Подпишитесь на DeepL Pro и переводите документы
Подробнее на www.DeepL.com/pro.
Посмотрите обсуждения, статистику и профили авторов этой публикации на сайте: https://www.researchgate.net/publication/227282219.
Роль определений в преподавании и изучении математики
Глава - январь 1991 года
DOI: 10.1007/0-306-47203-1_5
ЦИТАТЫ
ЧИТАТЬ
619
12,577
1 автор:
Шломо Виннер
Еврейский университет Иерусалима
59 ПУБЛИКАЦИЙ 4,809 ЦИТИРОВАНИЙ
ПОСМОТРЕТ
Ь ПРОФИЛЬ
Некоторые из авторов данной публикации также работают над этими смежными проектами:
Математическое мышление: студенты и преподаватели Просмотр проекта
Все содержимое этой страницы было загружено Шломо Виннером 29 июня 2015 года.
Пользователь запросил улучшение загруженного файла.
ГЛАВА 5
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
В ПРЕПОДАВАНИИ И ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ
ШЛОМО ВИННЕР
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ
И ОБЩИЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ О ПЕДАГОГИКЕ
Определение создает серьезную проблему в обучении математике. Оно
представляет собой, пожалуй, больше, чем что-либо другое, конфликт между
структурой математики, как ее представляют себе профессиональные
математики, и когнитивными процессами приобретения понятий. Кажется, никто в
математическом сообществе не согласен с утверждением, что математика - это
дедуктивная теория, и как таковая она начинается с первичных понятий и аксиом. С
помощью первичных понятий определяются все остальные понятия. Все теоремы,
которые не являются аксиомами, доказываются из аксиом с помощью
определенных правил вывода. Возможно, это слишком краткое и упрощенное
описание, но, по сути, оно отражает общее представление математиков о
математике. Оно не обязательно отражает процесс, посредством которого
создается математика, но, как правило, это способ представления математики
в учебниках по высшей математике и математической периодике. Конечно, не в
каждой ситуации можно начинать с первичных понятий и аксиом. Обычно
начинают с хорошо известных понятий и известных теорем, а затем переходят к
определению новых понятий и доказательству новых теорем. Это может иметь
определенные последствия для методики преподавания математики, даже прежде
чем начать думать о соответствующей педагогике. Так, учителя математики могут
формировать на своих уроках последовательность определений, теорем и
доказательств в качестве скелета своего курса. Следование этим последствиям
может быть педагогически ошибочным, поскольку преподавание должно учитывать
общие психологические процессы приобретения понятий и логических
рассуждений.
Давайте опишем некоторые из возможных последствий, которые могут
быть получены при рассмотрении роли определения в математике. Мы
утверждаем, что изложение и организация математики во многих учебниках и
классах частично основаны на следующих предположениях:
1. Понятия в основном приобретаются посредством их определений.
2. Студенты будут использовать определения для решения задач и
доказательства теорем, когда это необходимо с математической
точки зрения.
3. Определения должны быть минимальными. (Под этим мы
подразумеваем, что определения не должны содержать частей,
которые могут быть математически выведены из других частей
определений.
Например,
если
вы
решите
определить
прямоугольник в евклидовой геометрии через его углы,
предпочтительнее определить его как четырехугольник с 3 прямыми
углами, а не как четырехугольник с 4 прямыми углами. Это объясняется
тем, что
65
66
ШЛОМО ВИННЕР
В евклидовой геометрии, если четырехугольник имеет 3 прямых угла,
можно доказать, что его четвертый угол также является прямым).
4. Желательно, чтобы определения были элегантными. Например,
некоторые математики считают, что определение абсолютного значения
как |x|= (x2) более элегантно, чем его определение как
Кроме того, некоторые математики считают, что определение простого
числа (в области целых чисел) как числа, имеющего ровно два различных
делителя, более элегантно, чем его определение как числа больше 1,
кратного только 1 и самому себе.
5. Определения произвольны. Определения "созданы человеком".
Определение в математике - это присвоение имени. (Например, при
определении трапеции можно определить ее как четырехугольник, у
которого по крайней мере одна пара противоположных сторон
параллельна. С другой стороны, при желании его можно определить
как четырехугольник, имеющий ровно одну пару параллельных
противоположных сторон. Если вы выберете первое определение, то
параллелограмм также является трапецией. Если выбрать второе
определение, то это не так. Теперь, если идея о том, что определения
произвольны, хорошо усвоена, вышеприведенный факт не вызовет
путаницы, в противном случае он может вызвать большую
путаницу).
