Análise de Sistemas Lineares por Transformada de Laplace
Pierre Simon Laplace – Matemático e Político Francês, nasceu
no dia 23 de março de 1749 na cidade de Beaumont-En-Auge,
faleceu no dia 5 de março de 1827 na cidade de Arcubil.
1767 – foi indicado por D’Alembert para ser professor de
Cálculo na Escola Militar de Paris;
Mecânica Celeste - conexão entre a Física e a Matemática
apresentando um poderoso método para resolução de Equações
Diferenciais– (obra em 5 volumes sendo o 5º vol. Publicado em
1823).
“Transformada de Laplace”
“Se tivéssemos de definir com uma frase o profissional de exatas, poderíamos, com
certa generalidade, rotulá-lo como aquele que resolve EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.”
(Aguinaldo Prandini Riciere)
“As equações diferenciais representam uma série de fenômenos tais como”:

O crescimento de culturas de bactérias;

Competitividade entre as espécies de um ecossistema,

Escoamento de fluidos em dutos,

O movimento dos planetas em torno do sol,

Trajetória de projeteis,

A formação do granizo na atmosfera,

Circulação sangüínea,

Movimento angular de ciclones,

Fenômenos de difusão,

Previsão de baixas em batalhas,

Jogos de guerra,

O formato de um ovo,

Mecanismos de transferência de calor,

A maré dos oceanos,

Ondas de choque,

A mudança diária da temperatura do vento,

Problemas de servos-mecanismos,

Evolução de uma epidemia devido a vírus,

Realimentação de sistemas, etc.
Francisco A. Lotufo
Podemos dizer que estas equações armazenam informações de tudo aquilo que
podemos abordar através da linguagem matemática.
A TRANSFORMADA DE LAPLACE serve, entre outras coisas, para resolver
este tipo de equação, proporcionando aos estudiosos maior clareza e abrangência na
interpretação do mundo no qual vivemos.
Sabemos que resolver uma equação significa encontrarmos a variável que satisfaz
uma igualdade. Esta variável, chamada incógnita, pode ser representada por: um
número, um vetor, uma função ou um objeto matemático qualquer.
Quando temos uma equação Caso a equação seja vetorial, a Tratando-se de uma equação
algébrica, a variável será um solução será representada por diferencial a variável procurada
número:
um vetor:
será uma função:
Existem diversas técnicas que nos permitem encontrar as soluções dos vários tipos
de equações. Laplace criou um método muito curioso e de uma beleza inigualável que o
conduziu às soluções de várias equações diferenciais ordinárias. Este método, simples e
elegante, foi desenvolvido do seguinte modo:
Consideremos a equação diferencial abaixo:
f ' ( x)  f ( x)  e 2 x
f (0)  1
LÊ-SE: “A derivada de certa função f(x) subtraída desta própria função, dá o resultado
e2x”.
PERGUNTA-SE: Qual será esta função f(x)?
RESPOSTA: A função procurada, ou seja, a função que satisfaz a equação acima é:
f ( x)  e 2 x  2e x
Esta solução foi encontrada pelo criativo Marquês de Laplace.
Francisco A. Lotufo
2
Definição de Transformada de Laplace
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática das mais eficazes para
análise, ajuste e controle de sistemas lineares.
As transformadas de Laplace são definidas no domínio de uma variável complexa s
dada por:
s    j
(1)
A transformada de Laplace de uma função f t  é definida como se segue:
F ( s)  L  f (t )    f (t )e  st dt

(2)
0
O expoente st deve ser adimensional. Assim, quando a variável independente t for
tempo, a dimensão de s deve ser o inverso do tempo, isto é, freqüência. Neste caso, por ser
uma variável complexa, s é freqüentemente denominada “freqüência complexa”.
  ou
SI (ou MKS) : a dimensão de s s
1
rad / s
 

Na equação (2), o limite inferior da integral é considerado igual a 0 , de modo que a
integral abranja eventuais componentes impulsivas de f t  que ocorram em t  0 .
Existência da transformada de Laplace
Para que a transformada de Laplace exista, é necessário que a função seja de
ordem exponencial, de acordo com:
Definição: Uma função f t  será de “ordem exponencial”
M  0 e  tais que:
 se existirem constantes reais
f t   Me t , para todo t  T .
(3)
Quando se considera t   , (ao invés de t  T ), dizemos simplesmente que f (t ) é
de ordem exponencial.
A característica principal das funções de ordem exponencial é de não poder crescer em
t
valor absoluto, mais rapidamente que Me .
Na prática, isto não representa restrição, pois M e  podem ser escolhidos tão
grandes quanto se queira.
Quando a transformada de Laplace de uma função existe, então a integral:

