Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Secção de Álgebra e Análise
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
TAGUSPARK
27 DE OUTUBRO DE 2022 - 19:15 HORAS
PRIMEIRO TESTE - DURAÇÃO: 45M
NOTA: JUSTIFIQUE TODOS OS CÁLCULOS.
(1) (5,0 val.) Apresente a solução geral da equação
dy
(t + t ln (y + 1))
= 2 + ln t.
dt
(2) Considere o problema de valor inicial

dy

cos t + (2y sen t)
= 0,

dt



y(π/2) = 1.
(a) (2,5 val.) Sem resolver a equação, justifique que o problema tem solução local
única.
(b) (5,0 val.) Resolva o problema, indicando o maior intervalo de definição da
solução.
(3) Considere a equação
y 00 − 4y 0 + 8y = t + 2t e−t .
(a) (3,5 val.) Apresente duas soluções linearmente independentes da equação
homogénea associada (deve provar que são de facto linearmente independentes).
(b) (4,0 val.) Determine a solução geral da equação não-homogénea.