1
УРФУ: ФТИ
Практическое занятие 2
Параметрические уравнения поверхности
Пример 2.1. Записать параметрические уравнения цилиндра с радиусом
основания a (рисунок 1), выписать формулы для касательных векторов к гауссовским координатным линиям и записать первую квадратичную форму.
Р е ш е н и е. За параметры точки M принимаем длину дуги s , отсчитываемую от точки A против часовой стрелки и координату z по третьей оси (для
простоты примем обычные декартовы обозначения для координат).
Рис. 2.1.
Тогда, учитывая, что (рисунок 2.1)
L = 2 a  s = a   =
s
, 0  s  2 a , −  z  +
a
для ведущего радиус-вектора точек поверхности получаем:
→
→
s→
s→
x ( s, z ) = a cos e 1 + a sin e 2 + z e 3 ,
a
a
→
→
x
s→
s→
rs =
( s, z ) = − sin e 1 + cos e 2 + 0  e 3 ,
s
a
a
→
→
→
→
→
x
rz =
( s, z ) = 0  e 1 + 0  e 2 + 1  e 3 .
z
→
Применим обозначения:
2
УРФУ: ФТИ
dL = Edu + 2Fdudv + Gdv  dL = Eds + 2Fdsdz + Gdz 2 ;
→ → 
→ → 
→ → 
E =  r s, r s ; F =  r s, r z ; G =  r z , r z  .






2
2
2
2
2
Вычисляя значения коэффициентов квадратичной формы, имеем:
→ → 
→ → 
→ → 
E =  r s , r s  = 1; F =  r s , r z  = 0 ; G =  r z , r z  = 1.






Первая квадратичная форма поверхности принимает вид
dL2 = ds 2 + dz 2 . 
Пример 2.2. Поверхность в пространстве
→
R 3 задана параметризацией
→ →
→
→
→
 
1
2
1
2
2
x = x  u  = a cos u cos u e 1 + a sin u cos u e 2 + a sin u e 3 .
 
1) Выяснить, какая поверхность описывается данной параметризацией.
2) Записать параметрические уравнения гауссовских координатных линий,
проходящих через отмеченную точку поверхности
→ 
N u 0 .
 
3) Найти касательные векторы к гауссовским координатным линиям и записать параметрические уравнения касательной плоскости в отмеченной точке
→ 
N  u 0  поверхности, соответствующей фиксированному допустимому значе 
→
нию параметрического вектора u 0 .
4) Записать первую квадратичную форму поверхности.
→
Р е ш е н и е. 1) Находим норму
x ведущего вектора поверхности для
произвольной её точки:
→ 2
( ) ( ) ( )=
= ( a cos u cosu ) + ( a sin u cosu ) + ( a sin u )
2
x = x1 + x 2
1
2 2
2
+ x3
2
1
2 2
2 2
=
= a 2 cos2 u1 cos2 u 2 + a 2 sin 2 u1 cos2 u 2 + a 2 sin 2 u 2 = a 2 .
Таким образом, все точки поверхности равноудалены от начала координат. По→
верхность, очевидно, является сферой радиуса
a= x .
3
УРФУ: ФТИ
2) Параметрические уравнения гауссовских координатных линий, проходящих через отмеченную точку
→ 
N  u 0  поверхности, находим, фиксируя по 
очерёдно значения координат параметрического вектора поверхности, указыва-
→ 
ющего в точку N  u 0  :
 
→
→
2
x1 = a cosu
e 1 + a sin u
e 2 + a sin u0 e 3 ;
→
→
→
→
1
2
1
2
2
x 2 = a cos u0 cos u e 1 + a sin u0 cos u e 2 + a sin u e 3 .
1
cosu02
→
1
cosu02
→
3) Касательные векторы к гауссовским координатным линиям в точке поверхности, соответствующей произвольному допустимому значению парамет→
рического вектора
u,
→
находятся по формулам:
→
j
   x   d x1 3 f1  →  →
r1  u  = 1  u   1 =  1  u  e j =
j =1 u  
  u   du
f11  →  → f12  →  → f13  →  →
= 1  u  e1 + 1  u  e 2 + 1  u  e 3 ;
u  
u  
u  
→
→
→
→
→
j
   x   d x 2 3 f 2  →  →
r2u = 2 u  2 =  2 ue j =
j =1 u  
  u   du
f 21  →  → f 22  →  → f 23  →  →
= 2  u  e1 + 2  u  e 2 + 2  u  e 3 .
u  
u  
u  
→
→
→
Далее, используя векторную параметризацию поверхности, находим касательные векторы к гауссовским координатным линиям в точке поверхности, соответствующей произвольному допустимому значению параметрического вектора:
→
   x  →
r1  u  = 1  u  =
  u  
→
→
→
→
→



