Métodos Numéricos aplicados à
Engenharia Química
1
AULA 5
Prof. Dr. Paulo Henrique S. L. Coelho
Plano de aula
2
 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.
 Problemas de valor inicial.
 Entendimento
do problema.
 Métodos de Euler.
 Explícito.
 Implícito.
 Modificado.
 Métodos de Runge-Kutta.
 2ª Ordem.
 4ª Ordem.
Introdução
3
- Equação diferencial é o nome dado à equação que contém
derivadas de uma função desconhecida.
- A solução dessa equação é a função que satisfaz à equação
diferencial.
-Uma equação diferencial com apenas uma variável
independente é chamada de equação diferencial
ordinária (EDO).
- Uma EDO de primeira ordem envolve a derivada primeira
da variável dependente em relação à variável independente.
Introdução
4
Equações
diferenciais
fornecem
informações detalhadas a respeito das
distribuições ou variações da variável
dependente em função da variável
independente.
Por
exemplo,
considere o tanque de água cilíndrico
mostrado na Figura. Enche-se o
tanque por cima e a água sai por um
cano conectado no fundo. O fluxo de
água entrando no tanque varia com o
tempo e é dado pela equação:
Introdução
5
- A Equação da variação da altura é uma EDO de primeira ordem,
onde t é a variável independente e h é a variável dependente.
- A solução da equação é uma função h(t) capaz de satisfazer a essa
equação (em geral, um número infinito de funções pode satisfazêla).
- Para que uma solução específica seja obtida, uma EDO de 1ª ordem
deve ter uma condição inicial que especifique o valor da variável
dependente para um valor particular da variável independente.
- Como problemas como esse são tipicamente problemas que
envolvem a variação temporal a restrição é chamada de condição
inicial e o problema é chamado de problema de valor inicial (PVI).
Introdução
6
Considere uma EDO de 1ª ordem:
dy/dx=f(x,y) com a condição inicial: y(x1) = y1
A f(x, y) fornece a inclinação de y(x) em função de x e y. Por
exemplo, considere a EDO a seguir:
O valor de f(x, y) para 0 ≥ x ≥ 4 e 2 ≥ y ≥ 6 é ilustrado
na Figura, onde se traça a inclinação em muitos
pontos no interior do domínio. As inclinações são
tangentes à solução, o que significa que as inclinações
se parecem com “linhas de fluxo” que mostram a
direção seguida por y(x).
Introdução
7
Três soluções possíveis são mostradas na Figura abaixo. A solução
de um problema específico é fixada pela condição inicial, que define
o ponto onde y(x) começa, e pelo domínio de x, que especifica onde
y(x) termina.
As condições iniciais para as
três soluções mostradas na
Figura são:
y(0) = 3, y(1,5) = 2 e y(2) = 6.
Solução Numérica de uma EDO
8
- A solução numérica de uma EDO é formada por um conjunto de
pontos discretos que representam a função y(x) de forma
aproximada.
- Quando se resolve numericamente uma equação diferencial, o
enunciado do problema também inclui o domínio da solução.
- Por exemplo, imagine que uma solução que seja necessária entre x = a e
x = b (o domínio é [a, b]). Dependendo do método numérico usado para
resolver a equação, pode-se ajustar previamente o número de pontos entre
a e b nos quais deseja-se obter a solução, ou isso pode ser decidido pelo
método.
Solução Numérica de uma EDO
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- O processo de solução de EDO é incremental, o que significa que ele
é determinado em passos.
- Começa-se no ponto no qual o valor inicial é fornecido. Em seguida,
usando a solução conhecida no primeiro ponto, determina-se uma
solução em um segundo ponto próximo.
- Depois, obtém-se uma solução em um terceiro ponto, e assim por
diante.
Há procedimentos que envolvem uma abordagem de passo
simples e outros que consideram uma abordagem multipasso.
Solução Numérica de uma EDO
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Passo simples
A solução no ponto seguinte, xi + 1, é calculada a partir da solução
conhecida no ponto atual, xi.
Multipasso
A solução em xi + 1 é calculada a partir das soluções conhecidas em
vários pontos anteriores. A ideia é que o valor da função em vários
pontos anteriores possa fornecer uma melhor estimativa para a
tendência da solução.