Приведенные выше пять предположений не обязательно отражают все аспекты
определений в высшей математике. Как утверждалось выше, эти допущения очень
часто отражаются в педагогике преподавания математики. Беглый взгляд на
большинство учебников для средней школы и колледжей, а они демонстрируют
определенную заботу о педагогике, покажет, что определения играют важную роль
в изложении материала курса. Возьмем, к примеру, понятие абсолютного значения
числа. Лучшая его характеристика состоит в том, что это число без знака или
знаков, Это совершенно ясно для студентов, и именно это большинство из них
говорит вам, когда вы спрашиваете их об абсолютной величине. Вряд ли вы найдете
учебник, в котором об этом упоминается. Другая возможность охарактеризовать
абсолютную величину числа - сказать, что это расстояние числа от нуля на
числовой прямой. Это тоже вполне понятно учащимся, но, возможно, менее
понятно, чем первая характеристика. Вы можете найти несколько учебников и
учителей, которые используют его, но все же большинство учителей и учебников
будут избегать его. Таким образом, большинство учителей и учебников будут
использовать одно из определений, приведенных выше. Однако некоторые
преподаватели знают, что эти определения довольно неясны и запутанны для
большинства студентов. Выступая за то, что можно не использовать эти
формальные определения, мы не игнорируем необходимость, на более позднем
этапе, знать, что
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
67
68
ШЛОМО ВИННЕР
Студент должен использовать ее при решении алгебраических уравнений и
неравенств с абсолютной величиной. Однако приведенная выше формула может
быть дана и объяснена студенту на более позднем этапе как утверждение об
абсолютной величине, а не как ее формальное определение.
На примере абсолютной величины мы хотели бы отметить следующее: при
принятии решения о педагогике преподавания математики необходимо принимать
во внимание не только вопрос о том, как ученики должны усвоить
математические понятия, но и, возможно, главным образом, как ученики
действительно усваивают эти понятия.
2. КОГНИТИВНАЯ СИТУАЦИЯ
"Против определения" - это название статьи Фодора и других (1980). В работе
обсуждается то, как "понятие определения послужило для связи нескольких
аспектов классической теории языка друг с другом и с широко признанными
представлениями о приобретении понятий". Авторы спорят с некоторыми широко
принятыми взглядами в когнитивной психологии, особенно со следующими
тремя:
1. "Определение слова определяет его расширение" (с. 266).
2. "Понять слово - значит восстановить его определение" (с. 274).
3. "Определения выражают разложение понятий на их элементы" (с. 276).
Фодор и другие утверждают, что эти взгляды не имеют под собой
психологического основания. Они приводят некоторые экспериментальные
доказательства, которые опровергают эти взгляды. В частности, по мнению Фодора
и других, опровергается следующее утверждение: "Понимание лексемы предложения
включает восстановление (т.е. отображение в рабочей памяти) определения
таких лексических единиц, которые содержатся в предложении". Таким
образом, понимая лексему предложения или пытаясь понять ее, люди обычно не
обращаются к определениям терминов, которые встречаются в предложении. Фодор и
др. имеют дело с предложениями, взятыми из контекстов повседневной жизни.
Внимательное изучение их утверждений, даже без учета их экспериментальных
доказательств, может привести к выводу, что эти утверждения не только
чрезвычайно разумны, но даже тривиальны. Это происходит главным образом
потому, что многие слова в повседневном языке не имеют определений (хотя в
словарях они как-то "определены"). Вспомните "машина", "стол", "дом", "зеленый",
"красивый" и т.д., и вы сразу поймете, что при понимании, например, предложения
"моя красивая зеленая машина припаркована перед моим домом" вы не
обращаетесь к определениям. Остается вопрос, к чему вы обращаетесь при
понимании этого предложения, и мы не уверены, что Фодор и др. дают четкий
ответ на этот вопрос. В данном конкретном предложении вы не будете обращаться
к определениям, потому что для соответствующих слов нет определений. С другой
стороны, в отличие от контекстов повседневной жизни, существуют "технические
контексты". В этих контекстах значение термина задается условием.
Термины определяются, как в математике. Следовательно, если вы находитесь
в "техническом контексте", вам следует обратиться к определениям, иначе могут
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
69
возникнуть ошибки. Конечно, нет необходимости обращаться к определениям
(которых не существует), когда пытаешься понять предложение "среди всех машин
на стоянке моя зеленая машина самая красивая". Однако необходимо обращаться к
определениям, когда пытаешься понять предложение: "Среди всех
прямоугольников с одинаковым периметром квадрат является самым
70
ШЛОМО ВИННЕР
тот, который имеет максимальную площадь". Обратите внимание, что в
повседневной жизни большинство людей не считают квадрат
прямоугольником, в то время как во всех математических контекстах квадрат это прямоугольник.
