1
1. МЕХАНИКА
ЗАДАНИЯ ТИПА А1-А9
А1 Равномерное и равноускоренное движение (1.1.2 – 1.1.5)
А2 Относительность движения, движение по окружности, работа, мощность, простые механизмы, давление (1.1.1, 1.1.6,1.1.7, 1.4.4, 1.4.5, 1.4.9)
А3 Законы Ньютона (1.2.1, 1.2.5-1.2.8 )
А4 Силы в механике (1.2.9-1.2.13)
А5 Статика, гидростатика (1.3.1 – 1.3.6,)
А6 Импульс, закон сохранения импульса, кинетическая и потенциальная энергии
(1.4.1-1.4.3, 1.4.6, 1.4.7)
А7 Механические колебания и волны (1.5.1-1.5.9)
А8 Законы Ньютона, силы в природе (1.2.7 –1.2.13)
А9 Законы сохранения импульса и механической энергии (1.4.1-1.4.9)
1
1.1
МЕХАНИКА
1.1.1
КИНЕМАТИКА
Относительность механического движения
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
1.1.6
1.1.7
Скорость
Ускорение
Прямолинейное равноускоренное движение
Свободное падение
Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью
Центростремительное ускорение
1.1. КИНЕМАТИКА
(t - время, r - перемещение, S - путь, x - координата, v - скорость, a - ускорение, x0 - начальная координата точки).
1.1.1. Относительность механического движения


 
vотн  v21  v2  v1


v1 v2

 
v12  v1  v2 ; v12  v1  ( v2 )  v1  v2
х

v1

v2

v1

v2
х

 
v21  v2  v1 ; v21  v2  v1

v12  v12  v2 2 v  vx 2  vy2

v12
y  y0  vy t
x  x0  vx t
y  b  kx, k  tg   v  tg 

2
1.1.2. Скорость
1. Координата и перемещение при равномерном движении по прямой:
S(весь)
x  x0  vx t , Sx  x  x0  vx t . vср 
;
t(все)
S
2. Равномерное прямолинейное движение: a  0; v  ;
t
S x  x0
vр/м  
; vмгн  S(t)  X (t) ;
t
t
S  S2  ...
несколько этапов с разными скоростями vср  1
t1  t2  ...
y
1.1.3. Ускорение
1.1.4. Прямолинейное равноускоренное движение
 
 v  v0   
a
; v  v0  at ;
t
ax t 2
x  x0  v0 x t 
2
vx  v0 x
v2 x  v2 0 x
a  0; vx  v0 x  ax t ; ax 
; ax 
t
2S
2
2
2
v0 x  vx
ax t
v x  v 0x
ax t 2
x  x0  v0 x t 
; Sx 
; Sx 
t ;. Sx  v0 x t 
.
2
2 ax
2
2
v  v0 x
Средняя скорость при равноускоренном движении v  x
.
2
1.1.5. Свободное падение. Скорость и перемещение (ось у направлена вниз,):
gt 2
gt 2
v0=0
y  v0 t 
; vy  v0  gt ; Sy 
; ay  g .
2
2
 Путь, пройденный телом в свободном падении в любой
g
gt 2
момент времени h  y  v0 t 
.
2
H
gt 2
Высота в момент времени t: h(t)  H 
(H – начальная
2
высота).
Свободное падание без начальной скорости v0  0 .
y

v0
vy  gt . Время падения t 
v  2gH , путь h 
h
2H
, конечная скорость
g
gt 2
.
2
6. Бросок вертикально вверх с начальной скоростью v0 . Скорость и перемещение (ось у направлена
вверх, v0 y  v0 ; ay   g ):

v0

v
3
gt 2
В проекции на ось у: координата y  v0 t 
, скорость в любой момент
2
времени vy  v0  gt , ускорение ay  g .
Время подъема до высшей точки (где vy  0 ) = времени падения t1  t2 
v0
.
g
v02
gt12 v02
Высота подъема h  , h  ymax  v0 t 

.
g
2
2g
Общее время движения (полное время полета) до возврата в точку броска:
2 v0
gt 2
. При приземлении y  0 , 0  v0 t 
, откуда получаем t.
t  2 t1 
2
g
Конечная скорость движения по модулю равна начальной v   v0 . Знак "минус" показывает, что конечная скорость направлена против оси у, т.е. вертикально
вниз.
7. Горизонтальный бросок с начальной скоростью v0 с высоты h.
 
