) esteja no interior de R para t ∈ [t0 − α, t0 + α], é necessário que
|yn (t) − y0 | < b. Como
|yn (t) − y0 | ≤
Z
t
t0
f s, yn (s) |ds| ≤ M
Z
t
t0
|ds| = M |t − t0 | ≤ M α,
isso implica que devemos ter M α < b. Para tal, é preciso exigir α < b/M .
6
Se f : I → R é contı́nua no intervalo I e a, b ∈ I (sem que se tenha, necessariamente, b ≥ a) então obtém-se,
como caso particular da propriedade de majoração do integral complexo (Subsecção 1.5.2):
Z
Note que
Rb
a
|f (t)| |dt| é igual a
Rb
a
b
a
f (t)dt ≤
|f (t)| dt se b ≥ a e a
Z
b
a
Ra
b
128
|f (t)| |dt|.
|f (t)|dt se b < a. Em particular,
Rb
a
|dt| = |b − a|.
2.3. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E PROLONGAMENTO DE SOLUÇÕES
def
Assim, para qualquer t ∈ [t0 − α, t0 + α] = Iα :
Z
|yn+1 (t) − yn (t)| ≤
t
f s, yn (s) − f s, yn−1 (s) |ds|
t0
t
Z
≤
t0
K |yn (s) − yn−1 (s)| |ds|
≤ K max yn (s) − yn−1 (s)
s∈Iα
Z
t
t0
|ds|
≤ Kα max yn (s) − yn−1 (s)
s∈Iα
Isto implica que:
≤ Kα max yn (t) − yn−1 (t)
max yn+1 (t) − yn (t)
t∈Iα
t∈Iα
≤ (Kα)2 max yn−1 (t) − yn−2 (t)
t∈Iα
..
.
≤ (Kα)n max y1 (t) − y0
t∈Iα
Como y1 (t) − y0 =
Rt
t0
f (s, y0 ) ds, resulta então da desigualdade anterior que:
max yn+1 (t) − yn (t)
t∈Iα
n
≤ (Kα) max
t∈Iα
n
≤ (Kα) max
t∈Iα
≤ (Kα)n max
t∈Iα
Z
t
f (s, y0 ) ds
t0
t
Z
t0
Z t
t0
|f (s, y0 )| |ds|
M |ds|
= (Kα)n M α < (Kα)n b
Definindo r = Kα, então
max yn+1 (t) − yn (t) < br n .
t∈Iα
(2.17)
Utilizando somas telescópicas:
yn (t) − yn−1 (t) + yn−1 (t) − yn−2 (t) + . . .
. . . + y2 (t) − y1 (t) + y1 (t) − y0 + y0
n X
yk (t) − yk−1 (t)
= y0 +
yn (t) =
k=1
Isto significa que yn (t) é a sucessão das somas parciais da série
y0 +
n−1
X
k=0
yk (t) − yk−1 (t)
129
(2.18)
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
A terceira restrição que introduzimos ao valor de α é r = Kα < 1, ou seja α < 1/K. Assim,
P
k
como |r| < 1, ∞
k=m br é uma série geométrica convergente. Por outro lado, o termo geral da
série (2.18) verifica
yk (t) − yk−1 (t) ≤ br k ,
para k ≥ 1. Pelo critério de Weierstrass, yn (t) converge uniformemente em Iα , e o limite é a
soma da série de funções contı́nuas (2.18). Resulta assim que y : Iα → R existe e é contı́nua
desde que tomemos:
b 1
(2.19)
α < min a, ,
M K
Existência e Regularidade da Solução
Considerando agora as iteradas de Picard,
yn+1 (t) = y0 +
Z
t
t0
f t, yn (t) dt
(2.20)
e usando a convergência uniforme de yn (t) para y(t) em Iα , então tomando o limite em ambos
os membros de (2.20) conclui-se que que y(t) satisfaz a equação integral:
Z t
y(t) = y0 +
f t, y(t) dt
t0
Como y(t) é contı́nua em Iα , então f t, y(t) é contı́nua em Iα . Por aplicação do teorema
fundamental do cálculo ao 2o membro da equação integral, podemos concluir que y ∈ C 1 (Iα ).
Unicidade de Solução
Supondo que y(t) e z(t) são duas soluções do PVI, então verificam
Z t
y(t) = y0 +
f t, y(t) dt
t0
z(t) = y0 +
Z
t
t0
f t, z(t) dt
em Iα = [t0 − α, t0 + α], onde α satisfaz (2.19). Assim:
Z t
f s, y(s) − f s, z(s) |ds|
|y(t) − z(t)| ≤
t0
t
≤
Z
t0
K |y(s) − z(s)| |ds|
≤ K max y(s) − z(s)
s∈Iα
≤ Kα max y(s) − z(s)
Z
t
t0
s∈Iα
Como α < 1/K, ou seja, Kα < 1,
|y(t) − z(t)| ≤ max y(s) − z(s) ,
s∈Iα
130
|ds|
2.3. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E PROLONGAMENTO DE SOLUÇÕES
sendo a igualdade apenas verificada quando max y(s) − z(s) = 0. Como é impossı́vel que se
s∈Iα
verifique a desigualdade estrita para todo o t ∈ Iα (pois o máximo de |y(t) − z(t)| é atingido num
ponto t1 ∈ Iα ) concluı́mos que max y(s) − z(s) = 0, ou seja:
s∈Iα
y(t) = z(t)
∀t ∈ [t0 − α, t0 + α]
2.3.5
O teorema de Picard (revisitado) e alguns exemplos
Vejamos agora o enunciado do teorema que efectivamente provámos, onde se acrescenta a informação que obtivémos sobre o tamanho dos intervalos onde é garantida a existência e e unicidade
de solução.
Teorema de Picard
Considere-se D ⊆ R2 aberto e f : D → R contı́nua e localmente lipschitziana relativamente a y
em D. Se (t0 , y0 ) ∈ D, o problema de valor inicial
ẏ = f (t, y)
y(t0 ) = y0
admite uma única solução, y(t), definida numa vizinhança de t0 , isto é, num intervalo do tipo
]t0 − α, t0 + α[.
b 1
, K , onde a e b são as
Além disso, a conclusão acima é válida para qualquer α < min a, M
dimensões de um rectângulo R = {(t, y) ∈ R2 : |t − t0 | ≤ a e |y − y0 | ≤ b} contido em D 7 ,
M = max |f (t, y)| e K é uma constante de Lipschitz de f em R 8 .
(t,y)∈R
Supondo que f satisfaz as condições do teorema de Picard, podemos desde já concluir o
seguinte: os gráficos de quaisquer duas soluções distintas, y1 (t) e y2 (t) da mesma equação diferencial
y ′ = f (t, y)
não se podem intersectar; isto é, não existe t̃ ∈ R tal que
y1 (t̃) = y2 (t̃)
Isto porque, admitindo que o oposto seria válido então, e tomando ỹ = y1 (t̃) = y2 (t̃), o problema
de valor inicial
ẏ = f (t, y)
y(t̃) = ỹ
teria duas soluções distintas, y1 (t) e y2 (t), definidas numa vizinhança de t̃. Ora isto contradiz a
conclusão do teorema de Picard.
Exemplos:
7
8
Ver fig. 2.7
Ou seja, K > 0 é tal que |f (t, y) − f (t, x)| ≤ K|y − x| para quaisquer (t, y), (t, x) ∈ R.
131
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
(1) Considere-se o problema de valor inicial
p
dy
= 3 1 − xy
dx
√
Começemos por observar que f (x, y) = 3 1 − xy
,
y(0) = 0
(2.21)
• está definida e é contı́nua em R2 ;
• ∂f /∂y está definida e é contı́nua em R2 \ {(x, y) : xy = 1}, consequentemente, f é
localmente lipschitziana neste conjunto.
Conclui-se que f (x, y) verifica as condições do Teorema de Picard em D = R2 \{(x, y) : xy = 1}.
Dado que (x0 , y0 ) = (0, 0) ∈ D o problema de valor inicial (2.21) admite uma única solução, y(x)
definida numa vizinhança de x0 = 0.
(2) Considere-se o problema de valor inicial
p
dy
(2.22)
= 3 1 − xy , y(1) = 1
dx
√
Como vimos no exemplo anterior f (x, y) = 3 1 − xy verifica as condições do Teorema de Picard
em D = R2 \ {(x, y) : xy = 1}. Em primeiro lugar, e dado que f (x, y) é contı́nua em R2 ,
o Teorema de Peano garante que o PVI (2.22) admite pelo menos uma solução definida numa
vizinhança de x0 = 1. No entanto neste exemplo tem-se que (x0 , y0 ) = (1, 1) 6∈ D. Apesar
disso não se pode, de imediato, concluir que f (x, y) não verifica as condições do Teorema de
Picard num conjunto que contenha (1, 1). O facto de ∂f
∂y (1, 1) não existir não é suficiente para
garantir que f (x, y) não é lipschtziana em conjuntos contendo (1, 1); teremos, por isso, que o
verificar directamente. Assim, seja B qualquer subconjunto fechado e limitado de R2 , e (x, y1 ),
(x, y2 ) ∈ B:
|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| =
p
3
1 − xy1 −
p
3
1 − xy 2 =
√
3
√
1 − xy1 − 3 1 − xy 2
|y1 − y2 |
y1 − y2
Para que f seja lipschitziana em B, a quantidade
√
√
3
1 − xy1 − 3 1 − xy 2
L(x, y1 , y2 ) =
y1 − y2
tem que ser limitada para todos (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ B. Considere-se (x, y2 ) = (1, 1) e (x, y1 ) =
(1, 1 + h) para h ∈ R. Temos então que
L(1, 1, 1 + h) =
√
3
−h
= |h|−2/3
h
É então fácil de observar que para valores de h próximos de 0 (o que corresponde a estarmos em
pontos (x, y) próximos de (1, 1)), |h−2/3 | aproxima-se de ∞ pelo que L(1, 1, 1+h) não é limitada.
Concluimos que f não é lipschtziana em qualquer conjunto contendo o ponto (1, 1), pelo que não
se verificam as condições do Teorema de Picard numa vizinhança de (1, 1). Concluimos então que
não se pode garantir unicidade de solução para (2.22).
132
2.3. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E PROLONGAMENTO DE SOLUÇÕES
(3) Considere-se o problema de valor inicial
dy
= |x + y| ,
dx
y(1) = −1
(2.23)
Começemos por observar que f (x, y) = |x + y| está definida e é contı́nua em R2 o Teorema de
Peano garante que o PVI (2.23) admite pelo menos uma solução definida numa vizinhança de
x0 = 1. Por outro lado, ∂f /∂y está definida e é contı́nua em D = R2 \ {(x, y) : x + y = 0}.
Visto (x0 , y0 ) 6∈ D, teremos que averiguar directamente se f (x, y) é lipschitziana numa vizinhança
do ponto (x0 , y0 ) = (1, −1). conjunto limitado e fechado que contenha (1, −1). Assim, seja B
qualquer subconjunto fechado e limitado de R2 , e (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ B.
|f (x, y1 ) − f (x − y2 )| = | |x + y1 | − |x + y2 | | ≤ (x + y1 ) − (x + y2 ) = |y1 − y2 |
Tem-se então que f (x, y) é lipschitziana em B (com constante de Lipschitz L = 1, pelo que f é
localmente lipschitziana em R2 . O Teorema de Picard garante então unicidade de solução para
(2.23).
(4) Sendo a ∈ R, considere-se o problema de valor inicial
(
y ′ + ay = y 2 cos(y + t)
y(0) = 1
(2.24)
Definindo f (t, y) = −ay + y 2 cos(y + t), a equação pode-se escrever na forma y ′ = f (t, y). Notese que f (t, y) é continuamente diferenciável em R2 , logo é contı́nua e localmente lipshitziana
relativamente a y em R2 . Pelo teorema de Picard, existe solução única do problema de valor
inicial numa vizinhança de t0 = 0, ou seja, num intervalo ] − α, α[, para algum α > 0.
Determinemos agora um intervalo de valores de a para os quais a solução do problema (2.25)
está definida em R. Notando que a equação y ′ = f (t, y) = y(y − a) cos(y + t) tem as soluções
estacionárias u(t) ≡ 0 e v(t) ≡ a, basta tomarmos a > 1 para que se verifique
0 < y(0) = 1 < a
Como, pelo teorema de Picard, os gráficos de soluções distintas do problema y ′ = f (t, y) não se
podem intersectar, então uma solução que começa num ponto y(0) ∈]0, a[ deve permanecer nesse
intervalo (pois não se pode ter y(t) = u(t) = 0 ou y(t) = v(t) = a para qualquer t ∈ Imax ).
Assim sendo:
0 ≤ y(t) ≤ a
∀t ∈ Imax
Para concluirmos que Imax = R podemos aplicar o teorema de Picard (em versão melhorada)
sucessivamente. Por exemplo, tomando t1 = α e y1 = y(α), o problema
(
y ′ + ay = y 2 cos(y + t)
(2.25)
y(t1 ) = y1
tem solução única definida num intervalo ]t1 − α1 , t1 + α1 [, o que permite prolongar a solução
(única) do PVI (2.25) ao intervalo ] − α, α + α1 [. Repetindo este procedimento, pode-se provar
que Imax ⊃ [0, ∞[. Fazendo o mesmo do lado esquerdo do intervalo ]−α, α[, podemos igualmente
provar que Imax ⊃] − ∞, 0].
Em vez de discutirmos a prova neste exemplo particular, veremos na próxima secção uma
forma sistemática de o fazer utilizando o teorema do prolongamento da solução.
133
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
2.3.6
Prolongamento de Solução
Sem acrescentar mais condições a f , a conclusão do teorema de Picard pode ser substancialmente
melhorada da forma que em seguida se descreve.
Teorema (Prolongamento de Solução):
Seja D ⊂ R2 aberto, (t0 , y0 ) ∈ D, f : D → R contı́nua e localmente lipshitziana relativamente a
y em D. Então a solução única do problema de valor inicial
dy
= f (t, y) ,
dt
y(t0 ) = y0
está definida num intervalo máximo de definição, Imax =]a, b[, cujos extremos, a, b ∈ R, verificam
(i) b = +∞
(ii) b < +∞ e
(iii) b < +∞ e
ou
t, y(t) → ∂D quando t → b−
ou
lim |y(t)| = +∞
t→b−
e
(i) a = −∞
(ii) a > −∞ e
(iii) a > −∞ e
ou
t, y(t) → ∂D quando t → a+
ou
lim |y(t)| = +∞
t→a+
Note que os casos do tipo (iii) significam que a solução explode (respectivamente, quando
t → b ou t → a). Quanto aos casos do tipo (ii), por exemplo
t, y(t) → ∂D
quando t → b−
significa que qualquer ponto limite do gráfico de y(t) para t ∈ [t0 , b[ (este gráfico é o conjunto
{(t, y(t)) : t ∈ [t0 , b[} ⊂ R2 ) pertence à fronteira de D, ∂D. Isto é equivalente a dizer que
qualquer sucessão tn ∈ ]a, b[ tal que tn → b e y(tn ) é convergente verifica:
lim tn , y(tn ) ∈ ∂D
n→+∞
(e, analogamente, quando t → a+ ).
Dem.:
Vamos provar a conclusão do teorema para o prolongamento para a direita, isto é, até b.
Seja J o conjunto dos τ ∈ R tais que existe solução y : [t0 , τ ] → R do problema de valor
inicial 9 . Pelo teorema de Picard, J 6= ∅. Se J não for majorado, então a conclusão do teorema
é satisfeita pois verifica-se o caso (i). Por outro lado, se J é majorado, como J 6= ∅ então existe
b = sup J < +∞.
Note que se y : I → R e ỹ : I˜ → R (onde I ⊂ I˜ são intervalos), então a solução ỹ restrita a I é uma solução
do PVI em I. Resulta da unicidade de solução do PVI que ỹ(t) = y(t) para qualquer t ∈ I; ou seja, a restrição de
ỹ ao domı́nio de y, I, coincide necessariamente com y.
9
134
2.3. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E PROLONGAMENTO DE SOLUÇÕES
Admitamos que tanto (ii) como (iii) não se verificam. Como lim |y(t)| = +∞ não é verdade,
t→a+
b−
então existe uma sucessão sn →
tal que y(sn ) é limitada; sendo limitada, tal sucessão tem
uma subsucessão convergente. Isto mostra que existem sucessões tn ∈ ]a, b[ tais que tn → b e
y(tn ) é convergente.
Mas como (ii) não se verifica, então para pelo menos uma dessas sucessões,
tn , y(tn ) converge para um certo (b, ω) ∈ int D.
Seja δ < 13 dist (b, ω), ∂D ; assim sendo, B3δ (b, ω) é um subconjunto compacto de D. Seja
K a constante de Lipschitz de f em B3δ (b, ω) e
δ 1
.
(2.26)
α = min δ, ,
M K
∂D
(t̄, ȳ)
(b, w)
2δ
2δ
Figura 2.8
Seja (t̄, ȳ) um termo da sucessão tn , y(tn ) tal que
(t̄, ȳ) − (b, ω) < α
(2.27)
Então o quadrado
verifica
n
o
R = (t, y) : t ∈ [t̄ − δ, t̄ + δ] e y ∈ [ȳ − δ, ȳ + δ]
R ⊂ Bδ√2 (t̄, ȳ) ⊂ Bδ√2+α (b, ω) ⊂ B3δ (b, ω),
√
√
pois, tendo em conta (2.26), δ 2 + α ≤ δ 2 + δ < 3δ.
Pelo teorema de Picard (em versão melhorada) e (2.26), concluimos que a solução y(t) admite
extensão ao intervalo [t0 , t̄ + α] e que, tendo em conta (2.27), b − t̄ < α, o que implica que:
t̄ + α > b
Mas isto é absurdo, pois contradiz o facto de que b = sup J.
A demonstração do prolongamento para a esquerda (até a) é análoga à anterior.
Em qualquer um dos casos, verificar que a solução não pode ser prolongada até t = ∞
(ou t = −∞) porque a fronteira do conjunto D é atingida pode ser fácil de constatar pois a
135
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
função f (t, y) é dada e, consequentemente, conhecemos os subconjuntos de R2 onde o gráfico
da solução não pode entrar. Para mostrar que a solução explode (ou que não explode) ou, mais
genericamente, que o seu gráfico está confinado a uma certa região de R2 , é muito útil o seguinte
critério.
2.3.7
Comparação de Soluções
Comparação de Soluções:
Considere-se D ⊆ R2 , f , g : D → R verificando as condições do Teorema de Picard e
(t0 , y0 ) ∈ D.
Sejam ainda, y(t) a solução do PVI
dy
= f (t, y)
dt
,
y(t0 ) = y0
du
= g(t, u)
dt
,
u(t0 ) = y0
e u(t) a solução do PVI
Se
f (t, y) ≤ g(t, y)
então
∀(t, y) ∈ D
,

 y(t) ≤ u(t) para todo t ≥ t0

y(t) ≥ u(t) para todo t ≤ t0
Consequências:
• Mostrar que a solução explode
Seja u(t) a solução do PVI
du
= g(t, u)
dt
,
u(t0 ) = α
u
definida em Imax
=]t0 − ǫ, T [, tendo-se que lim u(t) = +∞. Se y(t) é solução do PVI
t→T −
dy
= f (t, y)
dt
,
y(t0 ) = α
e f (t, y) ≥ g(t, y) para todo (t, y) (observe-se que pelo teorema anterior esta condição
implica que y(t) ≥ u(t) para todo t ≥ α), então y(t) explode no intervalo ]t0 , T ], isto é,
y
existe Θ ∈]t0 , T ] tal que lim y.(t) = +∞ e consequentemente sup Imax
=Θ
t→Θ−
136
2.3. EXISTÊNCIA, UNICIDADE E PROLONGAMENTO DE SOLUÇÕES
• Mostrar que a solução não explode
Seja u(t) a solução do PVI
du
= g(t, u)
dt
,
u(t0 ) = α
u
=]a, +∞[ para certo a < t0 . Se y(t) é solução do PVI
definida em Imax
dy
= f (t, y)
dt
,
y(t0 ) = α
e f (t, y) ≤ g(t, y) para todo (t, y) (observe-se que pelo teorema anterior esta condição
implica que y(t) ≤ u(t) para todo t ≥ α), então y(t) não explode para +∞ em ]t0 , +∞[.
Analogamente, seja v(t) a solução do PVI
dv
= h(t, v)
dt
,
v(t0 ) = α
v
=]a1 , +∞[ para certo a1 < t9 . Se y(t) é solução do PVI
definida em Imax
dy
= f (t, y)
dt
,
y(t0 ) = α
e f (t, y) ≥ h(t, y) para todo (t, y) (observe-se que pelo teorema anterior esta condição
implica que y(t) ≥ v(t) para todo t ≥ α), então y(t) não explode para −∞ em ]t0 , +∞[.
Conclui-se que y(t) não explode no intervalo ]t0 , +∞[.
Exemplo 1
Considere-se o PVI
y ′ = (1 + y 2 )f (ty) ,
y(0) = 0
(2.28)
em que f é uma função de classe C 1 (R), verificando f (x) ≥ 1 para qualquer x ∈ R.
Como a função (1 + y 2 )f (ty) é contı́nua em R2 , e a função
∂
(1 + y 2 )f (ty) = 2yf (ty) + (1 + y 2 )f ′ (ty)t
∂y
é também contı́nua em R2 — logo f é localmente lipschitziana relativamente a y em R2 — o
teorema de Picard garante a existência de uma solução única, y(t), definida num vizinhança aberta
da origem e que verifica y(0) = 0.
Pretendemos agora mostrar que o intervalo máximo de definição da solução do problema de
valor inicial é majorado. Note que, para qualquer número real ty, f (ty) ≥ 1, o que implica que:
(1 + y 2 )f (ty) ≥ 1 + y 2
para qualquer (t, y) ∈ R2
(2.29)
Consideremos agora o problema de valor inicial
u′ = 1 + u2
, u(0) = 0 ;
resolvendo a equação separável e fazendo uso da condição inicial, obtém-se a sua única solução:
u(t) = tg t,
137
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
definida em ]π/2, π/2[. Note que u(t) explode quando t → ±π/2.
Tendo em conta a estimativa (2.29), utilizando o teorema de comparação de soluções, a
solução y(t) do (PVI) (2.28) verifica:
y(t) ≥ u(t) = tg t
t≥0
para
Como limπ tg t = +∞ a solução explode e, como tal, o intervalo máximo de definição da solução
t→ 2
do problema de valor inicial é majorado.
Exemplo 2
Considere-se o problema de valor inicial
y ′ = −2(sen(ety ) + 2)y
,
y(0) = 1
(2.30)
Sendo
f (t, y) = −2(sen(ety ) + 2)y
é fácil de verificar que tanto f como ∂f /∂y são contı́nuas em R2 . Isto implica que f verifica
as condições do Teorema de Picard em D = R2 e assim (2.30) tem uma solução única numa
vizinhança de t0 = 0. Temos agora que mostrar que a solução pode ser prolongada a R. Observemos que para y(t) > 0 (isso acontecerá, pelo menos, numa vizinhança de t0 = 0), a equação é
equivalente a:
y′
= −2(sen(ety ) + 2)
y
Integrando esta igualdade de 0 a t, obtém-se:
Z t
(−2(sen(esy(s) ) + 2))ds
log y(t) − log y(0) =
0
Como, para quaisquer (s, y) ∈
R2 ,
−6 ≤ −2(sen(esy(s) ) + 2) ≤ −2
pode-se concluir que:
−6t ≤
−2t ≤
Z
Z
t
0
t
0
(−2(sen(esy(s) ) + 2))ds ≤ −2t
para
t ≥ 0,
(−2(sen(esy(s) ) + 2))ds ≤ −6t
para
t ≤ 0.
Desta forma (e como log y(0) = log 1 = 0):
−6t ≤ log y(t) ≤ −2t
para
t≥0
−2t ≤ log y(t) ≤ −6t
para
t≤0
Em primeiro lugar, isto mostra que log y(t) não explode. Em particular, isto implica que y(t) 6= 0,
para qualquer t ∈ Imax ; pois se existisse β tal que y(β) = 0 então limt→β log y(t) = −∞. Desta
forma, as desigualdades acima estimam o valor de y(t) para qualquer t ∈ R onde a solução está
definida. O gráfico da solução está confinado à região do plano situada entre as curvas y = e−2t
e y = e−6t , pelo que y(t) não explode em tempo finito. Como o domı́nio de f é R2 , o teorema
do prolongamento de solução garante a existência de uma (única) solução global.
138
2.4. EQUAÇÕES VECTORIAIS DE 1¯A ORDEM (OU SISTEMAS)
2.4
Equações Vectoriais de 1¯a Ordem (ou Sistemas)
Sendo I ⊂ R, A ⊂ Rn e, para i = 1, ..., n, fi : I × A → R, denomina-se por equação diferencial
vectorial de primeira ordem um sistema de equações do tipo

′

 y1 (t) = f1 t, y1 (t), . . . , yn (t)
..
.

