CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO
SUCKOW DA FONSECA
LAÍS XAVIER DE SOUZA
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Relatório submetido à disciplina de Mecânica
dos Fluidos I como parte dos requisitos para
obtenção de nota
NOVA IGUAÇU
2023
1. INTRODUÇÃO
O estudo dos fluidos é essencial para compreender uma ampla variedade de
fenômenos naturais e processos industriais. Nesse relatório será abordado o
escoamento de água em um furo, sendo assim existem dois ramos fundamentais da
mecânica dos fluidos que desempenham papéis cruciais: Hidrostática e Cinemática
dos Fluidos.
1.1. Hidrostática
Hidrostática concentra-se na análise dos fluidos em repouso, explorando as
propriedades estáticas dos líquidos e gases. No caso do escoamento de água em um
furo, a hidrostática é fundamental para compreender a distribuição de pressões e o
comportamento do fluido quando está em repouso ou sob movimentos muito lentos.
1.1. Cinemática dos Fluidos
Cinemática dos Fluidos trata quando o fluido está em movimento. No contexto do
escoamento de água em um furo, a cinemática dos fluidos é crucial para analisar
padrões de fluxo, velocidades e características dinâmicas do fluido.
O Teorema do Transporte de Reynolds é uma ferramenta vital na cinemática dos
fluidos. Este teorema relaciona a derivada temporal total de uma propriedade fluida
com as variações temporais e espaciais dessa propriedade.
2. METODOLOGIA
2.1. Tempo necessário para escoamento no furo
Para estimar o tempo que a garrafa consegue autonomia para irrigar a planta, foram
utilizados os princípios da hidrostática, cinemática dos fluidos e equações de
conservação.
O cálculo de pressão hidrostática no furo consiste em P = ρ⋅g⋅h, onde, a densidade
da água (ρ) é multiplicada pela aceleração devida à gravidade (g) e pela altura da
coluna de água (h). Foi Dividido por 2 ao calcular a pressão em um ponto no meio de
uma coluna de fluido, pois foi assumindo que a pressão é uniformemente distribuída.
999
𝑃=
𝑘𝑔
𝑚
𝑥 9,78 2 𝑥 0,345 𝑚
3
𝑁
𝑚
𝑠
≅ 1690,53 2
2
𝑚
Para determinar a velocidade de escoamento no furo, calculamos a força média a
partir da pressão hidrostática e, posteriormente, encontramos a velocidade usando a
equação da quantidade de movimento.
𝐹 = ∫ 𝑃𝑑𝐴 = 𝑃 ∫ 𝑑𝐴 = 1690,53 𝑥 𝜋 𝑥 𝑟 2 ≅ 8,5 𝑥 10−6 𝑁
𝐹 = ∫ 𝑉𝜌𝑉𝑑𝐴 = ∫ 𝜌 𝑉 2 𝑑𝐴 = 𝜌 𝑉 2 ∫ 𝑑𝐴 = 𝜌 𝑉 2 𝐴 =
𝐹 = 𝜌 𝑥 𝑉2 𝑥 𝜋 𝑥 𝑟2
8,5 𝑥 10−6 𝑁 = 999
𝑘𝑔
𝑥 𝑉 2 𝑥 𝜋 𝑥 (0,04 𝑋 0,001)2
𝑚3
𝑉 2 = 1,692
𝑚
𝑉 = 1,30
𝑠
Para encontrar a vazão de escoamento do furo multiplica-se a área da seção do furo
pela velocidade do escoamento. A área da seção é calculada levando em
consideração sua geometria e sua abertura.
𝑑 2
𝑄=𝑉𝑥𝐴
𝑄 ≅ 1,30
𝐴 = 𝜋 (2)
0,095 2
𝑚
𝑥𝜋𝑥 (
𝑠
2
) ≅ 6,539 𝑥 10−9
𝑚3
𝑠
Para determinar o tempo necessário para o esvaziamento do reservatório, utiliza-se a
vazão e o volume. Como já encontramos a vazão anteriormente, determinamos o
volume e depois descobrimos o tempo.
𝑣 = ℎ 𝑥 (𝜋 𝑥 𝑅
𝑡=
𝑣
≅
𝑄
2)
2,44 𝐿
6,539 𝑥
𝑚
10−9
3
0,095 2
) ≅ 2,44 𝐿
= 0,345 𝑥 (
2
≅ 373156,73 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 ≅ 4,32 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑠
2.2. Método de Euler
O método de Euler é uma técnica numérica para solucionar equações diferenciais
ordinárias (EDO) de primeira ordem, considerando condições iniciais, que descrevem
a evolução de sistemas dinâmicos ao longo do tempo. Embora seja amplamente
aplicável, o Método de Euler deve ser utilizado considerando suas limitações. Por
exemplo, a precisão do método pode ser afetada de acordo com a escolha do número
de passos.
Neste experimento, a partir de uma solução analítica, utilizaremos o método de Euler
com 11 pontos para estimar a profundidade de água após 86 horas. Como foi dito
anteriormente, a precisão do método é influenciada pelo número de pontos, logo, para
uma análise comparativa, será feita uma estimativa numérica com 1100 pontos.
