Estadística Técnica 2022
Estimación
1. Se desea estimar la media µ de una población normal N(µ,1), basándose en
dos observaciones. Para eso se proponen tres estimadores:
ˆ1 =
4 X1 + X 2
3X1 + X 2
X + X2
; ˆ 2 =
; ˆ 3 = 1
5
6
2
Analizar el sesgo y la varianza de cada estimador, y sus errores cuadráticos
medios ¿Cuál elegiría?
2. Para medir la concentración de cobre en una muestra metálica se tienen dos
métodos de medición, ambos insesgados pero con distintos niveles de precisión.
Si la verdadera concentración es c, el primer método arroja un resultado X con
distribución N(c, 1) y el segundo arroja un resultado Y con distribución N(c, 3).
Se desea estimar c con un estimador lineal basado en X e Y:
𝑐̂ = 𝑎 𝑋 + 𝑏 𝑌
a) ¿Cómo deberán elegirse las constantes a, b para que el estimador resulte
insesgado?
b) ¿Cuál es la elección de a, b que minimiza el error cuadrático medio del
estimador?
3. Se desea estimar la proporción desconocida p de piezas defectuosas en un
proceso. Para eso se toma una muestra de m = 50 piezas de la producción del
día de ayer y se inspecciona el número de defectuosas X. Luego se toma una
muestra de n = 150 piezas de la producción del día de hoy y se inspecciona el
número de defectuosas Y. Calcular los ECM de los siguientes estimadores de
p:
X /m +Y /n
pˆ 1 =
;
2
X +Y
pˆ 2 =
m+n
¿Cuál de los dos es preferible?
4. Estimar por el método de máxima verosimilitud:
a) Los parámetros y de una distribución normal
b) El parámetro p de una distribución Bi(n; p).
d) La media, la varianza y el desvío estándar de una distribución de Poisson.
e) El parámetro , la media y la varianza de una distribución exponencial.
5. Dada una serie de v.a. con distribución 𝑓(𝑥) = 𝛼 ∙ 𝑥 𝛼−1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
Estimar el valor de α usando el método de máxima verosimilitud.
6. En cierta localidad, el tiempo de duración (en horas) de una lluvia puede
modelarse con una distribución exponencial de parámetro λ. Durante 24 días en
los cuales llovió, se encontró que en 10 de ellos la duración de la lluvia fue mayor
a 2 horas. Calcular el estimador de máxima verosimilitud para λ.
7. Los arribos de automóviles a un estacionamiento se supone que, en cierta
parte del día, ocurren como un proceso de Poisson de parámetro l= 0,2 por
minuto. A su vez, cada automóvil que arriba puede pedir (de manera
independiente) estadía o no con una probabilidad p.
Durante 7 días se observó durante un período de una hora, cuántos autos
pidieron estadía observándose los siguientes números: 1; 1; 3; 7; 3; 4; 5:
Estimar por máxima verosimilitud la probabilidad p.
8. Una empresa produce envases de vidrio. Sea p la probabilidad de que un
envase presente fallas. Suponiendo que la presencia de fallas es independiente
para cada uno de los envases, calcular el estimador de máxima verosimilitud
en las siguientes dos situaciones:
-de 700 envases inspeccionados, 8 resultaron presentar fallas.
-se inspeccionó de a un envase hasta obtener uno que presente fallas,
resultando el número 71 el primero en presentar fallas.
9. Se realizó una muestra de tamaño 10 de valores de una variable aleatoria
que se supone tiene distribución normal de media µ y desvío estándar s.
Estime en forma puntual estos dos parámetros si los valores medidos fueron:
13.75, 11.10, 9.54, 9.05, 11.32, 11.33, 9.21, 12.05,
9.09, 12.16.