 ′
yn (t) = fn t, y1 (t), . . . , yn (t)
onde as soluções são funções y1 (t), ..., yn (t) : I → R de classe C 1 em I. Utilizando notação
vectorial, este sistema pode então ser escrito de forma abreviada como a equação vectorial
y′ (t) = F (t, y(t)) ,
sendo



y(t) = 


y1 (t)
.
.
.
yn (t)









e F (t, y(t)) = 


f1 t, y1 (t), . . . , yn (t)
.
.
.
fn t, y1 (t), . . . , yn (t)






Tal como no caso escalar (n = 1), sendo t0 ∈ I, denomina-se problema de valor inicial a
 ′
 y (t) = F t, y(t) , t ∈ I

y(t0 ) = y0
onde se supõe que t0 ∈ I e y0 = y1 (t0 ), . . . , yn (t0 ) ∈ A.
2.4.1
Condição de Lipschitz e Teorema de Picard no Caso Vectorial
Uma função vectorial, f (t, y) : D ⊂ Rn+1 → Rn , contı́nua em D, denomina-se localmente
lipschitziana relativamente a y se cada uma das funções escalares fi (t, y1 , ..., yn ), i = 1, ..., n, for
localmente lipschitziana relativamente a y1 ,..., yn em D, isto é
|fi (t, y1 , . . . , yn ) − f1 (t, x1 , . . . , xn )| ≤ K||(y1 , . . . , yn ) − (x1 , . . . , xn )||
def
||(y1 , . . . , yn ) − (x1 , . . . , xn )|| =
p
onde
(y1 − x1 )2 + . . . + (yn − xn )2
para todos (t, y1 , . . . , yn ), (t, u1 , . . . , un ) em subconjuntos compactos de D. Isto é equivalente a
dizer que existe L ∈ R+ tal que:
||f (t, y) − f (t, x)|| ≤ L||y − x||
para quaisquer (t, y), (t, x) ∈ D.
10
10
Recordamos que, dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, denotado A × B, é o conjunto
dos pares ordenados (a, b) tais que a ∈ A e b ∈ B. No nosso caso, se t ∈ R e y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , então
(t, y) ∈ R × Rn . É usual identificar (t, y) ∈ R × Rn com (t, y1 , . . . , yn ) ∈ Rn+1 ; neste sentido, podemos dizer que
R × Rn = Rn+1 .
139
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
O seguinte teorema tem demonstração análoga ao teorema homónimo que enunciámos anteriormente para o caso escalar.
Teorema de Picard (Existência e unicidade de solução no caso vectorial): Considere-se o
domı́nio D = I ×Rn ⊆ Rn+1 , onde f : D → R é contı́nua e localmente lipschitziana relativamente
a y. Se (t0 , y0 ) ∈ D, o problema de valor inicial
ẏ = f (t, y)
y(t0 ) = y0
admite solução única num intervalo ]t0 − α, t0 + α[, para certo α > 0.
2.4.2
Equações Vectoriais Lineares
A equação vectorial denomina-se linear se a função F (t, y) for linear em y, isto é, se for da forma
 ′

 y1 (t) = a11 (t)y1 (t) + · · · + a1n (t)yn (t) + b1 (t)
..
..
..
.
.
.

 ′
yn (t) = an1 (t)y1 (t) + · · · + ann (t)yn (t) + bn (t)
ou, na forma vectorial:
y′ (t) = A(t)y(t) + b(t)
(2.31)
sendo

y1 (t)


y(t) =  ...

yn (t)

,

a11 (t) . . . a1n (t)


..
..
A(t) 

.
.
an1 (t) . . . ann (t)

e

b1 (t)


b(t) =  ...
.
bn (t)

Funções matriciais
No seguimento, será necessário estudar funções X cujo domı́nio é um intervalo real e cujo conjunto
de chegada é um espaço vectorial de matrizes reais (ou complexas) de dimensão n × m, que aqui
denotaremos por Mn×m (R) (ou C).
Genericamente, um função X : I ⊂ R → Mn×m (R), com
h
i
X(t) = xij (t) i=1...n
j=1...m
pode, de facto, ser interpretada como uma função vectorial com as n × m componentes:
x11 (t), . . . , x1m (t), x21 (t), . . . , x2m (t), . . .
. . . , xn1 (t), . . . , xnn (t).
Sendo assim, pode-se neste contexto utilizar os conceitos e resultados já discutidos quando se
estudou as funções vectoriais. A derivada de X(t) é, então, dada por
dX
dxij
=
i=1,...n ,
dt
dt j=1...m
140
2.4. EQUAÇÕES VECTORIAIS DE 1¯A ORDEM (OU SISTEMAS)
e está bem definida se as funções componentes forem diferenciáveis em I. Analogamente, o
integral de X entre t0 , t ∈ I é dado por:
Z
t
hR
X(s) ds =
t0
t
t0
xij (s) ds
i
i=1,...n
j=1...m
,
sempre que as funções componentes sejam seccionalmente contı́nuas em I. Desta forma, a
linearidade da derivada e do integral ficam asseguradas.
Relativamente à derivada do produto de duas matrizes,
h
i
h
i
por
Y (t) = ykj (t) k=1...m ,
X(t) = xik (t) i=1...n
k=1...m
j=1...k
o resultado tem que ser deduzido (porquê?). No entanto isso, é tarefa relativamente fácil: calculando a derivada da componente (i, j) de X(t)Y (t), obtém-se:
m
m
m
X
X
d X
′
xik (t)ykj (t) =
x′ik (t)ykj (t) +
(t)
xik (t)ykj
dt
k=1
Resulta assim que
k=1
,
k=1
′
X(t)Y (t) = X ′ (t)Y (t) + X(t)Y ′ (t).
n
Exemplo: Dada uma função escalar ϕ : R → R e uma matriz n × n, A = aij i,j=1 , de
componentes aij ∈ R (independentes de t), vejamos como se calculam a derivada e o integral da
função matricial ϕ(t)A 11 .
(a) Se ϕ é de classe C 1 então:
d
n
h in
h
in
d
= ϕ′ (t)A
ϕ(t)A =
aij ϕ(t)
= ϕ′ (t) aij
= aij ϕ′ (t)
dt
dt
i,j=1
i,j=1
i,j=1
Identicamente (verifique):
(b) Se ϕ é seccionalmente contı́nua em qualquer intervalo fechado e limitado, então:
Z
t
ϕ(s)A ds =
t0
R
t
ϕ(s)
ds
A,
t0
(c) Se ϕ é contı́nua então, usando o teorema fundamental do cálculo:
d
dt
11
Z
t
ϕ(s)A ds = ϕ(t)A
t0
Note que ϕ(t)A é o produto do escalar ϕ(t) pela matriz constante A.
141
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Caso Homogéneo e Matriz Solução Fundamental
Fazendo b(t) ≡ 0 na equação (2.31), obtém-se a equação linear homogénea associada
y′ (t) = A(t)y(t)
com y ∈
Rn
h
in
e A(t) = aij (t)
i,j=1
(2.32)
, onde as funções aij (t) : I ⊆ R → R são contı́nuas.
Definição (Matriz Solução Fundamental): Uma matriz S(t) denomina-se matriz solução fundamental de (2.32) se e só se
(i) det S(t) 6= 0 para todo t ∈ I, o que significa que as colunas de S(t) são linearmente
independentes (S(t) é não singular) para qualquer t ∈ I;
(ii) as colunas de S(t) são soluções da equação y′ (t) = A(t)y(t).
Exemplo 1:
Considere-se a equação vectorial
′
y (t) = Ay(t)
sendo A =
1 −1
0 −1
(2.33)
Fazendo y = (x, y), a equação pode ser escrita na forma
x′ = x − y
y ′ = −y
Atendendo a que a segunda equação só depende da função y, podemos resolvê-la. Assim:
y ′ = −y
y(t) = c1 e−t
⇔
Substituindo na primeira equação obtém-se
x′ − x = −c1 e−t
⇔
d −t e x = −c1 e−2t
dt
⇔
x(t) =
c1 −t
e + c2 et
2
Tem-se então que a solução geral da equação vectorial é
y(t) =
c1 −t
+ c2 et
2e
c1 e−t
=
1 −t
2e
e−t
et
0
c1
c2
def
= S(t)C,
É agora fácil de verificar que a matriz S(t) acima definida é uma matriz solução fundamental
associada à equação (2.33). De facto
(i) A matriz S(t) é não singular em R, pois
det S(t) = −1 6= 0 ∀t ∈ R
142
2.4. EQUAÇÕES VECTORIAIS DE 1¯A ORDEM (OU SISTEMAS)
(ii) Verifica-se que yi′ (t) = Ayi (t), i = 1, 2 em que yi (t) representa a coluna i de S(t). De
facto, para i = 1
1 −t 1 −t 1 −t 1 −t d
e
−2e
1 −1
−2e
′
2
2e
=
e Ay1 (t) =
=
y1 (t) =
e−t
−e−t
e−t
−e−t
0 −1
dt
e para i = 2
y2′ (t)
d
=
dt
et
0
=
et
0
e Ay2 (t) =
1 −1
0 −1
et
0
=
et
0
Observe-se que não há uma única matriz solução fundamental da equação — por exemplo,
se S(t) é uma matriz solução fundamental qualquer matriz obtida por troca de colunas de S(t) é
tambem uma matriz solução fundamental.
Proposição (Caracterização da Matriz Solução Fundamental): S(t) é uma matriz solução
fundamental da equação (2.32) se e só se:
(i) Existe um t0 ∈ I tal que S(t0 ) é não singular.
(ii) S′ (t) = A(t)S(t)
Demonstração: (ii) é apenas outra forma de escrever a alı́nea (ii) da definição de S(t).
Quanto a (i), suponhamos que existe um t̂ ∈ I tal que S(t̂) é singular; isto é, para certo b ∈
Rn \ {0}, S(t̂)b = 0, e derivemos uma contradição. Como
S′ (t)b = A(t)S(t)b ,
Considerando y(t) = S(t)b então das equações anteriores:
′
y = A(t)y
y(t̂) = S(t̂)b = 0
Por unicidade de solução deste PVI, y(t) ≡ 0. Conclui-se então que S(t)b = 0 para todo o t ∈ I,
pelo que S(t) é singular para todo o t ∈ I; logo, em particular, também S(t0 ) é singular, o que
contradiz a hipótese.
Como corolário da proposição anterior, obtemos:
Teorema (Matriz Solução Fundamental): S(t) é uma matriz solução fundamental da
equação (2.32) se e só se é a solução do problema de valor inicial
′
S = A(t)S
S(0) = S0
para alguma matriz não singular, S0 ∈ Mn×n (R).
Exemplo 2: Para obter uma matriz solução fundamental, S(t), da equação y′ = A(t)y,
podemos resolver os n problemas
′
y = A(t)y
com
i = 1, 2, . . . n.
y(t0 ) = ei
143
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
onde e1 , e2 . . . en são os vectores da base canónica de Rn . As colunas de S(t) serão as soluções
desses n problemas.
Resulta da definição que a matriz S(t) é invertı́vel para todo o t. Sendo assim
d −1 d
S(t) S−1 (t) = S′ (t) S−1 (t) + S(t)
S (t) ,
0=
dt
dt
d
pelo que S(t) dt
S−1 (t) = −S′ (t) S−1 (t). Desta forma:
d −1 S (t) = −S−1 (t)S′ (t) S−1 (t)
dt
Atendendo a que S′ (t) = A(t)S(t) implica A(t) = S′ (t)S−1 (t), então a inversa da matriz solução
fundamental verifica:
d −1 S (t) = −S−1 (t)A(t)
(2.34)
dt
Caracterização das Soluções da Equação Homogénea
h
in
Teorema: Considere-se I ⊂ R e A(t) = aij (t)
, com aij (t) : I → R contı́nuas, e o problema
i,j=1
de valor inicial:
y′ (t) = A(t)y(t)
y(t0 ) = y0
(2.35)
onde t0 ∈ I e y0 ∈ Rn . Seja S(t) uma matriz solução fundamental da equação diferencial.
Então o problema (2.35) tem uma única solução dada por y(t) = S(t)S−1 (t0 )y0 . Além disso, as
soluções da equação diferencial formam um espaço vectorial de dimensão n, sendo uma sua base
constituı́da pelas colunas de S(t); ou seja, a sua solução geral é:
y(t) = S(t)C
C = (c1 , ..., cn ) ∈ Rn
com
Demonstração: Seja y(t) uma solução arbitrária da equação y′ = A(t)y e considere-se
z(t) = S −1 (t)y(t). Queremos mostrar que z(t) é constante. Então, usando a equação (2.34):
′
z′ (t) = S−1 (t) y(t) + S−1 (t)y′ (t)
= −S−1 (t)A(t)y(t) + S−1 (t)y′ (t)
= S−1 (t) y′ (t) − A(t)y(t)
= 0
Temos então que S −1 (t)y(t) = z(t) = C, com C ∈ Rn , o que nos permite concluir que:
(1) a solução geral da equação diferencial é y(t) = S(t)C;
(2) se y(t0 ) = y0 então C = S −1 (t0 )y(t0 ) = S −1 (t0 )y0 , pelo que a solução do PVI (2.35) é
y(t) = S(t)S−1 (t0 )y0 .
144
2.4. EQUAÇÕES VECTORIAIS DE 1¯A ORDEM (OU SISTEMAS)
2.4.3
Equações vectoriais Lineares — Caso Não Homogéneo
Dada uma matriz solução fundamental de y′ = A(t)y, pretendemos obter as soluções da equação
não homogénea y′ = A(t)y + b(t)
in
h
, com componentes
Teorema (Fórmula de Variação das Constantes): Sendo A = aij(t)
i,j=1
aij : I ⊂ R → R contı́nuas, b : I ⊆ R → Rn também contı́nua, y0 ∈ Rn e S(t) uma matriz
solução fundamental de y′ = A(t)y, então a solução do problema de valor inicial
′
y = A(t)y + b(t)
(2.36)
y(t0 ) = y0
é dada pela fórmula de variação das constantes:
−1
y(t) = S(t)S
(t0 )y0 + S(t)
Z
t
S−1 (s)b(s)ds
(2.37)
t0
Demonstração: Escrevendo a equação diferencial (2.36) na forma y′ − A(t)y = b(t), e multiplicando ambos os membros por S−1 (t), obtém-se:
S−1 (t)y′ − S−1 (t)A(t)y = S−1 (t)b(t)
′
Atendendo a que S −1 (t) = −S−1 (t)A(t) (equação (2.34)), resulta pois que
ou seja
′
S−1 (t) y′ + S −1 (t) y = S−1 (t)b(t),
d −1
S (t)y(t) = S−1 (t)b(t)
dt
Integrando entre t0 e t, e considerando que y(t0 ) = y0 , temos que:
Z t
−1
−1
S (t)y(t) − S (t0 )y0 =
S−1 (s)b(s) ds
(2.38)
t0
Multiplicando agora à esquerda por S(t) obtém-se:
−1
y(t) − S(t)S
(t0 )y0 = S(t)
Z
t
S−1 (s)b(s) ds.
t0
Corolário (Fórmula de Variação das Constantes para a Solução Geral): Nas mesmas
condições do teorema anterior, a solução geral da equação
y′ = A(t)y + b(t)
é dada por:
y(t) = S(t)C + S(t)
Z
t
S−1 (s)b(s) ds
145
,
C ∈ Rn ;
(2.39)
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
(onde
Rt
x(s)ds representa uma primitiva da função vectorial x(t)).
Demonstração: Repita a prova do teorema anterior, primitivando ambos os membros da igualdade (2.38) em vez de os integrar entre t0 e t (exercı́cio). Note que a constante de primitivação,
C, pertence a Rn .
2.4.4
Equações Vectoriais Lineares de Coeficientes Constantes
A equação vectorial linear denomina-se de coeficientes constantes se a matriz A(t) tiver entradas
constantes, isto é, se for da forma
 ′

 y1 (t) = a11 y1 (t) + ... + a1n yn (t) + b1 (t)
..
..
..
.
.
.

 ′
yn (t) = an1 y1 (t) + ... + ann yn (t) + bn (t)
ou, na forma vectorial,
y′ (t) = Ay(t) + b(t),
sendo


y1 (t)


y(t) =  ...

yn (t)
,


a11 . . . a1n

.. 
A(t) =  ...
. 
an1 . . . ann
(2.40)


b1 (t)


e b(t) =  ...

bn (t)
Caso Homogéneo
Tal como anteriormente, o caso homogéneo corresponde a tomar b(t) ≡ 0 na equação (2.40).
Vamos assim estudar a equação
y′ (t) = Ay(t)
(2.41)
h in
com aij ∈ R.
onde t ∈ R, y(t) ∈ Rn e A = aij
i,j=1
Exponencial de uma Matriz
Dados uma matriz A ∈ Mn×n (R), convenciona-se que:
def
A0 = I,
onde I representa a matriz identidade de Mn×n (R).
Recordamos o problema de valor inicial escalar,
′
y = ay
y(0) = 1
,
tem por única solução y(t) = eat . Procedendo por analogia, definimos a exponencial de tA, que
denotamos por etA , da forma que se segue.
146
2.4. EQUAÇÕES VECTORIAIS DE 1¯A ORDEM (OU SISTEMAS)
Definição (Exponencial de uma Matriz): Seja t ∈ R e A ∈ Mn×n (R). Então eAt é a
(única) matriz solução fundamental de (2.65) que é igual à matriz identidade em t = 0. Isto
equivale a dizer que X(t) = eAt é a solução do problema de valor inicial:
′
X = AX
(2.42)
X(0) = I
Resulta imediatamente da definição anterior que:
Proposição: Se A ∈ Mn×n (R) e S é uma matriz solução fundamental de y′ = Ay então:
etA = S(t)S−1 (0)
Exemplo 3: No exemplo 1 desta secção (resolução da equação diferencial (2.33)), a solução
também pode ser escrita na forma:
c1 −t
t 1 −t e + c2 et
e 2e
c2 def
2
y(t) =
= S1 (t)C
=
c1 e−t
0 e−t
c1
pelo que S1 (t) é também uma matriz solução fundamental. (A verificação é óbvia). Uma outra
matriz solução fundamental é:
t e−t −et e
−1
2
X(t) = S(t)S (0) =
0
e−t
Note que a exponencial da matriz tA, X(t), tem uma propriedade importante — é a única matriz
solução fundamental que verifica X(0) = I.
Para obter soluções linearmente de y′ = Ay, podemos usar o seguinte resultado.
Proposição: Seja A ∈ Mn×n (R). Se λ ∈ C é um valor próprio de A e v ∈ Cn um vector próprio
associado a λ então y(t) = etλ v é uma solução da equação y′ = Ay. Além disso, u = Re y e
û = Im y são soluções reais de y′ = Ay.
Demonstração: Para provar a primeira parte, basta ver que:
d λt dy
=
e v = eλt λv = eλt Av = A etλ v = Ay(t).
dt
dt
Tendo em conta que
u′ + iû′ = (u + iû)′ = y′ = Ay = A(u + iû) = Au + iAû,
tomando a parte real e a parte imaginária de ambos os membros desta igualdade obtém-se u′ = Au
e û′ = Aû.
Se A for uma matriz n × n real diagonalizável, então existe um conjunto de n vectores
próprios de A linearmente independentes v1 , v2 , . . . , vn . Se λ1 , λ2 , . . . , λn forem os respectivos
147
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
valores próprios associados, podemos construir uma matriz solução fundamental — e daı́ obter
eAt — colocando nas colunas de S as soluções de y′ = Ay dadas pela proposição anterior; isto é:
eλ1 t v1 , eλ2 t v2 , . . . , eλn t vn .
Note que S(0) é não singular.
Se λ for um valor próprio complexo de uma matriz real A, com vector próprio associado
v ∈ Cn , então o procedimento anterior dá-nos uma matriz solução fundamental complexa; no
entanto, podemos utilizar as funções reais Re eλt v e Im eλt v, no lugar de eλ1 t v e eλ̄1 t v̄ 12
Série da Exponencial de uma Matriz
Para encontrar um desenvolvimento em série para a exponencial de At, procuremos uma solução
da equação (2.42) através das iteradas de Picard:
X0 (t)
= I
Xn+1 (t) = I +
Z
t
AXn (s) ds
t0
para n ∈ N
Calculando as primeiras 3 iterações, obtém-se:
X0 (t) = I
X1 (t) = I +
Z
t
A ds = I + tA
t0
Z t
Z
t
Z
t
t2
A + sA ds = I +
A ds +
sA2 ds = I + tA + A2
2
t0
t0
t0
Z t
3
2
2
t
t
s
X3 (t) = I +
A + sA2 + A3 ds = I + tA + A2 + A3
2
2!
3!
t0
X2 (t) = I +
2
Resulta então que13 :
t2 2
tk
A + · · · + Ak
2!
k!
Isto sugere que a forma da solução de (2.42) é o “limite” da expressão anterior, ou seja:
Xn (t) = I + tA +
X(t) = I + tA +
∞
∞
k=0
k=0
X tk
X 1
tk
t2 2
A + · · · + Ak + · · · =
Ak =
(tA)k .
2!
k!
k!
k!
Esta fórmula é análoga à que define a série de Maclaurin da função exponencial, eat =
P∞ (at)k
k=0 k! , para a, t ∈ R. No nosso caso trata-se de uma série de potências de matrizes onde,
em cada termo, aparece tA no lugar de ta. Isto leva-nos a conjecturar o seguinte:
12
Se A é uma matriz real, então Ā = A. Se (λ, v) é um par valor próprio, vector próprio (complexo) de A,
então (λ̄, v̄) é também um par valor próprio, vector próprio de A, pois Av̄ = Āv̄ = Av = λv = λ̄v̄. Neste caso,
Re eλ̄t v̄ = Re eλt v e Im eλ̄t v̄ = − Im eλt v. Por cada par de vectores próprios conjugados, v e v̄, produzem-se
desta forma duas (não quatro!) funções reais linearmente independentes, Re eλt v e Im eλt v.
13
Pode-se facilmente provar este resultado por indução. No entanto, neste contexto isso será desnecessário, pois
estamos apenas a usar as iteradas de Picard para formular uma conjectura cuja veracidade será depois comprovada
por outro método.
148
2.4. EQUAÇÕES VECTORIAIS DE 1¯A ORDEM (OU SISTEMAS)
Teorema (Série da Exponencial de uma Matriz): Sendo A uma matriz n × n de componentes reais e t ∈ R, a exponencial de tA, etA , é dada por:
tA
e
=
∞
X
(tA)k
k=0
k!
= I + tA +
t2 2 t3 3
tk
A + A + · · · + Ak + · · ·
2
3!
k!
(2.43)
Além disso, a série (2.43) converge uniformemente para t em intervalos do tipo [−R, R] (para
qualquer R > 0) e verifica AeAt = eAt A, para todo o t ∈ R.
Demonstração: Para provar este teorema, precisaremos em primeiro lugar de saber produzir
estimativas de matrizes. Sendo A = [aij ]ni,j=1 , consideramos:
kAk = n
max |aij | .
i,j=1,...,n
Note que qualquer componente aij de A verifica:
|aij | ≤
1
kAk.
n
(2.44)
De facto, esta função tem as propriedades de uma norma 14 ; mas vamos aqui provar apenas a
propriedade de kAk de que efectivamente precisamos.
Se B = [bij ]ni,j=1 é outra matriz real, então as componentes do produto AB verificam:
n
X
k=1
aik bkj ≤
n
X
k=1
n
X
1
1
|aik | |bik | ≤
kAkkBk = kAkkBk
2
n
n
k=1
Ou seja, o módulo de cada componente de AB é majorado pelo mesmo valor:
forma:
1
kAkkBk = kAkkBk
kABk ≤ n
n
1
n
kAkkBk. Desta
Pela desigualdade anterior, kAk k ≤ kAkkAk−1 k ≤ kAk2 kAk−2 k ≤ · · · ≤ kAkk , para k =
1, 2, 3, . . . . Como também kA0 k = kIk = 1 = kAk0 , resulta pois que:
kAk k ≤ kAkk
para
k = 0, 1, 2, . . .
(2.45)
Passamos agora à demonstração da convergência da série. Para tal, basta provar que todas
as componentes da soma da série (2.43) existem (em R).
(k)
Sendo δii = 1 e δij = 0 se i 6= j , e denotando cada componente (i, j) de Ak por aij , então
as componentes de eAt são as somas das séries reais 15 :
δij + tai,j
∞ k
X
t2 (2)
t (k)
tk (k)
+ aij + · · · + aij + · · · =
a
2!
k!
k! ij
com
i, j = 1, 2, . . . n.
(2.46)
k=0
14
É fácil provar que para quaisquer duas matrizes reais, A, B, de dimensão n×n, se tem: (a) kAk = 0 ⇔ A = 0;
(b) kcAk = |c| kAk, para c ∈ R; (c) kA + Bk ≤ kAk + kBk; (d) kABk ≤ kAk kBk.
15
O sı́mbolo δij , designado na literatura por delta de Kronecker, representa as componentes da matriz identidade.
(0)
Note que aij = δij .
149
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Vamos agora provar a convergência uniforme destas séries, para t num intervalo do tipo
[−R, R], com R > 0. Para |t| ≤ R, e usando (2.44) e (2.45), podemos majorar cada um dos
termos das séries anteriores como se segue:
kAkR
tk (k)
|t|k (k)
Rk kAkk
Rk (k)
Rk kAk k
aij =
≤
=
aij ≤
aij ≤
k!
k!
k!
k! n
k! n
n k!
Como a série real
n
1 X kAkR
n
k!
k=0
k
k
é convergente — a sua soma é n1 ekAkR — então, pelo critério de Weierstrass, as séries (2.46)
convergem uniformemente para t em intervalos do tipo [−R, R]; isto vale para qualquer R > 0.
Em particular, as séries (2.46) convergem pontualmente para qualquer t ∈ R. Isto prova que etA
está bem definida por (2.43), é diferenciável em R e pode ser derivada termo a termo.
Usando o resultado anterior, podemos agora calcular a derivada de etA :
d
tn n
t2 2 t3 3
d tA
e
=
I + tA + A + A + · · · + A + · · ·
dt
dt
2!
3!
n!
2
n−1
2t
3t 3
nt
= 0 + A + A2 +
A + ··· +
An + · · ·
2!
3!
n!
tn n
t2 2 t3 3
= A etA
= A I + tA + A + A + · · · + A + · · ·
2!
3!
n!
t2 2 t3 3
tn n
=
I + tA + A + A + · · · + A + · · · A = etA A
2!
3!
n!
Assim sendo:
d tA
e = A etA = etA A
dt
Note também que e0A = I. Isto conclui a demonstração do teorema.
Algumas propriedades de eAt
Dado t ∈ R e A ∈ Mni,j=1 (R), listamos aqui algumas das propriedades de eAt = etA :
(a) e0 é a matriz identidade em Rn ;
(b) S(t) = eAt é a única matriz solução fundamental de y′ = Ay que verifica S(0) = I.
(c) eAt é uma função diferenciável em qualquer t ∈ R e:
d At = AeAt = eAt A
e
dt
(d) A matriz eAt é invertı́vel para qualquer t ∈ R e
−1
eAt
= e−At
150
2.4. EQUAÇÕES VECTORIAIS DE 1¯A ORDEM (OU SISTEMAS)
(e) Se A, B são quaisquer matrizes n × n verificando AB = BA, então:
eAt B = BeAt
(f) Se A, B são quaisquer matrizes n × n verificando AB = BA, então:
e(A+B)t = eAt eBt
Demonstração:
(d) Atendendo a que:
d At −At = eAt Ae−At + eAt (−A)e−At = eAt Ae−At − eAt Ae−At = 0,
e e
dt
então eAt e−At é constante. Em particular:
eAt e−At = eA 0 e−A 0 = I 2 = I.
(e) (Exercı́cio)
(f) Considere X(t) = eAt eBt . Então X(0) = I e (usando (e)):
X ′ (t) = AeAt eBt + eAt BeBt = AeAt eBt + BeAt eBt = (A + B)eAt eBt = (A + B)X(t).
Isto prova que X(t) = e(A+B)t .
Solução do Problema de Valor Inicial da Equação y′ = Ay
Teorema (Solução de uma equação vectorial linear homogénea de coeficientes constantes)
Se A = [ai,j ] é uma matriz n × n, com ai,j ∈ R, o problema de valor inicial
ẏ = Ay
y(t0 ) = y0
tem solução única, dada por:
y(t) = eA(t−t0 ) y0
t∈R
,
Além disso, as soluções da equação y′ = Ay formam um espaço vectorial de dimensão n, sendo
dadas por y(t) = eAt C, onde C ∈ Rn .
Cálculo da Matriz eAt
• A é uma matriz diagonal:

