1 Решить задачу Штурма-Луивилля для колебаний прямоугольной
мембраны. Границы параллельные оси 𝑜𝑦 считать закрепленными, остальные
границы свободные.
Решение:
Постановка
начально-краевой
задачи
для
поперечного
отклонения точек мембраны 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) имеет вид
𝑢𝑡𝑡 = 𝑎2 Δ𝑢,
0 < 𝑥 < 𝑙1 , 0 < 𝑦 < 𝑙2 ,
(1)
С граничными условиями
𝑢|𝑥=0 = 𝑢|𝑥=𝑙1 = 0,
𝑢𝑦 |𝑦=0 = 𝑢𝑦 |𝑦=𝑙2 = 0,
(2)
𝑢𝑡 (𝑥, 𝑦, 0) = 𝑢1 (𝑥, 𝑦).
(3)
и начальными условиями
𝑢(𝑥, 𝑦, 0) = 𝑢0 (𝑥, 𝑦),
Запишем волновое уравнение в декартовых координатах
𝑢𝑡𝑡 = 𝑎2 (𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 ).
Применим
метод
Фурье
разделения
(4)
переменных.
Будем
искать
нетривиальное решение задачи в виде произведения
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑣(𝑥, 𝑦) ⋅ 𝑇(𝑡).
Подставим в уравнение (1)
𝑣(𝑥, 𝑦) ⋅ 𝑇 ′′ (𝑡) = 𝑎2 (𝑣𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑣𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦)) ∙ 𝑇(𝑡),
Разделим равенство на 𝑎2 𝑣(𝑥, 𝑦) ⋅ 𝑇(𝑡)
𝑣𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑣𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦)
𝑇 ′′ (𝑡)
=
= −𝜆 = const,
𝑎2 𝑇(𝑡)
𝑣(𝑥, 𝑦)
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x, y.
В результате получим два дифференциальных уравнения
𝑇 ′′ (𝑡) = −𝑎2 𝜆𝑇(𝑡),
(4)
𝑣𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦) + 𝑣𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦) = −𝜆𝑣(𝑥, 𝑦).
(5)
Подставляя 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) в виде 𝑣(𝑥, 𝑦) ⋅ 𝑇(𝑡) в граничные условия (2),
получим краевые условия для функции 𝑣(𝑥, 𝑦)
𝑣|𝑥=0 = 𝑣|𝑥=𝑙1 = 0, 𝑣𝑦 |𝑦=0 = 𝑣𝑦 |𝑦=𝑙2 = 0.
(6)
Таким образом получили задачу на собственные значения для оператора
Лапласа (5), (6).
1
Проведем дальнейшее разделение переменных, представим 𝑣(𝑥, 𝑦) в виде
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥) ∙ 𝑌(𝑦).
Подставляем в уравнение (5), получим
𝑋 ′′ (𝑥) ∙ 𝑌(𝑦) + 𝑋(𝑥) ∙ 𝑌 ′′ (𝑦) = −𝜆𝑋(𝑥) ∙ 𝑌(𝑦).
Делим равенство на 𝑋(𝑥) ∙ 𝑌(𝑦)
𝑋 ′′ (𝑥) 𝑌 ′′ (𝑦)
+
= −𝜆,
𝑋(𝑥)
𝑌(𝑦)
𝑋 ′′ (𝑥)
𝑌 ′′ (𝑦)
=−
− 𝜆 = −𝜇 = const,
𝑋(𝑥)
𝑌(𝑦)
т.к. левая часть равенства зависит только от x, а правая – только от y.
В результате опять переменные разделяются, и получается два
обыкновенных дифференциальных уравнения
𝑋 ′′ (𝑥) + 𝜇𝑋(𝑥) = 0,
𝑌 ′′ (𝑦) + 𝜈𝑌(𝑦) = 0,
где 𝜈 = 𝜆 − 𝜇.
(7)
(8)
Подставляя 𝑣(𝑥, 𝑦) в виде 𝑋(𝑥) ⋅ 𝑌(𝑦) в граничные условия (6), получим
𝑋(0) ⋅ 𝑌(𝑦) = 𝑋(𝑙1 ) ⋅ 𝑌(𝑦) = 0,
𝑋(𝑥) ⋅ 𝑌 ′ (0) = 𝑋(𝑥) ⋅ 𝑌 ′ (𝑙2 ) = 0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
𝑌 ′ (0) = 𝑌 ′ (𝑙2 ) = 0.
𝑋(0) = 𝑋(𝑙1 ) = 0,
Таким образом, для функции 𝑋(𝑥) получили задачу Штурма-Лиувилля
𝑋 ′′ (𝑥) + 𝜇𝑋(𝑥) = 0
{
𝑋(0) = 0, 𝑋(𝑙1 ) = 0
(9)
Для функции 𝑌(𝑦) также получили задачу Штурма-Лиувилля
𝑌 ′′ (𝑦) + 𝜈𝑌(𝑦) = 0
{ ′
𝑌 (0) = 0, 𝑌 ′ (𝑙2 ) = 0.
