Métodos Matemáticos II
Ayudantes jefe: Marı́a Jesús Negrete y Camilo Jaramillo
Ayudantı́a Nº2
Primavera 2023
Sumatorias
1. Sabiendo que
Pn
i=1
x2i = 10,
Pn
i=1
yi2 = 1 y
n
X
Pn
i=1
xi yi = 2, se pide encontrar el valor de:
[(2xi − yi )2 − 2x2i ].
i=1
Solution:
n
X
[(2xi − yi )2 − 2x2i ] =
i=1
n
X
(2xi − yi )2 −
i=1
n
X
=4
n
X
2x2i
i=1
x2i
−4
i=1
n
X
xi yi +
i=1
n
X
yi2
i=1
= 4 · 10 − 4 · 2 + 1 − 2 · 10
= 13
2. Obtenga el valor de las siguientes sumatorias:
N
X
ln
i=1
n+1
n
K
X
(exj+1 − exj ).
,
j=0
Solution:
N
X
i=1
ln
n+1
n
=
N
X
[ln(n + 1) − ln(n)]
i=1
= ln(N + 1) − ln(1)
= ln(N + 1)
K
X
(exj+1 − exj ) = eK+1 − e0
j=0
= eK+1 − 1
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−2
n
X
i=1
x2i
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Facultad de Economı́a y Negocios
Ayudantı́a
3. Dados α, β ∈ R, muestre que:
N
X
aN 2 + aN + 2bN
.
2
(αk + b) =
k=1
Solution:
N
X
(αk + b) = a
k=1
N
X
k+
k=1
N
X
b
k=1
a(1 + N )N
+ bN
2
aN 2 + aN + 2bN
=
2
=
4. Obtener el valor de las siguientes sumatorias:
N
X
N
X
1
.
n
3
n=0
3n ,
n=2
Solution:
N
X
3n =
n=2
N
X
3n − 3
n=1
3(1 − 3N )
−3
1−3
3N +1 − 3 6
−
=
2
2
N +1
3
−9
=
2
=
N
N
X
X
1
=
1
+
3−n
n
3
n=0
n=1
3−1 (1 − 3−N )
1 − 3−1
1 − 3−N
=1+
3−1
3 − 3−N
=
2
=1+
5. Suponga que a usted lo invitan a invertir en un proyecto. Le ofrecen que si en el periodo t = 0 invierte
cierto nivel de capital, entonces durante el resto de la vida recibirá ganancias constantes dadas por 5.
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Suponga que la tasa de interés es r = 0,5. ¿Cuanto es lo máximo que estarı́a dispuesto a invertir en el
proyecto?
Solution: Lo máximo que estaremos a investir será el nivel de inversión (K0 ) que logra un V AN
igual a 0. Esto es:
V AN = −K0 +
∞
X
5
≥0
(1 + 0,5)t
t=1
∞
X
= −K0 + 5
t=1
1
≥0
(1,5)t
5
= −K0 +
≥0
1,5
5
≥ K0
=
1,5
Concluimos que lo máximo que uno estará dispuesto a pagar por este proyecto será
5
1,5 .
Funciones lineales
6. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los siguiente puntos:
i) (1, a) y (2, 3).
ii) (p, r1 ) y (p + 1, r2 ).
Solution:
i) La pendiente viene dada por m =
3−a
2−1
= 3 − a. Luego, la ecuación de la recta es:
y = a + (3 − a)(x − 1) ⇒ 2a − 3 + (3 − a)x
Verifique lo anterior reemplazando los puntos en la ecuación.
ii) La pendiente viene dada por
r2 −r1
p+1−p
= r2 − r1 . Luego, la ecuación de la recta es:
y = r1 + (r2 − r1 )(x − p) ⇒ y = r1 − p(r2 − r1 ) + (r2 − r1 )x
Verifique lo anterior reemplazando los puntos en la ecuación.
7. Se puede demostrar que las rectas y = m1 x+b1 e y = m2 x+b2 son perpendiculares solo si m1 m2 = −1.
Obtenga la ecuación de la recta perpendicular a 3x − 6y + 3 = 0 que pasa por el punto (1, 1).
Solution: Se tiene que
3x − 6y + 3 = 0 ⇒ y = 0,5 + 0,5x.
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Luego, la pendiente de la recta buscada viene dada por 0,5 · m = −1 ⇒ m = −2. De esta forma,
la ecuación de la recta es:
y = 1 − 2(x − 1) ⇒ y = 3 − 2x.
Para verificar visualemente que estas rectas son perpendiculares, grafı́quelas.
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