Когда Фодор и другие говорили "против определений", они имели в виду
нетехнический контекст. Они хотели опровергнуть определенную
лингвистическую теорию о роли определений в нетехнических
мыслительных процессах. Однако в технических контекстах, в отличие от
нетехнических, вопрос заключается не в том, как ведут себя люди, а в том, как
они должны себя вести. В технических контекстах предполагается, что люди
должны обращаться к определениям соответствующих технических терминов. С
другой стороны, зная огромное влияние, которое повседневная жизнь оказывает на
любую ситуацию, разумно предсказать, что определения будут игнорироваться
многими людьми и в технических контекстах. Это действительно происходит, как
мы покажем далее. Итак, к чему прибегают люди, когда имеют дело с
техническими терминами в технических ситуациях? Мы попытаемся
ответить на этот вопрос в следующем разделе
3. КОНЦЕПТУАЛЬНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
Концептуальное имя, увиденное или услышанное, является стимулом для
нашей памяти. Имя понятия вызывает в нашей памяти нечто. Обычно это не
определение понятия, даже в том случае, если понятие имеет определение. Это то,
что мы называем "образом понятия" (Tall & Vinner, 1981; Vinner, 1983), а другие
(Davis, 1984) называют это "фреймом понятия".
Образ концепта - это нечто невербальное, ассоциирующееся в нашем
сознании с названием концепта. Это может быть визуальная репрезентация
концепта, если концепт имеет визуальные репрезентации; это также может
быть набор впечатлений или опыта. Визуальные репрезентации, мысленные
образы, впечатления и опыт, связанные с именем концепта, могут быть переведены
в вербальные формы. Но важно помнить, что эти словесные формы не были
первыми, которые возникли в нашей памяти. Они возникли лишь на более
позднем этапе. Например, услышав слово "стол", в сознании может возникнуть
образ определенного стола. Также может возникнуть опыт сидения за столом, еды за
столом и т.д. Вы можете вспомнить, что многие столы сделаны из дерева, у
большинства из них четыре ножки; обычно на стол не ложатся, на него можно сесть,
но это может быть расценено некоторыми людьми как невежливое поведение. С
другой стороны, когда вы слышите слово "функция", вы можете вспомнить
выражение "y = f(x)", вы можете представить себе график функции, вы можете
думать о конкретных функциях, таких как y = x2 или y = sinx, y = lnx и т. д. Из
сказанного ясно, что говорить о концептуальном образе можно только
применительно к конкретному человеку. Кроме того, один и тот же человек может
по-разному реагировать на определенный термин (имя понятия) в разных ситуациях.
В работе Tall & Vinner (1981) введен термин "вызванный концептуальный образ"
для описания части памяти, вызванной в определенном контексте. Это не
обязательно все, что знает конкретный человек об определенном понятии. В целом,
хотя мы не всегда используем термин "вызванный образ понятия" в дальнейшем,
читатель должен всегда помнить об этом.
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
71
4. ФОРМИРОВАНИЕ КОНЦЕПЦИИ
Мы предполагаем, что усвоить понятие - значит сформировать для него концептуальный
образ. Знание наизусть определения понятия не гарантирует понимания понятия.
Понимание, как мы полагаем, означает наличие концептуального образа. Со
словами должен быть связан определенный смысл. Например, знание того, что
множество мощности данного множества - это множество всех подмножеств
данного множества, ничего не значит, если не удастся построить несколько
множеств мощности данного множества. Следовательно, образ понятия
силового множества может включать в себя некоторые воспоминания о
построении некоторых силовых множеств.
Большинство понятий в повседневной жизни, таких как дом, апельсин, кошка и
т.д., приобретаются без привлечения определений. С другой стороны, некоторые
понятия, даже понятия повседневной жизни, могут быть введены с помощью
определений. Слово "лес" можно представить ребенку, сказав "много-много
деревьев вместе" (определение словаря Merriam Webster "большой густой лес,
состоящий из деревьев и подлеска", конечно, бесполезно для маленького ребенка).
Подобные определения помогают сформировать образ понятия. Но как только
образ сформирован, определение становится бесполезным. Оно остается
неактивным или даже забывается при работе с высказываниями о
рассматриваемом понятии. Таким образом, для роли определения в формировании
понятия можно предложить "метафору строительных лесов": в момент завершения
строительства здания строительные леса убираются.
5. ТЕХНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ
В технических контекстах определения могут играть чрезвычайно важную роль.
Они не только помогают сформировать образ понятия, но и очень часто играют
решающую роль в когнитивных задачах. Они способны уберечь вас от многих
ловушек, которые расставляет концептуальный образ. Например, если вас просят
найти максимальное значение функции в замкнутом интервале, а вы вспоминаете
график,
соответствующий
локальному
максимуму,
и
пытаетесь
продифференцировать данную функцию и найти нули производной, то явное
определение максимального значения в замкнутом интервале может помочь вам
рассмотреть другие возможности, отличные от локальных максимумов. Иногда это
может предотвратить ошибки. Отсутствие определения в приведенном выше
случае может вызвать у многих студентов зацикливание на технике
дифференцирования, связанной с понятием максимального значения. Техника
дифференцирования приводит к желаемым результатам во многих случаях, но
не во всех.