Dois tipos de métodos, explícito e implícito, também podem ser
usados no cálculo da solução em cada passo. A diferença entre esses
métodos está no procedimento usado na solução.
Solução Numérica de uma EDO
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Métodos explícitos
Utilizam uma fórmula explícita para calcular o valor da variável dependente
no próximo valor da variável independente.
Em uma fórmula explícita, o lado direito da equação tem apenas grandezas
conhecidas.
Métodos implícitos
Utilizam os valores xi, yi e xi + 1 para calcular yi + 1 a partir dos valores
conhecidos:
Em geral, métodos implícitos são mais precisos que métodos explícitos, mas
requerem um maior esforço computacional.
Método Explícito de passo simples
12
Em um método explícito de passo simples a solução numérica
aproximada é calculada a partir da solução conhecida no ponto, usando:
onde h é a largura do passo de integração e
Inclinação é uma constante que estima o
valor de dy/dx no intervalo de xi a xi+ 1.
A solução numérica começa no ponto onde o
valor inicial é conhecido, i = 1 ,(x1, y1). Em
seguida, i se torna i = 2, e a solução no ponto
seguinte, (x2, y2), é calculada. O
procedimento continua com i = 3, e assim
por diante, até que os pontos cubram todo o
domínio da solução.
Solução Numérica de uma EDO
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MÉTODOS DE EULER
O método de Euler é a mais simples técnica de solução de uma EDO
de primeira ordem na forma:
dy/dx = f(x,y) com a condição inicial: y(x1) = y1
O método pode ser formulado de forma explícita ou implícita.
Solução Numérica de uma EDO
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Método Explícito de Euler
Técnica numérica de passo simples usada na solução de EDOs de 1ª ordem.
O método usa as equações de passo, onde o valor da constante Inclinação é
a inclinação de y(x) no ponto (xi, yi), ou seja, a própria equação diferencial:
Para uma pequena distância h na vizinhança de
(xi, yi), a função y(x) tem uma inclinação
constante e igual à inclinação em (xi, yi). A partir
dessa hipótese, xi + 1, yi + 1) é calculado usando:
Solução Numérica de uma EDO
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EXEMPLO 1
Use o método explícito de Euler para resolver a EDO
de x = 0 a x = 2,5 com a condição inicial y = 3 em x = 0.
(a) Resolva o problema manualmente usando h = 0,5.
Exercício 1
(b) Escreva um programa em FORTRAN que resolva a equação usando h =
0,1.
(c) Use o programa da letra (b) para resolver a equação usando h = 0,01.
Em cada letra, compare os resultados
com a solução exata (analítica):
Solução Numérica de uma EDO
16
EXEMPLO 1
Solução
iteração
xi+1
yi+1 (SA)
yi+1 (SN)
|Erro|
1
0,5
4,072
4,700
0,6277
2
1,0
4,323
4,893
0,5696
3
1,5
4,170
4,550
0,3803
4
2,0
3,835
4,052
0,2165
5
2,5
3,436
3,542
0,1054
Solução Numérica de uma EDO
17
EXEMPLO 1
Solução
Solução Numérica de uma EDO
18
Método Implícito de Euler
A forma do método implícito de Euler é igual à forma do método explícito,
exceto pelo fato de, para uma pequena distância h na vizinhança de (xi, yi),
a inclinação da função y(x) deve ser tomada como uma constante igual à
inclinação no ponto final do intervalo, (xi + 1, yi + 1).
Solução Numérica de uma EDO
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Exercício 2
Um componente químico apresenta um decaimento temporal quando
exposto ao ar. Esse decaimento ocorre em uma taxa proporcional à sua
concentração elevada a 3/2. Simultaneamente, o componente é produzido
por outro processo. A equação diferencial que descreve a concentração
instantânea do componente é:
onde n(t) é a concentração instantânea e n1 = 2000 é a concentração inicial
em t = 0. Resolva a equação diferencial para obter a concentração em
função do tempo de t = 0 a t = 0,5 s usando o método implícito de Euler.
Use o método de Newton para determinar as raízes da equação não-linear
resultante. Adote um passo de integração de h = 0,001 s e trace um gráfico
de n × tempo.