λ1 0 ... 0
 0 λ2 ... 0

.
Se A = 


.
0 0 ... λn






⇒
151
At
e

eλ1 t
0 ...
0
 0 eλ2 t ...
0

.
=


.
0
0 ... eλn t






CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
• A é uma matriz diagonalizável:
Uma matriz A, n × n, diz-se diagonalizável se admite n vectores linearmente independentes.
Demonstra-se que,
se A é diagonalizável então A = SΛS −1
em que


λ1 0 ... 0
 0 λ2 ... 0

Λ=
.


.
0 0 ... λn





e


| ... |
S =  v1 ... vn 
| ... |
sendo λ1 , ..., λn os valores próprios de A e v1 , ..., vn os correspondentes vectores próprios.
Não é dı́ficil de demonstrar que para matrizes A e B semelhantes, se tem
A = SBS −1
⇒
eAt = SeBt S −1
Podemos então concluir que, se A é diagonalizável, isto é

λ1 0 ... 0
 0 λ2 ... 0

A=S
.


.
0 0 ... λn


 −1
S


⇒
At
e
Λt −1
= Se S

eλ1 t
0 ...
0
 0 eλ2 t ...
0

=S 
.


.
0
0 ... eλn t


 −1
S


Observações:
– Como consequência dos teoremas anteriores, dado que a matriz eAt é uma matriz
solução fundamental da equação ẏ = Ay, a sua solução é da forma y(t) = eAt C, com
C ∈ Rn . Atendendo a que eAt = SeΛt S −1 , então
y(t) = SeΛt S −1 C ≡ SeΛt C1
pelo que a matriz S(t) = SeΛt é tambem uma matriz solução fundamental associada
à equação. No entanto, a não ser que a matriz S seja a matriz identidade, S(t) não é
a matriz eAt , visto que S(0) não é a matriz identidade.
– Dada qualquer matriz A, como vimos a matriz eAt é a única matriz solução fundamental
associada à equação ẏ = Ay, S(t), que verifica S(0) = I.
– Conhecida qualquer matriz solução fundamental, S(t), associada à equação ẏ = Ay,
tem-se que
eAt = S(t)S−1 (0)
Exemplo 1
152
2.4. EQUAÇÕES VECTORIAIS DE 1¯A ORDEM (OU SISTEMAS)
Determinar a solução do seguinte PVI:
′
x =x+y
y ′ = 3x − y
,
x(0)
y(0)
=
0
1
Podemos escrever a equação na forma matricial
′ x(t)
x(t)
1 1
y′ = Ay ⇔
=
3 −1
y(t)
y(t)
e já sabemos que a solução do PVI é dada por
x(t)
0
At
At
=e
y(t) = e y(0) ⇔
y(t)
1
Cálculo de eAt
Os valores próprios da matriz A são ±2 (pelo que podemos concluir desde já que a matriz
A é diagonalizável).
O vector próprio associado ao valor próprio λ1 = 2 é uma solução não nula da equação
−1 1
a
(A − 2I)v = 0 ⇔
=0 ⇔ a=b
3 −3
b
pelo que podemos escolher, por exemplo v1 = (1, 1).
O vector próprio associado ao valor próprio λ2 = −2 é uma solução não nula da equação
a
3 1
= 0 ⇔ b = −3a
(A + 2I)v = 0 ⇔
b
3 1
pelo que podemos escolher, por exemplo v2 = (1, −3). Assim teremos
1 1
2 0
−1
A = SΛS =
S −1
1 −3
0 −2
pelo que
At
e
Λt −1
= Se S
1
=
4
1 1
1 −3
e2t
0
−2t
0 e
3 1
1 −1
1
=
4
3e2t + e−2t e2t − e−2t
3e2t − 3e−2t e2t + 3e−2t
Calculada a matriz eAt , a solução do PVI é
2t
1
1
x(t)
3e2t + e−2t e2t − e−2t
0
e − e−2t
At
y(t) = e y(0) ⇔
=
=
y(t)
1
4 3e2t − 3e−2t e2t + 3e−2t
4 e2t + 3e−2t
Tal como foi observado, a matriz
2t
2t
1 1
e
0
e
e−2t
Λt
Se =
=
1 −3
0 e−2t
e2t −3e−2t
é também uma matriz solução fundamental, pelo que poderı́amos escrever a solução geral
da equação
2t
x(t)
e
e−2t
c1
=
e2t −3e−2t
y(t)
c2
e à posteriori calcular as constantes c1 , c2 de modo a que seja verificada a condição inicial (o
que na prática corresponde a determinar a matriz S −1 e multiplicá-la pela condição inicial).
153
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
• A é uma matriz não diagonalizável:
A matriz A (n×n) diz-se não diagonalizável, se A não admite n vectores próprios linearmente
independentes. Neste caso, A não é semelhante a uma matriz diagonal, isto é, não existem
uma matriz diagonal Λ e uma matriz não singular S tais que A = SΛS −1 .
Para determinar a matriz eAt , vamos precisar de algumas definições e resultados parciais.
Matriz Diagonal por Blocos
Uma matriz n × n, é diagonal por blocos, se for da forma

A1 0
0
 0 A2
0


A=
.

.
0
0 Ak






(2.47)
em que A1 ,...,Ak são matrizes quadradas de dimensões m1 × m1 ,..., mk × mk , respectivamente, tendo-se m1 + ... + mk = n.
Exemplo:
A matriz




A=



−1
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0 0
0
2 0
0
3 0
0
0 −1 3
0 3
2
0 −1 −1
0
0
0
0
1
1
é uma matriz diagonal por blocos A1 , A2 , A3 , em que
A1 =
−1
,
A2 =
1 2
2 3
,

−1 3 0
A3 =  3
2 1 
−1 −1 1
Se A é diagonal por blocos, como em (2.47), então
At
e
eA1 t
0
0
A2 t
 0
e
0

=
.


.
0
0 eAk t
154








Exponencial de uma matriz diagonal por blocos








2.4. EQUAÇÕES VECTORIAIS DE 1¯A ORDEM (OU SISTEMAS)
Bloco de Jordan
Uma matriz k × k diz-se um bloco de Jordan se for da forma


λ 1 0
0
 0 λ 1
0 




.
.
k

Jλ = 


. .


 0
λ 1 
0
0 λ
Exemplo:
2
J−1
=
−1 1
0 −1
;
J23


2 1 0

= 0 2 1 
0 0 2
;

0
 0
4
J0 = 
 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
tk−1 λt
(k−1)! e


0
0 

1 
0
Exponencial de um Bloco de Jordan
Se Jλ é um bloco de Jordan de dimensão k × k,

2
.
eλt teλt t2! eλt



 0 eλt teλt t2 eλt
2!


.
.


Jλ t
.

e
=
 0



 0


0
0
0
isto é, os elementos aij , i, j = 1, ..., k da
 λt
e
se i = j



λt

te
se
i+1=j



2
t

λt
 2! e
se i = j + 2




.

.
aij =


.




tk−1 λt

se i + k − 1 = j

(k−1)! e






0
se i < j
então
.
.
.
.
.
.
.
.
eλt
.
.
.
.
teλt
tk−2 λt
(k−2)! e
eλt
teλt
.
.
t2 λt
2! e
eλt
matriz eJλ t são da forma:

















(diagonal principal)
(diagonal acima da principal)
(2¯a diagonal acima da principal)
((k − 1) ésima diagonal acima da principal)
(abaixo da diagonal principal)
155
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Exemplo:
Para os blocos de Jordan do exemplo anterior tem-se que
2
exp J−1
t = e−t
1 t
0 1
;


exp J04 t = 


1 t
3
2t 
exp J2 t = e
0 1
0 0
2
3 
1 t t2 t3!
2
0 1 t t2 

0 0 1 t 
0 0 0 1
t2
2

t 
1
;
Exponencial de uma matriz não diagonalizável
Seja A uma matriz, n × n, não diagonalizável. Demonstra-se que,
se A é não diagonalizável então A = SJS −1
em que J é uma matriz diagonal por blocos de Jordan, isto é
 m1
Jλ1
0
0
m2
 0
0
J
λ2


J =
.

.
0 Jλmkk
0






em que λ1 , . . . , λk são valores próprios de A com multiplicidades algébricas m1 , . . . , mk , respectivamente, (multiplicidade enquanto raı́zes do polinómio caracterı́stico) e multiplicidade geométrica
1 (cada valor próprio λ1 , . . . λk tem um único vector próprio associado v1 , . . . , vk , respectivamente)
16 .
A matriz S é também formada por k “blocos” de colunas


| . . . |
S =  S1 . . . Sk 
| . . . |
em que, para i = 1, ..., k

|
|
G

S i = vi vi 1
|
|

. .
|
Gm −1
. . vi i 
. .
|
G
sendo vi o vector próprio associado ao valor próprio λi , e vi j , j = 1, ..., mi − 1, vectores próprios
generalizados, i.e., verificando as equações
(A − λi I)viG1 = vi
(A − λi I)viG2 = viG1
(A − λi I)viG3 = viG2 . . .
16
A lista de valores próprios, λ1 , . . . λk , pode conter repetições. Nesse caso se, por exemplo, λ2 = λ1 (e λj 6= λ1 ,
para j ≥ 3) então λ1 tem dois vectores próprios associados linearmente independentes, v1 e v2 (multiplicidade
geométrica igual a 2) e m1 + m2 é a multiplicidade algébrica de λ1 .
156
2.4. EQUAÇÕES VECTORIAIS DE 1¯A ORDEM (OU SISTEMAS)
até se calcularem mi − 1 vectores próprios generalizados.
Exemplo:
Determinar eAt sendo


−2 0
1
A =  0 −3 −1 
0
1 −1
Dado que a matriz não é nem diagonal, nem um bloco de Jordan (ou afim) nem diagonal por
blocos, teremos que determinar eAt pelo processo usual de cálculo de valores e vectores próprios.
Os valores próprios de A são as soluções de
det(A − λ I) = 0 ⇔ (λ + 2)3 = 0
Tem-se então que −2 é o valor próprio de A com multiplicidade algébrica 3. Note-se que só depois
de calcular a sua multiplicidade geométrica (número de vectores próprios linearmente independentes associado a −2) poderemos concluir se A é diagonalizável (se a multiplicidade geométrica
for 3) ou não diagonalizável (se a multiplicidade geométrica for 2 ou 1). Os vectores próprios
associados a −2 são as soluções não nulas de

   
0 0
1
a
0
b=c=0
(A + 2I)v = 0 ⇔  0 −1 −1   b  =  0  ⇔
a∈R
0 1
1
c
0
Então
v = (a, b, c) = (a, 0, 0) = a(1, 0, 0)
Conclui-se que a multiplicidade geométrica do valor próprio é 1, ou seja admite apenas um vector
próprio independente, que por exemplo pode ser v = (1, 0, 0). Sendo assim a matriz A é não
diagonalizável, pelo que é semelhante a uma matriz formada por um único bloco de Jordan, ou
seja:
A = SJS −1
em que


−2 1
0
J =  0 −2 1 
0
0 −2


1 |
|
e S =  0 v1 v2 
0 |
|
sendo v1 e v2 vectores próprios generalizados de v. O primeiro vector próprio generalizado é
solução não nula de


   
1
0 0
1
a
 c=1






0 −1 −1
b = 0
b = −1
⇔
(A + 2I)v1 = v ⇔

0
0 1
1
c
a∈R
Então
v1 = (a, b, c) = (a, −1, 1) = a(1, 0, 0) + (0. − 1, 1)
Podemos então escolher, por exemplo,
solução não nula de

0

0
(A + 2I)v2 = v1 ⇔
0
v1 = (0. − 1, 1). O segundo vector próprio generalizado é

  

0
1
a
0
 c=0





−1 −1
b = −1
b=1
⇔

1
1
c
1
a∈R
157
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Então
v1 = (a, b, c) = (a, 1, 0) = a(1, 0, 0) + (0.1, 0)
Podemos então escolher, por exemplo, v2 = (0.1, 0).

1 0
S =  0 −1
0 1
Por ser um bloco de Jordan tem-se que
eJt
Em consequência

0
1 
0

t2
2
1 t
= e−2t  0 1
0 0
e finalmente

t 
1

t2
t2
t
+
1
2
2
= e−2t  0 −t + 1
−t 
0
t
t+1

eAt = SeJt S −1
Caso Não Homogéneo
Vamos agora resolver a equação
y′ (t) = Ay(t) + b(t)
h
com y ∈ Rn , A = aij
in
i,j=1
(2.48)
, aij ∈ R e b : I ⊆ R → Rn .
Fórmula da Variação das Constantes:
(Existência e unicidade de solução de uma equação vectorial linear de coeficientes constantes)
Aplicando a fórmula (2.39), concluı́mos que a solução geral da equação (2.48) é dada por
At
At
y(t) = e C + e
Z
t
e−As b(s) ds
,
C ∈ Rn
Se adicionalmente for dada a condição inicial y(t0 ) = y0 , a solução do PVI será neste caso dada
por
Z
y(t) = eA(t−t0 ) y0 + eAt
t
e−As b(s) ds
t0
para todo t ∈ I.
Exemplo:
Determinar a solução do PVI
y′ = Ay + b(t) ,
158
y(0) = (1, −1, 0)
2.5. EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM N
em que


−2 0
1
A =  0 −3 −1 
0
1 −1
,
Recorrendo ao resultado do exemplo anterior
eAt


1
b(t) =  0 
2e−2t
2 
t2
t + t2
1
2
= e−2t  0 −t + 1
−t 
0
t
t+1

e aplicando a fórmula da variação das constantes, a solução do PVI é dada por
y(t) =
=
=
=
2.5




Z t
1
1
eAt  −1  + eAt
e−As  0  ds
0
0
2e−2s





2 
2 
t2
s2
Z t
1
1
t + t2
−s + s2
1
1
2
2
  0  ds
e−2t  0 −t + 1
e2s  0 s + 1
−t   −1  +
s
0
2e−2s
0
0
t
t+1
0 −s
−s + 1