Таким образом, технические контексты навязывают студентам некоторые
привычки мышления, которые полностью отличаются от тех, которые
характерны для контекстов повседневной жизни. Можно предсказать, что, по
крайней мере, в начале процесса обучения, привычки мышления повседневной
жизни возьмут верх над привычками мышления, навязанными техническими
контекстами.
72
ШЛОМО ВИННЕР
6. ОБРАЗ КОНЦЕПТА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ
КОНЦЕПТА - ЖЕЛАТЕЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И
ПРАКТИКА
Чтобы представить наши идеи с помощью диаграмм (как в Vinner, 1983),
предположим существование двух различных "клеток" в нашей когнитивной
структуре (чтобы избежать путаницы, мы не имеем в виду биологические клетки).
Одна ячейка предназначена для определения (определений) понятия, а вторая
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
73
предназначена для концептуального изображения. Одна ячейка или даже обе могут
быть пустыми. (Ячейка образа понятия считается пустой до тех пор, пока с именем
понятия не связан какой-то смысл. Это может произойти во многих ситуациях,
когда определение понятия запоминается бессмысленно). Между этими двумя
ячейками может существовать определенное взаимодействие, хотя они могут быть
сформированы независимо друг от друга. Ученик может иметь
концептуальный образ понятия системы координат в результате того, что он
видел много графиков в различных ситуациях. Согласно этому представлению, две
оси системы координат перпендикулярны друг другу. В дальнейшем учитель
математики может определить систему координат как любые две
пересекающиеся прямые линии. В результате этого могут возникнуть три
сценария:
(I) Понятийный образ может быть изменен, чтобы включить в него также
системы координат, оси которых не образуют прямого угла. (Это
удовлетворительная реконструкция или аккоммо-дация).
(II) Образ понятия может остаться таким, какой он есть. В ячейке
определения некоторое время будет храниться определение учителя, но
через некоторое время это определение будет забыто или искажено, и
когда ученика попросят дать определение системы координат, он
будет говорить об осях, образующих прямой угол. (В этом случае
формальное определение не было усвоено).
(III) Обе ячейки останутся такими, какие они есть. В тот момент, когда
ученика попросят дать определение системы координат, он повторит
определение своего учителя, но во всех остальных ситуациях он будет
думать о системе координат как о конфигурации двух
перпендикулярных осей.
Аналогичный процесс может происходить, когда понятие впервые вводится с
помощью определения. Здесь ячейка образа понятия вначале пуста. После
нескольких примеров и объяснений она постепенно заполняется. Однако она не
обязательно отражает все аспекты определения понятия. Могут возникнуть
сценарии, схожие с приведенными выше (I)-(III). Это показано на рисунке 2.
Рисунок 2 : Взаимодействие между образом понятия и определением понятия
Другой иллюстрацией вышеприведенного (II) является следующий пример:
Есть много студентов, которые готовы поклясться, что определение
предела последовательности - это число, к которому элементы данной
последовательности становятся все ближе и ближе, но никогда не достигают его.
Таким образом, последовательность, n-й элемент которой задаетсяn =(-1)2n, не
и м е е т предела (см. также §7).
74
ШЛОМО ВИННЕР
Дальнейшей иллюстрацией вышеприведенного (II) является следующее:
Некоторые студенты, изучив современное понятие функции, скажут, что
функция - это любое соответствие между двумя множествами, которое
приписывает каждому элементу первого множества
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
75
ровно один элемент второго множества. С другой стороны, они не признают,
что соответствие, приписывающее каждому ненулевому числу его квадрат и
приписывающее -1 нулю, является функцией (см. также §7).
Рисунок 2 относится к долгосрочным процессам формирования концепта. Нам
кажется, что многие преподаватели на среднем и высшем уровнях ожидают
одностороннего процесса формирования концепта, как показано на рисунке 3, а
именно, они ожидают, что образ концепта будет сформирован с помощью
определения концепта и будет полностью контролироваться им.
Рисунок 3 :Когнитивный рост формального понятия
В дополнение к процессу формирования концепции существуют также
процессы решения проблем или выполнения заданий. Когда перед учеником
ставится когнитивная задача, предполагается, что активизируются клетки образа
понятия и клетки определения понятия. Опять же, нам кажется, что многие
преподаватели на среднем и высшем уровне ожидают, что интеллектуальные
процессы, связанные с выполнением данного интеллектуального задания, должны
быть схематично выражены одним из трех следующих рисунков (рисунки
представляют только аспекты образа понятия и определения понятия, вовлеченные
в процесс). Стрелки на рисунках представляют различные способы, которыми
может функционировать когнитивная система.
