UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
Daniel Carvalho de Moura Candido
Trabalho avaliativo - Análise Não-Linear de
Sistema Mecânico com Bifurcação Simétrica
Estável
Vitória
2018
Análise não-linear de sistema mecânico com bifurcação simétrica estável
1
1 Solução exata de análise não-linear para sistema mecânico com
bifurcação simétrica estável
A análise se inicia com a aplicação de uma perturbação inicial no sistema mecânico, seguido
da contabilização da energia potencial total do sistema perturbado, representada abaixo por
Π na equação 1.1.
Π=U +V
(1.1)
As variáveis U e V representam as energias potenciais das forças restauradora(mola) e
perturbadora(ação externa) respectivamente. Seu cálculo é dado à seguir pelo conjunto das
equações 1.2.
U=
kϕ2
2
V = −F y
(1.2)
Observa-se que o sinal negativo de V indica que a força age contrária a tendência de retorno
à configuração original do sistema. Substituindo a equação 1.2 na equação 1.1, obtêm-se a
contabilização de energia, como ilustrada à seguir.
Π=
kϕ2
+ (−F y)
2
(1.3)
Com base na configuração perturbada, deduz-se uma expressão para o potencial da força
externa em termos do ângulo ϕ, posta na equação 1.4. A nova expressão é então substituı́da
no balanço de energia potencial indicado à priori, culminando na equação 1.5.
y = L − L cos ϕ
∴
y = −L(cos ϕ − 1)
kϕ2
Π=
+ F L(cos ϕ − 1)
2
(1.4)
(1.5)
O princı́pio da energia potencial total estacionária estabelece que o sistema satisfaz condições
de equilı́brio quando não há variação de energia potencial, em outras palavras, dΠ/dϕ = 0.
Sendo assim,
dΠ
= kϕ + F L(− sin ϕ) = 0
dϕ
(1.6)
A equação 1.6 possuı́ duas soluções gerais, correspondentes aos estados; original e perturbado. As equações 1.7 e 1.8 especı́ficam as chamadas solução fundamental e solução
pós-crı́tica, respectivamente.
ϕ=0
(1.7)
Análise não-linear de sistema mecânico com bifurcação simétrica estável
F =
kϕ
L sin ϕ
2
(1.8)
A natureza não linear da solução pós-crı́tica (Eq. 1.8) serve de constatação da não linearidade geométrica do sistema estrutural analisado. Para um panorama geral do comportamento
do sistema, podemos traçar um gráfico da grandeza F L/k em função de ϕ e desse modo,
definir o valor da carga crı́tica, ou seja, a carga que acarreta em uma mudança qualitativa da
configuração de equilı́brio do sistema. Abaixo se encontram os gráficos para F L/K vs. ϕ e
um exemplo numérico com k = 20 e L = 5.
Figura 1 – Gráficos da solução geral(esquerda) e solução para dados valores de k e L (direita).
O gráfico de F L/k indica que a carga crı́tica ocorre quando F = k/L, e observa-se pelo
exemplo numérico que a carga crı́tica possuı́ o valor esperado para k = 20 e L = 5, validando
a formulação deduzida. Determinado o ponto de bifurcação para o sistema proposto, resta
então finalizar a aplicação do PEPTE para determinar em quais ângulos, dada uma força F ,
o sistema se encontra em equilı́brio estável ou instável. Para tanto, utilizamos o teste da
segunda derivada em conjunto com a o princı́pio citado para determinar pontos de máximos
locais (equilı́brio instável) e mı́nimos locais (equilı́brio estável). Desse modo,
d2 Π
= k − F L cos ϕ = 0
dϕ2
(1.9)
Utilizaremos o exemplo numérico do gráfico anterior para plotar a relação entre a derivada
segunda da energia potencial e ϕ. Em seguida acrescenta-se um gráfico da variação de energia
potencial em função do ângulo ϕ como corroboração do gráfico da segunda derivada.
