Tópicos de Matemática Elementar: polinômios
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Sociedade Brasileira de Matemática
Presidente: Hilário Alencar
Vice-Presidente: Paolo Piccione
Diretores:
João Xavier
José Espirrar
Marcela de Souza
Walcy Santos
Tópicos de
Matemática Elementar
Volume 6
Polinômios
Antonio Caminha Muniz Neto
Editor Executivo
Hilário Alencar
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Assessor Editorial
Tiago Costa Rocha
k
Coleção Professor de Matemática
Comitê Editorial
Abdênago Alves de Barros
Abramo Hefez (Editor-Chefe)
Djairo Guedes de Figueiredo
José Alberto Cuminato
Roberto lmbuzeiro Oliveira
Sílvia Regina Costa Lopes
1
I)x k ] = -(f(l)+
Capa
Pablo Diego Regino
Distribuição e vendas
Sociedade Brasileira de Matemática
Estrada Dona Castorina, 110 Sala 109 - Jardim Botânico
22460-320 Rio de Janeiro RJ
Telefones: (21) 2529-5073 / 2529-5095
http://www.sbm.org.br / email:lojavirtual@sbm.org.br
ISBN 978-85-8337-101-4
Pl k
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( - 1 ) i·(k)
Í f ( X k+ n- i) ,
J(w) + ... + J(wP-1) ).
2ª edição
2016
Rio de Janeiro
MUNIZ NETO, Antonio Caminha.
Tópicos de Matemática Elementar:polinômios I Caminha Muniz Neto.
-2.ed. -- Rio de Janeiro: SBM, 2016.
v.6 ; 312 p. (Coleção Professor de Matemática; 29)
ISBN 978-85-8337-101-4
1. Números Complexos. 2. Polinômios.
4. Fatoração de Polinômios.
1. Título.
3. Raízes de Polinômios.
.!SBM
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
1••
�· SBM
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Logaritmos - E. L. Lima
Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios A. C. Morgado, J. B. Pitombeira, P. C. P. Carvalho e P. Fernandez
Medida e Forma em Geometria (Comprimento, Área, Volume e Semelhança) -
E. L. Lima
Meu Professor de Matemática e outras Histórias - E. L. Lima
Coordenadas no Plano com as soluções dos exercícios - E. L. Lima com a
colaboração de P. C. P. Carvalho
Trigonometria, Números Complexos - M. P. do Carmo, A. C. Morgado e E. Wagner,
Notas Históricas de J. B. Pitombeira
Coordenadas no Espaço - E. L. Lima
Progressões e Matemática Financeira - A. C. Morgado, E. Wagner e S. C. Zani
Construções Geométricas - E. Wagner com a colaboração de J. P. Q. Carneiro.
Introdução à Geometria Espacial - P. C. P. Carvalho
Geometria Euclidiana Plana - J. L. M. Barbosa
Isometrias - E. L. Lima
A Matemática do Ensino Médio Vol. 1 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
A Matemática do Ensino Médio Vol. 2 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
A Matemática do Ensino Médio Vol. 3 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
Matemática e Ensino - E. L. Lima
Temas e Problemas - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado
Episódios da História Antiga da Matemática - A. Aaboe
Exame de Textos: Análise de livros de Matemática - E. L. Lima
A Matemática do Ensino Media Vol. 4 - Exercicios e Soluções - E. L. Lima, P. C. P.
Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado
Construções Geométricas: Exercícios e Soluções - S. Lima Netto
Um Convite à Matemática - D.C de Morais Filho
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 1 - Números Reais - A. Caminha
Tópicos de Matemática Elementar - Volume 2 - Geometria Euclidiana Plana - A.
Caminha
Tópicos de Matemática Elementar Tópicos de Matemática Elementar Tópicos de Matemática Elementar Tópicos de Matemática Elementar -
Volume 3 - Introdução à Análise - A. Caminha
Volume 4 - Combinatória - A. Caminha
Volume 5 - Teoria dos Números - A. Caminha
Volume 6 - Polinômios - A. Caminha
A meus filhos Gabriel e Isabela,
na esperança de que um dia leiam este livro.
VI
Sumário
XI
Prefácio
XIX
Prefácio à segunda edição
1 Números Complexos
1.1 Definição e propriedades elementares
1.2 A forma polar de um número complexo
1
16
2 Polinômios
2.1 Definições e propriedades básicas
2.2 O algoritmo da divisão
31
32
40
3 Raízes de Polinômios
3.1 Raízes de polinômios . . . . . . . .
3.2 Raízes da unidade e contagem .. .
3.3 O teorema fundamental da álgebra
3.4 Raízes múltiplas . . . .
45
VII
1
46
63
69
76
VIII
SUMÁRIO
4 Relações entre Coeficientes e Raízes
4.1 Polinômios em várias indeterminadas
4.2 Polinômios simétricos .
4.3 O teorema de Newton
85
85
90
101
5 Polinômios sobre IR
5.1 Alguns teoremas do Cálculo
5.2 As desigualdades de Newton
5.3 A regra de Descartes . . .
113
113
123
127
6 Interpolação de Polinômios
6.1 Bases para polinômios
6.2 Diferenças finitas . . .
135
136
146
7 Fatoração de Polinômios
7.1 Fatoração única em Q[X] .
7.2 Fatoração única em Z[X] .
7.3 Polinômios sobre Zp . . . .
7.4 Irredutibilidade de polinômios
155
155
164
168
178
8 Números Algébricos e Aplicações
8.1 Números algébricos . . .
8.2 Polinômios ciclotômicos.
8.3 Números transcendentes
189
190
201
209
9 Recorrências Lineares
9.1 Um caso particular importante.
9.2 Sequências, séries e continuidade em C
9.3 O caso geral . . . . . . . . . . . . . . .
215
216
220
234
10 Soluções e Sugestões
243
Referências
275
SUMÁRIO
A Glossário
IX
283
X
SUMÁRIO
Prefácio
Esta coleção evoluiu a partir de sessões de treinamento para olimpíadas de Matemática, por mim ministradas para alunos e professores
do Ensino Médio, várias vezes ao longo dos anos de 1992 a 2003 e,
mais recentemente, como orientador do Programa de Iniciação Científica para os premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das
Escolas Públicas (OBMEP) e do Projeto Amílcar Cabral de cooperação educacional entre Brasil e Cabo Verde.
Idealmente, planejei o texto como uma mistura entre uma iniciação
suave e essencialmente autocontida ao fascinante mundo das competições de Matemática, além de uma bibliografia auxiliar aos estudantes
e professores do secundário interessados em aprofundar seus conhecimentos matemáticos. Resumidamente, seu propósito primordial é
apresentar ao leitor uma abordagem de quase todos os conteúdos geralmente constantes dos currículos do secundário, e que seja ao mesmo
tempo concisa, não excessivamente tersa, logicamente estruturada e
mais aprofundada que a usual.
Na estruturação dos livros, me ative à máxima do eminente matemático húngaro-americano George Pólya, que dizia não se poder fazer
XI
XII
SUMÁRIO
Matemática sem sujar as mãos. Assim sendo, em vários pontos deixei a cargo do leitor a tarefa de verificar aspectos não centrais aos
desenvolvimentos principais, quer na forma de detalhes omitidos em
demonstrações, quer na de extensões secundárias da teoria. Nestes casos, frequentemente referi o leitor a problemas específicos, os quais se
encontram marcados com* e cuja análise e solução considero parte integrante e essencial do texto. Colecionei ainda, em cada seção, outros
tantos problemas, cuidadosamente escolhidos na direção de exercitar
os resultados principais elencados ao longo da discussão, bem como
estendê-los. Uns poucos destes problemas são quase imediatos, ao
passo que a maioria, para os quais via de regra oferto sugestões precisas, é razoavelmente difícil; no entanto, insto veementemente o leitor a
debruçar-se sobre o maior número possível deles por tempo suficiente
para, ainda que não os resolva todos, passar a apreçiá-los como .corpo
de conhecimento adquirido.
O primeiro volume discorre sobre vários aspectos relevantes do conjunto dos números reais e de Álgebra Elementar, no intuito de munir
o leitor dos requisitos necessários ao estudo dos tópicos constantes dos
volumes subsequentes. Após começar com uma discussão não axiomática das propriedades mais elementares dos números reais, são abordados, em seguida, produtos notáveis, equações e sistemas de equações,
sequências elementares, indução matemática e números binomiais; o
texto finda com a discussão de várias desigualdades algébricas importantes, notadamente aquela entre as médias aritmética e geométrica,
bem como as desigualdades de Cauchy, de Chebyshev e de Abel.
Dedicamos o segundo volume a uma iniciação do leitor à geometria
Euclidiana plana, inicialmente de forma não axiomática e enfatizando
construções geométricas elementares. Entretanto, à medida em que o
texto evolui, o método sintético de Euclides - e, consequentemente,
demonstrações - ganha importância, principalmente com a discussão
dos conceitos de congruência e semelhança de triângulos; a partir desse
ponto, vários belos teoremas clássicos da geometria, usualmente ausen-
SUMÁRIO
XIII
tes dos livros-texto do secundário, fazem sua aparição. Numa terceira
etapa, o texto apresenta outros métodos elementares usuais no estudo
da geometria, quais sejam, o método analítico de R. Descartes, a trigonometria e o uso de vetores; por sua vez, tais métodos são utilizados
tanto para reobter resultados anteriores de outra(s) maneira(s) quanto
para deduzir novos resultados.
De posse do traquejo algébrico construído no volume inicial e do
aparato geométrico do volume dois, discorremos no volume três sobre
aspectos elementares de funções e certos excertos de cálculo diferencial
e integral e análise matemática, os quais se fazem necessários em certos pontos dos três volumes restantes. Prescindindo, inicialmente, das
noções básicas do Cálculo, elaboramos, dentre outros, as noções de
gráfico, monotonicidade e extremos de funções, bem como examinamos o problema da determinação de funções definidas implicitamente
por relações algébricas. Na continuação, o conceito de função contínua.
é apresentado, primeiramente de forma intuitiva e, em seguida, axiomática, sendo demonstrados os principais resultados pertinentes. Em
especial, utilizamos este conceito para estudar a convexidade de gráficos - culminando com a demonstração da desigualdade de J. Jensen e o problema da definição rigorosa da área sob o gráfico de uma função contínua e positiva - que, por sua vez, possibilita a apresentação
de uma construção adequada das funções logaritmo natural e exponencial. O volume três termina com uma discussão das propriedades
mais elementares de derivadas e do teorema fundamental do cálculo,
os quais são mais uma vez aplicados ao estudo de desigualdades, em
especial da desigualdade entre as médias de potências.
O volume quatro é devotado à análise combinatória. Começamos
revisando as técnicas mais elementares de contagem, enfatizando as
construções de bijeções e argumentos recursivos como estratégias básicas. Na continuação, apresentamos um apanhado de métodos de
contagem um tanto mais sofisticados, como o princípio da inclusão
exclusão e os métodos de contagem dupla, do número de classes de
XIV
SUMÁRIO
equivalência e mediante o emprego de métricas em conjuntos finitos.
A cena é então ocupada por funções geradoras, onde a teoria elementar
de séries de potências nos permite discutir de outra maneira problemas
antigos e introduzir problemas novos, antes inacessíveis. Terminada
nossa excursão pelo mundo da contagem, enveredamos pelo estudo do
problema da existência de uma configuração especial no universo das
configurações possíveis, utilizando para tanto o princípio das gavetas
de G. L. Dirichlet - vulgo "princípio das casas dos pombos" -, um
célebre teorema de R. Dilworth e a procura e análise de invariantes
associados a problemas algorítmicos. A última estrutura combinatória
que discutimos é a de um grafo, quando apresentamos os conceitos básicos usuais da teoria com vistas à discussão de três teoremas clássicos
importantes: a caracterização da existência de caminhos Eulerianos,
o teorema de A. Cayley sobre o número de árvores rotuladas e o teorema extremal de P. Turán sobre a existência de subgrafos completos
em um grafo.
Passamos em seguida, no quinto volume, à discussão dos conceitos
e resultados mais elementares de teoria dos números, ressaltando-se
inicialmente a teoria básica do máximo divisor comum e o teorema
fundamental da aritmética. Discutimos também o método da descida
de P. de Fermat como ferramenta para provar a inexistência de soluções inteiras para certas equações diofantinas, e resolvemos também
a famosa equação de J. Pell. Em seguida, preparamos o terreno para
a discussão do famoso teorema de Euler sobre congruências, construindo a igualmente famosa função de Euler com o auxílio da teoria mais
geral de funções aritméticas multiplicativas. A partir daí, o livro apresenta formalmente o co1;ceito de congruência de números em relação a
um certo módulo, discutindo extensivamente os resultados usualmente
constantes dos cursos introdutórios sobre o assunto, incluindo raízes
primitivas, resíduos quadráticos e o teorema de Fermat de caracterização dos inteiros que podem ser escritos como soma de dois quadrados.
O grande diferencial aqui, do nosso ponto de vista, é o calibre dos
SUMÁRIO
XV
exemplos discutidos e dos problemas propostos ao longo do texto, boa
parte dos quais oriundos de variadas competições ao redor do mundo.
Finalmente, números complexos e polinômios são os objetos de
estudo do sexto e último volume da coleção. Para além da teoria
correspondente usualmente estudada no secundário - como a noção
de grau, o algoritmo da divisão e o conceito de raízes de polinômios
-, vários são os tópicos não padrão abordados aqui. Dentre outros,
destacamos inicialmente a utilização de números complexos e polinômios como ferramentas de contagem e a apresentação quase completa
de uma das mais simples demonstrações do teorema fundamental da
álgebra. A seguir, estudamos o famoso teorema de 1. Newton sobre
polinômios simétricos e as igualmente famosas desigualdades de Newton, as quais estendem a desigualdade entre as médias aritmética e
geométrica. O próximo tema concerne os aspectos básicos da teoria
de interpolação de polinômios, quando dispensamos especial atenção
aos polinômios interpoladores de J. L. Lagrange. Estes, por sua vez,
são utilizados para resolver sistemas lineares de Vandermonde sem o
recurso à álgebra linear, os quais, a seu turno, possibilitam o estudo
de uma classe particular de sequências recorrentes lineares. O livro
termina com o estudo das propriedades de fatoração de polinômios
com coeficientes inteiros, racionais ou pertencentes ao conjunto das
classes de congruência relativas a algum módulo primo, seguido do
estudo do conceito de número algébrico. Há, aqui, dois pontos culminantes: por um lado, uma prova mais simples do fechamento do
conjunto dos números algébricos em relação às operações aritméticas
básicas; por outro, o emprego de polinômios ciclotômicos para provar
um caso particular do teorema de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas.
Várias pessoas contribuíram ao longo dos anos, direta ou indiretamente, para que um punhado de anotações em cadernos pudesse
transformar-se nesta coleção de livros. Os ex-professores do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, Marcondes
XVI
SUMÁRIO
Cavalcante França, João Marques Pereira, Guilherme Lincoln Aguiar
Ellery e Raimundo Thompson Gonçalves, ao criarem a Olimpíada Cearense de Matemática na década de 1980, motivaram centenas de jovens
cearenses, dentre os quais eu me encontrava, a estudarem mais Matemática. Meu ex-professor do Colégio Militar de Fortaleza, Antônio
Valdenísio Bezerra, ao convidar-me, inicialmente para assistir a suas
aulas de treinamento para a Olimpíada Cearense de Matemática e posteriormente para dar aulas consigo, iniciou-me no maravilhoso mundo
das competições de Matemática e influenciou definitivamente minha
escolha profissional. Os comentários de muitos de vários de ex-alunos
contribuíram muito para o formato final de boa parte do material
aqui colecionado; nesse sentido, agradeço especialmente a João Luiz
de Alencar Araripe Falcão, Roney Rodger Sales de Castro, Marcelo
Mendes de Oliveira, Marcondes Cavalcante França. Jr., Marcelo Cruz
de Souza, Eduardo Cabral Balreira, Breno de Alencar Araripe Falcão,
Fabrício Siqueira Benevides, Rui Facundo Vigelis, Daniel Pinheiro Sobreira, Antônia Taline de Souza Mendonça, Carlos Augusto David Ribeiro, Samuel Barbosa Feitosa, Davi Máximo Alexandrino Nogueira
e Yuri Gomes Lima. Vários de meus colegas professores teceram comentários pertinentes, os quais foram incorporados ao texto de uma
ou outra maneira; agradeço, em especial, a Fláudio José Gonçalves,
Francisco José da Silva Jr., Onofre Campos da Silva Farias, Emanuel
Augusto de Souza Carneiro, Marcelo Mendes de Oliveira, Samuel Barbosa Feitosa e Francisco Bruno de Lima Holanda. Os professores João
Lucas Barbosa e Hélio Barros deram-me a conclusão de parte destas
notas como alvo a perseguir ao me convidarem a participar do Projeto Amílcar Cabral de treinamento dos professores de Matemática da
República do Cabo Verde. Meus colegas do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, Abdênago Alves de Barros,
José Othon Dantas Lopes, José Robério Rogério e Fernanda Esther
Camillo Camargo, bem como meu orientando de iniciação científica
Itamar Sales de Oliveira Filho, leram partes do texto final e oferece-
SUMÁRIO
XVII
ram várias sugestões. Os pareceristas indicados pela SBM opinaram
decisivamente para que os livros certamente resultassem melhores que
a versão inicial por mim submetida. O presidente da SBM, professor
Hilário Alencar da Silva, o antigo editor-chefe da SBM, professor Roberto Imbuzeiro de Oliveira, bem como o novo editor-chefe, professor
Abramo Hefez, foram sempre extremamente solícitos e atenciosos comigo ao longo de todo o processo de edição. Por fim, quaisquer erros
ou incongruências que ainda se façam presentes, ou omissões na lista
acima, são de minha inteira responsabilidade.
Por fim e principalmente, gostaria de agradecer a meus pais, Antonio Caminha Muniz Filho e Rosemary Carvalho Caminha Muniz, e à
minha esposa Mônica Valesca Mota Caminha Muniz. Meus pais me fizeram compreender a importância do conhecimento desde a mais tenra
idade, sem nunca terem medido esforços para que eu e meus irmãos
desfrutássemos o melhor ensino disponível; minha esposa brindou-me
com a harmonia e o incentivo necessários à manutenção de meu ânimo
e humor, em longos meses de trabalho solitário nas madrugadas. Esta
coleção de livros também é dedicada a eles.
FORTALEZA, JANEIRO de 2012
Antonio Caminha M. Neto
XVIII
SUMÁRIO
Prefácio à segunda edição
A segunda edição contempla uma extensa revisão do texto e dos
problemas propostos, tendo sido corrigidas várias imprecisões de língua portuguesa e de Matemática. A discussão sobre recorrências lineares foi ampliada, no que resultou o capítulo 9, inteiramente dedicado
a elas. Nele, a solução de recorrências lineares de coeficientes constantes gerais é apresentada, sendo demonstrada com o auxílio de funções
geradoras complexas. Apesar dessa ser uma abordagem natural para
este problema, salta aos olhos não haver tratamento adequado desse
tema disponível em língua portuguesa. Há, ainda, uma nova seção
no capítulo 8, versando sobre números transcendentes. Nela, a prova
original de J. Liouville para a existência de números transcendentes é
demonstrada. Adicionei também alguns exemplos e problemas novos,
no intuito de melhor exercitar certos pontos da teoria, os quais não se
encontravam adequadamente contemplados pelos problemas propostos
à primeira edição. As sugestões e soluções aos problemas propostos
também foram revistas e reorganizadas, tendo sido colecionadas em
um capítulo separado, o capítulo 10. Adicionalmente, são apresentadas sugestões ou soluções a praticamente todos os problemas do livro.
XIX
XX
SUMÁRIO
Gostaria de aproveitar o ensejo para agradecer à comunidade matemática brasileira em geral, e a todos os leitores que me enviaram
sugestões ou correções em particular, o excelente acolhimento desfrutado pela primeira edição desta obra.
CAPÍTULO 1
FORTALEZA, JULHO de 2016
Antonio Caminha M. Neto
Números Complexos
É um fato óbvio que o conjunto dos números reais resulta pequeno
demais para uma descrição completa das raízes de funções polinomiais
reais; por exemplo, a função x r-+ x 2 + 1, x E IR, não as possui. Historicamente, afirmações simples como essa motivaram o desenvolvimento
dos números complexos, coroado pela demonstração, por Gauss, do
famoso teorema fundamental da álgebra.
Neste capítulo, concentramo-nos na construção do conjunto dos
números complexos e na discussão de suas propriedades mais elementares, postergando ao capítulo 3 a apresentação de uma demonstração
quase completa do teorema de Gauss acima referido.
1.1
Definição e propriedades elementares
Conforme visto no capítulo 1 de [10], em geral pensamos no conjunto IR dos números reais como uma reta numerada: temos uma
1
Números Complexos
2
reta qualquer (entidade geométrica) disposta horizontalmente, na qual
marcamos um ponto (correspondente ao zero). A partir daí, escolhemos um comprimento padrão (que corresponderá à unidade) e duas
regras distintas para operar dois pontos da reta (denominadas adição
e multiplicação de números reais), de modo a obter um terceiro ponto
como resultado. Então, chamamos os pontos da reta de números e
verificamos que as operações definidas gozam de várias propriedades
úteis: comutatividade, associatividade etc.
A discussão acima suscita a seguinte pergunta natural: haveria alguma forma de introduzir operações com propriedades úteis para os
pontos de um plano? Mais precisamente, se considerarmos a reta real
como o eixo horizontal de um plano cartesiano, haveria um modo de
definirmos operações com os pontos desse plano, generalizando as operações com os pontos da reta real? A resposta é sim e o conjunto
resultante, que passamos a descrever, é o conjunto dos números com-
plexos.
1 1
Considere o plano cartesiano, visto como o conjunto lR x lR dos
pares ordenados (a, b) de números reais. Defina em tal plano as operações EB e 8 por
(a,b)EB(c,d) = (a+c,b+d), (a,b)8(c,d) = (ac-bd,ad+bc), (1.1)
onde + e · denotam a adição e a multiplicação usuais de números reais.
Podemos verificar sem dificuldade que EB e 8 são operações associativas e comutativas e que 8 é distributiva em relação a EB, i.e., que,
para todos a, b, e, d, e, f E JR, valem as seguintes propriedades:
1.
11.
Associatividade de EB e®: (a, b) EB ((e, d) EB (e,!))= ((a, b) EB
(e, d)) EB (e,!) e (a, b) 8 ((e, d) 8 (e,!))= ((a, b) 8 (e, d)) 8 (e,!).
Comutatividade de EB e®: (a,b) EB (c,d) = (c,d) EB (a,b) e
(a, b) 8 (e, d) = (e, d) 8 (a, b).
m. Distributividade de 0 em relação a EB: (a, b)8((c, d)EB(e, !)) =
((a, b) 8 (e, d)) EB ((a, b) 8 (e,!))
1.1 Definição e propriedades elementares
3
Também é imediato verificar que (O, O) e (1, O) são, respectivamente,
os elementos neutros de EB e 8, i.e., que
(a, b) EB (O, O) = (a, b) e (a, b) 8 (1, O) = (a, b),
para todos a, b E lR. Podemos ainda checar (faça isto!) que vale a
seguinte lei de cancelamento para 8:
(a, b) 8 (e, d) = (O, O)
==?
(a, b) = (O, O) ou (e, d) = (O, O).
Considere, agora, nossa reta real como sendo o eixo das abscissas
'
o que equivale a identificar cada real x com o ponto (x, O). Temos,
então, que ver se essa identificação é boa, no sentido de os resultados
das operações EB e 8 coincidirem com os correspondentes das operações
usuais de adição e multiplicação de números reais. Isto se resume a
verificarmos se
(x, O) EB (y, O) = (x + y, O) e (x, O) 8 (y, O) = (xy, O),
(1.2)
o que é imediato fazer.
Em palavras, as expressões acima dizem que, ao identificarmos os
números reais com os pontos do eixo das abscissas e executarmos as
operações EB e 8 acima definidas, obtemos os mesmos resultados que
obteríamos se, primeiro, executássemos as operações usuais de adição
e multiplicação com os números reais e, só então, identificássemos os
resultados assim obtidos com os pontos do eixo das abscissas.
Portanto, podemos considerar lR com suas operações usuais de adição e multiplicação como um subconjunto de lR x lR com as operações
EB e 8, definidas como em ( 1.1), e também chamar os pontos do plano
de números, mais precisamente de números complexos. Denotamos
o conjunto dos números complexos por C
No que segue, vamos obter um modo mais cômodo de representar os números complexos e suas operações. Para tanto, denotaremos doravante por i o elemento (O, 1) do conjunto dos complexos e
Números Complexos
4
denominaremos a unidade imaginária 1 . Denotando por ~ nossa
identificação dos pontos do eixo das abscissas com os números reais e
levando em conta a definição de 8, somos forçados a concluir que
O
1.1 Definição e propriedades elementares
• Cálculo de (a, b) + (e, d): por definição, temos (a, b) + (e, d) =
(a+c, b+d). Por outro lado, operando como usualmente fazemos
com números reais, obtemos
i 2 = (O, 1) 8 (O, 1) = (O· O- 1 · 1, O· 1 + 1 · O) = (-1, O) ~ -1. (1. 3)
Veja, ainda, que
(a+bi)
+ (c+di) =
(a+c)
+ (b+d)i.
Mas, como estamos escrevendo (a+c,b+d)
os dois resultados coincidem.
(a, b) = (a, O) EB (O, b) = (a, O) EB ((b, O) 8 (O, 1)) ~a+ bi.
a+ bi =O{::} (a, b) = (O, O) {::}a~ b = O.
Por outro lado, veja que, de acordo com a discussão acima, no conjunto
(C dos números complexos a equação
x2 + 1
= (a+c) + (b+d)i,
(1.4)
Doravante, denotaremos as operações EB e 8 simplesmente por + e ·, e
escreveremos a+ bi para denotar o número complexo (a, b), não mais
utilizando identificações. Segue, a partir de (1.4), que
=O
tem o número i por raiz. Como veremos ao longo deste capítulo, esse
fato é o cerne da importância dos números complexos.
Uma boa justificativa para podermos escrever (a, b) E C como a+bi
é que podemos operar com os complexos escritos na forma a+ bi como
fazemos com números reais, lembrando que i 2 = -1: os cálculos feitos
desse modo levam aos mesmos resultados que os cálculos feitos usando
diretamente as definições das operações + e · de C. Senão, vejamos:
1 As
5
nomenclaturas imaginária e complexos têm origens históricas. Mais precisamente, quando os primeiros matemáticos começaram a utilizar números complexos ainda sem uma definição precisa do que tais números seriam, chamaram-nos
cor:iplexos ou imaginários exatamente pela estranheza que causara cogitar-se a
existência de "números" cujos quadrados pudessem ser negativos.
• Cálculo de (a, b) · (e, d): por definição, temos (a, b) · (e, d) =
(ac - bd, ad + bc). Operando novamente como com números
reais, temos
(a+ bi)(c + di) = ac +adi+ bci + bdi 2 = (ac - bd)
+ (ad + bc)i,
uma vez que i 2 = -1. Mas, como estamos escrevendo (ac bd, ad + bc) = (ac - bd) + (ad + bc)i, os resultados novamente
coincidem.
Levando em consideração as identificações feitas acima, podemos
escrever IR e C. Ademais, por analogia com as operações de adição
e multiplicação dos reais, também denominaremos as operações + e ·
sobre complexos de adição e multiplicação, respectivamente.
Prosseguindo nosso estudo, vamos introduzir em (C outras duas
operações, semelhantes à subtração e à divisão de números reais.
Dados z, w E C, subtrair w dez significa obter um complexo z -w
(a diferença entre z e w) tal que z = (z - w) + w. Sendo z =a+ bi e
w = e + di e operando como com números reais, vê-se facilmente que
z - w = (a+ bi) - (e+ di) = (a - e)+ (b - d)i.
Assim, sendo z
definido por
a+ bi e w = e+ di, o número complexo z - w,
z - w = (a - e)+ (b - d)i,
(1.5)
Números Complexos
6
é denominado a diferença entre z e w.
Para z, w E C, com w -# O, dividir z por w significa obter um
número complexo z / w (o quociente entre z e w), tal que z = (z / w) · w.
Sendo z = a + bi e w = e + di e operando como quando fazemos
racionalizações com números reais, obtemos imediatamente
a + bi
w = c+di -
z
(ac
(a + bi) (e - di)
(c+di)(c-di)
+ bd) +
(bc - ad)i
c2 + d2
ac + bd
bc - ad .
---+
27,,
c2+d2
c2+d
1.1 Definição e propriedades elementares
Denotamos JzJ = Ja 2 + b2 e denominamos JzJ o módulo dez. Quando
z E IR, é imediato que a noção de módulo de um número complexo,
definida como acima, coincide com a noção usual de módulo de um
número real. Note também que, em resumo,
z =a+ bi:::} JzJ 2
1
a
+ b2
zz = a 2 + b2 .
(1.7)
Olhando os pontos do plano cartesiano como o conjunto C dos
complexos, obtemos uma representação geométrica de C conhecida
como o plano complexo 2 .
Im
Sendo z =a+ bi e w =e+ di, com w-# O, o número complexo z/w,
definido por
z
ac + bd
bc - ad .
(1.6)
c2
+
d2
+
c2 + d2 i,
w
é o quociente entre z e w.
Examinando o caso particular da divisão de 1 por um número
complexo não nulo, concluímos que todo complexo z -# Opossui inverso
em relação à multiplicação. Sendo z =a+ ib-# O, segue de (1.6) que
tal inverso, o qual denotaremos z- 1 ou 1/ z, é dado por
z- = a2
=
b
-----,, z
/" 1
,/'
./'
,, /
o
1
1
1
1
1
a
Re
1
1
-b
-----4
b .
- a2 + b2 i.
Lembre-se de que não precisamos nos preocupar em decorar as fórmulas acima. É só operar como quando operamos com números reais.
A fim de simplificar muitos de nossos cálculos posteriores, introduzimos, agora, a seguinte notação: para z = a + bi E C, denotamos
por z O complexo z = a-bi e o denominamos o conjugado dez. Em
particular, temos z = z.
Observe ainda que, ao multiplicar z por z, obtemos como resultado
o número real a 2 + b2 :
Figura 1.1: conjugação de números complexos.
Os eixos horizontal e vertical do plano complexo são denominados,
respectivamente, eixos real e imaginário. O eixo real é formado pelos
números complexos reais (i.e., os pares ordenados (x, O)~ x), ao passo
que o eixo imaginário é formado pelos números complexos da forma
2
z. z = (a+ bi)(a - bi) = a 2 - (bi) 2 = a 2 + b2 .
também chamado plano de Argand-Gauss, em homenagem aos matemáticos
Jean-Robert Argand e Johann Carl Friedrich Gauss.
Números Complexos
8
yi, onde y E IR (i.e., os pares ordenados (O, y) = (y, O) · (O, 1) ~ yi);
tais números complexos são denominados imaginários puros.
Ainda em relação ao plano complexo, sendo z = a+ bi = (a, b),
segue de z = a - bi que z e z são simétricos em relação ao eixo
real (veja a figura 1.1). Por outro lado, os números reais a e b são
respectivamente denominados a parte real e a parte imaginária de
z, e denotados
a= Re(z), b = Im(z).
É, agora, claro que
Re(z) = z + z e Im(z)
2
z-
z
= ~·
1.1 Definição e propriedades elementares
(a) z E IR{::} Re(z) =O{::} z = z.
(e) zn = (zt, para todo n E Z.
(d)
lzl = 1 {::} z = l/z.
Prova.
(a) Seja z =a+ bi. Temos
z
(1.8)
O resultado a seguir traz mais algumas propriedades úteis dos nú-
9
(b) Sendo z
E IR {::} b = O {::} a+ bi
=a+
meros complexos. Para o enunciado do mesmo, observamos que a
associatividade da multiplicação de números complexos garante a boa
definição de zn, para z E CC e n EN, como z 1 = z e
bi e w
=a-
bi {::} z =
z.
= e+ di, temos
z + w = (a - bi) + (e - di)
= (a + e) - (b + d) i
=z+w
n
z=~,
e
n vezes
+ (ad + bc)i
= (ac - bd) - (ad + bc)i
= (a-bi)(c-di) = z·w.
zw = (ac - bd)
para n > 1. Tal definição pode ser facilmente estendida a expoentes
inteiros n, pondo, para z E <C \ {O}, zº = 1 e
zn
= ( z -n)-1 = 1
-
z-n'
A partir daí, vem
para n < O inteiro. Então, uma fácil indução permite mostrar que as
regras usuais de potenciação continuam válidas, a saber, que
(1.9)
para todos z,w E <C \ {O} e m,n E Z.
Podemos, finalmente, enunciar e provar o resultado desejado.
Lema 1.1. Se z e w são complexos não nulos quaisquer, então:
z/w · w = z/w · w
=
z,
de maneira que
z/w =
z/w.
(c) Para n = O o resultado é imediato e, para n E N, segue facilmente
de (b), por indução. Para n < O inteiro, observe inicialmente que, pelo
item (b), temos
1 = I = zz- 1 = z · z- 1
'
Números Complexos
10
de sorte que z- 1 = (z)-1; portanto, pondo u
acima, juntamente com (1.9), fornece
=
1.1 Definição e propriedades elementares
z- 1 , a primeira parte
11
Im
z
1
lb-dl
(d) Uma vez que (cf. (1.7)) z · z = lzl 2, concluímos que
lzl = 1 {::} z · z = 1 {::}
I
1
1
r---
z = 1/ z.
w
la-cl
Re
D
Exemplo 1.2 (Espanha). Se z e w são números complexos de módulo
1 e tais que zw #- -1, mostre que
é um número real.
r:z:
t:z:,
Prova. Se a =
basta mostrarmos que
que, pelo lema anterior, temos
a=
Figura 1.2: módulo da diferença entre dois complexos.
a. Para tanto, note
A desigualdade (1.10), a seguir, é conhecida como a desigualdade
triangular para números complexos.
z+w
z+w
1 + zw
1 +z · w
1
1
z- + ww+z
-a
- 1 + z- 1 w- 1 - zw + 1 - ·
a=
Corolário 1.4. Seu, v e z são números complexos quaisquer, então
lu D
Nosso próximo resultado dá uma interpretação geométrica bastante
útil do módulo da diferença de dois números complexos.
vi : : ;
lu - zl
+ lz - vi.
(1.10)
Prova. De acordo com a proposição 1.3, o corolário diz apenas que
qualquer lado de um triângulo (possivelmente degenerado) é menor ou
igual que a soma dos outros dois lados, o que já sabemos ser verdadeiro
D
(conforme ensina a proposição 2.26 de [11]).
Proposição 1.3. Dados z, w E C, o número real lz - wl é igual à
distância Euclidiana de z a w no plano cartesiano subjacente ao plano
complexo em questão.
Prova. Se z = a + bi, w
=
lz - wl = l(a - c)
Problemas - Seção 1.1
c + di, então
+ (b- d)il = J(a -
c) 2 + (b- d) 2.
Por outro lado (conforme a figura 1.2), a proposição 6.5 de [11] garante
D
que a distância dez a w também é dada por J(a - c) 2 + (b - d)2.
1. Em relação às operações de adição e multiplicação de números
complexos, verifique, a partir da definição, a associatividade e
comutatividade, bem como a distributividade da multiplicação
com respeito à adição. Verifique, ainda, que (O, O) e (1, O) são,
Números Complexos
12
respectivamente, seus elementos neutros e que vale a lei do cancelamento para a multiplicação.
2.
1.1 Definição e propriedades elementares
13
6. (Holanda.) A sequência (zk)k2'.l de números complexos é definida, para k E N, por
* Para z, w E C, prove que:
Zk
=
II (1 + ~) ,
j=l
../]
(a) lzwl = lzl · lwl.
(b) lz + wl 2 = lzl 2
onde i é a unidade imaginária. Encontre todos os n E N tais que
+ 2Re(zw) + lwl 2 .
n
3.
L lzk+l - zkl = 1000.
* Use o item (b)
do problema anterior para provar, para todos
z, w E C, a validade da desigualdade lz + wl ~ lzl + lwl, a qual
também é conhecida como a desigualdade triangular para
números complexos. Em seguida, use essa desigualdade para:
(a) Deduzir a validade de (1.10).
k=l
7. Dados z, w
C, sejam u e v os vetores de origem O e extremidades respectivamente z e w. Prove que os números complexos
z + w e z - w são, respectivamente, as extremidades dos vetores
u + v e u - v, com origem em O.
E
(b) Provar que llzl - lwll ~ lz - wl, para todos z, w E C.
4. Para z E C, prove que lzl
=
1 se, e só se, existe x E IR tal que
1-ix
Z
= l+ix'
5. (OCM.) Sejam a e z números complexos tais que lal < 1 e az
1. Se
#-
z-al < 1,
l1-az
prove que lzl < 1.
Para o próximo problema, definimos uma sequência de números
complexos como uma função f : N ---+ C. Parafraseando nossa
discussão sobre sequências de números reais, levada a cabo em
(12], dada uma sequência f : N ---+ C, escrevemos Zn = f(n) e
nos referimos à sequência f simplesmente por (zn)n2'.1·
Para o próximo problema, recorde que (de acordo com a seção 4.2
de (13]) uma relação de ordem (parcial) em X é uma relação
j em X que é reflexiva, transitiva e antissimétrica; ademais, se
tivermos x j y ou y j x para todos x, y E X, a relação de
ordem j é dita total. Para exemplificar, veja que a relação j,
definida em IR por
x j y~x
~
y,
é uma relação de ordem total; por outro lado, a relação j em
N, definida (veja o capítulo 1 de (14]) por
x j y~x I y,
é uma relação de ordem parcial que não é total.
8. Prove que o conjunto dos números complexos não pode ser totalmente ordenado. Mais precisamente, prove que não existe,
Números Complexos
14
sobre <C, uma relação de ordem total~' a qual estende a relação
de ordem usual em IR e satisfaz as condições
15
1.1 Definição e propriedades elementares
(b) Mostre que as funções l 1 , 1,2 , 1, 3 : <C ~ lH1, tais que 1, 1 ( x+yi) =
(x, y, O, O), l2(x + yi) = (x, O, y, O) e 1,3 (x + yi) = (x, O, O, y),
preservam operações, no sentido de que
o ~ z, w =} o ~ z + w' zw.
O próximo problema generaliza a construção do conjunto dos
números complexos, apresentando a construção do conjunto lH1
dos quatérnios (ou, ainda, números quaterniônicos) de Ha'milton3.
9. Em lH1 = {(a, b, e, d); a, b, e, d, E IR}, defina operações EB e 8, denominadas respectivamente adição e multiplicação, pondo, para
a= (a,b,c,d) e /3
=
para todos z, w E (C e 1 :::::; j :::::; 3.
(c) De posse dos itens (a) e (b), escrevamos, doravante, simplesmente + e · para denotar EB e 8, respectivamente, x
para denotar (x, O, O, O) e i = (O, 1, O, O), j = (O, O, 1, O) e
k = (O, O, O, 1). Mostre que
= j2 = k 2 = -1
ij = -ji = k,jk =
i2
(w,x,y,z) em lH1,
a EB /3 =(a+ w, b + x, e+ y, d+ z)
e
+ bw + cz - dy,
bz + cw + dx, az + by - ex+ dw),
a 8 /3 = (aw - bx - cy - dz, ax
ay -
onde + e · denotam as operações usuais de adição e multiplicação
de números reais. Faça os seguintes itens:
(a) Mostre que a função l : IR~ lH1, tal que 1,(x) = (x,0,0,0)
preserva operações, no sentido de que
1,(x) EB 1,(y) = 1,(x + y) e 1,(x) 8 1,(y) = 1,(x + y),
para todos x, y E R
-kj
= i, ki =
mas estas fogem ao escopo destas notas.
=
(1.11)
j
e
(a, b, e, d)= a+ bi
+ cj + dk.
(d) Mostre que os resultados de (a+ bi + cj + dk) + (w +xi+
yj + zk) e (a + bi + cj + dk) · (w + xi + yj + zk) são os
mesmos que obteríamos utilizando as propriedades usuais
da adição e da multiplicação de números reais, juntamente
com as relações (1.11). A partir daí, conclua que:
1.
11.
A operação + é comutativa, associativa e tem O como
elemento neutro.
A operação é associativa, distributiva em relação a +,
tem 1 como elemento neutro mas não é comutativa.
(e) Para a= a+ bi + cj + dk E lH1, sejam a= a - bi - cj - dj
o conjugado de a. Mostre que, para a, f3 E lH1, temos
a/3 =
a/3.
lal = .)a2 + b2 + c2 + d2
Mostre que aa = lal 2 e la/31 = lall/31, para
(f) Para a= a+bi+cj+dk E lH1, seja
o matemático inglês do século XIX William R. Hamilton. O conjunto
dos quatérnios tem muitas aplicações importantes em Matemática e em Física,
3 Após
-ik
a norma de a.
todos a, /3 E JH1.
Números Complexos
16
(g) Use o resultado do item anterior para deduzir a identidade
(7.9) de [14].
(h) Conclua que, para todo a E IHI\ {O}, existe um único /3 E lHI
tal que a/3 = 1. A partir daí, mostre que a lei do cancelamento vale em IHI, i.e., mostre que, se a, /3 E lHI forem tais
que a/3 = O, então a = O ou /3 = O.
10. (Japão.) Seja P um pentágono cujos lados e diagonais medem,
em alguma ordem, li, l2 , ... , lio- Se os números lr, l~, ... , l~
são todos racionais, prove que lio também é racional.
1.2
A forma polar de um número complexo
Dado z =a+ bi E (C \ {O}, seja a E [O, 21r) a menor determinação,
em radianos, do ângulo trigonométrico entre o semieixo real positivo
e a semirreta que une O a z (veja a figura 1.3).
1.2 A forma polar de um número complexo
17
segue que
a
COSO'.=----;::::==
Ja2 + b2
e sena=
b
Ja2 + b2
,
de maneira que
z = 1 z 1 ( cos a + i sen a) .
(1.12)
cosa para todo
Como sen (a + 2k1r) = sena e cos( a + 2k1r)
k E Z, a igualdade (1.12) ainda vale com a + 2k1r no lugar de a.
Por essa razão, diremos doravante que os números da forma a + 2k1r,
com k E Z, são os argumentos do complexo não nulo z e que a
é o argumento principal de z. Ademais, sendo a um argumento
qualquer dez, denominaremos a representação (1.12) de forma polar
(ou trigonométrica) dez. Veja, ainda, que
I cosa+ i sen ai = 1,
(1.13)
para todo a E IR. Também doravante, denotaremos o complexo cos a+
i sena simplesmente por eis a. Assim, sendo a um argumento de
z E <C, segue de (1.12) que
Im
z
z = lzl eis a.
o
a
Re
Figura 1.3: forma polar de um número complexo.
O exemplo a seguir traz um uso interessante, ainda que elementar,
da noção de argumento de um número complexo.
Exemplo 1.5. Dentre todos os complexos z tais que lz - 25il
~
15,
obtenha o de menor argumento principal.
Escrevendo
z= 1z 1 (
a
J a2 + b2
+
b
.
J a2 + b2
z·)
'
Solução. Os complexos satisfazendo a condição do enunciado sao
aqueles situados sobre o disco fechado de centro 25i e raio 15;
Números Complexos
18
Im
19
1.2 A forma polar de um número complexo
Prova. O caso n = O é trivial. Supondo que tenhamos provado a
fórmula para n > O, mostremos sua validade para n < O. Para tanto,
seja n = -m, com m E N. Dado O E IR, segue do item (d) do lema
1.1 e de \eis O\ = 1 que
(eis 0)- 1
o
=
eis O = cos O+ i sen O = cos O- i sen O
(1.15)
= cos(-0) + i sen (-0) = eis (-0).
Re
Portanto, como estamos assumindo a validade de (1.14) com m no
lugar de n, segue que
zn
destes, o de menor argumento principal é aquele z E C tal que a semirreta de origem Oe que passa por z tangencia tal círculo no primeiro
quadrante cartesiano.
Como o raio do círculo é 15, o teorema de Pitágoras, aplicado
ao triângulo retângulo de vértices 25i, z e O, nos dá \z\ = 20. Agora,
sendo z = a+bi, temos que a é igual à altura desse triângulo retângulo
relativa à hipotenusa; portanto, as relações métricas em triângulos
retângulos (proposição 4.9 de [11]) garantem que 25a = 15 · 20, de
onde segue que a= 12. Como \z\ = 20, temos que
202 = \z\2 = ª2
+ b2 =
=
z-m
=
\zln eis (-ma) = lzln eis (na).
=
(\z\ eis a)-m
=
\z\-m( eis (ma)t 1
Para o caso n > O, façamos indução sobre n, sendo o caso n
trivial. Supondo o resultado válido para um certo n E N, temos
zn+l = z · zn =
=
1
lzl eis a· lzln eis (na)
= lzln+l eis a· eis (na),
e basta mostrarmos que cisa· eis (na)= eis (n
(cos a
+ l)a, i.e.,
que
+ i sen a) (cos (na) + i sen (na)) = cos (n + 1) a + i sen (n + 1) a.
122 + b2
D
Mas, esta última igualdade é imediata a partir das fórmulas trigonoD
métricas de adição de arcos (proposição 7.18 de [11]).
A fórmula (1.14) a seguir, conhecida como a primeira fórmula
de de Moivre4 , estabelece as vantagens computacionais da representação polar de números complexos.
O corolário a seguir fornece a interpretação geométrica usual para
a multiplicação de números complexos, um dos quais de módulo 1.
Para o caso geral, referimos ao leitor o problema 1.
Proposição 1.6 (de Moivre). Se z = \z\ cisa é um complexo não nulo
e n E Z, então
Corolário 1.7. Sejam a um real dado e z E (C \ {O}. Se u é o
vetor de origem O e extremidade z, então o ponto do plano complexo
que representa (eis a) · z é a extremidade do vetor obtido mediante a
rotação trigonométrica5 deu pelo ângulo a (veja a figura 1.4).
e, daí, b = 16. Logo, z = 12 + 16i.
(1.14)
4 Após
Abraham de Moivre, matemático francês do século XVIII.
20
Números Complexos
1.2 A forma polar de um número complexo
21
D
Im
z
z · eis a
Re
Dados n EN e z E (C \ {O}, entendemos por uma raiz n-ésirna
dez um complexo w tais que wn = z. Contrariamente ao que ocorre
com números reais, cada complexo não nulo z tem exatamente n raízes
n-ésimas, as quais denotaremos genericamente por zyz. A fórmula
(1.16) a seguir, conhecida como a segunda fórmula de de Moivre
'
nos ensina a calculá-las.
Proposição 1.9 (de Moivre). Se z = lzl cisa é um complexo não
Figura 1.4: interpretando geometricamente a multiplicação por eis a.
Prova. Sendo z = lzl eis O, temos da primeira fórmula de de Moivre
que
z · eis a = 1 z I eis O· eis a = 1z I eis (O+ a).
nulo e n é um inteiro positivo qualquer, então há exatamente n valores
complexos distintos para a raiz n-ésima de z. Ademais, tais valores
são dados por
nlÍ--::::TI
.
V
141 · eis
onde
Corolário 1.8. Se z
= lzl eis a
e w
= lwl eis ,B
=
{::} rn eis (nB)
{::} rn
Em particular, a + ,B (resp. a - ,B) é a medida em radianos de um
argumento para zw (resp. z/w).
Prova. Façamos a prova para ~, sendo o outro caso totalmente análogo. Para tanto, basta ver que, por (1.15),
=
fl · eis (a lwl
,B).
5 Quer dizer, giramos u de um ângulo de medida a radianos, no sentido antihorário se a > O e no sentido horário se a < O.
N,
(1.16)
wn = z {::} (rcisor = lzl cisa
são complexos não
zw = lzwlcis (a+ ,B) e : = i1:1 1· eis (a - ,B).
E
reis O, então
nulos quaisquer, então
!._ = lzl eis a· lwl- 1 eis (-,B)
w
n2k1r) ; O:S: k < n, k
vTzT é a raiz real positiva de lzl.
Prova. Se w
Mas, este último complexo é exatamente a extremidade do vetor obD
tido pela rotação deu do ângulo a, no sentido trigonométrico.
(ª +
= lzl eis a
= lzl e nB =a+ 2k1r, :l k
E
Z.
vizT
Estas últimas duas igualdades ocorrem se, e só se, r =
e O=
1
k
'71
p
,
-n-, para a gum
E /L,,
ortanto, havera tantas raízes n-ésimas
de z distintas quantos forem os números eis ( a+;;krr) distintos. Mas é
fácil ver que
a+2k1r
. (ª
ClS
+ 2k1r) =
n
.
ClS
(ª
+ 2(k + n)1r)
n
e
eis (
a +n2k1r)
-=/=-
eis (
a +n2l7r)
para O :S: k < l < n, de maneira que basta considerarmos os inteiros k
tais que O :S: k < n.
D
Números Complexos
22
Em que pese a fórmula acima, vale frisar que nem sempre ela se
constitui na melhor maneira de calcularmos as raízes de um certo
índice de um número complexo; isto porque nem sempre a forma trigonométrica de complexo é efetivamente útil para cálculos. Veja o que
ocorre no exemplo a seguir.
Exemplo 1.10. Calcule as raízes quadradas de 7 + 24i.
Solução. Se tentarmos utilizar a segunda fórmula de de Moivre, teremos de começar observando que
7 + 24i = 25 (cos a
+ i sen a),
i.
onde a = arctg 2 Mas, como tal arco não é um arco notável, os
cálculos trigonométricos que teremos de fazer para utilizar. a segunda
fórmula de de Moivre serão mais trabalhosos do que a utilização direta da definição de raiz quadrada de um número complexo. Senão,
vejamos:
Seja 7 + 24i = (a + bi) 2 , com a, b E IR. Desenvolvendo (a + bi) 2 e
igualando em seguida as partes real e imaginária, obtemos o sistema
Como 1 = eis O, a segunda fórmula de de Moivre nos diz que há
precisamente n raízes n-ésimas distintas da unidade, as quais são
dadas por
. (2krr)
---:;;- ; O :::::; k < n, k
wk = eis
{
ª2 - b2 = 7 .
ab = 12
Elevando a segunda equação ao quadrado e substituindo a2 = b2 + 7
no resultado, chegamos à equação (b2 + 7)b2 = 144, de sorte que
b2 = 9. Mas, como ab = 12 > O, concluímos que a e b devem ter sinais
iguais e, a partir daí, que os possíveis pares (a, b) são (a, b) = (3, 4)
ou (-3, -4). Logo, as raízes quadradas procuradas são os números
D
complexos ±(3+ 4i).
Como caso particular importante da discussão sobre raízes de números complexos, dizemos que o número complexo w é uma raiz da
unidade se existir um natural n tal que wn = 1. Neste caso, w é
denominado uma raiz n-ésima da unidade.
E
Z.
(1.17)
Denotando w = eis 2; , segue imediatamente de (1.17) e da primeira fórmula de de Moivre que as raízes n-ésimas da unidade são os
números complexos
1,w,". ,wn-1
(1.18)
À guisa de fixação, vejamos dois exemplos.
Exemplo 1.11. Dado n E N, ache, em função de n, as soluções da
equação (z zn.
ir=
r
Solução. Como z = O não é raiz, a equação equivale a ( 1 - ~ = 1.
Portanto, sendo w = eis 2; , segue da discussão acima que 1- ~ é igual
a um dos números w, w2, ... , wn-l (note que 1 também não é raiz da
equação dada). Como 1 - ~ = wk se, e só se, z = 1 _1wk, segue que zé
igual a um dos números complexos
1
de equações
23
1.2 A forma polar de um número complexo
1
1
1 - w' 1 - w2 ' ... ' 1 - wn-1 .
D
Para o que segue, recordemos (conforme discussão que precede o
problema 6, página 12) que uma sequência de números complexos é
uma função f : N ---+ C, a qual será, o mais das vezes, denotada
simplesmente por (zn)n::::1, onde Zn = f(n). Isto posto, observamos
que a demonstração da fórmula para a soma dos n primeiros termos
de uma PG de números reais e razão diferente de O e 1 é válida
'
ipsis literis, para uma PG de números complexos, i.e., uma sequência
(zn)n::::1 de complexos, tal que Zk+l = qzk para todo k 2:: 1, onde
q E C \ {O, 1}. Portanto, podemos enunciar o resultado auxiliar a
seguir.
24
Números Complexos
Lema 1.12. Para z E C \ {O, 1}, temos
4·\
!'
1
zn -
1r
21r
31r
cos 7 - cos 7 + cos 7
l+z+z +···+z - = - z-1
= -Re(w +w 2 +w 3 ) =
Como corolário do lema acima, note que, se w =I 1 é uma raiz
n-ésima da unidade, então wn = 1, de maneira que
1 + w + w2 + · · · +
wn-l =
O.
(1.19)
Utilizaremos a fórmula acima várias vezes em nossas discussões posteriores.
Exemplo 1.13 (IMO). Use números complexos para provar que
1r
27r
31r
1
cos- - cos- +cos- = -
7
7
7
2·
Re(w + w2 + w3 ) = cos 27r + cos
7
21r
7
4 1r
7
7
1r
-cos 7 -cos 7 .
Por outro lado, como wk · w7-k = 1 e lwkl = 1, segue do item (d) do
lema 1.1 que
w7-k = (wk)-1 = wk.
Portanto, w + w2 + w3 = w6 + w5 + w4 e, daí,
Re(w + w2 + w3 ) = Re(w 6 + w5 + w4 ).
(1.20)
Por fim, segue de (1.19) que
w+w 2 + .. ·+w 6 = -1;
daí, tomando partes reais e utilizando (1.20), obtemos
2Re(w + w2 + w3 )
D
O próximo resultado usa a segunda fórmula de de Moivre para dar
uma bela interpretação geométrica para as raízes n-ésimas de um
complexo não nulo.
Proposição 1.14. Se zé um complexo não nulo e n > 2 é um natural,
então as raízes n-ésimas de z são os vértices de um n-ágono regular
centrado na origem do plano complexo.
(ª
+ cos 51r
31r
1
2.
Prova. Sendo a um argumento de z, segue da segunda fórmula de de
Moivre que as raízes n-ésimas de z são os complexos z0 , z1 , ... , Zn-l
tais que
nfi":T
,
+n2k7r) ,
Zk = y 1~1 • ClS
Prova. Se w = eis 2; , uma raiz sétima da unidade, então
= cos
25
1.2 A forma polar de um número complexo
e segue, de (1.20), que
n 1
2
11
= Re(w + w2 + w3 ) + Re(w 6 + w5 + w4 ) = -1
para O::::; k < n.
A partir de (1.13), obtemos
de sorte que os pontos zk estão todos situados sobre o círculo de centro
O e raio ~ do plano complexo. Por outro lado, segue do corolário
1.8 que
Zk+1 =
Zk
eis (21r) '
n
para O ::::; k < n. Então, sendo uk o vetor de origem O e extremidade
zk, segue do corolário 1. 7 que o ângulo entre uk e uk+l, medido em
radianos e no sentido anti-horário, é, para O::::; k < n, igual a 2: .
A proposição decorre imediatamente desses dois fatos.
D
Números Complexos
26
1.2 A forma polar de um número complexo
27
lm
Im
1
Re
; 1
. w3
Re
Figura 1.5: disposição geométrica de raízes quartas de -1.
Figura 1.6: raízes sextas da unidade.
Exemplo 1.15. Na figura 1.5, representamos, no plano complexo, as
raízes quartas de -1. Observe que z1 = Jf=-Iícis i = 1J;.