Сопротивление воздуха не учитывать. a  g .
Проекции на оси:
ось x:
ось y:
gt 2
y  Sy 
x  Sx  v0 t
2
vx  v0
vy  gt
ax  0
y
0

g
ay  g
По горизонтали – равномерное движение со
скоростью v0 , по вертикали - свободное падение.

v0
x
x2 g
Уравнение траектории y  2 .
2 v0
Модуль скорости (мгновенной скорости) в

v0


gt
h

v
S
t

v0
v0y
v0x
h
gt

0
v0x
любой момент времени v  vx2  vy2  v02  (gt)2 .
Вектор мгновенной скорости в каждой точке траектории направлен по касательной к траектории.
Угол
наклона
скорости
к
горизонту
v
gt
tg   y  .
vx v0
Время полета (до падения на землю) с
2h
начальной высоты h: t  tполета 
.
g
Дальность полета (горизонтальная):
v0x
2h
2h
S  v0
; S  xmax  v0 tполета  v0
.
v1
g
g
x
S
4
8. Бросок под углом к горизонту с начальной скоростью v0 .
t0  2 t
по оси х:
по оси у:
y  v0 y t  gt 2 / 2
x  v0 x t0
vx  v0 cos  .
vy  v0 sin 
.
Sx  v0 t0 cos 
Sy  v0 t sin   gt 2 / 2
v
2
v  v0x
 vy ; tg   y /
v0 x
По горизонтали – равномерное движение со скоростью v0 cos  , по вертикали – бросок вертикально вверх с начальной скоростью vy  v0 sin  .
Время подъема до высшей точки (на максимальную высоту) ( vy  0 )
th 
v0 sin 
v sin 
= tmax  0
g
g
Максимальная высота подъема: hmax
v02 sin 2 

.
2g
Время полета (общее время, полное время) tполн  2tmax 
Расстояние (дальность полета) S  vx tполн ; S 
2 v0 sin 
.
g
v02 sin 2
.
g
Время падения равно времени подъема.
1.1.6. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью
1.1.7. Центростремительное ускорение
Криволинейное движение
Равномерное движение по окружности. Угловая скорость. Период обращения.
 - угол поворота,  - угловая скорость(рад/с), v – линейная скорость(м/с),
 - частота(1/с=1 Гц), T – период обращения(время), n – число оборотов
(об/мин), l – длина дуги, R – радиус окружности.

1
2 2R
1

;   2;   ; T 

; v  R; S  R , l  R , n  ;
t
T

v
T
2
2
v
v
aцс 
 2 R , Fцс  m  m2 R  mR(2n)2 ,
R
R
2
4 R
aцс 
 4 2 n 2 R ;
2
T
n
для случаев, когда n – обороты,   ,   2 .
t
5
1.2. ДИНАМИКА
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.2.7
1.2.8
1.2.9
1.2.10
1.2.11
1.2.12
1.2.13
1.2.14
Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона
Принцип относительности Галилея
Масса тела
Плотность вещества
Сила
Принцип суперпозиции сил
Второй закон Ньютона
Третий закон Ньютона
Закон всемирного тяготения
Сила тяжести
Невесомость
Сила упругости
Сила трения
Давление
1.2.1. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона
Инерциальные системы отсчета (ИСО) – система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо
движется равномерно и прямолинейно.
Первый закон Ньютона – существуют такие системы отсчета, относительно
которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной если
на них не действуют другие тела, или действие других тел компенсируется.
v  const - равномерное движение
v  0 - тело покоится
,если

