Escuela Superior Politécnica del Litoral
Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas
Matemáticas Avanzadas
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INTEGRAL DE FOURIER
Decimos que una función
f
es absolutamente integrable si existen los límites indicados
en la siguiente expresión:
Z
0
Z
|f (x)| dx + lı́m
lı́m
a→−∞
b→∞
−a
el cual se denota por
Z
b
|f (x)| dx,
0
∞
|f (x)| dx.
−∞
Supongamos que
f
se puede representar de la forma
Z
(9.1)
∞
[A(w) cos wx + B(w) sen wx] dw,
f (x) =
0
donde
(9.2)
1
A(w) =
π
Z
1
B(w) =
π
Z
∞
f (t) cos wt dt
−∞
y
(9.3)
decimos que
f
∞
f (t) sen wt dt,
−∞
está representada por una integral de Fourier.
Supongamos que f es continua excepto en una cantidad nita de puntos en
un intervalo y que las derivadas laterales f−0 y f+0 existen en cada punto del intervalo. Si f
es absolutamente integrable, entonces f se puede representar por una integral de Fourier
de la forma (9.1) donde las funciones A y B están dadas por las ecuaciones (9.3). En los
puntos x de discontinuidad de f la integral es el promedio de los límites laterales f (x−)
y f (x+).
Teorema 9.1.
Integral de Fourier
2
Ejemplo 9.1. Pulso singular.
f
Hallar la representación integral de Fourier de la función
dada por:
(
1
f (x) =
0
si
si
|x| < 1,
|x| > 1.
∞
Z
1 1
sen wt
f (t) cos wt dt =
cos wt dt =
π −1
πw
−∞
Z ∞
Z 1
1
1
B(w) =
f (t) sen wt dt =
sen wt dt = 0.
π −∞
π −1
1
A(w) =
π
Z
Luego
2
f (x) =
π
Z
∞
0
1
=
−1
2 sen w
,
πw
cos wx sen w
dw
w
y
f (1−) + f (1+)
1+0
1
=
= .
2
2
2
Por el teorema 9.1 tenemos
Z
0
∞

π

2
cos wx sen w
dw = π4

w

0
si
si
si
0 ≤ x < 1,
x = 1,
x > 1.
Esta integral se denomina el factor discontinuo de Dirichlet. En particular si
x=0
tenemos
Z
(9.4)
0
∞
sen w
π
dw = ,
w
2
que puede ser interpretada como límite de la función integral senoidal:
Z
Si(u) =
0
u
sen w
dw.
w
Ejemplo 9.2. La integral cosenoidal de Fourier.
B(w) = 0
∞
f (x) =
A(w) cos wx dw,
0
2
A(w) =
π
Ejemplo 9.3. La integral senoidal de Fourier.
A(w) = 0
es una función par, entonces
Si
f
∞
Z
f (t) cos wt dt.
0
es una función impar, entonces
en (9.3) luego (9.1) queda:
Z
(9.6)
f
en (9.3) luego (9.1) queda:
Z
(9.5)
Si
f (x) =
B(w) sen wx dw,
0
Fernando Mejías
∞
2
B(w) =
π
Z
∞
f (t) sen wt dt.
0
Término I-2019
Integral de Fourier
3
Ejemplo 9.4. Integrales de Laplace.
En primer lugar calculamos las integrales cose-
f (x) = e−kx , x > 0, k > 0.
Z
2 ∞ −kt
A(w) =
e cos wt dt.
π 0
noidal y senoidal de Fourier para
Por el método de integración por partes tenemos
Z
e−kt cos wt dt = −
w
k
−kt
sen
wt
+
cos
wt
.
e
−
k2 + w2
k
Luego
2k/π
,
+ w2
Z
2k ∞ cos wx
=
dw,
π 0 k2 + w2
A(w) =
entonces
f (x) = e−kx
k2
de donde
∞
Z
(9.7)
0
π −kx
cos wx
dw
=
e ,
k2 + w2
2k
x > 0, k > 0.
Similarmente
Z
e
w
w
−kt
e
− sen wt + cos wt .
sen wt dt = − 2
k + w2
k
−kt
Luego
2w/π
,
k2 + w2
Z
2 ∞ w sen wx
=
dw,
π 0 k2 + w2
B(w) =
entonces
f (x) = e−kx
de donde
Z
(9.8)
0
∞
w sen wx
π
dw = e−kx ,
2
2
k +w
2
x > 0, k > 0.
las ecuaciones (9.7) y (9.8) se denominan integrales de Laplace.
Fernando Mejías
Término I-2019