Problemas - Seção 1.2
1
O corolário a seguir isola uma consequência importante do resul-
tado anterior.
Corolário 1.16. As raízes n-ésimas da unidade se dispõem, no plano
complexo, como os vértices do polígono regular de n lados, inscrito no
círculo de raio 1 centrado na origem e tendo o número 1 como um de
seus vértices.
Exemplo 1.17. Na figura 1. 6, temos w = eis 2; = l+;v'3, de sorte que
os números complexos 1, w, ... , w5 são as raízes sextas da unidade.
Os números 1, w2 e w4 são as raízes cúbicas da unidade, ao passo que
os números w, w3 = -1 e w5 são as raízes cúbicas de -1.
1. Para r E lR \ {O}, definimos a homotetia de centro O e razão
r como a função Hr : C --+ C, tal que Hr(z) = rz, para todo
z E C. Para () E lR \ {O}, definimos a rotação de centro O
e ângulo () como a função R 0 : C \ {O} --+ C \ {O}, tal que
Ro(z) = (cisO)z, para todo z E C \ {O}.
(a) Seja u o vetor de origem O e extremidade z. Se w = Hr(z),
prove que o vetor de origem O e extremidade w é ru.
(b) Se w = reis() é um complexo não nulo, prove que, para
todo z E C \ {O}, temos
wz = Hr o Ro(z).
2. (OCM.) Seja w um número complexo tal que w2
+w + 1 =
O.
28
Números Complexos
Calcule o valor do produto
'
I;
!~:;;,
~
1.2 A forma polar de um número complexo
29
11. Dados n > 2 inteiro e a E IR, use números complexos para
calcular cada uma das somas abaixo em função de n e a:
(a) sena+ sen (2a) + sen (3a) + · · · + sen (na).
3. Seja num natural múltiplo de 3. Calcule o valor de (1 +
(1 -
v'3it-
v'3it.
12. Dê exemplo de um conjunto infinito 7
guintes condições:
4. Resolva em <C o sistema de equações
(b) Para todos z, w E 7, temos zw E 7.
5. Encontre, em função de n EN, as soluções da equação
1
(1 + z) 2n
+ (1 -
z) 2n =· O.
6. Mostre que todas as raízes da equação (z-1) 5 = 32(z+ 1) 5 estão
situadas sobre o círculo do plano complexo de raio Í e centro
-i,
7. (Irlanda.) Para cada n E N, defina an =
prove que existem EN tal que ªk-Iak =
n2 +
n + 1. Dado k
E
N,
ªm·
8. (Romênia.) Sejam p, q E <C, com q =/=- O, tais que a equação
x 2 + px + q2 = O tem raízes de módulos iguais. Prove que ~ E lR.
9. Sejam z1, z2 e z3 números complexos não todos nulos. Prove que
z1, z2 e z3 são os vértices de um triângulo equilátero no plano
complexo se, e só se,
2
2
2
Z1 + Z2 + Z3 =
Z1Z2
+
Z2Z3
+
Z3Z1,
10. Dado n > 2 inteiro, use números complexos para provar que
n-1
2k7r n-1
2k7r
~cos-- = I:sen-- = O.
Ln
n
k=O
k=O
e <C satisfazendo as se-
(a) Para todo z E 7 existe n EN tal que zn = 1.
lz1I = lz2I = lz3I = 1
{ Z1 + Z2 + Z3 = Ü
Z1Z2Z3 = 1
! '
(b) sen 2a + sen 2(2a) + sen 2(3a) + · · · + sen 2(na).
13. (Croácia.) Sejam n um natural dado e A um conjunto de n
números complexos não nulos, tendo a seguinte propriedade: se
quaisquer dois de seus elementos (não necessariamente distintos)
forem multiplicados, obtemos outro elemento do conjunto. Ache
todos os conjuntos A possíveis.
14. Seja g : <C --+ <C uma função dada e w = eis 2;. Para cada número
complexo dado a, prove que há uma única função f : (C --+ <C tal
que
f(z) + f(wz + a) = g(z), V z E <C.
30
Números Complexos
CAPÍTULO 2
Polinômios
De um ponto de vista mais algébrico, funções polinomiais reais podem ser encaradas como polinômios de coeficientes reais. Conforme
veremos a partir deste capítulo, um tal ponto de vista resulta muitíssimo frutífero no estudo de polinômios, não somente os de coeficientes
reais, mas também aqueles com coeficientes racionais ou, mais geralmente, complexos. Nesse sentido, em tudo o que segue, sempre
que uma propriedade for válida para polinômios com coeficientes em
um qualquer dos conjuntos numéricos (Ql, lR. e C, escreveremos simplesmente IK para denotar tais conjuntos, salvo menção explícita em
contrário. Nosso propósito é, pois, desenvolver os aspectos algébricos
elementares da teoria dos polinômios sobre IK. 1
1 Para os que já estudaram um pouco de Estruturas Algébricas, frisamos que lK
poderia denotar um corpo qualquer de característica O. De fato, a restrição de lK
a (Ql, ~ ou C é meramente psicológia, tendo o intuito de tornar o mais elementar
possível a discussão subsequente.
31
------------~----
-
Polinômios
32
2.1
i. Os elementos
Definições e propriedades básicas
Colecionamos, nesta seção, as definições e notações básicas sobre
polinômios, as quais serão fundamentais para os desenvolvimentos subsequentes da teoria.
33
2.1 Definições e propriedades básicas
ai
E IK são denominados os
coeficientes de
f.
ii. Quando ai = O omitiremos, sempre que for conveniente, o termo
aiXi. Em particular, como a sequência (a 0, a 1 , a 2, .. .) é quase
toda nula, existe um inteiro n ~ O para o qual podemos escrever
n
Definição 2.1. Uma sequência (a 0, a 1 , a2, .. .) de elementos de IK é
dita quase toda nula se existir n ~ -1 tal que
= Lªkxk.
f(X)
k=O
iii. Quando ai = ±1, escreveremos ±Xi em vez de (±l)Xi, para
termo correspondente de f.
Em palavras, uma sequência (ao, a 1 , a 2, .. .) é quase toda nula se
todos os seus termos, de uma certa posição em diante, forem iguais a
zero. Por exemplo, as sequências
(O, O, O, O, O, O, ... ) e (1, 2, 3, ... , n, O, O, O, ... )
são quase todas nulas; por outro lado, a sequência (1, O, 1, O, 1, ... ),
com l's e O's se alternando indefinidamente, não é quase toda nula.
Definição 2.2. Um polinômio sobre ( ou com coeficientes em) IK é
uma soma formal f = f(X) do tipo
f(X) = ªº + a1X + a2X 2 + a3X 3 + ... := L akxk,
k2:0
(2.1)
onde (ao, a 1 , a 2, .. .) é uma sequência quase toda nula de elementos de
IK e convencionamos Xº = 1 e X 1 = X no somatório acima.
Ainda em relação à definição acima, cumpre observar que X é um
símbolo qualquer. Em particular, X não representa uma variável e
poderíamos, por exemplo, ter utilizado o símbolo O em seu lugar.
Assumiremos ainda que os polinômios f(X) = Lk2:o akXk e g(X) =
Lk>O bkXk sobre IK são iguais se, e só se, ak = bk, para todo k ~ O.
Dado um polinômio f(X) = a0 + a 1X + a2X 2 + a3X 3 + · · · sobre
IK, adotamos as seguintes convenções:
O
iv. O polinômio O = O+ OX + OX 2+ · · · é denominado o polinômio
identicamente nulo sobre IK. Sempre que não houver perigo
de confusão com O E IK, denotaremos o polinômio identicamente
nulo sobre IK simplesmente por O.
v. Mais geralmente (e consoante ii.), dado a E IK, denotamos o polinômio a+ox +OX 2+· · · simplesmente por O: e O denominamos
o polinômio constante a; em cada caso, o contexto deixará
claro se estamos nos referindo ao polinômio constante e igual a
a ou ao elemento a E IK.
Denotamos por IK[X] o conjunto de todos os polinômios sobre IK.
Em particular, de posse do item v. acima, convencionamos também
que
IK e IK[X].
Por outro lado, as inclusões (Q
(Q[X]
e
e
IR
e
IR[X]
C fornecem as inclusões
e
C[X].
Exemplo 2.3. Se f(X) = 1 + X - X 3 + \!'2X7, então f tJ. (Q[X]
(uma vez que v'2 (f. Q) mas f E IR[X]. Já a expressão g = 1 +X+
x2 + x3 + x4 + · · · nao
- e, um po l.inomio, uma vez que a sequência
A
(1, 1, 1, ... ) não é quase toda nula.
•
r
1
i'
oe:3. cc4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=-P=ol=in=ô=m=1=·º=-s
a soma e_º produto de f e g, denotados respectivamente por f EB g
e f 8 g, sao os polinômios
No que segue, vamos definir sobre IK[X] operações
EB : IK[X] x IK[X] ----+ IK[X] e 8 : IK[X] x IK[X] ----+ IK[X],
U EB g)(X) = L(ak + bk)Xk
k2:0
respectivamente denominadas adição e multiplicação. Para tanto,
precisamos inicialmente do seguinte resultado auxiliar.
e
U 8 g)(X) = Lckxk,
k2:0
Lema 2.4. Se (ak)k2:o e (bk)k2:o são sequências quase todas nulas de
elementos de OC, então também são quase todas nulas as sequências
(ak ± bk h2:o e (ck h2:o, onde
k
ck =
L aibj = L aibk-i·
i=O
i+i=k
i,j2:0
35
2.1 Definições e propriedades básicas
Prova. Mostremos somente que a sequência (ck) k2:0 é quase toda nula,
ficando o outro caso como exercício para o leitor (veja o problema 1).
Sejam m, n E Z+ tais que ai = O para i > n e bj = O para j > m. Se
k > m + n e i + j = k, com i, j ~ O, então i > n ou j > m, pois, do
contrário, teríamos k = i + j :S n + m, o que não é o caso. Mas, como
i > n =} ai = O e j > m =} bj = O, em qualquer caso temos aibj = O,
Ainda que, em princípio, possa não parecer, a definição do produto
de dois polinômios é bastante natural: a fórmula para o coeficiente ck
de f 8 g é necessária se quisermos que valham a distributividade da
operação 8 em relação à operação EB, bem como a regra usual de
potenciação xm 8 xn = xm+n. De fato, se tais propriedades forem
válidas, então, calculando o produto
(ao+ a1X + a2X 2 + · · ·) 8 (b0 + b1X
+ b2 X 2 + ... )
distributivamente, obtemos
aobo =
L aibj
i+j=O
de sorte que
Ck =
i,j2:0
L aibj = O.
para coeficiente de
i+j=k
Xº,
i,j2:0
o
aob1
+ a1bo =
L aibj
i+j=l
i,j2:0
De posse do lema anterior, podemos finalmente formular as definições das operações de adição e multiplicação de polinômios.
1
Definição 2.5. Dados em IK[X] os polinômios
para coeficiente de X,
aob2 + a1 b1 + a2bo =
L aibj
i+j=2
i,j2:0
para coeficiente de X 2 e assim por diante.
Polinômios
36
1
!
De fato, não é difícil nos convencermos (cf. problema 3) de que,
conforme foram definidas, as operações de adição e multiplicação de
polinômios sobre lK gozam das seguintes propriedades:
i. Comutatividade: f E9 g = g E9 f e f 0 g = g 0 f;
ii. Associatividade: (! E9 g) E9 h
f 0 (g 0 h);
m. Distributividade:
f
=f
E9 (g E9 h) e (! 0 g) 0 h
=
0 (g E9 h) = (! 0 g) E9 (! 0 h),
para todos f,g, h E JK[X].
Exemplo 2.6. Considere os polinômios de coeficientes reais f(X) =
1 + X - v'2X 2 - 4X 3 e g(X) =X+ X 2, onde, como anteriormente
convencionado, omitimos os coeficientes nulos. Então
(! EB g)(X) = 1 + 2X + (1 - v'2)X 2 - 4X 3
e
(! 0 g)(X) = (1 + X - v'2X 2 - 4X 3) 0 (X+ X 2)
= [10
(X+ X 2)] E9 [X 0 (X+ X 2)]EB
E9 [-v'2X 2 0 (X+ X 2)] E9 [-4X 3 0 (X+ X 2)]
=
(X+ X2) E9 (X2 + X3) E9 ( -v'2X3 - v'2X4)EB
E9 ( -4X 4 - 4X 5 )
=X+ 2X 2 + (1 - v'2)X 3 - (v'2 + 4)X4 - 4X 5 .
A discussão acima deixa claro que podemos relaxar nossas notações, denotando, a partir de agora, as operações de adição e multiplicação de polinômios sirnplesrnente por + e ·. Assim, sempre que adicionarmos dois polinômios, os sinais + representarão duas operações
diferentes: a adição de elementos de lK, efetuada sobre os coeficientes
dos polinômios ern questão, e a adição de elementos de JK[X]. No entanto, isto não deve causar confusão, urna vez que o contexto sempre
2.1 Definições e propriedades básicas
37
deixará claro a qual operação o sinal+ se refere. Note, ainda, que urn
comentário análogo é válido para o sinal · de multiplicação.
Observação 2.7. Todas as definições acima podem ser estendidas,
aliás de maneira óbvia, para incluir polinômios de coeficientes inteiros.
Doravante, sempre que necessário, denotaremos o conjunto de tais
polinômios por Z[X].
Sendo O o polinômio identicamente nulo, ternos f + O = O+ f = O
para todo f E JK[X], i.e, o polinômio identicamente nulo é o elemento
neutro da adição de polinômios. Por outro lado, dado f E JK[X],
existe urn único polinômio g E JK[X] tal que f + g = g + f = O: de
fato, sendo f(X) =ao+ a1X + a 2X 2 +···,é imediato que
g(X) = -ao - a1X - a 2 X 2 -
· •.
é esse único polinômio, o qual será, doravante, denotado por sim,
(-!)(X)= -ao - a1X - a 2 X 2 - • • •
f.
As-
e, para /, g E JK[X], podemos definir a diferença f - g entre f e g
por f - g = f + ( -g).
Para a E lK e g(X) = bo + b1X + b2X 2 + · · · E JK[X], é imediato
verificar que
a · g = abo + ab1X + ab2X 2 + · · . ;
em particular, ternos 1 · g = g para todo g E JK[X], de maneira que
o polinômio constante 1 é o elemento neutro da multiplicação de polinômios.
Doravante, sempre que não houver perigo de confusão, escreveremos sirnplesrnente f g para denotar o produto f · g, de f, g E JK[X].
Em particular, se a E JK, então af denotará o produto de a, visto
como polinômio constante, e f.
A definição a seguir desempenhará papel central ao longo do texto.
~382.__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __.:=..P-=-o=lin=º=Am=iº=---'
r
l:
Definição 2.8. Se J(X) = a0 + a1 X + · · · + anXn E IK[X] \ {O}, ,'l
com an -=I O, dizemos que o inteiro não negativo n é o grau de f, e ~
denotamos f = n (lê-se "o grau de f é igual a n").
i-
a
Veja que só definimos grau para polinômios não identicamente nulos; por outro lado, 8f = O para todo polinômio constante J(X) = a,
com a E lK \ {O}. Doravante, sempre que nos referirmos a f E
IK[X] \ {O} escrevendo
39
2.1 Definições e prnpriedades básicas
e há duas possibilidades: an + bn = O ou an + bn =f O. No primeiro caso, 8(! + g) < n = max{8f, 8g}. No segundo, 8(! + g) =
n = max{8f,8g}. Em qualquer caso, ainda teremos 8(! + g) ::;
max{8f, 8g}.
(b) Seja fg = co+c1X +c2X 2+· · ·. Se k > m+n, vimos, na prova do
lema 2.4, que ck = O. Portanto, se mostrarmos que Cm+n -=I O, seguirá
que fg-# O e 8(fg) = m+n = 8f +8g. Mas, como ai= O parai> n
e bj = O para j > m, é imediato que
f (X) = anXn + · · · + a1 X + ao
Cm+n =
suporemos, salvo menção em contrário, que an -=I O. Nesse caso, an
será denominado o coeficiente líder de f. Finalmente, f será dito
L
aibj = anbm
=f O.
i+j=m+n
i,j?_O
D
mônico quando tiver coeficiente líder 1.
A proposição a seguir estabelece duas propriedades muito importantes da noção de grau de polinômios.
Proposição 2.9. Para f,g E IK[X] \ {O}, temos:
(a)
Problemas - Seção 2.1
au + g)::; max{8f,8g} se f + g -=I o.
(b) f g -=I O e 8(f g) = 8f + 8g.
Prova. Sejam
af
1.
= n e 8g = m, com
* Se
(ak)k?.O e (bk)k?.o são sequências quase todas nulas de elementos de IK, mostre que a sequência (ak ± bk)k?.O também é
quase toda nula.
2. Dado n EN, execute as seguintes multiplicações de polinômios:
(a) Sem -=I n, podemos supor, sem perda de generalidade, quem> n.
(a) (X - l)(xn- 1 + xn- 2 +···+X+ 1).
Então
(b) (X+ l)(xn- 1 - xn- 2 + · · · - X+ 1), se n for ímpar.
(c) (X+ l)(X 2 + l)(X 4 + 1) ... (X 2n + 1).
(f + g)(X) =(ao+ bo) + · · · + (an + bn)Xn + bn+1xn+1 + · · · + bmXm,
de forma que 8(! + g) = m = max{8f, 8g}. Sem= n mas f + g =f O,
então
(f + g)(X) =(ao+ bo) + · · · + (an + bn)Xn
3.
* Mostre
que as operações de adição e multiplicação de polinômios são comutativas, associativas e que a multiplicação é
distributiva em relação à adição.
r
i;;,
Polinômios
40
4.
* Mostre
que, em K[X], não há divisores de zero. Mais precisamente, mostre que se f,g E K[X] são tais que fg = O, então
f
=
o ou g = o.
5. (Torneio das Cidades.) Encontre pelo menos um polinômio
de grau 2001, tal que J(X)
+ J(l -
6
41
2.2 O algoritmo da divisão
com ri= O ou O ~ ori < og, parai= 1, 2. Então, g(q1 - q2) = r 2 - r 1
e, se q1 -=/:- q2, o problema 4, página 40, garante que r 1 -=/:- r 2. Mas, pela
proposição 2.9, temos
og ~ og + o(q1 - q2)
f,
X) = 1.
= o(r1 - r2) ~
= o(g(q1 - q2))
max{or1, or2} < og,
que é um absurdo. Portanto, q1 = q2 e, daí, r 1 = r 2.
Façamos, agora, a prova da existência de polinômios q e r satisfazendo as condições do enunciado. No que segue, sejam b o coeficiente
líder e no grau de g, e consideremos o seguinte algoritmo:
O
2.2
O algoritmo da divisão
Já vimos ser possível adicionar, subtrair e multiplicar polinômios,
sendo o resultado ainda um polinômio. E quanto à possibilidade de
uma operação de divisão para polinômios? Bem, nem sempre será
possível efetuá-la; em outras palavras, dados polinômios f, g E K[X],
com g -=/:- O, nem sempre existirá h E K[X] tal que f = gh; por exemplo,
se J(X) =X+ 1 e g(X) = X 2 então um tal polinômio h não existe,
Algoritmo da divisão para polinômios
1. FAÇA
• r +-- f; m +-- of; q +-- O;
• a+-- COEFICIENTE LÍDER DE r;
pois, caso existisse, deveríamos ter
1 = of = o(gh) = og +oh= 2 + oh
2. ENQUANTO r
-=/:-
0 OU or 2:: og FAÇA
e, daí, oh= -1, o que é um absurdo.
Apesar da discussão do parágrafo anterior, o seguinte análogo da
divisão de inteiros, denominado o algoritmo da divisão para po-
• r(X) +-- r(X) - ab- 1 xm-ng(X);
linômios, ainda é válido.
• m +-- or
Teorema 2.10. Se f, g E K[X], com g
-=/:-
O, então existem únicos
• q(X) +-- q(X)
+ ab- 1 xm-n;
• a+-- COEFICIENTE LÍDER DE r;
q, r E K[X] tais que
3. LEIA OS VALORES FINAIS DE r E DE q.
f = gq + r, com r =
o ou o~ or < og.
(2.2)
1
11
Prova. Mostremos, inicialmente, que há no máximo um par de polinômios q e r satisfazendo as condições do enunciado. Para tanto,
sejam q1 , q2, r 1 , r 2 E K[X] tais que
Provemos que o algoritmo acima realmente termina após um número finito de repetições do laço ENQUANTO e nos dá, ao final, polinômios
q e r como desejado.
Ser -=/:- 0 ou or 2:: og, então a instrução do laço ENQUANTO troca
r(X) pelo polinômio r(X) - ab- 1 xm-ng(X); tal polinômio, se não
for o polinômio nulo, tem grau menor que o de r, uma vez que o
Polinômios
42
polinômio ab- 1xm-ng(X) tem grau m (que é o grau de r antes da
execução do laço) e coeficiente líder a (que é o coeficiente líder de r
antes da execução do laço). Assim, o algoritmo pára após um número
43
2.2 O algoritmo da divisão
1. Fazemos as atribuições r(X) = X 4 - 2X 2 + 5X + 7; m = 4;
q(X) = O; a = 1.
2. Como nem r(X) = O nem m = 4 < n = 2, trocamos r(X) por
finito de passos.
Após a primeira atribuição, temos
r(X) - ab- 1xm-ng(X)
=
1
= X 4 - 2x 2 + sx + 7 - -x4- 2(3X 2 + 1)
f(X) = g(X)q(X) + r(X),
3
uma vez que, no início, q(X) = O e r(X) = J(X). Suponha, por
hipótese de indução, que após uma certa execução do laço ENQUANTO
tenhamos f(X) = g(X)q(X) + r(X) e que, nesse momento, r(X) =lO e or :2:: og. Então a próxima execução ocorre e troca r(X) por
r(X) - ab- 1xm-ng(X) e q(X) por q(X) + ab- 1xm-n. Como
(2.3)
é igual a g(X)q(X) + r(X), segue da hipótese de indução que, após
tal execução, ainda teremos (2.3) igual a f(X).
D
7 2
= - 3X +5X +7,
m por 2, q(X) por
Vejamos como o algoritmo da divisão se comporta num exemplo
particular. Considere o problema de dividir f(X) = X 4-2X 2+5X +7
por g(X) = 3X2 + 1 em Q[X]. Iniciamos o algoritmo armazenando os
valores b = 3 e n = 2. Ao segui-lo, temos os seguintes passos:
1
3
3
e a por - 37 .
3. Como ainda não temos nem r(X) = O nem m = 2 < n = 2, ·
trocamos r(X) por
r(X) - ab- 1xm-ng(X) =
Nas notações do algoritmo da divisão para polinômios, dizemos que
(o valor final de) q é o quociente e (o valor final de) r é o resto da
divisão de f por g. Ademais, quando r = O, dizemos que fé divisível
por g ou, ainda, que g divide f, e denotamos g I f.
Observação 2.11. Como o leitor pode facilmente verificar repassando
a discussão acima, o algoritmo da divisão ainda é válido para polinômios em Z[X], contanto que o coeficiente líder do polinômio divisor
seja ±l. Mais precisamente, se f, g E Z[X], onde g =1- O tem coeficiente líder ±1, então q e r também têm coeficientes inteiros. No que
segue, usaremos esta observação sem maiores comentários.
1
q(X) + ab-ixm-n =O+ -x4-2 = -X2
7
7/3
= --X 2 + 5X + 7 + - X 2- 2(3X 2 + 1)
3
=5X
3
+
70
9'
m por 1, q(X) por
q(X) + ab-1 xm-n = ~X2 + -7 /3 x2-2 = ~X2 - ~
3
3
3
9
e a por 31 .
4. Agora, ainda temos r(X) =1- O, mas m = 1 < n = 2, de modo que
não mais voltamos para o início do loop. Simplesmente lemos
r(X) = 5X + 79ü e q(X) = ~X 2 - ~3
9
Polinômios
44
Podemos esquematizar o procedimento acima na tabela abaixo, ao
longo da qual você deve identificar cada uma das passagens acima:
Algoritmo da divisão para polinômios
x4
-X4
+7 3X 2 + 1
-2X 2 +5X
1/3X 2
-1/3X 2
+7 1/3X 2 - 7/9
-7/3X 2 +5X
+7/9
7/3X 2
5X +70/9
CAPÍTULO 3
Raízes de Polinômios
Problemas - Seção 2.2
1. Se n E N, encontre o resto da divisão do polinômio (X 2 +X+ 1t
pelo polinômio X 2
X
-
+ 1.
2. Dados m, n E N, com m > n, encontre o resto da divisão de
X 2m
+ 1 por X 2 + 1.
n
3. Ao dividirmos um polinômio f E Q[X] por X +2, obtemos resto
-1; ao dividirmos f por X - 2, obtemos resto 3. Encontre o
resto da divisão de
f
por X 2
-
4.
4. Um polinômio f E IR[X] deixa resto 4 quando dividido por X+ 1
e resto 2X + 3 quando dividido por X 2 + 1. Obtenha o resto de
sua divisão por (X+ l)(X 2 + 1).
Na exposição que fizemos até agora da teoria de polinômios não
tivemos, em momento algum, a intenção de substituir X por um número. De outra forma, até o presente momento, polinômios têm sido
para nós meramente expressões formais com as quais aprendemos a
operar. Nesse sentido, a indeterminada X é um símbolo sem significado aritmético, e observamos uma vez mais que poderíamos tê-lo
substituído pelo símbolo D, por exemplo, sem problema algum.
Remediamos o estado de coisas descrito acima neste capítulo, onde
introduzimos o conceito de raiz de um polinômio e de função polinomial associada a um polinômio. Dentre os vários resultados importantes discutidos, destacamos a apresentação de uma demonstração
completa do teorema fundamental da álgebra. Outros pontos dignos
de nota são a discussão do critério de pesquisa de raízes racionais de
polinômios de coeficientes inteiros e a utilização de raízes da unidade
como marcadores de posição em certos problemas combinatórios.
45
Raízes de Polinômios
46
3 .1
Raízes de polinômios
(c) Se a 1 , ... , ak forem raízes duas a duas distintas de f, então o
polinômio (X - a 1 ) ···(X - ak) divide f (X) em K[X].
Para continuar nosso estudo de polinômios, é conveniente considerar a função polinomial associada a um polinômio.
Prova.
(a) Segue do algoritmo da divisão a existência de polinômios q, r E
K[X] tais que
f(X) = (X - a)q(X) + r(X),
Definição 3.1. Para f(X) = anXn+· · ·+a1 X +ao E K[X], a função
polinomial associada a f é a função J : K --+ K dada, para x E K,
por
com r = O ou O ~ 8r < 8(X - a) = 1. Portanto, r(X) = c, um polinômio constante. Por outro lado, sendo J e ij as funções polinomiais
respectivamente associadas a f e q, segue da igualdade acima que
Quando f (X) = c, note que a função polinomial associada f será
a função constante ](x) = c, para todo x E K, justificando o nome
constante imputado anteriormente a um polinômio de grau O.
](a)= (a - a)ij(a)
Definição 3.2. Seja f E K[X] um polinômio, com função polznomial
associada f : K --+ K. Um elemento a E K é uma raiz de f se
](a) = O.
i.e., f(X)
X
f-----7
+1
f {::} ](a) =O{::} f(X)
= (X - a)q(X).
(b) Sem > 8f, então (X - a)m f f(X), uma vez que 8(X - a)m =
m > f. Daí e do item (a), existe um maior inteiro positivo m tal que
(X - a)m I J(X), digamos J(X) = (X - a)mq(X). Passando para
funções polinomiais, obtemos, a partir daí, a igualdade
a
(C
X
+ c = e,
= (X - a)q(X) + ](a). Assim,
a é raiz de
Por exemplo, se f(X) =X+ 1 E <C[X], é fácil ver que x = -1 é a
única raiz de f em <C. De fato, a função polinomial associada a f é
]:<C - t
47
3.1 Raízes de polinômios
'
](x)
de sorte que ](x) = O se, e só se, x = -1.
A proposição a seguir é conhecida como o teste da raiz.
= (x - a)mij(x), V x
E
K;
se ij(a) = O, seguiria de (a) que q(X) = (X - a)q1 (X), para algum
polinômio q1 E K[X]. Mas aí, teríamos
Proposição 3.3. Se f E K[X] \ {O} e a E K, então:
(a) a é raiz de
f
se, e só se, (X - a) 1 f(X) em K[X].
contrariando a maximalidade de m.
{b) Se a for raiz de f, então existe um maior inteiro positivo m tal
que (X - a)m divide f. Ademais, sendo f(X) = (X - a)mq(X),
com q E K[X], tem-se ij(a) -=1- O, onde ij : K --+ K é a função
polinomial associada a q.
(c) Façamos a prova deste item para o caso k = 2 (a prova do caso
geral é inteiramente análoga). Como a 1 é raiz de f, pelo item (a)
existe um polinômio g E K[X] tal que f(X) = (X - a 1 )g(X). Seja
1
48
Raízes de Polinômios
ga
função polinomial associada ao polinômio g. Como a 1
também é raiz de f, segue da última igualdade que
#
a2e a2
e a 2 é raiz de g. Daí, novamente pelo item (a), existe um polinômio
h E JK[X] tal que g(X) = (X - a 2)h(X) e, assim,
f(X)
3.1 Raízes de polinômios
49
(note que tanto f (X) - a quanto o polinômio do segundo membro na
igualdade acima são mônicos e têm grau n). Portanto,
de forma que os produtos dos números em cada linha são iguais a
(-1r- 1 a.
D
= (X - a 1 )(X - a2)h(X).
D
O exemplo a seguir traz uma aplicação interessante do teste .da
raiz.
Exemplo 3.4 (União Soviética1 ). Numere as linhas e colunas de um
tabuleiro n x n de 1 a n, respectivamente de cima para baixo e da
esquerda para a direita. Dados 2n números reais distintos a 1 , ... , an,
b1 , ... , bn, para 1 ::S i, j ::S n escreva o número ai + bj na casa 1 x 1
situada na linha i e na coluna j. Se os produtos dos números escritos
nas casas das colunas do tabuleiro forem todos iguais, prove que os
produtos dos números escritos nas casas das linhas do mesmo também
serão todos iguais.
Como corolário do teste da raiz, explicitamos a seguir um algoritmo bastante simples para a obtenção do quociente da divisão de
um polinômio mônico f E JK[X] por X - a, onde a é uma raiz de
f. Tal algoritmo é conhecido na literatura como o algoritmo de
Horner-Ruffini, e é baseado no resultado a seguir.
Proposição 3.5 (Horner-Ruffini). Seja
um polinômio mônico sobre JK. Se a E lK é uma raiz de f e
g(X)
= xn-I + bn-2Xn- 2 + · · · + bo E JK[X]
Prova. Considere o polinômio
f(X)
=
(X+ a1)(X
+ a2) ... (X+ an) E JR[X].
é o quociente da divisão de f(X) por X - a, então
Sendo J a função polinomial associada a f, segue do enunciado a
existência de a E lR tal que ](b 1) = ](b 2) = · · · = ](bn) = a. Então,
](bi) - a = O para 1 ::S i ::S n, de modo que, pelo teste da raiz, temos
a+ ªn-1
abn-2 + ªn-2
(3.1)
bn-i-1
1A
União Soviética foi um país que existiu até 1991, quando o colapso do Comunismo a fez dividir-se em vários países distintos, dentre os quais citamos Azerbaijão,
Bielorrússia, Estônia, Cazaquistão, Letônia, Lutiânia, Moldávia, Rússia, Ucrânia
e Uzbequistão.
bo
Prova. Por uniformidade de notação, faça bn-I
=
1. Temos inicial-
Raízes de Polinômios
50
mente que
A discussão acima pode ser resumida na tabela a seguir, na qual
colocamos os coeficientes de f (que não o coeficiente líder 1) na primeira linha e calculamos, da esquerda para a direita e a começar pelo
coeficiente líder bn-1 = 1, os sucessivos coeficientes de g na segunda
linha.
n-1
f(X)
=
(X - a)g(X) = (X - a)
L bn-1-ixn-l-i
i=O
n-1
~
~
bn-1-i xn-i
n-1
~
~
-
i=O
a bn-1-i xn-1-i
i=O
n-1
Algoritmo de Horner-Rufinni
n-2
bn-lxn + I : bn-1-ixn-i i=l
I : abn-1-ixn-l-i
- aba
i=O
n-1
n-1
xn + I : bn-1-ixn-i i=l
n-1
I:
abn-ixn-i - aba
i=l
xn + I:(bn-1-i
abn-i)xn-i - aba.
-
Comparando a última expressão acima para f com aquela do enunciado, concluímos que
bn-1-i - abn-i = ªn-i,
~ n -
1. Obtemos, assim, o sistema de equações
1
bn-1
bn-2 - abn-1
bn-3 - abn-2
ªn-1
ªn-2
bn-i-1 - abn-i
ªn-i
b0
-
ab1
-ab0
bn-1 = 1 a · 1 + ªn-1 a · bn-2
"--v---"
bn-2
i=l
para 1 ~ i
51
3.1 Raízes de polinômios
ª1
ªº'
o qual, por sua vez, equivale às relações do enunciado (a última equação do sistema acima pode ser desprezada, pois representa somente a
condição de compatibilidade advinda da suposição de que a seja raiz
de!).
D
+ ªn-2
bn-3
Observe que cada coeficiente de g, que não o líder, é igual ao
produto do coeficiente à sua esquerda por a, somado ao coeficiente
de f situado acima deste.
Exemplo 3.6. Verifique que v'2 é raiz do polinômio f(X) = X 5 5X 4 + X 3 - 5X 2 - 6X + 30 e encontre, com o auxílio do algoritmo de
H orner-Rufinni, o quociente da divisão de f por X - v'2.
Solução. Montemos a tabela do algoritmo de Horner-Rufinni pondo
n = 5 e a4 = -5, a3 = 1, a 2 = -5, a 1 = -6, a0 = 30 na primeira
linha. Começando com b4 = 1 na primeira casa da segunda linha,
obtemos sucessivamente b3 = v'2 · 1 - 5, b2 = v'2b 3 + 1 = 3 - 5\/'2,
b1 = v'2b 2 - 5 = -15 + 3v'2 e b0 = v'2b 1 - 6 = -15\/'2.
-51
1
1 -5 1 -6 1 30
1 v'2 · 1- 5 3 - 5v'2 -15 + 3v'2 -15v'2
Por fim, como -ab0 = -v'2( -15v'2) = 30 = a0 , segue que v'2 é
realmente raiz de f e o quociente da divisão de f por X - v'2 é
X 4 + (v'2 - 5)X 3 + (3 - 5v'2)X 2 + (-15 + 3v'2)X - 15\/'2.
D
Raízes de Polinômios
52
3.1 Raízes de polinômios
Nas notações do teste da raiz, se f(X) = (X - a)mq(X), com
ij(a) -=I= O, dizemos que m é a multiplicidade de a como raiz de f.
Em particular, a é uma raiz simples de f se m = 1 e múltipla se
m
li
il
11:
11
1,
1
1
maior natural tal que J(X) = (X - a)mq(X), para algum polinômio
q E K[X]. Como
8q = 8f - m < 8f,
> 1.
Exemplo 3.7. Sendo f(X) = X 3 - 7X 2 + 16X - 12 um polinômio
de coeficientes reais, temos que 2 é raiz dupla e 3 é raiz simples de f,
uma vez que f(X) = (X - 2)2(X - 3).
Mais adiante neste capítulo, estudaremos em detalhe o problema
de examinar se um polinômio f com coeficientes em K possui ou não
raízes múltiplas. Por ora, precisaremos no máximo saber o que vem a
ser uma tal raiz. Devemos notar, todavia, que já temos uma maneira
de saber se um elemento a E K é ou não raiz múltipla de um polinômio
não nulo f: basta dividir f por (X - a) 2 (o que pode ser feito com
duas aplicações sucessivas do algoritmo de Horner-Rufinni) e verificar
se a divisão é exata. Teremos mais a dizer sobre isso mais adiante.
Outro corolário interessante do algoritmo da divisão é o fato de
um polinômio não identicamente nulo não poder ter mais raízes do
que seu grau. Observe que permitimos raízes múltiplas no resultado
a seguir.
Corolário 3.8. Se f E K[X] \ {O}, então f possui no máximo 8f
raízes em K, contadas de acordo com suas multiplicidades.
Prova. Façamos indução sobre o grau de f. Se 8f = O, então existe
c E K \ {O} tal que f (X) = c. Daí, a função polinomial associada j
é a função constante xi---+ c, e segue que o número de raízes de f é O,
igual a seu grau.
Seja, agora, f um polinômio de grau positivo e suponha a afirmação do enunciado válida para todos os polinômios não nulos de graus
menores que f. Se f não tiver raízes em K, nada há a fazer. Senão, seja a E K uma raiz de f e (de acordo com o teste da raiz) mo
a
53
J
i
1
segue da hipótese de indução que q tem no máximo 8q raízes em K,
contadas de acordo com suas multiplicidades. Agora, se /3 -=I= a é raiz
de J, temos
O= }(/3) = (/3 - a)mij(/3)
e, daí, /3 é raiz de q. Portanto, o número de raízes de f é igual a m
(a multiplicidade de a) mais o número de raízes de q, e segue, por
hipótese de indução, que f possui no máximo
1
1
f
m+8q = 8f
D
raízes em K.
Utilizamos frequentemente o corolário acima em uma das formas
a seguir.
Corolário 3.9. Se f(X)
anXn + · · · + a X + a
K[X] admite
1
l pelo menos n + 1 raízes distintas em K, então f é identicamente nulo,
=
t
i
i. e.' an
1
0
E
= ... = ªº = o.
Prova. Se f E K[X] \ {O}, então, pelo corolário anterior,
máximo n raízes em K.
lt
~
t
i
f
l
f
teria no
D
Corolário 3.10. Sejam f(X) = anXn + · · · + a 1 X + a0 e g(X)
bmXm+· · ·+b1 X +bo polinômios sobre K, com m 2: n. Se J(x) = g(x)
para ao menos m + 1 valores distintos x E K, então f = g, i. e, m = n
e ai = bi, para O ~ i ~ n.
Prova. Basta aplicar o corolário anterior ao polinômio f
que a função polinomial associada a tal polinômio é f -
- g, notando
g.
D
Raízes de Polinômios
54
Se F é o conjunto das funções de JK em JK, então o último corolário
acima garante que a aplicação
JK[X]
f
--+ F
c---7
3.1 Raízes de polinômios
Solução. Defina a sequência (un)n>o por u 0 = O e Un+l = u~ + 1,
para n ~ 1. Se g(X) = X, então f(u 0 ) = O = g(u 0 ) e, supondo
J(uk) = g(uk), temos também
(3.2)
j '
f(uk+I) = f(u% + 1) = f(uk) 2 + 1
= g( uk) 2 + 1 = u% + 1
J
que associa a cada polinômio f E JK[X] sua função polinomial E F,
é injetiva. Em outras palavras, ele afirma que dois polinômios sobre JK
só terão funções polinomiais iguais quando eles mesmos forem iguais 2 •
Graças a esse fato, doravante vamos denotar por f tanto um elemento de JK[X] (i.e., um polinômio com coeficientes em JK) quanto a
função polinomial associada a tal elemento. Em particular, quando
escrevermos f(X), estaremos nos referindo ao polinômio f; quando
escrevermos f (x), estaremos nos referindo ao elemento de JK, imagem
de x E JK pela função polinomial associada a f. O contexto esclarecerá
eventuais confusões.
55
= g(uk+I)·
Portanto, por indução temos f(un) = g(un), para todo inteiro
não negativo n. Mas, como os valores dos termos Un são dois a dois
distintos, concluímos que f e g coincidem em uma quantidade infinita
de valores distintos, e segue do corolário 3.10 que f = g, i.e., f(X) =
D
X.
Exemplo 3.13 (Hong Kong). Sejag(X) = X 5 +X 4 +X 3 +X 2 +X+l.
Calcule resto da divisão de g(X 12 ) por g(X).
Solução. Pelo algoritmo da divisão, existe q, r E JR[X] tais que
Observação 3.11. O corolário 3.10 garante que os coeficientes de um
polinômio f E JK[X] são determinados pelos valores f(x), com x E JK.
Posteriormente, estudaremos em detalhe o problema de como obter
um polinômio em JK[X] que assuma valores prescritos em um número
finito de elementos x E JK dados.
Os dois exemplos a seguir ilustram usos típicos dos corolários 3.9
e 3.10.
Exemplo 3.12 (Moldávia). Obtenha todos os polinômios f E JR[X]
tais que f (O) = O e
f (x 2 + 1) = f (x) 2 + 1,
2 Conforme
+ r(X),
com r = O ou O :::;; 8r :::;; 4. Tomando w = eis 2; e fazendo x = wk nas
funções polinomiais correspondentes, com 1 :::;; k:::;; 5, obtemos
para 1 :::;; k:::;; 5.
Agora, como w 12 k = eis (4k1r) = 1, temos g(w 12 k)
outro lado, para 1 :::;; k :::;; 5, o lema 1.12 fornece
g(wk) = w5k + w4k + w3k + w2k + wk + 1 =
Vx E R
1·;
!
g(X 12 ) = g(X)q(X)
veremos na seção 7.3, ao desenvolvermos a teoria de polinômios
sobre Zp, onde p E Zé primo, o fato de K ser infinito nos casos presentemente sob
consideração é imprescindível para a injetividade de (3.2).
= g(l) = 6. Por
w6k 1
- = O.
wk -1
Assim, (3.3) se reduz a r(wk) = 6, para 1 :::;; k :::;; 5, de sorte que o
polinômio r - 6 tem pelo menos cinco raízes distintas. Mas, como
r - 6 = O ou 8(r - 6) :::;; 4, segue do corolário 3.8 quer - 6 = O.
D
56
Raízes de Polinômios
O corolário a seguir garante que a imagem da função polinomial
associada a um polinômio não constante é um conjunto infinito.
i
3.1 Raízes de polinômios
(a)
PI ao
57
e q 1 ªn·
(b) Se f for mônico, as possíveis raízes racionais de f são inteiras.
Corolário 3.14. Se f E K[X] \ K, então a imagem Im (!) da função
polinomial associada a f é um subconjunto infinito de K.
Prova. Suponha o contrário, i.e, que Im (!) = { a 1 , ... , ak} C K.
Então, para todo x E K, teríamos f (x) E { a 1 , ... , ak}. Mas, como K
é um conjunto infinito, existiriam 1 :s; i :s; k e elementos dois a dois
distintos x 1 , x 2 , . • . E K tais que
(c) (p- mq) 1 f(m), para todo m E Z. Em particular, (p-q)
e (p+q) 1 f(-1).
1
f(l)
Prova.
(a) A partir de f(~) = O, obtemos prontamente
e, daí,
Portanto, f(X) - ai seria um polinômio não identicamente nulo (lembre-se de que f é não constante) com uma infinidade de raízes distintas,
o que é uma contradição.
D
Exemplo 3.15 (Canadá). Ache todos os polinômios não constantes
f E Q[X] que satisfazem a relação f(J(X)) = f(X)k, onde k é um
inteiro positivo dado.
{
aoqn =
ªnPn =
p(-anpn-l_,,.-a1qn-l)
q( -an-lPn-l - · · · - aoqn-l) .
Portanto, p I aoqn e q I anpn. Mas, uma vez que p e q são primos entre
si, o item (a) da proposição 1.21 de [14] garante que p I a0 e q I an,
como queríamos provar.
(b) Imediato a partir de (a).
Solução. É fácil ver (conforme problema 1) que, para todo x E Q,
temos f(J(x)) = f(x)k. De outro modo, f(y) = yk, para todo y E
Im (!). Mas, o corolário 3.14 garante que Im (!) é um subconjunto
infinito de Q, de sorte que o corolário 3.10 garante que f(X) = Xk. D
Terminamos esta seção estudando o problema de pesquisa de raízes racionais de polinômios de coeficientes inteiros. O item (a) da
proposição a seguir ·traz o resultado central, conhecido na literatura
como o critério de pesquisa de raízes racionais de polinômios de
coeficientes inteiros.
Proposição 3.16. Sejam n > 1 inteiro, f(X) = anXn+, · ·+a1X +ao
um polinômio de coeficientes inteiros e p e q inteiros não nulos primos
entre si. Se f(!) = O, então:
(c) Como f(!) = O, temos f(m) = f(m) - f(!) ou, ainda,
Portanto,
+ · · · + a1m + ao) - (anpn + · · · + a1pqn-l + aoqn)
an((mqr - pn) + '' · + a1qn- 1(mq - p) = (mq - p)r,
qnf(m) = qn(anmn
=
para algum r E Z, onde utilizamos o item (a) do problema 2.1.18
de [10] na última igualdade acima. Os cálculos acima garantem que
(mq - p) 1 qn f(m). A partir daí, para concluir que (mq - p) 1 f(m),
li!i
\i
Raízes de Polinômios
58
59
3.1 Raízes de polinômios
,I'
II
: !'•
é suficiente, novamente pelo item (a) da proposição 1.21 de [14], mostrarmos que mdc (mq - p, qn) = 1. Para tanto, basta aplicarmos o
item (b) da proposição 1.21 e o corolário 1.22 de [14] para obter
,/3, segue que
Mas, como tg 30º =
(3a - a 3 ) 2
(1 - 3a2 ) 2
1
3
mdc(p,q) = 1 =} mdc(mq-p,q) = 1 =} mdc(mq-p,qn) = 1.
O resto é imediato.
D
A proposição anterior pode, por vezes, ser aplicada para garantir
a irracionalidade de números reais. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 3.17. Prove que o número
V2 + J 2 + J2
J2 J2
é irracional.
J2
Prova. Se a =
+
+ J2, então a 2 - 2 =
+ J2 e, daí,.·
2
2
2
2
2
(a - 2) = 2 + J2. Logo, ((a - 2) - 2) = 2, de maneira que a é
raiz do polinômio mônico de coeficientes inteiros .
((X 2
f(X)
(X 4
-
-
2) 2
2) 2
-
2
4X 2 + 2) 2
-
2.
-
Portanto, se a E Q, segue dos itens (a) e (b) da proposição anterior
que a EN e a 1 /(O)= 2, de modo que a= 1 ou 2. Mas, como
J2 + J2+2 =
1 <a<
3a6 - 27a4 + 33a2
Exemplo 3.19 (Iugoslávia3 ). Ache todos os racionais positivos a ::;
b ::; e tais que os números
1 1 1
a + b + e, - + - + - e abc
a b e
sejam todos inteiros.
D
Prova. Denotemos a= tg 10º. Aplicando a proposição 7.18 e ocorolário 7.19 de [11], obtemos sucessivamente
J(X) = X 3
11
i
__.1g_
1-a2
!
i
-
1-
+a
2
2a
1-a2
3,..., - ,..., 3
u;
-
-
(a+ b + c)X 2 + (ab + bc + ca)X - abc,
com
ab + bc + ca = abc (
1i
+
+ ~) E Z.
Segue, então, que f E Z[X]. Mas, como fé mônico, o critério de pesquisa de raízes racionais aplicado a f garante que a, b e e são inteiros.
Por fim, uma vez que a, b e c são positivos, as condições do enunciado
tg 20º + tg 10º
1 - tg 20º · tg 10°
1
1 = O.
Portanto, tg 10º é raiz do polinômio de coeficientes inteiros /(X) =
3X6-27X 4 +33X 2 -1, e basta mostrar que o mesmo não possui raízes
racionais. Para tanto, note inicialmente que, pela proposição 3.16, as
possíveis raízes racionais de f são ±1 ou ±!; entretanto, calculando
diretamente /(±1) e/(±!) concluímos que nenhum desses números é
D
igual a O, conforme desejado.
Exemplo 3.18. Prove que tg 10º é irracional.
tg 30º _
-
Solução. Se f(X) = (X - a)(X - b)(X - e), então a, b e e são as
raízes de f, ademais racionais. Por outro lado,
2,
chegamos a uma contradição.
ou, ainda,
u;
1- 3a2
3 Atê a década de 1990, Bósnia e Herzegovina, Croácia, Eslovênia, Kosovo,
Macedônia, Montenegro e Sérvia compunham um único país, a Iugoslávia.
60
Raízes de Polinômios
garantem que basta encontrarmos todos os a ~ b ~ e naturais para os
quais i + + ~ também seja natural. Este é um problema simples, o
qual será deixado ao leitor; as únicas soluções são os ternos
t
(a, b, e)= (1, 1, 1), (1, 2, 2), (3, 3, 3), (2, 4, 4) ou (2, 3, 6).
61
3.1 Raízes de polinômios
5. Existe um polinômio f E li [X], tal que
todo real x? Justifique sua resposta.
f (sen x)
= cos x para
6. Seja a =/=- br um número complexo. Prove que o polinômio X 2 + 1
divide o polinômio
f(X) =(cosa+ Xsenaf - cos(na) - sen(na)X.
D
7. (Canadá.) Seja f um polinômio não nulo e de coeficientes inteiros. Se f(O) e f(l) são ímpares, prove que f não possui raízes
inteiras.
Problemas - Seção 3.1
1.
* Mostre que a definição usual de função composta de duas funções de lK em JK, quando aplicada a polinômios f, g E JK[X] de
graus respectivamente m e n, produz um polinômio em JK[X],
de grau mn. Denotando tal polinômio também por f o g, mostre
ainda que a função polinomial associada ao mesmo coincide com
a função composta J o g, onde J e g denotam, respectivamente,
as funções polinomiais associadas a f e g.
2.
* Sejam a,
8. (Canadá.) Prove que não existem x, y e z inteiros não nulos em
PA, tais que x 5 + y 5 = z 5 .
9. Mostre que, dado n EN, existe um único polinômio4 fn tal que
fn(2cosfJ) = 2cos(nfJ),
para todo () E R Mostre ainda que:
(a) fi(X) = X, h(X) = X 2
Ík+2(X)
b e r números racionais, onde r > O é tal que .jr é
irracional. Faça os seguintes itens:
(b)
(a) Para k E N fixado, mostre que existem ak, bk E Q tais que
(a± b.Jrl = ak ± bkvr·
1 e, para k 2:: 1 inteiro,
= Xfk+1(X) - Ík(X).
f n é mônico, de coeficientes inteiros e grau n.
f n (z + ~) = zn + };, , para todo z E CC \ {O}.
10. Encontre todos os a E Q para os quais cos( mr) E Q.
(b) Se f E Q[X] \ {O}, prove que f(a + b.jr) = O {::} f(a -
b.jr) =
(c)
-
o.
3. Uma das raízes do polinômio X +
+ X + bX - 2 é 1- J2.
Encontre as demais raízes, sabendo que a e b são ambos racionais.
4
aX 3
11. (BMO.) Param E Z, prove que o polinômio
X4
-
1994X 3 + (1993 + m)X 2
-
llX + m
2
4. Sejam dados a, b E JK, sendo a=/=- O. Para f E JK[X] \ {O}, prove
que o resto da divisão de f por aX + b é igual a f (- ~).
não possui duas raízes inteiras distintas.
4 0s polinômios f n de que trata este problema são conhecidos na literatura como
os polinômios de Chebyshev, em homenagem ao matemático russo do século
XIX Pafnuty L. Chebyshev.
Raízes de Polinômios
62
3.2 Raízes da unidade e contagem
3.2
12. (AIME.) Encontre todos os reais a e b tais que X 2 -X -1 divide
ax11 + bX16 + 1.
13. (Moldávia.) Seja n > 4 um natural dado e p um polinômio ..,.·.••_:·.
mônico, de grau n e com n raízes inteiras distintas, uma das
quais igual a O. Calcule o número de raízes inteiras e distintas
do polinômio p(p( X)).
1
t
14. (Áustria-Polônia.) Seja f(x) = ax 3 + bx 2 +ex+ d um polinômio
de coeficientes inteiros e grau 3. Prove que não é possível achar
quatro primos distintos p 1 , p 2 , p 3 e p 4 para os quais
1
[
Í
63
Raízes da unidade e contagem
Nesta curta seção, paramos momentaneamente a apresentação da
teoria geral de polinômios para ilustrar o papel das raízes da unidade
como ferramenta de contagem. Uma vez que a aplicabilidade de argumentos algébricos em Combinatória é muitíssimo mais ampla do
que conseguiremos mostrar aqui, recomendamos ao leitor a excelente
referência [55] para uma abordagem abrangente.
Comecemos examinando, no exemplo a seguir, como utilizar números complexos como marcadores.
1
15. (Canadá.) Seja p(X) = xn + an_ 1 xn- 1 + · · · + a 1X+ a0 um
polinômio de coeficientes inteiros, e suponha que existam inteiros
distintos a, b, e e d tais que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5. Prove
que não existe inteiro m tal que p( m) = 8.
J_._;
l
16. Ache todos os valores k E N tais que o polinômio X 2 +X+ 1
divide o polinômio X 2k + 1 +(X+ 1) 2k.
Para o exemplo a seguir, lembre-se (cf. parágrafo anterior ao
problema 1.4.11 de [13]) de que um multiconjunto é uma coleção
l
{{a1,{a{2 , ... , an}} de}}eleme{n{tos não neces}s}ariamente distintos, (
com
a 1 , a2 , ... , an
= b1 , b2 , ... , bm se m = n e cada
elemento aparecer uma mesma quantidade de vezes em cada um
deles.
17. Sejam { {a1, a2, ... , an}} e {{b1, b2, ... , bn}} dois multiconjuntos
distintos, cada um dos quais formado por inteiros positivos. Se
prove que n é uma potência de 2.
1·.••.·.
1
Exemplo 3.20. Em um círculo há n > 1 lâmpadas igualmente espaçadas. Inicialmente, exatamente uma delas está acesa. Uma operação
permitida sobre o estado das lâmpadas é escolher um divisor positivo d
de n, tal que d< n, e mudar o estado de J lâmpadas igualmente espaçadas, contanto que o estado inicial de todas elas seja o mesmo. Existe
uma sequência de operações que deixe todas as n lâmpadas acesas?
Prova. Não. Por contradição, suponha, sem perda de generalidade,
que o círculo é o círculo unitário do plano complexo e que as lâmpadas estão posicionadas nos pontos 1, w, ... , wn- 1 , onde w = eis 2; .
Suponha ainda (também sem perda de generalidade) que a lâmpada
inicialmente acesa está posicionada em 1.
Para k 2: O, seja ak a soma dos números complexos associados às
lâmpadas acesas imediatamente antes da ( k + 1)-ésima operação, de
sorte que a0 = 1. Na (k + 1)-ésima operação, escolhemos lâmpadas
posicionadas em
1
ll
't.
l
para algum par (l, d) de inteiros tais que O ~ l <de d I n, com d< n.
Raízes de Polinômios
64
=
ak ± (wz
ak ±
+ wl+d + wz+2d + ... + wz+(~-1)a)
wz+(~-1)a. wª _ wl
d
= ak,
w -l
e segue que ak = 1, para todo k ~ O.
Por fim, se após m operações todas as lâmpadas resultassem acesas,
teríamos
am = 1 + w + · · · + wn = o,
o que é uma contradição.
D
Agora, dados m, n,p E N, consideremos a tarefa de construir um
retângulo m x n utilizando peças 1 x p. Contando quadradinhos 1 x 1,
obtemos uma condição necessária óbvia para que a construção proposta seja possível: p deve dividir mn. Por outro lado, é claro que,
se p dividir m ou n, então tal construção é sempre possível: sendo,
por exemplo, m = pk, com k E N, podemos montar nosso retângulo
m x n justapondo k retângulos p x n, cada um dos quais construído
empilhando n peças 1 x p. O fato interessante é que a recíproca da
discussão acima é verdadeira, i.e., só será possível montar nosso retângulo se p dividir m ou n. Esse é o conteúdo do teorema a seguir,
devido ao matemático americano David Klarner 5 .
