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Para resolver el problema de encontrar el estimador insesgado y de mínima varianza para el parámetro λ, a partir
de una muestra aleatoria X = (X1, X2, . . . , Xn) de observaciones de X, se requiere aplicar dos resultados de
probabilidad. Primero, se debe obtener la distribución de U = 1 / W, donde W ~ Gama(α, β) . Segundo, se debe
encontrar la distribución de Y=∑Xᵢ, donde Xi ~ exp(λ) son variables aleatorias independientes .
El estadístico suficiente y completo para la distribución exponencial es T(X) = ∑Xᵢ . Este estadístico también es
insesgado y se demuestra que es completo .
El estimador del parámetro λ usando el método de máxima verosimilitud es λ̂ = 1/̅X, donde ̅X es la media muestral
.
El estimador máximo verosímil de λ no es insesgado. Para obtener un estimador insesgado, se puede utilizar el
estimador λ̂’ = (n-1)/n * λ̂ .
El estimador insesgado propuesto no es el mejor estimador. La varianza del estimador insesgado λ̂’ es Var(λ̂’) = (n1)/n² * λ² .
La Cota Inferior de Cramer-Rao (CICR) para estimadores insesgados de λ es 1/nI(λ), donde I(λ) es la información
de Fisher .
La varianza del estimador insesgado λ̂’ es mayor que la Cota Inferior de Cramer-Rao (CICR), lo que indica que el
estimador no alcanza la eficiencia límite .
En conclusión, se puede encontrar un estimador insesgado y de mínima varianza para el parámetro λ utilizando el
método de máxima verosimilitud y ajustando el estimador máximo verosímil. Sin embargo, este estimador no
alcanza la eficiencia límite establecida por la Cota Inferior de Cramer-Rao.