Solução Numérica de uma EDO
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Método de Euler Modificado
- Este método é uma versão modificada do método explícito de Euler.
- A principal hipótese adotada no método explícito assume que a derivada
entre os pontos (xi, yi) e (xi + 1, yi + 1) em cada subintervalo seja constante e
igual à derivada de y(x) no ponto (xi, yi) - principal fonte de erros do método.
- Portanto, no método de Euler a inclinação usada é a média da inclinação no
início do intervalo e de uma estimativa para a inclinação no final do intervalo.
Solução Numérica de uma EDO
21
Solução Numérica de uma EDO
22
EXEMPLO 2
Use o método de Euler modificado para resolver a EDO
de x = 0 a x = 2,5 com a condição inicial y(0) = 3.
Exercício 3. Escreva um programa em FORTRAN que resolva a equação
usando h = 0,5. Compare os resultados com os valores encontrados no
Exemplo 1, e com a solução analítica):
Solução Numérica de uma EDO
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EXEMPLO 2
Solução
iteração
xi+1
yi+1 (SA)
yi+1 (SN)
|Erro|
1
0,5
4,072
3,946
0,1261
2
1,0
4,323
4,188
0,1351
3
1,5
4,170
4,063
0,1063
4
2,0
3,835
3,764
0,0716
5
2,5
3,436
3,394
0,0425
Solução Numérica de uma EDO
24
EXEMPLO 2
Solução
Solução Numérica de uma EDO
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MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
- Os métodos de Runge-Kutta compõem uma família de técnicas numéricas
explícitas de passo simples usadas na solução de EDOs de primeira ordem.
- Conforme o método de Euler, em um subintervalo [xi , xi + 1], onde
h = xi + 1 – xi, o valor de yi + 1 é calculado usando:
onde Inclinação é uma constante, e obtido a partir do cálculo da inclinação
em vários pontos no interior do subintervalo.
- Estes métodos são classificados de acordo com sua ordem (nº de pontos
usados em um subintervalo para determinar o valor de Inclinação).
- A ordem do método também está relacionada ao erro de truncamento
global.
Solução Numérica de uma EDO
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MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
- Métodos de Runge-Kutta de segunda ordem usam a inclinação em dois
pontos, métodos de terceira ordem usam três pontos, e assim por diante. A
versão de quarta ordem é conhecida como Runge-Kutta clássico.
-As diferenças entre os métodos aparecem na localização dos pontos
usados para determinar as inclinações e no procedimento usado para
determinar a constante Inclinação.
- Os métodos de Runge-Kutta são mais precisos do que o método explícito
de Euler. A sua precisão aumenta (isto é, o erro de truncamento diminui) à
medida que a ordem do método aumenta. Em cada passo, no entanto,
dependendo da ordem, são necessárias várias avaliações da função para se
estimar a derivada de f(x, y).
Solução Numérica de uma EDO
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Métodos de Runge-Kutta de segunda ordem
A forma geral dos métodos de Runge-Kutta de segunda ordem é:
onde c1, c2, a2, e b21 são constantes. Os valores dessas constantes variam
com o método de segunda ordem específico.
O método de Euler modificado é uma versão do método de Runge-Kutta
de segunda ordem.
Solução Numérica de uma EDO
28
No método de Euler modificado, as constantes são:
A substituição dessas constantes nas equações anteriores resulta em:
onde
Solução Numérica de uma EDO
29
EXEMPLO 3
Use o método de Runge-Kutta de 2ª ordem, (versão modificada de Euler)
para resolver a EDO:
de x = 0 a x = 2,0 com a condição inicial x = 0 e y = 3. Resolva manualmente
usando h = 0,5
Exercício 4. Escreva um programa em FORTRAN que resolva a equação
usando h = 0,5 e h = 0,1 .
Solução Numérica de uma EDO
30
EXEMPLO 3
Solução
iteração
xi+1
K1
K2
yi+1
1
0,5
3,4
0,385
3,946
2
1,0
1,290
-0,322
4,189
3
1,5
0,160
-0,658
4,063
4
2,0
-0,412
-0,781
3,763
Solução Numérica de uma EDO
31
Métodos de Runge-Kutta de Quarta ordem
A forma geral dos métodos de Runge-Kutta de quarta ordem é:
onde c1, c2, c3, c4, a2, a3, a4, b21, b31, b32, b41, b42 e b43 são constantes. Os
valores dessas constantes variam com o método de quarta ordem
específico.