Teorema 3.21 (Klarner). Sejam m, n, p naturais dados. Se pudermos cobrir um tabuleiro m x n usando peças 1 x p, sem sobras ou
superposições de peças, então p deve dividir m ou n.
Prova. Suponha que possamos cobrir o tabuleiro como se pede e notemos inicialmente que p :S max{m, n}. Particione o tabuleiro em m
linhas 1 x n e n colunas 1 x m, numerando as linhas de cima para baixo,
de 1 a m, e as colunas da esquerda para a direita, de 1 a n (como em
5 Cf.
[36]. Contudo, a demonstração apresentada difere da original.
65
urna matriz m x n). Em seguida, escreva, na casa do tabuleiro situada
à linha i e coluna j, o número complexo wi+í, onde w = eis 2p1r.
Calculemos, agora, a soma dos números escritos nas casas do tabuleiro de duas maneiras distintas (eis aqui uma contagem dupla!). Por
um lado, tal soma é claramente igual a
Mas, uma vez que wn = 1, temos
ªk+i
3.2 Raízes da unidade e contagem
onde utilizamos o lema 1.12 na igualdade acima; por outro, como estamos supondo ser possível cobrir o tabuleiro como pedido, os números
escritos no mesmo podem ser agrupados em conjuntos de p números,
correspondentes às p casas horizontais ou verticais cobertas por cada
peça 1 x p utilizada. Tais conjuntos de p números dão origem a somas
de um dos tipos
ou
wi+j
+ w(i+l)+í + · · · + w(i+p-l)+í,
conforme a peça 1 x p seja respectivamente horizontal ou vertical.
Novamente pelo lema 1.12 e pela primeira fórmula de de Moivre, cada
uma de tais somas é igual
·+·
wi
3
(1
. . wP + w + · · · + wP- 1 ) = wi+J
·
1
w-l
=O
e, portanto, a soma de todos os números escritos no tabuleiro deve
também ser igual a O. Então, segue de (3.4) que (wn - l)(wm -1) = O
ou, ainda, que
. 2mr
. 2m1r
ClS - - = 1 OU ClS - - = 1.
p
p
Por fim, é imediato, a partir de tais igualdades, que p divide n ou
m.
D
Raízes de Polinômios
66
O teorema a seguir traz urna ferramenta algébrica bastante útil em
várias situações combinatórias, sendo conhecida corno a fórmula de
multiseção.
67
3.2 Raízes da unidade e contagem
D
Exemplo 3.23 (Polônia). Para cada inteiro positivo n, calcule, em
Junção de n, o valor da soma
Teorema 3.22. Para f E C[X] \ {O}, denote por ak o coeficiente de
Xk em f. Se p é um número primo e w
unidade, então
-=/:-
1 é uma raiz p-ésima da
1
L ak = -(f(l)
+ f(w) + · · · + f(wP- 1)).
Plk
(3.5)
Prova. Corno f(X)
ternos
= Lf2_o ajXj,
k=O
k=O
j20
f(X) =(X+ 1)" =
j20
k=O
p-1
=
(3.6)
LªjLWjk.
j20
k=O
Note agora que, se p I j, então wjk = 1 para todo k, de sorte que
I:,~;:~ wjk = p. Por outro lado, se p f j, então o itern (a) da proposição
6.3 de [14] garante que {O, j, 2j, ... , (p - l)j} é urn SCR6 módulo p.
Portanto, ainda nesse caso, ternos
p-I .k
L w3
=
k=O
Lp-1 k
w =
k=O
wP - 1
w-1
p-1
Lf(wk)
k=O
p-1
=
L ª j Lwjk
j20
k=O
=
t. (~)x•
Sendo w = eis 2; , raiz cúbica da unidade, ternos 1 + w
segue, da fórmula de rnultiseção aplicada a f, que
L (n)
k
=
3lk
+ w2 =
Oe
1
3 (f(l) + J(w) + f(w 2))
= O,
e (3.6) fornece
LªPz]p
l20
=p Lªpl =p Lªk·
l20
plk
que um sistema completo de restos (abreviado SCR) módulo pé um
conjunto {a 0 , a 1 , ... , ap-I} de números inteiros tais que, a menos de uma permutação, tenhamos aj = j (modp), para O:::; j:::; p - 1.
6 Recorde
Solução. Seja
p
Note agora que, se 3 1 n, então wn = 1 e, daí, w 2n + wn = 2; se
3 f n, então wn = w ou w 2 , de sorte que w 2n + wn = w 2 + w = -1.
Portanto,
"(n)
"fu'
k
= {
n
(2n + 2(-lr)/3, se 3 I
(2n + (-lr+l)/3, se 3 f n
D
Raízes de Polinômios
68
Problemas - Seção 3.2
1. Prove a seguinte extensão do teorema de Klarner: dados números
naturais m, n, p e q tais que 1 < q ~ min {m, n, p}, podemos
particionar um tabuleiro m x n x p usando peças 1 x q se, e só
se, q dividir m, n ou p.
2. Podemos generalizar ainda mais o teorema de Klarner como segue (veja [36]): dados m 1 , ... , mn EN, seja
o conjunto das sequências (x 1 , ... , Xn) de inteiros positivos tais
que 1 ~ Xk ~ mk, para 1 ~ k ~ n. Um bloco de dimensões (1, ... , l,p) em A é um subconjunto de A formado por p
sequências (x 11 , ... , X1n), ... , (xp1, ... , x11n) satisfazendo a seguinte condição: existe 1 ~ k ~ n tal que:
(a) x 1j
=
x 2j
= ··· =
Xpj, para todo 1 ~ j ~ n, j
-=/:-
69
3.3 O teorema fundamental da álgebra
4. Seja num natural dado e, para O~ k ~ 2n, seja ak o coeficiente
de Xk na expansão de f(X) = (1 + X + X 2 t. Calcule, em
função de n, o valor da soma
5.
* Generalize a fórmula de multiseção do seguinte modo:
dados
f E C[X] \ {O}, p primo ímpar e O ~ r ~ p - 1 inteiro, se w -=/:- 1
é uma raiz p-ésima da unidade, então
L
k:r (modp)
ak =
1
p-1
LW(p-l)rj f(wí),
j=O
onde ak denota o coeficiente de Xk em
f.
6. Calcule, em função de n, o valor da soma
k.
(~) + (~) + (;) + (~) + ....
(b) (xlk, x 2k, ... , Xpk) é uma sequência de p inteiros consecutivos.
Dizemos que o conjunto A pode ser particionado em blocos de
tamanho (1, ... , 1, p) se A puder ser escrito como a união disjunta de blocos desse tipo. Prove que tal é possível se, e só se, p
dividir um dos números m1, ... , mn.
3. (Rússia.) Desejamos particionar o conjunto dos naturais de quatro algarismos em conjuntos de quatro números cada, de modo
que a seguinte propriedade seja satisfeita: os quatro números de
cada conjunto têm os mesmos algarismos em três posições e, na
posição restante, seus algarismos são consecutivos (por exemplo,
uma possibilidade para os quatro números de um conjunto poderia ser 1265, 1275, 1285 e 1295). Prove que não existe uma tal
partição.
3.3
O teorema fundamental da álgebra
Como caso particular do corolário 3.9, todo polinômio de coeficientes complexos e grau n possui no máximo n raízes complexas. Por
outro lado, o polinômio f(X) = X 2 -2 E Q[X] tem coeficientes racionais mas não admite raízes racionais; da mesma forma, o polinômio
g(X) = X 2 + 1 E IR[X] tem coeficientes reais mas não admite raízes
reais. Em ambos os casos, o fato de tais polinômios não admitirem
raízes em Q ou IR se deve a deficiências de tais conjuntos numéricos,
no sentido de que, neles, não é possível realizarmos certas extrações
de raízes.
Em sua tese de doutoramento, em 1799, o matemático alemão Carl
F. Gauss mostrou, contrariamente aos casos examinados acima, que
Raízes de Polinômios ·.
70
todo polinômio sobre C admite raízes também em C. Esse é o conteúdo
do teorema a seguir, conhecido na literatura como o teorema fundamental da álgebra. A demonstração que apresentamos é devida ·•
a Jean-Baptiste le Rond d'Alembert, matemático francês do século.
XVIII.
Teorema 3.24 (Gauss). Todo polinômio
menos uma raiz complexa.
f
E
C[X] \
(C
lf(zo)I = min{lf(z)I; z E C, lzl ~ R}.
Portanto, segue do que fizemos acima que
· lf(zo)I = min{IJ(z)I; z E C}.
Por contradição, suponha que f(z 0 ) =/:- O e mostremos que existe
h E C tal que lf(zo+h)I < lf(zo)I. Para tanto, comecemos observando
que é imediato que existem Co, c1, ... , Cn E C, independentes de h e
tais que
f (Zo
+ h)
=
=
ªn-1
ªn-2
. ao I
an+--+--+···+z
z2
zn
1
> lzln (lanl _ lan-. 11 _ lan-21 _ ... _ laol) .
lzl
-
lzl 2
lzln
71
Agora, na seção 9.2 mostraremos (veja o corolário 9.20) que existe
zo E C tal que Izo 1 ~ R e
possui ao:
Prova. Por comodidade de notação, escrevamos f(z) = anzn + · · · +
a 1 z + a0 para denotar a função polinomial associada a f; sem perda
de generalidade, podemos supor a0 =/:- O.
Para z =/:- O, a desigualdade triangular para números complexos nos,
dá
li( z )1= 1z ln
3.3 O teorema fundamental da álgebra
+ h) + · · · + an (Zo + hr
Co + C1h + ' · · + Cnhn;
ao + a1 (Zo
ademais, c0 = f(zo) =/:- O e Cn = an =/:- O. Tome o menor 1 ~ k ~ n, tal
que ck =/:- O. Então, fazendo di = ~~ para O~ j ~ n, temos
Portanto, para
~ 11 + dkhkl
=
temos
lan-k 1
lzlk
<~
de sorte que
2n '
11
+ ldk+lhk+l + ·'' + dnhnl
+ dkhkl + ldkhkl Idk+l h + · · · + dn hn-kl.
dk
Agora, estimativas análogas às que fizemos com o auxílio de (3.7), nos
~ r =}
permitem escolher r > Otal que lhl
Então,
Mas, como lzl
>
n
1 temos
2~:
1,
lanllzln > 2nlaol e, daí, IJ(z)I >
nlaol ~ laol·
Em resumo, denotando por R o segundo membro de (3.7), concluímos que
lzl > R
=}
dk
IJ(z)I > laol = lf(O)I.
lhl
<r
-
=}
1
d:: h + · · · + thn-kl < !·
1
lf(zo + h)I < 11 + d hkl
lf(zo)I
Seja dk = seis a e faça h
Moivre nos dá
-
k
+ !ld hkl
2
k
= reis (:1. A primeira fórmula de de
k .
1 k
lf(zo + h) I
- - < 11 + sr c1s(a + kO)I +-sr·
lf(zo)I
-
·
2
'
72
Raízes de Polinômios
+ k()
portanto, escolhendo () E lR. de modo que a
() = 1r,/x), obtemos
lf(zo + h)I
lf(zo)I
= 1r (i.e., tomando
~ 11 + srk cis1rl + ~srk
= ll =
srkl
+ 21 srk
1
2
<1
1- -sr
sempre que srk < 1, i.e., O< r <
k
'
+ h)I <
IJ(zo)I.
Corolário 3.26. Se f(X) = anXn + · · · + a1X + a0 é um polinômio
de coeficientes complexos e grau n 2: 1, então, dado a E C, existem
zi, ... , Zn E (C tais que f(zk) = a, para 1 ~ k ~ n.
=
f(X) D
Voltando ao caso geral, seja f(X) = anXn + · · · + a1X + a0 um
polinômio não nulo com coeficientes em K. Se existirem elementos
a 1 , ... , an E K para os quais
D
Uma consequência imediata do teorema fundamental da álgebra é
dada pelo corolário a seguir.
Corolário 3.25. Se f (X) = anXn + · · · + a1X + a0 é um polinômio
de coeficientes complexos e grau n 2: 1, então existem n números
complexos z1, ... , Zn tais que
f(X) = an(X - z1) ... (X - Zn)·
73
Prova. Aplique o corolário anterior ao polinômio g(X)
a.
{jf. Com um tal r (e, logicamente,
com oh correspondente), temos lf(zo
3.3 O teorema fundamental da álgebra
(3.8)
A expressão acima é a forma fatorada do polinômio f.
Prova. Façamos a prova por indução sobre o grau n de f, sendo o
caso n = 1 imediato. Suponha, pois, n > 1 e o corolário válido para
todo polinômio de coeficientes complexos e grau n - 1.
Se z1 E C é uma raiz de f, o teste da raiz garante a existência de
um polinômio g, também de coeficientes complexos, tal que f(X) =
(X - z1)g(X). Note que g tem grau n - 1 e coeficiente líder an;
portanto, por hipótese de indução existem z2 , ... , Zn E C tais que
g(X) = an(X - z2) ... (X - zn)· Logo, f(X) = (X - z1)g(X)
an(X - z1)(X - z2) ... (X - Zn) e nada mais há a fazer.
D
Uma variante do corolário acima é dada pelo resultado a seguir.
também diremos que tal expressão é a forma fatorada de f sobre K.
Uma vez que alguns dos a/s podem aparecer repetidos, se considerarmos apenas os ai distintos concluímos, após uma possível reenumeração dos mesmos, que existem 1 ~ m ~ n e k1 , ... , km inteiros
positivos tais que
com k1 + · · · + km
K
=
n e a 1 , ... , am elementos dois a dois distintos de
Exemplo 3.27. Dado n > 1 um natural, faça os seguintes itens:
(a) Obtenha a forma fatorada do polinômio f(X)
···+X+l.
=
xn-l + xn- 2 +
(b) Se A 1 A 2 ... An é um polígono regular de n lados inscrito num
círculo de raio 1, calcule o valor do produto A1 A2 · A1A3 · ... ·
A1An.
Solução.
(a) Uma vez que
(X - l)f(X) = (X - l)(xn-l
+ xn- 2 +···+X+ 1) = xn -1,
74
Raízes de Polinômios
as raízes complexas de f são precisamente as raízes n-ésimas da unidade distintas de 1. Por (1.18), tais raízes são os números complexos
w, w2, ... , wn-l, onde w = eis 2; . Logo, a forma fatorada de f é
f(X) = (X - w)(X - w2 )
...
(X - wn- 1).
(b) Suponha, sem perda de generalidade, que o círculo de raio 1 que
circunscreve o polígono A 1A 2 ... An é o círculo unitário centrado na
origem do plano complexo e que A 1 = 1 e A 2 = w, onde w = eis 2n7!".
Então, Aj = wj-l para 1 ::; j ::; n, de sorte que
--2
n-1
A1A2 · A1A3 · ... · A1An = 11- wlll - w I · .. 11- w I
= 1(1 - w)(l - w2 ) ... (1 - wn- 1)1
--
3.3 O teorema fundamental da álgebra
75
4.
* Prove que todo polinômio de coeficientes reais e grau ímpar
tem um número ímpar de raízes reais. Em particular, um tal
polinômio sempre tem pelo menos uma raiz real.
5.
* Sejam f E CQ[X] um polinômio de grau n e a -=/:- O uma raiz
complexa de f. Dado m E Z, prove que existem b0 , b1, ... , bn-l E
CQ tais que
(3.9)
6. Seja f(X) = anXn + an_ 1xn- 1 + · · · + a1X + a0 um polinômio
de coeficientes complexos e grau n 2:: 1. Se z E (C é uma raiz de
f, prove que
lzl :S max { 1, ~:I},
= IJ(l)I = n.
onde A= max{laol, la1I, ... , lan-11}.
D
7.
Problemas - Seção 3.3
1. Prove que a fórmula que dá as raízes de uma equação do segundo
grau ainda é válida para calcular as raízes complexas de aX 2 +
bX + e, com a, b, e E C, sendo a-=/:- O.
2.
* Se
JR, prove que f(z) = O {::}
f(z) = O. Conclua, a partir daí, que todo polinômio não nulo
de coeficientes reais possui um número par de raízes complexas
não reais.
f E JR[X] \ {O} e z E
(C \
3. Dê um exemplo para mostrar que o resultado do problema anterior não é mais válido caso f tenha coeficientes não reais.
* Seja f(X) = anXn + an_ 1xn- 1+ · · ·+ a1X + a0 um polinômio
de coeficientes inteiros tal que an 2:: 1, e k > 2 um inteiro tal que
lail :S k, para O :Si < n. Se zé uma raiz complexa de f, prove
que Re(z) < 1 +
l
8. Um polinômio f sobre (C da forma f(X) = aX 4 + bX 3 + cX 2 +
bX + a, com a -=/:- O, é denominado recíproco de quarto grau.
Calcule suas raízes e, em seguida, formule e resolva o problema
análogo para polinômios de grau seis.
9. (Canadá.) Seja f um polinômio de grau n, tal que J(k)
para todo inteiro O ::; k ::; n. Calcule f (n + 1).
=
k!i,
10. Suponha que as raízes complexas do polinômio X 3+ pX 2+ qX +
r sejam todas reais e positivas. Mostre que tais raízes são os
comprimentos dos lados de um triângulo se, e só se, p3 - 4pq +
8r > O.
76
Raízes de Polinômios
11. Para n > 2 inteiro, prove que
1r
21r
31r
(n - 1)1r
sen - sen - sen - ... sen
n
n
n
n
A proposição a seguir lista as principais propriedades básicas de
derivadas de polinômios.
n
= --.
2n-1
12. Dado um inteiro positivo m, prove que:
(a) sen
1r
2m
sen
21r
2m ...
(m-l)1r _
sen ~ -
1r
21r
(b) sen 2m+l
sen 2m+l
...
m1r
sen 2m+l
(a)
2m-l ·
(b)
v'2m+ 1
~·
13. (Romênia.) Encontre todos os polinômios não constantes p, de
coeficientes reais e tais que p(X 2) = p(X)p(X - 1).
3.4
Raízes múltiplas
Definição 3.28. Para um polinômio f (X) = anXn + · · ·+ a 1 X + a0 E
C[X], definimos a derivada f' E C[XJ de f como o polinômio
se
of > O.
= nanxn-l + (n -
Senão, definimos
l)an-2xn- 2 + · · · + 2a2X
+ a1
f' = O.
A regra para a obtenção da derivada de um polinômio é bastante
simples: a derivada de um polinômio constante é o polinômio identicamente nulo; a derivada de um polinômio de grau n ~ 1 é obtida
apagando seu termo constante e efetuando, para 1 :s; k :s; n, a troca
de monômios
1
1..
(~:=1adi)'= ~:=l adI.
(n:=11i)' = ~:=11i ... 1: ... Ík·
Prova.
(a) Imediato, por indução sobre k ~ 1. (Observe que os casos iniciais
são k = 1 e k = 2.)
(b) Considere, primeiro, dois polinômios
Seja f um polinômio de coeficientes complexos. No que segue,
convencionamos dizer que z E C é raiz de multiplicidade zero de f
se z não for raiz de f. Queremos, nesta seção, encontrar um critério
que nos permita decidir se z é ou não raiz múltipla de f e, caso o
seja, calcular sua multiplicidade. Para tanto, precisamos da definição
a seguir.
J'(X)
Proposição 3.29. Para !1, ... , Ík E C[X] e a1, ... , ak E C, temos:
,jm
_
-
77
3.4 Raízes múltiplas
f
e g dados por
Omitindo X quando conveniente, segue de (a) que
Por outro lado,
m
i=O
m
m
. ·b·Xj+i-1
-- ~
L.....J Jª1
i
+~
. ·b·Xj+i-1
L.....J ia]
i
Í=Ü
Í=Ü
m
m
i=O
i=l
Raízes de Polinômios
78
Portanto, voltando à expressão anterior para (! g )', obtemos
,,,
i
(b} Se z for raiz de f e for raiz de multiplicidade m-1 de f', então
z é raiz de multiplicidade m de f.
n
(Jg)' = L[(aiXi)'g + aiXig']
Prova.
(a) Seja f(X) = (X - z)mg(X), com g(z)
sição anterior e seu corolário nos dão
j=O
= (t(aiXi)') g + ( t aixi) g'
J=O
=
J=O
= (X -
J=O
+ fg',
onde utilizamos novamente o item (a) na penúltima igualdade. Por
fim, a extensão para k polinômios li, ... , fk é imediata por indução.
.
D
Corolário 3.30. Dados g E C[X] e n E N, se f(X) = g(X)n, então
f'(X) = ng(X)n- 1g'(X). Em particular, se f(X) = (X - a)n, então
1.
f'(X) = n(X -
ar-
Prova. Fazendo k
anterior, obtemos
= n e li=···=
fn
= g no item (b) da proposição
=
O item (b) da propo-
+ (X - z)mg'(X)
z)m- 1 [mg(X) + (X - z)g'(X)].
Portanto, sendo h(X) = mg(X)+(X-z)g'(X), temos h(z) = mg(z) =J
O e f'(X) = (X - z)m- 1 h(X). Pela definição, segue que z é raiz de
multiplicidade m - 1 de f'.
(b) Seja f(X) = (X -z)kg(X), com g(z) =J Oe k ~ 1. Pelo item (a), a
multiplicidade de a como raiz de f' é k- l, de modo que k-1 = m-1
e, daí, k = m.
D
Corolário 3.32. Se z E (C e f E C[X] \ {O}, então z é raiz múltipla
de f se, e só se, f(z) = f'(z) = O.
Prova. Imediata, a partir da proposição anterior.
Lg(xr- 1 g'(X)
D
Exemplo 3.33. Prove que, para todo inteiro positivo n, o polinômio
n
J'(X)
=J O.
J'(X) ~ m(X - z)m-lg(X)
(taixi)' g + fg'
= f'g
79
3.4 Raízes múltiplas
=
ng(xr- 1 g'(X),
x2
xn
l+X+-+ .. · + -
i=l
O caso particular segue daí, pondo g(X) = X - a.
D
A proposição a seguir vincula a multiplicidade de uma raiz de um
polinômio às derivadas do mesmo.
Proposição 3.31. Seja f um polinômio não nulo de coeficientes complexos e z um complexo dado.
( a) Se z for raiz de multiplicidade m ~ 1 de f, então z é raiz de
multiplicidade m - 1 de f'.
2!
n!
não tem raízes múltiplas.
~t
Prova. Seja f (X) = 1 +X+ + · · · + -:~, e suponha que f tem uma
raiz múltipla z. Então, pelo corolário anterior, temos f(z) = f'(z) = O.
Agora, uma vez que f(X) = f'(X) +-:~,seguiria daí que
zn
o= f (z) = f' (z) + -,
'
n.
i.e., z
= O. Mas, como f(O) = 1 =J O, chegamos a uma contradição. D
Raízes de Polinômios
80
81
3.4 Raízes múltiplas
A fim de refinar o corolário anterior precisamos, inicialmente, generalizar a definição 3.28.
Agora
Definição 3.34. Para f E C[X] \ {O}, definimos a k-ésima derivada
de f, denotada J(k), por
e
f(z) = · · · = J(m-l)(z) =O=* k S m
D
j(k)
{ f,
se k = O
= (J(k-I))', se k ~ 1
f'; daí, J( 2) =
Segue da definição acima que J(l) = (!( 0 ) )'
(j( 1l)' = (!')', de sorte que denotamos J(2) = f". Analogamente,
sempre que conveniente, denotamos j(3) = f"', etc.
Se f = n e O :S k :S n, então uma fácil indução garante que
a J(k) S n - k; em particular, a f(n) = Oe, daí, j(n+l) = f(n+ 2 ) = · · · =
a
o.
Corolário 3.35. Se z E (C e f E C[X] \ {O}, então z é raiz de
multiplicidade m ~ 1 de f se, e só se,
f(z) = · · · = j(m- 1l(z) = O e j(ml(z) -1- O.
Prova. Suponha, primeiro, que z seja raiz de multiplicidade m de f.
Repetidas aplicações do item (a) da proposição 3.31 nos dão, por um
lado,
f(z) = · · · = f(m-ll(z) = O
e, por outro, que z é raiz de multiplicidade zero de f(m), 1.e., que
f(m)(z) -1- O.
Reciprocamente, suponha a condição do enunciado satisfeita e sejam k E N e g E C[X] tais que J(X) = (X - z)kg(X), com g(z) -1- O.
Novamente pelo item (a) da proposição 3.31, para O :S j :S k temos
que z é raiz de multiplicidade k - j de JU). Em particular,
J(z) = · · · = j(k-I)(z) = O e j(kl(z) -1- O.
Nosso propósito, no restante desta seção, é mostrar que, se f E
C[X] \ {O} tem grau n e z E C, então f é totalmente determinado
pelos valores j(k)(z), para O :S k :S n. Antes, contudo, precisamos de
mais duas consequências da proposição 3.31.
Corolário 3.36. Seja f E C[X] tal que f = O ou a f :S n. Se z E (C
é tal que f(z) = · · · = f(n)(z) = O, então f = O.
Prova. Se f -1- O, o corolário anterior garante que z é raiz de multiplicidade pelo menos n + 1 de f. Mas, como f :S n, chegamos a uma
contradição.
D
a
Corolário 3.37. Sejam f, g E C[X] \ {O}, com af, ag :S n. Se existe
z E (C tal que
J(z) = g(z), ... , J(nl(z) = g(n)(z),
então f = g.
Prova. Basta aplicar o corolário anterior a f - g, notando (a partir
da definição 3.34 e por indução sobre k ~ 1) que
D
O resultado a seguir é conhecido como a fórmula de Taylor para
polinômios, sendo uma consequência imediata do corolário acima.
82
Raízes de Polinômios .:
Teorema 3.38. Se z E <C e f E <C[X] \ {O} tem grau n, então
f(X)
=
f(z)
+
j(I)(z)
l!
(X - z)
+ ··· +
Problemas - Seção 3.4
f(n)(z)
(X - zr.
n!
(3.10) '.
1. Ache todos os valores inteiros de a para os quais o polinômio
f(X)
Prova. Defina
g(X)
11,
n
f(z)
=
f'(z)
+ 11 (X -
z)
+ ··· +
f(n)(z)
n!
2.
(X - zr.
Como f =/= O, segue do corolário 3.36 que ao menos um dentre os
números f(z), f'(z), ... , f(n)(z) é não nulo; portanto, g =!= O. Por ,
outro lado, é imediato verificar que, para O :::; k :::; n, temos
g(k\X)
=
=
X3
_:_
aX 2 + 5X - 2 possui raízes múltiplas.
* Generalize parcialmente o item
(a) da proposição 3.31, mostrando que, se f, g E <C[X] são tais que g(X) 2 1 /(X), então
g(X) 1 f'(X).
3.
(j)
* Para z1, ... , Zn E <C, seja f(X)
=
j=k
f'(z) _ n _l_
f(z) - ~ z-z··
e, daí, que
J=l
f(z)
=
g(z), f'(z)
=
g'(z), ... , j(n\z)
=
(X - z1) ... (X - Zn)· Prove
que, para z E <C \ {z1, ... , Zn}, temos
L (J~ - (z)k)! (X - z)i-k
n
83
3.4 Raízes múltiplas
J
g(n)(z).
Mas, como f e g têm graus menores ou iguais a n, segue do corolário
D
anterior que f = g.
4.
* Generalize o problema anterior provando que, se li, ... , Ík
<C[X], f =li ... Ík e z
Exemplo 3.39. Seja f E JR[X] \ {O} e a E :IR tal que f(a) = O ·
e J(k)(a) ~ O, para todo k ~ 1. Prove que f não possui raízes no
f'(aj
E
E
<C não é raiz de f, então
fl(aj
fl(aj
--=--+
.. ·+-f(z)
f1(z)
Ík(z)'
intervalo (a, +oo).
5. (Estados Unidos.) Para cada conjunto não vazio e finito S de
números reais, sejam a(S) e 1r(S), respectivamente, a soma e o
produto de seus elementos. Prove que
Prova. Pela fórmula de Taylor, temos
f(X)
f'(a)
=
11 (X - a)+···+
f(n)(a)
n!
(X - ar,
onde n = 8f. Mas, como f =/= O, ao menos uma das derivadas J(k)(a),
para 1 ::S k ::S n, é positiva. Assim, sendo x > a um número real e
f(j)(a) > O, temos
f(x)
=
f'(a) (x - a)+ ... + f(n)(a) (x - ar
1!
(j)
~ f .~a) (X
J.
n!
- a)i > O.
D
'"""
L.....J -a(S) = n 2 + 2n 0-#SCln
1r(S)
(
1
1) (n + 1).
1 + - + ···+ 2
n
6. Prove o seguinte teorema de Gauss: se f(X) = anXn + · · · +
a1X +ao é um polinômio de grau maior que 1 e coeficientes complexos, então as raízes de f' estão contidas no menor polígono
convexo (possivelmente degenerado) do plano complexo que tem
as raízes de f como vértices.
Raízes de Polinômios
84
7.
* Se
fé um polinômio de coeficientes inteiros e grau n e a E Z,
JUl (a)
'71
Ü
prove que j , - E u..,, para
::::; J. ::::; n.
8. Seja f um polinômio de coeficientes inteiros e p um primo que
não divide seu coeficiente líder. Sem é um natural tal que
f(m) - O(modp) e J'(m)
prove que, para todo k EN, existe
mk
t
CAPÍTULO 4
O(modp),
EN tal que
Relações entre Coeficientes e Raízes
Nosso propósito neste capítulo é formalizar e provar algumas relações importantes entre as raízes de um polinômio em uma indeterminada, resultados estes denominados genericamente de relações entre
coeficientes e raízes de um polinômio. Também, discutimos um importante teorema de Newton sobre polinômios simétricos, o qual se
revelará de importância central para a discussão do capítulo 8.
Para o que segue, lembre-se de que lK denota Q, IR ou C.
4.1
Polinômios em várias indeterminadas
Fixado n EN, um polinômio
uma soma de monômios do tipo
f
85
a n indeterminadas sobre lK é
Relações entre Coeficientes e Raízes
86
onde ai 1 .. .in E K e ii, ... , in variam em Z+, sendo ai 1 ...in = O para
quases todas (i.e., para todas, exceto um número finito de) sequências
(ii, ... , in) de inteiros não negativos. Nesse caso, escrevemos
f = /(Xi, X2, ... 'Xn) =
L
ªi1 ...inxf1... x~n.
i1, .. ,,in~O
O grau de um polinômio
f
como acima é o maior valor possível para
a soma ii + · · · + in, tal que ªii.,.in =/; o.
Denotamos por OC[Xi, ... , Xn] o conjunto dos polinômios a n indeterminadas sobre K. Sobre tal conjunto definimos, de maneira óbvia,
operações
4.1 Polinômios em várias indeterminadas
87
um polinômio em K[Xi, X2, X 3 ]; escrevendo
consideramos f como um polinômio em X 3 , cujos coeficientes estão
em K[Xi, X2].
Se/, g E K[Xi, ... , Xn] são dados por
/(Xi, X2, ... 'Xn) =
L
ªi1, ..inxf1... x~n
L
bi1 ...inxf1.. . x~n,
i1, ... ,in~O
e
g(Xi,X2, ... ,Xn) =
i1, ... ,in~O
e
respectivamente denominadas adição e multiplicação, as quais se
reduzem às operações de adição e multiplicação sobre K[X] quando
n = 1 e continuam gozando das mesmas propriedades dessas operações. Por exemplo, se /(Xi, X 2) = X;+ XiX2 + X? e g(Xi, X2) =
Xf - v'2XiX2, então
/(Xi, X2)
+ g(Xi, X2) = x; + (1 -
v'2)XiX2 + Xf + xg
e
/(Xi,X2) · g(Xi,X2)
=
dizemos que f e g são iguais quando ai 1...in = bi 1...in, para todas as
escolhas possíveis de índices ii, ... , in E Z+.
Fixados Xi, X2 ... , Xn E K, definimos o elemento /(xi, x2, ... , Xn) E
Kpor
i1, ... ,in
A proposição a seguir nos dá uma relação entre tais elementos de K e
a noção de igualdade de polinômios em várias indeterminadas.
Proposição 4.1. Sejam f,g
são conjuntos infinitos, então
E
K[Xi, ... ,Xn]· Se Ai, ... ,An C K
Xf-v'2XfX2 +xtx2 -v'2X;X?
+ x:xg- J2xixi.
Dado f E K[Xi, ... , Xn], podemos considerar f como um polinômio
em Xi, com coeficientes em K[Xi, ... , Xi, ... , Xn], onde usamos o circunflexo A sobre Xi para indicar que todas as indeterminadas, menos
Xi, estão presentes. Por exemplo, seja
Prova. Se f = g, é claro que /(xi, X2, ... , Xn) = g(xi, X2, ... , Xn),
para todos xi, x2, ... , Xn E K e, em particular, para Xi E Ai, x 2 E A2,
··., Xn E An.
Reciprocamente, suponhamos que esta última condição seja satisfeita e provemos que f = g usando indução sobre o número n de
Relações entre Coeficientes e Raízes
88
indeterminadas. Já temos a validade da proposição para n = 1, pelo
corolário 3.10. Por hipótese de indução, suponha o resultado válido
para polinômios em n - 1 indeterminadas e escreva
4.1 Polinômios em várias indeterminadas
89
Observação 4.2. Doravante, ao lidarmos com polinômios f em duas
indeterminadas, escreveremos em geral f(X, Y) em vez de f(X1 , X 2 ).
Uma notação análoga será usada para polinômios f em três indeterminadas: escreveremos f(X, Y, Z) em vez de f(X 1 , X 2 , X 3 ).
Exemplo 4.3. Escreva o polinômio (X+ Y + z)3 - (X3 + y3 + z3)
como produto de polinômios de grau 1.
1111
li
com Íi, 9i E OC[X2 , ••• , Xn] para todos OS i S m, OS j S p.
Fixados x 2 E A 2, ... , Xn E An, temos por hipótese de indução que
Solução. Fixe Y, z E JR.*, com y
g(X)
= f(X, Y,
=/:-
z, e considere o polinômio em X
z) = (X+ y + z) 3 - X 3 - (y 3 + z3).
Uma vez que
para todo x 1 E A1 , i.e., que
m
f(-y, Y, z) = (-y + y + z)3 - ((-y)3 + y3 + z3) = O,
p
Lfi(x2,···,xn)x{
j=O
=
L9i(x2,····,xn)x{,
j=O
para todo x 1 E A1 . Como o conjunto A1 é infinito, aplicando o coro-
temos pelo teste da raiz que o polinômio f(X, y, z) (em X) é divisível
por X - (-y) = X+ y. Analogamente, f é divisível por X+ z e, como
âg = 2, o item (c) da proposição 3.3 garante que
lário 3.10 aos polinômios
f(X, y, z)
m
J(X1, X2, ... , Xn)
=L
fi(x2, · · ·, Xn)Xf
ayz = f(O, y, z)
p
g(X1, X2, ... , Xn) =
a(X + y)(X + z),
sendo a E lR. a determinar. Avaliando a igualdade acima em O, obtemos
j=O
e
=
L 9i(x2, ... , Xn)Xf,
=
(y + z) 3 - (y 3 + z3) = 3yz(y + z),
de forma que a= 3(y + z). Logo,
j=O
concluímos que m = p e
f(X, y, z)
(4.2)
para Os j s m. Mas, como os elementos X2 E A2, ... , Xn E An fixados
foram escolhidos arbitrariamente, concluímos que (4.2) é válida para
todos x 2 E A 2, ... , Xn E An· Portanto, pela hipótese de indução segue
D
que Íi = gi para OS j S m, e (4.1) garante que f = g.
=
3(y + z)(X + y)(X + z)
e, daí, f(x, y, z) = 3(y+z)(x+y)(x+z), para todos x E JR. e y, z E JR.*,
com y =/:- z. Pela proposição 4.1, segue então que
f(X, Y, Z) = 3(Y + Z)(X + Y)(X + Z).
D
Relações entre Coeficientes e Raízes
90
Problemas - Seção 4.1
1.
* Se f
E JK[X1, ... , Xn] é não nulo, prove que existem conjuntos
infinitos A1 , ... , An C lK tais que f(x1, ... , Xn) =/:- O, para todos
X1 E A1, ... , Xn E An,
2. Faça os seguintes itens:
91
4.2 Polinômios simétricos
Um certo conjunto de polinômios simétricos, ditos elementares,
merece especial atenção. Explicitamos tais polinômios na definição a
seguir.
Definição 4.5. Para O ~ j ~ n, o j-ésimo polinômio simétrico
elementar em Xi, ... , Xn, denotado Sj = sj(X1, ... , Xn), é definido
como
(a) Prove que o polinômio (X - Y) 5 + (Y - Z) 5 + (Z - X) 5 é.
divisível pelo polinômio (X - Y)(Y - Z)(Z - X).
(b) Fatore o polinômio (X - Y) 5 + (Y - Z) 5 + (Z - X) 5 .
3. Fatore o polinômio (X+ Y + Z) 5 - X 5 - Y 5 - Z 5 como produto .
de três polinômios de grau 1 e um polinômio de grau 2.
4.2
Polinômios simétricos
O objeto de estudo dessa seção é isolado na definição a seguir.
Definição 4.4. Um polinômio f E JK[X1, ... , Xn] é simétrico quando
f(X1, X2,,,,, Xn)
=
f(Xu(l), Xu(2), · · ·, Xu(n)),
se j = O
se 1 ~ j ~ n
No caso n
3, por exemplo, temos
s0 = 1, s1 = X+ Y + Z, s2 = XY + Y Z + X Z, s3 = XY Z.
Para um natural n qualquer, não é difícil provar que Sj é de fato
simétrico. Por outro lado, a importância dos polinômios simétricos
elementares reside na proposição a seguir, sendo as relações (4.3) conhecidas como as relações de Girard 1 entre coeficientes e raízes de
um polinômio.
Proposição 4.6. Se f(X) = anXn + · · · + a 1X + a0 E JK[X] \ lK
se fatora completamente sobre JK, com raízes a 1 , ... , an, então, para
1 ~ j ~ n, temos
para toda permutação a de ln.
Sj (a1,,,,,an )
Para entender melhor a definição acima, considere os polinômios
f,g E JK[X, Y], dados por
f (X, Y)
=
= X 2 + Y 2 - XY +X+ Y e g(X, Y) = X 3 + Y 3 - X.
ªn-j
-_ (-1 )i -.
an
(4.3)
Prova. Por simplicidade de notação, denote sj(a 1 , ... , an) simplesmente por si(ai)· Escrevendo f(X) = an(X -a1)(X -a2) ... (X -an)
e expandindo os parênteses, obtemos
O primeiro é simétrico mas o segundo não, uma vez que
f(Y, X) = Y2
+X 2-
Y X+ Y +X= f(X, Y),
mas
g(Y, X)= Y 3
+X 3-
Y =/:- g(X, Y).
Igualando os coeficientes correspondentes nessa expressão para
naquela do enunciado, obtemos o resultado desejado.
1 Após
Albert Girard, matemático francês do século XVII.
f e
D
92
Relações entre Coeficientes e Raízes
A fim de ilustrar o que a proposição acima diz e o que ela não
diz, considere as raízes complexas a, f3 e I do polinômio f(X) =:::
X 3 - 2X 2 + 1. Pelas relações de Girard, temos
~
todas as raízes complexas de f são reais. Mas, se
tais raízes, as relações de Girard fornecem
n
Lªi = -ªn-1
i=l
Porém, vale observar que tais relações não trazem informação suficiente para calcularmos a, {3 e 1 ; de fato, ao tentarmos resolver o sistema
formado pelas igualdades acima, recaímos nas equações polinomiais .
f(a) = O, f(f3) = O e J(r) = O. Senão, vejamos: multiplicando ambos
os membros da segunda relação por a, obtemos
93
4 2 Polinômios simétricos
e
ct1, ... , ctn E
IR são
L
ªiªj = ªn-2·
i<j
A partir daí, temos
n
Lªl=
i=l
O
D
que nos fornece a contradição desejada.
Exemplo 4.8. Sejam a, b e c números reais não nulos, tais que a+
b + c = O. Prove que
substituindo nessa igualdade f3 + 1 por 2 - a e a/31 por -1, segue que
ª5
+ b5 + c5
5
a 2 ( 2 - a) - 1 = O.
Nas notações da proposição acima, nos referimos a s j ( a 1 , ... , an) E
lK como a j-ésima soma simétrica elementar das raízes de f. Sempre que ct1, ... , ctn estiverem subentendidos e não houver perigo de
confusão com o polinômio simétrico elementar s J. = sJ.(X1, · · ·, X n ) ,
denotaremos a soma simétrica elementar sj(a 1 , ... , an) simplesmente
por si.
Apresentamos, a seguir, uma série de exemplos que ilustram avariedade de situações em que podemos empregar as relações de Girard.
Exemplo 4. 7. Seja f(X) = xn+an_ 1 xn- 1 +an_ 2xn- 2+. +a1 X +ao
um polinômio de coeficientes reais, tal que a;._ 1 < 2an_ 2. Prove que f
tem ao menos duas raízes complexas não reais.
Prova. Por contradição, suponha que a;._ 1 < 2an_ 2 mas ao menos
n - 1 dentre as raízes complexas de f sejam reais. Como f tem
coeficientes reais, o resultado do problema 2, página 74, garante que
Prova. Se f(X) = (X-a)(X-b)(X -e), então a condição a+b+c = O
garante que f(X) = X 3+sX -t, onde s = ab+ac+bc e t = abc. Mas,
como f(a) = O, temos a3 = -sa + t e, analogamente, b3 = -sb + t
e c3 = -se+ t. Somando membro a membro essas três igualdades e
usando novamente a condição a+ b +e= O, obtemos
a3 + b3 + c3
= -s(a + b +e)+ 3t = 3t.
Para manipular adequadamente a soma a5 + b5 + c5 , comece multiplicando ambos os membros das igualdades a3 = -sa + t, b3 = -sb + t e
c3 = -sc+t respectivamente por a2, b2 e c2 ; em seguida, some membro
a membro os resultados para obter
ª5 + b5 + c5
= -s(a3 + b3 + c3) + t(a2 + b2 + c2).
Substituindo, na igualdade acima, a expressão para a3 + b3 + c3 obtida
no parágrafo anterior e observando que
a2 + b2 + c2 =(a+ b + c) 2
-
2(ab + ac + bc)
= -2s,
94
Relações entre Coeficientes e Raízes
chegamos à igualdade
a5 + b5
Logo,
+ c5 =
2
o
Exemplo 4.9. As raízes do polinômio f(X) = X 3 - 7X 2 + 14X - 6
são os comprimentos dos lados de um triângulo. Calcule a área do
mesmo.
1:
Solução. Sejam a, becas raízes de f e A a área do triângulo tendo
tais raízes por lados. A fórmula de Herão para a área de triângulos
(proposição 7.30 de [11]) nos dá
A2
=
p(p - a)(p - b)(p - c),
onde pé o semi-perímetro do triângulo. Por outro lado, pelas relações
de Girard, temos
Usando agora a forma fatorada de
f,
vJ.
o
Exemplo 4.10 (Romênia). Sejam a, b, c e d números reais tais que
a=J4-\!'5-a, b=V4+~,
c=
V
4 - v'5
+c ed=
V+ v'5 +
4
d.
Calcule os possíveis valores do produto abcd.
Solução. Veja que a 2 = 4-\!'5-a, de sorte que (a2 -4) 2 = 5-a ou,
ainda, a4 -8a2 +a+ll = O. Analogamente, obtemos b4 -8b2 +b+ll =
O, de maneira que a e b são raízes do polinômio
f(X) = X 4
abcd
temos
= (X - a) (X - b) (X - c) = X 3 - 7X 2 + 14X - 6
e, daí,
f (;)
de sorte que A=
-
8X 2 +X+ 11.
Do mesmo modo, concluímos que c e d são raízes do polinômio X 4 8X 2 - X + 11 e segue, daí, que -c e -d também são raízes de f.
Portanto, a, b, -c e -d são todos raízes de f e, se soubermos que
tais raízes são duas a duas distintas, concluiremos que elas são todas
as raízes do polinômio f; daí, as relações de Girard nos darão
de maneira que
f ( X)
A=;. f (;) =;. t =t6'
-s · 3t + t(-2s) = -5st.
A igualdade do enunciado é, agora, óbvia.
95
4.2 Polinômios simétricos
=
=
(;-a) (;- b) (;- c)
G) G) + G) 3
-
1
8
7
2
14
= ab(-c)(-d) =
11.
Para o que falta, se tivéssemos, por exemplo, a = b, teríamos
4 - \!'5-a =
4 + v'5 - a e, assim, a = 5. Mas, como 5 -/:4 - y'5-=s, temos a -/:- b. Analogamente, provamos que c -/:- d;
por fim, como -c, -d < O < a, b, nada mais há a fazer.
O
v'
v'
J
Exemplo 4.11 (Romênia). Se x 1 , x 2 , ... , Xn são reais positivos tais
que X1X2 ... Xn = 1, prove que
6
n
~
1
< 1.
L....tn-l+x·i=I
J
96
Relações entre Coeficientes e Raízes
Prova. Seja p(X) = (X+ x 1)
83, temos
p'(x)
p(x)
...
=
(X+
t
i=l
Xn)·
Pelo problema 3, página ·.
t (.~)
nxn-• = Í:(n - k) (:) (X -
Avaliando as funções polinomiais correspondentes em x
nn
=
Í:(n - k) (~) (n - 1r-k-l
k=O
=
~[(n
n-1
L ªi(n - 1r-j ~ L(n - j)ain - 1r-j-
1
j=O
ou, ainda,
n-1
L ªi(j - 1)(n - 1r-j-l + ªn ~ nao(n - 1r-
1 -
ao(n - ir.
j=l
1)"_,_,
k=O
de sorte que basta mostrar que
j=O
t, (:)ex -1)"-'
nos dá, por derivação,
n-1
p(X) = L ajxn-j e p(X) = L(n - j)ajxn-j-I,
j=O
j=O
n
~ (n -1r- 1 .
Afirmamos que tal desigualdade é, de fato, uma igualdade. De
fato, a igualdade
x" = ex -1+ 1r =
Para o que falta, para 1 ~ i ~ n, seja ai= si(x 1 , ... , xn) ai-ésima
soma simétrica elementar de x 1 , ... , Xn, e faça a0 = 1. Então, temos
n
(j - l)(n - 1r-j-l
j=l J
x+xi
p'(n - 1) < 1.
p(n -1) -
l"I:'.
97
de modo que basta mostrarmos que
1
para x =/:- -xi, ... , -xn. Portanto, queremos mostrar que
1;
4.2 Polinômios simétricos
=
n, vem que
-1) - (k-1)] (:) (n - 1)"_,_,
=É(~)
(n -1r-k - Í:(k-1) (~) (n-1r-k-l_
k=O
k=O
Por outro lado,
Finalmente, queremos provar que
n
Lªiu-1)(n-1r-j-l ~ (n -1r- 1 .
j=l
Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, temos
de forma que
t, G) (n-1r-·
=
~ (:)cn-1)"-·
-Í:(k
1) (~) (n - ir-kk=O
1.
98
Relações entre Coeficientes e Raízes .
Após efetuar os cancelamentos óbvios, chegamos à igualdade
99
4.2 Polinômios simétricos
onde CJ varia sobre todas as n! permutações de ln. Prove que g
é um polinômio simétrico, denominado a simetrização de f, e
que g = f se f for simétrico .
•
ou, ainda, a
t,<k- l)(~)(n -1r-•- = o.
4. (Croácia.) Se a, b e e são reais dois a dois distintos satisfazendo
o sistema de equações
1
11:•.
Por fim, a partir daí, obtemos
a3 = 3b2 + 3c2 - 25
{ b3 = 3c2 + 3a2 - 25
c3 = 3a2 + 3b2 - 25
calcule os possíveis valores do produto abc.
que é precisamente a igualdade desejada.
i',
!.,
]i !
ir:
::
5. Dados a, b, e E C, explicite, em função de a, b e e, os coeficientes
de um polinômio mônico de grau três cujas raízes complexas
sejam os cubos das raízes complexas do polinômio X 3 + aX 2 +
bX+c.
Problemas - Seção 4.2
6. Dado o polinômio p(x) = X 3
1. Sejam f, g eh polinômios não nulos em K[X1 , ... , Xnl, tais que '.
f e g são simétricos e f = gh. Prove que h é simétrico.
'
2.
* Um polinômio f
E
K[X1 , ... , Xn] é denominado homogêneo
(a) Mostrar que p tem três raízes distintas, duas das quais são
complexas e não reais.
(b) Obter o polinômio mônico de terceiro grau cujas raízes são
os cubos das raízes de p.
de grau k quando
para todo t E K. Obtenha, a menos de multiplicação por constantes, todos os polinômios simétricos e homogêneos de grau 2
em JR[X, Y, Z].
3. Para f E K[X1, ... , Xn], seja g E K[X1, ... , Xn] o polinômio
definido por
1
g(X1, · · ·, Xn) = I
n.
X 2 +X+ 1, pede-se:
-
L f(Xu(l), '. · ·, Xu(n)),
(T
7. (OBM.) Sabendo que o polinômio f (X)
raízes reais distintas, prove que p < O.
=
X 3 + pX + q tem três
8. (Romênia.) Sejam a, b e e complexos não nulos, tais que
a + b+ e =
1
1
b
1
- + - + - = O.
a
e
Se n for um inteiro positivo, mostre que an
só se, 3 f n.
+ bn + cn
=
O se, e
Relações entre Coeficientes e Raízes
100
9. (Hong Kong.) Sejam a3, a4 , ... , a100 números reais, sendo a100
O. Prove que nem todas as raízes do polinômio
4.3 O teorema de Newton
f. ,
(a) Dados n 2: 2 reais positivos x 1 , x 2 , ... , Xn, mostre que
/
X1
f(X)
=
a100X 100 + a99X 99 + · · · + a3X 3 + 3X 2 + 2X + 1
* (x2 * (· ·· * Xn) · · ·) =
.
81
+ 83 +···+Si
--------
1 + S2 +
84
+ ··· +
Sp
onde i e p são, respectivamente, o maior ímpar e o maior
par menores ou iguais a n e Sj é a j-ésima soma simétrica
elementar de X1, X2, ... , Xn·
são reais.
1.
101
10. Considere todas as retas que encontram o gráfico da função poli- ,
nomial real f(x) = 2x4 +7x 3 +3x-5 em quatro pontos distintos
(xi,Yi), para 1::; i::; 4. Prove que o número
1 +x 2 +x3+x4 ) ;,
independe da reta considerada e calcule seu valor.
(b) Se J(X) = (X+ x1)(X + x2) ... (X+ xn), use o resultado
do item (a) para mostrar que
Hx
11. (Moldávia.) No plano cartesiano, um círculo intersecta a hipér- :
bole de equação xy = 1 em quatro pontos distintos. Prove que
o produto das abscissas dos pontos de interseção é sempre igual
a 1.
14. Seja n > 1 inteiro. Obtenha todas as soluções reais do sistema
12. (Canadá - adaptado.) Sejam a, b e e as raízes complexas do
polinômio X 3 - X 2 - X - 1.
x1 + x2 + · · · + x~ = n
15. Seja f(X) = xn + ªn-1xn-l + · · · + a1X + 1 um polinômio de
coeficientes reais não negativos e raízes reais. Prove que f(x) 2:
(x + lt, para todo real X 2: Ü.
(a) Prove que a, b e e são duas a duas distintas.
(b) Se, para cada n EN, pusermos
16. (Irlanda.) Dado n E N, ache todos os polinômios J(X)
anXn + · · · + a1X + a0 satisfazendo as seguintes condições:
mostre que
Sk+3 = Sk+2
(b)
(c) Conclua que Sn E Z, para todo n EN.
13. (BMO - adaptado.) Para números reais x e y tais que xy
defina
l+x+y
X*Y =
l+xy
=/:-
O::; j::; n.
Todas as raízes de f são reais.
(a) ai E {-1, 1}, para
+ Sk+l + Sk, para todo k E N.
-1,
4.3
O teorema de Newton
Ainda sobre polinômios simétricos, note que f(X, Y, Z) = X 4 +
Y 4 + Z 4 é simétrico mas não é um dos polinômios simétricos em X,
Relações entre Coeficientes e Raízes
102
Y e Z que chamamos elementares. Contudo, sendo si = si(X, Y, Z),
s 2 = s 2(X, Y, Z) e s 3 = s 3 (X, Y, Z), podemos escrever
+ y2 + z2)2- 2(x2y2 + x2z2 + y2z2)
[ (X + Y + Z) 2 - 2(XY + X Z + Y Z)] 2
- 2 [(XY + XZ + YZ) 2 - 2XYZ(X + Y + Z)]
f(X, Y, Z) = (x2
=
=
=
1'
=
(s~ - 2s 2 ) 2 - 2(s~ - 2sis3)
sf - 4s~s2 + 2s~ + 4sis3
g (si, s2, s3)'
onde
g(X, Y, Z) = X 4
-
4X 2 Y + 2Y 2 + 4X z.
Assim, nesse caso particular, fomos capazes de expressar o polinômio
simétrico f(X, Y, Z) = X 4 + Y 4 + Z 4 como um polinômio nos polinômios simétricos elementares em X, Y e Z.
Conforme veremos nesta seção, tal possibilidade não é acidental.
Mais precisamente, provaremos a seguir um resultado usualmente atribuído ao matemático e físico inglês Isaac Newton, conhecido na literatura como o teorema fundamental dos polinômios simétricos.
No que segue, K inclui a possibilidade K = .Z. Seguimos, essencialmente, a exposição de [27].
4.3 O teorema de Newton
103
de K[Xi, ... , Xn] da seguinte maneira: dadas duas n-uplas distintas (ii, ... , in) e (ji, ... , Jn) de inteiros não negativos e monômios
ª(i)Xf 1 ••• X!n e b(i)Xf 1 ••• Xtn em K[Xi, ... , Xn], definimos
a (i) X ii1
· · ·
Xin
n
-< b(j) xi1i · · · Xin
n
~
:3 l :::; k :::; n; {
~l =
1,k
j'. se l < k
< )k
(4.4)
.
Neste caso, dizemos que bu)Xf1 ••• Xtn é maior do que ª(i)Xt 1 ••• x:;,,.
Em geral, nos referiremos à ordenação acima como a ordem lexicográfica dos monômios de K[Xi, ... , Xn]· Em particular, para
f E K[Xi, ... , Xn], seu termo líder é o monômio máximo (i.e., maior
que todos os demais) em relação à ordem lexicográfica. Note ainda
que, em K[X], tem-se 1 -< X -< X 2 -< · · ·, de modo que a noção de
termo líder em mais de uma indeterminada generaliza a noção usual
em uma indeterminada, dada pelo grau de um monômio.
Exemplo 4.13. Se f = st1 ••. s~n, onde si E K[Xi, ... , Xn] é o
i-ésimo polinômio simétrico elementar, então f tem termo líder
De fato, uma vez que
Teorema 4.12 (Newton). Se f = f(Xi, ... , Xn) E K[Xi, ... , Xn] é
simétrico, então existe g E K[Xi, ... , Xn] tal que
f(Xi, ... , Xn)
=
g(si, ... , sn),
a definição de ordem lexicográfica garante que seu termo líder é
onde si, ... , sn E K[Xi, ... , Xn] são os polinômios simétricos elementares em Xi,· . . ,Xn.
