Universidad de los Andes
Departamento de Ingeniería Industrial
Probabilidad y Estadística I (IIND2106)
Profesor Coordinador: Mario Castillo
Profesores: Mario Castillo, Gonzalo Torres, Daniela Ortiz, Diana Lozano, Natalia Pacheco,
Nicolás Mejía, Carlos Castellanos y Santiago Castro
Segundo semestre de 2022
BANCO DE PROBLEMAS – SESIÓN 11
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ESTIMACIÓN PUNTUAL
Punto 1
La Decanatura de Estudiantes de la Universidad de los Andes realizó una encuesta a
estudiantes de Ingeniería sobre su dedicación semanal a actividades deportivas. La encuesta
fue realizada a 500 estudiantes, donde se obtuvo los resultados que se encuentran disponibles
en el archivo “Encuesta Deportiva.xlsx”.
La base de datos suministrada cuenta con las siguientes variables:
•
Sexo: Indica si el estudiante es hombre o mujer.
•
Ingeniería: Corresponde a la ingeniería a la que pertenece el estudiante.
•
Deporte: Hace referencia al deporte que practica el estudiante.
•
Dedicación Semanal (horas): Cantidad de horas semanales que dedica el estudiante
a realizar actividad física.
Haciendo uso de la información presentada en el archivo, dé solución a los siguientes literales:
a) Construya un histograma de frecuencias para las horas dedicadas semanalmente a la
práctica de alguna actividad física. Muestre la tabla de frecuencias asociada. ¿Qué se
puede inferir del resultado obtenido?
b) Realice un diagrama de caja para cada una de las ingenierías que represente la dedicación
semanal en horas de los estudiantes en la práctica de actividad física. Interprete su
resultado.
c) Realice un resumen de las principales estadísticas descriptivas correspondientes a la
variable Dedicación semanal. Interprete los resultados obtenidos.
Punto 2
Se tiene una muestra aleatoria 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 de tamaño 𝑛, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 (𝑛 > 2) de una población con
media 𝜇 y varianza 𝜎 2 . Se tienen los siguientes 2 estimadores para la media poblacional:
𝜇
̂1 = 𝑋̅
𝜇
̂2 =
6𝑋1 + 24𝑋2 + ⋯ + 6𝑛2 𝑋𝑛
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
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Departamento de Ingeniería Industrial
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Profesor Coordinador: Mario Castillo
Profesores: Mario Castillo, Gonzalo Torres, Daniela Ortiz, Diana Lozano, Natalia Pacheco,
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Segundo semestre de 2022
Responda los siguientes literales. Para ello, tenga en cuenta que:
𝑛
∑ 𝑖2 =
𝑖=1
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
a) Calcule el sesgo de los 2 estimadores. Especifique si son o no insesgados.
b) Calcule el Error Cuadrático Medio (EMC) de los 2 estimadores.
Ayuda: ∑𝑛𝑖=1 𝑖 4 =
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)(3𝑛2 +3𝑛−1)
30
c) Para cada uno de los estimadores, determine si son consistentes.
d) ¿Cuál de los 2 estimadores presentados elegiría usted? Justifique su respuesta.
Punto 3
El tiempo en minutos que se demora un médico en su consultorio privado en atender a un
paciente, se puede modelar como una variable aleatoria 𝑋 con función de densidad de
probabilidad:
−
𝑥
𝑥 2𝑒 𝛽
(𝑥,
𝑓𝑋 𝛽) = {
2𝛽 3
0
𝑥 > 0, 𝛽 > 0
𝑑. 𝑙. 𝑐
Con valor esperado y varianza:
𝐸[𝑋] = 3𝛽
𝑉𝐴𝑅[𝑋] = 3𝛽 2
Con base en la información anterior y teniendo en cuenta que se toma una muestra aleatoria
independiente de tamaño 𝑛, resuelva los siguientes literales:
a) Encuentre el Estimador de Máxima Verosimilitud del parámetro 𝛽.
Una empresa consultora ha propuesto el siguiente estimador para el parámetro 𝛽:
𝛽̂ =
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 5
+
3𝑛
𝑛
b) Encuentre el mejor estimador entre 𝛽̂ y 𝛽̂𝑀𝑣 . Para esto calcule el sesgo, la consistencia y
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el error cuadrático medio de cada estimador.
Se tomó una muestra aleatoria de tamaño 10, obteniendo los siguientes resultados:
n
𝒙𝒊
1
7,747
2
18,33
3
9,457
4
15,492
5
6,93
6
17,79
7
8,535
8
12,519
9
11,722
10
12,794
c) ¿Cuál sería el valor puntual del estimador 𝛽̂ y del estimador encontrado por Máxima
Verosimilitud (𝛽̂𝑀𝑣 )?