Решим задачу (9). Общее решение уравнения имеет вид
𝑋(𝑥) = 𝐶1 cos(√𝜇𝑥) + 𝐶2 sin(√𝜇𝑥).
Неизвестные коэффициенты 𝐶1 , 𝐶2 найдем из граничных условий
𝑋(0) = 𝐶1 = 0
{
𝑋(𝑙1 ) = 𝐶2 sin(√𝜇𝑙1 ) = 0
2
(10)
Получили
спектральное
уравнение
для
нахождения
собственных
значений 𝜇 задачи Штурма-Лиувилля
sin(√𝜇𝑙1 ) = 0
√𝜇𝑙1 = 𝜋𝑚, 𝑚 = 1,2, …
Собственные значения задачи равны
𝜋𝑚 2
𝜇𝑚 = ( ) , 𝑚 = 1,2, …
𝑙1
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного
множителя)
𝑋𝑚 (𝑥) = sin (
𝜋𝑚𝑥
) , 𝑚 = 1,2, …
𝑙1
Решим задачу (10). Общее решение уравнения имеет вид
При 𝜈 ≠ 0 общее решение имеет вид
𝑌(𝑦) = 𝐶3 cos(√𝜈𝑦) + 𝐶4 sin(√𝜈𝑦),
𝑌 ′ (𝑦) = −√𝜈𝐶3 sin(√𝜈𝑦) + √𝜈𝐶4 cos(√𝜈𝑦).
Неизвестные коэффициенты 𝐶3 , 𝐶4 найдем из граничных условий
𝑌 ′ (0) = √𝜈𝐶4 = 0 ⇒ 𝐶4 = 0
{ ′
𝑌 (𝑙2 ) = −√𝜈𝐶3 sin(√𝜈𝑙2 ) = 0
Получили
спектральное
уравнение
для
нахождения
собственных
значений 𝜈 задачи Штурма-Лиувилля
sin(√𝜈𝑙2 ) = 0
√𝜈𝑙2 = 𝜋𝑛, 𝑛 = 1,2, …
Собственные значения задачи равны
𝜋𝑛 2
𝜈𝑛 = ( ) , 𝑛 = 1,2, …
𝑙2
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного
множителя)
𝑌𝑛 (𝑦) = cos (
𝜋𝑛𝑦
) , 𝑛 = 1,2, …
𝑙2
При 𝜈 = 0 уравнение (10) для 𝑌0 (𝑦) примет вид
3
𝑌0′′ (𝑦) = 0,
следовательно,
𝑌0 (𝑦) = 𝐶5 + 𝐶6 𝑦.
Откуда с учетом граничных условий находим
𝑌0′ (0) = 𝑌0′ (𝑙2 ) = 𝐶6 = 0.
Собственная функция, соответствующая 𝜈 = 0 будет
𝑌0 (𝑦) = 1 .
Таким образом, собственные функции равны
𝜋𝑛𝑦
𝑌0 (𝑦) = 1, 𝑌𝑛 (𝑦) = cos (
) , 𝑛 = 1,2, …
𝑙2
Из равенства 𝜈 = 𝜆 − 𝜇 найдем собственные значения задачи (5), (6)
𝜆𝑚𝑛
𝜋𝑚 2
𝜋𝑛 2
= 𝜇𝑚 + 𝜈𝑛 = ( ) + ( ) , 𝑚 = 1,2, … , 𝑛 = 0,1,2, …
𝑙1
𝑙2
Собственные функции задачи (5), (6) для прямоугольной мембраны будут
𝜋𝑚𝑥
𝑣𝑚0 (𝑥, 𝑦) = 𝑋𝑚 (𝑥)𝑌0 (𝑦) = sin (
) , 𝑚 = 1,2, …,
𝑙1
𝜋𝑚𝑥
𝜋𝑛𝑦
𝑣𝑚𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝑋𝑚 (𝑥)𝑌𝑛 (𝑦) = sin (
) cos (
) , 𝑚 = 1,2, … , 𝑛 = 1,2, …
𝑙1
𝑙2
Ответ: Собственные функции и собственные значения
𝜆𝑚0
𝜆𝑚𝑛
𝜋𝑚 2
=( ) ,
𝑙1
𝑣𝑚0 (𝑥, 𝑦) = sin (
𝜋𝑚𝑥
) , 𝑚 = 1,2, …,
𝑙1
𝜋𝑚 2
𝜋𝑛 2
𝜋𝑚𝑥
𝜋𝑛𝑦
= ( ) + ( ) , 𝑣𝑚𝑛 (𝑥, 𝑦) = sin (
) cos (
) , 𝑚 = 1,2, … , 𝑛 = 1,2, …
𝑙1
𝑙2
𝑙1
𝑙2
4