O gráfico da segunda derivada indica que para o intervalo aproximado −0.65rad < ϕ <
0.65rad, a estrutura se encontra em equilı́brio instável para a carga de 5 Newtons, esse
comportamento é corroborado pelo gráfico da energia potencial, que indica que a energia
potencial possuı́ um máximo local nesse intervalo de ϕ. Em outra nota, as curvas para
F = 3N e F = 4N não apresentam intervalos de Equilı́brio instável, tal comportamento é
Análise não-linear de sistema mecânico com bifurcação simétrica estável
3
Figura 2 – Gráficos da derivada segunda(esquerda) e da energia potencial (direita) para vários valores de F.
condizente com a formulação desenvolvida e com os gráficos exibidos anteriormente, uma vez
que ambos os valores de carga são menores ou iguais à carga crı́tica.
2 Solução aproximada de análise não-linear para sistema mecânico
com bifurcação simétrica estável
Uma das maneiras de se aproximar uma solução para o problema proposto utiliza a expansão
por série de Taylor da função Cosseno. Da forma demonstrada na equação 2.1.
cos ϕ = 1 −
ϕ2 ϕ4 ϕ6 ϕ8
+
−
+
− ....
2!
4!
6!
8!
(2.1)
Como exemplo ilustrativo da solução exata, serão utilizados quatro termos da equação 2.1.
O procedimento consiste na substituição direta da série de Taylor truncada, na expressão 1.5.
Deve-se então, recalcular as derivadas da função energia potencial e se achar os novos pontos
de máximos e mı́nimos. Desse modo, para quatro termos da série têm-se;
kϕ2
+ FL
Π=
2
−ϕ2 ϕ4 ϕ6
+
−
2!
4!
6!
ϕ3 ϕ5
dΠ
= kϕ + F L −ϕ +
−
dϕ
3!
5!
d2 Π
ϕ2 ϕ4
=
k
+
F
L
−1
+
−
dϕ2
2
24
!
(2.2)
!
=0
(2.3)
=0
(2.4)
!
Pode-se agora, comparar graficamente os resultados aproximados com os exatos obtidos a
priori. À seguir reproduzem-se os gráficos da análise anterior de F LK e F em sunção de ϕ,
com acréscimo das curvas de soluções aproximadas com quatro termos da série de Taylor.
Análise não-linear de sistema mecânico com bifurcação simétrica estável
4
Figura 3 – Gráficos da solução geral(esquerda) e solução para dados valores de k e L (direita), comparativo
entre solução geral e exata.
Os gráficos indicam boa aderência entre as soluções aproximada e exata, particularmente
para valores numéricos de k e L, de tal maneira que mal pode-se diferenciar as trajetórias
de curva entre as soluções no gráfico da direita. O gráfico de F L/k por sua vez, apesar de
demonstrar aderência inicial, exibe um aumento de divergência diretamente proporcional ao
acréscimo de carga, indicando uma possı́vel necessidade de utilização de termos adicionais.
Reproduzem-se, nesse momento os gráficos para as derivadas segunda e energia potencial.
Para evitar excesso de informações e dificuldade de leitura do gráfico, serão plotadas somente
as curvas exatas e aproximadas oriundas de F = 5N , já que ocorre incidência de equilı́brios
estável e instável nesse caso.
Figura 4 – Gráficos da derivada segunda(esquerda) e da energia potencial (direita) para comparação das
soluções exata e aproximada.
O gráfico da derivada segunda demonstra aderência quase total quanto às regiões positiva e
negativa da curva, indicando que uma aproximação com quatro termos é suficiente para chegar
as mesmas conclusões qualitativas que a solução exata para o teste da segunda derivada.
Observa-se porém, separação entre as duas soluções à medida em que o valor absoluto de
ϕ aumenta, acarretando inclusive em um ponto de máximo global para ϕ ≈ + − 2rad. No
entanto, o gráfico de energia potencial não apresenta derivada primeira nula nessa região e
Análise não-linear de sistema mecânico com bifurcação simétrica estável
5
portanto, o teste da segunda derivada não se aplica para esses pontos.
As curvas de energia potencial, apresentadas no gráfico da direita, também se mostram
praticamente idênticas, corroborando as conclusões do gráfico da derivada segunda quanto à
classificação de regiões de equilı́brio estável ou instável. Observa-se, todavia, que ocorre leve
separação entre as curvas para ϕ > + − 2, 5rad, mas os valores de energia potencial nessa
região são próximos o suficiente para que a diferença seja desconsiderada nessa análise.
