Приложение
Полезные формулы при нахождении интегралов
I) Формулы сокращенного умножения
1) Разность квадратов
a 2  b2  (a  b)(a  b)
2) Квадрат суммы и квадрат разности
(a  b)2  a 2  2ab  b2
(a  b)2  a 2  2ab  b2
3) Сумма и разность кубов:
a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )
a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )
4) Куб суммы и разности
(a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3
(a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3
II) Действия со степенями
Простейшие правила:
1
 xa
a
x
x a  xb  x a  b , в частности:
xa
 x a  x b  x a b
b
x
( x a ) b  x a b
Разумеется, они работают и в обратном порядке.
a
Очень важно знать: b x a  x b , собственно, это не действие и не правило, а просто
две записи ОДНОГО И ТОГО ЖЕ.
Пример:
1
7
( x  cos 3x) 4

1
( x  cos 3x)
4
7
 ( x  cos 3x)

4
7
Все три выражения – это одно и то же (просто запись разная).
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
III) Упрощение многоэтажных дробей
1) Дробь
a
делим на число c :
b
2) Число a делим на дробь
a ac

b
b
c
a
b  a
с bc
3) Дробь
b
:
c
a
c
делим на дробь :
b
d
a
b  ad
c bc
d
Все три правила применимы и справа
налево, то есть из двухэтажной дроби
можно искусственно сделать трёх- или
четырёхэтажную дробь
IV) Преобразование логарифмов
ln(ab)  ln a  ln b
a
ln  ln a  ln b
b
ln ba  a ln b
Несмотря на то, то эти правила справедливы для a  0, b  0 , их можно
использовать при нахождении производных и интегралов, например:
2
 x3 
 x  3 3 2  x  3  2
ln 3 
  ln 
  ln 
  ln( x  3)  ln( 2 x  5) 
3  2x  5  3
 2x  5 
 2x  5 
2
V) Ходовые тригонометрические формулы
Основное тригонометрическое тождество:
sin 2   cos 2   1 , из которого следует:
cos 2   1  sin 2 
sin 2   1  cos 2 
Внимание! Параметр  может быть не только буквой x , но и сложной
функцией, так, например, сумма sin 2 (2 x  1)  cos 2 (2 x  1) тоже равна 1.
Разложение тангенса и котангенса:
tg 
sin 
cos 
1
, ctg  
, и их очевидная взаимосвязь: tg 
cos 
sin 
ctg 
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
Ещё одно следствие основного тригонометрического тождества:
1
1
cos 2 
1
ctg 2 
1
sin 2 
tg 2 
Формулы двойного угла:
sin 2  2 sin  cos 
cos 2  cos 2   sin 2 
! Очень важные следствия из данных формул:
1  cos 2
2
1  cos 2
cos 2  
2
sin 2  
Преобразование произведений в сумму:
sin(   )  sin(   )
2
cos(   )  cos(   )
cos  cos  
2
cos(   )  cos(   )
sin  sin  
2
sin  cos  
VI) Решение квадратного уравнения
ax 2  bx  c  0 (a  0)
Сначала нужно найти дискриминант:
D  b2  4ac
Если D  0 , то уравнение имеет два действительных корня:
b D
b D
x1 
, x2 
2a
2a
Если D  0 , то уравнение имеет два совпавших (кратных) корня:
b
x1  x2 
2a
Квадратный трёхчлен раскладывается на множители следующим образом:
ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 )
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!