Рисунок 4 : Взаимодействие между определением и изображением
76
ШЛОМО ВИННЕР
Рисунок 5 : Чисто формальная дедукция
Рисунок 6 : Дедукция, следующая за интуитивным мышлением
Общей чертой всех процессов, показанных на рисунках 4-6, является следующее:
независимо от того, как реагирует ваша система ассоциаций, когда перед вами
ставится проблема в техническом контексте, вы не должны формулировать свое
решение до ознакомления с определением концепции. Это, конечно, желательный
процесс. К сожалению, на практике все обстоит иначе. Трудно обучить
когнитивную систему действовать против своей природы и заставить ее
обращаться к определениям либо при формировании образа понятия, либо при
работе над когнитивной задачей. Следовательно, более подходящей моделью для
процессов, которые действительно происходят на практике, является следующая:
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
77
Рисунок 7 : Интуитивный ответ
В данном случае ячейка определения понятия, даже если она непустая, не
используется в процессе решения проблемы. Мыслительные привычки
повседневной жизни берут верх, и респондент не знает о необходимости обращения
к формальному определению. Излишне говорить, что в большинстве случаев
обращение к ячейке образа понятия будет вполне успешным. Этот факт не
побуждает людей обращаться к ячейке определения понятия. Только
нестандартные проблемы, в которых неполные образы понятий могут ввести
в заблуждение, могут побудить людей обратиться к образу понятия. Такие
задачи встречаются редко, и когда они даются студентам, то считаются
несправедливыми. Таким образом, не существует очевидной силы, способной
изменить общепринятые привычки мышления, которые в принципе неуместны в
технических контекстах.
Прежде чем завершить этот раздел, мы хотели бы напомнить читателю о "вызванном
концептуальном образе", упомянутом ранее в §3. В конкретной когнитивной задаче
мы имеем дело только с вызванным образом понятия. Мы не утверждаем, что при
других обстоятельствах тот же образ будет вызван снова. Таким образом, в нашем
обсуждении мы не оцениваем чью-то когнитивную систему. Наш анализ
относится только к той части когнитивной системы, которая была
активирована при работе над данной когнитивной задачей.
7. ТРИ ИЛЛЮСТРАЦИИ ОБЩИХ КОНЦЕПТУАЛЬНЫХ ОБРАЗОВ
В этом разделе мы приведем некоторые экспериментальные данные в
поддержку нашего утверждения о том, что большинство студентов не
используют определения при решении когнитивных задач в технических
контекстах. Точнее говоря, мы утверждаем, что обычные курсы в средней школе и
колледже не развивают у студентов естественных наук, не специализирующихся
на математике, привычки мышления, необходимые для работы в технических
контекстах. Студенты продолжают использовать привычки мышления
повседневной жизни и в технических контекстах. (К счастью для студентов, это не
мешает им сдавать экзамены).
Понятия, которые мы собираемся обсудить, - это понятие функции, понятие
78
ШЛОМО ВИННЕР
касательной и понятие предела последовательности. Поскольку более подробный
отчет о них можно найти в других источниках (Davis & Vinner, 1986; Tall & Vinner,
1981; Vinner 1982, 1983), мы представим здесь только основные аспекты
полученных результатов и метод их получения. A
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
79
естественный способ узнать определение чьего-либо понятия - это прямой вопрос
(что такое функция? что такое касательная? и так далее). Это связано с тем, что
определения являются вербальными и явными. С другой стороны, чтобы
узнать о чьем-то концептуальном образе, обычно задаются косвенные вопросы,
поскольку концептуальный образ может быть невербальным и неявным. Таким
образом, основная задача исследователя - придумать вопросы, которые
потенциально могут раскрыть концептуальный образ респондента. Приведем
некоторые из них. Следующая анкета была дана 147 учащимся, изучавшим
математику на высоком уровне в 10 и 11 классах. В первых трех вопросах учеников
просили выбрать между "да" и "нет" и объяснить свои ответы.
1. Существует ли функция, в которой каждому числу, отличному от 0,
соответствует его квадрат, а 0 соответствует -l?
2. Существует ли функция, в которой каждому положительному числу
соответствует 1, каждому отрицательному числу соответствует -1, а 0
соответствует 0?
3. Существует ли функция, график которой имеет следующий вид?
Рисунок 8 : Является ли этот график функцией?
4. По вашему мнению, что такое функция?