Para a prova do teorema anterior, precisamos introduzir alguns
conceitos preliminares. Inicialmente, vamos ordenar os monômios
i.e.,
104
Relações entre Coeficientes e Raízes
De posse do conceito de ordem lexicográfica, a chave para a prova
do teorema de Newton se encontra no seguinte resultado auxiliar.
Lema 4.14. Se f E OC[X1, ... , Xn] é simétrico e ª(a)Xf 1
seu termo líder, então
•••
X~n é
Prova. Se a 1 é o maior expoente que comparece em algum monômio
de f, então, como f é simétrico, existe em f um monômio contendo
Xf 1 • Se ª(i)Xi 1 •.• X~n é um monômio de f tal que i1 < a1, segue da
definição da ordem lexicográfica que tal monômio não é o termo líder .
de f. Portanto, o termo líder contém Xf 1 •
Agora, dentre todos os monômios de f contendo Xf1 , selecione
um com expoente máximo em alguma das indeterminadas X 2 , ••• , Xn,
digamos expoente a 2 . Novamente por ser f simétrico, existe um tal
monômio de f contendo Xf 1 Xf 2 • Ademais, pela escolha de a 1 temos
a 1 2: a 2. Por outro lado, se ª(i)Xf 1 X~2 ••• X~n é monômio de f tal
que i 2 < a 2 , então, novamente pela definição de ordem lexicográfica,
tal monômio não é o termo líder de f, de modo que o termo líder de f
contém Xf 1 Xf 2 • Por fim, repetindo esse argumento mais n - 2 vezes,
obtemos o resultado desejado.
D
4.3 O teorema de Newton
105
a(a)Xf 1 ••• X~n em relação à ordem lexicográfica, um número finito de
repetições do algoritmo acima nos dá f-g = l(s 1 , ... , sn), para algum
polinômio l E OC[X1, ... , Xn]· Assim, o mesmo ocorre com f.
D
Vale frisar que o teorema de Newton é, primordialmente, um teorema de existência. De fato, é possível provar que, para polinômios
simétricos em geral; o algoritmo descrito na prova do teorema de Newton não termina em tempo polinomial (i.e., mesmo com o auxílio de
um computador não conseguimos, para um polinômio simétrico genérico em n indeterminadas, expressá-lo, em tempo finito, como um polinômio nos polinômios simétricos elementares em n indeterminadas).
Todavia, mostraremos, no exemplo a seguir que a mera existência assegurada pelo teorema de Newton pode ser bastante útil. Para outra
aplicação interessante, veja a seção 8.1.
Exemplo 4.15 (Miklós Schweitzer). Seja f E Z[X] um polinômio
não constante e w = eis 2; , onde n > 1 é um inteiro. Prove que
f(w)f(w 2) ... J(wn-l)
E
Z.
Prova. Considere o polinômio g E Z[X1, ... , Xn-i] dado por
Podemos, finalmente, apresentar a prova do teorema de Newton.
Prova do teorema 4.12. Tome f E OC[X1, ... ,Xn] simétrico, com
termo líder ª(a)Xf 1 ••• X~n. Pelo lema anterior, temos a 1 2: · · · 2: ªn·
Por outro lado, pelo exemplo 4.13, o polinômio simétrico
Se cr é uma permutação de In-I, então
{cr(l),cr(2), ... ,cr(n-1)}
=
{1,2, ... ,n-1}
e, daí,
também tem termo líder ª(a)Xf 1 •.• X~n, de modo que o polinômio simétrico f - g tem termo líder ª(f3)Xf 1 ••• X~n, com ª(f3)Xf 1 ••• X~n -<
ª(a)Xf 1 ••• X~n na ordem lexicográfica. Mas, como OC[X1, ... , Xn] contém somente um número finito de monômios mônicos e menores que
g(Xu(l), · · ·, Xu(n-I)) = f(Xu(I))f(Xu(2)) · · · f(Xu(n-I))
= f(X1)f(X2) ...
f(Xn-1)
= g(X1, ... , Xn-1).
Relações entre Coeficientes e Raízes
106
Assim, g é simétrico e o teorema de Newton garante a existência
de um polinômio h E Z[X1, ... , Xn-1] tal que g(X1, ... , Xn-1) h(s1, ... , Bn-1), i.e.,
107
4.3 O teorema de Newton
Lema 4.16 (Horner-Rufinni). Seja
f(X) = xn - s1xn-i
+ · · · + (-1r- 1sn-1X + (-ltsn
um polinômio não constante sobre C. Se z é uma raiz complexa de f
onde Sj é o j-ésimo polinômio simétrico elementar em X1, ... , Xn-l·
Substituindo Xi por wi na igualdade acima, obtemos
i '.('1•'
'
,,,
g(X) = xn-i
+ b1xn- 2 + · · · + bn-1
é o quociente da divisão de f(X) por X - z, então
f (w)f (w 2) ... f (wn-l) = h(s1 (w, ... , wn-l ), ... , Bn-1(w, ... , wn-l ));
(:
e
portanto, a fim de mostrar que f(w)f(w 2 ) •.. f(wn- 1) E Z, é suficiente
mostrar que siw, ... , wn-l) E Z, para 1 :::; j :::; n - 1.
Para o que falta, basta observar que
xn - 1 = (X - l)(X -w)(X - w 2) ... (X - wn- 1)
= (X - l)(xn-i
+ xn- 2 +···+X+ 1),
Zn-1 - S1Zn-2
de sorte que
xn-l
+
xn- 2
(4.5)
+ · · · + (-
l)n...:..1 Bn-1
Prova. Nas notações do enunciado, as recorrências (3.1) se escrevem
+···+X+ 1
(X - wn- 1)
(X - w)(X n-1
-- "(-l)j
L.....J
s1·(W,W 2 , ... ,Wn-l)xn-1-j .
w2 ) ...
=
j=O
Assim, temos que
,. ,.,
s1·(w, w2 , ... , wn-1) -_ (-l)j Eu...,,
conforme desejado.
D
A discussão que antecede o exemplo anterior sugere que, quando
quisermos expressar efetivamente um dado polinômio simétrico como
um polinômio nos polinômios simétricos elementares, teremos, via de
regra, de recorrer a argumentos ad hoc. Nesse sentido, terminamos
esta seção discutindo um exemplo relevante, para o qual precisamos
da seguinte consequência do algoritmo de Horner-Rufinni. As identidades (4.5) a seguir são conhecidas como as identidades de HornerRuffini.
Resolvendo o sistema linear acima sucessivamente para b2 ,
obtemos uma a uma as relações do enunciado.
... ,
bn-I,
D
As relações contidas na proposição a seguir nos fornecerão recorrências para expressar o polinômio simétrico
como um polinômio nos polinômios simétricos elementares em X 1 , X 2 ,
... , Xn. As fórmulas dos itens (a) e (b) a seguir são respectivamente
Relações entre Coeficientes e Raízes
108
denominadas primeira e segunda identidades de Jacobi 2 . Para uma
outra prova das mesmas, veja o problema 2, página 242.
Proposição 4.17 (Jacobi). Para Z1, ... 'Zn E e, se Si= si(z1, ... 'Zn)
é ai-ésima soma simétrica elementar de z1 , ... , Zn e O"k = zf+· · ·+z~,
então:
(a) O"n+k
=
I:7= 1(-l)j-lSjO"n+k-j, para k 2:: l.
(b) Sk+1
=
kii E;~i(-l)í- 1sk+1-jO"j, para 1::; k::; n -1.
4.3 O teorema de Newton
Por outro lado, para z E CC \ {z1 , ... , zn}, segue do problema 3,
página 83, que
f'(z) = f(z) + ... + f(z) .
Z - Z1
Z - Zn
Sendo Í} E C[X] tal que f(X) = (X - Zj)i}(X), digamos
segue que
n
J'(z) =
n
L i}(z) = L(zn-l + b1jZnj=l
Prova.
(a) Seja
=
nzn-l
+
(t
(t
bn-1,j) .
J=l
Mas, como a igualdade acima é válida para todo z E CC \ {z1 , ... , Zn},
segue do corolário 3.10 que
f, temos
nxn-t + (t. b,;) xn-, + · · · + (t. bn-1,;) .
(4.8)
•
para 1 ::; i ::; n e, daí,
z~+n
- s1z~+n-l
i
i
+ · · · + bn-1,j)
b1j) zn- 2 + · · · +
J=l
f'(X) =
.
2
j=l
f(X) = (X - z1) ... (X - zn) = Xn - s1Xn-l + ·: · + (-lts~. (4.6)
Como zi é raiz de
109
+ · · · + (-l)n-ls n-1 z~+l + (-l)nsn z~ =
i
i
Por fim, igualando os coeficientes correspondentes em (4.7) e (4.8)
e substituindo as identidades (4.5), obtemos
O•
n
Somando as igualdades acima para 1 ::; i ::; n, obtemos
(-lt+l(n - k - l)sk+l
=
L bk+l,j
j=l
n
=
~(
L.....J Zjk+l
· - S1Zjk + · · · + (- l)k+l Sk+l )
j=l
=
ªk+i - s1ak + · · · + (-1t+1nsk+1,
igualdade equivalente à do enunciado.
(b) Segue de (4.6) que
J'(X)
2 Após
=
nxn-l - (n- l)s1xn- 2 + · · · + (-1r- 1sn-1·
o matemático alemão do século XIX Carl G. J. Jacobi.
de maneira que
(4.7)
D
Relações entre Coeficientes e Raízes
110
O corolário a seguir também é devido a Jacobi.
Corolário 4.18 (Jacobi). Para cada inteiro k ~ 1, sejam sk o k-ésimo polinômio simétrico elementar em X1 , ... , Xn e <J"k = Xf+· · +X~.
Então:
(a} <J"n+k
=
4.3 O teorema de Newton
4. Sejam m EN, w
xos tais que
=
111
cos
! + i sen !
e z1 , ... , Zn números comple-
f(X) = (X - z1)(X - z2) ... (X - zn)
é um polinômio de coeficientes inteiros.
I:7= 1 (-l)i-lsj<J"n+k-j, para k ~ 1.
(b} sk+l = kll I:7~t(-l)i- 1 sk+1-j<J"j, para 1::::; k::::; n-1.
(a) Se g(X) .
TI::~
1
f(wiX), prove que
Prova. Avaliando ambos os membros de (a) e (b) em z1, ... , Zn E
(C obtemos, pela proposição anterior, igualdades verdadeiras. Como
(C é um conjunto infinito, a proposição 4.1 garante a igualdade dos
polinômios correspondentes.
D
(b) Use as identidades de Jacobi para mostrar que o polinômio
g do item (a) tem coeficientes inteiros.
Problemas - Seção 4.3
(c) Conclua que, se z E C é raiz de um polinômio não nulo f
de coeficientes inteiros, então existe um polinômio não nulo
h, também de coeficientes inteiros, tal que zm é raiz de h.
1. Se f E Z[X] é um polinômio mônico, de grau n ~ 1 e raízes
+ · · · + E Z, para todo
complexas z1, ... , Zn, prove que
k ~ 1 inteiro.
zt
z~
2. Se a 1, ... , an, b1, ... , bn são números complexos tais que
k + · · · + ank = bk1 + · · · + bkn,
ª1
para 1 ::::; k ::::; n, mostre que {a1, ... , an} = {b1, ... , bn}·
3. (Japão - àdaptado.) Sejam n, k EN, com 2::::; k::::; n, e a 1 , ... , ak
números reais tais que
+ · · · + ak
a~+···+ a~
a1
n
n
g(X)
=
(Xm - zf) ... (Xm - z;:1').
5. (OBM.)
(a) Se n EN, prove que há somente um número finito de polinômios mônicos, de grau n e coeficientes inteiros, tais que
todas as suas raízes complexas têm módulo 1.
(b) Seja f E Z[X] \ Z um polinômio mônico, tal que todas as
suas raízes complexas têm módulo 1. Prove que todas as
raízes complexas de f são raízes da unidade.
112
Relações entre Coeficientes e Raízes •
CAPÍTULO 5
Polinômios sobre :IR
Neste capítulo, revisitamos alguns dos teoremas clássicos do Cálculo, estudados em [12), para polinômios de coeficientes reais, tendo
como ferramenta principal o teorema fundamental da álgebra. Como
aplicação dos mesmos, provaremos as desigualdades de Newton, as
quais generalizam a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica de n números reais positivos, e a regra de Descartes, que relaciona
o número de raízes positivas de um polinômio de coeficientes reais ·ao
número de trocas de sinal de seus coeficientes não nulos.
5.1
Alguns teoremas do Cálculo
Nosso primeiro resultado dá uma condição suficiente para a existência de raízes reais num intervalo. Para a prova do mesmo, precisamos do seguinte resultado auxiliar.
I·:.
1
il
1,1
11
li
!'I
i:
114
5.1 Alguns teoremas do Cálculo
Lema 5.1. Se f E R[X] \ {O} é mônico e não tem raízes reais, então
existem polinômios 9, h E R[X] tais que f = 9 2 + h2 • Em particular,··.
J(x) > O para todo x E R.
Teorema 5.2 (Bolzano). Se f E R[X] e a < b são reais tais que
J(a)J(b) < O, então existe e E (a, b) tal que f(c) = O.
Prova. Pelo problema 2, página 74, existem números complexos não
reais z1 , ... , zk tais que
k
f(X) =
II (X -
Prova. Supondo, sem perda de generalidade, que fé mônico e f(a) <
O< J(b), segue da última parte do lema anterior que f tem ao menos
uma raiz real. Sejam, pois, a1 ::; · · · ::; ak as raízes reais de f, repetidas
de acordo com suas multiplicidades. Se 9 E ~[X] é tal que
Zj)(X - Zj)·
f(X) = 9(X)(X - a1) ... (X - ak),
j=l
Agora, se Zj = ai
+ ibi, com ai, bi E R, então
(X - zi)(X - zi)
=
(X - ai - ibi)(X - ai+ ibi)
(X - ai)2 - (ibi)2
=
(X - ai)2 + bJ,
=
115
então 9 é mônico e não possui raízes reais, de sorte que, novamente
pelo lema anterior, 9(x) > O para todo x E R.
Por contradição, suponha que não há raiz de f no intervalo (a, b)
e considere três casos separadamente:
(i.) ak < a: temos
a soma dos quadrados de dois polinômios de coeficientes reais (um t
deles constante).
Basta, agora, aplicar várias vezes um argumento similar à identi- ·
dade de Euler (7.7) de [14]: para 9 1 , 92, h 1 , h2 E R[X], temos
J(a) = 9(a)(a - a1) ... (a - ak) > O,
uma contradição.
(ii.) b < a 1 : segue de f(b) > O que
Para o que falta, segue da primeira parte que
f(x) = 9(x) 2 + h(x) 2 ~ O,
para todo x E ~; mas, como f não tem raízes reais, a desigualdade
acima deve ser estrita, para todo x E R.
D
O resultado a seguir é o teorema do valor intermediário para polinômios, sendo conhecido na literatura como o teorema de Bolzano 1.
1 Após
Bernhard Bolzano, matemático alemão do século XIX.
e, daí, k é par (uma vez que 9(b) > O e b - ai < O, para 1 ::; i ::; k).
Por outro lado, segue de f(a) < O que
9(a)(a- a1) ... (a - ak) < O
e, daí, k é ímpar (uma vez que 9(a) > O e a - ai < O, para 1 ::;
Portanto, chegamos a umá contradição.
i::;
k).
.
Polinômios sobre lR
116
5.1 Alguns teoremas do Cálculo
117
'
(iii.) a1 < a < b < a1+1, para algum 1 ~ l < k: chegamos a um
absurdo de modo análogo ao item anterior. (Por exemplo,
O< f(a)
=
~~--~~--·--~~----~~--
Assim, temos f (un) = g( un) para todo inteiro n ~ 1. Mas, como
g(a) (a - a1) ... (a - ai) (a - a1+1) ... (a - ak)
.._,.,,.
>O .......
>0
para todo n
<0 ·
implica k - l par.)
D
Exemplo 5.3 (Moldávia). Sejam f, g E JR[X], cada um dos quais
possuindo ao menos uma raiz real.
~
1, segue do corolário 3.10 que
f
= g.
D
No que segue, estabelecemos para polinômios o teorema do valor
médio de Lagrange2 .
Teorema 5.4 (Lagrange). Sejam f E JR[X] \ {O} e a< b reais dados.
Então existe a < e < b tal que
(a) Prove que existe a E lR tal que f(a) 2 = g(a)2.
J'(c)
{b) Se f(l +X+ g(X)2) = g(l +X+ J(X)2), mostre que f = g.
Prova.
(a) Sejam a e (3 raízes de f e g, respectivamente. Podemos supor, sem
perda de generalidade, que a~ (3. Se g(a) = O ou J(f3) = O, nada há
a fazer. Senão, temos
J(a)2 - g(a)2 = -g(a)2 < O e f(f3)2 - g(f3)2 = f(f3)2 > O,
de sorte que o teorema de Bolzano, aplicado ao polinômio J(X) 2 g(X)2, garante a existência de a E (a, (3) tal que J(a) 2 - g(a) 2 = O.
(b) Sendo a E lR como no item (a), defina uma sequência (un)n:2:1
pondo u 0 = a e, para cada n ~ 1, Un+l = 1 + Un + g(un)2. Pelo item
(a), temos f(u 1) = g(u 1). Suponha, por hipótese de indução, que
f(uk) = g(uk), para um certo inteiro k ~ 1. Então, nossas hipóteses
garantem que
=
+ uk + g(uk)2)
g(l + Uk + f(uk)2)
g(l + Uk + g( Uk)2)
=
g(uk+i)·
J(uk+i) = f(l
=
=
J(b) - J(a).
b-a
Prova. Provemos primeiro que, se f(a) = f(b) = O, então existe a<
e< b tal que f'(c) = O. Podemos supor, sem perda de generalidade,
que f não tem outras raízes no intervalo (a, b). De fato, se f possuir
uma infinidade de raízes em (a, b), temos f = O, pelo corolário 3.9;
se f possuir um número finito de raízes em (a, b), digamos a 1 < a2 <
· · · < ak, trocamos b por a 1 .
Se existissem a < e < d < b tais que f(c)f(d) < O, o teorema de
Bolzano garantiria a existência de uma raiz de f no intervalo (a, b), o
que é um absurdo. Portanto, f tem sinal constante em (a, b). Suponha, sem perda de generalidade, que J(x) > O para x E (a, b), e sejam
respectivamente k e l as multiplicidades de a e b como raízes de f.
Então, existe g E JR[X] tal que
f(X) = (X - at(x - b) 1g(X),
com g(a), g(b) -1- O. Agora,
a< e< b =* J(c) >O=* (e - at(c - b) 1g(c) >O=* (-1) 1g(c) > O.
2 Após
Joseph Louis Lagrange, matemático franco-italiano do século XVIII.
Polinômios sobre
118
~
Consideremos o caso em que l é par (o caso em que l é ímpar é
análogo), de sorte que g(c) > O, para todo e E (a, b). Se g(a) < O,
o teorema de Bolzano garantiria a existência de a < d <
tal que
g(d) = O, de modo que f(d) = O, o que, por sua vez, é um absurdo.
Logo, g(a) > O e, analogamente, g(b) > O. Então, temos
ª1b
J'(X)
=
k(X - at- 1(X - b) 1g(X)
+ l(X -
a)k(X - b}1- 1g(X)
119
Corolário 5.5 (Rôlle). Se f E R[X] \ {O} e a < b são reais tais que
J(a) = f(b) = O, então existe a< e< b tal que f'(c) = O.
Ilustramos a utilização do teorema de Rôlle no exemplo a seguir.
Exemplo 5.6. Seja f(X) =ao+ a1X + · · · + ªn-1xn- 1 + anXn um
polinômio de coeficientes reais, tal que
-ªº + -a1 + ... + -ªn-1 + -ªn- = o.
+ (X - at(X - b}1g'(X)
=
5.1 Alguns teoremas do Cálculo
1
(X - at- 1(X - b}1- 1h(X),
n
2
n+l
Prove que f possui pelo menos uma raiz no intervalo (O, 1).
li,;
' j ·1''.,·,,' l,1
!
onde
h(X) = (k(X - b)
+ l(X -
+ (X -
a))g(X)
Prova. É imediato que
a)(X - b)g'(X).
Basta, pois, então mostrarmos que existe e E ( a, b) tal que· h( e) =
O. Mas, como
h(a)h(b) = -kl(a - b) 2 g(a)g(b) < O,
f
=
g', onde
g(X) = aoX + a1 x2 + ... + ªn-1 xn + ~xn+i.
2
n
n+ 1
Mas, como g(O) = g(l) = O, o teorema de Rôlle garante a existência
de a E (O, 1) tal que f(a) = g'(a) = O.
D
Uma consequência importante do teorema do valor médio é o estudo da primeira variação (i.e., crescimento ou decrescimento) de polinômios, conforme ensina o corolário a seguir.
o teorema de Bolzano liquida a questão.
Para o caso geral, seja
fi(X) = f(X) - J(a) - (f(b) - f(a)) (X - a).
Corolário 5. 7. Sejam f E R[X] \ {O} e I
b-a
Como fi(a) = J1 (b) = O, o que fizemos acima garante a existência de
e E (a, b) tal que Jf(c) = O. Por fim, resta observar que
D
Conforme frisamos em [12], o caso f(a) = f(b) = O do teorema
anterior precedeu a versão geral de Lagrange, tendo sido provado pelo
matemático francês do século XVII Michel Rôlle e sendo conhecido na
literatura como o teorema de Rôlle.
e
R um intervalo.
(a) Se f'(x) > O para todo x E J, então f é crescente em I.
(b) Se f'(x) < O para todo x
E J,
então f é decrescente em I.
Prova. Façamos a prova do item (a), sendo a prova do item (b) análoga. Para a < b em I, o teorema do valor médio garante a existência
de e E ( a, b) (e, portanto, e E J) tal que
J(b) - f(a) = J'(c) > O.
b-a
Em particular, f(b) > f(a).
D
120
Polinômios sobre lR.
Exemplo 5.8. Prove que, para todo inteiro positivo n, o polinômio
x2
xn
5.1 Alguns teoremas do Cálculo
2.
121
* Prove, para polinômios de coeficientes reais e com os métodos
desta seção, o teorema de permanência do sinal: se f E
R[X] é tal que f(a) > O para algum a E R, então existe r > O
tal que f(x) > O para todo x E (a - r, a+ r).
l+X+-+···+2!
n!
tem no máximo uma raiz real.
~t
Prova. Sendo fn = 1 +X+
+ · · · + :~, mostremos que (i) fn não
tem raízes reais se n é par, e (ii) fn tem exatamente uma raiz real se
n é ímpar.
(i) Supondo n par, temos limlxl-t+oo fn(x) = +oo. Portanto, segue
do teorema de Weierstrass (o teorema 4.31 de [12]) a existência de ·
x 0 E R tal que fn assume seu valor mínimo em x 0. Suponha, por contradição, que fn(x 0 ) ~ O. Então, pelo resultado do problema 3, temos
xn
f~(xo) = O e, como fn(xo) = f~(xo) + xn
n~, segue que O 2: Ín ( Xo )· = ~Como n é par, a única maneira de não termos uma contradição a partir dessa última relação é que seja O = fn(x 0 ) = n. Mas aí, deveria
ser fn(O) = O, o que é um absurdo.
3.
* Dado f
E
R[X] \R, sejam a
f(a)
Prove que f'(a)
número ímpar de raízes reais; por outro lado, segue do exemplo 3.33 ·
que f n não tem raízes múltiplas. Suponha, então, que .fn tem pelo
menos três raízes reais distintas, digamos a < b < e. Então, o teorema
do valor médio garante a existência de a E (a, b) e /3 E (b, e) tais que
f~(a) = f~(/3) = O. Mas, como f~ = fn-1 e n-1 é par, o caso anterior
D
nos fornece uma contradição.
R e r > Otais que
x
E
(a - r, a+ r)}.
O.
4. Seja f(X) = X 5 -2X4 + 2. Prove que f possui exatamente três
raízes reais.
5.
* Dado f
E
R[X] \ R com coeficiente líder positivo, prove que
existe n 0 E N tal que
5t-.
(ii) Supondo n ímpar, segue do problema 4, página 75, que fn tem um
=
= min{f(x);
E
u > v >no::::} f(u) > f(v) > O.
6. Prove que não existe polinômio f E Z[X], tal que f(n) seja
primo para todo inteiro não negativo n.
7. (Leningrado3 .) Decida se existem quatro números reais distintos
a, b, e e d tais que, para quaisquer dois deles, x e y digamos,
tenhamos
x10
+ xg y + ... + xyg + y10
= 1.
8. Os reais positivos a 1, a 2, a3 e a4 são tais que a1 ~
e a 1 a2 a3 a4 = 1. Se À é uma raiz real do polinômio
a2 ~ a3 ~ a4
Problemas - Seção 5.1
f
Z[X] é um polinômio não constante e m é um inteiro
positivo tal que m > 1 + Re( z), para toda raiz complexa z de f,
prove que IJ(m)I > 1.
1. Se
E
prove que À >
a2.
3 A cidade russa de São Petesburgo mudou seu nome para Leningrado durante
a existência da União Soviética.
122
Polinômios sobre lR
5.2 As desigualdades de Newton
(a) Adicionavam ao polinômio sua derivada.
9. (Leningrado.) Sejam a, b, e, d e e números reais tais que O
polinômio aX 2 + (e - b)X + (e - d) = O tem uma raiz real maior
que 1. Prove que o polinômio aX 4 + bX 3 + cX 2 + dX + e = O
tem ao menos uma raiz real.
(b) Subtraíam do polinômio sua derivada.
Ao final da aula, o polinômio inicial apareceu novamente no quadro negro. Prove que ao menos um dos alunos cometeu um erro.
10. (Áustria-Polônia.) Dados números reais a 1 , ... , an, prove que
n
a·a· >O
LJ_i_J
~
·· 1 i + j - '
i,J=
com igualdade se, e só se, a 1
15. (OIM.) São dados números reais a 1 , a2, ... , an, tais que O <
a1 < a2 < · · · < ªn· Se f : lR \{-ai, ... , -an} -+ lR é a função
tal que
= · · · = an = O.
n
f(x) = ~
LJ
11. Seja J(X) = X 3 - 3X + 1. Calcule o número de raízes reais
distintas do polinômio f (! (X)).
j=l
5.2
13. Dois matemáticos A e B disputam o seguinte jogo: é dado um
polinômio de grau par maior ou igual a 4,
f(X) = X 2n + a2n-1X 2n-I
+ · · · + a1X + 1,
onde a1, ... , a2n-1 são números reais não especificados. Os jogadores, começando por A, alternam-se especificando os coeficientes de f, até que festeja completamente determinado. No final,
A ganha se nenhuma raiz de f for real e B ganha caso contrário.
Encontre uma. estratégia ganhadora para B.
14. No começo de uma aula, o professor escreveu no quadro negro
um polinômio de grau 3. A partir daí, os alunos, um por vez,
vinham ao quadro e perfaziam uma das seguintes operações com
o polinômio deixado pelo aluno anterior:
;
a·
,
J
.. ·+an.
+ J'(x) + J"(x) + · · · + j(n)(x) 2: O,
para todo x E lR.
X
para x =/=- -a 1 , ... , -an, prove que o conjunto {x E JR; J(x) 2: 1}
pode ser escrito como a união de n intervalos limitados, dois a
dois disjuntos e cuja soma de comprimentos é igual a a 1 + a 2 +
12. (Suécia.) Seja f E JR[X] um polinômio de grau n. Se J(x) 2: O
para todo x E JR, mostre que
f(x)
123
As desigualdades de Newton
Nesta seção, apresentamos um conjunto de desigualdades que refina a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica (provada
na seção 7.2 de [10]). Para tanto, precisamos inicialmente do resultado
auxiliar a seguir.
Lema 5.9. Se f E JR[X] \ {O} tem k raízes reais, então f' tem pelo
menos k - 1 raízes reais. Em particular, se todas as raízes de f forem
reais, então todas as raízes de f' também serão reais.
Prova. Podemos supor k > 1. Sejam a 1 < · · · < a1 as raízes reais distintas de f, com multiplicidades respectivamente iguais a m 1 , ... , m 1,
de tal modo que m 1 + · · · + m 1 = k. Então, já vimos na proposição
3.31 que cada ai é raiz de multiplicidade mi - 1 de f'. Por outro lado,
124
Polinômios sobre lR
pelo teorema de Rôlle, entre ai e ai+l há pelo menos mais uma raiz
real de f', de modo que contabilizamos ao menos
(m 1 - 1) + .. · + (mz - 1) + (l - 1) = k - 1
raízes reais para
111
f'.
Para o que segue, dados n > 1 reais positivos a 1 , a 2 , ... , an e
O ::; i ::; n, denotaremos simplesmente por Si (aj) a i-ésima soma
simétrica elementar de a 1 , ... , an e por Hi (aj) a média aritmética das
(7) parcelas que compõem Si(aj), i.e.,
H,(a;)
~ (7
O lema anterior garante a existência de n-1 reais positivos b1 , ... , bn-l
tais que
J'(X) = n(X + b1) ... (X+ bn-1),
de modo que
D
O resto é imediato.
125
5.2 As desigualdades de Newton
~J'(X) = xn- 1 +
(n ~ 1)H1(bj)xn-2 + ··· + (~ =
~)Hn-1(bj)·
Por outro lado, f(X)
=
I:~=o (7)Hi(aj)xn-i fornece
r
S,(a;)
O teorema a seguir é frequentemente creditado. a Isaac Newton.
e segue, daí, que
Teorema 5.10. Nas notações acima, para 1 ::; i < n temos
Hi(a1, ... , an)
ocorrendo a igualdade para algum i se, e só se, a 1
=
a2
= · · · = an.
Prova. Façamos indução sobre o número n > 1 de reais positivos.
Para n = 2, queremos mostrar que Hf (a 1, a 2) 2: H 0 (a 1 , a 2)H2(a 1, a 2)
ou, ainda, que
ª2) 2 2: ª1ª2·
( ª1 +
2
Mas isto é apenas a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, na qual a igualdade ocorre se e só se a 1 = a 2 .
Suponha, por hipótese de indução, que as desigualdades de Newton
são válidas para n - 1 reais positivos quaisquer, ocorrendo a igualdade
em uma qualquer delas se e só se os n - 1 números forem todos iguais.
Agora, consideremos n 2: 3 reais positivos a 1 , a2 , ... , an, e seja
Hi(b1, ... , bn-1),
para O ::; i ::; n - 1. Pela hipótese de indução, para 1 ::; i ::; n - 2
temos
H;(aj) = H;(bj) 2: Hl_ 1(bj)Hf+ 1(bj) = Hl_ 1(aj)Hf+ 1(aj)·
(5.1)
Resta somente provar que H;,_ 1 (aj) 2: Hn_ 2 (aj)Hn(aj) ou, ainda,
que
[(n: J t, a,
1
> [
(n:
Sendo P
2r ta, ·
â,
â, . .
.â; · ·
a{
>
·ªnl [(:fa, a.] .
= a 1 ... an, provar a desigualdade acima equivale a provar
que
(
J(X) = (X+ a1) ... (X+ an)·
=
1
n
P)
i=l
i
;L~
2
2P
P
2: n(n-1) i<j a·a·
i J
L
Polinômios sobre lR.
126
ou, ainda, que
(n-1)
Fazendo
ai
=
(
1
~ -)
~
a·
i=l i
n
2
1
~2n~-.
~
i<j a·a·
i J
;i , queremos mostrar que
127
5.3 A regra de Descartes
Corolário 5.11 (McLaurin). Para n > 1 reais positivos a 1 , a 2 , .•. , an,
temos
H1(ai)
~
JH2(aj) ~ 1H3(aj) ~ · · · ~ ~Hn(aj),
com igualdade em ao menos uma de tais desigualdades se, e só se,
todos os ai forem iguais.
Prova. Escreva Hi para Hi(ai)· As desigualdades de Newton nos
dão Hf ~ HoH2 = H2 e H? ~ H1H3. Logo, Ht ~ H? ~ H 1H 3, de
modo que H't ~ H3 e, daí, H? ~ H 1H 3 ~ H! 13 H 3 = Hi/ 3. Assim,
H1 >
H1/2 > Hl/3.
2
3
Suponha que já mostramos que
H1_
> H1/2
> Hl/3
> ... >
Hl/k
2
3
k ,
para algum k < n. Então,
2
Hk
onde a última desigualdade é simplesmente a desigualdade entre as
médias quadrática e aritmética dos a/s (veja o problema 7.3.3 de [10]
ou, ainda, o teorema 6.63 de [12]).
Quanto à igualdade, se H;,_ 1 (aj) = Hn(ai)Hn_ 2(aj), então, pelo
que fizemos acima, temos a 1 = · · · = an e, daí, a 1 = · · · = ªn·
Por outro lado, se Hf(ai) = Hi_ 1(ai)Hi+I(ai) para algum 1 :::;; i :::;;
n - 2, éntão (5.1) nos dá Hf (bj) = Hi-i(bi)Hi+I(bi)· A condição de
igualdade na hipótese de indução garante, agora, que b1 = · · · = bn-I
e, a partir daí, é imediato que a 1 = · · · = ªn·
D
O corolário a seguir, usualmente imputado ao matemático escocês
do século XVIII Colin McLaurin, traz o refinamento prometido da
desigualdade entre as médias.
k-1
~
Hk-1Hk+1
~
~
Hk k Hk+I,
2-( k-1)
l!!±.!
o que nos dá Hk
k
~ Hk+l ou, ainda, Hk k ~ Hk+l· Essa última
desigualdade equivale a Ht 1k ~ Ht(~+I).
Para a igualdade, suponha que Ht/k = Ht(~+I). Então, temos
Hf = Hk-lHk+l pois, do contrário, teríamos
2
Hk > Hk-1Hk+1
k-1
~
~
Hk k Hk+I,
2-( k-1)
l!!±.!
de sorte que Hk
k
> Hk+l ou, ainda, Hk k > Hk+I, o que é uma
contradição. Assim, a condição para igualdade nas desigualdades de
D
Newton nos dá a1 = · · · = ªn·
5.3
A regra de Descartes
O resultado principal desta seção relaciona o número de raízes positivas de um polinômio de coeficientes reais ao número de mudanças de
Polinômios sobre IR
128
sinal de seus coeficientes não nulos. Dentre os resultados demonstrados anteriormente neste capítulo, sua prova utiliza somente o teorema
de Bolzano e, portanto, poderia ter sido dada logo após o mesmo;
contudo, adiamos sua discussão a fim de privilegiar a exposição dos
resultados mais básicos, apresentados anteriormente.
Comecemos com o lema combinatório abaixo, o qual pode ser facilmente demonstrado, por indução por exemplo.
l1\,:i
I''''
Lema 5.12. Em relação ao alfabeto { +, -}, sejam A o conjunto das
palavras finitas com sinais inicial e final distintos e B o conjunto das
palavras finitas com sinais inicial e final iguais. Para cada palavra ·
finita a, seja v( a) o número de pares de sinais consecutivos e distintos
129
5.3 A regra de Descartes
Lema 5.14. Seja g um polinômio não constante de coeficientes reais
e c ~ O ~m real dado. Se J(X) = (X - c)g(X), então V(f) - V(g) é
um inteiro positivo ímpar.
Prova. Façamos indução sobre og.
= 1:2 é claro que podemos supor g mônico. Se g(X) = X, então
f(X) = X - cX, de modo que V(f) - V(g) = 1. Suponha, agora,
g(X) = X - a, onde a> O. Então, f(X) = X 2 - (a+ c)X + ca, de
modo que V(f)-V(g) = 2-1 = 1. O caso g(X) = X +a onde a> o
é igualmente fácil: f(X) = X 2 + (a - c)X - ca e, co~o -ca < o'.
(a) og
seg~e d~ lema ~ ..12 que V(f) é ímpar. Portanto, V(f) - V(g) = V(f),
um mteiro positivo ímpar.
em a. Então:
(a)
a E
(b) a
E
(b) Suponha o resultado válido para todo polinômio g tal que f)g < n
onde n > 1 é inteiro, e tome um polinômio g de grau n. Dado u~
polinômio qualquer h, denotaremos, sempre que necessário por a e
.
'
h
(3h respectivamente
o coeficiente líder de h e o coeficiente do termo de
h de menor grau. Assim,
A~ v(a) - l(mod 2).
B ~ v(a) - O(mod 2).
Precisamos, agora, da definição a seguir.
Definição 5.13. Seja
com r 2:: s. Há três casos a considerar:
um polinômio não constante de coeficientes reais, com kn > kn-1 >
· · · > k1 > k0 2:: O e aj #- O para O ~ j ~ n. Defina a sequência
VJ = (an, O:n-1, ... , 0:1, ao) pondo, para cada inteiro O~ j ~ n,
. _ { +,
ªJ -
-
'
• Todos os coeficientes de g são positivos: supondo novamente (e
sem perda de generalidade) g mônico, seja g(X) = xn + ... +
aXl, com l < n. Então,
f(X) = (X - c)g(X) =
se aj > O
se a·<Ü
J
.
A variação de f, denotada V(f), é o número de pares de sinais consecutivos distintos em v1 .
Para nossos propósitos, o resultado a seguir é crucial.
xn+i + ... - caXz '
com ca < O; pelo lema 5.12 concluímos que V(f) é ímpar e, daí,
que V(!) - V (g) = V(!) é positivo e ímpar.
• Existem polinômios u e v tais que g
u(X) = auXr
+ · · · + f3uX8,
= u + v, com
v(X) = avXP + ... + f3vXq,
130
131
5.3 A regra de Descartes
com n = r 2'.: s, p 2'.: q e p + 1 < s. Então,
(X - c)g(X)
=
=
• g(X)
(X - c)u(X) + (X - c)v(X)
(auxr+l + ... - cf3uX 8 )
+ (avXP+l + · · · - cf3vXª),
uma vez que p + 1 < s. Distingamos, agora, dois subcasos:
avf3u > O e avf3u < O. No primeiro deles, temos V(g) = V(u) +
V(v). Porém, (-cf3u)av < O, de modo que, por (5.2),
V(!)
=
V((X - c)g)
=
V((X - c)u) + V((X - c)v) + 1.
Pela hipótese de indução (em princípio u tem grau r = n; contudo, s > 1 implica que podemos aplicar a hipótese de indução '.
a w(X) = auxr-s + · · · + f3u, uma vez u(X) = X 8 w(X).), segue
que
V(!) 2'.: (1 + V(u))
+ (1 + V(v)) + 1 > V(g) + 1
e, módulo 2,
V(!) - (1 + V(u))
+ (1 + V(v)) + 1 _ V(g) + 1.
No segundo subcaso, avf3u < O, temos
V(g)
=
V(u)
anXn
+ an_ 1 xn- 1 + · · · + akXk,
com an, . .. , ak
+ V(v) + 1
g = 9o - 91
Oe
+ · · · + (-1 )t9t,
tal que cada gi = aiXki + · · · + /3iX 1i (ki 2'.: li) tem todos os
coeficientes positivos e, parai< t, li= ki+l + 1. Então V(g) = t
e
(X - c)g
=
=
=
(X - c)go - (X - c)g1 + · · · + (-ll(X - c)gt
(X - c)(aoXkº + · · · + /30 X 10 )
- (X - c)(a1Xk1 + · · · + /31Xli) + · · ·
+ (-l)t(X - c)(atXkt + · · · + f3tX 1t)
a 0 Xko+l + · · · - (a1 + c/3o)X10 + · · · + (a2 + c/31)Xli
+ · · · - (a3 + c/32)X12 + · · · + (-l)t(at + cf3t-1)X1t - i
+ ... + (-l)t+lC/3tXlt.
Assim, pelo lema 5.12, há um número ímpar (e, daí, pelo menos
um) de pares de coeficientes consecutivos de sinais contrários em
cada um dos t + 1 intervalos com reticências acima, de forma que
+ 1;
segue também da observação acim que, módulo 2,
V(!)= V((X - c)g) _ t + 1 = V(g)
=
i=
nem todos positivos: escreva
V(!)= V((X - c)g) 2'.: t + 1 = V(g)
e, por (5.2),
V(!)= V((X - c)g)
=
+ 1.
V((X - c)u) + V((X - c)v).
D
Usando novamente a hipótese de indução, obtemos
V(!) 2'.: (1 + V(u))
+ (1 + V(v))
=
V(g)
+1
e, módulo 2,
V(!)= (1 + V(u))
+ (1 + V(v)) = V(g) + 1.
De posse do lema anterior, podemos enunciar e provar o resultado
do teorema a seguir, o qual é conhecido como a regra de Descartes4
para polinômios de coeficientes reais.
4 Após René Descartes, matemático e filósofo francês do século XVII, conhecido
como o pai da Geometria Analítica.
132
5.3 A regra de Descartes
Teorema 5.15. Seja f um polinômio não constante de coeficientes
reais. Se R+(f) denota o número de raízes positivas de f, então
V(f) - R+U) é um inteiro par e não negativo.
Corolário 5.16. Se f é um polinômio não constante de coeficientes
reais e R_(J) é o número de raízes negativas de f, então V(f (-X))R-U) é par e não negativo.
Prova. Façamos indução sobre o grau de f.
Se &f = 1 suponhamos, sem perda de generalidade, que f é
mônico. Se J(X) = X ou J(X) = X + a, com a > O, então
V(f) - R+(f) = O - O = O. Se J(X) = X - a, com a > O, então V(f) - R+U) = 1-1 = O.
Suponha, agora, o teorema válido para todo polinômio de grau
menor que n, onde n > 1 é inteiro, e seja
Prova. Imediata, a partir do teorema 5.15, juntamente com o fato de
D
que a E R_(J) se, e só se, -a E R+(f).
133
Exemplo 5.17. Sejam ao, a1, ... , ªn-l reais não negativos e não todos
nulos. Calcule o número de raízes positivas do polinômio
X n - ªn-1 xn-1 - · · · - a1 X - ao.
Solução. Se f denota o polinômio do enunciado, a regra de Descartes
garante que V(f) -R+(f) é não negativo e par. Mas, como V(f) = 1,
é imediato que R+ (!) = 1.
D
um polinômio de grau n. Há dois casos a considerar:
• R+(f) = O: nesse caso, basta mostrar que V(f) é par. Como
f (O) = a0 e f (x) tem o sinal de an para todo real x suficientemente grande (por uma estimativa análoga àquela que precede
3. 7)), o fato de que R+ (!) = O garante, via teorema de Bolzano,
que anao > O; daí, o lema 5.12 garante que V(f) é par.
• R+U) > O: tomando uma raiz positiva e de f, existe um polinômio não constante g tal que f(X) = (X - c)g(X). O lema
5.14 garante a existência de um inteiro ímpar e positivo J, tal
que
V(f) - R+(f) = (V(g) + I) - (R+(g) + 1)
= (V(g) - R+(g)) + (I - 1).
Problemas - Seção 5.3
1. Para cada n E N, seja an uma raiz real positiva do polinômio
xn - xn-l - xn- 2 - • • • - X - 1. Mostre que, para todo tal n,
temos
1
1
2- - -< an -< 2 - 2n-l
2n.
2. (Leningrado.) O polinômio de terceiro grau e coeficientes reais
aX 3 + bX 2 + cX + d tem três raízes reais distintas. Calcule o
número de raízes reais do polinômio
4(aX 3 + bX 2 + cX + d)(3aX + b) - (3aX 2 + 2bX + c)2.
Como, pela hipótese de indução, V(g) - R+(g) é par e não negativo, segue que V(f) - R+(f) é também par e não negativo.
D
134
Polinômios sobre lR
CAPÍTULO 6
!
i
I': .
li,I
k
li'
Interpolação de Polinômios
O corolário 3.10 garante que há, no máximo, um polinômio de grau
n que assume valores predeterminados em n + 1 valores complexos
distintos da variável. O que não sabemos ainda é se um tal polinômio
realmente existe. Por exemplo, há um polinômio f de coeficientes
racionais, grau 3 e satisfazendo as condições f(ü) = 1, f(l) = 2,
f(2) = 3 e f(3) = O? Estudaremos, aqui, técnicas que possibilitam
responder essa pergunta, técnicas essas denominadas genericamente
de interpolação de polinômios. Em especial, discutiremos a classe
dos polinômios interpoladores de Lagrange, os quais serão, por sua
vez, utilizados para resolver sistemas lineares de Vandermonde sem o
recurso aos métodos da Álgebra Linear. A seu turno, o conhecimento
das soluções de um tal sistema nos possibilitará estudar, na seção 9.1,
uma classe particular importante de sequências recorrentes lineares,
estendendo parcialmente o material da seção 4.3 de [10].
135
Interpolação de Polinômios
136
6.1
Bases para polinômios
Para o que segue, lembre-se de que K representa um qualquer dos
conjuntos numéricos (Q, IR ou C. Precisamos, inicialmente, estabelecer
uma convenção útil.
Notação 6.1. Para n E N e 1
Kronecker 1 por
ô·.
={
iJ
~
i, j
1, se i
O, se i
~
=j
=f. j
n, definimos o delta de
j=l
para 1 ~ i ~ n.
Agora, sejam dados n EN e elementos dois a dois distintos a 1 , a 2 ,
... , ande K. Para 1 ~ i ~ n, definimos o polinômio Li E K[X] por
II
ªi = (X -ª1) . . . (x=;,i) . . . (X -ªn) ,
X a·i - a·J
a·i - a 1
Teorema 6.2 (Lagrange). Dados n EN e a 1 , ... , an, b1 , ... , bn E K,
com a1, ... , an dois a dois distintos, existe exatamente um polinômio
f E K[X], de grau menor que n e tal que f(ai) = bi, para 1 ~ i ~ n.
Mais precisamente, tal polinômio é
f(X) =
I:Ôijbj = bi,
l:$j:$n
Essa propriedade permite, como veremos no teorema a seguir, construir polinômios que assumam valores pré-fixados em elementos distintos de K também pré-fixados; tal resultado é conhecido como o
teorema de interpolação de Lagrange.
n
n
=
137
.
A vantagem da notação acima vem do fato de podermos usá-la
como um marcador de posições, no seguinte sentido: dados n E N
e uma sequência (b 1 , ... , bn) em K, temos
Li(X)
6.1 Bases para polinômios
a·i - a·i
a·i - an
L bjLj(X),
onde os Li são os polinômios interpoladores de Lagrange para o subconjunto { a1, ... , an} de K.
Prova. A unicidade segue do corolário 3.10. Por outro lado, tomando
f como em (6.1), basta mostrarmos que 8f < n e f(ai) = bi, para
1 ~ i ~ n.
Como 8Li = n - 1 para 1 ~ j ~ n e o grau de uma soma de
polinômios (sempre que tal soma for não nula) não ultrapassa o maior
dentre os graus das parcelas, é imediato que 8f < n. Para o que falta,
basta ver que
n
n
j=l
j=l
#i
onde o sinal '"' sobre um fator indica que o mesmo está ausente do
produto considerado. Tais polinômios Li são os polinômios interpoladores de Lagrange para o conjunto {a1 , ... , an}·
É imediato verificar que, para todos 1 ~ i, j ~ n, tem-se
D
Uma maneira equivalente de formular o resultado acima é dada
pelo corolário a seguir.
Corolário 6.3. Sejam n E N e a 1 , ... , an elementos dois a dois distintos de K. Se f E K[X] \ {O} satisfaz 8f < n, então
n
J(X) =
1 Após
o matemático alemão do século XIX Leopold Kronecker.
(6.1)
j=l
L f(ai)Li(X).
i=l
Interpolação de Polinômios
138
6.1 Bases para polinômios
139
Prova. De fato, definindo
n
g(X)
=
L J(ai)Li(X),
L4(X) =
1$j$5
i=l
#4
temos âf, âg < n e, pela demonstração do teorema anterior, g(ai) =
f(ai), para 1 :::;; i :::;; n. Segue novamente do corolário 3.10 que g =
f.
D
Colecionamos, a seguir, dois exemplos de aplicação dos polinômios
interpoladores de Lagrange.
Exemplo 6.4. Encontre um polinômio f E (Q[X] tal que J(l)
f(2) = 2, f(3) = 1, f(4) = -6 e f(5) = 4.
=
12,
Solução. Explicitemos, primeiramente, os polinômios interpoladores
de Lagrange para o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}:
Li(X)
=
-j
II X
1- j
=
II X4-J
- ! = (X - 1) (X - 2) (X - 3) (X - 5)
4-1
4-2
4-3
4-5
(X1-- 33) (X1-- 44) (X1-- 55)
(X - 2)
1- 2
=
-~(X 4 -11X 3 + 41X 2 - 61X + 30)
e
L5(X) =
II X5-J
- ! = (X - 1) (X - 2) (X - 3) (X - 4)
5-1
5-2
5-3
5-4
1$j$5
#5
=
1 4
24 (X
-
10X3 + 35X2 - 50X + 24).
Portanto, de acordo com o corolário anterior podemos tomar
f(X)
=
12L1(X) + 2L2 (X) + L3 (X) - 6L 4 (X)
=
19 x 4
12
_
55 x 3 + 233 x 2
3
4
_
775 x
6
+ 4L5 (X)
+ 86 _
1$j$5
#1
=
L2 (X) =
D
_!_(X 4 -
14X 3
24
II X2 -- jj =
+
154X + 120),
71X 2 -
·(x2 --33) (X2 -- 44) (X2 -- 55)
(X - 1)
2- 1
1$j$5
#2
=
L3 (X) =
-~(X 4
-
13X3 + 59X 2
-
- j (X - 1) (X3 -- 22) (X3 -- 44) (X3 -- 55)
II X
3- j = 3- 1
#3
!(X4
4
-
12X 3 + 49X 2
-
Prova. Pela fórmula de interpolação de Lagrange, temos
107X + 60),
1$j$5
=
Exemplo 6.5. Seja f um polinômio mônico, de coeficientes reais e
grau n, e sejam xi, x2 , ... , Xn+1 inteiros dois a dois distintos. Prove
que existe 1 :::;; k:::;; n + 1 tal que lf(xk)I 2::: ;l.
78X + 40),
Comparando os coeficientes líderes nos dois membros da igualdade
acima, obtemos
140
Interpolação de Polinômios
Agora, se M = max{IJ(xk)I; 1 $ k $ n + 1} e Pi= ni-1- .(xj - xi)
temos
,J
'
n+l f( )
n+l
n+l
1= L ~ $Llf(~j)I $ML-l.
j=l PJ
j=l IPJ I
j=l IPj I
Mas, como E7~[ /~/ é simétrico em relação a x 1 , x 2 , .•. , Xn+i, podemos supor (após reenumerar os x/s, se necessário) que x 1 < x 2 <
· · · < Xn+I · Assim,
IPil = (xj - x1) ... (xj - Xj-1)(xj+l - Xj) ... (xn+I - xj)
admite uma única solução em K. Em particular, se a 1
então X1 = · · · = Xn = Ü.
= · · · = an = O,
Prova. Se J(X) = Co + c1X + · · · + Cn-1xn-l E K[X], então, multiplicando as equações do sistema respectivamente por c0 , c1 , ... , Cn-1
e somando os resultados, obtemos
Agora, fixado 1 $ i $ n, o teorema 6.2 nos permite escolher unicamente c 0 , c1, ... , Cn-1 em K (i.e., escolher !) de modo que f(a 1 ) =
= (j - l)!(n + 1 - j)! = :' .
.·· =
ou, o que é o mesmo l M >
-
n!
o
A seguir, mostramos como utilizar polinômios interpoladores de
L_agran~e para resolver certos tipos de sistemas lineares de equações,
ditos sistemas de Vandermonde2 , os quais encontrarão utilidade
na seção 9 .1.
Proposição 6.6 (Vandermonde). Dados elementos a 1 , a2, ... , an,
ª1, a2, · · ·, an de K, sendo a1, a2, ... , an dois a dois distintos o
sistema linear de· equações
+ X2 + · · · + Xn
a1x1 + a2x2 +···+an x n
a~x1 + a 2
2x2 + · · · + an2x n
'
-
af- 1x1
+ a~- 1x2 + · · · + a~-lXn
=
f(X) = aofo(X)
(6.2)
an
~-::-~~~~~~~~-
2 Alexandre-Theóphile
=
1. Portanto, a igualdade
Vandermonde, matemático francês do século XVIII.
O
Definição 6.7. Uma base para K[X] é uma sequência3 (!o, li, h, .. .)
de elementos de K[X] satisfazendo a seguinte condição: para todo
f E K[X], existem únicos n E Z+ e a0 , ... , an E K tais que
G1
a3
O e f(ai)
Uma limitação dos polinômios interpoladores de Lagrange para um
subconjunto finito de K vem do fato de que, com eles, só geramos o
conjuto dos polinômios de graus menores que o número de elementos
do conjunto em questão. Remediamos essa situação com a seguinte
definição mais geral.
,..,
uc 2
,
=
e a arbitrariedade do 1 $ i $ n escolhido termina a demonstração.
2n·
X1
--
f(ai) = · · · = f(an)
acima garante que deve ser
De posse das estimativas acima, obtemos finalmente
n+l
n+l
,
l $ M L - l $ M L ! ( . n )=2nM
i=l IPil
i=l n! J - 1
n!
1
141
2 [(j - 1) ... 2 · 1][1 · 2 ... (n + 1 - j)]
C-1)
'
6.1 Bases para polinômios
+ · · · + anfn(X).
Exemplo 6.8. Uma maneira simples de construir uma base para K[X]
é tomar uma sequência (!0 , J1 , h, .. .) de K[X] tal que 8fi = j, para
uma sequência (IJ)i?.O em IK[X] ê uma função <I>: Z+-+ IK[X],
<I>(j), para j ~ O.
3 Formalmente,
tal que ÍJ
=
Interpolação de Polinômios
142
j 2::: O. Para mostrar que um tal sequência é realmente uma base para
OC:[X], temos de provar as duas afirmações a seguir:
6.1 Bases para polinômios
143
aG)
de que
= k, para todo k E Z+. Quanto a (ii), basta mostrarmos
que, para todo n E Z+, existem a0 , a 1, ... , an E OC: tais que
(6.3)
(i) Se a0 , a 1, ... , an e b0 , b1, ... , bn são elementos de OC: tais que
então ai = bi, para O :::::; i :::::; n.
(ii) Para todo f E IK[X], existem n EN e a0 , a1, ... , an E OC:, tais que
f(X) = aofo(X)
+ aif1(X) + · · · + anfn(X).
Deixamos ao leitor a verificação de que a validade das afirmações dos
itens (i) e (ii) acima é realmente equivalente ao fato de que tal sequência de polinômios é uma base ( veja o problema 1).
Como caso particular do exemplo acima, note que a sequência
(1,x,x 2 ,x3 , ... )
é uma base para IK[X] (como, aliás, já sabíamos).
No que segue, construímos, a partir dos números binomiais, uma
base bastante útil para IK[X]. Para tanto, precisamos da definição a
segmr.
Definição 6.9. Para k E Z+, definimos o k-ésimo polinômio binomial (~) por (~) = 1, (~) = X e, para k > 1,
(~) =
Sem apelar diretamente para o resultado do exemplo supracitado, façamos indução sobre n 2::: O. Para n = O e n = 1, a validez de (6.3)
segue da definição de polinômio binomial. Suponha agora que, para
um certo k E N, existam a0 , a 1, ... , ak E OC: satisfazendo (6.3) quando
n = k. Então,
t,x(x
-1) ... (X - k + 1).
Como aplicação do exemplo 6.8, afirmamos que a sequência dos
polinômios binomiais é uma base para IK[X]. Para tanto, basta mostrarmos que as condições dos itens (i) e (ii) são satisfeitas. A verificação da validade da condição (i) segue, como no exemplo 6.8, do fato
(6.4)
e, para terminar, basta ver que
( ~) X
J
= -;, X (X - 1) ... (X - j + 1) (X - j + j)
J.