  e2t −1

2 
3 
t2
1
t + t2
− t2 + t3
1
2
2
−2t 
2





−1 +
e
0 −t + 1
−t
t
0
−t2 + 2t
0
t
t+1
 e2t +3 t2 t3 
+ 2 + 3
2
e−2t  −t2 + t − 1 
t2 + t
Equações Lineares de Ordem n
Uma equação diferencial ordinária de ordem n tem a forma:
y (n) (t) = f t, y(t), y ′ (t), · · · , y (n−1) (t)
Uma solução desta equação é uma função y : I → R de classe C n que a satisfaz. Aqui, I ⊂ R
denota um intervalo aberto.
Uma equação de ordem n ∈ N diz-se linear se é da forma
y (n) + an−1 (t) y (n−1) + ... + a1 (t) y ′ + a0 (t) y = b(t)
(2.49)
onde a0 (t), a1 (t),..., an−1 (t) e b(t) são funções reais definidas e contı́nuas em I.
2.5.1
Equação linear de 2a ordem
Como exemplo introdutório deste tópico, estudamos agora o caso especial das equações lineares
de 2a ordem:
ÿ + a1 (t) ẏ + a0 (t) y = b(t)
(2.50)
159
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Fazendo ẏ = v (o que implica que v̇ = ÿ), verificamos que a equação (2.50) é equivalente ao
sistema de duas equações de 1a ordem:
(
ẏ = v
v̇ = −a0 (t) y − a1 (t) v + b(t)
Este sistema pode-se escrever da seguinte forma:
′ y
0
y
0
1
+
=
v
b(t)
v
−a0 (t) −a1 (t)
| {z } |
{z
} | {z } | {z }
ẏ
y
A(t)
h(t)
ou seja,
ẏ = A(t)y + h(t),
em que A(t) se designa por matriz companheira da equação (2.50).
A equação linear homogénea de 2a ordem é a equação (2.50) no caso especial b(t) = 0, isto
é:
ÿ + a1 (t) ẏ + a0 (t) y = 0
(2.51)
Como vimos, esta equação é equivalente a:
′ y
y
0
1
=
v
v
−a0 (t) −a1 (t)
{z
} | {z }
| {z } |
ẏ
y
A(t)
Aplicando agora a teoria, apresentada na secção anterior, das equações vectoriais lineares, a
solução geral de ẏ = A(t)y é dada por:
y
u1 u2
c1
=
v
u̇1 u̇2
c2
| {z } |
{z
} | {z }
y
C
W (t)
com C = (c1 , c2 ) ∈ R2 . A função matricial
W (t) =
u1 u2
u̇1 u̇2
designa-se por matriz wronskiana de (2.51). W (t) é uma matriz solução fundamental da equação
vectorial de 1a ordem equivalente, logo as suas colunas, que são sempre da forma (y, ẏ) 17 , são
soluções linearmente independentes do sistema.
Desta forma, as soluções da eq. (2.51) são dadas por
y(t) = c1 u1 (t) + c2 u2 (t),
com
c1 , c2 ∈ R,
onde u1 (t) e u2 (t) são duas soluções linearmente independentes de (2.51) 18 . Isto significa que as
soluções de (2.51) formam um espaço vectorial de dimensão 2. Desta forma, é válido o seguinte
resultado:
17
Note que v = ẏ implica que as componentes da segunda linha de W (t) são as derivadas das componentes da
primeira linha.
18
Caso contrário, e como u1 e u2 não podem ser funções nulas, terı́amos u2 = cu1 (com c 6= 0), pelo que
u̇2 = cu̇1 . Resultaria então que (u1 , u̇1 ) = c(u2 , u̇2 ), ou seja, as colunas de W (t) seriam linearmente dependentes.
160
2.5. EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM N
Princı́pio da Sobreposição de Soluções
Se u(t) e v(t) são soluções (reais ou complexas) da equação homogénea
ÿ + a1 (t) ẏ + a0 (t) y = 0,
então c1 u(t)+ c2 v(t) é também solução de (2.51), para quaisquer constantes (reais ou complexas)
c1 , c2 .
2.5.2
Equação linear de 2a ordem de coeficientes constantes
Estudemos agora a equação (2.51) no caso em que os coeficientes são constantes, ou seja:
ÿ + a1 ẏ + a0 y = 0
com
a0 , a1 ∈ R
(2.52)
O polinómio caracterı́stico desta equação diferencial é definido por:
P (r) = r 2 + a1 r 1 + a0 r 0 = r 2 + a1 r + a0
As raı́zes de P (r) são os valores (reais ou complexos):
q
1
2
λ=
−a1 ± a1 − 4a0
2
Consoante o tipo de raı́zes, há três casos possı́veis:
Caso 1: duas raı́zes reais distintas se a21 − 4a0 > 0.
Caso 2: uma raiz real dupla se a21 − 4a0 = 0.
Caso 3: duas raı́zes complexas conjugadas se a21 − 4a0 < 0.
Denotando as raı́zes de P (r) por λ1 e λ2 , podemos factorizar o polinómio caracterı́stico da
seguinte forma:
P (r) = (r − λ1 )(r − λ2 )
P (r) = (r − λ1 )2
ou
dy
= ẏ
Vamos agora definir o operador derivada, D, por Dy =
dt
pode-se escrever na forma
D 2 y + a1 Dy + a0 y = 0,
que é equivalente a:
se λ1 = λ2
19 .
Então a equação (2.52)
D 2 + a1 D + a0 y = 0
Eis algumas definições e propriedades relevantes dos operadores que iremos utilizar:
• D é um operador linear i.e. D(cy1 + dy2 ) = c Dy1 + d Dy2 , onde c, d são escalares,
y1 , y2 : I → R (ou C)
O operador derivada é, de facto, a aplicação D : C 1 (I) → C(I) definida por Dy = ẏ, onde I é um intervalo
aberto. Estas aplicações cujo domı́nio é um conjunto de funções reais (ou complexas) designam-se comunmente,
na literatura matemática, por operadores.
19
161
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
• Soma dos operadores A e B: (A + B)y = Ay + By
• Produto de um operador A por um escalar c: (cA)y = c(Ay)
• Produto dos operadores A e B: (AB)y = A(By); trata-se, de facto, da composição dos
operadores A, B.
Notamos que o produto de operadores é, em geral, não comutativo. Por exemplo, os operadores D e Ay = f (t)y(t)
DAy = D(f (t)y(t) = f ′ (t)y(t) + f (t)y ′ (t)
ADy = A(Dy) = Ay ′ = f (t)y ′ (t)
Logo o operador Ay = f (t)y(t) apenas comuta com D se f ′ (t) = 0, isto é, Ay = cy, onde c é
uma constante.
Vejamos agora como proceder à factorização do polinómio diferencial
P (D) = D 2 + a1 D + a0 .
Tendo em conta que
P (r) = r 2 + a1 r + a0 = (r − λ1 )(r − λ2 )
(2.53)
então P (D) factoriza-se de forma análoga a P (r):
P (D) = D 2 + a1 D + a0 = (D − λ1 )(D − λ2 )
Vejamos porquê. Usando a linearidade dos operadores e o facto de D comutar com o operador
produto por uma constante, cI (c ∈ R ou c ∈ C):
(D − λ1 )(D − λ2 ) = D(D − λ2 ) − λ1 (D − λ2 ) = D 2 − Dλ2 − λ1 D + λ1 λ2
= D 2 − λ2 Dλ1 D + λ1 λ2 = D 2 − (λ1 + λ2 )D + λ1 λ2
Ora, os coeficientes do polinómio do 2o grau (2.53) verificam a1 = −(λ1 + λ2 ) e a0 = λ1 λ2 , pelo
que
(D − λ1 )(D − λ2 ) = D 2 + a1 D + a0 .
A equação diferencial é pois equivalente a:
(D − λ1 )(D − λ2 )y = 0
se λ1 6= λ2
ea
(D − λ1 )2 y = 0
se λ1 = λ2
Vejamos agora como usar a factorização do polinómio diferencial para determinar a solução
geral da equação homogénea. Tendo em conta que D − λ1 e D − λ2 comutam 20 :
(D − λ1 ) (D − λ2 )y = 0
| {z }
⇔
=0
(D − λ2 ) (D − λ1 )y = 0
| {z }
=0
Isto é, as soluções de (D − λ1 )y = 0 e de (D − λ2 )y = 0 são certamente soluções de (2.52).
20
Isto é, (D − λ1 )(D − λ2 ) = (D − λ2 )(D − λ1 ) (verifique).
162
2.5. EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM N
Resolvendo então (D − λ)y = 0 (com λ = λ1 ou λ = λ2 ):
uma solução é y(t) = eλt
ẏ + λy = 0
No caso λ1 6= λ2 , obtêm-se duas soluções linearmente independentes:
y1 (t) = eλ1 t
y2 (t) = eλ2 t
e
No caso λ1 = λ2 , o procedimento anterior permite apenas encontrar uma solução linearmente
independente de (D − λ1 )2 y = 0: y1 (t) = eλ1 t .
Para obter uma segunda, escrevemos um sistema de equações equivalente à equação tomando
v = (D − λ1 )y:
(D − λ1 ) (D − λ1 )y = 0
| {z }
v
(D − λ1 )v = 0
⇐
(D − λ1 )y = v
v = eλ1 t
⇐
ẏ − λ1 y = eλ1 t
v = eλ1 t
y = teλ1 t
Assim, se λ1 = λ2 , obtivémos estas duas soluções (que também são linearmente independentes):
y1 (t) = eλ1 t
e
y2 (t) = teλ1 t
Como vimos anteriormente, o espaço de soluções da equação (2.52) tem dimensão 2, o que
significa que a solução geral da mesma pode ser dada por:
Caso 1: y(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t , com c1 , c2 ∈ R.
Caso 2: y(t) = c1 eλ1 t + c2 teλ1 t , com c1 , c2 ∈ R.
Caso 3: y(t) = d1 eλ1 t + d2 eλ2 t , com d1 , d2 ∈ C. Note que, neste caso, esta fórmula
representa o espaço vectorial das soluções complexas da equação (2.52).
No caso 3, e para obter uma fórmula para a solução geral real, notamos em primeiro lugar que
P (r) é um polinómio de coeficientes reais pelo que se λ1 = α + iβ (onde α, β ∈ R são a parte
real e a parte imaginária de λ1 ) então λ2 = λ̄1 = α − iβ. Então:
eλ1 t = eαt eiβt = eαt cos(βt) + ieαt sen(βt)
eλ2 t = eαt e−iβt = eαt cos(βt) − ieαt sen(βt)
Como Re eλ1 t e Im eλ1 t também são soluções de (2.52), então duas soluções reais linearmente
independentes são,
u1 (t) = eαt cos(βt)
e
u2 (t) = eαt sen(βt).
Assim sendo:
Caso 3 (soluções reais): y(t) = c1 eαt cos(βt) + c2 eαt sen(βt),
163
com c1 , c2 ∈ R.
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Exemplo 1: resolver a equação y ′′ − 4y = 0.
Usando a notação y ′ = Dy, a equação pode ser escrita na forma (D 2 − 4)y = 0. O polinómio
caracterı́stico associado à equação é P (r) = r 2 − 4 = (r − 2)(r + 2). Então
(D 2 − 4)y = 0
⇔
⇐
(D − 2)(D + 2)y = 0
(D − 2)y = 0 ou (D − 2)y = 0
Assim, duas soluções linearmente independentes são e2t e e−2t , pelo que uma base do espaço de
soluções de (D − 2)(D + 2)y = 0 é < e2t , e−2t >. Concluimos que a solução geral da equação
y ′′ − 4y = 0 é y(t) = c1 e2t + c2 e−2t , com c1 , c2 ∈ R.
Exemplo 2: resolver a equação y ′′ − 6y ′ + 9y = 0.
Usando a notação y ′ = Dy, a equação pode ser escrita na forma (D 2 − 6D + 9)y = 0. O
polinómio caracterı́stico associado à equação é P (r) = r 2 − 6r + 9 = (r − 3)2 . Então uma base
do espaço de soluções de
(D 2 − 6D + 9)y = 0 ⇔ (D − 3)2 y = 0
é < e3t , te3t >, e a solução geral da equação y ′′ − 6y ′ + 9y = 0 é y(t) = c1 e3t + c2 te3t , com
c1 , c2 ∈ R.
Exemplo 3: resolver a equação y ′′ + 2y ′ + 2y = 0.
Usando a notação y ′ = Dy, a equação pode ser escrita na forma (D 2 + 2D + 2)y = 0. O
polinómio caracterı́stico associado à equação é P (r) = r 2 + 2r + 2 = (r + 1 − i)(r + 1 + i). Então
uma base do espaço de soluções reais de
(D 2 − 2D + 2)y = 0 ⇔ (D + 1 − i)(D + 1 + i)y = 0
é < et cos t, et sen t >. Desta forma, a solução geral da equação y ′′ + 2y ′ + 2 = 0 é dada por
y(t) = c1 et cos t + c2 et sen t, com c1 , c2 ∈ R.
2.5.3
Equação linear de ordem n e equação vectorial equivalente
Regressamos ao estudo da equação linear de ordem n:
y (n) + an−1 (t) y (n−1) + ... + a1 (t) y ′ + a0 (t) y = b(t)
(2.54)
onde a0 (t), a1 (t),..., an−1 (t) e b(t) são funções reais definidas e contı́nuas em I. Considera-se:
def
y = (y0 , y1 , y2 , . . . , yn−2 , yn−1 ) = (y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n−2) , y (n−1) )
Tendo em conta a definição destas variáveis, então a equação (2.54) é equivalente a:

 
 

y′
y0′
y1
 y ′   y ′′  

y2
 1  
 

 ..  
 

..
.
.
=
=
 .  
 

.
.
 ′
 
  (n−1)

 yn−2   y
 

yn−1
′
(n)
yn−1
−a0 (t) y0 − · · · − an−1 (t) yn−1 + b(t)
y
164
2.5. EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM N
Este sistema de equações de 1a ordem pode-se escrever na forma

y0
y1
..
.





 yn−2
yn−1
| {z
y′
′

0
0
..
.






 =




}
1
0
..
.
···
···
0
1
..
.
0
0
0
···
−a0 −a1 −a2 · · ·
{z
|

0
0
..
.
1
−an−1
y0
y1
..
.





  yn−2
yn−1
} | {z
y
A(t)


0
0
..
.
 
 
 
+
 
  0
b(t)
} | {z
h(t)







}
onde A(t) é a matriz companheira da equação (2.54). Assim, a equação de ordem n é equivalente
à equação vectorial de 1a ordem:
y′ = A(t)y + h(t)
A solução geral de y′ = A(t)y é pois dada por:
y = X(t)C
onde X(t) é uma matriz solução fundamental de y′ = A(t)y e C ∈ Rn .
Se u1 , u2 , . . . , un : I → R de classe C n−1 em I são linearmente independentes, define-se a
matriz wronskiana de u1 , u2 , . . . , un por:



W =

u1
u′1
..
.
(n−1)
u1
u2
u′2
..
.
(n−1)
u2
···
···
···
un
u′n
..
.
(n−1)
un





Como as colunas de X(t) são soluções linearmente independentes de y′ = A(t)y, então X(t) é
uma matriz solução fundamental de y′ = A(t)y se e só se X(t) é uma matriz wronskiana de n
soluções linearmente independentes de
y (n) + an−1 (t) y (n−1) + . . . + a1 (t) y ′ + a0 (t) y = 0
Esta última equação designa-se por equação homogénea associada a (2.54).
Determinemos agora uma fórmula para a solução geral da equação linear não homogénea
(2.54). Se y(t) é uma solução arbitrária de (2.54) e yP (t) uma solução particular da mesma
equação então, pela linearidade dos operadores derivada:
D n (y − yP ) + an−1 D n−1 (y − yP ) + a1 D(y − yP ) + a0 (y − yP )
= D n y + an−1 D n−1 y + a1 Dy + a0 y − D n yP + an−1 D n−1 yP + a1 DyP + a0 yP
{z
}
{z
}
|
|
=b(t)
=b(t)
= b(t) − b(t) = 0
Isto significa que a diferença y(t) − yP (t) é uma solução da equação homogénea; o que sugere a
solução geral da equação não homogénea (2.54) é da forma
y(t) = yG (t) + yP (t)
165
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
em que yG (t) é a solução geral da equação homogénea associada e yP (t) é uma solução particular
da equação não homogénea. Ora
D n (yG + yP ) + an−1 D n−1 (yG + yP ) + a1 D(yG − yP ) + a0 (yG − yP )
= D n yG + an−1 D n−1 yG + a1 DyG + a0 yG + D n yP + an−1 D n−1 yP + a1 DyP + a0 yP
{z
} |
{z
}
|
=0
=b(t)
= 0 + b(t) = b(t)
o que mostra que y(t) = yG (t) + yP (t) é, de facto, a solução geral da equação não homogénea.
2.5.4
Solução geral da equação homogénea
Pode-se facilmente verificar (como acima, fica como exercı́cio) a seguinte propriedade genérica
das equações lineares homogéneas de ordem n (de coeficientes constantes) da forma
y (n) + an−1 (t) y (n−1) + . . . + a1 (t) y ′ + a0 (t) y = 0
(2.55)
Princı́pio da sobreposição de soluções: se u(t) e v(t) são duas soluções da equação P (D)y = 0,
então c1 u(t) + c2 v(t) é também solução de P (D)y = 0, para quaisquer constantes reais c1 e c2
(ou complexas) 21 .
Isto sugere que a solução geral destas equações possa ser obtida a partir de uma combinação
linear de soluções apropriadamente escolhidas. Como vimos, a equação (2.55) é uma equação de
ordem n com b(t) ≡ 0 (isto é, homogénea), pelo que é equivalente a
y′ = A(t)y
onde




A(t) = 


0
0
..
.
1
0
..
.
0
1
..
.
···
···
0
0
0
···
−a0 (t) −a1 (t) −a2 (t) · · ·

0
0
..
.
1
−an−1 (t)






é a matriz companheira de (2.55). Pela teoria das equações vectoriais lineares, o espaço de soluções
da equação X ′ = A(t)X, tem dimensão n, pelo que existem n soluções linearmente independentes,
X1 , ..., Xn . As funções X1 , ..., Xn são as colunas de uma matriz solução fundamental de y′ =
A(t)y ou, equivalentemente, de uma matriz wronskiana de n soluções linearmente independentes
da equação homogénea (2.55). Como tal, a solução geral de X ′ = A(t)X é da forma
X(t) = c1 X1 (t) + · · · + cn Xn (t)
ou seja





21
|


y (n−1)
{z
}
|
y
y′
..
.
X(t)




 = c1 


y1
y1′
..
.
(n−1)
y1
{z
X1 (t)


}
|




 +c2 


y2
y2′
..
.
(n−1)
y2
{z
X2 (t)
,
c1 , ...cn ∈ R


}
|




 + · · · + cn 


yn
yn′
..
.
(n−1)
yn
{z
Xn (t)





}
É de notar que esta propriedade é verificada por todas as equações lineares homogéneas (diferenciais ou de
outro tipo).
166
2.5. EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM N
Dado que a solução da equação P (D)y = 0 é apenas a primeira componente de X(t), ou seja, y,
então a solução geral da equação homogénea P (D)y = 0 é uma combinação linear das primeiras
componentes das funções vectoriais X1 , ..., Xn , ou seja, de y1 , y2 , · · · , yn .
Podemos então concluir que o espaço das soluções da equação
y (n) + an−1 (t) y (n−1) + . . . + a1 (t) y ′ + a0 (t) y = 0
tem dimensão n e que a sua solução geral é da forma
y(t) = α1 y1 (t) + ... + αn yn (t),
em que α1 , ... , αn são constantes (reais ou complexas) e y1 ,..., yn são n soluções linearmente
independentes da equação homogénea.
2.5.5
Equação homogénea de ordem n de coeficientes constantes
Consideremos agora a equação de ordem n de coeficientes constantes:
y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y ′ + a0 y = b(t)
onde a0 , a1 , . . . an−1 ∈ R e b(t) é uma função real definida e contı́nua em I.
Tomando b(t) ≡ 0, obtém-se a equação homogénea associada:
y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y ′ + a0 y = 0
(2.56)
d
, podemos escrever (2.56)
Considerando, como anteriormente, o operador diferencial D = dt
na forma
D n + an−1 D n−1 + · · · + a1 D + a0 y = 0
{z
}
|
P (D)
Define-se então o polinómio caracterı́stico da equação (não homogénea ou homogénea) por:
P (R) = Rn + an−1 Rn−1 + · · · + a1 R + a0
O seguinte resultado estabelece uma relação entre os valores próprios da matriz companheira, A,
e as raı́zes do polinómio caracterı́stico de (2.56):
Proposição: Os valores próprios da matriz companheira, A, da equação diferencial y (n) +
an−1 y (n−1) + . . . + a1 y ′ + a0 y = b(t) são as raı́zes do seu polinómio caracterı́stico P (R) =
Rn + an−1 Rn−1 + · · · + a1 R + a0 .
Demonstração: det(A − λI) = ±P (λ).
Este resultado sugere uma relação entre as raı́zes de P (R) e as soluções da equação homogénea. Para obter essas soluções vamos recorrer à factorização de P (R).
Admitindo que as raı́zes de P (λ) são:
λ1 com multiplicidade m1
λ2 com multiplicidade m2
..
..
.
.
λk com multiplicidade mk
167
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
então
P (R) = (R − λ1 )m1 (R − λ2 )m2 · · · (R − λk )mk ,
onde, tendo em conta que o grau de P (R) é n,
m1 + m2 + . . . + mk = n.
Tal como no caso das equações de ordem 2, o polinómio diferencial factoriza-se da mesma forma
que P (R):
P (D) = (D − λ1 )m1 (D − λ2 )m2 · · · (D − λk )mk
Como D − λi comuta com D − λj , pode-se trocar a ordem dos factores. Então as soluções de
(D − λj )mj y = 0
com
j = 1, 2, . . . , k
são soluções de P (D)y = 0.
Para mj = 1, obtivémos a solução eλj t .
No caso mj = 2, obtivémos duas soluções linearmente independentes:
eλj t
,
teλj t
Para o caso geral, é útil o seguinte resultado.
Proposição: Sejam k, m ∈ N e λ ∈ C. Então, para k < m:
(D − λ)m tk eλt = 0
Demonstração:
(D − λ)tk eλt = ktk−1 eλt + tk λeλt − λtk eλt = ktk−1 eλt
Iterando a fórmula anterior:
(D − λ)m tk eλt = (D − λ)m−1 ktk−1 eλt
= (D − λ)m−2 k(k − 1)tk−2 eλt
..
.
= (D − λ)m−k+1 k(k − 1) · · · 2 teλt
= (D − λ)m−k k!eλt = 0
Aplicando a proposição anterior, obtemos soluções da forma tl eλt para l < mj ; ou seja:
• Caso 1: λj ∈ R. Então
eλj t ,
teλj t ,
t2 eλj t
... ,
tmj −1 eλj t
são mj soluções (reais) linearmente independentes.
• Caso 2: λj = αj + iβj ∈ C. Isto implica que λ̄j = αj − iβj também é raiz de P (R). Neste
caso, obtêm-se 2mj soluções linearmente independentes,
eλj t ,
teλj t ,
t2 eλj t
... ,
tmj −1 eλj t
eλ̄j t ,
teλ̄j t ,
t2 eλ̄j t
... ,
tmj −1 eλ̄j t .
Porém, estas soluções são complexas.
168
2.5. EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM N
No entanto, tendo em conta que:
eλj t = eαj t eiβj t = eαj t cos(βj t) + ieαj t sen(βj t)
eλ̄j t = eαj t e−iβj t = eαj t cos(βj t) − ieαj t sen(βj t)
então pelo princı́pio da sobreposição,
1 m λj t
t e + tm eλ̄j t = tm eαj t cos(βj t)
2
1 m λj t
m λ̄j t
= tm eαj t sen(βj t)
t e −t e
2i
são também soluções (e são funções reais). Assim, a partir do par de raı́zes α ± iβ de
multiplicidades mj obtêm-se 2mj soluções linearmente independentes (reais):
eαj t cos(βj t)
,
teαj t cos(βj t) ,
...
,
tmj −1 eαj t cos(βj t)
eαj t sen(βj t) ,
teαj t sen(βj t) ,
...
,
tmj −1 eαj t sen(βj t)
O número total de soluções reais linearmente independentes obtidas pelo procedimento anterior
é igual ao número de raı́zes, contando as multiplicidades, do polinómio caracterı́stico; ou seja,
igual a:
m1 + m2 + · · · + mk = n
Este procedimento permite assim obter uma base para o espaço de soluções da equação homogénea
(2.56) constituida apenas por funções reais.
Exemplo 1:
Consideremos a equação
y (6) + y (5) + y (4) + y (3) = 0
(D 6 + D 5 + D 4 + D 3 )y = 0
⇔
O seu polinómio caracterı́stico (e factorização) é:
P (R) = R6 + R5 + R4 + R3 = R3 (R3 + R2 + R + 1)
= R3 (R + 1)(R2 + 1) = R3 (R + 1)(R − i)(R + i)
As raı́zes do polinómio caracterı́stico (e correspondentes soluções da equação diferencial) são :
• λ = 0, com multiplicidade 3:
e0t ,
|{z}
1
• λ = −1, com multiplicidade 1
te0t
|{z}
t
,
2 0t
t|{z}
e
t2
e−t
• λ = ±i, com multiplicidade 1
e0t cos(1t) ,
| {z }
cos t
169
e0t sen(1t)
| {z }
sen t
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
A solução geral da equação é:
y(t) = c1 + c2 t + c3 t2 + c4 e−t + c5 cos t + c6 sen t
com c1 , c2 , . . . , c6 ∈ R.
Problema de valor inicial
Na equação vectorial de ordem 1 equivalente, y′ = Ay, a condição inicial é da forma:
0
y(t0 ) = y(t0 ), y ′ (t0 ), . . . , y n−1 (t0 ) = y0 = (y00 , y10 , yn−1
) ∈ Rn
Para obter um problema bem posto (onde a solução existe e é única), será necessário prescrever
o valor da solução e das suas derivadas até à ordem n − 1, num ponto t0 ∈ R:
O problema de valor inicial para uma equação de ordem n tem, então, a forma:
(n)
y + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y ′ + a0 y = b(t)
y(t0 ) = y0,0 , y ′ (t0 ) = y0,1 , . . . , y (n−1) (t0 ) = y0,n−1
onde t0 ∈ R e y0,0 , y0,1 , . . . , y0,n−1 ∈ R.
Exemplo 1 (continuação): No exemplo acima discutido, vamos acrescentar as condições
iniciais:
y(0) = y ′ (0) = 1 , y ′′ (0) = y (3) (0) = y (4) (0) = y (5) (0) = 0
Calculando as derivadas (até à ordem 5) da solução geral e substituindo os valores dados pelas
condições iniciais, obtém-se:



y(0) = 1
c1 + c4 + c5 = 1
c1 = 1









′ (0) = 1



y
c
−
c
+
c
=
1
c



2
4
6
2 =1




 y ′′ (0) = 0

2c3 + c4 − c5 = 0
c3 = 0
⇔
(3) (0) = 0 ⇔
y
−c
−
c
=
0
c



4
6
4 =0






(4)






c + c5 = 0
c =0
y (0) = 0



 4
 (5)
 5
−c4 + c6 = 0
c4 = c6 = 0
y (0) = 0
Desta forma, a solução do problema de valor inicial é
y(t) = 1 + t.
Vejamos mais alguns exemplos.
Exemplo 2:
Determinar a solução geral da equação
y ′′′ + 4y ′′ + 4y ′ = 0
(2.57)
Fazendo y ′ = Dy, a equação pode ser escrita na forma
(D 3 + 4D 2 + 4D)y = 0
⇔
D(D + 2)2 y = 0
170
⇐
Dy = 0 ou (D + 2)2 y = 0
2.5. EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM N
Podemos então obter soluções linearmente independentes da equação (2.57) resolvendo Dy = 0 e
(D + 2)2 y = 0. Uma solução da equação Dy = 0 é e0t . Por outro lado a equação (D + 2)2 y = 0
tem como soluções, por exemplo, e−2t e te−2t . Como tal a solução geral de (2.57) é
y(t) = c1 + c2 e−2t + c3 te−2t
c1 , c2 c3 ∈ R
,
Exemplo 3:
Determinar a solução do PVI
y ′′ + 8y ′ + 12y = 0 ,
y(0) = 3 , y ′ (0) = −14
(2.58)
Comecemos por determinar a solução geral da equação. Fazendo y ′ = Dy, a equação pode ser
escrita na forma
(D 2 + 8D + 12)y = 0
⇔
(D + 2)(D + 6)y = 0
⇔
(D + 6)y = 0 ou (D + 2)y = 0
Uma solução da equação (D + 6)y = 0 é e−6t . Por outro lado a equação (D + 2)y = 0 tem como
solução e−2t . Como tal a solução geral da equação é dada por
y(t) = c1 e−6t + c2 e−2t
,
c1 , c2 ∈ R
Para que as condições iniciais se verifiquem
c1 + c2 = 3
y(0) = 3
⇒
−6c1 − 2c2 = −14
y ′ (0) = −14
⇒
c1 = 2
c2 = 1
Finalmente a solução de (2.58) é
y(t) = 2e−6t + e−2t
2.5.6
Soluções Particulares Através da Fórmula de Variação das Constantes
Para calcular uma solução particular, yP (t), da equação
P (D)y = h(t)
(2.59)
começamos por discutir o método mais geral, e que consiste na aplicação da fórmula da variação
das constantes (2.39). Em teoria, este método é aplicável a todos os problemas em que h(t)
é somente uma função contı́nua. Na prática, contudo, pode não ser fácil obter uma fórmula
explı́cita por primitivação (e invocando apenas funções elementares).
Como vimos, a equação não homogénea de ordem n pode ser escrita como a equação vectorial
de ordem 1:
 




y
y
0
 y′   0 
 y′ 
 




′′

 y ′′   0 
 y






d 
+ . 
 = A
.
.
(2.60)
 



dt 
  . 