1
2
1
2
2
= 1 a cos u cosu e 1 + 1 a sin u cosu e 2 + 1 a sin u e 3 =
u
u
u
(
)
(
→
)
→
= −a sin u cos u e 1 + a cos u cos u e 2 ;
1
2
→
1
2
→
   x → 
1
2
r 2  u  = 2  u  = 2 a cos u cosu e 1 +
  u   u
→
→
(
)
(
)
4
+
УРФУ: ФТИ


1
2
a
sin
u
cosu
e
+
a sin u 2 e 3 =
2
2
2
u
u
(
)
(
→
→
)
→
→
→
= −a cos u sin u e 1 − a sin u sin u e 2 + a cos u e 3 .
1
2
1
2
2
→
Фиксируя значение параметрического вектора u 0 , получаем для касательных
векторов к гауссовским координатным линиям в точке поверхности, соответствующей данному допустимому значению параметрического вектора, следующие выражения:
→
→
→
   x → 
1
2
1
2
r 1  u 0  = 1  u 0  = −a sin u0 cos u0 e 1 + a cos u0 cos u0 e 2 ;
  u  
→
→
→
   x → 
r 2  u0  = 2  u0  =
  u  
→
→
→
→
→
= −a cos u sin u e 1 − a sin u sin u e 2 + a cos u e 3 .
1
0
2
0
1
0
2
0
2
0
Векторное параметрическое уравнение касательной плоскости поверхно-
→ 
сти в точке N 0 = N  u 0  имеет вид:
 
→ →
→
→ →
→ →
 
 
 
x  u  = x 0 + t1 r 1 u 0  + t2 r 2  u 0  .
 
 
 
4) Находим метрические коэффициенты, вычисляя значения скалярных
произведений касательных векторов к гауссовским координатным линиям:
→ → 
g11 =  r 1 , r 1  = a 2 sin 2 u1 cos2 u 2 + a 2 cos2 u1 cos2 u 2 = a 2 cos2 u 2 ;


→ → 
g12 = g21 =  r 1, r 2  =


= a 2 sin u1 cos u1 sin u 2 cos u 2 − a 2 sin u1 cos u1 sin u 2 cos u 2 = 0 ;
→ → 
g22 =  r 2 , r 2  = a 2 cos2 u1 sin 2 u 2 + a 2 sin 2 u1 sin 2 u 2 + a 2 cos2 u 2 =


= a 2 sin 2 u 2 + a 2 cos2 u 2 = a 2 .
Подставляя найденные выражения метрических коэффициентов в определение первой квадратичной формы, получаем:
 → →
G u , d u  = g11du1du1 + 2 g12 du1du 2 + g 22 du 2 du 2 =


5
( )
1 2
= a 2 cos2 u 2 du
( )
+ a 2 du
2 2
( ) + (du ) ). 
(
УРФУ: ФТИ
1 2
2 2
= a 2 cos2 u 2 du
Пример 2.3. Составить уравнение касательной плоскости, уравнение нормали и найти направляющие косинусы нормали поверхности с параметризацией
→
→
( ) ( )
→
→
3
2
x = u e 1 + u e 2 +  u1 + u 2  e 3


в точке M 0 (1;1; 2 ) .
1
2
Р е ш е н и е. Найдём касательные векторы к гауссовским координатным
линиям в произвольной точке поверхности (Рис. 2):
→
→
  x →
1 2
r 1  u  = 1 = e1 + 3 u e 3 ,
  u
→
→
( )
→
→
  x →
2
r 2  u  = 2 = e 2 + 2u e 3 .
  u
Радиус-вектор точки M 0 (1;1; 2 ) равен
→
→
→
→
→
→
→
→
→
x = x e1 + x e 2 + x e 3 = e1 + e 2 + 2 e 3 .
2
1
Из сравнения с параметризацией следует, что u0 = 1, u0 = 1, что проверяется
1
0
2
0
3
0
при подстановке этих значений в формулу
( ) ( )
3
x03 = u01 + u02
2
 2  12 + 12 .
→
Таким образом, для значения параметрического вектора
ответствует точка поверхности
→
→
→
→
M 0 (1;1; 2 ) имеем:
u 0 , которому со-
→
u 0 = u a1 + u a 2 = a1 + a 2 .
1
0
2
0
Теперь касательные векторы к гауссовским координатным линиям в отмеченной точке M 0 1;1; 2 находятся по формулам:
(
)
→
→
   x →  →
r 1  u 0  = 1  u 0  = e1 + 3 e 3 ,
  u  
→
→
→
→
   x →  →
r 2  u 0  = 2  u 0  = e 2 + 2 e3.
  u  
→
→
6
УРФУ: ФТИ
Рис. 2.
Направляющий вектора нормали в отмеченной точке
M 0 (1;1; 2 )
по-
верхности найдём как векторное произведение касательных векторов к гауссовским координатным линиям в этой точке:
→
e1
  
