Условие (переформулировано для треугольника △IA IB IC )
P - точка на окружности девяти точек треугольника △ABC, а H его ортоцентр. AD, BE, CF - высоты треугольника △ABC. Окружности ⊙(AHP )
и ⊙(BCP ) повторно пересекаются
в точке Q. Пусть Φ иверсия с центром
√
в точке D и радиусом DE ∗ DF + симметрия относительно AD. Тогда
Φ(P ), P, Q - лежат на одной прямой.
Решение:
Лемма: В треугольнике △ABC AD - высота, а H ортоцентр. Точка P любая точка на окружности девяти точек треугольника △ABC. Точка P ′ антигонально сопряжена в треугольнике △ABC. Точка P1 симметрична точке
P относительно AD. Тогда ̸ (HP, DP1 ) = ̸ P P ′ H.
Доказательство: Пусть DP1 и HP пересекаются в точке T , а точка K симметрина точке T относительно AD. Тогда достачно доказать, что K, P, H, P ′
лежат на одной окружности. Пусть M и N середины P P ′ и AH соответственно, а P2 отражение точки P относительно N . Тогда A, P2 , P ′ , H лежат
на одной окружности. => ̸ P ′ HK = ̸ AHK + ̸ AHP ′ = ̸ HP ′ P2 − ̸ M P D+
̸ P HD = ̸ P2 AH + ̸ P HD − ̸ M P D = ̸ P ′ P K. Что и требовалось. (сохраним обозначения)
Вернёмся к задаче
Заметим, что Φ(P ) и Q антигонально сопряжены в треугольнике △ABC
(обратите внимания на окружности), аналогично Φ(Q) = P ′ . При этом
по Лемме ̸ DT P = ̸ P P ′ H, а в силу инверсии Φ ̸ DP T = ̸ HAΦ(P ) =
̸ HP ′ Φ(P ) => ̸ P P ′ Φ(P ) + ̸ P DΦ(P ) = 180◦ => P, P ′ , D, Φ(P ) лежат на
одной окружности, но это с точностью до инверсии Φ утверждение задачи.
1
2