.
.
 




  . 



.
.
h(t)
y (n−1)
y (n−1)
171
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
em que

0
 0

A=

 0
−a0
1
0
0
1
...
....
...
...
...
0
0
−a1 −a2

0
0
1
−an−1





é a já referida matriz companheira da equação (2.59). Sendo y1 ,...,yn soluções linearmente
independentes da equação homogénea associada (conforme foram determinadas na subsecção
anterior), a sua matriz Wronskiana é



W (t) = 


y1
y1′
.
.
...
yn
...
yn′
...
.
...
.
(n−1)
... yn
(n−1)
y1






Como as colunas da matriz W (t) são soluções linearmente independentes da equação homogénea
associada a (2.60), a matriz W (t) é uma matriz solução fundamental da equação vectorial (2.60)
pelo que, por aplicação da fórmula da variação das constantes para equações vectoriais, tem-se
que uma solução particular de (2.60) será dada por

tendo-se então que:









y (n−1)
yP (t) =


y
y′
y ′′
.
.
.






Z t


−1

 = W (t)
W
(s)








y1 (t) ... yn (t)
Z
t
W
−1
0
0
0
.
.
.
h(s)



(s) 







 ds ,




0
.
.
0
h(s)



 ds


Exemplo:
Determinar a solução geral da equação
y ′′ + 2y ′ + 2y = 2e−t
(2.61)
A solução geral da equação é da forma
y(t) = yG (t) + yP (t)
em que yG é a solução geral da equação homogénea associada, e yP é uma solução particular de
(2.61).
172
2.5. EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM N
• Cálculo de yG
Como foi referido, yG é a solução de
y ′′ + 2y ′ + 2y = 0
e como tal a sua solução geral é (determinada no exemplo 3 da subsecção 2.5.2)
yG (t) = c1 e−t cos t + c2 e−t sen t
c1 , c2 ∈ R
,
• Cálculo de yP
Para determinar yP vamos utilizar a fórmula da variação das constantes. Começamos por
observar que e−t cos t e e−t sen t são soluções da equação homogénea, e como tal uma
matriz Wronskiana é dada por:
−t
e cos t
e−t sen t
e−t cos t
e−t sen t
W (t) =
=
(e−t cos t)′ (e−t sen t)′
−e−t (cos t + sen t) e−t (− sen t + cos t)
Assim
Z
(t)
y(t) = c1 e−t cos t + c2 e−t sen t + 2e−t
,
yP (t) =
e−t sen t
Finalmente a solução geral de (2.61) é
2.5.7
−1
e−t cos t
W
0
2e−t
dt = 2e−t
c1 , c2 ∈ R
Método dos Coeficientes Indeterminados
Descrevemos agora um outro método para o cálculo de uma solução particular da equação
P (D)y = b(t)
(2.62)
que é bastante mais eficiente que o anterior. Contudo, este método é apenas aplicável nos casos
em que o termo não homogéneo, b(t), é uma função da forma
tp eλt
ou
tp eαt cos(βt) ou
tp eαt sen(βt)
,
p≥0
(2.63)
ou suas combinações lineares.
Dada uma função b(t), define-se polinómio aniquilador de b(t) como sendo o polinómio diferencial PA (D) que verifica
PA (D)b(t) = 0
Se b(t) for uma combinação linear de funções do tipo (2.63), então existe um polinómio aniquilador,
e, pela subsecção 2.5.5, concluı́mos que
se b(t) = tp eλt , então o seu polinómio aniquilador é
PA (D) = (D − λ)p+1
se b(t) = tp eαt cos(βt) ou b(t) = tp eαt sen(βt), então o seu polinómio aniquilador é da
forma
p+1 p+1 p+1
PA (D) = D − (α + iβ)
D − (α − iβ)
= (D − α)2 + β 2
173
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
O método dos coeficientes indeterminados para resolver a equação P (D)y = b(t) consiste em:
1. Determinar o polinómio aniquilador, PA (D), de b(t). Seja k o seu grau.
2. Aplicar PA (D) a ambos os membros da equação inicial, donde resulta:
P (D)y = b(t)
⇒
PA (D)P (D)y = PA (D)b(t)
⇔
PA (D)P (D)y = 0
Note que a aplicação de PA (D) não produz uma equação equivalente à inicial. Embora
qualquer solução de P (D)y = b(t) seja solução de PA (D)P (D)y = 0, nem todas as soluções
da segunda equação resolvem a primeira.
Assim obtivemos uma equação diferencial linear homogénea de coeficientes constantes de
ordem n + k.
3. A solução geral da equação PA (D)P (D)y = 0 é dada por
y(t) = α1 y1 + ... + αn yn + β1 w1 + ... + βp wp
em que y1 , ..., yn são as soluções linearmente independentes da equação P (D)y = 0
determinadas previamente, ou seja:
yG (t) = α1 y1 + ... + αn yn
Tem-se então que existem β1 , ..., βk ∈ R tais que
yP = β1 w1 + ... + βp wp
é uma solução particular de P (D)y = b(t).
4. Determinam-se os coeficientes β1 , ..., βp de modo a que w = β1 w1 + ... + βp wp verifique
P (D)w = b(t).
Exemplo:
Determinar a solução do PVI
y ′′ + 3y ′ + 2y = e−x
,
y(0) = 0 , y ′ (0) = 1
(2.64)
A solução da equação diferencial é da forma
y(x) = yG (x) + yP (x)
em que yG é a solução geral da equação homogénea associada, e yP é uma solução particular da
equação completa.
• Cálculo de yg
A equação homogénea associada é
y ′′ + 3y ′ + 2y = 0
Fazendo y ′ = Dy, obtém-se
(D 2 + 3D + 2)y = 0
⇔
⇔
(D + 1)(D + 2)y = 0
(D + 1)y = 0 ou (D + 2)y = 0
Uma solução da equação (D + 1)y = 0 é e−x . Por outro lado a equação (D + 2)y = 0 tem
como solução e−2x . Como tal
yG (x) = c1 e−x + c2 e−2x
174
,
c1 , c2 ∈ R
2.5. EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM N
• Cálculo de yP
Dado que b(x) = e−x , podemos utilizar o método dos coeficientes indeterminados para
determinar a solução particular yP . O polinómio aniquilador de b(x) é
PA (D) = D + 1
Assim, e utilizando a factorização do polinómio caracterı́stico feito anteriormente
(D + 1)(D + 2)y = e−x
⇒
(D + 1)(D + 1)(D + 2)y = (D + 1)e−x ,
ou seja,
(D + 1)2 (D + 2)y = 0
A solução geral desta última equação (que é homogénea) é:
y(x) = c1 e−x + c2 xe−x + c3 e−2x
Dado que c1 e−x + c3 e−2x representa a solução geral da equação homogénea associada a
(2.64), conclui-se que a forma da solução particular é yP (x) = αxe−x . Seguidamente
teremos que determinar o valor da constante α de modo a que yP seja de facto solução
da equação y ′′ + 3y ′ + 2y = e−x . Substituindo yP (x) na equação não homogénea (2.64),
obtém-se:
(αxe−x )′′ + 3(αxe−x )′ + 2(αxe−x ) = e−x ⇔ α = 1
Conclui-se que
yP (x) = xe−x
• Cálculo da solução geral de (2.64)
Como já foi referido
y(x) = yG (x) + yP (x) = c1 e−x + c2 e−2x + xe−x
,
c1 , c2 ∈ R
• Cálculo da solução de (2.64)
Para que as condições iniciais se verifiquem
y(0) = 0
c1 + c2 = 0
⇒
′
y (0) = 0
−c1 − 2c2 + 1 = 1
⇒
c1 = 0
c2 = 0
Finalmente a solução de (2.58) é
y(x) = xe−x
2.5.8
Aplicações à resolução de equações vectoriais de 1a ordem
Como exemplo de aplicação do métodos desta secção às equações vectoriais lineares — que
estudámos na secção 2.4 — vamos agora resolver a equação vectorial linear de primeira ordem,
de coeficientes constantes, no caso linear. O método consiste em resolver a equação
Y ′ (t) = AY(t),
175
(2.65)
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
h
in
com Y ∈ Rn , A = aij (t)
i,j=1
, aij ∈ R, procurando reduzi-la a uma equação linear homogénea
de ordem n equivalente.
A equação vectorial linear de coeficientes constantes, homogénea, pode ser escrita na forma
 ′

 y1 (t) = a11 y1 (t) + ... + a1n yn (t)
..
..
..
.
.
.

 ′
yn (t) = an1 y1 (t) + ... + ann yn (t)
Usando o método de substituição, esta equação pode ser reduzida a uma equação de ordem n,
linear, de coeficientes constantes, homogénea, onde a sua variável dependente é precisamente uma
das componentes yi de Y (para algum i ∈ {1, . . . , n}).
Exemplo 1:
Dada a matriz


2
4 0
A =  −1 −2 0 
1
2 0
vamos — através da resolução de equações homogéneas escalares de ordem n de coeficientes
constantes — determinar a matriz eAt e a solução do (PVI):
 ′
 x = 2x + 4y
y ′ = −x − 2y
 ′
z = x + 2y
x(0), y(0), z(0) = (1, 1, 1)
,
Comecemos por determinar uma matriz solução fundamental associada ao sistema (que é homogéneo). A partir da 1a equação,
x′ = 2x + 4y
Substituindo y por
y ′ = −x − 2y
x′ −2x
4
⇒
Assim
y(t) =
Então
A matriz

⇒
y=
x′ − 2x
.
4
na segunda equação, obtemos:
x′ − 2x ′
4
x′ − 2x = −x − 2
4
x′ − 2x
c2 − 2c1 − 2c1 t
=
4
4
 
x(t)
 y(t)  = 
z(t)
c1 + c2 t
c2 −2c1 −2c1 t
4
c2 t
+
c3
2

e z=

1
 =  −1
2
0

1

S(t) = − 12
0
176
1
4
t
−
t
2
t
2
x′′ = 0
⇔
Z
1
4
(x + 2y)dt =
t
−
t
2

0
0 
1
t
2
⇔
x(t) = c1 + c2 t
c2 t
+ c3
2


0
c1
0   c2 
1
c3
2.5. EQUAÇÕES LINEARES DE ORDEM N
é uma matriz solução fundamental associada ao sistema mas não é eAt (dado que para t = 0 não
iguala a matriz identidade. Tem-se que


−1 

1 0 0
1
t
0
1 + 2t
4t
0
eAt = S(t)S −1 (0) =  − 12 14 − 2t 0   − 12 41 0  =  −t
1 − 2t 0 
t
1
0
0 0 1
t
2t
1
2
Finalmente, a solução do (PVI) é dada por

  
 

1
1 + 6t
1 + 2t
4t
0
x(t)
 y(t)  =  −t
1 − 2t 0   1  =  1 − 3t 
1
1 + 3t
t
2t
1
z(t)
Exemplo 2:
Determinar a solução geral da equação
′
Y =
1 −3
3 1
Y
Fazendo Y = (x, y), a equação pode ser escrita na forma
′ ′
x
1 −3
x
x = x − 3y
=
⇔
′
y
3 1
y
y ′ = 3x + y
Resolvendo (por exemplo) a primeira equação em ordem a y, obtém-se
y=−
1 ′
x −x
3
pele que, substituindo na segunda equação
1
1
′
− x′ − x
= 3x + − x′ − x
3
3
que é uma equação de segunda ordem (linear, de coeficientes constantes, homogénea) em x.
Simplificando e resolvendo
x′′ − 2x′ + 10x = 0
⇔
(D 2 − 2D + 10)x = 0
O polinómio caracterı́stico associado, P (R) = R2 − 2R + 10, tem raı́zes complexas conjugadas
1 ± 3i pelo que uma base do espaço de soluções será (por exemplo) Re e(1+3i)t e Im e(1+3i)t .
Tem-se então que
x(t) = aet cos(3t) + bet sen(3t)
e tornando a substituir
y=−
1 ′
x − x = −bet cos(3t) + aet sen(3t)
3
Finalmente, a solução da equação vectorial é dada por
a cos(3t) + b sen(3t)
t
Y (t) = e
−b cos(3t) + a sen(3t)
177
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Exemplo 3:
Vamos agora determinar a solução

2 0
′

Y = 0 2
0 0
geral da equação
 ′

0
 x = 2x

y ′ = 2y + z
1 Y ⇔
 ′
2
z = 2z
Neste caso não vamos conseguir reduzir o sistema a uma equação de ordem 3 em qualquer uma
das variáveis, consequência de nas duas últimas equações não há dependência em x e na primeira
não haver dependência nas variáveis y e z. No entanto conseguiremos aplicar o método aos
“sub-sistemas”
′
y = 2y + z
′
x = 2x e
z ′ = 2z
Para o primeiro
x′ = 2x
⇔
x(t) = c1 e2t
Para o outro sistema, podemos utilizar dois métodos: ou reduzir a uma equação de ordem 2
(forçosamente em y) e resolvê-lo como no exemplo anterior, ou como método alternativo que
resulta sempre que a matriz associada ao sistema é triangular, e que consiste em resolver a
equação em z ′ (dado que só depende de z) substituir na equação em y ′ (dado que, conhecida z
só depende de y). Assim
z ′ = 2z ⇔ z(t) = c2 e2t
Substituindo na equação em y ′
y ′ = 2y + c2 e2t
⇔
y ′ − 2y = c2 e2t
⇔
d −2t e y = c2
dt
⇔
y(t) = e2t (c2 t + c3 )
e substituindo na equação em x′ Finalmente, a solução da equação vectorial é dada por


c1
Y (t) = e2t  c2 t + c3 
c2
2.6
2.6.1
Transformada de Laplace
Definição e Propriedades
Definição da Transformada de Laplace
Seja f : [0, ∞[→ R. Define-se a Transformada de Laplace de f como sendo a função de variável
complexa
Z ∞
e−st f (t) dt
(2.66)
L{f }(s) = F (s) =
0
Por vezes usa-se a notação L{f (t)}(s) para representar L{f }(s), em situações em que se designa
a função f pela fórmula que a define.
178
2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Domı́nio da Transformada de Laplace
Se a função f for seccionalmente contı́nua em qualquer [0, T ], com T ∈ R+ e verificar
|f (t)| ≤ M eαt
,
∀t ≥ 0
(2.67)
para certas constantes M > 0 e α ∈ R, então a transformada de Laplace de f está bem definida
no semi-plano complexo Re s > α.
Demonstração: Para qualquer t > 0 e s ∈ C tal que Re s > α ⇔ α − Re s < 0:
e−st f (t) = e(− Re s)t e−i(Im s)t |f (t)| ≤ e(− Re s)t M eαt = M e(α−Re s)t
Então, para Re s > α:
Z
∞
−st
e
0
f (t) dt ≤
Z
∞
(α−Re s)t
Me
0
e(α−Re s)t
dt = M lim
R→∞ α − Re s
R
=
0
M
Re s − α
Nota: Se f : [0, ∞[→ C, então podemos definir a transformada de Laplace de f pela equação
(2.66), e a mesma estará bem definida para Re s > α, onde α ∈ R+ é obtido a partir da condição
de convergência (2.67).
Exemplo:
Sendo f (t) = eat , a ∈ R, (ou a ∈ C) tem-se que
at
L{e }(s) =
Z
∞
0
e(a−s)t
e dt = lim
R→∞ a − s
R
−st at
e
Como caso particular
L{1}(s) = L{e0t }(s) =
1
,
s
=
t=0
1
,
s−a
Re s > a
Re s > 0
Função de Heaviside
Sendo c ∈ R, define-se a função de Heaviside (centrada em c) por
0 se t < c
Hc (t) =
1 se t ≥ c
def
Se c = 0, escreve-se simplesmente H(t) = H0 (t). Para qualquer c ∈ R, Hc (t) = H(t − c).
Exemplo: (Transformada de Laplace da função de Heaviside)
Se c ≥ 0
L{Hc (t)}(s) =
Z
0
∞
H(t − c)e−ts dt =
Z
∞
c
e−ts dt = lim −
N →∞
179
e−ts
s
N
=
c
e−cs
,
s
Re s > 0
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Propriedades Elementares da Transformada de Laplace:
Assumindo que as funções f e g admitem transformadas de Laplace bem definidas numa região
Re s > a (para algum a ∈ R):
(1) Linearidade
L{f + g}(s) = L{f }(s) + L{g}(s)
e para α ∈ R
L{αf }(s) = αL{f }(s)
Em consequência, para quaisquer α, β ∈ R
L {αf + βg} (s) = αL{f }(s) + βL{g}(s)
(2) Translação da Transformada de Laplace Para a ∈ R,
L{e−at f (t)}(s) = L{f (t)}(s + a)
(3) Derivada da Transformada de Laplace Para n ∈ N
dn L{f
(t)}(s)
= (−1)n L{tn f (t)}(s)
dsn
(4) Transformada de Laplace da Translação Para c ∈ R+ ,
L{H(t − c)f (t − c)}(s) = e−cs L{f (t)}(s)
(5) Transformada de Laplace da Derivada
Se f admite derivada seccionalmente contı́nua em [0, ∞[ e Re s > 0 então:
L{f ′ (t)}(s) = −f (0) + sL{f (t)}(s)
Então, aplicando n ∈ N vezes a propriedade anterior, se f admite derivadas seccionalmente
contı́nuas até à ordem n em [0, ∞[:
L{f (n) (t)}(s) = −f (n−1) (0) − sf (n−2) (0) − · · · − sn−2 f ′ (0) − sn−1 f (0) + sn L{f (t)}(s)
Demonstração:
(1) A propriedade é verdadeira devido à linearidade dos integrais impróprios.
Z ∞
Z ∞
−st −at
−at
e−(s+a)t f (t) dt = L{f (t)}(s + a)
e e f (t) dt =
(2) L{e f (t)}(s) =
0
0
180
2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
(3) Vamos provar o resultado por indução. No caso n = 1:
Z ∞
Z ∞
Z ∞
d −st
d
d
e−st (−t)f (t) dt
L{f (t)}(s) =
e−st f (t) dt =
e f (t) dt =
ds
ds 0
ds
0
0
= −L{tf (t)}(s)
Admitindo que a propriedade é válida para n − 1, então (e usando o caso n = 1):
n−1
dn
d
d
d
n−1
n−1
(−1)
L{t
f
(t)}(s)
L{f
(t)}(s)
=
L{f
(t)}(s)
=
dsn
ds dsn−1
ds
n
o
d
= (−1)n−1 L{tn−1 f (t)}(s) = (−1)n−1 (−1)L t(tn−1 f (t)) (s)
ds
= (−1)n L{tn f (t)}(s)
(4) Como H(t − c) = 0 para t ∈ [0, c]:
Z
L{H(t − c)f (t − c)}(s) =
0
∞
e−st H(t − c)f (t − c) dt =
Fazendo θ = t − c no último integral, obtém-se:
Z ∞
Z
−s(θ+c)
−cs
e
f (θ) dθ = e
L{H(t − c)f (t − c)}(s) =
0
∞
0
Z
c
∞
e−st f (t − c) dt
e−sθ f (θ) dθ = e−cs L{f (t)}(s)
(5) Integrando por partes (e atendendo a que, por hipótese, Re s > 0):
Z ∞
Z ∞
∞
e−st f ′ (t) dt = e−st f (t) 0 + s
e−st f (t) dt = −f (0) + sL{f (t)}(s)
L{f ′ (t)}(s) =
0
0
Exemplos
a) Para b ∈ R, e usando a linearidade da transformada de Laplace:
L{cos(bt)}(s) = L{
L{sen(bt)}(s) = L{
eibt + e−ibt
s
1 1
1 = 2
}(s) =
+
, Re s > 0
2
2 s − ib s + ib
s + b2
b
1 1
1 eibt − e−ibt
= 2
}(s) =
−
, Re s > 0
2i
2i s − ib s + ib
s + b2
b) Para a e b ∈ R, e usando a propriedade da translação da transformada de Laplace:
L{e−at cos(bt)}(s) = L{cos(bt)}(s + a) =
s+a
,
(s + a)2 + b2
Re s > −a
L{e−at sen(bt)}(s) = L{sen(bt)}(s + a) =
b
,
(s + a)2 + b2
Re s > −a
181
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
c) Se n ∈ N e a ∈ R, e usando a propriedade da derivada da transformada de Laplace:
L{tn eat }(s) = (−1)n
n!
dn at
,
L{e
}(s)
=
dsn
(s − a)n+1
Re s > a
Particularizando o resultado anterior para a = 0, obtém-se:
L{tn }(s) =
n!
,
sn+1
Re s > 0
d) Por aplicação da propriedade da transformada de Laplace da translação, determinar f (t) tal
−2s
que L{f (t)}(s) = e s2 .
L{f (t)}(s) = e−2s
2.6.2
1
= e−2s L{t}(s) = L H(t − 2)(t − 2) (s)
2
s
Aplicações da Transformada de Laplace às equações diferenciais
Vamos introduzir um método que permite resolver um problema de valor inicial para uma equação
linear de ordem n, de coeficientes constantes. Para tal, vamos usar a Transformada de Laplace
para obter a solução de problemas de valor inicial do tipo:
 n
 y + an−1 y (n−1) + ... + a1 y ′ + a0 y = b(t)

(2.68)
y(0) = b0 , y ′ (0) = b1 , ..., y (n−1) (0) = bn−1
1. Aplicar a Transformada de Laplace a ambos os membros da equação diferencial do problema
(2.68):
L{y n + an−1 y (n−1) + ... + a1 y ′ + a0 y}(s) = L{b(t)}(s)
2. Aplicando as propriedades da transformada de Laplace, e com
Y (s) = L{y(t)}(s)
obtém-se
Y (s) =
1
B(s) + Q(s)
P (s)
onde P (s) é o polinómio caracterı́stico associado a (2.68), B(s) a transformada de Laplace
de b(t) e Q(s) um polinómio de grau menor ou igual que n−1. Quando as condições iniciais
são nulas, Q(s) = 0.
3. Finalmente, determinar a função y(t) tal que
L{y(t)}(s) = Y (s).
Em consequência:
y(t) = L−1 {Y (s)}(t)
Diz-se que y(t) é a transformada de Laplace inversa de Y (s). Utilizando este método,
obtém-se a solução, y(t), do PVI (2.68).
182
2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Exemplo:
Determinar a solução (para t ≥ 0) do problema de valor inicial:
ÿ + y = b(t)
,
y(0) = ẏ(0) = 0.
onde b(t) é definida pela expressão
b(t) =
t2 se 0 ≤ t < 1
= 1 − H(t − 1) t2 = t2 − H(t − 1) t2
0 se t ≥ 1
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação diferencial, obtém-se
L {ÿ + y} (s) = L {b(t)} (s).
Pela propriedade da transformada de Laplace da translação:
n
2 o
2
L {b(t)} (s) = L t2 (s) − L H(t − 1)t2 (s) = 3 − L H(t − 1) (t − 1) + 1)
(s)
s
2
2
= 3 − e−s L (t + 1)2 (s) = 3 − e−s L t2 + 2t + 1 (s)
s
s
2
1
2
2
+
+
= 3 − e−s
s
s3 s2 s
Por outro, usando a linearidade:
L {ÿ + y} (s) = L {ÿ} (s) + L {y} (s) =
2
2
1
−s 2
−
e
+
+
s3
s3 s2 s
Pela propriedade da transformada de Laplace da derivada,
−ẏ(0) − sy(0) + s2 L {y} (s) + L {y} (s) =
2
2
1
−s 2
−
e
+
+
s3
s3 s2 s
Usando a notação Y (s) = L {y(t)} (s), e atendendo a que y(0) = ẏ(0) = 0, tem-se então
(s2 + 1)Y (s) =
2
1
2
−s 2
,
−
e
+
+
s3
s3 s2 s
ou seja,
Y (s) =
1
s2 + 1
2
2
1
−s 2
−
e
+
+
.
s3
s3 s2 s
Sejam F1 (s) e F2 (s) tais que:
Y (s) =
2
s3 (s2 + 1)
| {z }
F1 (s)
−s
− e
|
183
2
1
1 2
+
+
s2 + 1 s3 s2 s
{z
}
F2 (s)
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Em F1 (s), fazendo separação em fracções simples e aplicando as propriedades da Transformada
de Laplace:
0
2
2s + 0
−2
+ 2+ 3+ 2
s
s
s
s +1
F1 (s) =
d2 1
s
−2
+ 2 +2 2
s
ds s
s +1
=
= −2L{1}(s) + L{t2 }(s) + 2L{cos t}(s)
= L{−2 + t2 + 2 cos t}(s)
Tratando F2 (s) de forma similar:
F2 (s) = e−s
−1
+
= e−s
−1
−2
s
s
2
2
s−2 +
+
s2 s3 s2 + 1
d 1
d2 1
s
1 + 2 + 2
−2 2
ds s ds s s + 1
s +1
= e−s − L {1} (s) + 2L {t} (s) + L t2 (s) + L {cos t} (s) − 2L {sen t} (s)
= e−s L −1 + 2t + t2 + cos t − 2 sen t (s)
n
o
= L H(t − 1) − 1 + 2(t − 1) + (t − 1)2 + cos(t − 1) − 2 sen(t − 1) (s)
Conclui-se que
n
o
Y (s) = L −2 + t2 + 2 cos t − H(t − 1) − 1 + 2(t − 1) + (t − 1)2 + cos(t − 1) − 2 sen(t − 1) (s)
e assim a solução do PVI é
y(t) = −2 + t2 + 2 cos t − H(t − 1) − 1 + 2(t − 1) + (t − 1)2 + cos(t − 1) − 2 sen(t − 1)
=
2.6.3