F  0.
1.2.2. Принцип относительности Галилея
Законы динамики во всех ИСО одинаковы.
Все ИСО равноправны и эквивалентны друг другу по своим механическим
свойствам.
Все законы механики имеют одинаковый вид во всех ИСО.
1.2.3. Масса тела – являющаяся 1) мерой инертности (инертная масса), 2) мерой гравитации (гравитационная масса), 3) мерой количества вещества.
Единица массы - 1 кг.
m  кг 
1.2.4. Плотность вещества -    3  . 1л=10-3м 3
V м 
1.2.5. Сила – векторная величина, являющая мерой механического количественного воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.
В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.
1.2.6. Принцип суперпозиции сил
Принцип независимости действия сил – если на тело действуют одновременно
несколько сил, то каждая из этих сил сообщает телу ускорение.
Результирующая (равнодействующая) нескольких сил, действующих на тело
со стороны других тел, равна векторной сумме сил, с которыми действует каждое из
этих тел.
6

 

1.2.7. Второй закон Ньютона F  ma . F  a
В инерциальной системе отсчета ускорение тела прямо пропорционально векторной

 F
сумме всех действующих на тело сил и обратно пропорционально массе тела a  .
m

F - равнодействующая всех сил, силы складываются по правилу сложения сил:





1) силы F1 и F2 сонаправлены. F  F1  F2 , F  F1  F2




2) силы F1 и F2 противоположно направлены. Если F2  F1 , F  F2  F1 , то F  F2

F
F1
3) F  F12  F22 , cos   1
F2


F2

F


1.2.8. Третий закон Ньютона F   F , действия сил не компенсируются. Эти силы
приложены к разным телам, всегда действуют парами и являются силами одной
природы; всегда равны по модулю, противоположно направлены, действуют вдоль
прямой, соединяющей тела (центры масс тел).
1.2.9. Закон всемирного тяготения
Между любыми двумя телами (материальными точками) действует сила взаимного
притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих тел и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними.
2
mM
11 Нм
F

G
Сила всемирного тяготения
, G  6, 67 10
- гравитационная поr2
кг 2
стоянная всемирного тяготения.
Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой,
проходящей через центры масс тел.
M
Первая космическая скорость vI  G
 gR . Если R – радиус Земли, то
R
vI  7, 9 103 м/с - минимальная скорость, при которой тело будет двигаться по круговой орбите вокруг Земли (станет
искусственным спутником).

Вблизи поверхности Земли F  R и направлена к центру Земли.
M
Ускорение свободного падения (g=F/m) на поверхности планеты g  G 2 и на выR
M
соте h - gh  G
, где R – радиус планеты; g не зависит от массы тела.
( R  h)2
Уравнение движения спутника и скорость спутника на круговой орбите радиусом
r  R  h:
GM
gR2
mM
v2
G 2 m , v

.
r
r
Rh
Rh
Движение по окружности. Уравнение движения в проекции на ось х, направленную
7
v2
от тела к центру окружности (по радиусу):  Fx  m .
R
1.2.10. Сила тяжести – сила, действующая на любое тело, находящееся вблизи поmM
F  mg  G 2 3 .
верхности Земли, и направлена по радиусу к центру Земли
R3
mM3
На высоте h над поверхностью Земли F  mg  G
.
( R3  h)2

 
Вес неподвижного тела равен силе тяжести P  mg . P  опоре, приложен к телу.
При ускоренном движении тела и опоры P  m(g  a) .

При движении с постоянным ускорением, направленным вверх a  P  m(g  a) .
Вес тела больше силы тяжести.