Solução Numérica de uma EDO
32
O método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico está entre os
métodos mais comumente utilizados. As constantes desse método são:
Com essas constantes, as equações do método de Runge-Kutta de
quarta ordem clássico são:
onde
Solução Numérica de uma EDO
33
EXEMPLO 4
Use o método de Runge-Kutta de quarta ordem clássica para resolver a
EDO
de x = 0 a x = 1,5 com a condição inicial x = 0 e y = 3. Resolva manualmente
usando h = 0,5
Exercício 5. Escreva um programa em FORTRAN que resolva a equação
usando h = 0,5. Compare os resultados com a solução analítica):
Solução Numérica de uma EDO
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Exercício 6. Considere a EDO de primeira ordem a seguir:
(a) Resolva a equação manualmente usando o método explícito de Euler
com h = 0,6.
(b) Resolva a equação manualmente usando o método de Euler modificado
com h = 0,6.
(c) Resolva a equação manualmente usando o método de Runge-Kutta de
quarta ordem clássico com h = 0,6.
(d) Faça um programa em FORTRAN para cada uma das alternativas.
Compare os resultados com a solução analítica da EDO:
Em cada letra, calcule o erro existente entre a solução exata e a solução
numérica nos pontos em que a solução numérica é determinada.
Solução Numérica de uma EDO
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Exercício 7. Considere o tanque de água cilíndrico
mostrado na figura. Enche-se o tanque por cima e
a água sai por um cano conectado no fundo.
A taxa de variação da altura do nível d’água h é dada
pela equação:
No tanque em questão, Atanque = 3,13 m²,
Acano = 0,06 m², K1 = 300 kg/h, K2 = 200 kg/h,
ρ = 1000 kg/m³, e g = 9,81 m/s².
Determine e trace um gráfico com a altura do nível d’água em função do
tempo em s, se, em t = 0, h = 3 m (use um passo de 0,1 s).
Solução Numérica de uma EDO
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Exercício 8. Se água for drenada de um tanque cilíndrico vertical
abrindo-se uma válvula na base, ela escoará rapidamente quando o tanque
estiver cheio e mais lentamente conforme ele continuar a ser drenado.
Como pode ser mostrado, a taxa pela qual o nível de água abaixa é:
dy/dt = −k√y
em que k é uma constante dependente da forma do orifício, da área da
seção transversal do tanque e do orifício de drenagem. A profundidade da
água, y, é medida em metros e o tempo t, em minutos. Se k = 0,06,
determine quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de
fluido for inicialmente 3 m. Resolva aplicando os métodos descritos em
aula e compare os resultados via Excel. Use um passo de 0,5 minuto.
Solução Numérica de uma EDO
37
Exercício 9. Um tanque esférico tem um orifício
circular no fundo pelo qual o líquido escoa para
fora. A vazão pelo buraco pode ser estimada por
Qout= C A √2gh
em que Qout é o escoamento para fora (m³/s), C é
um coeficiente obtido empiricamente, A é a área
do orifício (m²), g é a constante gravitacional (9,81 m/s²) e h é a
profundidade do líquido no tanque.
Use um dos métodos numéricos descritos nesta aula para determinar
quanto tempo levará para que a água escoe para fora de um tanque de 3 m
de diâmetro com uma altura inicial de 2,75 m. Observe que o orifício tem
um diâmetro de 3 cm e C = 0,55.
Referências
38
 PINTO, J. C. & LAGE P. L. C., Métodos Numéricos em
Problemas de Engenharia Química, Ed. E-papers, 2001.
 GILAT, A. & SUBRAMANIAM, V., Métodos Numéricos
para Engenheiros e Cientistas: uma introdução com
aplicações usando o MATLAB, Tradução: Alberto Resende
de Conti, Porto Alegre : Bookman, 2008 (ISBN 978-857780-297-5).
 CHAPRA, S. C. & CANALE, R. P., Métodos Numéricos para
Engenharia [recurso eletrônico] / tradução técnica: Helena
Castro. - 5. ed. - Dados eletrônicos. - Porto Alegre : AMGH,
2011.