Понятие функции было преподано всем студентам в соответствии с современным
подходом, а именно: функция - это соответствие между двумя множествами,
которое каждому элементу первого множества приписывает ровно один элемент
второго множества. Несмотря на это, только 57% студентов дали это определение
или что-то, что частично эквивалентно ему, в качестве ответа на вопрос
4. (Обратите внимание, что мы имеем дело с хорошими студентами. Таким
образом, цифра 57%, которая в других обстоятельствах может считаться
большим достижением, в данной ситуации таковой не является.) 14% студентов
сказали, что функция - это правило соответствия, исключающее возможность
произвольного соответствия. Правила не могут быть произвольными. Они должны
иметь логическое или математическое основание. Еще 14% утверждали, что
функция - это алгебраический термин, формула, уравнение или арифметическая
80
ШЛОМО ВИННЕР
операция. Остальные не дали ответа или дали неудовлетворительный ответ.
Когда дело дошло до понятийных образов, оказалось, что в определенных
ситуациях
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
81
(вопросы 1 и 2) от одной трети до двух третей студентов считают, что функция
должна задаваться одним правилом или, если даны два правила, их областями
должны быть полупрямые или интервалы. Правило для одной точки (как в вопросе
1) не допускается. Некоторые студенты считают, что соответствия, которые не
задаются алгебраическим правилом, не являются функциями, если только
математическое сообщество не объявило их функциями, дав им название или
специальную нотацию. (Это нашло отражение в ответах на вопрос 2). Другие
студенты (около 2/5) считают, что график функции должен быть регулярным,
устойчивым, разумно возрастающим и т.д. (это отразилось в ответах на вопрос
3). Таким образом, многие студенты, правильно определившие понятие
"функция", не использовали свое определение при ответах на вопросы 1-3.
Фактически, только одна треть студентов, давших правильное определение
функции, также правильно ответили на вопросы 1-3. Ни один студент с
неправильным определением не ответил правильно на вопросы 1-3.
Рассмотрим теперь понятие касательной. Обычно его вводят студентамматематикам на курсах геометрии в контексте окружности. Определение
касательной к окружности является простым, а ее визуальное представление наглядным:
Рисунок 9 : Касательная к окружности
Эта картинка может служить средством для построения образа концепции
касательной в дополнительных случаях, например:
Рисунок 10 : Мысленный образ касательной
Студенты, изучающие курс исчисления, обычно получают формальное или
полуформальное определение касательной к графику дифференцируемой функции.
Однако их концептуальный образ, построенный на основе опыта с картинками,
подобными рисункам 9 и 10, может содержать принудительные элементы
82
ШЛОМО ВИННЕР
которые настаивают на том, что касательная может пересекать кривую только в
одной точке и не может пересекать кривую в этой точке. Как мы увидим, такой
концептуальный образ может привести к тому, что учащиеся нарисуют линию,
которая не является касательной в нужной точке, но при этом обладает общими
свойствами концептуального образа. Как и в главе 1, Талл (1987) назвал такое
понятие общей касательной.
Следующий вопросник был задан 278 студентам первого курса колледжа на курсах
по исчислению, предназначенных для студентов естественных наук (не
специализирующихся на математике).
Здесь изображены три кривые. На каждой из них обозначена точка P.
Рядом с каждой из них приведены три утверждения. Обведите кружком
утверждение, которое кажется вам верным, и следуйте указаниям в
скобках.
A. Через P можно провести ровно одну касательную к кривой (нарисовать ее).
B. Через P можно провести более одной касательной (укажите сколько,
одну, две, три, бесконечно много. Нарисуйте их все, если их число
конечное, и некоторые из них, если оно бесконечно).
C. Невозможно провести через P касательную к кривой.
Рисунок 11: Какие графики имеют касательную(ие) в точке P?
4. Дайте определение касательной, которое вы помните из этого курса или
из предыдущих курсов. Если вы не помните определение тангенса,
попробуйте определить его самостоятельно.
Кривые в 1,2,3 являются графиками y = x3, y = и
но это не было дано студентам. Касательная определялась в указанных курсах либо
как предел секущей, либо как линия, имеющая общую точку с графиком функции,
наклон которой является производной в данной точке. Однако только 41 %
студентов дали одно из определений курса в качестве ответа на вопрос 4. 35 %
дали описания, которые подходят для случая касательной к окружности. Они
утверждают, что касательная касается кривой, но не пересекает ее, или что она
пересекает кривую, но не разрезает ее, или что у нее есть общая точка с кривой, но
она находится по одну сторону от кривой. Остальные не дали никаких определений
или дали бессмысленные определения. Образы понятий студентов были выражены в
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
ответах на вопросы 1, 2, 3 и приведены в следующих таблицах.