 −2 + t2 + 2 cos t

se 0 ≤ t < 1
−3 + t2 + 2 cos t − 2(t − 1) − (t − 1)2 − cos(t − 1) + 2 sen(t − 1) se t ≥ 1
Distribuição Delta de Dirac
A delta de Dirac é a distribuição que verifica
∀t ∈ R \ {0}
δ(t) = 0
Z
∞
δ(x) dx = 1
−∞
184
2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Se f é contı́nua em t = 0 então:
Z
∞
δ(t)f (t) dt = f (0)
−∞
Mais genericamente, podemos definir a distribuição delta de Dirac centrada em um dado c ∈ R
por:
δc (t) = δ(t − c)
A distribuição δc (t) verifica, então:
a) δc (t) = 0 para qualquer t ∈ R \ {c}.
Z ∞
δc (t) dt = 1
b)
−∞
c) Se f é contı́nua em c então
Z
∞
δc (t)f (t) dt = f (c)
−∞
Desta forma:
L {δc (t)} =
Z
∞
δc (t)e−st dt = e−cs .
−∞
Exemplo:
Determinar a solução (para t ≥ 0) do problema de valor inicial:
ÿ + 2ẏ + y = 2δ(t − 2)
,
y(0) = ẏ(0) = 0.
Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os membros da equação diferencial, obtém-se
L {ÿ + 2ẏ + y} (s) = L {2δ(t)} (s) = 2e−2s
Usando a linearidade, a propriedade da transformada de Laplace da derivada e a notação Y (s) =
L {y(t)} (s)
−ẏ(0) − sy(0) + s2 Y (s) + 2 (−y(0) + sY (s)) + Y (s) = 2e−2s ,
o que é equivalente a
(s2 + 2s + 1)Y (s) = 2e−2s ,
ou seja
Y (s) = e−2s
o
n
t
2
−2s
−(t−2)
(s)
=
e
L
2te
(s)
=
L
2H(t
−
2)(t
−
2)e
(s + 1)2
Consequentemente, a solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 2H(t − 2)(t − 2)e−(t−2) .
185
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
2.6.4
Inversão da Transformada de Laplace
Teorema de Inversão da Transformada de Laplace
Seja F (s) uma função analı́tica em C excepto num conjunto finito de singularidades (isoladas),
{s1 , s2 , . . . , sn } ⊂ C. Seja α ∈ R tal que F (s) é analı́tica no semi-plano Re s ≥ α (isto é, α
é maior que qualquer um dos valores Re s1 , Re s2 , . . . , Re sn ). Suponhamos também que F (s)
verifica, para certos M, β, R̂ ∈ R+ :
|F (s)| ≤
Então
f (t) =
M
,
|s|β
n
X
se |s| ≥ R̂
Res est F (s), sj
j=1
(2.69)
(2.70)
satisfaz L {f (t)} (s) = F (s) para Re s > α.
Demonstração: Seja R > |α| tal que todas as singularidades de F (s) estão no interior da
circunferência |s| = R (isto é, |sj | < R, para j = 1, 2, . . . , n).
Im s
−
γR
sn
√
α + i R2 − α2
s1
s
−IR
IR
α
s2
Re s
sn−1
s3
+
γR
√
2
α − i R − α2
Figura 2.9: Demonstração do teorema de inversão da transformada de Laplace.
Sejam
+
= {s ∈ C : |s| = R e Re s ≥ α}
γR
−
= {s ∈ C : |s| = R e Re s ≤ α}
γR
(em que a circunferência é sempre percorrida no
o segmento que une os
√ sentido directo) e IR √
2
2
extremos de ambas as curvas, com inı́cio em α−i R − α e fim em α+i R2 − α2 . Considere-se
as curvas de Jordan:
−
+
,
Γ−
Γ+
R = γR + I R
R = γR + (−IR )
186
2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Note que ambas as curvas são percorridas no sentido directo.
Aplicando o teorema dos resı́duos à função est F (s), que é analı́tica em C \ {s1 , s2 , . . . , sn }
(considera-se t ∈ R como parâmetro):
Z
st
e F (s) ds = 2πi
Γ−
R
n
X
j=1
Res est F (s), sj = 2πif (t)
(2.71)
A transformada de Laplace de f (nos pontos s ∈ C onde o limite que define o integral impróprio
converge) será então dada por:
!
Z
Z
N
2πi L {f (t)} (s) = lim
N →∞ 0
e−st
ezt F (z) dz
dt.
Γ−
R
Pelo teorema de Fubini:
2πi L {f (t)} (s) = lim
Z
N →∞ Γ−
R
Z
N
0
Z
e(z−s)t dt F (z) dz = lim
N →∞ Γ−
R
e(z−s)N − 1
F (z) dz.
z−s
Para Re s > α e notando que, para z ∈ Γ−
R , Re z ≤ α:
lim e(z−s)N ≤ lim e(α−Re s)N = 0,
N →∞
N →∞
pelo que, para esses valores de s, o limite que define L {f (t)} (s) existe e:
Z
F (z)
dz.
2πi L {f (t)} (s) = −
− z −s
ΓR
Considera-se agora R suficientemente grande, de tal forma que — para além das sigularidades
s1 , s2 , . . . , sn — também s está no interior da circunferência |z| = R, e a estimativa (2.69) é
válida para |z| = R (ou seja, R ≥ R̂). Aplicando a fórmula integral de Cauchy à curva Γ+
R e à
função F (que é analı́tica nessa curva e no seu interior):
Z
Z
Z
F (z)
F (z)
F (z)
dz −
dz + 2πi F (s) = 2πi F (s) −
dz.
2πi L {f (t)} (s) = −
+ z − s
− z − s
z
ΓR
|z|=R − s
ΓR
|
{z
}
=0
Como:
Z
|z|=R
F (z)
dz ≤
z−s
Z
|z|=R
|F (z)|
M/Rβ
|dz| ≤
|z − s|
R − |s|
Z
|z|=R
|dz| =
2πRM
→0
Rβ (R − |s|)
quando R → ∞, concluı́mos que,
2πi L {f (t)} (s) = lim 2πi F (s) −
R→∞
Z
|z|=R
ou seja,
L {f (t)} (s) = F (s).
187
F (z)
dz = 2πi F (s),
z−s
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
.
(s)
Este teorema de inversão pode ser útil quando F (s) é uma função racional, isto é, F (s) = PQ(s)
,
onde P (s) e Q(s) são polinómios. Neste caso, e como vimos na subsecção 1.10.3, basta que o
grau de Q(s) seja maior que o de P (s) para a condição (2.69) seja satisfeita.
Exemplo 1:
Determinar a transformada de Laplace inversa de F (s) =
s2
s+1
.
+s−6
s+1
Como s2 + s − 6 = (s + 3)(s − 2), est F (s) = est (s+3)(s−2)
tem por singularidades s = 2 e
2
s = −3, sendo ambas pólos simples. Note que o grau de s + s − 6 é maior que o de s − 1. Pelo
teorema de inversão da transformada de Laplace:
s+1
−1
−1
= Res est F (s), 2 + Res est F (s), −3
L {F (s)} = L
(s + 3)(s − 2)
Os resı́duos dos pólos simples são:
s + 1 st 3 2t
Res G(s), 2 = lim
e = e
s→2 s + 3
5
s + 1 st 2 −3t
Res G(s), −3 = lim
e = e .
s→−3 s − 2
5
Assim sendo,
L−1 {F (s)} =
3 2t 2 −3t
e + e .
5
5
Exemplo 2:
Sendo F (s) uma função que verifica as condições do teorema de inversão da transformada de
Laplace, provar que
f (t) = L
−1
1
{F (s)}(t) =
2πi
Z
α+i∞
est F (s) ds
para
t > 0.
(2.72)
α−i∞
Notamos em primeiro lugar que a equação (2.71) é válida para qualquer R muito grande;
tomando o limite em ambos os membros de (2.71) quando R → ∞, então:
! Z
Z
Z
Z
α+i∞
st
st
est F (s) ds
est F (s) ds + lim
e F (s) ds =
e F (s) ds +
2πif (t) = lim
R→∞
−
γR
IR
Resta provar que limR→∞
R
−
γR
α−i∞
est F (s) ds = 0.
188
R→∞ γ −
R
2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
−
é o arco de circunferência parametrizado por s(θ) = Reiθ , com π2 −κ ≤ θ ≤ 3π
A curva γR
2 +κ
−
1 + S + C 2 22 onde o parâmetro θ satisfaz:
e κ = arctg √R2α−α2 . Podemos escrever γR
= CR
R
R
π
2
−κ<θ <
π
2
<θ<
3π
2
<θ<
π
2
1 ;
para z(θ) ∈ CR
3π
2
3π
2
para z(θ) ∈ SR ;
2 .
+ κ para z(θ) ∈ CR
1 + C 2 , tendo em conta que ets = et Re s ≤ etα para
Para estimar os integrais ao longo de CR
R
−
s ∈ γR :
Z
Z
M etα
M etα
|ds|
=
2R|κ|
est F (s) ds ≤
−
+
Rβ CR− +CR+
Rβ
CR
+CR
Como | arctg x| ≤ |x|, então R|κ| = R arctg √R2α−α2 ≤ R √R|α|
=√
2 −α2
Z
−
+
CR
+CR
est F (s) ds ≤
2M etα |α|
p
−→ 0
Rβ 1 − α2 /R2
|α|
,
1−α2 /R2
pelo que:
quando R → ∞
O integral ao longo de SR pode ser estimado usando o método da prova do lema de Jordan.
Em primeiro lugar,
Z
ts
e
SR
|ds| =
=
Z
Z
3π
2
π
2
3π
2
π
2
etR cos θ eitR sen θ R dθ
tR cos θ
e
R dθ =
Z
π
tR cos(ω+ π2 )
e
0
R dω =
Z
π
e−tR sen ω R dω.
0
Usando agora as estimativas da subsecção 1.10.3 (equações (1.28) e (1.29)), obtém-se:
Z
π
para t > 0.
ets |ds| ≤
t
SR
Então, para t > 0,
Z
Z
M
Mπ
f (z)ets ds ≤ β
|ets ||ds| ≤ β −→ 0
R
R t
SR
SR
quando
R→∞
1
2
A ideia desta decomposição baseia-se no facto de os comprimentos das curvas CR
e CR
não tenderem para
∞ quando R → ∞, o que permite uma majoração mais simples dos integrais correspondentes. Por outro lado, o
integral ao longo de SR pode ser estimado pelo método que foi usado na prova do lema de Jordan.
22
189
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
190
Capı́tulo 3
Introdução às Equações Diferenciais Parciais
O objectivo de resolver uma equação diferencial parcial é determinar uma função u(x1 , ..., xn ) que
verifica uma relação de igualdade envolvendo as suas derivadas (que serão derivadas parciais).
Centraremos o nosso estudo nas equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem em
domı́nios (espaciais) rectangulares, em que as equações são afins aos três tipos seguintes:
• Equação do Calor
∂2u
∂2u ∂u
+
...
+
=K
∂t
∂x2n
∂x21
em que t > 0, x1 ∈ [0, L1 ],..., xn ∈ [0, Ln ], e K > 0 é a condutividade térmica do material.
Este tipo de equações está associado a processos envolvendo condução térmica e difusão1 .
• Equação de Laplace
∂2u
∂2u
=0
+
...
+
∂x2n
∂x21
em que x1 ∈ [0, L1 ],..., xn ∈ [0, Ln ]. Este tipo de equações está associado a processos
estacionários de condução térmica e difusão, à electrostática e ao movimento dos fluı́dos.
• Equação das Ondas
2
∂u2
∂2u 2 ∂ u
=
c
+
·
·
·
+
∂t2
∂x2n
∂x21
em que t > 0, x1 ∈ [0, L1 ],..., xn ∈ [0, Ln ], e c uma constante. Este tipo de equações está
associado a processos envolvendo propagação de ondas.
Para resolver estas equações, necessitaremos de estabelecer
• Condições de Fronteira
Que predefinem o comportamento da função u na fronteira de R = [0, L1 ] × ... × [0, L1 ], e
que poderão ser de vários tipos:
– Condições de Dirichlet
se definem o valor de u na fronteira de R;
1
No caso de de tratar da equação de difusão,
susbtância.
∂u
∂t
=D
191
∂2u
∂x2
1
+ ... +
∂2u
∂x2
n
, D > 0 é o coeficiente de difusão da
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
– Condições de Neumann
se definem o valor de ∂u
∂x na fronteira de R (ou seja, definem o fluxo de u na fronteira
de R);
Poderão ainda ser mistas se existirem condições dos dois tipos.
As condições de fronteira dizem-se homogéneas se forem nulas.
• Condições Iniciais
que definem o estado inicial, isto é, para a equação do calor
u(0, x1 , ..., xn ) = f (x1 , ..., xn )
,
e para a equação das ondas
u(0, x1 , ..., xn ) = f (x1 , ..., xn )
∂u
∂t (0, x1 , ..., xn ) = g(x1 , ..., xn )
3.1
∀(x1 , ..., xn ) ∈ R
,
∀(x1 , ..., xn ) ∈ R
Método de Separação de Variáveis
Para descrever o método de separação de variáveis, vamos aplicá-lo ao problema de Dirichlet
homogéneo para a equação do calor.
A equação do calor unidimensional modela a propagação de calor (ou a difusão de uma
substância) através de um corpo unidimensional (por exemplo uma barra) de comprimento L. A
função u(t, x) mede a temperatura da barra no ponto x no instante t e verifica a equação do calor
∂2u
∂u
=K 2
∂t
∂x
,
∀t > 0 , x ∈]0, L[
sendo K > 0 a condutividade térmica (ou o coeficiente de difusão). Assumiremos condições de
fronteira de Dirichlet homógeneas, isto é
u(t, 0) = u(t, L) = 0 ,
∀t > 0
e a condição inicial
u(0, x) = f (x) ,
∀x ∈]0, L[
em que f é uma função seccionalmente contı́nua e com derivada seccionalmente contı́nua definida
no intervalo [0, L].
Resolveremos então o problema de valores na fronteira e inicial

∂u
∂2u



=K 2
t > 0 , x ∈]0, L[


∂x

 ∂t
(3.1)
u(t, 0) = u(t, L) = 0 t > 0







u(0, x) = f (x)
x ∈]0, L[
Começamos por notar que se f (x) ≡ 0 então a solução de (3.1) é u(t, x) ≡ 0. Se f não é
identicamente nula então u tambem não o será.
192
3.1. MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Vamos utilizar o método de separação de variáveis para determinar soluções do problema (3.1)
da forma
u(t, x) = T (t)X(x)
Pela observação acima feita, nem T (t) nem X(x) poderão ser identicamente nulas. Substituindo
na equação diferencial obtém-se
∂2 X ′′ (x)
T ′ (t)
∂
T (t)X(x) = K 2 T (t)X(x) ⇔ T ′ (t)X(x) = KT (t)X ′′ (x) ⇔
=
∂t
∂x
KT (t)
X(x)
Observe-se que, separadas as variáveis, pretende-se que para todos t > 0 e x ∈]0, L[ uma função
T ′ (t)
X ′′ (x)
de t ( KT
(t) ) iguale uma função de x ( X(x) ). Para que tal se verifique é necessário que ambos
igualem uma constante, isto é, para λ ∈ R
T ′ (t)
=λ
KT (t)
e
X ′′ (x)
=λ
X(x)
Por outro lado, atendendo às condições de fronteira
• u(t, 0) = 0 implica T (t)X(0) = 0 e como tal ou T (t) é a função identicamente nula ou
X(0) = 0. Dado que a primeira hipótese não pode ocorrer (implicaria u ≡ 0) tem-se que
X(0) = 0.
• u(t, L) = 0 implica T (t)X(L) = 0 e como tal ou T (t) é a função identicamente nula ou
X(L) = 0. Dado que a primeira hipótese não pode ocorrer, tem-se que X(L) = 0.
É conveniente notar que, se não exigı́ssemos condições de fronteira nulas, o método de separação de variáveis falharia neste ponto. A razão é muito simples — a lei do anulamento do
produto não seria aplicável.
Temos então dois problemas para resolver - correspondentes a duas equações diferenciais
ordinárias
′′
X − λX = 0
(P1)
, (P2) T ′ = λKT
X(0) = X(L) = 0
Começamos por resolver o problema (P1). Trata-se duma equação diferencial linear homogénea,
cuja solução tem que verificar condições de fronteira nulas. Nesta situação, a função nula é sempre
solução de (P1). Existem no entanto alguns valores de λ para os quais essa não é a única solução
de (P1).
Definição: λ diz-se um valor próprio de (P1), associado à função própria ϕ(x), sse ϕ(x) for
uma solução não nula de (P1).
Para continuar a nossa resolução, teremos que encontrar os valores própios de (P1) a fim de
determinar as suas soluções não nulas. Assim
X ′′ − λX = 0
⇔
(D 2 − λ)X = 0
Teremos então três casos possı́veis:
λ = 0 — A equação é D 2 X = 0 o que implica X(x) = Ax + B, A, B ∈ R;
λ > 0 (λ = µ2 ) — A equação é (D−µ)(D+µ)X = 0 o que implica X(x) = Aeµx +Be−µx ;
193
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
λ < 0 (λ = −ω 2 ) — A equação é (D + iω)(D − iω)X = 0 o que implica X(x) =
A sen(ωx) + B cos(ωx);
Os casos λ = 0 e λ > 0, combinados com as condições de fronteira, produzem apenas a solução
nula. Conclui-se que qualquer λ ≥ 0 não é valor próprio de (P1). Para o caso λ < 0, tem-se que
X(0) = 0 ⇒ B = 0
X(L) = 0 ⇒ A sen(ωx) = 0
pelo que,
⇒
A=0
ou
⇒
sen(ωL) = 0
ω=
nπ
L
X(x) ≡ 0
⇒
X(x) = sen
nπx
,
L
com n ∈ Z
2 2
Temos assim que λ = −ω 2 = − nLπ2 e X(x) = sen nπx
L , para n ∈ Z, são os valores próprios
e as correspondentes funções próprias associadas. Note que para os ı́ndices n inteiros negativos
repetem-se os valores próprios e as funções próprias (a menos de combinação linear). Conclui-se
2 2
que qualquer λ que não seja da forma − nLπ2 (para algum n ∈ N) não é valor próprio de (P1), e
2 2
para cada n ∈ N, λ = − nLπ2 é valor próprio de (P1) associado à função própria Xn (x) = sen nπx
L .
Para resolver o problema (P2), utilizaremos apenas os valores próprios de (P1), dado que
para outros valores de λ a única solução de (P1) é a nula. Assim, para cada n ∈ N
T′ = −
n2 π 2
KT
L2
⇒
Tn (t) = e−
n2 π 2 K
t
L2
Resolvidos (P1) e (P2), podemos concluir que as solução da equação do calor unidimensional, da
forma u(t, x) = T (t)X(x), que verificam condições de fronteira de Dirichlet nulas são as funções
da forma
n2 π 2 K
nπx
un (t, x) = Tn (t)Xn (x) = e− L2 t sen
, , n∈N
(3.2)
L
Princı́pio da Sobreposição
Qualquer combinação linear de soluções de equações diferenciais lineares homogéneas (incluindo de um número infinito, se houver convergência), verificando condições de fronteira homogéneas, é também solução da equação e verifica as mesmas condições de fronteira.
Observa-se que, relativamente a sobreposições com um número infinito de termos, será necessário verificar adicionalmente que a série obtida é uniformemente convergente em subconjuntos
compactos do domı́nio onde a equação diferencial é satisfeita.
Então, atendendo a (3.24)
u(t, x) =
∞
X
n=1
cn un (t, x) =
∞
X
cn e−
n=1
n2 π 2 K
t
L2
sen
nπx
, , cn ∈ R
L
é solução da equação do calor unidimensional que verifica condições de fronteira de Dirichlet nulas.
Para determinar as constantes cn teremos que utilizar a condição de fronteira u(0, x) = f (x).
Resulta então que:
∞
X
nπx
cn sen
= f (x)
(3.3)
L
n=1
194
3.2. SÉRIES DE FOURIER
3.2
3.2.1
Séries de Fourier
Definição e convergência pontual
Para qualquer L ∈ R+ , considere-se uma função f : [−L, L] → R. Pode-se associar a f a sua
Série de Fourier, ou série trigonométrica
SFf (x) =
em que
1
a0 =
L
e
Z
∞
nπx
nπx a0 X an cos(
+
) + bn sen(
)
2
L
L
n=1
L
f (x) dx
1
an =
L
,
−L
bn =
1
L
Z
Z
L
f (x) sen(
−L
L
f (x) cos(
−L
nπx
)dx
L
nπx
)dx
L
Teorema: (convergência pontual da série de Fourier)
Se f : [−L, L] → R é uma função seccionalmente contı́nua e de derivada seccionalmente
contı́nua em ] − L, L[, então para cada x ∈ [−L, L], a série de Fourier associada é uma série
convergente, tendo-se que

f (x)
sendo x um ponto de continuidade de f






 f (x+ ) + f (x− )

sendo x um ponto de descontinuidade de f
(3.4)
SFf (x) =
2





−
+


 f (L ) + f (−L ) sendo x = −L ou x = L
2
Se f é contı́nua em x = −L e em x = L tem-se, simplesmente 2 :
SFf (±L) =
f (L) + f (−L)
2
Note-se que a série de Fourier SFf está bem definida em R, é periódica de perı́odo 2L e está
relacionada, no sentido descrito em (3.4)) com a extensão periódica, f¯, de f a R, isto é:


f¯(x)
sendo x um ponto de continuidade de f


SFf (x) =

f¯(x+ ) + f¯(x− )


sendo x um ponto de descontinuidade de f¯
2
Exemplo:
Determinar a série de Fourier da função f : [−1, 1] → R definida por
−π se x ∈ [−1, 0[
f (x) =
π
se x ∈ [0, 1]
2
Na maior parte das aplicações, f é contı́nua em x = ±L; nos casos em que a continuidade em x = ±L
não se verifica, pode-se de qualquer modo alterar a definição da função f de forma a que f (L) = f (L− ) e
f (−L) = f (−L+ ).
195
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
A série de Fourier associada a f será
∞
a0 X an cos(nπx) + bn sen(nπx)
+
SFf (x) =
2
n=1
Atendendo a que a função f é uma função ı́mpar, ter-se-á
Z 1
Z 1
f (x) cos(nπx)dx = 0 ∀n ∈ N
f (x)dx = 0
e
an =
a0 =
−1
−1
Por outro lado
bn =
Z
1
f (x) sen(nπx)dx = 2
−1
Concluimos que
Z
1
π sen(nπx)dx =
0
2
1 − (−1)n
n
∞
X
2
1 − (−1)n sen(nπx)
SFf (x) =
n
n=1
Atendendo a que, para n par,
1 − (−1)n
SFf (x) =
= 0, os termos de ordem par da série anterior são nulos:
∞
X
k=1
4
sen (2k − 1)πx
2k − 1
Dado que tanto f como f ′ são funções seccionalmente contı́nuas em [−1, 1] o teorema anterior
permite-nos concluir que SFf (x) está bem definida para x ∈ [−1, 1]. Pela periodicidade das
funções sen(nπx), é fácil de compreender que SFf está bem definida para todo x ∈ R e que é
periódica de perı́odo 2. De seguida mostra-se alguna gráficos das aproximações da série de Fourier
da função f , isto é, o gráfico de alguns termos da sucessão das somas parciais
SN f (x) =
N
X
k=1
4
sen (2k − 1)πx
2k − 1
(para alguns valores de N ∈ N).
Gráfico da função (S1 f )(x) = 4 sen(πx)
196
3.2. SÉRIES DE FOURIER
5
4
3
2
1
0
-0.9
-0.57
-0.24
0.09
0.42
0.75
−1
−2
−3
−4
−5
Figura 3.1: Aproximação N = 1
Gráfico da função (S2 f )(x) = 4 sen(πx) + 34 sen(3πx)
4
3
2
1
0
-0.9
-0.57
-0.24
0.09
0.42
0.75
−1
−2
−3
−4
Figura 3.2: Aproximação N = 2
Gráfico da função (S3 f )(x) = 4 sen(πx) +
197
4
3
sen(3πx) + 45 sen(5πx)
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
4
3
2
1
0
-0.9
-0.57
-0.24
0.09
0.42
0.75
−1
−2
−3
−4
Figura 3.3: Aproximação N = 3
Gráfico da função (S5 f )(x) = 4 sen(πx) + 43 sen(3πx) +
4
5
sen(5πx) + 47 sen(7πx) + 49 sen(9πx)
4
3
2
1
0
-0.9
-0.68 -0.46 -0.24 -0.02
0.2
0.42
0.64
0.86
−1
−2
−3
−4
Figura 3.4: Aproximação N = 5
Gráfico da função (S12 f )(x) =
Em [−1, 1] a soma da série de Fourier da