Em suma, para todos os gráficos comparativos da solução exata e aproximada, observa-se
que uma aproximação com quatro termos da série de Taylor é suficientemente confiável para
classificação qualitativa dos tipos de equilı́brio em função de uma força F qualquer, se tratando
de um sistema mecânico com bifurcação simétrica estável e um grau de liberdade.
3 Algoritmo computacional utilizado
Na seção vigente apresenta-se o algoritmo em Matlab utilizado para computar os resultados
e gerar os gráficos, o programa trabalha com entrada de usuário para os valores de k e L mas
a versão atual efetua testes somente para valores de F = 3N , F = 4N e F = 5N e solução
aproximada com 4 termos e F = 5N . Sendo assim, é necessário que o usuário modifique os
valores de força caso a constante elástica e comprimento da barra sejam muito diferentes em
magnitude dos valores testados nos exemplos do texto. É importante ressaltar que os trechos
precedido de %, indicados em vermelho, servem apenas como comentários elucidativos.
% INÍCIO DO PROGRAMA
%Comandos para limpeza de tela e variáveis
3 clear
4 clc
1
2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
%Definição de variáveis pertinentes ao problema
k=input('Valor da constante de elasticidade: '); %Constante elástica
L=input('Valor do comprimento da barra: '); %Comprimento da barra
fi=input('Valor máximo absoluto do angulo fi: '); %Domı́nio do â...
nguglo Fi
x=[-fi:0.1:fi]; %Discretização do domı́nio de fi
s=size(x);
%Computação do tamanho do vetor x(1/2)
sizex=s(2);
%Computação do tamanho do vetor x(2/2)
x2=zeros(1,sizex); %Criação de vetor para caminho fundamental
y=x./sin(x); %Função FLK(fi) após igualar a derivada e E pot à zero
y2=linspace(0,max(y),sizex); %Criação de vetor para caminho fundamental
16
%Primeira janela de plotagem
%Gráficos de FLK x Fi e F x Fi (para valores numéricos de L e k)
19 figure(1)
20 subplot(1,2,1)
17
18
Análise não-linear de sistema mecânico com bifurcação simétrica estável
6
hold on
plot(x,y),axis on, grid on, xlim([-fi fi]), ylim([0 fix(2*k/L)]), ...
title('Gráfico FLK vs Fi'), ylabel('FLK [adimensionalizado]'), ...
xlabel('Ângulo Fi [rad]')
23 plot(x2,y2)
24 legend('Caminho Pós-crı́tico','Caminho Fundamental')
25 hold off
21
22
26
27
28
29
30
31
32
subplot(1,2,2)
hold on
plot(x,(k/L).*y),axis on, grid on, xlim([-fi fi]), ylim([0 ...
fix(2*(k/L))]), title(['Gráfico F vs Fi p/ k=' num2str(k) ' , L=' ...
num2str(L)]), ylabel('F [N]'), xlabel('Ângulo Fi [rad]')
plot(x2,y2)
legend('Caminho Pós-crı́tico','Caminho Fundamental')
hold off
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
%Segunda janela de plotagem
% Gráficos da segunda derivada x Fi e E pot x Fi
figure(2)
subplot(1,2,1)
hold on
for F=[3,4,5]; %Loop para plotagem com diferentes valores de F
y3=k-(F.*L.*cos(x)); %Segunda derivada em função de F, k e L
plot(x,y3),axis on, grid on, xlim([-fi fi]), ylim([min(y3) max(y3)]), ...
title('Gráfico da Derivada segunda vs Fi'), ylabel('Valor da ...
derivada'), xlabel('Ângulo Fi [rad]')
end
legend('F= 3N','F=4N','F=5N')
line([0 0], ylim, 'Color','black', 'LineStyle', '--'); %x-axis
line(xlim, [0 0], 'Color','black', 'LineStyle', '--'); %y-axis
hold off
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
subplot(1,2,2)
hold on
for F=[3,4,5]; %Loop para plotagem com diferentes valores de F
pot=((k.*(x.ˆ2))./2)+(F.*L.*(cos(x)-1)); %Equação da energia potencial
plot(x,pot),axis on, grid on, xlim([-fi fi]), ylim([min(y3) ...
max(y3)]), title('Gráfico E p vs Fi'), ylabel('Energia Potencial ...
