X=(-3;5).
Вычислим значение функции в начальной точке f(X) = 168.
В качестве направления поиска выберем вектор градиент в текущей точке:
8x1-4x2+1
▽ f(X) =
-4x1+6x2
Значение градиента в точке X:
-43
▽ f(X) =
42
Проверим критерий остановки:
|▽f(X)| < ε
Имеем:
Сделаем шаг вдоль направления антиградиента.
-3
- λ1
X1 = X - λ1▽ f(X) =
43.0λ1-3.0
-43
5
=
42
-42.0λ1+5.0
Вычислим значение функции в новой точке.
f(X1) = 4*(43.0*λ1-3.0)2+3*(-42.0*λ1+5.0)2-4*(43.0*λ1-3.0)*(-42.0*λ1+5.0)+(43.0*λ1-3.0)
Найдем такой шаг, чтобы целевая функция достигала минимума вдоль этого направления. Из
необходимого условия существования экстремума функции (f'(X)=0):
39824.0*λ1-3613.0 = 0
Получим шаг: λ1 = 0.09072
Выполнение этого шага приведет в точку:
-3
X1 =
-43
- 0.09072
5
0.9011
=
42
1.1896
№2.
X1=(0.9011;1.1896).
Вычислим значение функции в точке f(X1) = 4.107.
Значение градиента в точке X1:
3.4508
▽ f(X1) =
3.5329
Проверим критерий остановки:
|▽f(X1)| < ε
Имеем:
|▽f(X1)| = 4.939>0.5
Сделаем шаг вдоль направления антиградиента.
X2 = X1 - λ2▽ f(X1) = 0.9011 - λ2 3.4508 = -3.4508λ2+0.90114
1.1896
3.5329
-3.5329λ2+1.1896
Вычислим значение функции в новой точке.
f(X2) = 4*(-3.4508*λ2+0.90114)2+3*(-3.5329*λ2+1.1896)2-4*(-3.4508*λ2+0.90114)*(3.5329*λ2+1.1896)+(-3.4508*λ2+0.90114)
Найдем такой шаг, чтобы целевая функция достигала минимума вдоль этого направления. Из
необходимого условия существования экстремума функции (f'(X)=0):
72.622*λ2-24.39 = 0
Получим шаг: λ2 = 0.3358
Выполнение этого шага приведет в точку:
0.9011
X2 =
3.4508
- 0.3358
1.1896
-0.2578
=
3.5329
0.00308
№3.
X2=(-0.2578;0.00308).
Вычислим значение функции в точке f(X2) = 0.0112.
Значение градиента в точке X2:
-1.0746
▽ f(X2) =
1.0496
Проверим критерий остановки:
|▽f(X2)| < ε
Имеем:
|▽f(X2)| = 1.502>0.5
Сделаем шаг вдоль направления антиградиента.
-0.2578
- λ3
X3 = X2 - λ3▽ f(X2) =
1.0746λ3-0.25778
-1.0746
0.00308
=
1.0496
-1.0496λ3+0.0030768
Вычислим значение функции в новой точке.
f(X3) = 4*(1.0746*λ3-0.25778)2+3*(-1.0496*λ3+0.0030768)2-4*(1.0746*λ3-0.25778)*(1.0496*λ3+0.0030768)+(1.0746*λ3-0.25778)
Найдем такой шаг, чтобы целевая функция достигала минимума вдоль этого направления. Из
необходимого условия существования экстремума функции (f'(X)=0):
24.871*λ3-2.2564 = 0
Получим шаг: λ3 = 0.09072
Выполнение этого шага приведет в точку:
-0.2578
X3 =
-1.0746
- 0.09072
0.00308
-0.1603
=
1.0496
-0.09215