При движении с постоянным ускорением, направленным вниз a  P  m(g  a) . Вес
тела меньше силы тяжести.
1.2.11. Невесомость – состояние, при котором вес тела равен нулю. Это возможно
 
при a  g (свободное падение). При этом сила тяжести не равна нулю. Тело движется только под действием силы тяжести.
1.2.12. Сила упругости – сила, возникающая при деформации тела и направлена
противоположно направлению смещения частиц при деформации.
Сила упругости Fупр  kx , где k – коэффициент жесткости (растяжения), x – удлинение (деформация). k 
Fупр
.
x
Абсолютное удлинение пружины l  l  l0 , l0 - начальная длина.
l
Относительное удлинение   .
l0
F
Механическое напряжение   .
S
F
l
ES
ES
Закон Гука   E   .
 E  F 
l  kl , где k 
.
S
l0
l0
l0
1.2.13. Сила трения – сила, возникающая при соприкосновении тел и препятствующая их относительному перемещению.
Виды трения – внешнее (сухое) – возникает в плоскости касания двух тел при их
относительном перемещении: трение скольжения, трение качения; трение покоя
– трении при отсутствии относительного перемещения; внутреннее трение – трение
между частицами одного и того же тела (между слоями жидкости или газа). Здесь
отсутствует трение покоя.
Сила трения скольжения Fтр  N . Такой же вид имеет формула для максимального значения силы трения покоя. Не зависит от площади опоры. 
Скольжение тела по горизонтальной плоскости. На тело действует сила F , направленная под углом  к горизонту.
8

На тело действуют силы: тяжести mg ,


реакции опоры N , сила F , сила трения

Fтр , направленная противоположно
скорости движения.
Второй закон Ньютона в векторной

   
форме: ma  mg  N  F  Fтр .
 ma  0  0  F cos   Fтр (на ось x)
В проекциях на оси: 
0  - mg  N  F sin   0 (на ось y)
Fтр  N
Соскальзывание тела с наклонной поверхности

На тело действуют силы: тяжести mg , реакции опоры


N , сила трения Fтр , направленная противоположно
скорости движения.
Второй закон Ньютона в векторной форме:

  
ma  mg  N  Fтр .
 ma  mg sin   Fтр (на ось x)
В проекциях на оси: 
0  N - mg cos  (на ось y)
F
, F – сила давления, S - плоS
1Н
щадь опоры. 1Па=
.
1 м2
1.2.14. Давление p 
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
1.3.6
СТАТИКА
Момент силы
Условия равновесия твердого тела
Давление жидкости
Закон Паскаля
Закон Архимеда
Условие плавания тел
1.3.1. Момент силы
Момент сил M  Fl , l – плечо силы – перпендикуляр на линию действия силы.
1.3.2. Условия равновесия тела относительно оси вращения
1) M1  M2  ...  M n  0 (алгебраическая сумма моментов сил относительно оси)
 

2) F1  F2  ...  Fn  0
1.3.3. Давление жидкости
на дно сосуда p  gh
9
gh
2
1.3.4. Закон Паскаля – давление, производимое на жидкость или газ, передается без изменения в каждую точку жидкости или газа.
Давление на дно сосуда не зависит от формы сосуда, а только от высоты уровня жидкости (гидростатический парадокс).
на боковую поверхность p 
2
1
h1  h2  1  2
Закон сообщающихся сосудов:
в сообщающихся сосудах любой формы свободные поверхности однородной
жидкости находятся на одном уровне, а высоты столбов различных жидкостей обратно
пропорциональны плотностям жидкостей
h1 2
 .
h2 1
1.3.5. Закон Архимеда – выталкивающая сила равна весу жидкости в объеме
погруженного тела. Fa   ж gVт , где Vт - объем погруженной части тела.
Fa  Pв  Pж , где Pв - вес тела в воздухе, Pж - вес тела в жидкости.
1.3.6. Условие плавания тел
1) всплывает Fa  mg (ж   т )
2) плавает Fa  mg (ж   т )
3) тонет Fa  mg (ж   т )
1.4
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.4.4
1.4.5
1.4.6
1.4.7
1.4.8
1.4.9
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Импульс тела
Импульс системы тел
Закон сохранения импульса
Работа силы
Мощность
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Закон сохранения механической энергии
Простые механизмы. КПД механизма
1.4.1. Импульс тела


Импульс силы F t  mv - физическая величина, равная произведению силы




 
F на время t ее действия. Ft  mv  mv0  p2  p1 .