1
= --:,X(X - 1) ... (X - j + l)(X - j)
J.
+ ~1X(X J.
= (j +
1) ... (X - j
+ 1)
1) (j : 1) + j ( ~).
Ainda que o conceito de base de polinômios, conforme formulado
nesta seção, não se aplique ao conjunto dos polinômios de coeficientes
inteiros, uma rápida revisão da discussão acima estabelece o seguinte
resultado mais geral.
Proposição 6.10. Se f E IK[X] \ {O} é um polinômio de grau n, então
existem únicos a0 , a 1, ... , an E OC: tais que
Ademais, se f E Z[X], então podemos tomar a0 , a 1, ... , an E Z.
144
Interpolação de Polinômios,.
Prova. É suficiente provar que os coeficientes a0 , a 1 , ... , an em (6.3)
são inteiros. Argumentando novamente por indução, suponha que tal
afirmação é verdadeira quando n = k. Então, os cálculos subsequentes a (6.4) fornecem
145
6.1 Bases para polinômios
(uma vez que (J)(k) = O se j > k). Agora, aplicando o lema 2.12 de
[13], concluímos que
para O:::;; k:::;; n. Mas, uma vez que (1)(x) E Z para todo x E Z (veja
D
O problema 2), segue de (6.5) que f(x) E Z, para todo x E Z.
Problemas - Seção 6.1
com ª-1 = ak+l = O. Portanto, ai E Z, para O :::;; j :::;; k + 1, de forma
que j(ai-l + ai) E Z, para O :::;; j :::;; k + 1, completando o passo de
indução.
D
Vejamos um exemplo interessante de aplicação das ideias discutidas
acima.
Exemplo 6.11. Seja f E JR[X] um polinômio de grau n e suponha
que J(O), f(l), ... , f(n) sejam inteiros. Prove que f(x) é inteiro para
todo inteiro x.
Prova. Pela proposição acima, existem a0 , a 1 , ... , an E lR tais que
(6.5)
Portanto, para O :::;; k :::;; n fixado, temos
f(k)
= t ª i (~) (k) =
j=O
J
1.
* Termine a discussão do exemplo 6.8.
2.
* Para k E Z+, prove que
(1)(x) E Z, para todo x E Z.
3. (Estados Unidos.) Seja f um polinômio de grau n, tal que J(k) =
(nt1)- 1 para O :::;; k :::;; n. Calcule f (n + 1).
4. (Canadá.) Seja f um polinômio de grau n, tal que f(k) =
para todo inteiro O :::;; k :::;; n. Calcule f (n + 1).
5. Seja n um natural dado.
(a) Mostre que O, -1, -2, ... , -n são raízes do polinômio
f(X)
=
t(-l)i(~)x(X+l) ... (x+J) ... (X+n)-n!.
j=O
J
(b) Conclua, a partir de (a), que, para todo k EN, tem-se
t
j=O
(~)ai
J
k!l
.(n)
~(-l)J
n
j
1
n!
k+j = k(k+l) ... (k+n)"
146
Interpolação de Polinômios
147
6.2 Diferenças finitas
Definição 6.12. Sejam h um número real e f: lR-+ lR uma função
dada. Para k 2:: O inteiro, definimos a k-ésima diferença finita de
f com incremento h. como a função D.~f : lR -+ JR, dada por:
(c) Use o item (b) para calcular, em função de n, o valor da
soma
I: k(k + 1) ... (k + n)"
1
k2::l
(a} D.if =f.
6. Dados números reais dois a dois distintos a, b, c e d, resolva
sistema de equações
ax1 + a2x2 + a 3 x3 + a4x4
bx1 + b2x2 + b3 x3 + b4x4
+ c 2 X2 + C3 X3 + C4 X4
dx1 + d2x2 + d3 x3 + d4x4
CX1
O
i
=
j=O
,:1 , , li
·I:,,
;!,
Prove que X - 1 divide Pi(X), para O :Si :S n - 2.
8. (Leningrado.) Uma sequência finita a 1 , a2, ... , an é p-balanceada
se todas as somas da forma
,
(a) Se f é constante, então D.hf
=
1
1
•'!'
6.2
Diferenças finitas
Outra técnica de interpolação útil, mas um tanto mais elaborada,
é a das diferenças finitas. Esboçamos os rudimentos da mesma nesta
seção.
JR.
O.
(b) Se a e b são constantes reais, então D.h (af + bg) = aD.hf + bD.hg.
(c) D.h(f g) = (b.hf)(g + D.hg)
+ f D.h9·
(d} D.~f = D.~- 1(b.hf), para todo k EN.
(e) Se k 2:: O e x
E
JR, então
(b.~f)(x) - ~(-1);
':I
E
Proposição 6.13. Nas notações da definição anterior, dados h E lR
e f, g : lR -+ JR, temos que:
k
forem, para k = 1, 2, ... , p, iguais entre si. Prove que, se n = 50
e a sequência (aih~i 90 for p-balanceada para p = 3, 5, 7, 11,
13 e 17, então todos os seus termos são iguais a zero.
f(x), para todo x
A fim de que tal definição tenha utilidade, precisamos das propriedades de D.~f contidas na proposição a seguir.
1
(xn-i + xn- 2 +···+X+ l)p(X).
+ h) -
(c} D.~f = D.h(D.~- 1!), se k 2:: 2.
1
1
1
7. (Estados Unidos.) Sejam n > 3 inteiro e p, Po, Pi, ... , Pn- 2
polinômios tais que
n-2
LXipi(Xn)
(b} (b.if)(x) = (D.hf)(x) = f(x
Prova.
(a) Para x E JR, temos D.hf(x) = f(x
é constante.
G)t(x+ (k- j)h).
+ h) -
f(x) = O, uma vez que f
(b) Para x E JR, temos
(b.h(af
+ bg))(x)
=
+ bg)(x + h) - (af + bg)(x)
a(f(x + h) - f(x)) + b(g(x + h) -
=
a(b.hf)(x) + b(D.hg)(x).
=
(af
g(x))
Interpolação de Polinômios
148
(c) Façamos indução sobre k 2:: 1, sendo o caso k = 1 imediato. Suponha, por hipótese de indução, que a fórmula valha para um certo
k EN. Para k + 1, temos:
J(x + (k + l)h)
=
f(x
+ kh) + (ô.1f)(x + kh)
k
= f(x
+kh) + ~
G)
k
G)
G)
+ ~ G)
G)
=~
(À~-; J)(x)
=
(À!-; f)(x) + (,:l~+l J)(x)
t
+~
(Á~+H f)(x)
=
(,:l~+l f)(x)
t.(-1);
G)
·(l)
=
+ (l -
j)h)
f(x + (l + l)h)
+ t.(-1);
(e: e~
1) -
1)) f(x + (l+ 1- j)h)
G)1cx + (l - j)h)
~(-l)i (l : 1) f(x + (l + 1- j)h)
- t.(-1);
(Áincx)
1
=
J
(d) Façamos indução sobre k 2:: 1, sendo o caso k = 1 imediato a
partir da definição 6.12. Suponha, por hipótese de indução, o resultado
verdadeiro quando k = l 2:: 1. Para k = l +1, aplicando sucessivamente
a o item (c) da definição 6.12, a hipótese de indução e novamente o
f(x) = (,:lif)(x).
f(x +h + (l - j)h)
l
3 j
- ~(-1)
f(x
(,:lH f)(x)
k+l ( k ~ 1) (ô.~+1-j f)(x).
I:
j=O
O ex E JR, então
= ô.h(ô.~f)(x) = (ô.~f)(x + h) - (ô.~f)(x)
=
·
1)) (Át+l)-(j+l) f)(x)
=
Suponhamos, agora, que a fórmula valha quando k = l 2:: O, e
provemos sua validade para k = l + 1. Para x E JR, aplicando sucessivamente o item (c) da definição 6.12 e a hipótese de indução, obtemos
+ +te: 1)
+t (G) +e;
+
(À:-; f)(x)
= (,:l:+1 f)(x)
ô.~+lf = ô.'fi(ô.~f) = ô.h(ô.~-l(ô.hf)) = ô.~(ô.hf).
(ô. 1+1 f)(x)
Agora, executando uma troca de índices na última soma acima e utilizando a relação de Stifel, obtemos f(x + (k + l)h) sucessivamente
igual a
t G)
item (c) da definição 6.12 (desta feita à função ô.hf, no lugar de!),
obtemos
t,(-1); G)f(x) = (-l)ºG)f(x) =
k
(Á~-(i-1) f)(x).
149
(e) Façamos indução sobre k 2:: O. Se k
(Á~-;(,:l!.f))(x)
k
6.2 Diferenças finitas
- t.(-1/
e~
(l)
1)f(x + (l + 1- j)h)
l
3. j
- ~(-1)
f(x
+ (l -
j)h),
Interpolação de Polinômios
150
onde utilizamos a relação de Stifel (6.2) de [10] na penúltima igualdade
acima. Portanto,
t,!+1 f(x) =
t{-1);
+
n·'''"'
'ii-;i'1·
,1'
li
1)1<x + (l
t{-li G)
(!J.hf)(x) = f(x
f(x + (l - j)h)
J!
:11 '
= t{-1);
1)t<x + (l
+ 1- j)h)
Conforme ficará patente nos dois exemplos a seguir, a principal
utilidade das fórmulas para diferenças finitas discutidas acima é o fato
de as mesmas nos permitirem calcular diretamente o valor que um
polinômio assume em um ponto que não os de interpolação, caso tais
pontos de interpolação sejam os termos de uma progressão aritmética.
·(l) f(x + (l - j)h)
- ~(-1) ·(l) f(x +
l
1
+ L(-1)
l
=
t{-1);
.
J
j=O
3
j
e:
f(x),
1J.t-
.
e:
+ h) -
e este é o valor do polinômio !J.hf(X) := f(X +h)- f(X) para X= x.
Agora, observe que !J.hf(X) tem grau k -1. Portanto, argumentando
por indução sobre o grau de um polinômio, segue do item (d) da
1(/J.hf) tem grau O, de sorte que é
proposição anterior que !J.~f =
constante. Logo, !J.~f(X) = O para l > k.
D
J
j=O
si, ao passo que as l-ésimas diferenças, com l > k, são todas iguais
a zero.
Prova. Para x E IR, temos
+ 1- j)h) - {-1)1+1 f(x)
·(l) f(x + (l - j)h)
l
1
,I)-1)
i:l,1
:!
e:
151
6.2 Diferenças finitas
(l - j)h)
Exemplo 6.15. Seja f E lR[X] um polinômio de grau m 2:: 1, tal que
f(j) = ri para O:::; j :::; m, onde r é um real positivo dado. Calcule os
possíveis valores de f (m + 1).
1)1<x + (l + 1- j)h)
D
Dentre as propriedades de diferenças finitas elencadas na proposição acima, a que encontra uso mais frequente em problemas de interpolação é a do item (e), principalmente quando combinada com o próximo resultado. Note que a proposição anterior se refere a diferenças
finitas de funções em geral, ao passo que o que segue é especificamente
relacionado a diferenças finitas de polinômios.
Proposição 6.14. As k-ésimas diferenças finitas, com incremento
h, de um polinômio de coeficientes reais e grau k são todas iguais entre
Solução. Ponha h = 1 e escreva !J.k f para denotar !J.tf. O item (e)
da proposição 6.13 garante que
k
1:,• f(x) =
~{-1);
G) f(x +
para todo x E R Mas, uma vez que
nos dá, então,
af
k - j)
= m, a proposição anterior
ri
i,I
11
152
Interpolação de Polinômios
Portanto,
m+l
(
)
/(m+l) = ~{-l)i+' m;l /{m+l-j)
6.2 Diferenças finitas
153
Para o que falta, note inicialmente que 997 é primo (utilize o crivo
de Eratóstenes, por exemplo). Portanto, o pequeno teorema de Fermat
garante que 2996 1 (mod 997), de sorte que
21992
= (2 996 )2 - 1 (mod 997).
A partir daí, é imediato que
= rm+l - I:(-l)j
(m ~
l)rm+l-j
f(1994)
= 21994 - 2
=22 -
2 - 2 (mod 997).
J
j=O
= rm+l - (r - l)m+1,
onde utilizamos a fórmula de expansão binomial de (r - l)m+l na
última igualdade acima.
D
Assim, temos o sistema linear de congruências
{
!(1994) O(mod2)
!(1994) - 2 (mod 997)
'1 1 1
A solução do próximo exemplo utiliza livremehte alguns conceitos e resultados básicos de Teoria dos Números, os quais podem ser
encontrados em [14].
Exemplo 6.16. Seja f um polinômio de grau 1992, tal que f(j) = 2i
para 1 ~ i ~ 1993. Calcule o resto da divisão de f (1994) por 1994.
o qual possui, pelo teorema chinês dos restos, uma única solução,
módulo 2 · 997 = 1994. Mas, como 2 é claramente uma solução, segue
que
!(1994) - 2 (mod 1994).
D
Solução. Combinando o item (e) da proposição 6.13 com a proposição 6.14, e escrevendo novamente l::1k f para denotar l::1tf, temos
1993
t) /{1994- j).
O= t. 1993 /(1) = ~(-1)' ( 19
Problemas - Seção 6.2
1. Prove que, para todo polinômio
f
E IR[X], temos
Portanto,
k
/{1994)
(
)
= 1993
~(-l)i+l 1~93
21994-j
1993
=
(19:3) 2'"' _ 2 ~ ( -1 )' (1~93) 21993-j
= 21994 - 2(2 - 1)1993 = 21994 - 2.
f(x
+ kh) = ~
G)
(L'.~-; f)(x),
para todos h, x E IR e todo k 2:: O.
2. (Canadá.) Seja f um polinômio de grau n, tal que f(k)
para todo inteiro O ~ k ~ n. Calcule f (n + 1).
=
k!l
Interpolação de Polinômios
154
3. (Estados Unidos.) Seja f um polinômio de coeficientes reais e
grau n, tal que J(k) = (nt1)- 1 , para O S k S n. Calcule os
possíveis valores de f(n + 1).
4. Um polinômio f, de grau 990, é tal que J(k) = Fk para 992 S
k:::;; 1982, onde Fk é o k-ésimo número de Fibonacci. Prove que
f (1983) =
,•,tf i:·.
5. Seja
CAPÍTULO 7
F19s3 - 1.
f um polinômio de coeficientes reais, tal que:
(a) f(l) > f(O) > O.
Fatoração de Polinômios
(b) f(2) > 2f(l) - f(O).
(c) f(3) > 3f(2) - 3f(l) + f(O).
(d) J(n + 4) > 4f(n + 3) - 6f(n + 2) + 4f(n + 1) - J(n) para
todo n EN.
Prove que J(n) > O, para todo n EN.
O algoritmo da divisão para polinômios fornece uma noção de divisibilidade em IK[X] quando IK = Q, li ou <C, a qual goza de proprieda-
des análogas àquelas da noção correspondente para números inteiros.
É, então, natural perguntar se, assim como em Z, temos em IK[X]
polinômios primos, os quais forneçam algum tipo de fatoração única,
com propriedades similares às da fatoração única de inteiros. Nosso
propósito neste capítulo é fornecer respostas precisas a tais questões,
as quais encompassarão também polinômios com coeficientes em Zp
(p primo). Referimos o leitor à introdução do capítulo 1 de [10] ou,
mais geralmente, ao capítulo 1 de [14), para uma revisão dos conceitos
correspondentes em Z.
7.1
Fatoração única em (Q[X]
Ao longo desta seção, IK denota Q, li ou <C.
155
····.1··
r
.
1
;·,
.
i:
'
'
Fatoração de Polinômios
156
Dizemos que dois polinômios f, g E IK[X] \ {O} são associados
(em IK[X]) se existir a E lK \ {O} tal que f = ag. Por exemplo, os
polinômios de coeficientes reais
f(X) = 4X 2
-
2X + 1 e g(X)
Definição 7.1. Dados f, g E IK[X] \ {O}, dizemos que d E IK[X] \ {O} é
um máximo divisor comum de f e g, e denotamos d= mdc (!, g),
se as duas condições a seguir forem satisfeitas:
I f, g
em IK[X].
(b) Se d' E IK[X] \ {O} divide f e g em IK[X], então d' 1 d em IK[X].
O próximo resultado, também conhecido como o teorema de Bézout1 para polinômios, garante a existência de um mdc para dois
polinômios não nulos sobre IK, o qual é único a menos de associação
(i.e., a menos de multiplicação por elementos não nulos de IK). Para
o enunciado do mesmo, dado f E IK[X] denotamos por fIK[X] o conjunto dos múltiplos de f em IK[X], i.e.,
flK[X] = {af; a E IK[X]}.
Teorema 7.2. Sejam f, g E IK[X] \ {O}. Se
S
=
{af
+ bg;
a,b E IK[X]},
então existe um polinômio d E IK[X] \ {O} satisfazendo as seguintes
condições:
1 Após
'Etienne Bézout, matemático francês do século XVIII.
( a) S
= dlK[X].
157
Em particular, d I f, g em IK[X].
(b) Todo polinômio em IK[X] \ {O} que divide f e g também divide
d.
1
= 2\/'2X 2 - v'2X + v2
são associados em IR[X], uma vez que f = \129 e v2 E IR\ {O}.
Se f, g E IK[X] \ {O} são dados, dizemos que um polinômio p E
IK[X] \ {O} é um divisor comum de f e g quando p I f, g. Note que
f e g sempre têm divisores comuns: os polinômios constantes e não
nulos sobre IK, por exemplo.
(a) d
7.1 Fatoração única em Q[X]
Ademais, tal polinômio d é único, a menos de associação.
Prova.
(a) Se d E S \ {O} é tal que
ad
= min{ ah;
h E S \{O}},
afirmamos inicialmente que S = dlK[X]. De fato, sendo d= a0 f +b0 g,
com a0 , b0 E IK[X], e c E IK[X], então
cd
=
(cao)f
+ (cbo)g
E S,
i.e., dlK[X] e S. Reciprocamente, tome h E S, digamos h = af + bg,
com a, b E IK[X]. Pelo algoritmo da divisão, temos h = dq + r, com
q, r E IK[X] e r = O ou O ::; ar < ad. Mas, se r # O, então ar < ad e
r
=
h - dq
= (af + bg)
= (a - aoq)f
+ (b -
- (aof + bog )q
boq)g E S,
uma contradição à minimalidade do grau de d em S. Logo, r = O e,
daí, h = dq E dlK[X].
Para a segunda parte do item (a), basta ver que f, g E S = dlK[X],
de forma que, em particular, f e g são múltiplos de d em IK[X].
(b) Seja d1 E IK[X] \ {O} um polinômio que divide f e g, digamos
f = dif1 e g = d191, com f1, 91 E IK[X]. Se a, b E IK[X], então
af + bg
=
(af1
+ bg1)d1
E d1IK[X].
Mas, como af +bg é um elemento genérico do conjunto S, segue então
que
d E dlK[X] =Se d1IK[X];
158
Fatoração de Polinômios
,r
em particular, d é um múltiplo de d1 , conforme desejado.
.J
1
A última afirmação é deixada como exercício para o leitor (veja O
problema 1).
O
1
:
:~··
1
i.
'!.]
•
1
Graças à parte de unicidade do teorema de Bézout, doravante convencionamos que o mdc de dois polinômios não nulos sobre K é sempre mônico. Por outro lado, continuando a paráfrase com a noção de
mdc em Z, dizemos que dois polinômios f, g E K[X] \ {O} são primos·
entre si, ou relativamente primos, quando mdc (!, g) = 1. Isto
posto, temos a seguinte consequência do teorema anterior.
Corolário 7.3. Se f, g E K[X] \ {O}, então f e g são primos entre si.
se, e só se, existem polinômios a, b E K[X] tais que af + bg = 1.
Prova. Se mdc (!, g) = 1, a existência de a, b E .K[X] como no enunciado segue do teorema de Bézout. Reciprocamente, se d= mdc (!, g)
e existem a, b E K[X] tais que af + bg = 1, então, novamente pelo
teorema de Bézout, temos que 1 E dK[X], i.e., d é um divisor do
polinômio constante 1. Mas, uma vez que d é mônico, segue que
d= 1.
o
Corolário 7.4. Sejam f, g E K[X] \ {O} primos entre si eh E K[X] \
{O} tal que âh < â(f g). Então, existem a, b E K[X] tais que a= O ou
âa < âg, b = O ou âb < âf e af + bg = h.
Prova. Pelo corolário anterior, existem a 1 , b1 E K[X] tais que aif +
b1g = 1. Daí, fazendo a2 = a1h e b2 = b1h, temos a2f + b2g = h.
Agora, pelo algoritmo da divisão, temos a2 = gq + a, com a = O ou
O~ âa < âg. Assim,
h ~ (gq
+ a)f + b2g =
af + (qf
= â(bg) = â(h - aí)
~ âh
de sorte que âb < âf.
D
A definição a seguir é central para o restante deste capítulo .
Definição 7.5. Um polinômio p E K[X] \ K é irredutível sobre
][{ se p não puder ser escrito como produto de dois polinômios não
constantes e com coeficientes em K. Um polinômio p E K[X] \ K que
não é irredutível é dito redutível sobre K.
Em geral, é útil refrasear a condição de irredutibilidade contrapositivamente; assim, um polinômio p E K[X] \ K é irredutível se, e só
se, a seguinte condição for satisfeita:
p = gh, com g, h E K[X]
==}
g E K ou h E K.
(7.1)
A fim de dar um sentido mais concreto ao conceito de polinômio
irredutível, vejamos dois exemplos simples.
Exemplo 7.6. É imediato, a partir de (7.1), que todo polinômio p E
K[X] de grau 1 é irredutível; de fato, sendo p = gh, com g, h E K[X],
segue da proposição 2.9 que âg+âh = âp = 1 e, daí, âg = O ou âh = O,
í.e., g ou h é constante. Por outro lado, pelo teorema fundamental
da álgebra (o teorema 3.24), os polinômios irredutíveis em C[X] são
precisamente aqueles de grau 1.
Exemplo 7. 7. Se p E JR[X] é irredutível sobre JR, então âp = 1 ou 2.
De fato, de acordo com o problema 2, página 74, um número complexo
z é raiz de p se, e só se, z também o for. Consideremos, pois, dois
casos separadamente:
+ b2)g
e, fazendo b = qf + b2, temos h = af + bg, com a= O ou âa < âg.
Por fim, como bg = h - af, se b #- O, temos
âb + âg
159
7.1 Fatoração única em Q[X]
< â(f g) = âf + âg,
( a) âp 2:: 3 e p tem pelo menos uma raíz real, a digamos: pelo teste
da raíz (proposição 3.3) temos p(X) = (X - a)h(X), para algum
h E JR[X] de grau 2, e p é redutível sobre JR.
Fatoração de Polinômios
160
(b) 8p 2': 3 e p tem duas raízes não reais conjugadas, digamos z e z:
novamente pelo teste da raiz, temos p(X) = (X -z)(X -z)h(X), para
algum polinômio h E C[X] de grau pelo menos 1. Mas, se z =a+ bi
e g(X) = (X - z)(X - z), então
g(X)
= (X - a - bi)(X - a+ bi) = (X - a) 2 + b2 E II[X].
Portanto, aplicando o algoritmo da divisão à divisão de p por g, concluímos que h E II[X]. Assim, p = gh, com g, h E II[X] \ II, e p é
redutível sobre II.
Graças ao exemplo acima, doravante consideraremos a noção de irredutibilidade de polinômios somente para polinômios sobre Q. Nesse
sentido, um argumento análogo ao do item (a) do último exemplo
acima permite concluir que, se p E Q[X] tem grau 2 ou 3, então p é
irredutível sobre Q se, e só se, não tiver raízes em (Q (veja o problema
7.1 Fatoração única em Q[X]
161
Como p 1 (f g), segue da igualdade acima e do problema 4 que p I g,
conforme desejado.
D
No que segue, mostraremos que todo polinômio f E Q[X] \ Q
pode ser escrito unicamente, a menos de associação, como o produto
de um número finito de polinômios irredutíveis. Mais precisamente,
mostraremos que:
(i) Existem polinômios irredutíveis p 1 , ... ,Pk E Q[X] \ Q tais que
f = P1 .. ·Pk·
(ii) Se q1 , ... , q1 E Q[X] \ Q são também irredutíveis e tais que f =
q1 ... q1, então k = l e, a menos de uma reordenação, Pi e qi são
associados em Q[X].
Comecemos examinando a parte de existência.
3).
Voltando ao conceito geral de polinômio irredutível, note que, se
p E Q[X] \ Q é irredutível, então os únicos divisores de p (em Q[X])
são os polinômios constantes e aqueles associados a p. Temos, pois, o
seguinte resultado importante.
Proposição 7.8. Seja p E Q[X] \ Q irredutível. Se !1, ... , Ík E Q[X] \
{O} são tais que p I fi ... Ík, então existe 1 : : :; i :::::; k tal que p I Íi·
Prova. Por indução, basta mostrarmos que, se p I f g, com f, g E
Q[X] \ {O}, então p I f ou p I g. Se p f f, afirmamos inicialmente que
mdc (f,p) = 1; de fato, se d= mdc (f,p), então d I p, de forma que
d E Q ou d é associado a p em Q[X]. Mas, se d for associado a p,
então segue de d I f que p I f, o que é uma contradição. Logo, d E (Q
e, daí, d= 1.
Agora, pelo corolário 7.3, existem polinomios a, b E Q[X] tais que
af + bp = 1, de sorte que
a(f g)
+ (bg)p =
g.
Proposição 7.9. Todo polinômio f E Q[X] \ Q pode ser escrito como
produto de um número finito de polinômios irredutíveis sobre Q.
Prova. Façamos indução sobre 8f, sendo o caso 8f = 1 imediato
(já vimos que, nesse caso, f é irredutível). Por hipótese de indução,
suponha o resultado verdadeiro para todo polinômio em Q[X] \ Q de
grau menor que n, e tome f E Q[X] \ Q tal que af = n. Se f for
irredutível, nada há a fazer. Senão, podemos escrever f = gh, com
g, h E Q[X]\Q. Logo, 8g, 8h < n, e a hipótese de indução garante que
g e h podem ambos ser escritos como produtos de um número finito de
polinômios irredutíveis sobre Q, digamos g = P1 ... Pi eh = Pi+l ... Pk·
Então f = gh = P1 ... PiPi+l ... Pk, um produto finito de polinômios
D
irredutíveis sobre Q.
O próximo resultado garante a validade da parte de unicidade (a
menos de associação) da representação de um polinômio não constante
sobre Q como produto de polinômios irredutíveis.
Proposição 7.10. Se Pi, ... ,Pk, q1, ... , qz E Q[X] \ Q são irredutíveis e tais que p 1 ... Pk = Q1 ... qz, então k = l e, a menos de uma
reordenação, Pi e Qi são associados sobre Q.
Prova. Se k = 1, temos p 1 = q1 ... qz, e a irredutibilidade de p 1
garante que l = 1. Analogamente, l = 1 ::::} k = 1. Suponha, pois,
k, l > 1; como Pk I q1 ... qz, a proposição 7.8 garante a existência de
1 ::;; j ::;; l tal que Pk I qj. Suponha, sem perda de generalidade, j = l.
Como qz é irredutível e Pk ~ Q, a única possibilidade é que Pk e q1
sejam associados, digamos Pk = uq1, com u E Q \ {O}. Então
163
Fatoração única em Q[X]
Fatoração de Polinômios
162
Problemas - Seção 7 .1
1.
* Complete a prova do teorema 7.2.
2. Sejam
f, g E Q[X] \ Q polinômios tais que
onde Pi, ... ,Pk, Q1, ... , Ql e r 1 , ... , rm são polinômios mônicos e
irredutíveis, dois a dois não associados, e ai, a~, (3j, f3; E N.
Prove que
mdc (!, g) = p]1 .. ·Pl/,
com 'Yi = min{ ai, [3i}, para 1 ::;;
com q~ = Qi para 1 ::;; i < l - 2 e qf- 1 = uq1_ 1 , todos irredutíveis sobre
Q.
Por indução sobre max{k, l}, temos k-l = l-l e, a menos de uma
reordenação, Pi associado a q~ para 1 ::;; i ::;; l - 1. Portanto, a menos
de uma reordenação, Pi e Qi são também associados sobre Q.
D
Resumimos as duas proposições acima dizendo que, em Q[X], temos fatoração única. Assim como em Z, se f E Q[X] \ Q é tal que
f
= P1 · · ·Pk,
com p 1 , ... ,Pk E Q[X] \ Q irredutíveis, então, reunindo os fatores Pi
iguais a menos de associação, obtemos
(7.2)
com q1 , ... , qz E Q[X]\Q irredutíveis e dois a dois não associados, e a 1 ,
... , a 1 EN. A expressão (7.2) (também única a menos de associação)
é a fatoração canônica de f em Q[X], e q1 , ... , qz são os fatores
irredutíveis de f em Q[X].
* Se p
i::;;
k.
3.
Q[X] é um polinômio de grau 2 ou 3, prove que p é
irredutível sobre Q se, e só se, p não tiver raízes em Q.
4.
* Se J, g, h E Q[X] \ {O} são tais que f I g, h, prove que f
E
divide ·
ag + bh, para todos a, b E Q[X].
5. Se f E JR[X] \ lR tem grau maior que 1, prove que f pode ser
escrito, de maneira única a menos de associação, como produto
de um número finito de polinômios irredutíveis sobre R
6. O objetivo deste problema é estabelecer a existência de decomposições de quocientes de polinômios em frações parciais. Para
tanto, sejam dados f, g E K[X] \ {O}.
(a) Se 8 f < og e g = gf 1 ••• g~k é a fatoração canônica de
g em polinômios irredutíveis de K[X], prove que existem
polinômios J1 , ... , Ík em K[X], tais que Íi = O ou ofi <
o(g;j), para 1 ::;; j ::;; k, e
k
t
g
=
L 1j"
j=l
gj
Fatoração de Polinômios
164
(b) Se 9 é irredutível sobre K e k 2: 1 é inteiro, prove que
existem polinômios q, r 1 , ... , rk E K[X], com rj = O ou
arj < 89, tais que
f
k =
9
7.2
k
~r-
q+ L.....J --2.
j=l
9J
Fatoração única em Z[X]
Estudamos, na seção anterior, o problema de fatoração única para
polinômios com coeficientes racionais. Nesta seção, estendemos a análise de tal problema a polinômios com coeficientes inteiros. Nesse
sentido, a definição a seguir se revelará crucial.
Definição 7.11. Se f E Z[X] \ {O}, o conteúdo e(!) de f é o mdc
de seus coeficientes não nulos. Se e(!) = 1, dizemos que f é um
polinômio primitivo em Z[X].
Por simplicidade de notação, se
Z[X] \ {O}, denotamos
f
e(!) = mdc (ao, ... , an)·
O lema a seguir, cuja prova deixamos ao leitor (veja o problema
1), estabelece duas propriedades úteis do conceito de conteúdo de um
polinômio de coeficientes inteiros.
Lema 7.12.
(a) Se f E Z[X] \ {O} e a E Z \ {O}, então c(af) = lal · e(!). Em
particular, existe 9 E Z[X] \ {O} primitivo tal que f = c(J)9.
(b) Se f E Q[X] \ {O}, então, a menos de multiplicação por -1,
existem únicos a, b E Z\ {O} primos entre si e 9 E Z[X] primitivo
tais que f = (a/b)9.
7.2 Fatoração única em Z[X]
165
A importância do conceito de conteúdo de um polinômio de coeficientes inteiros reside no papel chave que o mesmo desempenha no
estudo de polinômios irredutíveis sobre Z, a começar pela definição
•
dos mesmos.
Definição 7.13. 2 Um polinômio p E Z[X] \ Z é irredutível sobre
Z se p for primitivo e não puder ser escrito como produto de dois
polinômios não constantes em Z[X]. Um polinômio primitivo p E
Z[X] \ Z que não é irredutível é dito redutível sobre Z.
Novamente, é útil refrasear a condição de irredutibilidade de polinômios de coeficientes inteiros contrapositivamente, de modo que um
polinômio primitivo p E Z[X] \ Z é irredutível se, e só se, a seguinte
condição for satisfeita:
p = 9h, com 9, h E Z[X]
=}
9 = ±1 ou h = ±1.
(7.3)
A proposição a seguir é conhecida como o lema de Gauss.
Proposição 7.14 (Gauss).
Para f, 9 E Z[X] \ Z, temos que:
(a) c(f 9) = c(f)c(9). Em particular, f9 é primitivo se, e só se, f e
9 o forem 3 .
(b) Se f é primitivo, então f é irredutível em Z[X] se, e só se, o
for em Q[X].
(c) Se f e 9 forem primitivos e associados em Q[X], então f
=
±9.
Prova.
(a) Pelo lema 7.12, se f = c(f)f1 e 9 = c(9)9 1, então f 1,91 E Z[X] são
primitivos e f 9 = c(f)c(9)f191, de modo que c(f9) = c(f)c(9)c(J1g1).
2 Apesar
da definição que adotamos aqui para polinômios em Z[X] irredutíveis ser ligeiramente mais restritiva que a usualmente encontrada na literatura
(conforme [28], por exemplo), ela será suficiente para nossos propósitos.
3 Para uma outra prova, veja o problema 7, página 178.
Fatoração de Polinômios
166
'
1
7.2 Fatoração única em Z[X]
167
Portanto, basta mostrarmos que f 191 é primitivo, ou, o que é o mesmo,
que
f, 9 primitivos {:} f 9 primitivo.
Podemos, finalmente, enunciar e provar um celebrado resultado de
Gauss, o qual se constitui, para polinômios de coeficientes inteiros, no
análogo das proposições 7.9 e 7.10.
Se f não for primitivo, existe p E Z primo tal que p divide todos os
coeficientes de f. Então, p divide todos os coeficientes de f 9, e f 9 não
é primitivo. Analogamente, se 9 não for primitivo, então f 9 também
não é primitivo.
Reciprocamente, suponha que J(X) , amXm + · · · + a1X + ao e
9(X) = bnXn + · · · + b1X + b0 são primitivos mas f9 não o é. Tome
p E Z primo tal que p divide todos os coeficientes de f 9, e sejam.
k, l 2:: O os menores índices tais que p f ak, bz (tais k e l existem, uma
vez que f e 9 são primitivos). Denotando por ck+l o coeficiente de
Xk+l em f9, segue que
Teorema 7.15 (Gauss). Todo polinômio primitivo f E Z[X] \ Z pode
ser escrito como produto de um número finito de polinômios irredutíveis em Z[X]. Ademais, tal maneira de escrever f é única a menos de
uma reordenação dos fatores e de multiplicação de alguns dos mesmos
por -1.
Ck+l
= ··
'+ ak-2bl+2 + ªk-lbl+l + akbl + ak+lbl-1 + ak+2bl-2 + ... ·
Agora, como p I ck+l e p I a0 , ... , ªk-1, bo, ... , bz-1, a igualdade acima
garante que p I akbl, o que é uma. contradição.
(b) A implicação ~) é clara. Reciprocamente, tome f E Z[X] \ Z
primitivo e suponha que f é redutível em Q[X], digamos f = 9h, com
9, h E Q[X] \ (Q. Pelo lema 7.12, podemos tomar a, b, c, d E Z\ {O} tai&
que 9 = (a/b)9 1 eh= (c/d)h 1 , com 91 , h 1 E Z[X] primitivos. Então,
Prova. Mostremos primeiramente a existência da fatoração em irredutíveis: vendo f como polinômio em (Q[X], segue da proposição 7.9
a existência de polinômios irredutíveis p 1 , ... ,Pk E (Q[X] \ (Q tais que
f ..:_ P1 .. ·Pk· Escreva Pi= (adbi)qi, com ai, bi E Z \ {O} relativamente
primos e Qi E Z[X] \ Z primitivo. Como Qi também é obviamente
irredutível em Q[X], segue do item (b) do lema de Gauss que Qi é.
irredutível em Z[X]. Sendo a = a 1 ... ak e b = b1 ... bk, temos então
que
f = (a/b)q1 ... Qk·
Mas, como q1 , ... , Qk são todos primitivos, o item (a) do lema de Gauss
garante que q1 ... Qk também é primitivo. Assim, tomando conteúdos
na igualdade acima, obtemos
bdf = b9 · dh = a91 · ch1 = ac91h1.
Mas, como 91 h 1 é primitivo pelo item (a), tomando conteúdos na igualdade acima obtemos lbdl · c(f) = lacl. Logo, : = ±c(f) E Z, e segue
novamente da igualdade acima que f = ±c(f)91 h 1 , i.e., fé redutível
emZ[X].
(c) Se f = (a/b)9, com a, b E Z \ {O}, então bf = a9 e, tomando
conteúdos, obtemos lbl · c(f) = lal · c(9). Mas, uma vez que c(f) = 1
D
e c(9) = 1, segue que lal = lbl, de sorte que a/b = ±1.
Portanto, segue que a/b = ±1 e, daí, f = q1 ... Qk, um produto de
polinômios irredutíveis de Z[X].
A prova da parte de unicidade do enunciado é essencialmente idêntica à prova da proposição 7.10, uma vez que provemos o seguinte: se
p, f, 9 E Z[X] \ Z são tais que p é irredutível e p I f 9 em Z[X], então
p I f ou p 19 em Z[X]. Para tanto, note inicialmente (novamente pelo
item (b) do lema de Gauss) que p também é irredutível em (Q[X] e,
assim sendo, já sabemos que p I f ou p 1 9 em Q[X]. Se p I f em (Q[X]
Fatoração de Polinômios
168
(o outro caso é análogo), existe li E Q[X] tal que f = liP· Tomando
a, b E Z tais que li= (a/b)h, com Í2 E Z[X] \ Z primitivo, temos
bf = bf1P = af2p.
Agora, p e Í2 primitivos implica (uma vez mais pelo item (a) do lema
de Gauss) em Í2P primitivo e, tomando conteúdos na igualdade acima,
obtemos lbl · c(f) = lal · c(f2p) = lal. Portanto, a/b = ±e(!) E Z, de
maneira que fi E Z[X] e p I f em Z[X].
D
7.3 Polinômios sobre Zp
169
aqueles das seções 3.3 e 6.2 e do capítulo 5) são válidos ipsis literis
para Zp[X]. Aproveitamos também para deduzir, com o auxílio de
polinômios sobre Zp, alguns resultados de teoria dos números e combinatória não acessíveis pelos métodos de que dispomos até o presente
momento. Em particular, demonstramos a existência de raízes primitivas módulo p, completando, assim, a discussão da seção 7.2 de
[14].
Dado /(X)= anxn+· · ·+a1X +ao E Z[X], denote por f E Zp[X]
o polinômio
(7.4)
Problemas - Seção 7.2
1.
2.
7.3
* Prove o lema 7.12.
* Seja f E Z[X] um polinômio mônico e não constante.
Se fé
redutível sobre Q, prove que existem polinômios mônicos e não
constantes g, h E Z[X], tais que f = gh.
onde a0 , a1 , ... , "an denotam, respectivamente, as classes de congruência de a0 , a 1 , ... , an, módulo p.
A correspondência f r-+ f define uma aplicação
1rP:
f
a qual é obviamente sobrejetiva, sendo denominada a projeção de
Z[X] sobre Zp[X]. Para f, g E Z[X], é imediato verificar que
f (X) = g(X)
Polinômios sobre Zp
Vimos, à seção 6.2 de [14], que, para p primo, o conjunto Zp das
classes de congruência módulo p pode ser munido com operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão bastante similares às suas
análogas em C. Tal semelhança faz com que praticamente todos os
conceitos e resultados sobre polinômios estudados até o momento continuem válidos no conjunto Zp[X] dos polinômios com coeficientes em
Zp.
Nosso propósito aqui é comentar explicitamente algumas semelhanças e diferenças entre polinômios sobre Zp e sobre K, com K = Q,
R ou C, deixando ao leitor a tarefa de checar que todos os demais
resultados e definições para K[X] apresentados no texto (exceto por
Z[X]
em Zp[X]
t
:3h E Z[X]; f(X) = g(X)
+ ph(X) em Z[X].
Equivalentemente, denotando
pZ[X] = {ph; h E Z[X]},
temos
f
= O{:} f
E
pZ[X].
Estendemos as operações de adição e multiplicação de Zp a operações homônimas+,· : Zp[X] x Zp[X] --+ Zp[X] pondo, para/, g E
Z[X],
1+ g = f + g
e
f ·g =
fg.
Fatoração de Polinômios
170
Deixamos a cargo do leitor a verificação da boa definição da adição e
da multiplicação de Zp[X], a qual pode ser feita de maneira análoga
à verificação da boa definição das operações de Zp ( de acordo com a
seção 6.2 de [14); veja também o problema 1, página 177).
Assim como em Z[X] 1 dizemos que um polinômio f E Zp[X) \ {Õ}
como em (7.4) tem grau n se <in-=/=- Õ, i.e., se p f ªn· Mais geralmente,
se f E Z[X] \pZ[X], então]-=/=- Õ e 8f ~ 8f.
Os dois exemplos a seguir utilizam a multiplicação de polinômios
em Zp [X) para provar propriedades interessantes de números binomiais.
Exemplo 7.16. Se p é um número primo e k é um inteiro positivo,
prove que (~k) é múltiplo de p, para 1 ~ j < pk.
Prova. Pelo exemplo 1.41 de [14), já sabemos que (X+ I)P =XP+ I
em Zp[X). Por hipótese de indução, suponha que, para algum l EN,
tenhamos provado que
em Zp[X). Então, aplicando sucessivamente o caso inicial e a hipótese
de indução, obtemos
(X+ I/+1 =(XP+ Ii = (XPi
171
7.3 Polinômios sobre Zp
Prova. Seja (de acordo com o exemplo 5.12 de [10))
a representação binária de n, onde O ~ a0 < a 1 < · · · <
exemplo 7.16, temos em Z 2 [X) que
ªk·
Pelo
(X+ It =(X+ I)2ªk (X+ I)2ªk-1 ... (X+ I)2ª0
= (X2ªk + I)(X2ªk-1 + I) ... (X2ª0 + I).
(7.5)
Sendo S o conjunto dos números formados a partir de somas de
potências distintas de 2, escolhidas dentre as potências 2ªk, 2ªk-i, ... ,
2ª1 e 2ªº, temos pelo princípio fundamental da contagem e pela unicidade da representação binária de naturais, que ISI = 2k+1; por outro
lado, efetuando os produtos da última expressão de (7.5), obtemos
(X+It=Lxm,
(7.6)
mES
uma soma com exatamente 2k+1 parcelas. Mas, uma vez que a fórmula
de expansão binomial fornece
(7.7)
+I = XPl+l + I.
comparando as expressões (7.6) e (7.7), concluímos que exatamente
2k+1 dentre os números binomiais da forma (;) (os quais compõem a
Por outro lado, também temos
n-ésima linha do triângulo de Pascal) são tais que (;) -=/=- Õ, i.e., são
D
~~ffi.
de modo que, para 1 ~ j < pk, temos
binomial
(~k).
(~k)
= Õ; daí, p divide o número
D
Exemplo 7.17 (Romênia). Prove que o número de coeficientes binomiais ímpares na n-ésima linha do triângulo de Pascal é uma potência
de 2.
Para definir a função polinomial associada a um polinômio f E
Zp[X] temos que ter alguns cuidados. Note inicialmente que, se f E
Z[X] e a, b E Z são tais que a = b (modp), então o item (e) da
proposição 5.6 de [14) garante que
f(a)
f(b) (modp);
Fatoração de Polinômios
172
por outro lado, se f = g em Zp[X], vimos acima que existe h E Z[X]
tal que f(X) = g(X) + ph(X). Portanto, para a E Z, temos
f(a) = g(a)
+ ph(a)
g(a) (modp).
Dado f E Zp[X], os comentários acima permitem definir a função
polinomial associada f : Zp --+ Zp pondo, para a E Z,
!(a)
=
g(a),
(7.8)
onde g E Z[X] é qualquer polinômio tal que f = g. Obviamente, a
imagem de f é um conjunto finito, uma vez que o próprio Zp o é. .
Doravante, sempre que não houver perigo de confusão, escreveremos
(7.8) simplesmente como
](a)
= f(a).
O exemplo a seguir mostra que, contrariamente ao que ocorre com
polinômios sobre (Q, lR. ou C, a função polinomial associada a um
polinômio não nulo em Zp[X] pode ser identicamente nula. Em particular, não é mais válido que dois polinômios sobre Zp só terão funções
polinomiais iguais quando forem eles mesmos iguais.
Exemplo 7.18. O polinômio f(X) = XP - X E Zp[X] é claramente
um elemento não nulo de Zp[X]. Por outro lado, denotando por f :
ZP--+ ZP a função polinomial associada ao mesmo, temos pelo pequeno
teorema de Fermat (veja {14]) que
para todo
a E Zp.
õ,
](a)
=
aP - a=
Assim,
f
é a função identicamente nula.
aP - a =
Sejam dados f E Z[X] e a E Z. Como na seção 3.1, dizemos que
a E Zp é uma raiz de f se f(a) = Õ. Uma rápida inspeção da prova
do teste da raiz mostra que o mesmo continua válido em Zp[X]. Em
particular, obtemos, a partir do exemplo acima, o seguinte resultado
importante.
7.3 Polinômios sobre Zp
173
Proposição 7.19. Em Zp[X], temos
XP- 1
-
I
=
(X - I)(X - 2) ... (X - (p-1)).
Prova. Como I, 2, ... , p - 1 são raízes de xp-I _ I em Zp (novamente
pelo pequeno teorema de Fermat), o item (c) da proposição 3.3 garante que xp-l - I é divisível em Zp[X] pelo polinômio (X - I)(X 2) ... (X - (p - 1)). Mas, como ambos tais polinômios são mônicos e
têm grau p - 1, segue que
xp-i -
I
= (X -
I) (X - 2) ... (X - (p - 1)).
D
Em Zp[X], as definições e resultados da seção 7.1 mantém-se completamente. Em particular, podemos enunciar o seguinte teorema,
cuja prova é totalmente análoga às provas das proposições 7.9 e 7.10.
Teorema 7.20. Se p E Z é primo, então todo polinômio f E Zp[X] \
Zp pode ser escrito, de maneira única a menos de reordenação e associação, como produto de um número finito de polinômios irredutíveis
sobre Zp[X].
Como primeira aplicação do resultado acima, provamos, a seguir,
a existência de raízes primitivas módulo p. 4 Para o enunciado e prova
do mesmo, sugerimos ao leitor rever o material da seção 7.2 de [14].
Teorema 7.21. Se p é um primo ímpar e d é um divisor positivo de
p - 1, então a congruência
xp-I - 1 - O(modp)
(7.9)
tem exatamente r.p(d) raízes de ordem d, duas a duas incongruentes
módulo p. Em particular, p possui raízes primitivas.
comodidade do leitor, recordamos que um inteiro a, não divisível por um
primo p, é denominado uma raiz primitiva módulo p se p - 1 for o menor inteiro
positivo k satisfazendo a congruência ak = 1 (modp).
4 Para
174
Fatoração de Polinômios
Prova. Para d divisor positivo de p - 1, seja N(d) o número de raízes da congruência (7.9), com ordem d e duas a duas incongruentes,
módulo p. Uma vez que as raízes da congruência (7.9) são os inteiros
1, 2, ... ,p- l e (pela proposição 7.2 de [14]) cada um de tais números
. tem ordem igual a um divisor de p - 1, concluímos que
L
N(d) =p-1.
O<dl(p-1)
Portanto, se mostrarmos que N(d) :S cp(d), seguirá da proposição 3.11
de [14] que
p- l
=
L
N(d):::;;
O<dl(p-1)
L
cp(d) =p- l
O<dl(p-1)
e, daí, que N(d) = cp(d), para todo divisor positivo d de p - 1.
Seja, então, d um divisor positivo de p - 1. Se N(d) = O, é claro
que N(d) :::;; cp(d). Senão, seja a um inteiro de ordem d, módulo p;
então, as classes I, a, ... , a:J,- 1 E Zp são raízes duas a duas distintas
do polinômio Xd - I E Zp[XJ. Por outro lado, o corolário 3.8 garante
que tal polinômio possui no máximo d raízes em Zp, de sorte que suas
raízes são exatamente I, a, ... , a:J,- 1 . Portanto, se a E Z for uma
raiz de ordem d de (7.9), então a E ZP é raiz de Xd - I E Zp[X], de
sorte que a E {I, a, ... ,a;d-l }. Assim, as raízes de ordem d de (7.9)
são exatamente os elementos de ordem d do conjunto {1, a, ... , ad-l}
e, daí,
N(d)
= #{O
:S k :S d - 1; ordp(ak)
= d}.
O item (c) da proposição 7.5 de [14] conta o número de elementos do
segundo membro acima: como ordp(a) = d, temos
7.3 Polinômios sobre Zp
175
portanto,
#{O :S k :S d - 1; ordp(ak) =d}=
=#{O:::;; k:::;; d-1; mdc(d,k) = 1}
=
cp(d) .
Assim, N(d) = O ou cp(d) e, em qualquer caso, temos N(d) :S cp(d),
conforme desejado.
Para o que falta, basta notar que N(p - 1) = cp(p - 1), ou seja,
há exatamente cp(p - 1) inteiros, dois a dois incongruentes, módulo
p, e com ordem p - 1 = cp(p), módulo p; de outro modo, há exatamente cp(p-1) raízes primitivas, módulo p, duas a duas incongruentes,
módulo p (veja que este resultado concorda com a proposição 7.8 de
[14]).
D
Terminamos esta seção exibindo mais uma aplicação da teoria de
polinômios sobre Zp à Teoria dos Números.
Exemplo 7.22 (Miklós-Schweitzer). Se p > 3 é um primo tal que
p = 3 (mod4), prove que
II
(x 2
+ y2 )
_
1 (modp).
l~x/y~p;l
Prova. Em tudo o que segue, salvo menção em contrário os índices
dos produtórios apresentados variam de 1 a P; 1.
Se P denota o produto do primeiro membro, então
Fatoração de Polinômios
7.3 Polinômios sobre Zp
P; 1, denote por ck o inverso de k, módulo p.
Agora, observe que
176
Agora, para 1 ::; k ::;
Módulo p, tem-se
f(X 2 )
De fato, a primeira congruência é imediata e, para a segunda, basta
observar que { (ckx )2; 1 ::; x ::; P; 1 } é um conjunto de P; 1 resíduos quadráticos dois a dois incongruentes, módulo p; portanto, {(ckx)2; 1 ~
x <2
p-l} = {x 2 · 1 < x < p-l} módulo p.
'
-2'
Segue então que, módulo p,
2
l'.::.!
2
2
2
.1 . 2 . .. . .
(- 2- 1) 2P = 1 . 2 . .. . . (- 2- 1)2 (II (x + 1))
p-
2
p-
2
2
=
(X-a)(X-a 2 )
177
...
(X-a~)(X +a)(X +a 2 )
](X2 )
2
E.::!
=
(X - I)(X - 2) ... (X - p- 1)
e, daí,
-
f (X)
p-1
-
(Il(x + 1))2
Mas, como p
2
Sejam a uma raiz primitiva, módulo p, e Q = f1(x 2 + 1). Uma vez
que {a 2\ 1 ::; k ::; P; 1 } é um conjunto de P; 1 resíduos quadráticos
dois a dois incongruentes, módulo p, temos {a 2 \ 1 ::; k ::; P; 1 } =
{x2 ; 1::; x::; P; 1 }, módulo p, de sorte que
(X +a9).
Para 1 ::; i,j ::; P; 1 , se ai= -ai (modp), então a 2i
a 2i (modp), e
segue de a ser uma raiz primitiva, módulo p, que 2i = 2j ou, ainda,
i = j; mas, assim sendo, teríamos ai
-ai (modp), o que é um
2
absurdo. Então, o conjunto { ±a, ±a , .•• , ±a9} é um SCI5 , módulo
p, de sorte que coincide, módulo p, com {1, 2, ... ,P - 1}. Portanto,
denotando por] E Zp[X] a imagem de f pela projeção de Z[X] sobre
Zp[X], temos
ou, ainda,
29 P
...
=
=
XP- 1 - I
x-2 - 1.
p-1
-
3 (mod4), segue que
Q = -1(-I) = -(-I)9 - I = 2,
i.e., Q = 2 (modp).
Por fim, substituindo essa informação em (7.10), obtemos a congruência 29 P - 29 (modp) e, a partir dela, P 1 (modp).
D
t',,\' .;,·,:
(7.10)
Problemas - Seção 7.3
A fim de calcular o resíduo de Q, módulo p, seja f E Z[X] definido
por
1.
de maneira que
Q
p-1
2 f(-1) _ -f(-l) (modp)
(-1)-
(aqui, utilizamos o fato de que p
acima).
=3 (mod4) na segunda congruência
* Fixado um
primo p, verifique a boa definição das operações
de adição e de multiplicação de Zp[X]. Mostre também que
tais operações são associativas e comutativas, possuem elementos
neutros respectivamente iguais a Õ e I e que a multiplicação é
distributiva em relação à adição.
5Recorde que um sistema completo de invertíveis (abreviamos SCI), módulo p,
ê um conjunto {a 1 , a 2 , •.. , ap-l de inteiros tais que, a menos de uma permutação,
temos ªi j (modp).
=
Fatoração de Polinômios
178
2.
* Se f E Z[X] e a E Z é raiz de f, prove que a E Zp é raiz de
f E Zp[X]. Em particular, conclua que, se a1, ... , ak E Zp são
as raízes de f, então existe 1 ~ j ~ k tal que a - ªi (modp).
3. Ache, se houver, as raízes em Z 3 do polinômio X 2
-
2X + I E
Z.4 Irredutibilidade de polinômios
179
seja, escrever um polinômio dado f (digamos em Z[X]) como produto
de dois outros g e h e, resolvendo ó sistema de equações resultante
nos coeficientes de g e h, obter uma fatoração para f ou chegar a
uma contradição. A seguir, exemplificamos tal procedimento (veja,
também, os problemas 1 e 2).
Z3[X].
4. Fatore
X2
+
Exemplo 7.23. Prove que f(X) = X 4 +10X 3 +5X +1993 é irredutível
sobre Q.
3 em Z1[X].
5. Mostre que o polinômio f (X) = X 3 -15X 2 + lOX - 84 não tem
raízes racionais.
6.
* Se p E Zé primo e f
7.
* Use a projeção 1r : Z -+ Zp para provar que, se f, g E Z[X] \ Z
E
Z[X], prove que J(XP) = J(X)P.
são polinômios primitivos (conforme a definição 7.11), então fg
também o é.
8.
* Seja p 2:: 3 primo e, para 1 ~ j
~ p-1, seja sj(l, 2, ... ,p-1)
a j-ésima soma simétrica elementar dos números 1, 2, ... , p - 1.
Prove que:
(a) Para 1 :$ j~ p- 2, temos sj(l, 2, ... ,P - 1) - O(modp).
Prova. Pelo lema de Gauss, é suficiente mostrar que f não pode ser
escrito como produto de dois polinômios não constantes e de coeficientes inteiros. Para tanto, observe inicialmente que 1993 é primo
(pelo critério de Eratóstenes, por exemplo);_ portanto, pelo critério de
pesquisa de raízes inteiras, as possíveis raízes inteiras de f são ±1 ou
±1993, e uma verificação direta garante que f não possui raízes inteiras. Resta, pois, descartarmos a possibilidade de fatoração de f na
forma
f(X) = (X 2 + aX + b)(X 2 + cX + d),
com a, b, e, d E Z. Se tal ocorrer, então, desenvolvendo o produto do
segundo membro e igualando os coeficientes obtidos aos correspondentes do primeiro membro, ~btemos o sistema de equações
(b) sp_ 1 (1, 2, ... ,P - 1) - -1 (modp).
