Задание 2.1
3
Построить конечно-разностную аппроксимацию частной производной
∂ f
3 в точке (j,k), ис∂x
пользуя значения в точках:
(j,k)
(j+1,k)
(j+2,k)
(j+3,k)
(j+4,k)
Разложим соответствующие функции в ряд Тейлора в точке (j, k):
2
3
4
∂u
1∂ u
1 ∂ u
2 1 ∂ u
3
4
5
u j+1, k =u j , k +
Δ x+
Δx +
Δx +
Δ x +O ( Δ x )
2
3
4
∂x
2 ∂x
6 ∂x
24 ∂ x
2
3
4
u j+2, k =u j, k +2
∂u
1∂ u
1∂ u
1 ∂ u
2
3
4
5
Δ x+ 4
Δ x +8
Δ x +16
Δ x +O ( Δ x )
∂x
2 ∂ x2
6 ∂ x3
24 ∂ x 4
u j+3, k =u j ,k +3
∂u
1∂ u
1∂ u
1 ∂ u
2
3
4
5
Δ x +9
Δ x +27
Δ x +81
Δ x +O ( Δ x )
2
3
4
∂x
2 ∂x
6 ∂x
24 ∂ x
2
3
2
4
3
4
∂u
1∂ u
1∂ u
1 ∂ u
2
3
4
5
Δ x+16
Δ x +64
Δ x +256
Δ x +O ( Δ x )
u j+4 ,k =u j , k +4
2
3
4
∂x
2 ∂x
6 ∂x
24 ∂ x
Домножим соответственно на коэффициенты a , b , c , d и просуммируем все разложения.
Получаем СЛАУ:
(
) ()()
1 2 3
4
a
0
1 4 9 16
b
0
×
=
1 8 27 64
c
1
1 16 81 256
d
0
Решение:
`ˆÌi`ÊÜˆÌ ÊÌ iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊÌ ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ° ̓
()
1,5
−2
7
6
−3
12
Тогда получаем:
(
)
3
7
3
7 3
∂ u
1,5 u j +1 − 2 u j+2+ u j+3 − u j+4 = 1,5 − 2+ −
uj+
Δ x 3 +O ( Δ x 5 )
6
12
6 12
∂x
Далее:
7
3
5
1,5u j+1 − 2 u j+2 + u j+3 − u j+4 − u j
6
12
12
∂3 u
2
=
+O ( Δ x )
3
∂
x
Δx
И окончательно:
18 u j +1 − 24u j +2 +14 u j+3 −3 u j +4 −5 u j
12 Δ x
3
=
∂3 u
2
+O ( Δ x )
∂x
Полученная погрешность соответствует требуемой O ( Δ x 2 )
Задание 2.2
Построить конечно-разностную аппроксимацию частной производной
∂u
в точке (j,k),
∂x
используя значения в точках:
(j+1,k)
(j+2,k)
(j-1,k)
(j-2,k)
Разложим соответствующие функции в ряд Тейлора в точке (j, k):
`ˆÌi`ÊÜˆÌ ÊÌ iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊÌ ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ° ̓
u j+1, k =u j , k +
2
3
4
∂u
1∂ u
1 ∂ u
2 1 ∂ u
3
4
5
Δ x+
Δx +
Δx +
Δ x +O ( Δ x )
2
3
4
∂x
2 ∂x
6 ∂x
24 ∂ x
u j+2, k =u j, k +2
u j −1 ,k =u j ,k −
2
3
4
∂u
1∂ u
1∂ u
1 ∂ u
2
3
4
5
Δ x+ 4
Δ x +8
Δ x +16
Δ x +O ( Δ x )
2
3
∂x
2 ∂x
6 ∂x
24 ∂ x 4
2
3
4
∂u
1∂ u
1∂ u
1 ∂ u
Δ x+
Δ x2+
Δ x 3−
Δ x 4 +O ( Δ x 5 )
2
3
4
∂x
2 ∂x
6 ∂x
24 ∂ x
u j −2 ,k =u j ,k − 2
2
3
4
∂u
1∂ u
1∂ u
1 ∂ u
Δ x+ 4
Δ x 2 +8
Δ x 3−16
Δ x 4 +O ( Δ x 5 )
2
3
4
∂x
2 ∂x
6 ∂x
24 ∂ x
Домножим соответственно на коэффициенты a , b ,c , d и просуммируем все разложения.
Получаем СЛАУ:
(
) ()()
1 2 −1 2
a
1
1 4
1
4
b
0
×
=
1 8 −1 −8
c
0
1 16 1 16
d
0
Решение:
()
8
1
−1
×
−8 12
1
Тогда получаем:
8 u j+1 − u j+2 −8 u j −1 +u j −2=12
∂u
5
Δ x +O ( Δ x )
∂x
И окончательно:
8u j+1 − u j+2 −8 u j −1 +u j −2 ∂ u
4
= +O ( Δ x )
12 Δ x
∂x
Полученная погрешность соответствует требуемой O ( Δ x 2 )
`ˆÌi`ÊÜˆÌ ÊÌ iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ
/œÊÀ “
i œÛiÊÌ ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ° ̓