Guı́a 5
Segundo Semestre 2018
Matemáticas IV
Integrales de Superficie.
ZZ
(y 2 + 2yz) dS, donde S es la parte del plano 2x +
1. Evaluar la integral de superficie
y + 2z = 6 en el primer octante.
ZZ
2. Evaluar la integral de superficie
a2 , con z > 0.
S
dS, donde S es la superficie dada por x2 +y 2 +z 2 =
S
ZZ
(x2 + y 2 − 3z 2 ) dS, donde S es la superficie dada
3. Evaluar la integral de superficie
S
por x2 + y 2 + z 2 = 4, encima del plano z = 0.
ZZ
4. Evaluar la integral de superficie
(y) dS, donde S es la porción del plano 3x+2y +z =
S
6, comprendida en el primer octante.
ZZ
(x2 y + z 2 ) dS, donde S es la porción del cilindro
5. Evaluar la integral de superficie
S
x2 + y 2 = 9, comprendida entre los planos z = 0 y z = 2.
ZZ
6. Evaluar la integral de superficie
(yz) dS, donde S es la superficie con ecuación x =
S
uv, y = u + v, z = u − v, u2 + v 2 = 1.
p
7. Calcule la masa de la lámina S que está dada por z = 4 − 2 x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 4, si la
densidad en cada punto de S es proporcional con constante de proporcionalidad k a la
distancia del punto al eje Z.
ZZ
→
− →
−
→
−
8. Evaluar la integral de superficie
F d S , donde F (x, y, z) = (x, y, z) y S está dada
S
por x2 + y 2 + z 2 = 9, con orientación positiva.
ZZ
→
− →
−
→
−
9. Evaluar la integral de superficie
F d S , donde F (x, y, z) = (0, y, −z) y S está dada
S
por y = x2 + z 2 , 0 ≤ y ≤ 1 y x2 + z 2 = 1, y = 1, con orientación positiva.
ZZ
→
− →
−
→
−
10. Evaluar la integral de superficie
F d S , donde F (x, y, z) = (x, 2y, 3z) y S está dada
S
por el cubo de vértices (±1, ±1, ±1), con orientación positiva.
ZZ
→
− →
−
→
−
11. Evaluar la integral de superficie
F d S , donde F (x, y, z) = (xz, −2y, 3x) y S está
S
dada por x2 + y 2 + z 2 = 4, con orientación positiva.
→
−
12. Halle el flujo de F (x, y, z) = (2x, −y, 0), a través de una parte del cilindro x2 + y 2 = r2 ,
x, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ h, en dirección hacia afuera (alejándose del eje Z).
→
−
h
13. Halle el flujo de F (x, y, z) = (x2 , y 2 , z 2 ), a través de una parte del paraboloide 2 (x2 +
r
y 2 ) = z, z ≤ h, en dirección hacia dentro (acercándose al eje Z).
→
−
14. Halle el flujo de F (x, y, z) = (x2 , −y 2 , z 2 ), a través de una parte de la esfera x2 +y 2 +z 2 =
r2 , x, y, z ≥ 0, en dirección hacia afuera (alejándose de los ejes coordenados).
→
−
15. Halle el flujo de F (x, y, z) = (x, y, −2z), a través de toda la superficie de x = ±a, en
dirección de la normal exterior.
Respuestas.
1. 243/2.
11. −64π/3.
6. 0.
√
2. a2 π.
7. 16 5kπ/3.
12. πr2 h/4.
3. −32π/3.
√
4. 3 14.
8. 108π.
13. πr2 h2 /3.
9. 0.
14. πr4 /8.
5. 16π.
10. 48.
15. 0.
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