ПРАКТИКА 15
П р и м е р 1 . На рис.13 показаны цепь и напряжение источника ЭДС. Параметры: L = 25
Ом,
1
  С = 100 Ом, R = 10 Ом, U=100 В – действующее значение. Элементы L – C рассматриваются
как реактивный пассивный фильтр, установленный на входе аккумуляторной батареи с входным
сопротивлением R. Задача фильтра – напряжение источника (двухполупериодного выпрямителя)
очистить от гармоник, а постоянную составляющую пропустить без искажений. Рассчитаем
выходное напряжение uвых(t) фильтра (входное батареи).
Z1
Рис. 13
Входное напряжение с сохранением двух гармоник раскладывается в ряд следующим образом
(см. лекции):
4 1
1
1
u(t)=U 2  (   cos2 t   cos4 t  ...) = 90 ̶ 60cos2t ̶ 12cos4t
 2 3
15
От постоянной составляющей ЭДС ток находится так:
I10 = I 30 =
I 20 =0;
U 0 90
 = 9А
R 10
Uвых0=U0=90 В.
Токи от гармоник ЭДС удобно считать через входное напряжение. Из законов Кирхгофа - Ома
вытекает:


U вых = U 
Z
1 1


U вых 2 = U 2 
Z
 1
Z3



1
1
= U 2
= U 2 0,2-90 ,
j 2  25
j 2  25
1  1  j5
1

 j100 / 2
10


U вых 4 = U 4 
Z2





U вых
U вых
, I2=
, I3=
, I1= I 2 + I 3 ,
Z2
Z3

1
1
1
100
100
j
25
10

= U 4


1
= U 4 0,096-107 ≈ U 4 0,1-107.
 3  j10
Мгновенные значения искомых величин:
uвых(t)=90600,2cos(2t90)120,1cos(4t107) ≈ 9012cos(2t90),
1
i3(t)=  uвых (t ) =9 1,2cos(2t90),
R
i2(t)= С
duвых
dt
=
12
cos(2t90+90) =  0,24cos2t,
50
i1(t)=i3+i2 =9  1,22cos(2t78,7).
На рис.13 пунктиром показано выходное напряжение без учета несущественной четвертой
гармоники. Видно, что схема L – C может использоваться как простой, эффективный сглаживающий
пассивный фильтр выпрямленного напряжения.
Действующие значения напряжений и токов:
Uвых = 902 
I3 = 9 2 
122
=90,4 В;
2
1,22
=9,04 А;
2
I2 =
0,242
=0,17 А;
2
I1= 92 
1,22 2
=9,04 А.
2
Баланс активной мощности:
Pист = 909+ 60 1,22 cos 78,7 = 810 + 7,17 = 817,2 Вт;
2
2
Pпотр = R I 32 =10 9,04 2 =817,2 Вт, баланс выполняется.
Коэффициент мощности источника:
S=UI1=1009,04=904 ВА;
=P/S=817/904 = 0,904.
Заметим, что такое значение коэффициента находится ниже требований, предъявляемых к
большинству промышленных потребителей (не менее 0.92).
П р и м е р 2 ( к л а б . р а б . № 7 ) . На рис.14 изображена цепь, которая может
использоваться как анализатор гармоник (фильтр) входного напряжения. Пусть uвх(t) содержит
постоянную составляющую и нечётные гармоники - первую, основную и третью. Параметры
катушки L = 0,25 Гн, R = 20 Ом, а ёмкости С1 и С2 требуется определить так, чтобы в резисторе R0
отсутствовал ток третьей гармоники, а ток первой гармоники был максимально возможным.
Рис. 14
Из теории цепей синусоидального тока следует, что входной ток заданной цепи минимален,
если в параллельном контуре  резонанс токов, и максимален, если в цепи  резонанс напряжений.
При основной частоте f = 50 Гц, =314 1/с, пренебрегая активным сопротивлением катушки
R =20 << 3L= 236 Ом, условие резонанса токов на частоте третьей гармоники запишется так:
3C1 
1
3L

C1 =
1
9 L
2
=4,5 10 6 Ф = 4,5 мкФ,
т. е. участок цепи «mn» будет вести себя как разрыв. Последнее выражение может
использоваться для подбора индуктивности L либо частоты  при заданных остальных величинах.
Из условия резонанса напряжений uam и
R, получим
umn на частоте основной гармоники, пренебрегая
1
1


1
С2
 С1
L
Xc2(1)=Xmn(1),
С2 =
1
2L
С1= 8С1 =36 мкФ,
т. е. участок цепи «an» будет вести себя как перемычка, выходное напряжение основной
гармоники будет равно входному.
Мгновенные значения напряжений:
uвх (t ) = Uвх0+ Uвх1sin t+ Uвх3sin 3t,
uвых (t )  Uвх1sint.
Т. о. анализатор из несинусоидального входного напряжения эффективно выделяет его
основную гармонику.
П р и м е р 3 ( к л а б . р а б . № 7 ) . Для цепи рис.15 рассчитать напряжения
Параметры: R= 400 Ом, С = 50 мкФ, f = 500 Гц, входное напряжение
uC (t) и uR (t ) .
u (t ) задано графиком.
Рис. 15
Раскладывая в ряд Фурье
u (t ) =U0+Um
8

2
u (t ) получим:
(sin t 
1
1
sin 3t +
sin 5t) =
9
25
= U0 + Um (0.811sin t0.09sin 3t+0.0324sin 5t).
В режиме постоянного тока:
U
UR0 = 0 2 ,
U
UC0 = 0 2 .
В режиме гармонического тока с использованием результатов примера 1 (законы Кирхгофа Ома) получим


U C =U 

1
1
=U
,
2  jCR
1 R  R 1
R
1  jCR .
U R =U U C =U 
2  jCR




jC
При
CR = 62.8,
3 CR = 188.4,
5 CR = 314 можно принять:





1
 гармоники выходного
U R ≈ U  jCR = U  независимо от частоты гармоник; U C ≈ U 
jCR
jCR
напряжения убывают пропорционально частоте со сдвигом по фазе на (-  ). Итак,
2


 1  
U C1 = U 1 
 = U 1  j 0.0129 ,
 j 62.8 


U C 3 = U 3  j 0.000477  ,


U C 5 = U 5   j 0.000103  .
Мгновенные значения напряжений:
uR (t ) ≈ U 0 2 + Um(0.81sin t0.09sin 3t+0.0324sin 5t),
uC (t) = U 0 2 +Um(0.0129sin(t90)0.000477sin(3t90)+0.000103sin(5t90)) ≈
≈ U 0 +Um(0.0123sin(t90).
2
Таким образом, напряжение
uC (t)
uR (t )
по форме повторяет входное, a переменная составляющая
практически синусоидальна, так как третья и пятая гармоники ее на два порядка меньше
первой.