Импульс тела (количество движения) F t  (mv) - физическая величина,
равная произведению массы тела на скорость его движения. Изменение импульса
тела равно импульсу силы.
10

  кг  м 
Импульс тела p  mv ; 

 с 
Второй закон Ньютона: изменение импульса тела равно импульсу дейст 
вующей силы p  F  t .
1.4.2. Импульс системы тел
Система тел называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы
или равнодействующая всех сил равна нулю.
Силы взаимодействия между телами системы называются внутренними силами. Внутренние илы, изменяя импульсы отдельных тел системы, не изменяют суммарный импульс системы. Импульс системы тел могут изменить только внешние
силы.
Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел.


 
 
1.4.3. Закон сохранения импульса: p1  p2  p1  p2 или  pi   pi
Суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых
взаимодействиях тел системы между собой.
При решении задач используется закон сохранения проекции импульса на ось Х.
Упругое взаимодействие:
до:
после:




m1v12 m2 v22 m1v12 m2 v22
m1v1  m2 v2  m1v1  m2 v2



2
2
2
2
в проекции на ось х:

m1v12 m2 v22 ( m1  m2 )v2
m1v1  m2 v2   m1v1  m2 v2


Q
2
2
2
Неупругое соударение:
до:
после:



m1v1  m2 v2  ( m1  m2 )v
в проекции на ось х:
m1v1  m2 v2  ( m1  m2 )v
Реактивное движение – это движение тела при отделении какой-либо его
части с определенной скоростью относительно тела.
1.4.4. Работа силы – скалярное произведение силы на перемещение, пройденное под действием этой силы.
Если вектор силы направлен под углом к вектору скорости тела, то механическая работа A  FS cos  ; если направления векторов совпадают, то A  FS . S –
путь, пройденный телом. Если вектор силы направлен перпендикулярно вектору
скорости, то работа силы на любом пути равна нулю.
11
Работа силы отрицательна ( A2  0 ), если угол  тупой ( 90    180 ),
cos  0 (рис. б). Работа силы, перпендикулярной перемещению, равна нулю
(рис.в).
Работа сил реакции, трения, тяжести.
Работа силы реакции, перпендикулярной перемещению, равна нулю.
Сила трения, направленная противоположно
перемещению, составляет с ним угол 180, поэтому
работа силы трения отрицательна:
Aтр  Fтр x cos180   Fтр x . Т.к.
H
, то
sin 
Aтр  mgH ctg  . –диссипативная сила – работа силы зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую.
Сила тяжести составляет с перемещением угол (90  ) , поэтому ее работа
Ag  mgl cos(90  )  mgl sin   mgH , работа силы тяжести зависит от высоты плоскости и не зависит от угла наклона плоскости, не зависит от формы траектории (консервативная сила – работа силы не зависит от формы траектории).
Работа силы на замкнутой траектории равна нулю.
Общая связь между энергией системы и работой внешних сил:
E  E2  E1  A .
1.4.5. Мощность - скалярная физическая величина, характеризующая скоA
рость совершения работы. N 
- механическая мощность (1 Вт=1Дж/с).
t

Мощность, развиваемая силой F : N  Fv cos 
Fтр  N , N  mg cos , x  l 
1.4.6. Кинетическая энергия – энергия механического движения системы.
mv2
Кинетическая энергия Eк 
тела массой m , движущегося со скоростью v .
2
Кинетическая энергия всегда положительна; неодинакова в разных инерциальных
системах отсчета; является функцией состояния системы.