Дополнительное задание по теме «Производная»
1. Найдите значение производной в заданной точке x0:
а) 𝑓(𝑥) =
𝑥 3 −27
𝑥 2 +3𝑥+9
, x0 = 2008 ;
1
б) 𝑓(𝑥) = 𝑒 3𝑥−1 , 𝑥0 = ;
3
в) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑡𝑔𝑥, 𝑥0 = −𝜋.
2. Укажите число целых решений неравенства f ( x )  0 , если f ( x ) =
x 5 16 3
− x .
5
3
3. Составьте уравнение касательной к графику функции 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 6𝑥 − 7
параллельной прямой 𝑦 = 4𝑥 + 5.
4. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции
𝜋
у = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 3𝑐𝑡𝑔𝑥 в его точке с абсциссой .
3
5. В каких точках касательная к графику функции 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 6𝑥 2 − 7
параллельна оси Ox?
6. Тело движется по закону 𝑠(𝑡) = 4𝑡 4 – 10𝑡 3 – 𝑡 2 + 11 (t – в секундах, s – в метрах).
Найти скорость движения тела через 2 секунды после начала движения.
7. Точка движется по закону 𝑠(𝑡) = 3𝑡 4 − 8𝑡 3 + 2𝑡 − 3. В какой момент времени
ускорение точки будет равно 48?
8. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 𝑓(𝑥) = 15𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5
𝜋
на отрезке [− ; 0].
2
9. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3 𝑙𝑛 𝑥.
10. Число 72 представьте в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы два
из них были равны между собой, а сумма квадратов этих трех чисел была
наименьшей.