 −π
SFf (x) =
π

0
P12
4
n=1 2n−1
sen((2n − 1)πx)
função f será dada por:
se x ∈] − 1, 0[
se x ∈]0, 1[
se x = ±1 ou x = 0
(3.5)
Por ser uma função periódica de perı́odo 2, em R a soma da série de Fourier da função f será
dada pela extensão periódica de perı́odo 2 da função definida em (3.5).
198
3.2. SÉRIES DE FOURIER
4
3
2
1
0
-0.9
-0.68
-0.46
-0.24
-0.02
0.2
0.42
0.64
0.86
−1
−2
−3
−4
Figura 3.5: Aproximação N = 12
3.2.2
O Núcleo de Dirichlet e as Somas Parciais das Séries de Fourier
Vamos nesta secção tentar explicar a razão do comportamento oscilatório das somas parciais das
séries de Fourier.
Para cada N ∈ N, definimos o núcleo de Dirichlet, DN (x), como sendo a função trigonométrica:
N
1
1 X
(3.6)
cos kx = + cos x + cos(2x) + · · · + cos(N x)
DN (x) = +
2
2
k=1
Verifica-se facilmente que DN (x) é uma função par e que:
1
π
Z
π
DN (x) dx = 1
−π
Note também que:
DN (x) =
=
=
=
N
N
1 1 X ikx
1 X
e + e−ikx
+
+
cos kx =
2
2 2
k=1
k=1
1 −iN x
−i(N −1)x
e
+e
+ · · · + e−ix + 1 + eix + · · · + eiN x
2
1 −iN x 1 + eix + ei2x + · · · + ei2N x
e
2
2N
1 −iN x X ix k
e
e
2
k=0
Como o somatório acima obtido não é mais do que a soma dos primeiros 2N + 1 termos da série
199
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
geométrica de razão eix , então:
1
e−i(N + 2 )x 1 − ei(2N +1)x
1 −iN x 1 − (eix )2N +1
e
=
DN (x) =
x
2
1 − eix
1 − eix
2e−i 2
1
1
2i
e−i(N + 2 )x − ei(N + 2 )x 1
=
x
x
2i
2 e−i 2 − ei 2
1
1
= − sen N + 12 x
2 − sen x2
sen N + 21 x
=
2 sen x2
12
10
8
6
4
2
0
−2
−4
-2.85
-2.5
-2.15
-1.8
-1.45
-1.1
-0.75
-0.4
-0.05
0.3
0.65
1
1.35
1.7
2.05
2.4
2.75
3.1
Figura 3.6: Gráfico de D10 (x)
Seja agora f uma função real, seccionalmente contı́nua em [−π, π], e admitamos que f foi
periodicamente extendida a R. 3 .
3
Ou seja, dada f : [−π, π] → R pode-se definir f (y) para qualquer y ∈ R tendo em conta que existem k ∈ Z e
def
x ∈ [−π, π] tais que y = x + 2kπ; assim sendo, considera-se que f (y) = f (x + 2kπ) = f (x). O que desta forma
se obtém é, como se sabe, a extensão periódica de f a R.
200
3.2. SÉRIES DE FOURIER
25
20
15
10
5
0
−5
-1.6
1.6
Figura 3.7: Gráfico de D20 (x)
A sucessão das somas parciais, SN (x), da série de Fourier de f é dada por:
N
SN (x) =
a0 X
+
ak cos kx + bk sen kx
2
k=1
=
=
=
=
1
π
1
−π 2 f (y) dy
1
π
Z
1
π
Z
1
π
Rπ
π
f (y)
−π
π
f (y)
−π
Z
π
−π
1
+
2
1
+
2
+
N X
Rπ
k=1
N
X
−π
f (y) cos ky dy cos kx +
cos ky cos kx + sen ky sen kx
k=1
N
X
k=1
!
cos k(y − x)
dy
R
π
!
−π
f (y) sen ky dy sen kx
!
dy
f (y)DN (y − x) dy
Desta forma se deduziu uma fórmula integral para a sucessão das somas parciais da série de
Fourier de f :
Z
Z
1 π
1 π
f (y)DN (y − x) dy =
f (x + θ)DN (θ) dθ,
(3.7)
SN (x) =
π −π
π −π
O último integral foi obtido através da substituição de variável y − x = θ 4 .
4
Como a função f (x + θ)DN (θ) é periódica de perı́odo 2π, o integral entre −π − x e π − x é igual ao integral
entre −π e π.
201
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
120
100
80
60
40
20
0
−20
-1.6
1.6
Figura 3.8: Gráfico de D100 (x)
A fórmula (3.7) diz-nos, grosso modo, que SN (x) é uma “média ponderada” de f numa
vizinhança de x, em que
R π os “pesos” são dados pelo núcleo de Dirichlet, DN (x). Note que a
“soma dos pesos” é π1 −π DN (θ) dθ = 1 5 . Nas figuras (3.6), (3.7) e (3.8) representa-se os
gráficos de DN (x) para alguns valores de N . Pode-se observar o comportamento oscilatório do
núcleo de Dirichlet: à medida que N cresce, as oscilações de DN (x) aumentam em amplitude
mas concentram-se junto de x = 0. Se f for seccionalmente C 1 então é possı́vel provar, a partir
da fórmula (3.7), que SN (x) converge da forma descrita pelo teorema da convergência pontual
(equação (3.4)).
3.2.3
Série de Fourier de Senos
Sendo L > 0 e f : [0, L] → R uma função seccionalmente contı́nua e de derivada seccionalmente
contı́nua em ]0, L[, pode-se associar a f a série de senos
Ssen f (x) =
∞
X
bn sen(
n=1
nπx
)
L
em que
2
bn =
L
Z
L
f (x) sen(
0
nπx
)dx
L
Esta série é obtida, efectuando a extensão ı́mpar de f ao intervalo [−L, L], e calculando a sua
série de Fourier. Observe-se que se uma dada função g é ı́mpar, os coeficientes da série de Fourier
5
Em rigor, o primeiro integral da equação (3.7) designa-se por convolução de f com DN .
202
3.2. SÉRIES DE FOURIER
verificam:
1
an =
L
Z
1
bn =
L
Z
L
nπx
)dx = 0 ,
L
g(x) cos(
−L
L
2
nπx
)dx =
g(x) sen(
L
L
−L
Z
∀n ≥ 0
L
g(x) sen(
0
nπx
)dx
L
Pelo Teorema da convergência pontual das séries de Fourier e atendendo que se está a utilizar a
extensão ı́mpar de f a [−L, L], conclui-se que para x ∈ [0, L]

sendo
x um ponto de continuidade de f

 f (x)






f (x+ ) + f (x− )



sendo
x um ponto de descontinuidade de f
2
Ssen f (x) =




0
se x = L







0
se x = 0
Exemplo:
Determinar a série de Fourier de senos da função f : [0, 2] → R definida por
f (x) =
1 − x se x ∈ [0, 1[
0
se x ∈ [1, 2][
A série de senos da função f em [0, 2] será da forma
Ssen f (x) =
∞
X
bn sen
n=1
nπx
2
em que
bn =
Z
2
0
nπx
f (x) sen
dx =
2
Z
0
1
(1 − x) sen
nπx
2
4
nπ
dx =
− 2 2 sen
2
nπ n π
2
Conclui-se que
Ssen f (x) =
∞ X
nπx
4
nπ 2
sen
− 2 2 sen
nπ n π
2
2
n=1
Pelo Teorema da convergência pontual das séries de Fourier, tem-se que em [−2, 2]

se x ∈]0, 2]
 f (x)
Ssen f (x) =
0
se x = 0

−f (−x) se x ∈ [−2, 0[
(3.8)
e em R a soma da série de senos da função f será a extensão periódica de perı́odo 4, de (3.8) a
R.
203
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
3.2.4
Série de Fourier de Cosenos
Sendo L > 0 e f : [0, L] → R uma função seccionalmente contı́nua e de derivada seccionalmente
contı́nua em ]0, L[, pode-se associar a f a série de Cosenos
∞
nπx
a0 X
an cos(
+
)
Scos f (x) =
2
L
n=1
em que
2
a0 =
L
Z
L
f (x)dx
,
0
2
an =
L
Z
L
f (x) cos(
0
nπx
)dx
L
Esta série é obtida, efectuando a extensão par de f ao intervalo [−L, L], e calculando a sua
série de Fourier. Observe-se que se uma dada função g é par os coeficientes da série de Fourier
verificam:
Z
Z
2 L
1 L
g(x)dx =
g(x)dx
a0 =
L −L
L 0
1
L
Z
L
1
bn =
L
Z
L
an =
2
nπx
)dx =
L
L
g(x) cos(
−L
g(x) sen(
−L
Z
nπx
)dx = 0
L
L
g(x) cos(
0
nπx
)dx
L
∀n ≥ 0
Pelo Teorema da convergência pontual das séries de Fourier e atendendo que se está a utilizar a
extensão par de f a [−L, L], conclui-se que para x ∈ [0, L]

f (x)
sendo
x um ponto de continuidade de f







 f (x+ ) + f (x− )



sendo
x um ponto de descontinuidade de f
2
Scos f (x) =




f (L)
se x = L







f (0)
se x = 0
Exemplo: Determinar a série de Fourier senos da função g : [0, π] → R definida por
0 se x ∈ [0, π4 [
g(x) =
1 se x ∈ [ π4 , π]
A série de cosenos da função g em [0, π] será da forma
Scos g(x) =
∞
a0 X
an cos(nx)
+
2
n=1
em que
2
a0 =
π
Z
0
π
2
g(x)dx =
π
204
Z
π
π
4
dx =
3
2
3.3. PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGÉNEO PARA A EQUAÇÃO DO CALOR
UNIDIMENSIONAL
e para n ∈ N
2
an =
π
Z
π
0
2
g(x) cos(nx)dx =
π
Conclui-se que
Scos g(x) =
Z
π
π
4
cos(nx)dx = −
nπ
2
sen
nπ
4
∞
3 X 2
nπ
−
sen
cos(nx)
4
nπ
4
n=1
Pelo Teorema da convergência das séries de

 0
1
Scos g(x) =

1/2
Fourier, tem-se que em [−π, π]
se x ∈] − π4 , π4 [
se x ∈ [−π, − π4 [∪] π4 , π]
se x = ± π4
(3.9)
e em R a soma da série de cosenos da função g será a extensão periódica de perı́odo 2π, de (3.9)
a R.
3.3
Problema de Dirichlet Homogéneo para a Equação do Calor
Unidimensional
Vamos resolver o problema de valores na fronteira e inicial

∂u
∂2u



=
K
t > 0 , x ∈]0, π[


∂x2

 ∂t
u(t, 0) = u(t, π) = 0 t > 0







u(0, x) = f (x)
x ∈]0, π[
(3.10)
em que f é uma função seccionalmente contı́nua em ]0, π[. Tal como deduzimos na Secção 3.1,
a solução do problema (3.10) é dada por
u(t, x) =
∞
X
cn e−n
2 Kt
n=1
sen(nx) , cn ∈ R
e para determinar as constantes (cn )n∈N usaremos a condição inicial, pelo que
∞
X
cn sen(nx) = f (x)
n=1
3.3.1
Exemplo 1
Se a condição inicial for
f (x) = sen(2x) − 3 sen(5x)
por (3.11),
∞
X
n=1
cn sen(nx) = sen(2x) − 3 sen(5x)
205
(3.11)
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
e é então fácil de deduzir que
c5 = −3
c2 = 1 ,
e cn = 0 ∀n ∈ N \ {2, 5}
Concluimos que a solução de (3.10) quando f (x) = sen(2x) − 3 sen(5x) é dada por
u(t, x) = e−4Kt sen(2x) − 3e−25Kt sen(5x)
3.3.2
Exemplo 2
Se a condição inicial for
π
π
f (x) = − x −
=
2
2
x
se 0 ≤ x ≤ π2
π − x se π2 < x ≤ π
por (3.11),
∞
X
cn sen(nx) =
n=1
π
π
−
−x
2
2
pelo que para determinar as constantes (cn ) precisamos de determinar a série de senos da função
f (x) em [0, π]. Assim
∞
X
Ssen f (x) =
bn sen(nx)
n=1
em que
2
bn =
π
Z
0
π
2h
f (x) sen(nx) dx =
π
Z
π/2
x sen(nx) dx +
0
Z
π
i
4
nπ
(π − x) sen(nx) dx =
sen
2
πn
2
π/2
Dado que a extensão periódica (de perı́odo 2π) a R da extensão ı́mpar de f ao intervalo [−π, π]
é contı́nua, tem-se que para todo x ∈ [0, π]
∞
X 4
π
nπ
π
− x−
sen
sen(nx)
=
2
2
2
πn
2
n=1
pelo que se conclui que para todo n ∈ N se tem
cn =
e a solução de (3.10) quando f (x) =
u(t, x) =
π
2
4
nπ
sen
2
πn
2
− x−
π
2
é dada por
∞
X
nπ −n2 Kt
4
e
sen(nx)
sen
2
πn
2
n=1
206
3.4. PROBLEMA DE DIRICHLET NÃO HOMOGÉNEO PARA A EQUAÇÃO DO CALOR
UNIDIMENSIONAL
3.4
Problema de Dirichlet não Homogéneo para a Equação do
Calor Unidimensional
Vamos resolver o problema

∂2u
∂u



=
K


∂x2

 ∂t
t > 0 , x ∈]0, L[
u(t, 0) = T1 , u(t, L) = T2 t > 0







u(0, x) = f (x)
x ∈]0, L[
(3.12)
em que T1 . T2 são constantes. No contexto da equação do calor unidimensional, estas condições
de fronteira significam que as extremidades da barra, 0 e L, são mantidas a temperatura constante,
T1 e T2 respectivamente, durante todo o processo. Sendo estas constantes diferentes de zero, não
podemos aplicar directamente o método de separação de variáveis. Temos então que considerar
u(t, x) = ue (x) + v(t, x)
(3.13)
em que ue (x) é solução do problema de valores na fronteira
u′′e = 0
,
ue (0) = T1 e ue (L) = T2
e v(t, x) é solução do problema de valores iniciais e de fronteira

∂2v
∂v



=K 2
t > 0 , x ∈]0, L[


∂t
∂x


v(t, 0) = 0 , v(t, L) = 0 t > 0







v(0, x) = f (x) − ue (x)
x ∈]0, L[
(3.14)
Vamos verificar em primeiro lugar que se u(t, x) é da forma dada em (3.13) então é solução de
(3.12). De facto, utilizando a linearidade da derivada
K
∂2u
∂ue ∂v
∂u
∂ 2 ue
∂2v
∂2v
∂v
′′
=
+
=
=
K
+
K
=
Ku
+
K
=0+
e
∂x2
∂x2
∂x2
∂x2
∂t
∂t
∂t
∂t
pelo que verifica a equação diferencial de (3.12). Por outro lado
u(t, 0) = ue (0) + v(t, 0) = T1 + 0 = T1 e u(t, L) = ue (L) + v(t, L) = T2 + 0 = T2
pelo que verifica as condições de fronteira de (3.12). Finalmente
u(0, x) = ue (x) + v(0, x) = ue (x) + f (x) − ue (x) = f (x)
pelo que verifica a condição inicial de (3.12). Conclui-se que u(t, x) dada em (3.13) é solução de
(3.12). A função ue (x) é denominada uma solução estacionária de (3.12), pois não depende de t.
A equação u′′e = 0 tem como solução ue (x) = Ax + B. Dado que ue (0) = T1 e ue (L) = T2
conclui-se que
T2 − T1
x + T1
ue (x) =
L
207
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Por outro pela Secção 1, dado que (3.14) é o problema da equação do calor com condições de
fronteira de Dirichlet homogéneas
v(t, x) =
∞
X
cn e−
n2 π 2 K
t
L2
sen
n=1
nπx
L
1
em que para todo n ∈ N, (cn ) são os coeficientes da série de senos da função f (x) − T2 −T
L x − T1
em [0, L], isto é
Z
T2 − T1
nπx
2 L
f (x) −
x − T1 sen
dx
(3.15)
cn =
L 0
L
L
Concluimos que a solução de (3.12) é dada por
∞
X
n2 π 2 K
T2 − T1
nπx
cn e− L2 t sen
x + T1 +
u(t, x) =
L
L
n=1
com (cn ) dados por (3.15).
3.5
Problema de Neumann Homogéneo para a Equação do Calor
Unidimensional
Resolveremos o problema de valores na fronteira e inicial

∂2u
∂u



=
K
t > 0 , x ∈]0, L[


∂t
∂x2









∂u
∂x (t, 0)
=
∂u
∂x (t, L)
=0 t>0
(3.16)
x ∈]0, L[
u(0, x) = f (x)
isto é, vamos estudar a propagção de calor numa barra de comprimento L em que não há troca de
calor com o exterior pelas suas extremidades (o significado das condições de Neumenn ∂u
∂x (t, 0) =
∂u
(t,
L)
=
0
é
que
o
fluxo
de
calor
através
da
fronteira
do
corpo,
que
neste
caso
são
os pontos
∂x
x = 0 e x = L, é nulo).
Observa-se que se f (x) ≡ 0 então a solução de (3.16) é u(t, x) ≡ 0. Se f não é identicamente
nula então u tambem não o será.
Vamos utilizar o método de separação de variáveis para determinar soluções do problema
(3.16) da forma
u(t, x) = T (t)X(x)
Pela observação acima feita, nem T (t) nem X(x) poderão ser identicamente nulas. Substituindo
na equação diferencial, tal como nos casos anteriores
∂2 X ′′ (x)
T ′ (t)
∂
T (t)X(x) = K 2 T (t)X(x) ⇔
=
∂t
∂x
KT (t)
X(x)
Observe-se que, separadas as variáveis, pretende-se que para todos t > 0 e x ∈]0, L[ uma função
T ′ (t)
X ′′ (x)
de t ( KT
(t) ) iguale uma função de x ( X(x) ). Para que tal se verifique é necessário que ambos
igualem uma constante, isto é, para λ ∈ R
T ′ (t)
=λ
KT (t)
e
208
X ′′ (x)
=λ
X(x)
3.5. PROBLEMA DE NEUMANN HOMOGÉNEO PARA A EQUAÇÃO DO CALOR
UNIDIMENSIONAL
Por outro lado, atendendo às condições de fronteira
•
∂u
′
∂x (t, 0) = 0 implica T (t)X (0) = 0 e como tal ou T (t) é a
X ′ (0) = 0. Dado que a primeira hipótese não pode ocorrer
função identicamente nula ou
(implicaria u ≡ 0) tem-se que
∂u
′
∂x (t, L) = 0 implica T (t)X (L) = 0 e como tal ou T (t) é a
′
X (L) = 0. Dado que a primeira hipótese não pode ocorrer,
função identicamente nula ou
tem-se que X ′ (L) = 0.
X ′ (0) = 0.
•
Temos então dois problemas para resolver — correspondentes a duas equações diferenciais ordinárias
′′
X − λX = 0
(P1)
, (P2) T ′ = λKT
X ′ (0) = X ′ (L) = 0
Começamos por resolver o problema (P1). Trata-se de um problema de valores próprios e para
os determinar teremos que encontra as soluções não nulas de (P1). Assim
X ′′ − λX = 0
⇔
(D 2 − λ)X = 0
Teremos então três casos possı́veis:
λ = 0 — A equação é D 2 X = 0 o que implica X(x) = Ax + B, A, B ∈ R;
λ > 0 (λ = µ2 ) — A equação é (D−µ)(D+µ)X = 0 o que implica X(x) = Aeµx +Be−µx ;
λ < 0 (λ = −ω 2 ) — A equação é (D + iω)(D − iω)X = 0 o que implica X(x) =
A sen(ωx) + B cos(ωx);
O caso λ > 0 combinado com as condições de fronteira, produz apenas a solução nula.
Conclui-se que qualquer λ > 0 não é valor próprio de (P1).
Para o caso λ = 0 obtém-se X(x) = Ax + B que combinado com as condições de fronteira,
produz X(x) = B. Pelo que λ = 0 é valor próprio de (P1) associado à funçã própria X0 (x) = 1
Para o caso λ < 0, tem-se que
X ′ (0) = 0 ⇒ A = 0
X ′ (L) = 0 ⇒ Bω sen(ωx) = 0
pelo que,
B=0
ou
sen(ωL) = 0
⇒
ω=
⇒
nπ
L
X(x) ≡ 0
⇒
X(x) = cos
nπx
,
L
2 2
com n ∈ N
Temos assim que λ = 0, com X(x) = 1 e λ = −ω 2 = − nLπ2 e X(x) = cos nπx
L , para n ∈ N, são
os valores próprios e as correspondentes funções próprias associadas.
Para resolver o problema (P2), utilizaremos apenas os valores próprios de (P1), dado que
para outros valores de λ a única solução de (P1) é a nula. Assim, para λ = 0
T′ = 0
e para cada n ∈ N
T′ = −
n2 π 2
KT
L2
⇒
⇒
209
T0 (t) = 1
Tn (t) = e−
n2 π 2 K
t
L2
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Resolvidos (P1) e (P2), podemos concluir que as solução da equação do calor unidimensional, da
forma u(t, x) = T (t)X(x), que verificam condições de fronteira de Dirichlet nulas são as funções
da forma
u0 (t, x) = T0 (t)X0 (x) = c0
Então
u(t, x) =
∞
X
e un (t, x) = Tn (t)Xn (x) = e−
cn un (t, x) = c0 +
∞
X
cn e−
n2 π 2 K
t
L2
cos
n=1
n=0
n2 π 2 K
t
L2
sen
nπx
, , n∈N
L
nπx
, , cn ∈ R
L
é solução da equação do calor unidimensional que verifica condições de fronteira de Neumann nulas.
Para determinar as constantes cn teremos que utilizar a condição de fronteira u(0, x) = f (x).
Resulta então que:
∞
X
nπx
= f (x)
(3.17)
cn cos
c0 +
L
n=1
Concluindo-se que as constantes cn são os coeficientes da série de cosenos de f em [0, L], ou seja
a0
1
c0 =
=
2
L
e para cada n ∈ N
cn = an =
3.6
2
L
Z
Z
L
f (x)dx
0
L
f (x) cos
0
nπx
dx
L
Unicidade de Solução do Problema de Dirichlet para a Equação
do Calor
Admitamos agora que u(t, x) e û(t, x) são duas funções de classe C 1 na variável t e de classe C 2
na variável x 6 que satisfazem o problema:

