Билеты:
1) Производные2:
алгоритм нахождения производной
Вывести: а) производную произведения, б) производную частного, в) производную сложной
функции + пример какой-либо функции на экзамене
табличные значения производных + все правила дифференцирования функции.
2) Производные 3:
Вывести формулу уравнения касательной, показать графически. Показать основное двойное
тождество, метод приближенного вычисления значения, алгоритм исследования функции на
монотонность и точки экстремума, смысл второй производной в графике функции, алгоритм
построения графика функции (45 параграф).
Обычно знак второй производной наглядно отражает "вид" кривизны: вогнутость или
выпуклость.
Мы обычно запоминали через рожицы:
f''>0
f''<0
"изгиб губ" описывает вид кривой в окрестности точки
С самим значением кривизны 2-я производная связана так:
Можно нарисовать окружность, которая касается кривой в точке, радиус
окружности
, а сверху она или снизу зависит от знака кривизны.
3) Тригонометрия, повтор:
методы решения тригонометрических уравнений (основные: замена переменной, разложение на
множители, однородное + дополнительные:
,
универсальная замена с выводом всех 4х функций через тангенс половинного угла) – привести
пример на каждый метод и решить. Построить график гармонического колебания и обосновать все
сдвиги.
https://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16.htm
4) Функции, повтор:
алгоритм исследования функции, наибольшее и наименьшее значение, монотонность,
НЕПРЕРЫВНОСТЬ, четность (особенности графика), ограниченность, условия выпуклости вверх
или вниз графика (построить график функции), условия существования асимптот, обратная
функция, периодическая функция
- везде нужны четкие определения и примеры + будет пример на исследование функции и
построение графика на самом экзамене.
Нахождение области определения функции.
Исследование поведения функции на границе области определения,
нахождение вертикальных асимптот.
Исследование функции на четность или нечетность.
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек
экстремума.
Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек
перегиба.
Вычисляем значения функции в промежуточных точках.
Построение графика.
Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по
отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E
ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.
Говорят, что функция y=f(x), x∈X имеет период T, если для любого x∈X выполняются
равенства f(x−T)=f(x)=f(x+T)
5) Определение последовательности (способы задания, примеры), формулы а.п. и г.п., вывод б.у.г.п.
через пределы, связь предела и асимптоты, 3 свойства сходящихся последовательностей, теорема с
4мя свойствами 2х пределов (или последовательностей), предел функции, предел функции в точке,
определение непрерывности функции в точке, первый замечательный предел, приращение:
функции, аргумента и предел их отношения (показать графически), неопределенность: способы
решения, правило Лопиталя.
это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
1. Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член кроме
первого больше предыдущего:
y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …
2. Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член кроме
первого меньше предыдущего:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …
Возрастающие и убывающие последовательности называют
монотонными последовательностями.
3. Последовательность можно назвать периодической, если существует такое
натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: yn =
yn+T. Число T — длина периода.
4. Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1,
a2,..., an,... для которой для каждого натурального n выполняется
равенство:
an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.
an = a1 + d * (n - 1)
Геометрическая прогрессия — это последовательность (bn), в которой
каждый последующий член можно найти, если предыдущий член
умножить на одно и то же число q.
bn+1 = bn * q
6) Комплексные числа:
Перевод числа из тригонометрической формы в алгебраическую форму и обратно.
Извлечение корней комплексных чисел через вывод формулы Муавра через математическую
индукцию. Изображение чисел на комплексной плоскости. Возведение в н-ную степень. Решение
квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом и с мнимыми коэффициентами. Вывод
косинуса и синуса тройного угла через комплексные.
Если же комплексное число (1) возвести в куб, то, с одной стороны,
3
z = cos 3α + i sin 3α ,
а, с другой стороны,
(4)
z 3 = (cos α + i sin α) 3 =
= cos 3α + 3cos 2α (i sin α) + 3cos α (i sin α)2 + (i sin α)3 =
= cos 3 α – 3cos α sin2α + 3i cos2α sin α – i sin3α =
= cos 3 α – 3cos αsin2α + i (3cos2α sin α – sin3α).
(5)
Следовательно,
3
3
z = cos α – 3cos α sin2 α + i (3cos 2α sin α – sin3α) ,
откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (4) и (5), мы
получаем соотношения
3
2
cos 3α = cos α – 3cos α sin α =
= cos α – 3cos α (1 – cos2α) = 4cos3α – 3cos α ,
3
sin 3α = 3cos2α sin α – sin3α =
= 3(1 – sin2α) sin α – sin3α = 3sin α – 4sin3α .
Таким образом,
cos 3α = 4cos3α – 3cos α ,
sin 3α = 3sin α – 4sin3α ,
Задание. Составить квадратное уравнение, которое имеет корни z1=1−i и z2=4−5i. Решить его.
Решение. Известно, что если z1, z2 - корни квадратного уравнения z2+bz+c=0, то указанное уравнение
можно записать в виде (z−z1)(z−z2)=0. А тогда, учитывая этот факт, имеем, что искомое уравнение
можно записать следующим образом:
(z−(1−i))(z−(4−5i))=0
Раскрываем скобки и выполняем операции над комплексными числами:
z2−(4−5i)z−(1−i)z+(1−i)(4−5i)=0z2+z(−4+5i−1+i)+4−5i−4i+5i2=0
z2+(−5+6i)z−(1+9i)=0 - искомое квадратное уравнение.
Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:
D=(−5+6i)2−4⋅1⋅(−(1+9i))=−11−60i+4+36i==−7−24i
Так как при извлечении корня из комплексного числа в результате получится комплексное число, то
корень из дискриминанта будем искать в виде D=a+bi. То есть
−7−24i=a+bi⇒−7−24i=(a+bi)2⇒⇒−7−24i=a2+2abi−b2
Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и
мнимые части соответственно, получим систему для нахождения неизвестных значений a и b:
{a2−b2=−7
ab=−24
решив которую, имеем, что a1=3, b1=−4 или a2=−3, b2=4. Рассматривая любую из полученных пар,
например, первую, получаем, что D=3−4i, а тогда
z1=−(−5+6i)+(3−4i)2⋅1=4−5iz2=−(−5+6i)−(3−4i)2⋅1=1−i
Ответ. z2+(−5+6i)z−(1+9i)=0
7) Геометрия:
4 замечательные точки треугольника, вывод всего + вывод Менелая и Чевы, вывод
формул радиусов вписанной и описанной окружности правильного: треугольника,
четырехугольника, шестиугольника. Идем «ухода от трапеции», «удвоения медианы»,
утверждение про «квадрат биссектрисы равен …»