9.
* Se a, f! e e são as raízes complexas do polinômio X 3 -3X 2 + 1,
mostre que, para todo n E N, a soma an
deixa resto 1 quando dividida por 17.
7.4
a+c=lO
ac+b+d=O
ad+bc=5
bd = 1993
+ bn +
cn é inteira e
Irredutibilidade de polinômios
Até o momento, não temos à disposição modo algum de.determinar
se um dado polinômio é ou não irredutível. É claro que, em exemplos
práticos, pode-se, às vezes, utilizar para tal fim o método direto, qual '
A quarta equação, juntamente com a primalidade de 1993 e a simetria da fatoração de f, nos fornecem as possibilidades essencialmente
distintas (b, d) = (1, 1993) ou (-1, -1993). Portanto, a primeira e a
terceira equações fornecem um dos sistemas de equações
{
a+c=lO
a+ 1993c = 5
ou {
a+c= 10
.
a+ 1993c= -5
Fatoração de Polinômios
180
Por fim, é imediato verificar que nenhum de tais sistemas possui soluções inteiras.
D
Conforme atestam os cálculos executados no exemplo acima, a verificação, pelo método direto, de que um polinômio f E (Q[X] dado
é irredutível sobre (Q esbarra em dificuldades computacionais consideráveis, mesmo no caso em que f tem coeficientes inteiros e grau
pequeno. Faz-se, pois, necessário desenvolvermos técnicas apropriadas
ao tratamento de questões ligadas à irredutibilidade de polinômios.
Nesse sentido, comecemos com o seguinte resultado.
Proposição 7.24. Sejam f E Z[X] primitivo e mônico e p E Z primo.
7.4 Irredutibilidade de polinômios
181
Exemplo 7.25. Seja p E Z primo e k EN tais que p
5(mod6) e
3
2
kp+ 1 é primo. Prove que f(X) = X +pX +pX +kp+ 1 é irredutível
emZ[X].
Prova. Projetando em Zp[X], temos
](X) = X 3
+I
= (X+
T)(X 2 - X+ I).
Afirmamos inicialmente que - I é a única raiz de f em Zp. De
fato, se ](a) = O, então a3 = -I e, daí, a3 = -1 (modp); assim,
a6 _ 1 (mod p), de maneira que
ordp(a)
J
mdc (6,p - 1) = 2,
Prova.
(a) Por contraposição, suponha f(X) = g(X)h(X), com g, h E Z[X] \
Z mônicos. Então, ](X)= g(X)h(X), com ãg = 8g e 8h = 8h.
i.e., ordp(a) = 1 ou 2. Mas, como ordp(a) = 1 ==> a = I, o qual
não é raiz de], devemos ter ordp(a) = 2. Então, a 2
1 (modp) e
a "t=- 1 (modp), de sorte que a - -1 (modp) ou, ainda, a= -I.
Segue da afirmação acima que X 2 - X+ I não tem raízes em Zp [X]
e, portanto, é irredutível em Zp[X]. A proposição anterior assegura,
então, que ou f é irredutível em Z[X] ou f tem uma raiz a E Z tal
que a - -1 (modp). Mas, pelo critério de pesquisa de raízes racionais
(proposição 3.16), uma raiz a de f deve dividir kp + 1, que é primo,
de forma que a = -1 ou a = -( kp + 1). Testando tais possibilidades,
D
obtemos uma contradição.
(b) Suponha f redutível, digamos J(X) = g(X)h(X), com g, h E
Z[X] \ Z mônicos. Então, ãg = 8g, 8h = 8h e
Observação 7.26. Fixado p E N, estabeleceremos na seção 8.2 a
existência. de infinitos k E Z tais que kp + 1 seja primo.
(a) Se f E Zp[X] é irredutível em Zp[X], então f é. irredutível em
Z[X].
{b) Se J(X)
(X - a)f1 (X), com ] 1 E Zp[X] irredutível, então
ou f é irredutível em Z[X] ou f tem uma raiz a E Z tal que
a - a (modp).
(X -
a)f1 (X)
= g(X)h(X).
Mas, uma vez que ] 1 é irredutível em Zp[X], segue do teorema 7.20
que g ou h deve ser associado a X - a e, daí, que 8g = 1 ou 8h = 1.
Suponha, sem perda de generalidade, que 8g = 1. Então, g(X) =
X - a e g (logo, f) tem uma raiz a E Z. Por fim, é claro que a = a. O
O teorema a seguir e, mais precisamente, seu corolário, o critério
de Eisenstein, se constitui em poderoso aliado na tarefa de garantir
a irredutibilidade de certos polinômios.
Teorema 7.27 (Eisenstein). Seja f(X) = anXn + · · · + a 1 X + a0
um polinômio de grau n 2: 1 e com coeficientes inteiros. Sejam ainda
p E Z primo e 1 ::; k < n inteiro tais que:
1
!
Fatoração de Polinômios
182
Exemplo 7.29. Se p E Z é primo e f E Z[X] é o polinômio definido
por
f(X) = xp-l + xp- 2 + ... + x + 1,
(7.11)
(a) p I ao,al,···,ªk·
(b) p2 fao epfan.
Se f = gh, com g, h E Z[X], então ao menos um dentre g eh tem
grau maior ou igual a k + 1.
Prova. Se f(X) = g(X)h(X), com g(X) = brXr + · · · + b0 e h(X) =
c8 X 8 + · · · + co polinômios em Z[X], então an = brcs e ao = boc0 .
Portanto,
P f an
P f brCs =* p f br e p f C8 ,
'*
de maneira que, em Zp[X], temos ](X) = g(X)h(X), com ãg = âg =
r e âh = âh = s. Ademais, se X I g(X) e X I h(X) em Zp[X],
então p I bo e p I Co em Z, de sorte que p2 1 b0 c0 = a0 , o que é um ,
absurdo. Portanto, em Zp[X], o polinômio X divide no máximo um
dos polinômios g ou h, e segue de
,
que Xk+ 1 1 g(X) ou Xk+ 1 i h(X). Logo, r ~ k + 1 ou s ~ k + 1.
D
Corolário 7.28 (Eisenstein). Seja f(X) = anXn+· · ·+a1X +ao um
polinômio de grau n ~ 1 e com coeficientes inteiros. Se existe p E Z
primo tal que p I ao, a1, ... , ªn-1, p2 f ao e p f an, então f é irredutível
em (Q[X].
1
então f é irredutível sobre (Q.
Prova. Observando, inicialmente, que f(X) = g(X)h(X) se, e só se,
f(X + 1) = g(X +l)h(X + 1), concluímos ser suficiente provar que
f(X + 1) é irredutível em Q[X]. Mas, como (X - l)f(X) = XP - 1,
temos
Xf(X
+ 1)
=(X+ l)P - 1
=
XP
+
e, daí,
f(X
g(X)h(X) = J(X) = cinXn + · · · + ak+1Xk+1
= (anxn-k-1 + ... + ªk+1)Xk+1
1
183
7.4 Irredutibilidade de polinômios
+ 1) = xp-l +
(f) XP- + ... + ~ ~ l) X
1
(f)xp- + · ·· + (P ~
2
1).
Agora, lembre-se (conforme exemplo 1.41 de [14]) de que p 1 (f), para
1 :S k :S p - 1, de modo que podemos aplicar o critério de Eisenstein
com o primo p para concluir pela irredutibilidade de f(X + 1) em
({]~.
D
Em que pese a teoria desenvolvida acima, frequentemente estabelecemos a irredutibilidade de um certo polinômio por intermédio de
métodos ad hoc. Vejamos alguns exemplos.
Prova. Pelo teorema anterior, se f(X) = g(X)h(X), com g, h E
Z[X], então âg ~ n ou âh ~ n, de maneira que h ou g é constante.
Assim, f não pode ser escrito como o produto de dois polinômios não
constantes de coeficientes inteiros, e segue do lema de Gauss que f é
irredutível em (Q[X].
D
Exemplo 7.30 (Romênia). Seja f E Z[X] um polinômio mônico de
grau n ~ 1, tal que f(O) = 1. Se f tiver pelo menos n - 1 raízes
complexas de módulo menor que 1, prove que f será irredutível em
Colecionamos, no exemplo a seguir, uma aplicação clássica do corolário acima, a qual será reobtida, por outros métodos e em maior
generalidade, na seção 8.2.
Prova. Pelo lema de Gauss, basta mostrar que f é irredutível em
Z[X]. Suponha, pois, f = gh, com g, h E Z[X] \ Z. Sem perda de
generalidade, podemos supor g e h mônicos. De g(O)h(O) = 1, temos
(Q[X].
184
Fatoração de Polinômios
g(O), h(O) = ±1. Por outro lado, pelas relações de Girard (vide a
proposição 4.6), o módulo do produto das raízes complexas de fé igual
a 1, de modo que, pelas hipóteses do enunciado, f tem exatamente uma
raiz complexa de módulo maior que 1. Portanto, um dos polinômios g
ou h, digamos g, tem somente raízes complexas de módulo menor que
1. Mas, uma vez que g é mônico e lg(O)I = 1, temos, novamente pelas
relações de Girard, que o módulo do produto das raízes de g é igual a
1, o que é uma contradição.
D
Observação 7.31. Polinômios f E Z[X] satisfazendo as condições
do lema acima podem ser facilmente construídos. Por exemplo, seja
f (X) = anXn + an_ 1xn- 1 + · · · + a1X + ao E Z[X] tal que
7.4 Irredutibilidade de polinômios
185
Prova. Pelo lema de Gauss, basta mostrar que f não pode ser escrito
como produto de dois polinômios não constantes e de coeficientes inteiros. Suponha, por contradição, que fosse f = gh, com g e h polinômios
mônicos, de coeficientes inteiros e não constantes. Como
e g(ai), h(ai) E Z, deve ser g(ai) = 1 e h(ai) = -1, ou vice-versa; em
qualquer caso, temos g(ai) + h(ai) = O. Agora, defina li = g + h.
Como g e h são mônicos, li não é identicamente nulo. Então,
ali:::; max{ag, ah}< af = n,
a
Se
lzl =
de maneira que li admite, no máximo, li < n raízes distintas. Mas,
como li(ai) = O para 1:::; i:::; n, chegamos a uma contradição.
D
1, então
+ ªn-2Zn- 2 + · · · + a1z + aol
:::; lanl + lan-21 + · · · + la1I + laol
< lan-11 = lan-1Zn-ll·
lf(z) - ªn-1Zn-ll = lanZn
Em particular, f não se anula sobre o círculo lzl = 1 do plano complexo, e um teorema da teoria de funções analíticas f : (C --+ C ( o
teorema de Rouché - veja a seção Vl.4 de f50}, por exemplo) garante
que f possui exatamente n - 1 raízes complexas de módulo menor que
1.
Exemplo 7.32. Sejam n > 1 um inteiro ímpar e a 1 , ... , an inteiros
dados, dois a dois distintos. Prove que o polinômio
f(X) = (X é irredutível em Q[X].
a1)(X -
a2) ... (X - an) - 1
Problemas - Seção 7.4
1. Use o método direto, descrito no início desta seção, para provar
que o polinômo X 4 - X 2 + 1 é irredutível em Z[XJ.
2.
* Também com o auxílio do
nômio f(X)
Q.
=
X
5 -
X4
-
método direto, mostre que o poli4X 3 + 4X 2 + 2 é irredutível sobre
3. Um polinômio de coeficientes reais é dito positivamente redutível se puder ser expresso como produto de dois polinômios não
constantes, cujos coeficientes não nulos são reais positivos. Seja
f um polinômio de coeficientes reais tal que, para algum n E N,
o polinômio f(Xn) é positivamente redutível. Mostre que f é
positivamente redutível.
Fatoração de Polinômios
186
4. Sejam n > 1 inteiro e a 1, ... , an inteiros positivos dados, dois a
dois distintos. Prove que o polinômio
i
I
J(X)
=
(X - a1)(X - a2) ... (X - an) + 1
7.4 Irredutibilidade de polinômios
187
9. (Romênia.) Seja f(X) = anXn+· · ·+a1X +ao um polinômio não
constante de coeficientes inteiros. Se Iao I > Ia1 I+ Ia2 I+ · · · + 1an I
e
<
+ 1, prove que f não pode ser escrito como
o produto de dois polinômios não constantes e de coeficientes
inteiros.
v'faoT
../íaJ
é redutível em Q[X] somente nos seguintes casos:
+ 1.
ti''';; '
(a) f(X)
=
(X - a)(X - a - 2)
l!
(b) f(X)
=
(X - a)(X - a - l)(X - a - 2)(X - a - 3) + 1.
.. ~1fo ~. ·,
10. (Romênia.) Seja N = A1UA2U· · ·UAk uma partição do conjunto
dos números naturais em k conjuntos não vazios. Dado m EN,
prove que existe 1 :S j :S k tal que podemos construir infinitos
polinômios f satisfazendo as seguintes condições:
5. Sejam p um primo ímpar, f(X) = 2XP-l - 1 e g(X) = (X -
(a) 8f
l)(X -2) ... (X -p+l). Prove que ao menos um dos polinômios
f(X) - g(X) ou J(X) - g(X) +pé irredutível em Z[X].
7. Sejam p E Z primo e f(X) = a2n+1X 2n+1 + · · · + anXn + · · · +
a 1 X + a0 um polinômio de coeficientes inteiros satisfazendo as
seguintes condições:
· (a) p 2 ao, a1, ... , ªn·
1
(b) PI an+l, an+2, · · ·, a2n·
(c) p3 I ao ep{a2n+1·
Mostre que f não pode ser escrito como o produto de dois polinômios não constantes e de coeficientes inteiros.
8. (Romênia.) Seja p E Z um número primo. Se f(X) = anXn +
an_ 1xn- 1+· · ·+a1X +ao é um polinômio de coeficientes inteiros,
com laol = p e tal que lanl + lan-11 + · · · + la1I < p, prove que f
é irredutível sobre Q.
m.
(b) Os coeficientes de
(c)
6. (IMO.) Prove que o polinômio de coeficientes inteiros xn +
5xn- 1 + 3 é irredutível em Z[X].
=
f pertencem ao conjunto Ai.
f não pode ser escrito como o produto de dois polinômios
não constantes de coeficientes inteiros.
11.
* Sejam f
... , Zn
um polinômio de coeficientes inteiros e grau n, e z1,
as raízes complexas de f.
(a) Se Re(zi) < O para 1 :Si :S n, prove que todos os coeficientes de f têm um mesmo sinal.
(b) Prove o teorema de Pólya-Szegõ 6 : suponha que existe
m E Z tal que f(m) é primo, f(m-1) =I- Oem> !+Re(zi),
para 1 :S i :S n. Então, f não pode ser escrito como produto
de dois polinômios não constantes e de coeficientes inteiros.
12. (BMO.) Sejam n > 1 inteiro e ao, a1, ... , ªn-1, an naturais tais
que an =I- O e O :S ai :S 9, para O :S i :S n. Se f (10) é primo,
prove que f é irredutível sobre Z.
6 Após
os matemáticos húngaros do século XX George Pólya e Gábor Szegõ.
188
Fatoração de Polinômios
CAPÍTULO 8
Nú meros Algébricos e Aplicações
Neste capítulo, invertemos o ponto de vista adotado no capítulo
3. Mais precisamente, fixamos um número complexo z e examinamos o conjunto dos polinômios f E C[X] tais que f(z) = O. Como
subproduto de nossa discussão, damos uma prova distinta da apresentada em [26] para o fechamento, em relação às operações aritméticas
usuais, do conjunto dos números complexos que são raízes de polinômios não nulos e de coeficientes racionais. Por outro lado, a análise
do caso em que z E (C é uma raiz ri-ésima da unidade nos leva ao
estudo dos polinômios ciclotômicos e permite dar uma prova parcial
de um famoso teorema de Dirichlet sobre a infinitude de primos em
progressões aritméticas.
189
190
!.1
8.1
Números Algébricos e Aplicações
Números algébricos
Um número complexo a é dito algébrico sobre (Q se existir um
polinômio f E (Q[X] \ {O} tal que f(a) = O. Um número complexo
que não é algébrico sobre (Q é dito transcendente sobre (Q.
É possível provar (e o faremos na seção 8.3) que nem todo número
complexo é algébrico, i.e., que o conjunto dos números transcendentes
é não vazio. Por outro lado, é claro que todo racional r, sendo raiz do
polinômio X - r E (Q[X] \ {O}, é algébrico sobre (Q. Colecionamos, a
seguir, alguns exemplos menos triviais de números algébricos sobre (Q.
Exemplo 8.1. Sejam r E (Q~ e n EN. Se w é uma raiz n-ésima da
unidade, então y'rw é algébrico sobre (Q, uma vez que tal número é
raiz do polinômio não nulo de coeficientes racionais X"" - r.
Poderíamos definir, aliás de modo óbvio, o que se entende por um
número complexo a ser algébrico sobre R Contudo, esse não é um
conceito interessante, uma vez que todo complexo é algébrico sobre JR.
De fato, dado um complexo não real a = a + ib, temos que a é raiz
do polinômio não nulo
f(X) = (X - (a+ bi))(X - (a - bi))
=
X2
-
2aX + (a 2 + b2 )
E
JR[X].
Por essa razão, sempre que considerarmos um número algébrico sobre
(Q, diremos simplesmente que se trata de um número algébrico.
Se um complexo a for algébrico, o conjunto
Aa = {f
E (Q[X] \ {O};
f(a) = O}
é, por definição, não vazio. Então, também é não vazio o conjunto
de inteiros não negativos {&J; f E Aa}, de modo que existe Pa E Aa
mônico e de grau mínimo. Temos, pois, a definição a seguir.
191
8.1 Números algébricos
Definição 8.2. Dado a algébrico sobre (Q, um polinômio Pa E (Q[X] \
{O}, mônico, de grau mínimo e tendo a por raiz é denominado um
polinômio minimal de a.
A proposição a seguir e seus corolários colecionam as propriedades
mais importantes de polinômios minimais de números algébricos.
Proposição 8.3. Se a é algébrico sobre (Q e Pa é um polinômio minimal de a, então:
{a) Pa é irredutível sobre (Q.
{b) Se f
E (Q[X]
é tal que f(a)
=
O, então Pa I f em (Q[X].
Em particular, Pa é unicamente determinado por a.
Prova.
(a) Se fosse Pa = f g, com f e g não constantes e de coeficientes racionais, então f e g teriam graus menores que o grau de Pa e ao menos
um deles teria a por raiz, uma contradição à minimalidade do grau de
Pa· Logo, Pa é irredutível sobre (Q.
(b) Pelo algoritmo da divisão, existem polinômios q, r E (Q[X] tais que
f(X) = Pa(X)q(X)
+ r(X),
com r = O ou O::; &r < OPa· Ser=/:- O, então
r(a) = f(a) - Pa(a)q(a) = O,
com &r < &pa, novamente contradizendo a minimalidade do grau de
Pa· Logo, r = O e, daí, Pa I f em (Q[X].
Por fim, se Pa e qª são polinômios minimais de a, segue do item
(b) que Pa I Qa e Qa I Pa em (Q[X]. Mas, como Pa e Qa são ambos
D
mônicos, temos Pa = Qa·
192
Números Algébricos e Aplicações
Graças à proposição anterior, dado a E C algébrico, podemos nos
referir a Pa como o polinômio minimal de a.
Corolário 8.4. Se a E C é algébrico e f E Q[X] \ {O} é um polinômio
mônico, irredutível e tal que f(a) = O, então f = p0 •
Prova. Pela proposição anterior, Pa divide f em Q[X]. Mas, como f
é irredutível, deve existir um racional não nulo e tal que f = cp0 • Por
fim, como f e Pa são mônicos, devemos ter e = 1.
D
Corolário 8.5. Se f E Q[X] \ Q é irredutível, então f não possui.
raízes múltiplas.
Prova. Podemos supor, sem perda de generalidade, que fé mônico.
Se algum a E C fosse raiz múltipla de f, então a proposiçãb 3.31
garantiria que a também seria raiz da derivada f' de f. Mas, como
f E Q[X] \ {O} é mônico e irredutível, o corolário 8.4 garantiria que f
é o polinômio minimal de a. Portanto, teríamos, pela proposição 8.3,
D
que f I f' em Q[X], contradizendo a desigualdade âf > âf'.
Colecionamos, agora, alguns exemplos de aplicação da proposição
8.3 e de seus corolários.
Exemplo 8.6. Sejam f um polinômio não constante de coeficientes
racionais e a um número real tal que a 3 - 3a = f(a) 3 - 3f(a) = -1.
Prove que, para todo inteiro positivo n, tem-se
8.1 Números algébricos
193
Por outro lado, como estamos supondo que o polinômio g o f também tem a por raiz, a proposição 8.3 garante que g divide g o f em
Q[X], digamos (g o f)(X) = g(X)u(X), para algum u(X) E Q[X].
Por fim, suponha que tenhamos provado que g(J(k) (a)) = O para
algum k ~ 1. Então
g(Jk+ 1 (a)) = (g o f)(fk(a)) = g(fk(a))u(fk(a)) = O,
e nada mais há a fazer.
D
O exemplo 7.29, em conjunção com o corolário 8.4, garante imediatamente que, se p é primo e w = eis 2p1r, então o polinômio minimal
de w é
Pw(X) = xp-l + XP- 2 +···+X+ 1.
O próximo exemplo utiliza este fato para dar uma bela prova alternativa do exemplo 6.4 de [14], devida ao matemático búlgaro N. Nikolov.
Exemplo 8.7 (IMO). Seja pum primo ímpar. Calcule quantos subconjuntos de p elementos do conjunto {l, 2, ... , 2p} são tais que a
soma de seus elementos é divisível por p.
Solução. Se w
= eis ~, então wP = 1 e segue, daí, que
p
(XP
-1) 2 =
Il(X -wi) Il(X -wi)
j=l
p
=
p
Il(X -wi)
j=l
j=l
2p
II (X -wi)
j=p+l
2p
=
onde
j(n)
denota a composição de f consigo mesmo, n vezes.
Prova. Se g(X) = X 3 - 3X + 1, então âg = 3 e, pelo critério de
pesquisa de raízes racionais (a proposição 3.16), g não tem raízes racionais. Portanto, pelo problema 3, página 163, g é irredutível sobre
Q. Daí, o corolário 8.4 garante que g é o polinômio minimal de a.
Il(X -wi).
j=l
Calculando o coeficiente de XP em ambos os membros da igualdade
acima e lembrando que pé ímpar, concluímos que
2=
(8.1)
Números Algébricos e Aplicações
194
onde a soma acima se estende a todos os subconjuntos de p elementos,
{j1 , ... ,jp}, de I2p = {1, 2, ... , 2p}.
Por outro lado, se, para O ~ k ~ p-1, denotarmos por ck o número
de conjuntos de p elementos {j1 , ... , }p} C I2p, tais que }1 + · · · + )p ==
k (modp), então wP = 1 garante que o segundo membro de (8.1) é
igual a E1:~ ckwk, de sorte que
p-1
LCkWk = 2.
k=O
Segue do que fizemos acima que w é raiz do polinômio de coefici-·
entes inteiros f(X) = E1:~ ckXk - 2. Note ainda que Cp-1 # O, uma
vez que o conjunto
p-lp+l.
}
{ 1,p-1,2,p- 2,3,p- 3, ... , -2-,
-2-, 2p- l
tem p elementos e a soma dos mesmos é congruente a p - 1, módulo
p. Portanto, 8f = p - 1.
Mas, como o polinômio minimal de w é Pw(X) = XP- 1 +· · ·+X +1,
o item (b) da proposição 8.3 garante que f é um múltiplo inteiro de
Pw, digamos f = CPw, com e E N. Em particular, comparando os
coeficientes de ambos os membros dessa igualdade, concluímos que
c0
-
2 = c1 = · · · =
Cp-1
= e.
= Co +
C1
+ ···+
.
Cp-1
~ ( (;) -
Exemplo 8.8 (Romênia). Seja f E Z[X] um polinômio mônico, de
grau ímpar maior que 1 e irredutível sobre Q. Suponha ainda que:
(a) f(O) é livre de quadrados.
(b) As raízes complexas de
f têm módulo maior ou igual a 1.
Prove que o polinômio F E Z[X], dado por F(X) =J(X 3 ), também é
irredutível sobre Q.
Prova. Por contradição, suponha que F é redutível sobre Q. Então,
segue do problema 2, página 168, a existência de polinômios g, h E
Z[X], mônicos, não constantes e tais que F = gh. Como 8F = 38f e
8f é ímpar, segue que 8F também é ímpar. Portanto, o problema 4,
página 75, garante que F admite uma raiz real a.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que a é raiz de g e que
g é irredutível sobre Q. De fato, se a for raiz de g mas g for redutível
sobre Q, basta tomar o fator mônico e irredutível de g que tem a por
raiz, utilizando em seguida o resultado do problema 2, página 168,
para concluir que tal fator irredutível tem coeficientes inteiros.
Nas condições do parágrafo anterior, sabemos que g é o polinômio
minimal de a sobre Q. Agora, se w é uma raiz cúbica de 1, com w # 1,
então
Temos, pois, de distinguir dois casos:
(i) g(aw) = O: como (pelo problema 2, página 74) as raízes não reais
de um polinômio de coeficientes reais ocorrem aos pares complexocomplexo conjugado, temos que aw = aw 2 também é raiz de g. Agora,
agrupando na expressão de g os monômios com expoentes das formas
3k, 3k + 1 e 3k + 2, podemos escrever
= (2p)
p ·
Logo,
c0 = e+ 2 =
195
O= F(a) = f(a 3 ) = f((aw)3) = F(aw) = g(aw)h(aw).
A fim de calcular o valor de e, note que Co + c 1 + · · · + cp-1 é igual
ao número de subconjuntos de p elementos de I 2p, de maneira que
pc + 2
8.1 Números algébricos
2) + 2.
D
(8.2)
Números Algébricos e Aplicações
196
com a, b e e de coeficientes inteiros. Logo,
a(ci) + ab(o?) + a 2 c(ci)
a(a 3 )
g(a)
=
+ awb(a 3 ) + a:2w2c(a:3 )
=
a(a 3 )
= O,
e
a( o:3 )
+ aw 2 b( a 3 ) + a:2wc( a:3 )
=
g( aw 2 )
= O.
Considerando as três igualdades acima como um sistema linear de
equações em a(o: 3 ), b(o: 3 ) e c(a 3 ), não é difícil mostrar que a(a 3 ) ===
b(a 3 ) = c(a3 ) = O. Assim, sendo p o polinômio minimal de a 3 sobre.
(Q, segue da proposição 8.3 que p divide a, b e e em (Q[X] e, portanto
(novamente pelo problema 2, página 74), em Z[X]. Segue de (8.2) que
p(X 3 ) divide g(X). Mas, como g é mônico e irredutível, concluímos
que g(X) = p(X 3 ). Agora, sendo g um polinômio em X\ segue
novamente de (8.2) que b, e = O e, daí, que
f(X 3 ) = F(X) = g(X)h(X) = a(X 3 )h(X).
O: como no item (i), concluímos que h(aw 2 )
ainda como acima,
=
-
a 2 c(a 3 ) = O.
Mas, como g é o polinômio minimal de a sobre (Q, invocando novamente a proposição 8.3, concluímos que g divide a(X 3 ) - X 2 c(X 3 ) em
Q[X] e, logo, em Z[X] (pela observação 2.11, uma vez que g E Z[X] e
é mônico). Fazendo X= O, concluímos que g(O) deve dividir a(O) em
Z. Sendo a(O) = g(O)m, com m E Z, segue que
f(O) = g(O)h(O) = g(O)a(O) = g(0)2m.
Uma vez que f(O) é livre de quadrados, segue que g(O) = ±1.
Portanto, sendo z1, ... , Zk as raízes complexas de g, segue das relações
de Girard que
(8.3)
Por outro lado, como
Tal igualdade, por sua vez, implica que h também deve ser um polinômio em X 3 , digamos h(X) = l(X 3 ), com l E Z[X]. Finalmente,
temos f(X 3 ) = a(X 3 )l(X3 ) e, daí, f = gl, com 89, 8l 2 1. Mas isto
contraria a irredutibilidade de f.
(ii) h(aw)
197
Multiplicando a primeira dessas igualdades por w e subtraindo a
segunda do resultado, obtemos
= O,
g(aw)
8.1 Números algébricos
=
O. Seja,
segue do item (b) do enunciado que lzJI 2 1 e, portanto, lzil 2 1,
para 1 ::; j ::; k. Coligindo tal informação com (8.3), concluímos que
lzil = 1, para 1 ::; j ::; k. Em particular, !ai = 1 e, sendo a real,
devemos ter a= ±1, de sorte que a: 3 = ±1. Mas, como fé irredutível
sobre (Q e f(a 3 ) = O, terímos f(X) = X± 1, contrariando o fato de
que af > 1.
D
O restante desta seção é destinado a apresentar uma demonstração
com a, b .e e de coeficientes inteiros. Então,
de que o conjunto dos números complexos algébricos é fechado para
as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (por um
divisor algébrico não nulo). Começamos com o seguinte resultado.
e
Teorema 8.9. Se a, /3 E C \ {O} são algébricos, então a+ /3 também
o é.
Números Algébricos e Aplicações
198
Prova. Sejam a = a 1 , ... , am as raízes complexas de Pa e (3 ==
(31 , ... , f3n aquelas de Pf3, de modo que
m
p0 (X) =
II(X -
8.1 Números algébricos
199
onde s1, ... , Sm E (Q[X1, ... , Xm] são os polinômios simétricos elementares em X1, ... , Xm. Em particular,
n
ai) e p13(X) =
i=l
II(X -
f3j)·
j=l
uma vez que
Defina
m
f(X, X1, .. ,, Xm) =
m
n
II II(X -
xi - f3j) = IIp13(X - Xi)
i=l
i=l j=l
Assim, se h(X) = f(X, a1, ... , am), então, por um lado,
mn-1
=
xmn +
L Ík(X1, ·,, ,Xm)Xk,
k=O
E
(Q[X]).
m
m
f(X,Xcr(l),". ,Xcr(m)) = IIp13(X -Xcr(i)) = IIp13(X - Xi)
i=l
i=l
ou, ainda,
mn-1
L
mn-1
Ík(Xu(l),,,,, Xcr(m))Xk
=
k=O
Ík(a1,,,,, am)Xk
E
Q[XJ
xmn +
e, por outro,
m
Se a é uma permutação de Im, então
xmn +
L
k=O
para certos polinômios fo, ... , Ímn-1 E Q[X1, ... , Xm] (uma vez que
Pf3
mn-1
h(X) = xmn +
L
fk(X1,,, ·, Xm)Xk.
k=O
m
n
II II
h(X) = IIP13(X - ai)=
(X - ai - f3i)·
i=l
i=l j=l
Logo, h é um polinômio não nulo de coeficientes racionais tal que
~
'
h( a + /3) = O, o que garante que a + f3 é algébrico.
D
Observação 8.10. Suponha que Pa,Pf3 E Z[XJ. Então, nas notações da demonstração acima, temos s1(ai), ... , sm(ai) E Z, e
Ík E Z[X1, ... , Xml, para O ~ k ~ mn - 1. Portanto, segue novamente do teorema de Newton que gk E Z[X1, ... , Xm] e, daí, que
Portanto, temos
Ík(Xcr(i), ·, ·, Xcr(m)) = Ík(X1, · · ·, Xm),
para todos O ~ k ·~ mn - 1 e a, de sorte que Ík é um polinômio
simétrico em X 1 , ... , Xm, para O~ k ~ mn - 1.
O teorema de Newton 4.12 garante, então, a existência de um
polinômio gk E Q[X1, ... , Xm] tal que
Ík(X1,,,,, Xm)
=
gk(s1, · ·,, Sm),
para O ~ k ~ mn - 1. Portanto, h
Pa+f3 E Z[X].
E
Z[X] e segue do problema 4 que
Para mostrar que o conjunto dos números algébricos é fechado para
produtos e quocientes, precisamos do seguinte resultado auxiliar.
Lema 8.11. Se a#- O é algébrico, então a- 1 e a 2 também o são.
200
1
'''
! ''
i
Prova. Seja /(X)= anXn + ªn-1xn- 1 + · · · + a1X + a0 E (Q[X] \ Q
tal que ao =/= O e f(a) = O. Então, g(X) = a 0 Xn + a 1xn- 1 + · · · +
an_ 1X + an é um polinômio não constante de coeficientes racionais, e
é imediato verificar que g( a- 1) = O.
Para a 2 , observe que existem polinômios u e v de coeficientes racionais, não ambos nulos e tais que
f(X) = u(X 2) + Xv(X 2).
(u(a 2 )
-
=
(u(a 2 )
-
av(a 2))(u(a 2) + av(a 2))
av(a 2))f(a) = O.
Teorema 8.12. Se a, f3 E C\ {O} são algébricos, então af3 e
o são.
1.
!
é um racional não nulo e a =/= O é um complexo algébrico,
prove diretamente (i.e., sem recorrer ao teorema 8.12) que ra
também é algébrico.
21r
n
é um número algébrico.
* Seja a E (C algébrico.
Se existe
J(a) = O, prove que Pa E Z[XJ.
f
E
Z[X] \ Z mônico e tal que
(a) Sejam a, b e e inteiros positivos. Prove que:
D
(i) y'a + vb + ye é raiz de um polinômio mônico e de
coeficientes inteiros.
J também
(ii) Se y'a+ vb+ ye (j_ Z, então y'a+ vb+ Jc é irracional.
duas aplicações do teorema 8.9, juntamente com o resultado do problema 1, garantem que af3 é algébrico.
Para o que falta,, observe que
= a ·
com
algébrico (pelo
lema anterior). Portanto, a primeira parte acima garante que j é
algébrico.
D
!,
* Se r
2. Dado n EN, prove
que cos
,
5.
Prova. Pelo lema anterior, a 2 e {3 2 são algébricos. Mas, como já
sabemos que a+ f3 é algébrico, segue novamente do lema anterior que
(a + {3) 2 também o é. Agora, uma vez que
J
~
4.
- a 2v(a2)2
=
Problemas - Seção 8.1
3. Sejam p primo e n EN. Prove que o polinômio minimal de -f:(fJ
é f (X) = xn - p.
Sendo h(X) = u(X) 2 - X v(X) 2, temos h E Q[XJ \ {O} e
h(a 2) = u(a 2)2
201
8.2 Polinômios ciclotômicos
Números Algébricos e Aplicações
(b) Generalize os itens (i) e (ii) para vb1 + vb2 + · · · + vbn,
onde b1 , b2, ... , bn são inteiros positivos.
6. (OBM.) Prove que o polinômio J(X) = X 5 -X4 -4X 3 +4X 2 +2
não admite raízes da forma {fr, onde ré um racional e n > 1 é
um natural.
7. Dê uma prova análoga à do teorema 8.9 para mostrar que af3 é
algébrico sempre que a e f3 o são.
8.2
Polinômios ciclotômicos
A teoria de polinômios sobre Zp, p primo, nos permite apresentar
algumas das propriedades elementares de uma classe muito importante
de polinômios, conhecidos como ciclotômicos. Como subproduto do
202
Números Algébricos e Aplicações
203
8.2 Polinômios ciclotômicos
estudo que faremos aqui, mostraremos que os polinômios ciclotômicos são exatamente os polinômios minimais das raízes complexas da
unidade.
Sendo n um natural e Wn = eis 2: , consideraremos, no que segue, as raízes n-ésimas da unidade da forma w~, com 1 ~ k ~ n e
mdc (k, n) = 1. Tais raízes são ditas primitivas, e é imediato que
há exatamente cp( n) de tais raízes, onde cp : N --+ N é a função de
Euler. Dados m, n E N, sempre que não houver perigo de confusão
denotaremos seu mdc escrevendo simplesmente (m, n).
Agora, como cada inteiro 1 ~ m ~ n pode ser escrito de modo único
= 1 (tal d é d = (m, n)), a
como m = dk, com o < d I n e (k,
última soma acima é claramente igual a
Definição 8.13. Para n E N, o n-ésimo polinômio ciclotômico
é o polinômio
Se
II
1>n(X) =
(X - w~).
~n
n
II(X - wfi) = xn -
(b) Façamos indução sobre n EN, notando inicialmente que 1> 1 (X) =
X -1 E Z[X], por definição. Seja, agora, n > 1 natural e suponha, por
hipótese de indução, que 1>m E Z[X], para todo inteiro 1 ~ m < n.
g(X) =
(k-:-nF=1
Segue da definição acima que 1>n é momco e 81>n = cp(n). A
proposição a seguir coleciona outras propriedades elementares de 1>n.
II 1>d(X),
l<d<n
(8.4)
l<k<n
1.
j=l
dln
temos que g E Z[X] e, pelo item (a), xn - 1 = 1>n(X)g(X). Mas,
como g é mônico (pois já sabemos que cada 1>m o é), segue da observação 2.11 que 1>n E Z[X].
(e) Novamente por indução, temos primeiramente
Proposição 8.14. Para n EN, temos:
(a) xn - 1 = I1o<dln 1>d(X).
(b) 1>n
E
de modo que 1> 2 (X) = X + 1 e 1> 2 (0) = 1. Seja, agora, n > 1 e
suponha, por hipótese de indução, que 1>m(O) = 1 para todo inteiro
2 ~ m < n. Então, nas notações da prova de (b), temos
Z[X].
(e) 1>n(O) = 1, para n > 1.
Prova.
(a) Observe inicialmente que
l<d<n
dln
II 1>d(X) = II 1>njd(X) = II II
O<dln
O<dln
=
O<dln
II II
O<dln
19~n/d
(k,n/d)=l
II 1>d(O) = (-1) II 1>d(O) = -1,
g(O) = 1>1(0)
(X - W~jd)
l<d<n
dln
e segue de xn - 1 = 1>n(X)g(X) que
l~k~n/d
(k,n/d)=l
-1
= 1>n(O)g(O) = -1>n(O),
(X - w~k).
como desejado.
D
204
Números Algébricos e Aplicações
Corolário 8.15. Se p é primo, então
<I>p(X)
=
xp-l
8.2 Polinômios ciclotômicos
205
Para o próximo resultado, lembre-se de que, se w é uma raiz n-ésima da unidade, então a proposição 8.3 garante que seu polinômio
minimal Pw divide xn - 1 em Q[X]. Em particular, segue do problema
4, página 201, que Pw E Z[X].
+ xp- 2 + ... + x + 1.
Prova. O item (a) da proposição anterior garante que
Proposição 8.17. Sejam n, p E N tais que p é primo e p f n. Se w é
uma raiz n-ésima da unidade, então Pw(X) = PwP(X).
de sorte que
o
O exemplo 7.29 mostrou que <I>P é irredutível sobre (Ql, de sorte
que <I>P é o polinômio minimal de wP. No que segue, nosso objetivo
é generalizar este fato, provando que, para todo n E N, o polinômio
minimal Pwn de Wn coincide com o n-ésimo polinômio ciclotômico <I>n.
Precisamos, inicialmente, do seguinte resultado auxiliar.
Lema 8.16. Sejam f, g E Z[X] e p E N um número primo.
g
E
Zp[X] \ Zp e g
2
17 em Zp[X],
Se
então g I f' em Zp[X].
Prova. Seja ( = wP. Como w e ( são ambos raízes de xn - 1, o item
(b) da proposição 8.3 garante que Pw(X) e Pç(X) dividem xn - l. Por
contradição, suponha que Pw(X) # Pc;(X). Então, a irredutibilidade
de tais polinômios garante, via teorema 7.15, que Pw(X)pc;(X) divide
xn - 1 em Z[X], digamos
xn - 1 = Pw(X)pc;(X)u(X).
Se g(X)
(8.5)
= Pç(XP), então
g(w) = Pc;(wP) = Pc;(() =
o
e, daí, Pw divide g em Z[X]. Seja v E Z[X] tal que Pw(X)v(X) = g(X).
Em Zp[X], temos pelo problema 6, página 178, que
Prova. Se h E Z[X] é tal que f(X) = g(X)2"Fi(X) em Zp[X], sabemos
que existe um polinômio l E Z[X] tal que
f(X) = g(X) 2 h(X)
e o teorema 7.20 garante a existência de um polinômio mônico e irredutível h E Zp[X] tal que h(X) 1 Pw(X),Pc;(X) em Zp[X]. Segue de
(8.5) que h(X) 2 1 (Xn - I) em Zp[X], e o lema anterior garante que
h(X) nxn-l em Zp[X]. Mas, como h é mônico e n # O, aplicando novamente o teorema 7.20 obtemos 1 ::S: l ::S: n-1 tal que h(X) = xt em
Zp[X]. Logo, h(X) f (Xn-I) em Zp[X], o que é uma contradição. D
+ pl(X)
em Z[X]. Derivando ambos os membros dessa igualdade, obtemos
1
J'(X) = 2g(X)g'(X)h(X) + g(X) 2 h'(X)
+ pl'(X)
em Z[X] e, daí,
f'(X) = g(X)(2 g'(X)h(X)
Chegamos finalmente ao resultado desejado.
+ g(X)h'(X))
Teorema 8.18. Se Wn = eis
i!
!
D
<I>n
E
então Pwn
Z[X] é irredutível sobre Q[X].
2; ,
<I>n. Em particular,
206
Números Algébricos e Aplicações
Prova. Tome k E N tal que k > 1 e mdc (k, n) = 1, e seja k ===
PI ... pz, com PI, ... , pz primos que não dividem n. Repetidas aplicações da proposição anterior nos dão
Em particular, os cp(n) números w!, com 1 ::; k::; n e mdc (k, n)
são raízes distintas de Pwn, de maneira que
= 1,
Mas, como <I>n é mônico de coeficientes inteiros e tem Wn por raiz, a
definição de polinômio minimal garante que Pwn = <I>n·
D
Terminamos esta seção provando um caso particular do teorema
de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas. Esse teorema
afirma que uma progressão aritmética não constante e infinita de números naturais contém uma infinidade de números primos, contanto
que sua razão e seu primeiro termo sejam relativamente primos. Em
que pese o teorema de Dirichlet ser uma generalização natural do teorema de Euclides da infinitude dos primos (este último provado na
seção 1.3 de (14]), as provas conhecidas desse resultado estão fora do
alcance da maior parte dos currículos de graduação em Matemática.
Todavia, a teoria de polinômios ciclotômicos desenvolvida acima nos
permite apresentar uma demonstração elementar do teorema de Dirichlet, no caso particular em que o primeiro termo da progressão é
igual a 1.
Teorema 8.19 (Dirichlet). Se n EN, então a PA l, 1 +n, 1 + 2n, ...
contém infinitos números primos.
a = ynpI ... Pk temos, módulo a, que
<I>n(a)
<I>n(O) = 1 (moda).
Seja, então, <I>n(a) = aq + 1 = ynpI ... pkq + 1. Se p for um fator
primo de <I>n(a), temos p =/:.PI, ... ,Pk e mdc (p, n) = l. Portanto, se
provarmos que p _ 1 (mod n), seguirá que pé um primo em nossa PA,
diferente de PI, ... , Pk.
Para o que falta, note que mdc (p, a) = 1, de modo que podemos
considerar t := ordp(a). Como p 1 <I>n(a) e <I>n(a) 1 (an - 1) (pois
<I>n(X) 1 (Xn - 1) em Z[X]), vem que an
1 (modp) e, daí, t I n.
Se mostrarmos que t = n, seguirá das propriedades da ordem e de
ap-I - 1 (modp) que n 1 (p - 1) ou, o que é o mesmo, p _ 1 (mod n).
Se e E {a,a + p}, segue de at _ 1 (modp) que ct
1 (modp).
Suponha, por contradição, que t < n. A proposição 8.14, juntamente
com o fato de que t I n, nos dá
O<dln
= <I>n(c)h(c)
O<d<n
dln
IJ <I>d(c)
O<dlt
=
<I>n(c)h(c)(ct - 1),
onde h E Z[X] é um polinômio apropriado. Mas, como e
segue que
<I>n(c) - <I>n(a) O(modp),
de maneira que
cn - 1 = <I>n(c)h(c)(ct - 1) - O(modp2 ).
Por outro lado,
Prova. Sejam PI, ... ,Pk primos quaisquer e <I>n o n-ésimo polinômio ciclotômico. Como <I>n é mônico, escolhendo um inteiro y suficientemente grande, temos <I>n(ynpI .. ·Pk) > 1. Agora, fazendo
207
8.2 Polinômios ciclotômicos
a (modp),
!'
1
!
li'
l!
208
Números Algébricos e Aplicações
8.3 Números transcendentes
209
: 1
e (pelos cálculos acima) tanto (a+pt-1 quanto an-1 são múltiplos de
p 2 . Portanto, olhando a última igualdade acima módulo p 2 , concluímos
que
o que é um absurdo.
D
Para uma discussão autocontida da prova do caso geral, sugerimos
ao leitor as referências [37] ou [51).
Problemas - Seção 8.2
1. Sendo p primo e k natural, calcule explicitamente o polinômio
<I>pk·
2. Se n > 1 é um inteiro par, mostre que <I>2n(X)
=
<I> 2n(-X).
3. Se m e n são naturais distintos, prove que <I>m e <I>n não têm
fatores não constantes comuns em C[X].
4. Se n > 1 é natural e d é o produto dos fatores primos distintos
de n, mostre que
<I>n(X) = <I>d (xnfd).
. t o { 1, 21 , 31 , 41 , . . . } cont,em vanas
, . progressoes
5. O conJun
an"t me't"1cas. Prove que, dado k > 2 inteiro, esse conjunto contém uma
progressão de k termos que não está contida em uma progressão
de k + 1 termos do conjunto.
!
!
1
6. Sejam a, n EN, sendo a> 1 e n ímpar. Prove que a congruência
xn - a (modp) tem solução para uma infinidade de primos p.
'
11
'i'
1.,
:1
'I
7. Seja a EN não quadrado perfeito. Prove que há infinitos primos
p tais que a não é resíduo quadrático, módulo p.
8. Sejam a, b E Z tais que, para cada n E N, existe um inteiro e
para o qual n 1 (c 2 +ac+b). Prove que a equação x 2 +ax+b = O
tem raízes inteiras.
8.3
Números transcendentes
Como foi dito no início da seção 8.1, números transcendentes são
precisamente os números complexos que não são raízes de polinômio
não nulo algum com coeficientes racionais. Contudo, até esse ponto
nem mesmo sabemos se tais números existem.
Uma maneira possível de estabelecer a existência de números transcendentes (mesmo reais) é começar mostrando que o conjunto A dos
números algébricos (reais) é enumerável, i.e., que seus elementos podem ser listados como os termos de uma sequência (xn)n~l, de modo
que A= {x 1 ,x 2 ,x 3 , ... }; então, mostra-se que o conjunto lR não é
enumerável, de forma que lR \ A é necessariamente não vazio. Não
seguiremos esse caminho aqui, uma vez que ele requeriria que desenvolvêssemos os resultados básicos sobre conjuntos enumeráveis, bem
como que estabelecêssemos a não enumerabilidade do conjunto dos
reais, e isso nos desviaria bastante do fio condutor deste volume. Para
o leitor interessado, sugerimos [26] ou (39).
Em vez de seguir a estratégia delineada no parágrafo anterior, apresentamos a construção (explícita) do primeiro número transcendente
descoberto, devida ao matemático francês do século XIX J. Liouville.
Nossa apresentação segue o maravilhoso clássico (19).
Para o que segue, dizemos que um número algébrico a tem grau
n se seu polinômio minimal Pa tem grau n; em particular, se n > 1,
então é claro que a é irracional. . Precisamos introduzir mais uma
nomenclatura: dizemos que uma propriedade P(k), dependente de um
natural k, é verdadeira para todo k suficientemente grande se existe
k0 E N tal que P(k) é verdadeira sempre que k > k0 ; ademais, se
210
Números Algébricos e Aplicações
um valor específico de k0 for irrelevante no contexto sob discussão,
escreveremos simplesmente que P(k) é verdadeira para todo k » 1.
Estamos finalmente em posição de enunciar e provar o teorema de
Liouville.
Teorema 8.20 (Liouville). Seja a E C um número algébrico de grau
n > 1. Se (Pk)k?.l e (qk)k?.l são sequências de inteiros não nulos tais
.
Pk
tque 1Imk---++oo
qk = a, en ao
> _1
la_Pkl
qk
q~+l'
para todo k
»
8.3 Números transcendentes
k
Como ak --+ a, temos lak - ai < 1 para todo k
a desigualdade triangular, concluímos que
para todo k
(8.6)
+ · · · + a1X + a0 ,
j=l
n
I
n
.
ak-a I · "'""""
~ 1ªi 1 · 1a{ - aJ 1,
n
=
»
1, onde
ai
< 1),
Agora, uma vez que qk --+ +oo, temos lak todo k » 1, de forma que -01 > _1._
e, portanto,
qk
ai <
1 e qk > C para
I 1
1
a - Pk
- > -lf(ak)I,
qk
qk
ak-a
L lail ·lati+ a{-2a + ... +ai-li·
j=l
LJlail((l + la1)1- 1 ,
j=l
k
j=l
: : ; Ln lail. ia{
1 - ail1
j=l
<
.
!
fk(a_ka) 1
I a
n
depende somente de a, e não de k.
Então, para todo k » 1 (escolhido de forma tal que lak temos
onde utilizamos a desigualdade triangular na última passagem acima.
Portanto, um pouco de álgebra elementar fornece
!
la;l(la,IH + la,l;-,lal + · · · + lalH)
e== I:j1aj1((1 + 1a1f-1
j=l
1
1
t.
n
para todo k
j=l
1 !
1 e, daí, (8. 7) e (8.8) fornecem
n
1
'i
1. Utilizando
: : ; L lail ( (1 + lal)j-l + (1 + lal)1- 2lal + · · · + lalj-l)
com a0,a1, ... ,an E Z.
Agora, observemos que
::::;
»
1:.(~·~1 =
Prova. Seja ak = Pk.
Como ak ~ a, temos que qk ~ +oo. Como
qk
a é algébrico de grau n > 1, existe f E Z[X] \ {O} de grau n e tal que
f(a) = O, digamos,
= anXn
»
(8.8)
1.
f(X)
211
(8.7)
para todo k » 1.
Como passo final, observe que se f(ak) = O, então teríamos f(X) =
(X - ak)g(X) para algum g E Z[X] \ {O} de grau n-1. Como a=/= ak
212
Números Algébricos e Aplicações
(pois a é irracional), concluímos que a seria raiz de g contrad·
d
.
f t d
1zen O O
1
a O o po mom10 minimial de a ter grau n · Logo , f( ªk ) .../..
.
r 0 e, assim
A
•
213
8.3 Números transcendentes
para todo k
»
1. Por outro,
,
la - akl =
Portanto, para k
1
<
1
10(k+I)I ·
9, 999 ...
=
1
10(k+I)l-l'
j>k
1/(ak)I =an(::)n +···+a1 (::) +ao
= qk lanPk
""°"
a·
LJ l~il
+ · · · + a1pkqk-l + a0 qkl
»
1 teríamos
1
10(k+l)l-l
>__!_
1
> (10kl) n+I
- qk
Finalmente, combinando essa última desigualdade com a ant .
a ela, obtemos (8.6).
enor
D·
- O exemplo a seguir, também devido a Liouville, traz uma aplicaçaodengenhosa do teorema anterior à construça-o , de n·u'meros . t ranscen e~tes. Para u~a apreciação adequada do mesmo, o leitor precisa
p~~smr uma relativa familiaridade com manipulações aritméticas de
senes convergentes, no nível do capítulo 3 de [12].
Exemplo
8.21
(Liouville). Se ª1 ' a2 ' a3 ' ... E {1 , 2, 3, · · · , 9} , en t-ao o
,
l
numero rea
ª1
a2
a3
a=
- +1021
- + 1031 + . . . .
1011
é trancendente.
Prova.
.
. Suponha
. . que a fosse algébrico , de grau n > 1 ('""'
'-" e, c1arament e
irracional - veJa o problema 1). Para k 2:: 1, seja
k
ªk
=
L
.
a·
_J
10il
=
J=l
p
_k_
10kl'
e, daí, (k
+ 1)! -
1 < k!(n
equivale a
+ 1).
Contudo, essa última desigualdade
k!(k - n) < 1,
que é falsa para k 2:: n + 1.
Finalmente, uma vez que a hipótese de que a é algébrico leva
a uma contradição, não temos alternativa além de concluir que a é
D·
transcendente.
Terminamos recordando que, em [12], mostramos que os números
e e 1r são irracionais. Contudo, métodos mais refinados de Análise real
permitem mostrar que tais números são transcendentes. Ambos tais
fatos foram estabelecidos ainda no século XIX, sendo devidos ao matemático francês C. Hermite e ao matemático alemão F. Lindemann,
respectivamente. Para o leitor interessado, recomendamos [26].
Exemplo 8.22. Admitindo a transcendência dos números e e 1r, os
teoremas 8.9 e 8.12 permitem justificar a transcendência de vários
números complexos. Por exemplo, o número 1r + v'2 é transcendente,
posto que, se fosse algébrico, teríamos
1í
com Pk EN. Então, por um lado, segue do teorema de Liouville que
= (1r
+ v'2) - v'2,
também algébrico, por ser uma diferença entre dois números algébri-
la- akl >
1
(10k1r+l'
cos.
214
Números Algébricos e Aplicações
Problemas - Seção 8.3
1. Prove que o númbero a do Exemplo 8.21 é irracional (esse fato
foi utilizado na discussão do exemplo).
2. Assumindo a transcendência de e e de 1r, prove diretamente (i.e.,
sem apelar para o teorema 8.9) que os números 1r + J2 e e+ .J3
também são transcendentes.
CAPÍTULO 9
3. Se a E C é transcendente e n EN, prove que y'a e an também
são transcendentes.
Recorrências Lineares
Neste capítulo final, completamos o trabalho iniciado na seção 4.3
de [10], mostrando como resolver uma recorrência linear de coeficientes
constantes e ordem qualquer. Precisamos, inicialmente, de duas definições, as quais se revelarão centrais para tudo o que segue.
Definição 9.1. Uma sequência (an)n2'.l é dita recorrente linear, se
existirem um inteiro positivo k e números complexos u 0 , ... , uk-I, nem
todos nulos, tais que
(9.1)
1
!
1'
para todo n
~
1.
O natural k é denominado a ordem da recorrência linear e a equação (9.1) é a relação de recorrência ou, simplesmente, a recorrência satisfeita pela sequência. Neste caso, (an)n2'.l é também denominada uma recorrência linear de ordem k.
215
216
Recorrências Lineares
Dados a1, ... , ak E C, é imediato verificar que há exatamente uma
sequência (an)n2'.l satisfazendo (9.1) e tal que ªi = ai, para 1 :::; j:::; k.
Portanto, uma recorrência linear de ordem k fica totalmente determinada quando conhecemos a relação de recorrência linear por ela
satisfeita e os valores de seus k primeiros termos.
217
9.1 Um caso particular importante
onde x 1 , ... , Xk é a solução do sistema de Vandermonde
+ X2 + · · · + Xk
zix1 + Z2X2 + · · · + ZkXk
Z~X1 + Z~X2 + · · · + Z~Xk
X1
(9.3)
Definição 9.2. Seja (an)n2'.l uma sequência satisfazendo a recorrência
linear
an+k = Uk-lan+k-1
+ · · · + Uoan,
para n 2: 1, onde uo, ... , uk-l são números complexos dados, nem
todos nulos. O polinômio característico de (an)n2'.l é o polinômio
f E C[X] dado por
"(9.2)
9.1
Prova. Como z1 , z2 , .•• , Zk são dois a dois distintos, a proposição 6.6
garante a existência de uma única solução x 1 , x 2, ... , xk do sistema
(9.3). Podemos, pois, definir a sequência (bn)n2'.l pondo
bn =
n-1
Z1
X1
+ Z2n-1 X2 + · · · + Zkn-1 Xk,
w
V
n >
_ 1.