do sistema'), xlabel('Ângulo Fi [rad]')
end
legend('F= 3N','F=4N','F=5N')
line([0 0], ylim, 'Color','black', 'LineStyle', '--'); %x-axis
line(xlim, [0 0], 'Color','black', 'LineStyle', '--'); %y-axis
hold off
58
59
%Aproximação por séries de Taylor (4termos)
Análise não-linear de sistema mecânico com bifurcação simétrica estável
7
ytaylor=-1./(-1+((x.ˆ2)./6)-((x.ˆ4)./120)); %Primeira derivada =0, ...
expressada com FLK em função de Fi
61 ytaylor2=-(k/L)./(-1+((x.ˆ2)./6)-((x.ˆ4)./120)); %Primeira derivada ...
=0, expressada com F em função de Fi, k e L
60
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
%Terceira janela de plotagem
%Gráficos comparativos entre as soluções exata e aproximada para FLK ...
x Fi e
%F x Fi (para valores numéricos de L e k)
figure(3)
subplot(1,2,1)
hold on
plot(x,y),axis on, grid on, xlim([-fi fi]), ylim([0 fix(2*k/L)]), ...
title('Solução exata vs. Fundamental (FLK vs Fi)'), ylabel('FLK ...
[adimensionalizado]'), xlabel('Ângulo Fi [rad]')
plot(x2,y2)
plot(x,ytaylor)
legend('Pós-crı́tico - Exata','Fundamental - Exata e Aproximada', ...
'Pós-Critico - Aproximada')
hold off
74
75
76
77
78
79
80
81
subplot(1,2,2)
hold on
plot(x,(k/L).*y),axis on, grid on, xlim([-fi fi]), ylim([0 ...
fix(2*(k/L))]), title(['Solução exata vs. Fundamental (F vs Fi) ...
p/ k=' num2str(k) ' , L=' num2str(L)]), ylabel('F [N]'), ...
xlabel('Ângulo Fi [rad]')
plot(x2,y2)
plot(x,ytaylor2)
legend('Pós-crı́tico - Exata','Fundamental - Exata e Aproximada', ...
'Pós-Critico - Aproximada')
hold off
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
%Quarta janela de plotagem
%Gráficos comparativos entre as soluções exata e aproximada para Segunda
%derivada x Fi e E pot x Fi
figure(4)
subplot(1,2,1)
hold on
for F=[5];
y3=k-(F.*L.*cos(x));
ytaylor3=k+((F*L).*(-1+((x.ˆ2)/2)-((x.ˆ4)/24)));
plot(x,y3),axis on, grid on, xlim([-fi fi]), ylim([min(y3) max(y3)]), ...
title(['Gráfico da Derivada segunda vs Fi p/ F=' num2str(F)]), ...
ylabel('Valor da derivada'), xlabel('Ângulo Fi [rad]')
plot(x,ytaylor3)
end
Análise não-linear de sistema mecânico com bifurcação simétrica estável
legend('Exata','Aproximada')
line([0 0], ylim, 'Color','black', 'LineStyle', '--');
97 line(xlim, [0 0], 'Color','black', 'LineStyle', '--');
98 hold off
95
96
%x-axis
%y-axis
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
subplot(1,2,2)
hold on
for F=[5];
pot=((k.*(x.ˆ2))./2)+(F.*L.*(cos(x)-1));
potaylor=(k.*(x.ˆ2)./2)+((F*L).*(((-x.ˆ2)/2)+((x.ˆ4)/24)-((x.ˆ6)/720)));
plot(x,pot),axis on, grid on, xlim([-fi fi]), ylim([min(y3) ...
max(y3)]), title(['Gráfico E p vs Fi p/ F=' num2str(F)]), ...
ylabel('Energia Potencial do sistema'), xlabel('Ângulo Fi [rad]')
plot(x,potaylor)
end
legend('Exata','Aproximada')
line([0 0], ylim, 'Color','black', 'LineStyle', '--'); %x-axis
line(xlim, [0 0], 'Color','black', 'LineStyle', '--'); %y-axis
hold off
113
114
% FIM DO PROGRAMA
8
Análise não-linear de sistema mecânico com bifurcação simétrica estável
9
Referências
Ferreira, Walnório G. et al, Introdução à Teoria da Estabilidade Elástica, 2. ed., Vitória,
ES. LBF:2017