∂u
∂2u



=K 2
t > 0 , x ∈ ]0, L[


∂x

 ∂t
u(t, 0) = T1 , u(t, L) = T2







u(0, x) = f (x)
t>0
x ∈ ]0, L[
Então v(t, x) = u(t, x) − û(t, x) satisfaz o problema homogéneo:

∂2v
∂v



=
K
t > 0 , x ∈ ]0, L[


∂x2

 ∂t
v(t, 0) = v(t, L) = 0







v(0, x) = 0
t>0
(3.18)
x ∈ ]0, L[
Dizemos, por exemplo, que u(t, x) é de classe C 1 na variável t se para qualquer x0 ∈ [0, L], a função
ϕ(t) = u(t, x0 ) é de classe C 1 .
6
210
3.7. A EQUAÇÃO DAS ONDAS
Multiplicando a equação do calor (3.18) por v e integrando em x no intervalo [0, L], obtém-se:
Z
0
L
∂v
dx = K
v
∂t
Z
L
0
v
∂2v
dx
∂x2
Integrando o segundo membro por partes, e usando as condições iniciais
7
em (3.18), obtém-se:
!
Z L 2
Z L 2
∂ v
∂v
∂v
∂v
dx
v 2 dx = K v(t, 0) ∂x
(t, 0) − v(t, L) ∂x
(t, L) −
∂x
∂x
0
0
Z L 2
∂v
dx ≤ 0
= −K
∂x
0
Quanto ao primeiro membro:
Z
0
L
∂v
1
v
dx =
∂t
2
Z
0
L
1
∂v
dx =
2v
∂t
2
Z
L
0
Z
2
2
d 1 L
∂
v(t, x) dx =
v(t, x) dx
∂t
dt 2 0
2
dE
≤ 0. Por
v(t, x) dx, então conclui-se dos resultados anteriores que
dt
outro lado, pela condição inicial E(0) = 0; além disso, E(t) ≥ 0, para qualquer t ≥ 0. Assim
sendo, teremos necessariamente que E(t) ≡ 0, donde se conclui que:
Definido E(t) =
1
2
RL
0
v(t, x) ≡ 0
3.7
⇔
u(t, x) ≡ û(t, x).
A Equação das Ondas
Um outro exemplo de equação diferencial parcial de extrema relevância fı́sica é a equação das ondas
(linear). No mundo da fı́sica, os fenómenos ondulatórios são comuns: os exemplos óbvios são as
perturbações na superfı́cie de um fluı́do, as vibrações de cordas em instrumentos musicais, a as
perturbações de pressão no ar que consistem na propagação de som, e a radiação electromagnética.
Se a amplitude das perturbações for suficientemente pequena e regular, a variável de perturbação
u(x, t) associada às ondas verifica a equação das ondas (linear)
∂2v
= c2 ∆u
∂t2
onde u(t, x) é uma função da posição e do tempo que descreve o comportamento da onda e c é
a velocidade de propagação da onda no meio em questão.
3.7.1
Problema da Corda Vibrante
A equação das ondas unidimensional pode ser usada como modelo matemático de uma corda
vibrante.
Considere-se o problema de ondas (não forçadas) numa corda de comprimento finito L, com
posição e velocidade inicial dadas e extremidades fixas.
7
Este mesmo argumento pode ser usado para provar unicidade de solução para o problema de Neumann; no
∂v
∂v
(t, 0) = ∂x
(t, L) = 0 em vez de v(t, 0) = v(t, L) = 0.
caso de condições de fronteira de Neumann, teremos ∂x
211
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
u
u(t, x)
0
x
L
x
Figura 3.9: Problema da corda vibrante
Pretende-se então encontrar o deslocamento u(t, x) verificando o problema de valores na
fronteira e inicial
 2
2
∂ u

2∂ u

=
c
t > 0 , x ∈]0, L[



∂t2
∂x2





 u(t, 0) = u(t, L) = 0 t > 0
(3.19)




u(0, x) = f (x)
x ∈]0, L[






 ∂u
x ∈]0, L[
∂t (0, x) = g(x)
Começamos por notar que se f (x) ≡ 0 e g(x) ≡ 0 então a solução de (3.19) é u(t, x) ≡ 0. Se f
ou g não são identicamente nulas então u tambem não o será.
Tal como para a resolução da equação do calor unidimensional, e dado que estamos a considerar condições de fronteira homogéneas, vamos utilizar o método de separação de variáveis para
determinar soluções do problema (3.19) da forma
u(t, x) = T (t)X(x)
Pela observação acima feita, nem T (t) nem X(x) poderão ser identicamente nulas. Substituindo
na equação diferencial obtém-se
2 X ′′ (x)
T ′′ (t)
∂2 2 ∂
′′
2
′′
=
T
(t)X(x)
=
c
T
(t)X(x)
⇔
T
(t)X(x)
=
c
T
(t)X
(x)
⇔
∂t2
∂x2
c2 T (t)
X(x)
Observe-se que, separadas as variáveis, pretende-se que para todos t > 0 e x ∈]0, L[ uma função
′′
X ′′ (x)
)
iguale
uma
função
de
x
(
de t ( cT2 T(t)
X(x) ). Para que tal se verifique é necessário que ambos
(t)
212
3.7. A EQUAÇÃO DAS ONDAS
igualem uma constante, isto é, para λ ∈ R
T ′′ (t)
=λ
c2 T (t)
e
X ′′ (x)
=λ
X(x)
Por outro lado, atendendo às condições de fronteira e possı́veis condições iniciais nulas (note que
pelo que já foi referido apenas uma delas o poderá ser)
• u(t, 0) = 0 implica T (t)X(0) = 0 e como tal ou T (t) é a função identicamente nula ou
X(0) = 0. Dado que a primeira hipótese não pode ocorrer (implicaria u ≡ 0) tem-se que
X(0) = 0.
• u(t, L) = 0 implica T (t)X(L) = 0 e como tal ou T (t) é a função identicamente nula ou
X(L) = 0. Dado que a primeira hipótese não pode ocorrer, tem-se que X(L) = 0.
Temos então dois problemas para resolver - correspondentes a duas equações diferenciais
ordinárias
′′
X − λX = 0
(P1)
, (P2) T ′′ = λc2 T
X(0) = X(L) = 0
Começamos por resolver o problema (P1), que é um problema de valores próprios. Assim:
X ′′ − λX = 0
⇔
(D 2 − λ)X = 0
Teremos então três casos possı́veis:
λ = 0 — A equação é D 2 X = 0 o que implica X(x) = Ax + B, A, B ∈ R;
λ > 0 (λ = µ2 ) — A equação é (D−µ)(D+µ)X = 0 o que implica X(x) = Aeµx +Be−µx ;
λ < 0 (λ = −ω 2 ) — A equação é (D − iω)(D + iω)X = 0 o que implica X(x) =
A sen(ωx) + B cos(ωx);
Os casos λ = 0 e λ > 0, combinados com as condições de fronteira, produzem apenas a solução
nula. Conclui-se que qualquer λ ≥ 0 não é valor próprio de (P1). Para o caso λ < 0, tem-se que
X(0) = 0 ⇒ B = 0
X(L) = 0 ⇒ A sen(ωx) = 0
pelo que,
⇒
A=0
ou
sen(ωL) = 0
⇒
ω=
nπ
L
X(x) ≡ 0
⇒
2 2
X(x) = sen
nπx
,
L
com n ∈ Z
Temos assim que λ = −ω 2 = − nLπ2 e X(x) = sen nπx
L , para n ∈ Z, são os valores próprios
e as correspondentes funções próprias associadas. Note que para os ı́ndices n inteiros negativos
repetem-se os valores próprios e as funções próprias (a menos de combinação linear). Conclui-se
2 2
que qualquer λ que não seja da forma − nLπ2 (para algum n ∈ N) não é valor próprio de (P1), e
2 2
para cada n ∈ N, λ = − nLπ2 é valor próprio de (P1) associado à função própria Xn (x) = sen nπx
L .
213
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Para resolver o problema (P2), utilizaremos apenas os valores próprios de (P1), dado que
para outros valores de λ a única solução de (P1) é a nula. Assim, para cada n ∈ N
T ′′ +
n2 π 2 2
c T =0
L2
(D 2 +
⇒
n2 π 2 2
c )T = 0
L2
⇒
Tn (t) = αn sen
nπct
nπct
+ βn cos
L
L
Resolvidos (P1) e (P2), podemos concluir que as soluções da equação das ondas unidimensional,
da forma u(t, x) = T (t)X(x), que verificam condições de fronteira de Dirichlet nulas são as
funções da forma
nπct
nπct nπx αn sen
, n∈N
(3.20)
+ βn cos
un (t, x) = Tn (t)Xn (x) = sen
L
L
L
Por sobreposição, a solução da equação diferencial que satisfaz as condições de fronteira será:
u(t, x) =
∞
X
sen
n=1
nπx nπct
nπct αn sen
.
+ βn cos
L
L
L
Utilizando a condição inicial u(0, x) = f (x), resulta que:
Z
2 L
nπx
βn =
dx.
f (x) sen
L 0
L
Utilizando a condição inicial
∂u
∂t (0, x)
= g(x), resulta que
2
nπc
αn =
L
L
ou seja:
2
αn =
nπc
Z
L
g(x) sen
0
Z
L
g(x) sen
0
nπx
dx,
L
nπx
dx.
L
Procuremos agora as denominadas soluções de d’Alembert para a equação das ondas. Atendendo às igualdades trigonométricas
1
1
sen(a) sen(b) =
cos(a − b) − cos(a + b)
, sen(a) cos(b) =
sen(a − b) + sen(a + b)
2
2
podemos escrever
∞
X
βn sen
∞
X
αn sen
n=1
n=1
e
n=1
∞
nπ
nπx
nπct X βn nπ
sen
cos
=
(x − ct) + sen
(x + ct)
L
L
2
L
L
∞
nπ
nπx
nπct X αn nπ
cos
sen
=
(x − ct) − cos
(x + ct)
L
L
2
L
L
n=1
Pela definição dos coeficientes das séries de Fourier de senos (αn ) e (βn ) se, em [0, L], f e g
forem funções contı́nuas com derivadas seccionalmente contı́nuas, teremos
f¯(x) =
∞
X
n=1
βn sen
nπx
L
e
ḡ(x) =
∞
X
nπc
n=1
214
L
αn sen
nπx
L
3.8. EQUAÇÃO DE LAPLACE BIDIMENSIONAL
onde f¯ : R → R e ḡ : R → R são as extensões periódicas das extensões ı́mpares de f e g a
[−L, L]. Resulta então que:
∞
X
n=1
βn sen
nπct
1 ¯
nπx
f (x − ct) + f¯(x + ct) .
cos
=
L
L
2
Da mesma forma:
∞
X
n=1
nπx
nπct
αn sen
sen
L
L
=
Z
∞
X
αn
2
n=1
=
=
1
2
Z
1
2c
x+ct
x−ct
∞
x+ct X
x−ct
Z
n=1
nπ
nπs
sen
ds
L
L
nπαn
nπs ds
sen
L
L
x+ct
ḡ(s)ds.
x−ct
Finalmente, a solução do problema pode ser escrita na forma
Z
1 x+ct
1 ¯
¯
f (x − ct) + f (x + ct) +
ḡ(s)ds
u(t, x) =
2
2c x−ct
Para ilustrar, vamos considerar o exemplo em que L = 1, c = 1, a posição inicial, f (x) =
sen(πx) e a velocidade inicial g(x) = 0. Temos assim que a solução do problema de vaores na
fronteira e inicial
 2
2

 ∂ u=∂ u
t > 0 , x ∈]0, 1[



∂t2
∂x2





 u(t, 0) = u(t, 1) = 0 t > 0
(3.21)




u(0, x) = sen(πx)
x ∈]0, 1[






 ∂u
x ∈]0, 1[
∂t (0, x) = 0
é
u(t, x) =
3.8
1
sen π(x − t) + sen π(x + t)
2
Equação de Laplace Bidimensional
A equação de Laplace bidimensional é a equação diferencial parcial de segunda ordem, linear
∂2u ∂2u
+ 2 =0
∂x2
∂y
assim chamada em homenagem ao influente matemático francês do século XVIII, Pierre-Simon
Laplace. Esta equação, assim como as suas versões em dimensões superiores, é sem dúvida uma
das mais importantes equações diferenciais da fı́sica e da matemática. Como vimos, as soluções
reais desta equação são denominadas funções harmónicas.
215
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
A versão não homogénea da equação de Laplace
∂2u ∂2u
+ 2 = f (x, y)
∂x2
∂y
é conhecida como a equação de Poisson, em homenagem Siméon-Denis Poisson, que foi aluno de
Laplace.
Para além da sua importância teórica, as equações de Laplace e Poisson surgem como as
soluções estacionárias numa grande variedade de modelos fı́sicos. Por exemplo, u(x, y) pode ser
interpretada como o deslocamento de uma membrana e f (x, y) representa uma força externa que
actua sobre a superfı́cie da membrana. Outro exemplo é o equilı́brio térmico de placas: neste caso,
u(x, y) representa a temperatura e f (x, y) uma fonte de calor externa. Na mecânica de fluidos,
u(x, y) representa a função potencial cujo gradiente v = ∇u é o vector velocidade do um de um
fluido cujo fluxo é invariante por translações segundo uma certa direcção. Esta mesma teoria do
potencial é aplicável à electrostática bidimensional e aos potenciais gravitacionais.
Uma vez que a equação de Laplace — e, também, a de Poisson — descrevem situações
estacionárias, elas surgem associadas a problemas de valor na fronteira. Note-se que as equações
do calor e das ondas — que descrevem sistemas fı́sicos que evoluem com o tempo — estão
associadas a problemas de valor na fronteira e de valor inicial.
Procuramos uma solução, u(x, y), para a equação de Laplace — definida para (x, y) numa
região aberta e limitada, D ⊂ R2 — que satisfaz certas condições quando (x, y) pertence à
fronteira do conjunto D. Observamos que no caso bidimensional a fronteira de D é constituı́da
por uma ou mais curvas simples e fechadas. Como já referido, os tipos mais importantes de
condições de fronteira são
• Condições de Dirichlet: que especificam o valor de u(x, y) na fronteira do domı́nio
u(x.y) = h(x, y)
,
para (x, y) ∈ ∂D
para certa função h conhecida.
• Condições de Neumann: na qual é especificada a derivada de u segundo a normal na
fronteira do domı́nio
∂u
= ∇u · n = k(x, y)
∂n
,
para (x, y) ∈ ∂D
para certa função j conhecida, e n representa a normal unitária exterior à fronteira de D.
3.8.1
Problema de Dirichlet Semi-Homogéneo para a Equação de Laplace
Vamos resolver o problema
 2
∂ u ∂2u


+ 2 =0



∂x2
∂y


x ∈]0, a , y ∈]0, b[
u(x, 0) = f (x) , u(x, b) = 0 x ∈]0, a[







u(0, y) = u(a, y) = 0
y ∈]0, b[
(3.22)
Observa-se que se f (x) ≡ 0 a solução de (3.22) é u(x, y) ≡ 0. Por outro lado, pode-se provar que
se f não for identicamente nula então u também não o será. Tal como nos exemplos anteriores,
216
3.8. EQUAÇÃO DE LAPLACE BIDIMENSIONAL
e tendo em conta que este problema tem 3 condições de fronteira homogéneas e um domı́nio
rectangular, o método de separação de variáveis consiste na determinação de soluções não nulas
do problema (3.22) da forma:
u(x, y) = X(x)Y (y)
(3.23)
Note que nem X(x) nem Y (y) poderão ser identicamente nulas, pois caso contrário u(x,y) também
o será. Substituindo (3.23) na equação diferencial obtém-se
∂2 ∂2 X(x)Y
(y)
+
X(x)Y
(y)
= 0 ⇔ X ′′ (x)Y (y) + X(x)Y ′′ (y) = 0
∂x2
∂y 2
Y ′′ (y)
X ′′ (x)
=−
⇔
X(x)
Y (y)
Observe-se que as variáveis aparecem separadas: pretende-se que para todos os x ∈]0, a[ e
′′ (x)
′′ (y)
y ∈]0, b[, XX(x)
, que é função apenas de x, iguale − YY (y)
, que é função apenas de y. Para que
tal se verifique é necessário que ambos os membros sejam iguais a uma constante; isto é, para
λ ∈ R:
Y ′′ (y)
X ′′ (x)
=λ e −
=λ
X(x)
Y (y)
Por outro lado, atendendo às condições de fronteira nulas
• u(0, y) = 0 implica X(0)Y (y) = 0 e como tal ou Y (y) é a função identicamente nula ou
X(0) = 0. Dado que a primeira hipótese não pode ocorrer (implicaria u ≡ 0) tem-se que
X(0) = 0.
• u(a, y) = 0 implica X(a)Y (y) = 0 e como tal ou Y (y) é a função identicamente nula ou
X(a) = 0. Dado que a primeira hipótese não pode ocorrer, tem-se que X(a) = 0.
• u(x, b) = 0 implica X(x)Y (b) = 0 e como tal ou X(x) é a função identicamente nula ou
Y (b) = 0. Dado que a primeira hipótese não pode ocorrer (implicaria u ≡ 0) tem-se que
Y (b) = 0.
Temos então dois problemas para resolver, envolvendo cada um deles uma equação diferencial
ordinária de 2a ordem:
′′
′′
X − λX = 0
Y + λY = 0
(P1)
, (P2)
X(0) = X(a) = 0
Y (b) = 0
Começamos por resolver o problema (P1), que é um problema de valores próprios. Assim:
X ′′ − λX = 0
⇔
(D 2 − λ)X = 0
Teremos então três casos possı́veis:
λ = 0 — A equação é D 2 X = 0 o que implica X(x) = Ax + B, A, B ∈ R;
λ > 0 (λ = µ2 ) — A equação é (D−µ)(D+µ)X = 0 o que implica X(x) = Aeµx +Be−µx ;
λ < 0 (λ = −ω 2 ) — A equação é (D − iω)(D + iω)X = 0 o que implica X(x) =
A sen(ωx) + B cos(ωx);
217
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Como vimos no estudo da equação do calor, os casos λ = 0 e λ > 0, combinados com as duas
condições de fronteira nulas, produzem apenas a solução nula. Conclui-se que qualquer λ ≥ 0
não é valor próprio de (P1). Para o caso λ < 0, tem-se que
X(0) = 0 ⇒ B = 0
X(a) = 0 ⇒ A sen(ωx) = 0
pelo que,
⇒
A=0
ou
sen(ωa) = 0
⇒
ω=
nπ
a
X(x) ≡ 0
⇒
X(x) = sen
nπx
,
a
com n ∈ Z
2 2
Temos assim que λ = −ω 2 = − naπ2 e X(x) = sen nπx
a , para n ∈ Z, são os valores próprios
e as correspondentes funções próprias associadas. Note que para os ı́ndices n inteiros negativos
repetem-se os valores próprios e as funções próprias (a menos de combinação linear). Conclui-se
2 2
que qualquer λ que não seja da forma − naπ2 (para algum n ∈ N) não é valor próprio de (P1), e
2 2
para cada n ∈ N, λ = − naπ2 é valor próprio de (P1) associado à função própria Xn (x) = sen nπx
a .
Para resolver o problema (P2), utilizaremos apenas os valores próprios de (P1), dado que
para outros valores de λ a única solução de (P1) é a nula. Assim, para cada n ∈ N
nπy
nπy
n2 π 2
n2 π 2
2
′′
D − 2
Y = 0 ⇒ Yn (y) = an e a + bn e− a ,
Y − 2 Y =0 ⇒
a
a
onde an , bn ∈ R. As soluções que satisfazem a condição Y (b) = 0 são as soluções de
an e
nπb
a
+ bn e−
nπb
a
ou seja,
bn = −an e
= 0,
2nπb
a
Então, para cada n ∈ N, as soluções de (P2) são:
nπy
nπy
2nπb
Yn (y) = an e a − e a e− a
−nπb nπy
nπy
nπb
nπb
= an e a e a e a − e a e− a
nπ(y−b)
nπ(y−b)
nπb
= 2an e a 21 e a − 21 e− a
= αn sh
nπ(y − b)
,
a
onde αn = 2an e
nπb
a
∈ R.
Resolvidos (P1) e (P2), podemos concluir que um conjunto de soluções linearmente independentes
da equação de Laplace bidimensional, da forma u(x, y) = X(x)Y (y), que verificam as condições
de fronteira homogéneas, é constituı́do pelas funções:
nπx
nπ(y − b)
sh
, n∈N
(3.24)
a
a
Podemos agora procurar uma solução da equação diferencial que satisfaça todas as condições
de fronteira recorrendo ao princı́pio da sobreposição:
un (x, y) = Xn (x)Yn (y) = sen
u(x, y) =
∞
X
n=1
αn sen
nπx
nπ(y − b)
sh
a
a
218
3.8. EQUAÇÃO DE LAPLACE BIDIMENSIONAL
Da condição de fronteira não nula, u(x, 0) = f (x), resulta que:
f (x) =
∞
X
nπx
nπx
nπb
nπb
=−
sen
.
sen
αn sh
αn sh −
a
a
a
a
n=1
n=1
∞
X
Então, para cada n ∈ N, os coeficientes αn são obtidos à custa dos coeficientes da série de senos
de f em [0, a] por
Z
nπb
2 a
nπx
−αn sh
=
dx.
f (x) sen
a
a 0
a
ou
Z a
nπx
2
dx.
f (x) sen
αn = −
a sh(nπb/a) 0
a
3.8.2
Problema de Dirichlet não Homogéneo para a Equação de Laplace
Consideremos agora o problema de valores na fronteira relativo à equação de Laplace com
condições de Dirichlet não homogéneas. Pretende-se determinar uma solução de
 2
∂ u ∂2u


+ 2 =0
x ∈]0, a , y ∈]0, b[



∂x2
∂y


(3.25)
u(x, 0) = f1 (x) , u(x, b) = f2 (x) x ∈]0, a[







u(0, y) = f3 (y) , u(a, y) = f4 (y) y ∈]0, b[
Pelo princı́pio da sobreposição, a solução de (3.25) pode ser escrita na forma
u(x, y) =
4
X
u1 (x, y)
i=1
em que u1 é solução de
 2
∂ u ∂2u


+ 2 =0



∂x2
∂y


u2 é solução de
x ∈]0, a , y ∈]0, b[
u(x, 0) = f1 (x) , u(x, b) = 0 x ∈]0, a[







u(0, y) = 0 , u(a, y) = 0
y ∈]0, b[
 2
∂ u ∂2u


+ 2 =0



∂x2
∂y


x ∈]0, a , y ∈]0, b[
u(x, 0) = 0 , u(x, b) = f2 (x) x ∈]0, a[







u(0, y) = 0 , u(a, y) = 0
y ∈]0, b[
219
CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
u3 é solução de
e u4 é solução de
 2
∂ u ∂2u


+ 2 =0



∂x2
∂y


x ∈]0, a , y ∈]0, b[
u(x, 0) = 0 , u(x, b) = 0
x ∈]0, a[







u(0, y) = f3 (y) , u(a, y) = 0 y ∈]0, b[
 2
∂ u ∂2u


+ 2 =0



∂x2
∂y


x ∈]0, a , y ∈]0, b[
u(x, 0) = 0 , u(x, b) = 0
x ∈]0, a[







u(0, y) = 0 , u(a, y) = f4 (y) y ∈]0, b[
A solução de cada um destes problemas é obtida pelo método utilizado na resolução de (3.22).
220