Então, para 1 :::; j :::; k, o sistema (9.3) fornece
Um caso particular importante
Discutimos, inicialmente, o caso em que as raízes do polinômio
característico da recorrência são duas a duas distintas; apesar da limitação envolvida, este caso é bem mais simples que o caso geral e
encontra muitas aplicações interessantes. O resultado de interesse é o
conteúdo do teorema a seguir.
Por outro lado, sendo f o polinômio característico de (an)n2'.I, segue
da definição dos bi 's que
bn+k - Uk-lbn+k-1 - """ - Uobn =
k
k
k
2
"""'zi:i,+k-lx
· - uk -L.....tJ
1 """'zi:i,+k- x · - · · · - u 0 """'zi:i- 1x ·
L.....!J
J
J
L.....!J
J
j=l
Teorema 9.3. Seja (an)n2'.1 uma sequência satisfazendo, para todo
n 2: 1, a relação de recorrência
j=l
j=l
k
L z7- 1xi(zj - Uk-1zJ- 1 -
· · · - uo)
j=l
k
L z7- 1xif(zi) = O.
onde uo, ... , uk-1 são números complexos dados, nem todos nulos.
Se as raízes complexas z1 , z 2, ... , zk do polinômio característico de
(an)n2'.1 são todas distintas e ªi = ªi para 1 :::; j :::; k, então
j=l
Portanto, a sequência (bn)n2'.l satisfaz a mesma recorrência linear
que (an)n2'.l e seus k primeiros termos coincidem, respectivamente, com
os k primeiros termos da sequência (an)n2'.l· Logo, uma fácil indução
garante que an = bn para todo n 2: 1, conforme desejado.
D
Recorrências Lineares
218
O exemplo a seguir mostra que não necessariamente precisamos conhecer explicitamente as raízes do polinômio característico para aplicar o resultado do teorema anterior a fim de obter informações relevantes acerca do comportamento de uma dada recorrência linear.
Exemplo 9.4 (Crux). Seja A 1 A 2 A 3 A 4 o quadrado de vértices A1 =
(O, 1), A2 = (1, 1), A3 = (1, O) e A 4 = (O, O). Para cada n 2:: 1,
seja An+4 o ponto médio do segmento AnAn+l · Prove que, quando
n ---+ +oo, a sequência de pontos An converge para um ponto A e
calcule as coordenadas de tal ponto.
Prova. Para cada n 2:: 1, seja An(xn, Yn)· A condição do enunciado,
juntamente com a fórmula para as coordenadas do ponto médio de um
segmento (veja o corolário 6.2 de [11]), garante que
2Xn+4 = Xn+1
+ Xn, Y n 2:: 1,
= 2X4 - X -
1 = (X - l)g(X),
a+b+c= -1 e ab+ac+bc= 1.
(9.4)
i
1 = a(b + c)
+ bc = a(-1 -
a)+ bb,
de modo que lbl 2 = a(a + 1) + 1 < 1. Mas, como lbl = lei, segue que
lbl = lei < 1. Então, a relação (9.5), juntamente com o resultado do
exemplo 9.8, garante que
lim Xn = D.
n--++oo
1
o
o
1
Multiplicando as três últimas equações por 2 e somando membro a
membro as quatro igualdades resultantes, chegamos a
Ag(a)
+ Bg(b) + Cg(e) + 7D = 3.
< O,
Mas, uma vez que a, b e e são as raízes de g, segue que 7D = 3 ou,
ainda, D=~·
De modo análogo, provamos que limn--++oo Yn = ~ e, assim,
de sorte que, pelo exemplo 4.7 e problema 2, página 74, podemos
supor que a é real e b e c são complexos não reais, conjugados. Em
particular, a, b e c são dois a dois distintos e, como 1 não é raiz de g,
D
Portanto,
!
'. 'i
Para sabermos o que ocorre quando n ---+ +oo, note inicialmente
que g(-l)g(O) = -1 < O e, assim, o teorema de Bolzano 5.2 garante
que -1 < a < O. Portanto, as relações (9.4) fornecem
A+B+C+D
Aa+Bb+Ce+Dd
Aa2 + Bb2 + Cc2 + Dd2
Aa3 + Bb3 + Ce3 + Dd3
onde g(X) = 2X 3 + 2X 2 + 2X + 1. Se a, b e c são as raízes complexas
de g, segue das relações de Girard que
:
o teorema 9.3 garante a existência de constantes reais A, B, C e D
tais que
Xn = Aan-l + Bbn-l + Ccn-l + D, Y n 2:: l.
(9.5)
A fim de calcular o valor de D, recorde que X1 = X4 = O e X2 =
x 3 = 1. Portanto, fazendo sucessivamente n = 1, 2, 3 e 4 em (9.5),
obtemos o sistema linear
valendo uma recorrência análoga para a sequência (Yn)n::::i·
O polinômio característico da recorrência acima é
f(X)
219
9.1 Um caso particular importante
a2 + b2 + c2 =(a+ b + c)2- 2(ab + ac + bc) = (-1)2- 2 · 1 =
-1
220
Recorrências Lineares
Problemas - Seção 9.1
1. Seja A 1 A2A3 o triângulo do plano cartesiano de vértices A1 (0, O),
A 2 (1, O) e A3 (!,O). Para cada n 2: 1, seja An+3 o baricentro do
triângulo AnAn+1An+2· Se An(Xn, Yn), mostre que Xn ---+ 1~ e
Yn---+
quando n---+ +oo.
1
9.2 Sequências, séries e continuidade em C
221
Exemplo 9.5. Para todos a E (C e R > O o disco aberto D(a; R) é
um conjunto aberto e o disco fechado D( a; R) é um conjunto fechado.
Prova. Escolhido arbitrariamente z E D(a; R), seja r = R - lz - ai.
Então, r > O e afirmamos que D(z; r) C D(a; R) (veja a figura 9.1), o
que será suficiente para garantir que D(a; R) é aberto.
2. Se a é a maior raiz positiva do polinômio X 3 - 3X 2 + 1, mostre
que os números la 1788 J e la 1988 J são, ambos, múltiplos de 17.
9.2
Sequências, séries e continuidade em CC
Nesta seção, estendemos algumas definições e resultados dos capítulos 3 e 4 de [12] a funções com valores complexos. Observamos que
o material aqui apresentado (mais precisamente, o teorema 9.19) foi
utilizado na prova do teorema fundamental da álgebra, na seção 3.3,
e será de fundamental importância para a discussão do material da
seção 9.3.
Dados a E C e R > O, denotamos por D(a; R) o disco aberto de
centro a e raio R, i.e., o subconjunto de (C dado por
D(a; R) = {z
E
C;
lz - ai < R}.
Analogamente, o disco fechado de centro a e raio R é o subconjunto
D(a; R) de C, dado por
D(a; R)
=
{z
E
C;
lz - ai ::; R}.
Figura 9.1: todo disco aberto é um conjunto aberto.
Para o que falta, tome w E D(z; r). Pela desigualdade triangular,
temos
lw - ai
l(w - z) + (z - a)I ::; lw - zl + lz - ai
::; r + lz - ai = R
=
1
ii
ti
I:
1:
1
Um conjunto U C (C é aberto se, para todo a E U, existir R > O
tal que D(a; R) e U. Um conjunto F e (C é fechado se Fc = C\F for
aberto. É imediato que 0 e (C são subconjuntos abertos de (C (no caso
de 0, não há como a condição exigida pela definição não ser satisfeita,
uma vez que não existe z E 0); portanto, (C = C\0 e 0 = C\C também
são fechados. Colecionamos, a seguir, um exemplo menos trivial.
e, daí, w E D(a; R). Mas, como tal sucede com todo w E D(z; r),
concluímos que D(z; r) e D(a; R), conforme desejado.
Para a segunda parte, é suficiente mostrar que U = (C \ D(a; R) é
aberto. Para tanto, tome z E U e seja r = lz - ai - R. Então, r > O
e, como no primeiro caso, mostramos facilmente que w E D(z; r) =?w EU, de sorte D(z; r) e U. Logo, Ué, realmente, aberto.
D
Recorrências Lineares
222
Voltemo-nos, agora, às sequências de números complexos,
<lendo, às mesmas, o conceito de convergência.
Definição 9.6. Dizemos que uma sequência (zn)n~I em <C converge
para um limite z E <C, e denotamos Zn --+ z ou limn-++oo Zn = z, se a
seguinte condição for satisfeita:
',!E > O, :l no E N; n > no
=}
Zn - z 1 <
1
lz - wl
Lema 9. 7. Seja (zn)n>I uma sequência em <C.
=
w.
(b) Se (znk)k~I é uma subsequência de (zn)n>I e Zn --+ z, então
Znk --+ z.
223
(C
Prova.
(a) Se z -=J. w, então E= lz - wl > O. Mas, como ! ainda é positivo e
Zn--+ z e Zn --+ w, existem naturais n1 e n2 tais que lzn - zl < ! para
n > n1 e IZn - w 1 < ! para n > n2. Portanto, tomando um índice
n > n 1 , n 2 e aplicando a desigualdade triangular, obtemos
+ (zn - w)I
=
l(z - Zn)
<
2 + 2 =E= lz -
E.
Heuristicamente, o cumprimento da condição estipulada pela definição acima significa que, à medida que n --+ +oo, os termos Zn se
aproximam cada vez mais de z. Realmente, a definição dada estipula
que a sequência (zn)n~I converge para z E <C se, dado arbitrariamente
um raio E > O, existir um índice n 0 E N tal que os termos Zn, para
n > n 0 , pertençam todos ao disco aberto D(z; e).
Para o que segue, definimos uma subsequência (znk)k~ 1 de uma
sequência (zn)n~I como a sequência obtida pela restrição de (zn)n~I
a um subconjunto infinito { n 1 < n 2 < n 3 < · · · } de índices; de um
ponto de vista mais rigoroso, (znk)k~I é a sequência f o g : N --+ <C,
onde f : N --+ <C e g : N --+ N são dadas por J(n) = Zn, para todo
n EN, e g(k) = nk, para todo k EN.
O resultado a seguir encerra duas propriedades fundamentais do
conceito de convergência de sequências de números complexos. O item
(a) do mesmo garante que os termos de uma sequência convergente não
podem se aproximar de dois limites distintos.
(a) Se Zn--+ z e Zn--+ w, então z
9.2 Sequências, séries e continuidade em
E
E
o que é uma contradição. Logo, z
:=::;
lz - Znl
+ lzn - wl
wl,
= w.
(b) Dado E> O, a convergência de (zn)n~I para z garante a existência
de no EN tal que lzn - zl < E, para n > no. Agora, como n1 < n2 <
n 3 < · · ·, existe k 0 E N tal que k > k 0 =} nk > n 0 . Portanto, para
tais valores de k, temos lznk - zl < E, de sorte que (znk)k~I também
converge para z.
D
Graças ao item (a) do lema anterior, se uma sequência (zn)n~I em
(C converge para z E <C, diremos, doravante, que zé o limite de (zn)n>I·
Para os propósitos destas notas, um dos exemplos mais importantes de sequência convergente é o isolado a seguir. A esse respeito, veja
também o problema 2.
Exemplo 9.8. Se lzl < 1 e Zn
converge para O.
= zn, para todo n
~ 1, então (zn)n>I
Prova. Inicialmente, observe que lzn - OI = lznl = lzln. Agora, se
(an)n~I é a sequência de números reais dada por an = lzln, para n ~ 1,
então o exemplo 3.3 de [12] garante que an--+ O. Portanto, dado E> O,
existe n 0 E N tal que O ::::; an < E, para n > no. Assim, para n > no,
temos lzn - OI = an < E, de sorte que Zn--+ O.
D
Dada uma sequência (zn)n~I de números complexos, podemos escrever Zn = Xn + iyn, para todo n ~ 1, com Xn, Yn E IR. O próximo
224
Recorrências Lineares
resultado relaciona a convergência da sequência (zn)n2':l em (C com as
convergências das sequências (xn)n2:1 e (Yn)n2:1 em IR.
Lema 9.9. Seja (zn)n2:1 uma sequência de números complexos, com
Zn = Xn + iyn, para todo n 2: 1, onde Xn, Yn E IR. Então, (zn)n>i
converge em C se, e só se, (xn)n2:1 e (Yn)n2:1 convergem em IR. Ad~mais, se Xn --+ a e Yn --+ b, para certos a, b E IR, então Zn --+ z, onde
z =a+ ib.
Prova. Suponha, primeiramente, que Zn --+ z, onde z =a+ ib, com
a, b E IR, e seja dado E > O. Corno
ternos fxn - af, fYn - bf < E se fzn - zf < E. Mas, corno Zn--+ z, existe
no E N tal que n > no =} fzn - zf < E. Então, para cada um de
tais n, ternos realmente que xn - af, fYn - bf < E, o que estabelece as
convergências desejadas.
Reciprocamente, suponha que Xn --+ a e Yn --+ b, e seja dado E > O.
Corno
f
teremos fzn - zf < E se fxn - af, fYn - bf < f Mas, corno Xn --+ a
e Yn --+ b, existem n1, n2 E N tais que n > n1 =} fxn - af < ~ e
n > n2 =} fYn - bf < f Se no= rnax{n1,n2}, então, para n > n 0 ,
ternos fxn - af, fYn - bf < ~ e, daí, fzn - zf < E, o que estabelece a
convergência desejada.
D
Precisamos, agora, da definição a seguir.
Definição 9.10. Uma sequência (zn)n2':l em (C é de Cauchy se, dado
E > O, existir n 0 E N tal que
m, n > no
=}
fzm - Znf <
E.
9.2 Sequências, séries e continuidade em <C
225
Se (zn)n2':l é urna sequência convergente em C, então (zn)n2':l é de
Cauchy. De fato, se Zn --+ z e E > O é dado, então existe n 0 E N tal
que fzn - zf < ~' para todo n > no. Portanto, param, n > n 0 , segue
da desigualdade triangular para números complexos que
_ fz m lzm - z n f <
E
E
zf + lz - zn f <
_ 2 + -2 =
E.
Reciprocamente, ternos o seguinte resultado.
Proposição 9.11. (C é completo. Mais precisamente, se (zn)n>l é
uma sequência de Cauchy em C, então (zn)n2:i converge.
Prova. Seja Zn = Xn +iYn, com (xn)n2:1 e (Yn)n2:1 sequências de números reais. Dado E > O, torne n 0 E N corno na definição de sequência de
Cauchy. Corno fxm - Xnl ~ fzm - Znf, segue que (xn)n2:1 é de Cauchy
em IR. Portanto, o teorema 3.16 de [12] garante que (xn)n2':l é convergente, para x E IR, digamos. Analogamente, existe y E IR tal que
Yn--+ y. Portanto, sendo z = x+iy, segue do lema 9.9 que Zn --+ z. D
Corno no caso real (tratado no capítulo 3 de [12]), dada urna
sequência (zn)n2:1 de números complexos, definimos a série 1 Lk2':l zk
corno sendo a sequência (sn)n2:1, tal que sn = E;=l Zk, para todo
n EN. Também corno lá, dizemos que sn é a n-ésima soma parcial
da série, e que a série converge se existir o limite s := lirnn-++oo sn;
adernais, nesse caso dizemos que sé a soma da série em questão. Em
símbolos, escrevemos
n
~ Zk
6
k2':1
= n-Hoo6
lirn ~ Zk,
k=l
caso o limite do segundo membro exista.
Ilustramos, a seguir, o exemplo de urna série convergente que será
de importância fundamental na próxima seção.
1 Por vezes, consideraremos uma sequência (zn)n>o de números complexos e a
série correspondente Ek~o Zk·
,I,'
Recorrências Lineares
226
!
Exemplo 9.12. Se a E C\ {O}, mostre que, para z E D(O; 11), temos
9.2 Sequências, séries e continuidade em C
227
Proposição 9.13. Em C, toda série absolutamente convergente é convergente.
Antes de continuar, precisamos entender o que vem a ser uma
função contínua definida e tomando valores em um subconjunto de C.
Prova. Pelo lema 1.12, a n-ésima soma parcial da série do enunciado
é
n
1 ( )n+l
1
(azr+l
"'(azt = - az
L...,;
1 - az
1- az
1- az
k=O
!
Agora, para z E D(O; 1 1), temos lazl < 1, de sorte que, pelo exemplo
9.8, temos (azr-+ O quando n-+ +oo. Portanto, segue da igualdade
acima que, para z E D(O; 1 1),
!
"'(azt =
L...,;
k~O
n
1
lim "'(azt =
n--++oo L...,;
1 - az
k=O
(azr+l·
lim - · n--++oo 1 - az
Definição 9.14. Dado um subconjunto não vazio X de C, dizemos
que uma função f : X -+ C é contínua se a seguinte condição for
satisfeita: para toda sequência (zn)n~I de pontos de X, se Zn -+ z,
com z E X, então f(zn)-+ f(z).
A proposição a seguir nos permitirá construir um exemplo de função contínua de nosso interesse.
1
Proposição 9.15. Se f, g : X -+ C são funções contínuas, então
f + g, fg: X-+ C também são contínuas.
1 - az .
D
Também de fundamental importância é o conceito de série absolutamente convergente, i.e., uma série Lk~o ak tal que a série real
Lk>O lakl converge. Para n E N, sejam sn = L~=l ak e tn = L~=l lakl,
de ~rte que a sequência (tn)n~I converge. A desigualdade triangular
para números complexos fornece, para m > n inteiros,
m
lsm~snl =
L
k=n+l
m
ak ~
L
lakl =tm-tn.
k=n+l
Agora, vimos no capítulo 3 de [12) que, como (tn)n~I converge, temos
(tn)n~l de Cauchy; portanto, dado E > O, existe ko E N tal que m >
n > ko =} tm - tn < E. Logo, também temos lsm - snl < E para
m > n > k 0 , de sorte que (sn)n~o também é de Cauchy. Como vimos
na proposição 9.11 que toda sequência de Cauchy em (C é convergente,
o argumento acima prova o resultado a seguir.
Prova. Seja dada uma sequência (zn)n~I em X, tal que Zn-+ z, com
z E X. Observe inicialmente que, pela desigualdade triangular para
números complexos,
l(f + g)(zn) - (! + g)(z)I = l(f(zn) - f(z)) + (g(zn) - g(z)I
~ lf(zn) - f(z)I
+ lg(zn) -
g(z)I.
Agora, dado E> O, como f(zn) -+ f(z) e g(zn) -+ g(z), existe n 0 EN
tal que
n >no=} lf(zn) - f(z)I, lg(zn) - g(z)I
<
é
2.
Portanto, também para n > n 0 , segue dos cálculos acima que
é
é
l(f + g)(zn) - (! + g)(z)I ~ 2 + 2 =
e, daí, (! + g)(zn) -+ (!
+ g)(z).
E
Recorrências Lineares
228
Para f g, e aplicando duas vezes a desigualdade triangular para
números complexos, obtemos
l(f g)(zn) - (f g)(z)I = lf(zn)g(zn) - f(z)g(z)I
:::; lf(zn) - f(z)llg(zn)I + lf(z)llg(zn) - g(z)I
:::; lf(zn) - f(z)llg(zn) - g(z)I
+ lf(zn) - f(z)llg(z)I + lf(z)llg(zn) - g(z)I.
Como antes, dado
E
> O, tome n 0
E N tal que n
> n 0 implique
lg(zn) - g(z)I < min {
/%, 3(lg(z;I + l)}
li, 3(lf(z;I + l)}.
li· li+
contínua. Agora, aplicando várias vezes a primeira parte da proposição
anterior, concluímos que a soma de tais funções, quando k varia de O a
n, também é contínua. Mas tal soma é, precisamente, a função f. D
Voltemo-nos, agora, á discussão de séries de potências em CC. Uma
série de potências em CC é uma série da forma 1:\:::::o akzk, onde
(an)n:::::o é uma sequência dada de números complexos.
f.
Então, para n > n 0 , segue dos cálculos acima que
l(f g)(zn) - (f g)(z)I :::;
229
Admita que a sequência ( -elía,Jh:::::o é limitada, digamos v1a,J < l,
para todo k ~ O e algum l > O. Então, lakzkl :::; (lz)k para k ~ O, de
sorte que, pelo exemplo 9.12, a série Lk>o lakzkl converge em D(O; R),
onde R =
A proposição anterior g;rante, então, que a série de
potências Lk:::::o akzk converge em D(O; R). Abreviaremos a situação
descrita até aqui dizendo que D(O; R) é um disco de convergência para
a série de potências em questão. Nosso próximo resultado garante que
a função f: D(O; R) -+ CC assim definida é contínua. Por uniformidade
de notação, convencionamos que Lk:::::o akzk = a0 para z = O.
lf(zn) - f(z)I < min {
e
9.2 Sequências, séries e continuidade em C
3(lg(z;I + 1) · lg(z)I
E
+ lf(z)I · 3(lf(z)I + 1)
E E E
<-+-+-=E
3 3 3
Proposição 9.17. Se D(O; R) é um disco de convergência para a série
e, daí, (f g)(zn)-+ (f g)(z).
Exemplo 9.16. Dados n EN e ao, a1, ... , ªn-l, an E CC, com an
D
-=/:-
O,
a função polinomial f : CC -+ CC, tal que
para z
E
de potências Lk>o akzk, então a função f : D(O; R) -+ CC, dada para
z E D(O; R) por f (z) = Lk:::::o akzk, é contínua.
CC, é contínua.
Prova. Evidentemente, as funções constantes e a função z M z são
contínuas. Portanto, aplicando várias vezes a segunda parte da proposição anterior, concluímos que, para O :::; k :::; n, a função z M akzk é
Prova. Sejam z, w E D(O; R) tais que lw lwl < r, onde r = !(R + lzl) e, para k EN,
zl <
HR -
lzl).
Então,
lwk - zkl = lw - zl lwk-l + wk-2z + ... + wzk-2 + zk-ll
:::; lw - zl(lwlk-l + lwlk- 2lzl + · · · + lwllzlk- 2+ lzlk-l)
:::; lw - zl(rk-l + rk-2. r + ... + r. rk-2 + rk-1)
= krk-llw - zl.
230
Recorrências Lineares
Portanto, mantida a restrição acima sobre w, segue do problema 4 que
lf(w) - f(z)I
Lªkwk - Lªkzk
k20
k20
Lªk(wk - zk) ::;
L iakllwk -
k21
k21
: ; ~ (L
zkl
klaklrk) lw - zl.
k21
Agora, fixe um real e tal que 1 < e < ~ (tal é possível, uma vez
que r < R). Como {/i'a,;f < para k ~ O e 1;/k -+ 1 (de acordo com o
exemplo 3.12 de [12]), existe k0 EN tal que {lkía,J < fz, para k > k0.
ti.
D~,
.
L klakirk < L (~) k ==e< +oo,
k2ko
k2ko
uma vez que O< ~ < 1. Fazendo C' =
lf(w) - f(z)I ::;
~ (tklaklrk) lw -
E!:
zl
k=l
C'
::; -lw - zl
r
C
+ -lw
r
1
2(R-
s;
Prova. Avaliando a igualdade Ek 2o akzk = Ek 2o bkzk para z = O,
obtemos a0 = b0. Então, cancelando a0 = b0 em ambos os membros da igualdade Í:k>O akzk = Í:k>O bkzk, obtemos Í:::k>l akzk =
Í:::k>l bkzk, para z E D(O; R) e, daí, E~>l akzk-l = Í:::k>l bk~k-l, para
z E -D(O; R) \ {O}. Mas, como ambos os-membros da última igualdade
definem funções contínuas em D(O; R), concluímos que Ek>l akzk-l =
Ek 21 bkzk-l, para z E D(O; R). Então, avaliando essa última igualdade em z = O, obtemos a 1 = b1 . Prosseguindo dessa maneira, mostramos indutivamente que ak = bk, para todo k ~ O.
D
Terminamos esta seção com um resultado que estende, para funções contínuas f: D(a; R) -+ C, o teorema 3.14 de [12].
Teorema 9.19 (Weierstrass). Se f : D(a; R) -+ C é uma função
1
+~
klaklrk, segue que
(L
contínua, então existem Zm e ZM em D(a; R), tais que
lf(zm)I
klaklrk) lw - zl
k>ko
zl.
Em resumo, mostramos que
lw - zl <
Corolário 9.18. Sejam Í:k>o akzk e Í:k>O bkzk séries de potências
Í:k>o akzk = Ek>o bkzk,
convergentes no disco aberto- D(O; R).
para todo z E D(O; R), então ak = bk, para todo-k ~ O.
-
Lªk(wk - zk)
k20
=
231
9.2 Sequências, séries e continuidade em C
lzl) =* IJ(w) - f(z)I < Alw - zl,
para alguma constante positiva A. Mas, sendo esse o caso, o problema
7 mostra que Zn-+ z =* f(zn) -+ f(z), e a arbitrariedade dez garante
a continuidade de f.
D
O corolário a seguir mostra que, se uma função f : D(O; R) -+ C
for dada por uma série de potências, então tal série é única.
=
min{lf(z)I; z E D(a; R)}
e
lf(zM)I = max{lf(z)I; z
E
D(a; R)}.
Prova. Seja (zn)n 21 uma sequência em D(a; R) tal que
J(zn)-+ sup{jf(z)I; z E D(a; R)}
(aqui, em princípio não excluímos a possibilidade de que tal sup seja
+oo). Ponha Zn = Xn + iyn, com Xn, Yn E R Como lznl ::; R para
todo n ~ 1, temos IXn 1, 1Yn 1 ::; R, para todo n ~ 1. Pelo teorema
4.31 de [12], podemos tomar um subconjunto infinito N1 e N, tal que
(xn)nENi converge para um certo x E R Daí, podemos tomar um
segundo subconjunto infinito N2 e N1 , tal que (Yn)nEN 2 converge para
232
Recorrências Lineares
um certo y E R Mas, como (xn)nEl"b é uma subsequência de (xn)nENu
temos que (xn)nEN2 ainda converge para x.
Fazendo ZM = x+iy, segue do lema 9.9 que (zn)nEN2 converge para
ZM, Portanto, segue do problema 1 que lzMI ::; R, i.e., ZM E D(a; R).
Invocando agora a continuidade de f, temos que
f(zM)
= n--++oo
lim f(zn) = sup{l/(z)I; z
E
D(a; R)}.
9.2 Sequências, séries e continuidade em C
Para o próximo problema, dizemos que uma sequência de números complexos é divergente se não for convergente.
2. Se lzl > 1 e Zn = zn, para todo n 2: 1, mostre que a sequência
(zn)n~l é divergente.
3.
* Se (zn)n~l e (wn)n~l são sequências em C, convergindo respectivamente para z e w, prove que:
nEN2
Em particular, sup{l/(z)I; z E D(a; R)} = max{l/(z)I; z E D(a; R)}.
A prova da primeira parte do teorema é análoga e será deixada
D
como exercício para o leitor.
(a) Se a E C, então azn--+ az.
(b) Zn ± Wn --+ Z ± W.
(c) ZnWn--+ ZW.
Corolário 9.20. Se f : C --+ C é uma função polinomial, então, dado
R > O, existem Zm e ZM em D(a; R), tais que
1/(zm)I = min{l/(z)I; z E D(a; R)}
233
(d) Se Wn,W
# O, então Zn/Wn--+ z/w.
* Se
4.
a, b E C e Lk~l zk e Lk~l wk são séries convergentes de
números complexos, mostre que Lk~ 1(azk+bwk) também é convergente, com
5.
* Se 0 # X e
Y e C e f: Y--+ C é uma função contínua, prove
que /1x : X --+ C também é contínua.
6.
* Se 0 # X e
7.
* Seja 0 #
e
lf(zM)I = max{l/(z)I; z E D(a; R)}.
Prova. O exemplo 9.16 e o problema 6 garantem que 1/1 : C --+
[O, +oo) é uma função contínua. Portanto, também é contínua a função 1/1 : D(a; R) --+ [O, +oo). Basta, agora, aplicar o teorema de
Weierstrass.
D
Problemas - Seção 9.2
1.
* Se
(zn)n~1 é uma sequência em C convergindo para z E C,
prove que (zn)n~l é limitada, i.e., que existe M > O tal que
lznl < M, para todo n 2: 1. Ademais, se lznl ::; R, para todo
n 2: 1, mostre que lzl :SR.
C e f: X--+ C é uma função contínua, prove que
1/1 : X--+ [O, +oo) também é contínua.
X e C e f : X --+ C uma função satisfazendo a
seguinte condição: para z E X, existem A, B > O (em princípio
dependendo de z), tais que
w E X, lw - zl < B => lf(w) - f(z)I < Alw - zl.
Mostre que
i
i
f
é contínua.
Recorrências Lineares
234
8.
* Se a E <C \ {O} em EN, mostre que, para z E D(O; 1~1), temos
1
(1 - az)m
9.3
=
L
n2'.0
(n +m m
- 1) az
-
para 1 S n < m, com m > k, então
+ · · · + U1am-k+l + Uoam-kl
S luk-tllam-11 + · · · + lu1llam-k+1I + luollam-kl
S luk-1IRm-l + · · · + lu1IRm-k+l + luolRm-k
= Rm-k(luk-1IRk-I + · · · + lu1IR + luol).
laml = luk-Iªm-1
n n
1
235
9.3 O caso geral
·
O caso geral
De posse do material da seção anterior, podemos finalmente nos
voltar à discussão do caso geral de (9.1), i.e., aquele em que as raízes
complexas do polinômio característico (9.2) não são necessariamente
distintas. Para tanto, nos valeremos da teoria de funções geradoras
(discutida no capítulo 3 de [13]), adequadamente estendida a séries de
potências sobre C.
O resultado fundamental é dado pelo teorema a seguir.
Teorema 9.21. Seja (an)n 21 uma sequência satisfazendo, para n 2: 1,
Portanto, se g(X) = Xk - luk-1IXk-I - · · · - lu1IX - luol e Ro > O
for tal que g(R) > O para R > Ro, então, para cada um de tais R's,
temos pelos cálculos acima que
laml S Rm-k(luk-1IRk-I
s Rm-k. Rk =
+ · · · + lu1IR + luol)
Rm.
Basta, pois, escolhermos, de início, Ro > O tal que la1I, ... , lakl S Ro
e g(R) > O, para todo R > R 0.
Agora, fixe R > R 0 e seja
a recorrência linear
F(z) = LªnZn.
n21
onde u 0, ... , uk-I são números complexos dados, com u 0 =/:- O. Sejam
z1 , ... , z1 as raízes duas a duas distintas do polinômio característico
(9.2) de (an)n2 1, com multiplicidades respectivamente iguais a m 1 , ... ,
mz. Então, para n 2: 1 temos
Como lanl S Rn para n 2: 1, o teste da comparação garante a condo plano complexo. Sejam
vergência de F no disco aberto D(O;
f(X) = Xk - uk_ 1xk-I - · · · - u 1X - u 0 o polinômio característico
de (an)n21 e h(X) = -uoXk -u1xk-l _ ... -Uk-lx + 1 seu recíproco
(âh = k, uma vez que u 0 =/:- O). Para z E D(O; Ji), temos
i)
h(z)F(z)
1
onde p 1 , ... ,Pz E <C[X] são polinômios de graus menores ou iguais a
m 1 - 1, ... , mz - 1, respectivamente, os quais são totalmente determinados pelos valores de a 1 , ... , ak.
=
-(f
UjZk-j) (Lanzn) + LªnZn
j=O
n21
n21
k-1
= -
L L Ujanzn+k-j + L anzn
j=O n21
n21
k-1
Prova. Afirmamos, inicialmente, que existe uma constante R 0 > O
tal que lanl S Rn, para todos n 2: 1 e R > Ro. De fato, se lanl S Rn
= -
L L
j=O n2'.k-j+l
Ujªn-k+jZn +
L anZn.
n21
236
Recorrências Lineares
Para j 2'.: 2, escreva
L
237
9.3 O caso geral
segue de (9.1) que
k-1
L
Ujan-k+jZn
n2::k-j+l
Ujan-k+jZn
+ L Ujan-k+jZn
n=k-j+l
n2::k
-f L
(-f
-(-f
Ujan-k+jZn
Ujaj
I:n2::l anzn.
Obtemos
+ ak)
Zk
+
Ujaj
L
Uoan-kZn -
n2::k+l
U1an-k+1Zn
n2::k
-f ( f
j=2
L
Ujan-k+jZn
+ ak)
zk
+
+ L Ujan:.....k+jZn) ·
n2::k
L
n2::k+l
-L L
Ujªn-k+jZn
j=2 n2::k
k-1
k-1
Ujan-k+jZn
j=2 n=k-j+l
LL
j=2 n2::k
(ª• -
n=l
LL
n2::k j=2
Ujan-k+jZn'
+ u1an-k+1) zn.
U1an-k+1Zn
+ ak)
zk
+
(uoan-k
+ u1an-k+1) zn
n2::k+l
k-1
k-1
t
L
Ujan-k+jZn
+ LªnZn
n=l
u;a;) z• -
t n=t+l
u;a..-k+;Z" +
~ a,.z",
h(z)F(z) = zp(z)
para z E D(O; i), onde p E C[X] é um polinômio não nulo, de grau
ap::; k - 1.
Como h(O) = 1 =!= O, aumentando R, se necessário, podemos supor
que h(z) =!= O para z E D(O; ~). Por outro lado, como
k-1
Ujan-k+jZn =
Zn
de sorte que
+ LªnZn.
Mas, como
k-1
L
j~n=k~+l
anzn
n2::k
k-1
-L L
Ujaj
-L L
U1ªn-k+1Zn
+L
+ an)
n2::k
f
n2::k
k-1
Ujan-k+j
Uoan-k
j=2
L
Zn
j=2
L (
Uoan-kZn -
k-1
n2::k
Uoan-kZn -
L
+ (-
+ LªnZn + LªnZn
= -
+ an)
n2::k+l
n2::k+l
k-1
n=l
L (- f
Ujan-k+j
j=2
Portanto,
h(z)F(z)
n=k-j+l
n2::k
n2::k+l
.
j=2
h(z)F(z)
L (- f
anZn =
n2::k
j=2
e analogamente para
+L
j=2 n2::k
temos
238
Recorrências Lineares
de sorte que
F(z) =
(1 -
zp(z)
••• (1 - zzz)mi'
(9.6)
z1z)m 1
fi)·
para z E D(O;
Agora, observe que
Uma vez que an é o coeficiente de zn na série que define F, segue
da última igualdade acima e do corolário 9.18 que
_
an -
~
~ d. (n +n.ni- -1
~ ~ Jnj
j=l
l
F(z) = z
"°' nj=l
"°' (1-z·z
Jnj ) . ,
n1
.1
(9.7)
~~
j=l
fi)·
para z E D(O;
Mas, ser= min{-h, 1; 11 , ••• ,
página 234, garante que
__
1_ =
(1-z·z)nj
.1
1;z1 }, então o resultado do problema 8,
n~O
"!'_ 1
mj
(n?:.; l)! (n + n; - 2){n + n; - 3) ... (n + l)nz;- 1
=
LPi(n - l)zy- 1 ,
j=l
onde
p;(X) =
=
~ (n::; l)! (X+ n; Cj,mj-lxmrl
l){X + n; - 2) ... (X+ l)z;- 1
+ · · · + Cj1X + Cjo,
um polinômio de grau menor ou igual a mi - 1.
"°' (n+nj
- l)z"!'zn
n·-1
~
.1
2) z.1
l
d·
mj
nj=l
=;;
l
Portanto, aplicando à igualdade (9.6) a fórmula de decomposição em
frações parciais (conforme o problema 6, página 163), concluímos pela
existência, para 1 :S j :S l e 1 :S ni :S mi, de constantes djnj , unicamente determinadas pelos coeficientes de p (e, portanto, por a 1 , a 2 ,
... , ak e uo, ui, ... , Uk-i), tais que
239
9.3 O caso geral
.1
3
'
para 1 :S j :S l, 1 :S ni :S mi e z E D(O; r). Portanto, segue de (9.7)
que, para lzl < r,
D
A fim de apresentar uma aplicação relevante do teorema anterior,
precisamos da seguinte definição.
Definição 9.22. Sejam dados uma sequência (an)n~l e um inteiro
m > 1. Dizemos que (an)n~l é uma
(a) PA de ordem 1 se (an)n~l for uma PA.
(b) PA de ordem m se a sequência (bn)n~l for uma PA de ordem
m - 1, onde bn = an+l - an, para n 2:: 1.
11
1
O lema a seguir caracteriza PA's de ordem m por meio de uma
recorrência linear que generaliza a recorrência satisfeita pelas PA's
ordinárias.
240
Recorrências Lineares
Lema 9.23. Uma sequência (an)n:2'.:l é uma PA de ordem m se, e só
se,
( m+l)
O
an+m+l - (m+l)
l an+m + · · · + (-1 )m+l(m+l)
m + l an =
O,
(9.8)
para todo n 2 1.
Prova. Inicialmente, seja (an)n:2::1 uma PA de ordem m. Sem = 1,
então (an)n:2'.:l é uma PA e (9.8) se reduz a an+2 - 2an+l + an = O para
n 2 1, relação que sabemos ser sempre satisfeita por uma PA. Por
hipótese de indução, suponha que (9.8) é válida quando m = k - 1.
Para m = k, a sequência (bn)n:2::1, dada por bn = ªn+i - an é, por
definição, uma PA de ordem k - 1. Portanto, segue da hipótese de
indução que
9.3 O caso geral
241
Reciprocamente, seja (an)n:2:: 1 uma sequência para a qual vale (9.8).
Se m = 1, então ªn+2 - 2an+l + an = O para n 2 1, de sorte que
(an)n:2::i é uma PA. Por hipótese de indução, suponha que a validade
de (9.8) para m = k - 1 acarreta que (an)n:2::1 é uma PA de ordem
k - 1. Considere, então, uma sequência (an)n:2::1 que satisfaz (9.8) para
m = k, i.e., tal que
(k; 1
)an+k+l -
.(k; 1
)an+k + · · · + (-ll+l (:: ~)an
=
O,
para n 2 1. Então, utilizando a relação de Stifel, juntamente com
as igualdades (k't 1) = (~) e (!!~) = (!), reobtemos sucessivamente as
relações (9.11), (9.10) e (9.9), para n 2 1. Portanto, segue da hipótese
de indução que a sequência (bn)n:2'.:l é uma PA de ordem k-1, de sorte
que, por definição, (an)n:2::1 é uma PA de ordem k.
D
Podemos, finalmente, apresentar a aplicação prometida do teorema
9.21.
Exemplo 9.24. Se (an)n:2'.:l é uma PA de ordem m, então (9.8) vale
para todo n 2 1, de sorte que o polinômio característico de (an)n:2::1 é
para todo n 2 1, ou, ainda,
(~) (an+k+l - an+k) - (~) (an+k - an+k-1)
+ ···
f(X)
=
(m; l)xm+i _ (m
=
(X - l)m+l.
(9.10)
· · · + (-ll (:) (an+l -
an) = O,
t
l)xm + ... + (-l)m+l (:: ~)
Pelo teorema 9.21, existem constantes ao,
para todo n 2 1. Mas, isso é o mesmo que
ai, ... ,
an =ao+ a1(n - 1) + · · · + am(n -
am tais que
l)m,
para todo n 2 1. Avaliando a relação acima para n = 1, obtemos
= a1; avaliando-a para = 2, ... ' m + 1, obtemos a i , . . . ' am
como soluções do sistema linear de equações
ªº
·. Ii
n
a1 +a2 + · · · + am
2a1 + 22a2 + · · · + 2mam
A partir daí, a relação (9.8) para m = k segue da relação de Stifel,
.
(k+l)
Juntamente
com o fato de que (k)
e (k)
k -- (k+l)
k+l ·
O =
0
Recorrências Lineares
242
Observe que o fato de um tal sistema linear de equações sempre admitir
uma única solução é uma decorrência imediata do teorema 9. 21.
Problemas - Seção 9.3
CAPÍTULO 10
1. Seja k um natural dado e (an)n~l uma sequência tal que
1
2(an-k + an+k),
an =
Soluções e Sugestões
para todo natural n > k. Use o teorema 9.21 para mostrar que
k
an = L)Aj + (n - l)Bj)wi-1.,
j=l
para todo n ~ 1, onde w
=
eis
2; .
2. Prove as identidades da proposição 4.17 com o uso de funções
geradoras.
Seção 1.1
2 Para o item (b), escreva lz + wl 2 = (z
+ w)(z + w)
e use o resultado
do item (b) do lema 1.1, juntamente com 1.8.
ri
,. ~·li
·~:;,
1
i
I'
3. Para o item (a), aplique a desigualdade lz + wl ::S lzl + lwl, com u- z
no lugar de z e z - v no lugar de w. Para o item (b), observe que a
desigualdadeemquestãoéequivalentea-lz-wl ::S lzl-lwl ::S lz-wl;
em seguida, para obter a desigualdade lzl - lwl ::S lz - wl, aplique a
desigualdade lz + wl ::S lzl + lwl, escrevendo z - w no lugar dez.
11
!
,1
I·
1
1,
1
z tem a forma do enunciado, use o item (a) do problema 2 para
concluir que lzl = 1. Reciprocamente, suponha que lzl = 1. Imponha
que z = t;t;, com w E C, para obter w = i t;:!; em seguida, use os
itens (b) e (d) do lema 1.1, juntamente com o fato de que lzl = 1,
para concluir que w E R
4. Se
11
I'!
lJ
243
Soluções e Sugestões
245
5. Desenvolva ambos os membros da desigualdade lz - al 2 < 11 - azl 2,
utilizando o resultado do item (b) do problema 2.
deduza que Im(a)Im(b) é racional; analogamente, Im(a)Im(c) também é racional. Agora, como (novamente pelo problema 2) lb- cl 2 =
lbl 2 + lcl 2 - 2Re(bc), basta mostrarmos que Re(bc) é racional. Para
tanto, veja que
244
6. Note inicialmente que Zk+l
= Zk ( 1 + k). Em seguida, calcule
lzkl em função de k utilizando produtos telescópicos. Por fim, veja
que Zk+l - Zk -- -3.ki_
v'k+i.
7. Revise a definição de adição e subtração de vetores, no capítulo 8 de
[11].
Re(bc)
de sorte que basta mostrarmos que Im(b)Im(c) é racional. Para o que
falta, escreva
I (b)I ( )
m
me
8. Suponha que uma tal ordem total exista e chegue a uma contradição.
9. As verificações dos itens (a) a (e) são longas, mas elementares. Quanto
ao item (f), a primeira parte é imediata a partir da definição da multiplicação em lHI; para a segunda parte, basta utilizar a igualdade
la,81 2 = a,Ba,B, juntamente com o resultado do item (e). O item (g)
segue da segunda parte de (f). Finalmente, se a E lHI \ {O}, então
a · ~ = 1; daí, se a,B = O e a =/:- O, então
o= 1:i2 (a,B) = c:i2ª) ,B = 1 · ,B = ,8.
= 1, então a,8- a~ = Oou, ainda, a (,a - 1:i2 ) = O;
mas, como a =/:- O, segue que ,B = ~ (aqui, escrevemos a - ,B para
Por fim, se a,B
denotar a+ (-,8), onde -,8 = (-w)
+ (-x)i + (-y)j + (-z)k
se
,B=w+xi+yj+zk).
10. No plano complexo, sejam a, b, e, d e e os números associados aos
vértices de P e suponha, sem perda de generalidade, que l10 = lb-cl,
Em seguida, use um argumento geométrico para mostrar que podemos
supor que d = O e e = 1. Em seguida, observe que as condições do
enunciado equivalem a que lal 2, lbl 2, lcl 2, la - 11 2, lb - 11 2, lc - 11 2,
la - bl 2 e la - cl 2 sejam todos racionais. Conclua, com o auxílio do
problema 2, que Re(a), Re(b), Re(c), Re(ab) e Re(ac) são racionais
e, também, que Im(a) 2 = lal 2 - Re(a) 2 é racional. Como
Re(ab) = Re(a)Re(b) - Im(a)Im(b)
= Re(a)Re(b) + Im(a)Im(b),
= Re(b)Re(c) + Im(b)Im(c),
= Im(a)Im(b) · Im(a)Im(c)
Im(a)2
.
Seção 1.2
1. Adapte, ao presente caso, a prova do corolário 1. 7.
2. Comece observando que w +
w2, para todo k E Z.
t = -1 e w3k = 1, w3k+l = w e w3k+ 2 = ·
3. Ponha 1 ± y'3i em forma polar e use a primeira fórmula de de Moivre.
4. Conjugue a segunda equação para obter z1 + z2 + z3 = O. Em seguida,
use a primeira equação e o item (d) do lema 1.1 para concluir que
1..
+ 1..
+ 1..
= O e, daí, que z1z2 + z1z3 + z2z3 = O. Por fim, observe
Zl
Z2
Z3
que Ü = z1(z1z2 + Z1Z3 + z2z3) = z?(z2 + Z3) + 1 = -zr + 1, valendo
identidades análogas para z2 e z3.
5. Adapte, ao presente caso, a solução do exemplo 1.11. Para tanto,
comece mostrando que a equação dada equivale a (
t:: rn = -1.
6. Adapte, ao presente caso, a solução do exemplo 1.11, consoante a
sugestão dada ao problema anterior.
7. Escreva an = (n - w)(n - w2), com w = eis 2;. Em seguida, recorde
que l+w+w 2 = O, de maneira que (k- l-w)(k-w 2) = (k+w 2)(kw2) = k 2 -w e, analogamente, (k-l-w 2)(k-w) = (k+w)(k-w) =
k2 -w2.
Soluções e Sugestões
247
8. Pondo w 2 = p 2 - 4q2, use a fórmula de Báskara para mostrar que
as raízes têm módulos iguais se, e só se, Re(pw) = O; em seguida,
substitua p = reis a, q = seis f3 e w = t eis 'Y em w 2 = p 2 - 4q2, com
r, s, t E lR+, e conclua que ia - f31 é um múltiplo inteiro de 1r.
5. Se g(X) = f(X) +!,então g(X) + g(l - X)= O ou, ainda, g(X) =
-g(l - X). Fazendo g(X) = (X - a) 2 1, devemos ter (X - a) 2 1 =
-(1 - X - a) 2 1 = (X+ a - 1) 2001 . Basta, pois, escolher a de tal
.
.
1
forma que a= 1 - a, 1.e., a= 2 .
246
T
1
1
ºº
ºº
ºº
9. Fazendo z2 = z; + z1 e Z3 = z; + z1, mostre que podemos supor z1 = O;
em seguida, fazendo zi = wz; e zl = wz;, mostre que podemos supor
Z2'-1
.
Seção 2.2
1
10. Se w = eis 2;, use a primeira fórmula de de Moivre para calcular as
partes real e imaginária do primeiro membro de (1.19).
11. Para o item (a), adapte a sugestão dada ao problema anterior. Faça
o mesmo quanto ao item (b), utilizando também a fórmula sen 2 x =
!(1 - cos(2x)).
12. Para k E N fixado, o conjunto das raízes n-ésimas da unidade é um
subconjunto finito de C satisfazendo as condições (a) e (b).
13. Comece utilizando a finitude de A para mostrar que todos os seus
elementos são raízes da unidade. Em seguida, se z E A e zk = 1 para
algum natural k, mostre que k I n.
14. Opere duas vezes a substituição z t-+ wz+a na condição do enunciado.
Seção 2.1
2. Para o item (c), lembre-se de que, de acordo com o exemplo 5.12
de [10], todo número natural pode ser escrito, de maneira única a
menos de uma reordenação, como uma soma de potências de 2, com
expoentes inteiros não negativos e dois a dois distintos.
.i
. 1'
li,
4. Por contraposição, mostre que se f,g E K[X] \ {O}, então fg #- O.
Para tanto, escreva f(X) = I::,k aiXi e g(X) = I:"J=l bjXi, com
ak, bl #- O, e examine o coeficiente de Xk+l em f g.
1. Comece escrevendo X 2 +X+ 1 = (X 2 - X+ 1) + 2X.
2. Comece observando que
x2m -1
= (X2m-1
= (X2m-l
+ l)(X2m-1 -1)
+ l)(X2m-2 + l)(X2m-2 - 1)
= •. • '
de sorte que X 2n + 1 divide X 2m - 1.
3. Escreva f(X) =(X+ 2)q1(X) - 1 = (X - 2)q2(X) + 3, com q1, q2 E
Q[X]. Em seguida, se q1(X) = (X - 2)q(X) + r, então f(X) =
(X 2 -4)q(X) +(X+ 2)r -1. Use a parte de unicidade do algoritmo
da divisão para concluir que r = 1.
4. Escreva f(X) =(X+ l)(X 2 + l)q(X) + (aX 2 + bX + e), para certos
a, b, e E lR. Em seguida, mostre que os restos das divisões de aX 2 +
bX + e por X + 1 e X 2 + 1 são respectivamente iguais aos polinômios
a - b + e e bX + (e - a).
Seção 3.1
1. Inicialmente, mostre que é suficiente considerar o caso em que f é da
forma f(X) = axn, para algum a E K \ {O}, e g não é constante.
Para o que falta, use o corolário 3.14 .
' !
248
249
Soluções e Sugestões
2. Para o item (a), use a fórmula do binômio de Newton; para (b),
escreva J(X) = cnXn + · · · + c1X + Co e use (a) para concluir pela
existência de racionais A e B tais que f(a ± byr) =A± Byr. Em
seguida, aplique o resultado do problema 1.3.3 de (10].
imediato verificar que
2cos0 · 2cos(k + 1)0 - 2cos(k0) = 2cos(k + 2)0
ou, o que é o mesmo,
3. Use o resultado do problema anterior para concluir que o polinômio
dado é divisível por X 2 - 2X - 1.
Ík+2(2 cos O) = 2 cos O· Ík+1 (2 cos O) - fk(2 cos O)
= 2 cos O· 2 cos(k + 1)0 - 2 cos(kO)
= 2cos(k + 2)0,
4. Use o algoritmo da divisão.
5. Comece observando que, se um tal f existir, então f(y) 2 = 1 - y2,
para todo O ~ y ~ 1 e, daí, para todo y E lR. Em seguida, conclua
que 8 f = 1 e chegue a uma contradição.
6. Use o teste da raiz para ±i.
7. Se a fosse uma raiz inteira de f, use a condição f(O) ímpar, juntamente com o critério de pesquisa de raízes racionais, para concluir que
a seria ímpar. Em seguida, mostre que se x for ímpar, então f (x) e
f(l) têm paridades iguais, de sorte que f(a) seria ímpar e, portanto,
não poderíamos ter f(a) = O.
8. Sendo r a razão da PA, escreva x = y - r e z = y + r e conclua
que o polinômio X 5 -10X4 - 20X 2 - 2 tem a raiz racional x/r. Em
seguida, aplique o critério de pesquisa de raízes racionais para chegar
a uma contradição.
9. Uma vez que {2 cos O; O E JR} = [-2, 2], o qual é um conjunto infinito,
o corolário 3.10 garante que há, no máximo, um polinômio fn satisfazendo a condição do enunciado. Agora, para o item (a), é imediato
verificar que fi (X) = X e (com o auxílio de um pouco de trigonometria) h(X) = X 2 - 1 satisfazem as condições do enunciado. Para o
que falta, seja Un)n?.1 a sequência de polinômios tal que fi(X) = X,
h(X) = X 2 -1 e Ík+2(X) = Xfk+1(X) - fk(X), para k ~ 1 inteiro.
Suponha, por hipótese de indução, que Jj(2cos0) = 2cos(j0), para
1 ~ j ~ k + 1 e todo O E JR. Com um pouco de trigonometria, é
para todo O E lR. Por fim, (b) e (c) seguem imediatamente de (a),
por indução sobre n EN.
10. Sejam m, n,p, q E Z, tais que n, q i- Oe cos(~n') = ~- Use o resultado
do problema anterior para mostrar que fn(~) = 2(-l)m e, daí, que
? é raiz de um polinômio mônico e de coeficientes inteiros. Por fim,
como?= 2cos(~1r) E [-2,2], conclua que!= 0,±! ou ±1.
11. Suponha que o polinômio em questão possui uma raiz inteira, r digamos, de sorte que
r 4 -1994r 3 + (1993 + m)r 2 - llr + m = O.
Examinando tal igualdade módulo 2, conclua que m e r são pares.
Suponha, agora, que a e b sejam raízes inteiras distintas do polinômio
em questão. Então, subtraindo membro a membro as igualdades
a 4 - 1994a3
+ (1993 + m)a2 -
lla + m = O
e
b4
-
1994b3 + (1993 + m )b2 - llb + m = O,
e fatorando a - b do resultado, obtenha
(a+ b)(a2 + b2) - 1994(a2 + ab + b2) + (1993 + m)(a + b) = 11
e chegue a uma contradição.
1
!I
251
Soluções e Sugestões
250
12. SejaX 2 -X-1 = (X-u)(X-v). Pelo teste da raiz, basta encontrarmos todos os a e b tais que au 17 + bu 16 + 1 = O e av 17 + bv 16 + 1 = O.
Multiplicando a primeira relação por u 16 , a segunda por v 16 e sub16
16
n
n
traindo os resultados, obtenha a= u u=~ . Agora, defina Xn = uu=~
e mostre que x1 = x2 = 1 e Xn+2 = Xn+l + Xn, para todo n EN, de
sorte que a sequência (xn)n~l é a sequência de Fibonacci. Conclua,
a partir daí, que a == 987 e calcule o valor de b de modo análogo.
13. Escreva p(X) = X(X - a2) ... (X - an), com a2, ... , an inteiros não
nulos e dois a dois distintos. Para d E Z, mostre que p(p( d)) = O
se, e só se, d = ai para algum 1 :S i :S n ou p(d) = ai, para algum
2 :S i :S n. Neste último caso, temos d # O; ademais, escrevendo
a= ai, mostre que existe q E Z* tal que d(d- a)q = a. Conclua que
dq + 1 = -1 e, daí, que d = ~. Por fim, deduza, a partir daí, que
(d- a2) ... (d- an) = 2, e use o fato de ser n > 4 para chegar a·uma
contradição.
14. Há dois casos essencialmente distintos, quais sejam, f(p1) = f(p2) =
f (p3) = 3 e f (p4) = -3, ou f (p1) = f (p2) = 3 e f (p3) = f (p4) = -3.
No primeiro caso, mostre que f(X) = a(X -p1)(X -p2)(X-p3)+3
e use, em seguida, a condição f(p4) = -3, juntamente com o fato de
os pi's serem primos e distintos, para chegar a uma contradição. No
segundo caso, mostre que J(X) = a(X - P1)(X - p2)(X - q) + 3 e
calcule J(O) para concluir que q =
2 ; use, em seguida, as condições
f(p3) = f(p4) = -3 para chegar a uma contradição.
use as condições do enunciado para mostrar que 1 é raiz de
que (!(X)+ g(X))(f(X) - g(X)) = f(X 2) - g(X 2).
16. Se w = eis 2;, então w e w2 são raízes cúbicas da unidade e as raízes
de X 2 + X + 1; use tais fatos para examinar para quais k E N temos
w2k + 1 + (w + 1) 2k = O e, analogamente, para w2 no lugar de w.
