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Alguns Exemplos de Mapeamento Conforme Antonio Carlos Siqueira de Lima

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Alguns Exemplos de Mapeamento Conforme
Antonio Carlos Siqueira de Lima
Abril de 2017
Resumo
O objetivo desse documento é apresentar alguns exemplos de como obter o mapeamento
conforme de alguns funções elementares com o intuito de ajudar no detalhamento da solução
de campos bi-dimensionais em problemas de campos estáticos e/ou estacionários no eletromagnetismo.
O código usado para o mapeamento conforme também é apresentado.
1
Introdução
A idéia principal do mapeamento conforme consiste em transformar um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) em outro sistema de coordenadas (u, v) definido a partir da transformação
W = u + jv = f (z)
(1)
sendo f uma função analı́tica da variável complexa z = u(x, y) + jv(x, y), sendo tanto u quanto
v funções ou valores reais.
Para que a função seja analı́tica é necessário que a mesma seja diferenciável, i.e., a derivada
existe, logo
dW
6= ∞
dz
(2)
além de ser única para um tanto ponto no plano z, i.e., as derivadas à esquerda e à direita devem
ser as mesmas. Para uma variação ao longo do eixo x,
dW
∂W
∂
∂u
∂v
=
=
(u + jv) =
+j
dz
∂x
∂x
∂x
∂x
(3)
caso a mudança ocorra na direção y
dW
∂W
∂
∂v
∂u
=
=
(u + jv) =
−j
dz
∂y
∂y
∂y
∂y
(4)
para que as derivadas acima existam é necessário que os números complexos apresentados em (4)
e (3) sejam iguais, o que só é possı́vel se as partes reais e imaginárias forem iguais. Logo
∂u
∂v
=
∂x
∂y
∂v
∂u
=−
∂x
∂y
(5)
As condições em (5) são conhecidas como condições de Cauchy-Rieman e são condições necessárias e suficientes para que dW/dz seja único num dado ponto e que a função f (z) seja
analı́tica.
1
2
Algumas propriedades das funções analı́ticas de variáveis complexas
Uma das aplicações mais interessantes do mapeamento conforme é para a solução da equação
de Laplace, por exemplo diferenciando-se a primeira das equação em (5) em relação a x obtemos
∂2u
∂ ∂v
∂ ∂u
∂2u
∂2u ∂2u
−
+
+ 2
=
=
∂x2 ∂x ∂y
∂x2 ∂y ∂y
∂x2
∂y
(6)
Repetindo-se o mesmo procedimento para a segunda equação em (5), obtemos
∂2v
∂2v
+ 2
2
∂x
∂y
2.1
(7)
Exemplos de Mapeamento Conforme
Apresenta-se a seguir alguns exemplos de aplicação do mapeamento conforme. O código
para a obtenção dos gráficos é mostrado abaixo
ConformalMap[fz_, z, {xmin_, xmax_}, {ymin_, ymax_},
PlotPoints -> {nx_, ny_}] :=
Module[{func, Xi], pary, parx, paru, parv, Rho], Rho1, uMin, uMax,
vMin, vMax, imagez, imagew, font, g,
coloredParx, coloredPary, coloredParu, coloredParv},
(* the function *)
func[Xi_] = N[fz /. z -> Xi];
(* the z-values *)
pary = Table[N[{x, y}], {x, xmin, xmax, (xmax - xmin)/(nx - 1)},
{y, ymin, ymax, (ymax - ymin)/(ny - 1)}];
parx = Transpose[pary];
(* the w-values *)
{parv, paru} = {#, Transpose[#]}&[N[Map[{Re[#], Im[#]}&,
Map[func[#[[1]] + I #[[2]]]&, pary, {2}], {2}]]];
(* the biggest and smallest values to get all in the picture *)
Rho = {xmax - xmin, ymax - ymin};
{{uMin, uMax}, {vMin, vMax}} =
{Min[#], Max[#]}& /@ Transpose[Flatten[parv, 1]];
Rho1 = {uMax - uMin, vMax - vMin};
(* color the whole grid *)
{coloredPary, coloredParx, coloredParv, coloredParu} =
Apply[Function[{dom, par, ScriptR},
Map[{Thickness[0.014], RGBColor @@
Append[((Plus @@ #)/2 - dom)/2/ScriptR, 0],
(* the grid *)
Line[#]}&, Partition[#, 2, 1]& /@ par, {2}]],
{{{xmin, ymin}, pary, Rho }, {{xmin, ymin}, parx, Rho},
{{uMin, vMin}, parv, Rho1}, {{uMin, vMin}, paru, Rho1}}, {1}];
(* function for graphic of z-, w-plane *)
g[pics_, label_, axes_, origin_] :=
Graphics[pics, AspectRatio -> 1, PlotRange -> All, AxesLabel -> axes,
PlotLabel -> StyleForm[label, FontFamily -> "Helvetica",
FontWeight -> "Bold", FontSize -> 10],
Axes -> True, AxesOrigin -> (* slightly more *)origin,
TextStyle -> {FontFamily -> "Courier", FontSize -> 8}];
{imagez, imagew} =
2
{(* the z-plane picture *)
g[{coloredPary, coloredParx}, "z-plane", {"x", " i y"},
{xmin - (xmax - xmin)/10, ymin - (ymax - ymin)/10}],
(* the w-plane picture *)
g[{coloredParv, coloredParu}, "w-plane", {"u", " i v"},
{uMin - (uMax - uMin)/10, vMin - (vMax - vMin)/10}]};
(* show both pictures *)
Show[GraphicsGrid[{{imagez, imagew}}],
PlotLabel -> StyleForm["w[z] = " <> ToString[InputForm[fz]],
FontFamily -> "Courier", FontSize -> 10]]];
�[�] = ���
�[�] = ���
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(a) z 2
���
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���
���
���
�
���
(b) exp(z)
�[�] = ���[�]
�[�] = (-� + �)/(� + �)
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�
(d) z−1
z+1
(c) sin(z)
�[�] = ���[(� + �)/(-� + �)]
�-�����
�[�] = (� + ���)/(-� + ���)
�-�����
� �
���
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(f ) coth z2
log(z+1)
(e) log(z−1)
Figura 1: Alguns exemplos de mapeamento conforme obtidos usando-se a Wolfram Language
3
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