0

e  st f t dt
(4)
Converge para algum valor finito. Para que isso aconteça, a seguinte condição deve ser
satisfeita:
lim e  st f t   0
t 
Francisco A. Lotufo
(5)
3
Transformada de Laplace de algumas funções simples
a- Constante: Seja K uma constante qualquer, então:

L[ K ]    k .e
 st
0
e  st
.dt   K
s


0
K
s
donde:
L[ K ] 
0
u 1 t   
1
K
s
(6)
degrau unitário
L[u 1 (t )] 
1
s
(7)
b- Exponencial decrescente: Seja  um número real positivo, então:
L[e
t

]e
t  st
0
e

dt    e
 ( s  ) t
0
e ( s  )t
dt  
s 

 L[e t ] 
0
1
s 
(8)
c- Co-seno: Seja uma onda co-senoidal de amplitude unitária e freqüência  [rad / s] .
Evidentemente  é real e positivo. A transformada de Laplace (TL) dessa função de acordo
com a definição é:

L[cost ]    cos(t ).e  st dt
(9)
0
e jt  cost  jsent e e  jt  cost  jsent
Sabe-se que
e jt  e  jt
cost  
2
então a equação (9) torna-se
 e jt  e  jt
L[cost ]    
0
2

  st
1
e dt  L[e jt ]  L[e  jt ]
2



L[e jt ] 
1
s  j
e
L[e  jt ] 
1
s  j

(10)
(11)
Substituindo da equação (11) em (10), temos:
L[cost ] 
Francisco A. Lotufo
s
s2   2
(12)
4
Transformadas de Laplace
Domínio “s”
Domínio do Tempo
Propriedades fundamentais
Tabela de Propriedades da Transformada de Laplace
Nome da Propriedade
Ilustração
Definição
Linearidade
1º Derivada
2º Derivada
nth Derivada
Integração
Multiplicação por
tempo
Deslocamento no tempo
Francisco A. Lotufo
5
Deslocamento na
freqüência
Teorema do Valor
Inicial
Teorema do Valor Final
Transformada inversa de Laplace
O processo de se obter uma função no tempo a partir de uma transformada de Laplace
é denominado transformação inversa.
f t  é a transformada inversa de F s  , matematicamente, f t  é obtida a partir de F s 
através da seguinte expressão:
L1[ F ( s)]  f t  
c  jd
1 c  j
1
F s e st ds 
lim 
F s e st ds

2j c  j
2 j d  c  jd
para t  0 (1)
Onde c é escolhido de modo que todos os pontos singulares de F s  estejam localizados à
esquerda da reta Res   c no plano complexo s , como:
j = Im(s)
Região admissível
para os pontos
singulares de F(s)
c
=Re(s)
A expressão da transformada inversa é de uso complicado, e por isto é pouco
utilizada na prática.
O procedimento normal é, para expressões simples de F s  , buscar a expressão da
transformada inversa em tabelas. Para transformadas mais complicadas, procura-se
desmembrar F s  numa soma ponderada (combinação linear) de expressões mais simples:
N
F s    Ak  Fk s   A1  F1 s   A2  F2 s   ...  AN  FN s 
(2)
k 1
onde A1, A2 ,...AN são constantes. Devido à propriedade da linearidade das TL’s a
transformada inversa será dada pela mesma soma ponderada das transformadas inversas
de cada parcela, ou seja:
N
f t    Ak  f k t   A1  f1 t   A2  f 2 t   ...  AN  f N t 
(3)
k 1
Este procedimento é o mais utilizado na obtenção de transformadas inversas,
especialmente quando as transformadas são funções racionais.
Francisco A. Lotufo
6
Aplicações
Exemplo 1:
L
e
t
)
i(
1
 di