83
84
ШЛОМО ВИННЕР
Таблица I : Распределение рисунков студентов на вопрос 1 (N=278)
Таблица II: Распределение рисунков студентов на вопрос 2 (N=278)
Таблица III: Распределение рисунков студентов на вопрос 3 (N=278)
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
85
Некоторые рисунки особенно интересны. Например, в 1B, 2B и 3B студенты
пытаются заставить график соответствовать образу, сформированному касательной
к окружности. 1B и 3B кажутся классическими "общими касательными",
порожденными образом их концепции, 2D - это обобщение, в котором
"касательная" уравновешена на дуге. В 1С, 2D (нижний рисунок) и 3С есть еще
один феномен. Возможно, старый концептуальный образ (касательная к
окружности) и новый концептуальный образ (построенный по определению курса)
действуют на сознание студента одновременно. Это хорошо известное явление в
научном обучении, где очень часто в мышлении студентов старые схемы
встречаются вместе с новыми. Талл (1987) обнаружил, что некоторые студенты
отвечают динамическим изображением касательной, например, намекая, что
картина на рисунке 3B такова, что касательная "начинает поворачивать" в
рассматриваемой точке, и поэтому касательная нарисована под наклоном, чтобы
представить эту тенденцию, хотя студент может чувствовать, что поворот на самом
деле начинается только после того, как
соответствующий пункт.
В 2C и 3D студенты даже придумывают случай бесконечно большого количества
касательных, с одной стороны, чтобы удовлетворить старый образ, сформированный
окружностью, а с другой стороны, понимая, что нет причин предпочитать одну
"касательную", проведенную в соответствии со старым образом, другим,
бесконечно многим "касательным". В отличие от этих студентов, в 2D (верхний
рисунок) и 3B есть студенты, которые, возможно, предпочитают некую
симметрию и поэтому остаются с одной касательной, или, возможно, принимают
з а отправную точку, что должна быть только одна касательная, и поэтому делают
вывод, что это должна быть та, которая обладает симметрией.
Наконец, мы скажем несколько слов о понятии предела последовательности.
Хотя наши результаты получены на очень маленькой выборке (N=15), они более
чем типичны по следующим причинам:
(1) Респонденты - математически одаренные студенты университетской средней школы.
(2)Для обучения их понятию предела была использована "соответствующая
педагогика" (при этом учитель осознавал необходимость
приведения типичных и нетипичных примеров последовательностей,
которые стремятся или не стремятся к пределу. Это, конечно, в
дополнение к формальному определению. Более подробно см. Davis &
Vinner, 1986).
Эта концепция была преподана студентам в конце одиннадцатого класса. Сразу
после летних каникул, в первый день занятий, учитель дал ученикам в качестве
письменного теста следующее:
Мне нужно знать, как много вы помните о понятии предела
последовательности. Пожалуйста, напишите несколько абзацев, чтобы
показать мне, что вы помните. Я предложил вам включить:
1) Описание последовательности в интуитивных или неформальных терминах.
2) Точное формальное определение.
Из 15 студентов только один дал ответ, который можно считать
86
ШЛОМО ВИННЕР
свидетельством достаточно глубокого понимания концепции. Это был:
Предел последовательности - это число, начиная с которого все члены
последовательности после некоторого момента отличаются только на
небольшое число ε.
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
87
(В этом ответе пропущен самый важный элемент формального
определения, а именно утверждение о том, что сказанное выше верно для
каждого ε>0. Таким образом, этот ответ трактуется совершенно буквально. Если бы
были приняты жесткие меры, то результатом было бы то, что ни один студент не
показал глубокого понимания формального определения. Способность
построить формальное определение является для нас возможным признаком
глубокого понимания. Конечно, этого недостаточно, поскольку реконструкция
формального определения может быть получена путем заучивания).
У остальных 14 студентов были обнаружены некоторые типичные заблуждения,
которые повлияли на формальные определения, которые студентам было
предложено дать. В нашей терминологии определение понятия
реконструировалось путем обращения к образу понятия. Поскольку образ понятия
был неверным, это привело к неправильному формальному определению.
Основными заблуждениями были:
(1) Последовательность "не должна достигать своего предела" (так, о
последовательности: 1, 1,1,... можно сказать, что она не сходится к
пределу),
(2) Последовательность должна быть либо монотонно возрастающей,
либо монотонно убывающей (так, например, последовательность, nй элемент которой задается an = 1+(-1 )n/n, не стремится к пределу),
(3) Предел - это "последний" член последовательности. Вы пришли к пределу,
"пройдя" через бесконечно много элементов.
В трех центральных понятиях, рассмотренных выше, существует конфликт
между формальным определением и типичными примерами понятия, что может
привести к неправильному образу понятия. Результаты показывают, что, несмотря
на акцент, который был сделан на определении понятий, многие студенты не
использовали их при работе над заданиями, в которых должны были
использоваться формальные определения. Это может привести к двум
противоположным выводам:
(1)Отказ от цели изменить привычки мышления студентов с бытовых на
технические.
(2)Попытка изменить привычки мышления студентов путем
соответствующей обработки (возможно, как самостоятельная тема,
которая может привести к большей осведомленности. Включение
этой темы в общие курсы не привлекает достаточного внимания, что
может привести к желаемым результатам). Подробнее об этой дилемме в
следующем разделе.