2.2.1. Método de Euler 11 pontos
Considerando que:
y(0) = 0,345 m
h = passos =
5160 x 60
10
= 30960 minutos (considerando o primeiro ponto igual a 0)
g = gravidade = 9,78 𝑚⁄𝑠
d = 0,08 mm
D = 95 mm
𝑑
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 − ℎ 𝑥 (𝐷)2 𝑥 √2 𝑔 𝑦
𝑦(0) = 𝑦0
Descobrindo os 11 pontos:
𝑦1 = 0,345 − 30960 𝑥 (
0,08 2
) 𝑥 √2 𝑥 9,78 𝑥 0,345 = 0,2878 𝑚
95
0,08 2
) 𝑥 √2 𝑥 9,78 𝑥 0,2878 = 0,2357 𝑚
95
0,08 2
𝑦3 = 0,2357 − 30960 𝑥 (
) 𝑥 √2 𝑥 9,78 𝑥 0,2357 = 0,1885 𝑚
95
0,08 2
𝑦4 = 0,1885 − 30960 𝑥 (
) 𝑥 √2 𝑥 9,78 𝑥 0,1885 = 0,1463 𝑚
95
0,08 2
𝑦5 = 0,1463 − 30960 𝑥 (
) 𝑥 √2 𝑥 9,78 𝑥 0,1463 = 0,1091 𝑚
95
0,08 2
𝑦6 = 0,1091 − 30960 𝑥 (
) 𝑥 √2 𝑥 9,78 𝑥 0,1091 = 0,0770 𝑚
95
0,08 2
𝑦7 = 0,0770 − 30960 𝑥 (
) 𝑥 √2 𝑥 9,78 𝑥 0,0770 = 0,0500 𝑚
95
0,08 2
𝑦8 = 0,0500 − 30960 𝑥 (
) 𝑥 √2 𝑥 9,78 𝑥 0,0500 = 0,0282 𝑚
95
0,08 2
𝑦9 = 0,0282 − 30960 𝑥 (
) 𝑥 √2 𝑥 9,78 𝑥 0,0282 = 0,0118 𝑚
95
0,08 2
𝑦10 = 0,0118 − 30960 𝑥 (
) 𝑥 √2 𝑥 9,78 𝑥 0,0118 = 0,0012 𝑚
95
𝑦2 = 0,2878 − 30960 𝑥 (
2.2.2. Método de Euler 1100 pontos
Esse código foi feito no MatLab e simula a variação do nível de um reservatório ao
longo do tempo usando o Método de Euler com uma progressão de tempo fixos. Ele
inicia um loop que realiza a simulação em 1100 pontos, onde a variável “y” é atualizada
em cada iteração usando o método para resolver a equação diferencial. O parâmetro
“h” representa o passo, ou seja, o intervalo de tempo entre as iterações e o resultado
é visualizado através de um gráfico, onde o eixo x representa o tempo em segundos
e o eixo y representa o nível do reservatório.
clear all
close all
clc
format compact
h = 281.4; % passo = (5160 x 60) /1100
f = @(t) - h*(0.08/95)^2 * sqrt(2*9.78*t);
t(1) = 0;
y(1) = 0.345;
for i = 1:1100
y(i+1) = y(i) + f(y(i));
t(i+1) = t(i)+ 281.4;
end
indice_minimo = find(y == min(y));
plot(t,y,'b')
hold on
xlabel('Tempo(segundos)')
ylabel('Nível do reservatório (m)')
title('Método de Euler 1100 pontos')
grid
plot(t(indice_minimo), y(indice_minimo), 'r*')
legend('Nível do reservatório', sprintf('Ponto Mín: %.4f m', y(indice_minimo)))
hold off
3. RESULTADOS
A partir dos cálculos realizados, foram observadas diferenças nos tempos obtidos por
meio da solução analítica e do método de Euler com 11 pontos. Na solução analítica,
chegamos à conclusão de que o tempo de escoamento no furo é de aproximadamente
4,32 dias. Enquanto isso, no método de Euler com 11 pontos, notamos que o nível do
reservatório se aproxima de zero em cerca de 3,58 dias.
𝑦
T (s)
𝑦𝑛 (𝑚)
0
0
0,345
1
30.960
0,2878
2
61.920
0,2357
3
92.880
0,1885
4
123.840
0,1463
5
154.800
0,1091
6
185.760
0,0770
7
216.720
0,0500
8
247.680
0,0282
9
278.640
0,0118
10
309.600
0,0012
Tabela 1. Resultado do Método Euler com 11 pontos.
A análise da tabela permite observar que no 11° ponto, onde o tempo corresponde a
86 horas, o nível do reservatório se aproxima de zero.
Como foi dito anteriormente, o método de Euler é influenciado pela quantidade de
pontos e isso fica evidente ao analisar o resultado da simulação com 1100 pontos.
Gráfico 1. Resultado do Método Euler com 1100 pontos feito no MatLab.
O método de Euler com 1100 pontos demonstra uma precisão aprimorada devido a
maior quantidade de pontos. O ponto mínimo representado no gráfico destaca o
momento em que o nível do reservatório atinge o valor mais baixo durante a
simulação, ou seja, representa o momento em que o reservatório está quase vazio.
Podemos observar que após 86 horas (309.600 segundos), o nível do reservatório
está em 0,013 m, essa constatação evidencia um erro menor em relação as outras
soluções.
4. CONCLUSÃO
As diferenças nos tempos indicam como as escolhas metodológicas impactam a
precisão da estimativa. A abordagem analítica oferece uma visão teórica precisa,
enquanto a abordagem numérica, principalmente com um número limitado de pontos,
é uma aproximação que pode não representar completamente a dinâmica contínua
do sistema.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]. FOX, Robert W., MCDONALD, Alan T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. São
Paulo: LTC, 2006. N 85-212-0134-6.