L

Ri
t

 it dt  ei t 
 dt
C


 1
 C  it dt  eo t 
R
i(
t
)
Laplace
C
e
(
t
)
0
1 I s 





LsI
s

RI
s

 Ei  s 

C
s


 1 I s 
 C s  Eo s   I s   CsE o s 
LCs 2 Eo s   RCsEo s   Eo s   Ei s  
Eo s 
1

Ei s  LCs 2  RCs  1
Exemplo 2: O sistema mecânico descrito na figura abaixo é regido pela equação diferencial:
 x(t ) é a força aplicada
d2
d
m 2 y (t )  f
y (t )  ky(t )  x(t ) 
dt
dt
 y (t ) é a posição da massa
encontre as respostas forçada e natural deste sistema para:
m  2kg
N .s
f 4
m
N
k  202
m
Francisco A. Lotufo
 posição inicial  y (0  )  5m

dy (t )
 5 m
supondo que: velocidade inicial 
s
dt t 0 

 entrada  x(t )  2[u (t )  u (t  1)]N
7
Solução:
d2
d
m 2 y (t )  f
y (t )  ky(t )  2[u (t )  u (t  1)]
dt
dt
Aplicando Laplace
1 e s 
m[ s 2Y ( s)  sy (0)  y ' (0)]  f [ sY ( s)  y (0)]  kY ( s)  2 

s 
s
Y ( s) 
2(1  e  s )
msy (0)  my ' (0)  fy(0)

s(ms 2  fs  k )
(ms 2  fs  k )
Resposta Forçada
Y ( s) 
Resposta Natural
(1  e  s )
5( s  1)

s( s 2  2s  101) ( s 2  2s  101)
y ( n) (t )  5e t cos(10t )u(t )  Resposta Natural (Equação Homogenea)
y ( f ) (t ) 

1
u (t )  u (t  1)  e t cos(10t )u (t )  e (t 1) cos(10(t  1))u (t  1)
101
1
1

 e t sen (10t )u (t )  e (t 1) sen (10(t  1))u (t  1)  Resposta Forçada
10
10

Análise Transitória
Francisco A. Lotufo
8
Análise em Regime Permanente Senoidal
Quando a entrada aplicada a um sistema linear não tem parcelas transitórias,
então a resposta particular é a resposta em regime permanente, denotada como
segue:
yRP t   lim yt 
t 
Para um sistema linear invariante no tempo cuja entrada seja u t  , a saída seja y t  e
a função de transferência operacional G p , como:
u
(
t
)
=
U
.
c
o
s
(
.
t
+

)

m
á
x
y
(
t
)
=
U
.
|
G
(
j
.

)
|
.
c
o
s
(

.
t
+

)
m
á
x
G
(
s
)
yt   Ymáx cos  t   
        argG j      e yRP t   yss t   tlim

Dessas equações, é interessante e importante observar que a função de transferência Gs ,
para s  j , dá a relação de amplitudes e o ângulo de defasagem entre os sinais de saída
e de entrada, como:
G j  
Ymáx
U máx
    argG j     
G j  é conhecida como “função de transferência no domínio da freqüência”. O gráfico de
w
Hz ) é conhecido como “curva de módulo” do
G j  em função de  (ou f 
2 
sistema, e o gráfico    é conhecido como “curva de fase”. As duas curvas são conhecidas
como “diagrama de resposta em freqüência” ou “gráficos de resposta em freqüência”.
Estas duas expressões, juntamente com a série de Fourier e o princípio da
superposição de efeitos, são à base de todas as técnicas para projetos de filtros e
sintonizadores, tanto nas aplicações industriais quanto em telecomunicações. Uma
aplicação importante é no projeto de filtros para eliminação de harmônicos na saída de
conversores tiristorizados, e de outros elementos que provocam distorções em ondas de
tensão e corrente, onde o projeto do filtro é feito de modo que a amplitude da curva de
módulo se aproxime de zero nas freqüências dos harmônicos que devam ser eliminados.
Exemplo- Considere a Função de Transferência : H ( s) 
s2
( s  1) 2  1
a) Desenhe o diagrama de Pólos e Zeros e calcule a magnitude e o argumento de H(s)
com s=j.
b) Determine os valores de magnitude e argumento de H(s), para:
=0,1;0,8;1,0;2,0;5,0;10,0;100
Francisco A. Lotufo
9