8. НЕКОТОРЫЕ ПОСЛЕДСТВИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАНИЯ
Здесь мы хотели бы порекомендовать два дидактических правила, которые имеют
отношение к проблеме, поднятой в данной работе.
(1) Чтобы избежать ненужных когнитивных конфликтов с учениками,
(2)Инициировать когнитивные конфликты с учениками, когда эти
конфликты необходимы для того, чтобы поднять учеников на более
88
ШЛОМО ВИННЕР
высокую интеллектуальную ступень. (Это следует делать только тогда,
когда шанс достижения более высокой интеллектуальной стадии
достаточно высок).
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
89
Ранее мы утверждали, что одним из богов преподавания математики должно
быть изменение привычек мышления от повседневного образа жизни к
техническому. Это не может быть сделано за короткий период времени и не может
быть успешным со всеми. Мы считаем, что математические понятия, если это
позволяет их природа, следует приобретать в повседневном режиме формирования
понятий, а не в техническом. Начинать следует с различных примеров и непримеров, с помощью которых будет формироваться образ понятия.
Это не означает, что формальное определение не должно быть представлено
ученику. Однако учитель или автор учебника должны знать, какое влияние
такое введение может оказать на мышление ученика. (Если понятие не слишком
сложное, учитель может даже попросить учеников предложить свое определение
понятия). Если наши студенты являются кандидатами в продвинутые математики,
то, несомненно, они должны быть обучены использовать определение в качестве
конечного критерия в различных математических задачах. Но для достижения этой
цели необходимо сделать больше, чем просто представить определение. Нужно
указать на противоречия между образом понятия и формальным определением и
глубоко обсудить странные примеры (например, касательную к графику y = x 3 в точке
(0,0) или предел последовательности, n-й элемент которой равен (-1)2 n, n=1,2,3 . .. и
т.д.). С другой стороны, если наши ученики не являются кандидатами на углубленное
изучение математики, то лучше избегать конфликтов. Нет ничего плохого,
если ученики запомнят формальное определение и будут повторять его в
различных случаях. С другой стороны, учитель и автор учебника могут даже
считать, что они выполнили свою задачу, введя формальное определение. Но
они не должны питать иллюзий относительно когнитивной силы, которую это
определение оказывает на математическое мышление ученика.
Таким образом, роль определений в данном курсе математики должна
определяться в соответствии с желаемыми образовательными целями, которые
должны быть достигнуты с данными учащимися. Если студенты являются
кандидатами на углубленное изучение математики, то необходимо не только
давать и обсуждать определения, но и научить студентов использовать их в
качестве конечного критерия при решении математических задач. Эта цель
может быть достигнута только в том случае, если ученикам будут даваться
задачи, которые нельзя решить правильно, обращаясь только к понятийному
образу. До тех пор, пока обращение к концептуальному образу будет приводить к
правильному решению, ученик будет продолжать обращаться к концептуальному
образу, поскольку эта стратегия проста и естественна. Только неудача может
убедить ученика в том, что он должен использовать определение понятия в
качестве конечного критерия поведения. Таким образом, мы считаем, что
изменение привычек мышления учащихся с повседневного на технический способ
является важной целью обучения математике. В отличие от Фодора и других
(1980), мы выступаем за определение, а не против него, но мы утверждаем, что
этот аспект определения не может быть достигнут со всеми учащимися.
Могут существовать различные мнения о проценте студентов, способных к
этому аспекту, и существует также практический вопрос, как определить, может ли
определенный студент изменить свои мыслительные привычки с повседневного
режима на технический режим. На эти вопросы у нас пока нет ответов.
Поэтому решения о целях обучения определениям следует оставить за умным и
чутким учителем математики.
Роль определения в математическом мышлении почему-то игнорируется в
90
ШЛОМО ВИННЕР
официальных
контекстах (учебники, документы о целях преподавания математики и т.д.). Мы не
уверены, происходит ли это потому, что это считается само собой разумеющимся,
или потому, что это упускается из виду. Необходимо помнить, что есть
некоторые контексты, в которых обращение к формальному определению
является критическим для правильного выполнения заданий (среди них определение примеров и непримеров данного понятия, решение задач и
математические доказательства). С другой стороны, мы хотим быть реалистами в
отношении шансов на достижение вышеуказанных целей.
РОЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В ПРЕПОДАВАНИИ И ОБУЧЕНИИ
91
цели. Мы не верим в "математику для всех". Мы верим в некоторую математику
для некоторых учеников. И даже это может быть достигнуто только с
помощью соответствующей педагогики при соответствующих условиях
обучения.
92
Посмотреть статистику публикаций
ШЛОМО ВИННЕР