17. Comece definindo f (X)
= I:r=l Xªi e g(X) = I:r=l Xb;;
em seguida,
g e
Seção 3.2
1. Adapte, ao presente caso, a demonstração do teorema 3.21.
2. Adapte, ao presente caso, a demonstração do teorema 3.21.
3. Use o resultado do problema anterior.
4. Aplique a fórmula de multiseção.
5. Argumentemos como na prova do teorema 3.22: se f (X) = Lk~O akXk
e S denota o segundo membro da expressão do enunciado, então
p-1
S =
=
=
a!~:
15. Use o teste da raiz para concluir que p(X) = 5 + (X -a)(X -b)(X c)(X - d)q(X), para algum polinômio q E Z[X]; em seguida, faça
x = m nas funções polinomiais correspondentes e chegue a uma contradição.
f -
! LW(p-l)rj LªkWjk
p j=O
k~O
p-1
! L L akw((p-l)r+k)j
p j=O k~O
p-1
! Lªk LW(k-r)i,
p k~O j=O
onde utilizamos a relação wP = 1 na última igualdade. Agora, se
k = r (modp), digamos k- r = pq, então
p-1
LW(k-r)j
j=O
p-1
se k t=, r (modp), então wk-r
p-1
j=O
.
=
lq
= p;
j=O
# 1 e,
~ w(k-r)J
L....J
j=O
p-1
= L(wP)q = L
pelo lema 1.12, temos
w(k-r)p - 1
wk-r - 1
= O.
252
253
Soluções e Sugestões
9. Use a condição do enunciado para obter a forma fatorada do polinô-
Portanto,
mio g(X) =(X+ I)f(X) - X.
10. Mostre inicialmente que, se a, b e e são tais raízes, então a hipótese
de que a, b e e são positivos garante que a, b e e são os lados de um
triângulo se, e somente se, (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) > O; em seguida,
substitua a + b + e = -p no primeiro membro dessa desigualdade e
use a forma fatorada (X - a)(X - b)(X - e) do polinômio.
6. Use o resultado do problema anterior.
Seção 3.3
1. Reveja a dedução da fórmula de Báskara, em [10].
2. Conjugue ambos os membros da igualdade f(z) = O. Em seguida,
escreva f(z) = anzn + · · · + a1z + ao e use os itens (b) e (e) do lema
1.1.
3. Para f(X) = X 2 + 2iX - 1 temos que i é raiz mas -i não é raiz.
4. Use o corolário 3.25 e o resultado do problema 2.
5. Se f (X) = anXn + ªn-1xn-l + · · · + a1X + ao, com an #- O, segue de
f(a:) = O que a:n = - ªn-l
· a:n-l - · · · - ~O: ª 0 . Agora argumente
an
an
an
'
por indução para provar (3.9) para m 2:: n. Para provar (3.9) para
m = -1, escreva a igualdade 0:- 1f(a:) = O em termos dos coeficientes
de f; para o caso m < O geral, use novamente indução.
6. Use a desigualdade triangular para concluir que, se
lzl 2:: 1, então
11. Assim como no exemplo 3.27, substitua X por 1 na forma fatorada de
xn-1 +xn-2 +... +X+ 1. Em seguida, use um pouco de trigonometria
para mostrar que, se w = eis 2; , então II - wk 1 = 2sen k:, para
1 S k S n.
12. Use o resultado do problema anterior, juntamente com a relação
sen (-rr - x) = sen x, para x E R
13. Se z E (C for uma raiz de p, mostre que z 2 e z - 1 também o são. A
partir daí, conclua sucessivamente que lzl = 1, lz - li = 1 e z = w ou
z = w, onde w = eis 2f. Por fim, use o resultado do problema 2.
Seção 3.4
1. Use o resultado do corolário 3.32, nos moldes do exemplo 3.33, para
mostrar que 8a 3 - 25a 2 - I80a + 608 = O. Em seguida, conclua que
a=4.
7. Se z = a: + /3i é uma raiz complexa de f tal que a: > 2, use a
desigualdade triangular, no espírito da sugestão dada ao problema
anterior, para concluir que lanzn + an-1Zn-l l < k1 11:~ 1 ; mostre, a
J;
partir daí, que
lzl < 1 + 1anz ; an-1 1 e,
por fim, substitua z
=a:+ i/3.
8. Para o caso de grau quatro, se z E (C é uma raiz, então z -=1- O e
a (z 2 + }2 ) +b (z + ~) +e; faça agora a mudança de variável w = z+ ~.
Para o caso de grau seis, raciocine analogamente.
2. Escreva f(X) = g(X) 2h(X) e, em seguida, calcule f'.
3. Use o item (b) da proposição 3.29 para mostrar que f'(z) =
4. Use o item (b) da proposição 3.29 para mostrar quer
J'(z) =
t
j=l
J;(z) f(z).
Jj(z)
'2:j=l !~1j ·
254
Soluções e Sugestões
5. Pondo f(X) = IT~=l (1
seguida, mostre que
+ !Xk),
f (X) = 1 +
mostre que f(l)
L
0-j,SCin
e calcule J'(l).
anterior.
Por fim, calcule
= n+
1. Em
(t
Seção 4.1
1. Adapte, ao presente caso, a demonstração da proposição 4.1.
_l_xa(S)
2. Para o item (a), adapte a ideia da solução do exemplo 4.3. Para o
item (b), comece escrevendo
1r(S)
jg}
com o auxílio do problema
(X -Y) 5 +(Y-Z)5+(Z-X) 5
6. Basta mostrar que, se um semiplano qualquer do plano complexo
contiver as raízes de f, então ele também conterá as raízes de f'.
Por absurdo, suponha que exista uma reta r tal que um dos semiplanos que ela determina contém uma raiz w de f', enquanto o outro
contém as raízes de f. Seja u E C de módulo 1 e tal que o vetor u
é perpendicular a r; se f (X) = a(X - z1) ... (X - Zn) e (} e (}j são
respectivamente os argumentos deu e de Zj - w, use o resultado do
problema 3 para mostrar que
Re
255
= (X -Y)(Y -Z)(Z-X)J(X, Y,Z),
com f de grau 2; em seguida, use a igualdade -y5 + (y - z )5 + z 5 =
-yz(y-z)f(O, y, z) para mostrar que f(O, Y, Z) = 5(Y 2 -YZ+Z2 ) e,
analogamente, J(X, O, Z) = 5(X 2 -XZ + Z 2 ) e J(X, Y, O)= 5(X 2 XY + Y 2 ). Por fim, mostre que
J(X, Y,Z)
= 5(X 2 + Y 2 + Z 2 -XY -XZ- YZ).
3. Adapte a ideia da solução do exemplo 4.3 para concluir que
J(X, Y, Z) =(X+ Y)(X
lzi -
wl- 1 cos(Oj -
O))
= O.
J=l
Agora, observe que (zj - w)/u tem um argumento em (-~, ~) e use
a igualdade acima para chegar a uma contradição.
7. Se J(X) = E~=ockXk, com ck E Z, então J(X) = E~=ock(a+X al- Expanda a expressão do segundo membro em potências de X - a
e compare o resultado com (3.10), quando z = a.
8. Faça indução .sobre k ~ 1. Para o passo de indução, se mk EN for tal
que f(mk) = O(modpk) e f'(mk) f=. O(modp), faça mk+l = mk+xpk,
com x E Z a determinar. Em seguida, use a fórmula de Taylor (3.10),
juntamente com o resultado do problema anterior, para mostrar que
=
a partir daí, mostre que é possível escolher x de forma que f(mk+I)
O(modpk+l). Por fim, como mk+I = mk (modp) e f' E Z[X], temos
f'(mk+I) = J'(mk) f=. O(modp).
+ Z)(Y + Z)g(X, Y, Z),
com g de grau 2. Agora, use a igualdade J(O, y, z) = yzg(O, y, z) para
mostrar que g(O, Y, Z) = Y 2 + Y Z + Z 2 e, analogamente, g(X, O, Z) =
X 2 + X Z + Z 2 e g(X, Y, O) = X 2 + XY + Y 2 . Por fim, mostre que
g(X, Y,Z)
= X 2 + Y 2 +z2 +XY +xz + YZ.
Seção 4.2
1. Use a simetria de f e g para mostrar que, fixada uma permutação u
de ln, temos h(x1, ... , Xn) = h(xa(I), ... , Xa(n)) para infinitos xi, ... ,
Xn E K. Você precisará utilizar o resultado do problema 1, página
90, bem como o resultado da proposição 4.1.
4. Fazendo a2 + b2 + c2 = k, temos a3 + 3a2 = 3k-25, de modo que a é
raiz de J(X) = X 3 + 3X 2 + (25- 3k); analogamente, b e e são raízes
de tal polinômio. Agora, use as relações de Girard para concluir que
a+ b + e = -3 e ab + ac + bc = O, de sorte que a2 + b2 + c2 = 9.
256
l
1
'1
!'
, !I!,
;,
Soluções e Sugestões
257
5. Sendo z1, z2, z3 as raízes complexas do polinômio dado, o polinômio
desejado é f(X) = (X - zf)(X - z?)(X - zi). Use as relações de
Girard, juntamente com o resultado do exemplo 4.3, para calcular
os coeficientes de f em termos dos complexos dados a, b e e. Por
exemplo, sendo g(X) = X 3 + aX 2 + bX + e, temos g(X) = (X z1)(X - z2)(X - z3) e, daí,
13. Para o item (a), use indução; para o item (b), observe inicialmente
que
1,:'
zr
+ z? + zi = (z1 + Z2 + Z3) 3 -
!I
3(z1
14. Faça indução sobre n > 1 para concluir que x1
Para o passo de indução, se
+ z2)(z1 + Z3)(z2 + Z3)
f(X) = (X - x1)(X - x2) ···(X - Xn)
(-a) 3 -
3(-a - z3)(-a - z2)(-a - z1)
= -a3 - 3g(-a) = -a3 + 3ab- 3c.
=
= x2 = · · · = Xn = 1.
= xn + an_ 1xn-l + · · · + a1X + ao,
conclua que
6. Para o item (a), use os resultados do problema 2, página 74 e do
exemplo 4.7; para o item (b), use o resultado do problema anterior.
+ f (x2) + · · · + f (xn)
= n + ªn-1n + ·· · + a1n + aon = nf (1).
O = f (x1)
7. Adapte o argumento do exemplo 4.7.
8. Se f(X)
p
=
= abc "1-
(X - a)(X - b)(X - e), então f(X)
=
X 3 - p, onde
O; argumente, agora, como na sugestão ao problema 5,
página 75.
º
9. Aplique o resultado do exemplo 4. 7 ao polinômio g(X) = X 10 +
2X 99 + 3X 98 + · · · + a 98 X 2 + a 99 X + a100 ; em seguida, mostre que as
raízes de g são os inversos das raízes de f.
10. Sendo ax + by = e a equação de uma reta satisfazendo as condições
do enunciado, substitua y = -~x- ~ na equação que define o gráfico
de f e, em seguida, use as relações de Girard para calcular o valor de
XI
+ X2 + X3 + X4.
15. Conclua inicialmente que as raízes de f são negativas; em seguida,
use as relações de Girard e a desigualdade entre as médias aritmética ·
e geométrica para deduzir que ªk ~ (~), para 1 :S k :S n - 1.
16. Sendo x 1 , ... , Xn as raízes de f, use as relações de Girard para concluir
que I:f=1
= 3 e I1f= 1 = 1; então, aplique a desigualdade entre
as médias aritmética e geométrica para concluir que n :S 3. Por fim,
considere separadamente cada um dos casos aos quais o problema
ficou reduzido.
x;
x;
Seção 4.3
i
11. Sendo (x- a) 2 + (y-b) 2 = R 2 a equação do círculo, substitua y =
na mesma, utilizando em seguida as relações de Girard para calcular
o produto das abscissas dos pontos de interseção.
12. Para o item (a), use o corolário 3.32. Para o item (b), use o fato de
que a3 = a2 +a+ 1, e analogamente para b e e; para o item (c), use
(b) e as relações de Girard.
1. Para 1 :::; k :::; n use o teorema de Newton e as relações de Girard;
para k ~ n + 1, use o item (a) da proposição 4.17.
2. Use o item (b) da proposição 4.17 para provar, por indução sobrei,
que as i-ésimas somas simétricas elementares de a1, ... , an e b1, ... ,
bn coincidem, para 1 :S i :S n; em seguida, compare os coeficientes
dos polinômios
I17= 1 (X -
ai) e
I17= 1 (X -
bj)·
Soluções e Sugestões
259
3. Use o item (b) da proposição 4.17 para provar, por indução sobre j,
que Sj = (;), para 1 :::; j :::; k.
5. Tome no maior que as maiores raízes reais de f e de f'. Use o teorema de Bolzano, juntamente com o fato de que f(x) > O para x
suficientemente grande (conforme estimativa análoga à que precede
(3.7)) para mostrar que f(x) > O para x > no. Em seguida, use o
corolário 5.7 para mostrar que f(u) > f(v) para u > v > no.
258
4. Para o item (a), fatore xm-zm sobre C e use o resultado para fatorar
g sobre C.
i'
1
., 1
5. Para o item (a), se f(X) = xn + ªn-1xn-l + · · · + a1X + a0 é
um polinômio de coeficientes inteiros e tal que todas as suas raízes
complexas têm módulo 1, use as relações de Girard para mostrar que
lan-kl:::; (~), para O< k:::; n. Para o item (b), sejam a1, ... ,an
as raízes de f. Mostre, com o auxílio do teorema de Newton, que o
polinômio Ík(X) = (X - at) ... (X - a~k) tem coeficientes inteiros,
para todo k ~ 1. Em seguida, use o item (a) para garantir a existência
de naturais k < l tais que Ík = fz. Por fim, use tal igualdade para
mostrar que ai é uma raiz da unidade, para 1 :::; i. :::; n.
1. Para cada raiz complexa não real z = a + bi de f, escreva o fator
(X - z)(X - z) de f como na prova do lema 5.1. Em seguida, ponha
f na forma fatorada e mostre que IJ(m)I-::/= O, 1.
2. Se a < a < /3 são as raízes de f mais próximas de a, aplique o teorema
de Bolzano a intervalos do tipo (a, b) ou (b, a) contidos no intervalo
(a,/3).
3. Por contradição, suponha f' (a) > O (o outro caso é análogo) e aplique
o item (a) do corolário 5.7, juntamente com o resultado do problema
anterior.
"l;
.i·
1 '1
1
rI::';
.: !
1'1
H
',
i
7. Inicialmente, mostre que a condição do enunciado equivale a x 11 -x =
y 11 - y. Em seguida, prove que, para qualquer e E JR, o polinômio
f(x) = X 11 - X - e tem no máximo três raízes reais distintas; para
tanto, você precisará utilizar os resultados do corolário 5. 7 e do problema 3, de maneira análoga àquela delineada na sugestão ao problema 4.
8. Como À -::/= O, mostre que À é raiz do polinômio do enunciado se, e ·
só se, f(.X) = 1, onde J(X) = (X - a1)(X - a2)(X - a3)(X - a4).
Agora, mostre que fé decrescente em (-oo, a1), de sorte que J(O) = 1
garante que À ~ a1. Por fim, note que, se a1 :::; À :::; a2, então
Seção 5.1
,(r
6. Tome, de acordo com o problema anterior, no E N tal que u > v >
no::::} f(u) > J(v) > O. Em seguida, sem> no é um inteiro tal que
f(m) = p, um número primo, mostre que J(m + p 2 ) é composto.
4. Aplique o teorema de Bolzano, o corolário 5. 7 e o resultado do problema anterior, observando que f'(x) = O {::} x = O ou x =
e
f(-1), J(i) <O< f(O).
i
f(.X):::;
o.
9. Sejam J(X) = aX 4 + bX 3 + cX 2 + dX + e e t > 1 tal que t 2 é
uma raiz real de aX 2 + (e - b)X + (e - d). Mostre que f(t)J(-t) =
(bt 2 + d)(l - t 2 ) < O e, em seguida, use o teorema de Bolzano.
10. Faça
e conclua que xg'(x) = f(x) 2 ~ O, para todo x ~ O. Em seguida, use
o corolário 5.7 para concluir que g(l) ~ g(O) = O, com igualdade se,
e só se, g for constante.
11. Comece mostrando que f tem três raízes reais distintas a < /3 < "(,
tais que -2 <a< -1, O< /3 < 1 e 1 < 'Y < 2. Em seguida, observe
260
Soluções e Sugestões
261
que J(f(x)) = O se, e só se, f(x) = a, /3 ou 'Y· Por fim, examine
as quantidades de raízes reais distintas de cada um dos polinômios
f (X) - a, f (X) - /3 e f (X) - "f.
O; se f' (/3) > O (o caso f' (a) > O é anâlogo), conclua que
o próximo polinômio escrito na lousa ou não tem raiz no intervalo
[/3, +oo) ou tem uma raiz em (/3, +oo). Se a = /3, de sorte que
f(X) = (X - a) 3 , mostre que f ± f' se enquadra no primeiro caso.
12. Seja g(x) = f(x) + f'(x) + f"(x) + · · · + j(n)(x) e suponha, por contradição, que g assume valores negativos. Então, f i- O e a condição
f (x) 2: O para x E IR garante que n é par e o coeficiente líder de J
é positivo. Portanto, limlxl----++oo f(x) = +oo, e o teorema de Weierstrass (o teorema 4.31 de [121) garante a existência de x 0 E IR tal
que g assume seu valor mínimo em xo, valor este negativo. Segue do
problema 3 que g'(xo) = O. Mas, como
temos que
= J(xo) + g'(xo) = f(xo) 2: O,
15. Se bi = -ai para 1::; i::; n, mostre que a condição f(x) 2: 1 equivale
a ~~
O, onde q(X) = f1~=l (X - bi) e
:f : ;
Mostre que p tem uma raiz x1 E (b1, +oo); em seguida, use o teorema
de Bolzano para mostrar que p também possui uma raiz Xi em cada
um dos intervalos (bi, bi-1), para 2 ::; i ::; n. Analisando separadamente os casos n par e n ímpar, mostre que a soma dos comprimentos
g'(xo) = f'(xo) + f"(xo) + · · · + JCn)(xo),
O> g(xo)
f' (/3) >
.
:f~~ ::;
O é l~~=l Xi - ~~=l bil·
dos intervalos-solução da inequação
Por fim, use as relações de Girard para mostrar que ~~=l Xi = O.
o que é uma contradição.
13. Mostre inicialmente que B pode jogar de forma tal que, quando faltarem ser escolhidos exatamente três coeficientes, ao menos dois deles
sejam coeficientes de termos xr, com r ímpar. Em seguida, após A
jogar, teremos f(X) = g(X) + aXk + bX1, sendo g um polinômio
completamente determinado, 1 ::; k, l ::; 2n - 1 inteiros distintos e a
e b coeficientes a escolher, tais que pelo menos l é ímpar. Por fim,
como f(2) = g(2) + 2ka+ 21b e J(-1) = g(-1) + (-l)ka-b, teremos
f(2) + 21J(-1) = g(2) + 219(-l) + (2k + (-l)k2 1)a, de forma que
2)+ 219 (- 1)
·
eonc1ua que, apos- t a1
B po d e Jogar
escolhendo a = 92Ck+(-l)k
21 .
jogada de B, teremos f (2) + 21f (-1) = O, de sorte que, pelo TVI, f
terâ pelo menos uma raiz real, independentemente da última jogada
de A.
14. Sem perda de generalidade, suponha que o coeficiente líder do polinômio f, originalmente escrito na lousa, é positivo, e sejam a a menor
e /3 a maior raiz real de f. Se a < /3, mostre que f'(a) > O ou
Seção 5.3
1. Se f denota o polinômio do enunciado e g(X) = (X - l)f(X), então
g(X) = xn+I - 2xn + 1. Conclua, a partir da regra de Descartes,
que g tem no mâximo duas raízes reais positivas e, daí, que f tem
uma única raiz positiva, a qual deve ser an (alternativamente, apele
para o exemplo 5.17). Para concluir, é suficiente, pelo teorema de
Bolzano, mostrar que f (2 - 2n1:_i) e f (2 - 2;) têm sinais contrârios.
Por fim, use o fato de que 1 < 2 - 2n1:_I < 2 - 2; para mostrar que é
suficiente provar que g (2 - 2n1:_i) e g ( 2 - 2;) têm sinais contrârios.
2. Se f(X) = aX 3 +bX 2 +cX +d, queremos calcular o número de raízes
reais de g = 2f f" - (!') 2 . Suponha, sem perda de generalidade, que
a = 1; ademais, se a < /3 < 'Y são as raízes de f, mostre que,
trocando g(X) por h(X) = g(X + /3), podemos supor, sem perda
'i
I
263
Soluções e Sugestões
262
de generalidade, que /3 = O e, daí, que e < O e d = O. Sob tais
simplificações, um cálculo imediato fornece g(X) = 3X 4 + 4bX3 +
6cX 2 - c2 . Basta, agora, usar a regra de Descartes para concluir que
g tem exatamente uma raiz positiva e exatamente uma raiz negativa.
Seção 6.2
1. Façamos indução sobre k 2:: 1, sendo o caso k = 1 imediato. Suponha,
por hipótese de indução, que a fórmula valha para um certo k E N.
Para k + 1, temos:
f(x + (k + l)h)
=
f(x + kh) + (fllf)(x + kh)
k
Seção 6.1
=
1. Para o item (i), use o fato de que âfj = j para concluir que an =
bn; em seguida, argumente por indução. Para (ii), tome n = âf e
argumente por indução sobre n; para o passo de indução, comece
escolhendo an igual ao coeficiente líder de f.
+ kh) + ~ (;) (Ll~-j (Lllf))(x)
f(x
G}L',~-i f)(x) + ~ G) (L'>!+l-j f)(x)
k
=
k
~
e) ("'~-;
+ fi
k
=~
2. Para k = O e k = 1, o resultado é trivial. Para k 2:: 2, mostre que
G)(x) = O se O ::; x ::; k - 1, (1)(x) = (%) se x 2:: k e (1)(x) =
(-l)k(-xkl+k), se x < O.
.
!) (x)
+ (L'>~+l f)(x)
k
G}"':-(i-1) f)(x).
3. Aplique o teorema de interpolação de Lagrange.
4. Aplique o teorema de interpolação de Lagrange.
Agora, executando uma troca de índices na última soma acima e
utilizando a relação de Stifel, obtemos f(x+ (k+ l)h) sucessivamente
6. Adapte, ao presente caso, a demonstração da proposição 6.6.
igual a
7. Faça w = eis 2; ; em seguida, para 1 ::; k ::; n-1 substitua x = wk nas
funções polinomiais correspondentes a p e aos Pj 's e use o resultado
da proposição 6.6.
8. Para cada um dos primos p do conjunto A= {3, 5, 7, 11, 13, 17}, seja
ap o valor comum das somas ak+ªk+p+ak+ 2p+· · · quando k varia de
1 a p, e Wp = eis 2; . Se J(X) = a50X 50 + · · · + a2X 2 + a1X, aplique
a versão geral da fórmula de multiseção (dada pelo problema 5) para
r = O, 1, ... ,P - 1, a fim de obter um sistema linear de equações do
tipo (6.2) nas p incógnitas f(wi), O ::; j ::; p - 1. Conclua, com o
auxílio da proposição 6.6, que a solução de tal sistema é f(l) = pap
e f(wp) = · · · = f(w~- 1 ) = O, obtendo, assim, p - 1 raízes distintas e
não nulas para f. Por fim, notando que LpEA (p - 1) = 50 e que O
também é raiz de f, conclua que f = O.
t G) ("'~-;
f)(x)
+
("':+! f)(x) + ~ C: 1) ("'•-; f)(x)
= (fl~+l f)(x) + (flif)(x)
+~ (
G) + C: 1))
("'t+l}-(i+l} f)(x)
I:
= k+l ( k ~ 1) (Ll~+l-j f)(x).
j=O
J
2. Adapte, ao presente caso, as soluções dos exemplos 6.15 e 6.15.
3. Como âf = n, a proposição 6.14 garante que fln+l f = O, onde
escrevemos [lk para denotar Llr Portanto, segue do item (e) da
264
265
Soluções e Sugestões
Seção 7.1
proposição 6.13 que
n+l
O = (~n+l f)(O) = L(-l)j (n
n+l
- {;r_ -
j)
J
j=O
_ '°'( l)j
~ 1) f(n + 1 -
(n + 1) (n~i~j)
1 + f(n + 1)
j
2. Inicialmente, mostre que Pi1 ••. Pkk divide ambos f e 9 em (Q[X]. Para
o que falta, comece mostrando que, se h E (Q[X] é mônico e tal que
8k 8~
8f
O::::; uiJ: ::::; ai, para
h I f em rni[X]
~
, ent-ao h _- p81
1 ... Pk q1 ... q1 , com
1 ::::; i ::::; k, e O::::; 8: ::::; a~, para 1 ::::; i ::::; l.
·
3. Argumente por contraposição.
n+l
= I:(-l)j + f(n + 1),
5. Comece utilizando o corolário 3.25, juntamente com o problema 2,
página 74, nos moldes do item (b) do exemplo 7.7.
j=l
de maneira que
6. Para o item (a), faça indução sobre k, utilizando o corolário 7.4 para
n+l
f (n + 1) = - ~ (-1 )J =
{
O, se n
1, se n
= 1 (mod2)
= O(mod2)
4. Use o item (e) da proposição 6.13 para obter a igualdade
mostrar que existem li, Ík E JK[X] tais que
li
tg
=
"'l
hªk-l + 4,
com
gk
91 ... gk-1
f1
= O ou 8 < 8(9f 1 •.. 9~1:._11 ) e Ík = O ou 8 Ík < 8(9rk). Para
o item (b), comece dividindo f por 9k, obtendo f = 9kq + r, com
r = O ou O ::::; ar < 8(9k); em seguida, divida r por 9k-l e proceda
indutivamente.
Em seguida, utilize o lema 2.12 de [13], juntamente com o resultado
do problema 18 da seção 6.2 de [10].
5. As condições do enunciado garantem que (~}f)(ü) > O para O< k <
4
3 e (~if)(n) > O para todo n E N. Mostre agora que, para todo
m EN, temos
Seção 7.2
2. Como f é redutível sobre (Q, existem 91, h1 E Q[X] momcos, não
constantes e tais que f = 91h1. Tome a, b, e, d E Z \ {O} tais que
mdc (a, b) = mdc (e, d) = 1 e 91 = i9, h1 = á9, com 9, h E Z[X]
mônicos e não constantes. Como bdf(X) = ac9(X)h(X), tome conteúdos e use o lema de Gauss para concluir que bd = ac.
n-1
(~i-1 f)(n) =
L(~i f)(k) + (~i-1 f)(O)
k=O
e, por fim, use a fórmula acima para mostrar sucessivamente que
(~ff)(n) > O, (~tf)(n) > O, (~if)(n) > O e f(n) = (~~f)(n) > O,
para todo n EN.
Seção 7.3
2. Note primeiro que
f(a) =O::::;, f(a) =O::::;, ](a)= O.
A segunda afirmação é imediata.
Soluções e Sugestões
267
5. Se a E <Q for uma possível raiz racional de f, o critério de pesquisa de
raízes racionais garante que a E Z e a 1 84, mas ainda fornece muitas
possibilidades para a; a fim de eliminar várias delas, projete f em
Z3[X] e em Zs[X] para concluir, com o auxílio do problema 2, que
a= O(mod3) e a= 4(mod5), de sorte que a= -6, -21 ou 84.
2. Pelo lema de Gauss, basta mostrarmos que f não pode ser escrito
como o produto de dois polinômios não constantes de coeficientes inteiros. Para tanto, observe inicialmente que, pelo critério de pesquisa
de raízes racionais, f não possui raízes racionais; portanto, se f pudesse ser escrito como o produto de dois polinômios não constantes
de coeficientes inteiros, deveríamos ter
266
'
i I
6. Faça indução sobre âf; no passo de indução você terá de usar que
P 1 ( { ) , para 1 :S k :::; p - 1.
7. Suponha que fg não é primitivo e fixe um primo p que divide todos
os seus coeficientes. A partir da igualdade fg = fg = Õ em Zp[X],
conclua que f = Õ ou g = Õ.
8. Use o resultado da proposição 7.19, juntamente com as relações de
Girard.
9. Mostre que, módulo 17, temos
X 3 - 3X 2 + I
=
(X -4)(X - 5)(X + 6).
Em seguida, ponha Sk = ak + bk + ck, tk = 4k + 5k + (-6)k e conclua
(com o auxílio dos métodos da seção 4.2) que
A partir daí, mostre que sn E Z, para todo n E N, e sn
= tn (mod 17).
Seção 7.4
1. Inicialmente, use o critério de pesquisa de raízes racionais para mostrar que o polinômio dado não tem raízes inteiras. Em seguida, analise
a possibilidade X 4 - X 2 + 1 = (X 2 + aX + b)(X 2 + cX + d), com
a,b,c,d E Z.
f(X) = (X 2 + aX + b)(X3 + cX 2 + dX
+ e),
para certos a, b, e, d, e E Z. Desenvolvendo o produto do segundo
membro acima e comparando coeficientes de mesmo grau, concluímos que deveria ser be = 2, de forma que (b,e) = (1,2), (-1,-2),
(2, 1) ou (-2, -1). Mas, verifica-se facilmente que nenhuma dessas
possibilidades é compatível com as demais equações obtidas da comparação dos coeficientes.
3. Escreva f(Xn) = g(X)h(X), com g, h E ~[X] \ lR como prescrito
pelo enunciado e n > 1 (o caso n = 1 é trivial). Se g(X) = bkXk +
bk+lxk+i + · · · e h(X) = ezX1 + ez+1xz+1 + · · · , com bk, ez # O,
então, trocando g eh respectivamente por g(X) = bk + bk+lX + · · ·
e h(X) = ezXk+l + Cz+1Xk+l+l + · · · , podemos supor que g(O) # O.
Sejam, pois, g(X) = bo + b1X + · · · e h(X) = ezX1 + cz+1xz+1 + · · · ,
com bo, ez # O. Use o fato de que f(Xn) = g(X)h(X) para mostrar
que n l l. Em seguida, cancele os termos de grau mínimo em ambos os
membros da igualdade f(Xn) = g(X)h(X) e argumente por indução
sobre âf para mostrar que g(X) = g1(Xn) e h(X) = h1(Xn), para
certos 91, h1 E ~[X]\~ como prescrito pelo enunciado.
4. Pelo lema de Gauss, é suficiente examinar quando f = gh, com g e h
polinômios mônicos, não constantes e de coeficientes inteiros. Adaptando a ideia da prova do exemplo 7.32, temos 1 = f (O) = g(O)h(O),
de sorte que g(O) = h(O) = ±1; portanto, a1, a2, ... , an são raízes duas a duas distintas do polinômio g - h. Se g - h # O, entãç:>,
â(g-h) :S max{âg, âh} < âf = n, de sorte que g-h teria menos de
n raízes distintas. Logo, g - h = O e, daí, f = g2 ou, ainda,
g(X) 2
-
1 = (X -
a1) ...
(X - an)·
268
269
Soluções e Sugestões
Em particular, devemos ter n = 2k, para algum k E N. Suponha,
sem perda de generalidade, que
g(X)-l
com a1
= (X-a1) ... (X-ak) e
g(X)+l
=
1 ::;; j ::;; n, então
JaoJ = Ja1Zj + · · · + anz.11
::;; Ja1JlzjJ + · · · + JanlJziln
::;; Ja1J + · · · + JanJ,
(X-ak+1) ... (X-a2k),
< a2 < · · · < ªk e ªk+l < ªk+2 < · · · < a2k· Então,
e, avaliando a igualdade acima respectivamente em a1, a2, ... , ak,
obtemos
para 1 ::;; i ::;; k. A partir daí, conclua que, se k 2:: 3, então ao menos
dois dos números ªk+l, ªk+2, ... , a2k seriam iguais, o que não ~ o
caso. Por fim, analise separadamente os casos k =· 1 e k = 2 para
obter os polinômios do enunciado.
o que é um absurdo. Logo, JziJ > 1, para 1::;; j::;; n. Suponha, agora,
que f = gh, com g, h E Z[X]\Z, digamos g(X) = bo+b1X + ·+brXr
e h(X) = co + c1X + · · · + c8 X 8 • Reenumerando os Zj 's, se necessário,
podemos supor que as raízes de g são z1, ... , Zr. Então, segue das
relações de Girard que
Portanto, JboJ 2:: JbrJ
JaoJ = lbolJcoJ 2:: (lbrJ + l)(Jcsl + 1)
= lbrlJcsJ + lbrJ + lcsl + 1
5. Use o critério de Eisenstein, em conjunção com o resultado do item
(a) do problema 8, página 178.
2:: lbrlJcsJ + 2,vJbrllcsl + 1
= (vlbrllcsl + 1) 2
=(~+1)2.
6. Use o teorema 7.27, em conjunção com o critério de pesquisa de raízes
racionais (proposição 3.16).
7. Suponha f = gh, com g, h
g(X)h(X) em Zp[X].
1
! '
E
Z[X] \Z, e examine a igualdade J(X) =
8. Pelo lema de Gauss, basta mostrar que fé irredutível em Z[X]. Por
contradição, suponha que fosse f = gh, com g e h não constantes
e de coeficientes inteiros e (sem perda de generalidade, uma vez que
f(O) = p) g(O) = ±1. Use as relações de Girard para concluir que g,
e então f, tem uma raiz complexa z de módulo menor ou igual a 1.
Por fim, substitua a expressão de f na igualdade f(z) = O e use as
hipóteses sobre os coeficientes de f para chegar a uma contradição.
1
9. Sejam z1, ... , Zn as raízes complexas de
f. Se lzj
J ::;;
1, para algum
+ 1 e JcoJ ::;; JcsJ + 1, de sorte que
Assim,
JiaoT 2:: JfaJ + 1, o que é um absurdo.
10. Para cada 1 ::;; i ::;; k, escolha ai E Ai; em seguida, escolha um
primo p tal que p > a1, ... , ªk· Se A= {pq; q E N e p f q}, mostre
que existe 1 ::;; j ::;; k tal que A n Aj é infinito. Por fim, aplique o
critério de Eisenstein para mostrar que todo polinômio f de grau m,
com coeficiente líder ªi e demais coeficientes em A n Aj satisfaz a
condição (c).
11. Para o item (a), use um argumento àquele da prova do lema 5.1.
Para o item (b), suponha que f = gh, com g, h E Z[X] \ Z. Então,
segue de (a) que todos os coeficientes de g1(X) = g (X+ m têm um mesmo sinal. Portanto, g2(X) := 91(-X) tem coeficientes
!)
270
Soluções e Sugestões
271
não nulos e de sinais alternados, de sorte que 192 (x) 1< 191 (x) 1para
todo x > O e, daí, 9 (-x + m - !) < 9 (x + m - !), para todo x >
O; em particular, l9(m - 1)1 < l9(m)I. Conclua que l9(m)I ~ 2 e,
analogamente, lh(m)I ~ 2. Por fim, use o fato de que f(m) é primo
para chegar a uma contradição.
6. Pelo problema 2, página 185, fé irredutível sobre Q. Suponha, agora,
que existam a e b inteiros primos entre si e n > 1 natural tais que
f(a) = O, onde a=
Seja
12. Combine o teorema de Pólya-Szegõ, dado pelo problema anterior, com
o resultado do problema 7, página 75.
onde w = eis 2; . Pelo corolário 8.4, temos que f = Pai portanto, o
item (b) da proposição 8.3 garante que f divide 9 em Q[X] e, daí,
em .Z[X] (uma vez que f E .Z[X] e fé mônico). Portanto, segue do
problema 2, página 74, que existem 1 :'.S k < l :'.S n - 1 tais que
v'fTI.
9(X)
= bXn - a= b(X - a)(X - aw) ... (X - awn-l),
Seção 8.1
1. Se f(X) = anXn+. · ·+a1X +ao E Q[X]\Q tem a por raiz, examine
o polinômio
9 (X)
anXn-1 +···+-X+
a1
= -ªnxn
+ao
rn
rn-1
r
E Q [X ] \ Q.
2. Pela primeira fórmula de de Moivre, temos (cos 2; + i sen 2; )n = 1.
Em seguida, desenvolva o binômio e utilize a relação fundamental
da trigonometria para obter um polinômio não nulo, de coeficientes
racionais e tendo cos 2; por raiz.
Examinando o termo independente de f, segue que -a5 = 2 e, daí,
a = - ~- Mas, como h(X) = X 5 + 2 é irredutível (pelo critério de
Eisenstein) e h(a) = O, deveríamos ter f = h, o que é um absurdo.
7. Se a= a1, ... , am são as raízes de Pa e (3 = f31, ... , f3n são as raízes
de PfJ, o candidato natural a analisar é
h(X)=
I1
(X-ai(3j)=(a1···ªmtfIPfJ(~ix).
i=l
l<i<m
1~}3:;n
Agora, observe que a1 ... am
= ±pa(O) E Q.
3. Use o critério de Eisenstein 7.28.
4. Use primeiro o teorema de Gauss 7.15 para mostrar que existe 9 E
.Z[X] \ .Z, irredutível sobre .Z e tal que 9(a) = O. Conclua, com o
auxílio do lema de Gauss 7.14 que 9 também é irredutível sobre Q e,
daí, que 9 = Pa·
1. Use o item (a) da proposição 8.14 para n =
5. Para o item (i), aplique duas vezes a observação 8.10, juntamente com
o fato de que P..,ra(X) = X - y'a ou X 2 - a, conforme y'a E N ou
./a~ N (e analogamente para P,/b e P,jc)· Para o item (ii), use (i) e
o critério de pesquisa de raízes racionais.
2. Uma raiz típica de <I>2n é w = eis 2; ; , tal que 1 :'.S k :'.S 2n e
mdc (k, 2n) = 1. Use, agora, o fato de que -w também é dessa
forma para concluir que -w também é raiz de <I>2n· Conclua, pois,
que <I> 2n(X) é o produto de fatores do tipo (X - w)(X + w).
Seção 8.2
pk-l
en=
pk.
272
Soluções e Sugestões
273
3. Se <I>m e <I>n tivessem um fator não constante comum em C[X], então
eles seriam idênticos, como polinômios minimais de uma qualquer de
suas raízes comuns. Sendo <I>m = <I>n = f, seguiria do item (a) da
proposição 8.14 que J2 dividiria xmn - 1, o que é um absurdo.
problema garantem que a congruência x 2 = D. (mod n) tem solução,
para todo n E N. Se D. não for quadrado perfeito, escreva D. = af3 2 ,
com a, f3 E Z e lal > l. Use, então, o resultado do problema anterior
para chegar a uma contradição.
4. Primeiramente, veja que, com n e d como no enunciado, temos <p(n) =
<p(d) · ~' de forma que o<I>n = of, onde f(X) = <I>d(xnfd). Agora,
se w = eis 2~71"' com 1 :s; k :s; d e mdc(k,d) = 1, e rJ E (C é uma
raiz ~-ésima de w, mostre que rJ é uma raiz primitiva n-ésima da
unidade. Conclua, por fim, que <I>n e f têm as mesmas raízes.
5. Pelo teorema de Dirichlet, escolha d EN tal que 1 + kd = p, um nú.
E m segmºda, cons1ºd ere a PA (p-l)!,
1
l+d
l+(k-l)d
mero pnmo.
(p-l)!, ... , (p-l)! .
6. A versão geral do teorema de Dirichlet garante que a PA (n + 2, 2n +
2, 3n + 2, ... ) contém infinitos primos. Sendo p = kn + 2 > a um
qualquer deles e g uma raiz primitiva módulo p, segue do fato de
{g, g2 , .•. , gP- 1 } ser um SCR módulo p a existência de um inteiro
1 :s; t :s; p - 1 tal que gi = a (mod p). Agora, aplique o teorema de
Bézout para garantir a existência de naturais u e v tais que nu =
t + (p - l)v, de sorte que (gur = a (modp).
7. Considere, inicialmente, o caso em que a é ímpar. A condição do enunciado garante a existência de naturais b e t e primos ímpares distintos
q1, ... , qt para os quais a= b2 q1 ... qt; portanto, pela proposição 7.23
de [14], basta garantirmos a existência de infinitos primos p para os
quais ( ~) ... (;) = -1. Pela lei da reciprocidade quadrática, tal
relação equivale a
ÍI (p.)
j=l
=
(-l)l+(p;1)(8/),
q]
onde s = I:;~=l qj. Aplique, agora, o teorema dos primos de Dirichlet,
escolhendo p = 4kq1 ... qt + 1.
8. Faça D. = a 2 - 4b. Multiplicando ambos os membros da equação
dada por 4 e completando quadrados, mostre que as hipóteses do
Seção 8.3
1. Prove que a expansão decimal de a não é periódica.
2. Supondo que tais números fossem racionais, deduza que 1r e e seriam
algébricos, exibindo polinômios com coeficientes racionais que teriam
tais números como raízes.
3. Se ya fosse algébrico, então várias aplicações do teorema 8.12 garantiriam que o mesmo sucederia com ( va) = a. Se an fosse algébrico,
e f E (Q[X] \ {O} fosse tal que f(a) = O, construa g E (Q[X] \ {O} tal
que g(a) = O.
Seção 9.1
l. Use a relação (6.3) de [11] para estabelecer a recorrência satisfeita
pelas sequências (xn)n=:,:1 e (Yn)n=:,:1- Em seguida, adapte a solução do
exemplo 9.4 a esse caso.
2. Se f(X) = X 3 - 3X 2 + 1, comece mostrando que f tem raízes reais
a > b > e, tais que - 160 < e < - 150 , 160 < b < 1~ e O < bn + cn < 1,
para todo inteiro n 2 2. Se an = an + bn + cn para n 2 1, mostre
que a1, a2, a3 E Z e ªk+3 = 3ak+2 - ak, para k 2 1; em seguida
conclua, a partir do que fizemos acima, que lan J = an - l. Por fim,
use a recorrência linear satisfeita pela sequência (an)n>l para mostrar
que ªk+1 7 = ak (mod 17); alternativamente, apele para o problema 9,
página 178.
274
Soluções e Sugestões
Seção 9.2
275
Referências
então
1
1. Para a segunda parte, suponha que lzl > R e faça E = lzl - R. Use a
condição de convergência para garantir a existência de n E N tal que
lzn - zl < E e deduza, daí, que lznl > R, o que é uma contradição.
1
1
2. Use o resultado do problema anterior.
3. Adapte os argumentos delineados na prova da proposição 9.15.
4. Aplique o resultado dos itens (a) e (b) do problema anterior à sequência das somas parciais de I:k 21 (azk + bwk)·
6. Comece observando que, se (zn)n21 é uma sequência em X tal que
Zn--+ z, com z E X, então, pela desigualdade triangular,
IIJ(zn)l - lf(z)II
~ lf(zn) -
onde utilizamos o teorema das colunas do triângulo de Pascal na
última igualdade acima.
f(z)I.
Seção 9.3
7. Veja inicialmente que, se (zn)n21 é uma sequência em X, tal que Zn--+
z, então lzn - zl < B para todo índice n suficientemente grande; daí,
If (Zn) - f (z) 1 ~ AI Zn - z 1, também para todo índice n suficientemente
grande. Agora, mostre que a convergência de (zn)n21 para z acarreta
a convergência de (f(zn))n21 para J(z).
8. O caso m = 1 é o conteúdo do exemplo 9.12. Param= 2 e
segue, daí, que
=
L
ak+lzk+l
k,l20
Por indução, se
1
(1 - az)m-l
'°' (n + m-2)
2
a z '
= L.....t
n20
n n
m -
lzl < for,
ITi=l
2. Nas notações do enunciado da proposição 4.17, ponha J(X) =
(1+
ZjX) = I:"J=o SjXi; em seguida, calcule f' de duas maneiras distin-
~(~i,
tas, e.g., diretamente e com o auxílio da fórmula para
dada no
problema 3, página 83. Por fim, compare, nos casos k < n e k ~ n, o
coeficiente de xk-l em ambas as expressões para f'. Você precisará
utilizar o resultado do exemplo 9.12.
276
Referências
Referências Bibliográficas
[1] AIGNER, M. e ZIEGLER, G. (2010) Proofs from THE BOOK.
Springer-Verlag.
[2] ANDREWS, G. (1994). Number Theory. Dover.
[3] AKOPYAN, A. V. e ZASLAVSKY A. A. (2007). Geometry of
Conics. American Mathematical Society.
[4] APOSTOL, T. (1967). Calculus, Vol. 1. John Wiley & Sons.
[5] APOSTOL, T. (1967). Calculus, Vol. 2. John Wiley & Sons.
[6] APOSTOL, T. (1976). Introduction to Analytic Number Theory.
Springer-Verlag.
[7] DE BARROS, A. A. e ANDRADE, P. F. DE A. (2009). Introdução à Geometria Projetiva. Sociedade Brasileira de Matemática.
[8] BARBOSA, J. L. M. (2004). Geometria Euclidiana Plana. Sociedade Brasileira de Matemática.
277
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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[9] BARBOSA, J. L. M. (1995). Geometria Hiperbólica. Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.
[19] COURANT, R. e ROBBINS, H. (1966). What is Mathematics?.
Oxford University Press.
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Matemática.
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CAPÍTULO A
Glossário.
AIME: American lnvitational Mathematics Examination.
APMO: Asian-Pacific Mathematical Olympiad.
Áustria-Polônia: Olimpíada de Matemática Austro-Polonesa.
BMO: Balkan Mathematical Olympiad.
Baltic Way: Baltic Way Mathematical Contest.
Crux: Crux Mathematicorum, periódico de problemas da Sociedade
Canadense de Matemática.
IMO: lnternational Mathematical Olympiad.
283
284
Glossário
Israel-Hungria: Competição Binacional Israel-Hungria.
Miklós-Schweitzer: The Miklós-Schweitzer Mathematics Competition (Hungria).
NMC: Nordic Mathematical Contest.
Índice Remissivo
OBM: Olimpíada Brasileira de Matemática.
OCM: Olimpíada Cearense de Matemática.
OBMU: Olimpíada Brasileira de Matemática para Universitários.
OCS: Olimpíada de Matemática do Cone Sul.
OIM: Olimpíada Ibero-americana de Matemática.
OIMU: Olimpíada Ibero-americana de Matemática Universitária.
ORM: Olimpíada Rioplatense de Matemática.
Putnam: The William Lowell Mathematics Competition (Estados
Unidos).
Torneio das Cidades: The Tournament of the Towns, olimpíada
intermunicipal mundial de Matemática.
Complexo
Adição de polinômios, 34
argumento principal de um, 17
Algoritmo
argumentos de um, 17
da divisão para polinômios, 40
conjugado, 6
de Horner-Ruffini, 49
forma polar de um, 17
de Horner-Rufinni, 106
forma trigonométrica de um,
Argumento principal de um com17
plexo, 17
módulo de um, 7
Argumentos de um complexo, 17
plano, 7
Bézout
raiz de um, 21
Etienne, 156
Complexos
teorema de, 156
adição de, 5
Base, 141
desigualdade triangular para,
Bolzano
11, 12
Bernhard, 114
diferença de, 6
teorema de, 114
multiplicação de, 5
números, 3
Chebyshev
quociente de, 6
Pafnuty, 61
Conjugado
polinômios de, 61
de um complexo, 6
Coeficiente líder, 38
285
286
de um quatérnio, 15
Conjunto aberto, 220
Conteúdo de um polinômio, 164
Convergência de uma série, 225
de Moivre
Abraham, 18
primeira fórmula de, 18
segunda fórmula de, 21
Derivada
de um polinômio, 76
propriedades da, 77
Descartes
regra de, 131
René, 131
Desigualdade
entre as médias, 126
triangular, 11, 12
Desigualdades de McLaurin, 127
Diferença
de polinômios, 37
finita, 147
Dirichlet, teorema de, 206
Disco
aberto, 220
fechado, 220
Divisor
comum, 156
comum, máximo, 156
Eixo
imaginário, 7
real, 7
ÍNDICE REMISSIVO
Elemento neutro, 37
Fórmula
de de Moivre, primeira, 18
de de Moivre, segunda, 21
de multiseção, 66
de Taylor, 81
Fatoração canônica, 162
Forma polar, 17
Forma trigonométrica, 17
Função
contínua, 227
polinomial, 46, 172
Gauss
Carl F., 69
lema de, 165
teorema de, 70, 83
Girard, relações de, 91
Grau, 38
de um número algébrico, 209
de um polinômio, 86
propriedades do, 38
Hamilton
quatérnios de, 14
William R., 14
Hermite, Charles, 213
Homotetia, 27
centro de, 27
razão de, 27
Horner-Ruffini
algoritmo de, 49, 106
ÍNDICE REMISSIVO
identidades de, 106
287
Jacobi
Carl G. J., 108
identidades de, 108, 110
teorema de, 108
Número
algébrico, 190
algébrico, grau de um, 209
imaginário puro, 8
transcendente, 190
Números complexos, 3
Newton
Isaac, 102
teorema de, 102
Norma de um quatérnio, 15
Kronecker
delta de, 136
Leopold, 136
Ordem
de uma recorrência, 215
lexicográfica, 103
Lagrange
polinômios interpoladores de,
136
teorema de interpolação de, 137
Lema de Gauss, 165
Limite de uma sequência, 222
Lindemann, Ferdinand, 213
Liouville
exemplo de, 212
Joseph, 209
teorema de, 210
Pólya, George, 187
Pólya-Szego, teorema de, 187
PA
de ordem 1, 239
de ordem m, 239
Parte imaginária, 8
Parte real, 8
Plano complexo, 7
Polinômio
a n indeterminadas, 85
binomial, 142
característico, 216
ciclotômico, 202
coeficiente líder de um, 38
conteúdo de um, 164
derivada de um, 76
forma fatorada de um, 72, 73
grau de um, 38, 86
Identidades
de Horner-Ruffini, 106
de Jacobi, 110
Indeterminada, 45
Módulo de um complexo, 7
McLaurin
Colin, 126
desigualdades de, 127
Multiconjunto, 62
Multiplicação de polinômios, 34
288
ÍNDICE REMISSIVO
homogêneo, 98
Michel, 118
irredutível, 159, 165
teorema de, 118
mônico, 38
Raízes, soma simétrica elementar
primitivo, 164
das, 92
raiz de um, 46
Raiz
recíproco, 75
n-ésima da unidade, 22
redutível, 159, 165
n-ésima de um complexo, 21
simétrico, 90
da unidade, 22
simétrico elementar, 91
de um polinômio, 46
simetrização de um, 99
múltipla, 52
variação de um, 128
multiplicidade de uma, 52
Polinômios
primitiva da unidade, 202
adição de, 34, 86
simples, 52
algoritmo da divisão para, 40
teste da, 46
associados, 156
Raiz primitiva, 173
de Chebyshev, 61
da unidade, 202
diferença de, 37
Recorrência
linear, 215
iguais, 32
igualdade de, 87
ordem de uma, 215
interpoladores de Lagrange, 136
relação de, 215
multiplicação de, 34, 86
Relação
primos entre si, 158
de ordem parcial, 13
quociente de, 42
de ordem total, 13
relativamente primos, 158
Relações de Girard, 91
Projeção sobre Zp[X], 169
Resto, 42
Quatérnio
conjugado de um, 15
norma de um, 15
Quatérnios, 14
Quociente de polinômios, 42
Rôlle
Rotação, 27
ângulo de, 27
centro de, 27
Série
absolutamente convergente, 226
convergência de uma, 225
ÍNDICE REMISSIVO
de potências, 229
soma de uma, 225
soma parcial de uma, 225
SCI, 177
SCR, 66
Sequência
convergente, 222
divergente, 233
limite de uma, 222
recorrente linear, 215
subsequência de uma, 222
Sistema de Vandermonde, 140
Subsequência, 222
Szegõ, Gábor, 187
Teorema
de Bézout, 156
de Bolzano, 114
de Dirichlet, 206
de Gauss, 70, 83
de interpolação de Lagrange,
137
de Jacobi, 108
de Liouville, 210
de Newton, 102
de Pólya-Szegõ, 187
de permanência do sinal, 121
de Rôlle, 118
do valor médio, 117
fundamental da álgebra, 70
fundamental dos polinômios simétricos, 102
289
Unidade imaginária, 4
Vandermonde
Alexandre-Theóphile, 140
sistema de, 140
Variação de um polinômio, 128
.!ISBM
.!ISBM
(continuação dos títulos publicados)
(continuação dos títulos publicados)
Treze Viagens pelo Mundo da Matemática· C. Correia de Sa e J. Rocha (editores)
Como Resolver Problemas Matemáticos · T. Tao
Geometria em Sala de Aula · A. C. P. Rellmeister (Comitê Editorial da RPM)
Números Primos, amigos que causam problemas - P. Ribenboim
Manual de Redação Matemática· D.C de Morais Filho
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Polinômios e Equações Algébricas · A. Refez e M.L. Villela
Tópicos de Historia de Matemática - T. Roque e J. Bosco Pitombeira
Recursos Computacionais no Ensino de Matemática · V. Giraldo, P. Caetano e F.
Mattos
Temas e Problemas Elementares - E. L. Lima, P. C. Pinto Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
Números e Funções Reais · E. L. Lima
Aritmética · Abramo Refez
Geometria · A. Caminha
Avaliação Educacional · M. Rabelo
Geometria Analítica · J. Delgado, K. Frensel e L. Crissaff
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Números Racionais e Irracionais · I. Niven
Tópicos Especiais em Álgebra· J. F. S. Andrade
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Introdução à Computação Algébrica com o Maple · L. N. de Andrade
Elementos de Aritmética · A. Refez
Métodos Matemáticos para a Engenharia · E. C. de Oliveira e M. Tygel
Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies · M. P. do Carmo
Matemática Discreta· L. Lovász, J. Pelikán e K. Vesztergombi
Álgebra Linear: Um segundo Curso . R. P. Bueno
Introdução às Funções de uma Variável Complexa · C. S. Fernandez e N. C.
Bernardes Jr.
Elementos de Topologia Geral · E. L. Lima
A Construção dos Números · J. Ferreira
Introdução à Geometria Projetiva· A. Barros e P. Andrade
Análise Vetorial Clássica - F. Acker
Funções, Limites e Continuidade· P. Ribenboim
Fundamentos de Análise Funcional· D. Pellegrino, E. Teixeira e G. Botelho
Teoria dos Números Transcendentes · D. Marques
Introdução à Geometria Hiperbólica · O modelo de Poincaré · P. Andrade
Álgebra Linear: Teoria e Aplicações · T. P. de Araújo
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Introdução à Inferência Estatística · R. Bolfarine e M. Sandoval
Discretização de Equações Diferenciais Parciais· J. Cuminato e M. Meneguette
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Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1ª a 8ª - E. Mega, R. Watanabe
Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 9ª a 16ª . C. Moreira, E. Motta,
E. Tengan, L. Amâncio, N. C. Saldanha e P. Rodrigues
21 Aulas de Matemática Olímpica· C. Y. Shine
Iniciação à Matemática: Um Curso com Problemas e Soluções - K. I. M. Oliveira e
A. J. C. Fernández
Olimpíadas Cearenses de Matemática 1981-2005 Nível Fundamental - E.
Carneiro, O. Campos e M.Paiva
Olimpíadas Cearenses de Matemática 1981-2005 Nível Médio. E. Carneiro, O.
Campos e M.Paiva
Olimpíadas Brasileiras de Matemática · 17° a 24ª · C. G. T. de A. Moreira, C. Y.
Shine, E. L. R. Motta, E. Tengan e N. C. Saldanha
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Fundamentos da Teoria Ergódica · M.Viana e K. Oliveira
Tópicos de Geometria Diferencial · A. C. Muniz Neto
Formas Diferenciais e Aplicações · M. Perdigão do Carmo