 
N =  r 1  u 0  , r 2  u 0  = 1
 
  
0
→
→
→
→
→
Текущий вектор касательной плоскости
→
(
)
→
(
)
→
→
→
e2
0
1
e3
→
→
→
3 = −3 e 1 − 2 e 2 + e 3 .
2
(
)
→
M 0M = x − 1 e1 + x − 1 e 2 + x − 2 e 3 .
1
2
3
Неявное уравнение касательной плоскости принимает вид:
 → →
1
2
3
 M 0 M , N  = 0  −3x − 2 x + x + 3 = 0 .


7
УРФУ: ФТИ
Запишем канонические уравнения нормали в точке
M 0 (1;1; 2 )
(на ри-
сунке изображена пунктирной линией):
x1 − 1 x 2 − 1 x3 − 2
.
=
=
−3
−2
1
Направляющие косинусы нормали вычислим как координаты орта направляющего вектора нормали:
→
→
 →

h (M0 ) = → N =
−
3
e
−
2
e
+
e
1
2
3

=
2
2
2 

( −3) + ( −2) + 1
N
→
1
→
1
→
→
1  →
3 →
2 →
1 →

=
e1 −
e2+
e3.
 −3 e 1 − 2 e 2 + e 3  = −
14 
14
14
14

Отсюда видно, что
cos1 = −
3
2
1
, cos 2 = −
, cos3 =
.
14
14
14
Градиент функции и производная по направлению (повторение)
→
→
Пример 2.4. Найти
grad f и grad f для функции
f (x, y, z ) = x2 + y 2 − z 2
в точке M 0 (1; − 1; 2) .
Р е ш е н и е. Находим частные производные и их значение в указанной
точке:
f
(x, y, z ) = 2 x, f (x, y, z ) = 2 y, f (x, y, z ) = −2 z,
x
y
z
f
(1, − 1, 2) = 2, f (1, − 1, 2) = −2, f (1, − 1, 2) = −4.
x
y
z
Теперь имеем:
→
→
→
→
→
grad f = 2 e 1 − 2 e 2 − 4 e 3 , grad f = 4 + 4 + 16 = 2 6 . 
Пример 2.5. Найти производную функции, заданной формулой
u(x, y, z ) = x 2 − 2 xz + y 2
→
в точке
M 0 (1; 2; − 1) по направлению вектора M 0 M , где M (2; 4; − 3) .
8
УРФУ: ФТИ
→
Р е ш е н и е. Находим вектор
→
→
→
M 0M :
→
M 0M = e1+ 2 e 2 − 2 e 3.
Далее, находим градиент функции в произвольной точке и в точке
M 0 (1; 2; − 1) :
→
→
→
u → u → u →
grad u =
e 1 + e 2 + e 3 = (2 x − 2 z ) e 1 + 2 y e 2 − 2 x e 3 ;
x
y
z
→
→
→
→
→
grad u (1,2, −1) = 4 e 1 + 4 e 2 − 2 e 3 .
→
Находим производную по направлению вектора
формулой
→
где
M 0 M . Воспользуемся
→
u
→
(M 0 ) =   u(M 0 ), h (M 0 ) ,
h


h – орт вектора. Проводя простые вычисления, получаем:
→
M 0 M = 12 + 22 + 22 = 3 ;
→
h (M 0 ) =
1
→
M 0M
→
→
→
1→
 1→ 2→ 2→
M 0M =  e 1 + 2 e 2 − 2 e 3  = e 1 + e 2 − e 3 ;
3
3
3
 3
u
1
2
2 16
(1; 2; − 1) = 4  + 4  + 2  = . 
h
3
3
3 3
Пример 2.6. Найти вектор-градиент и его направляющие косинусы для
функции
u ( x, y, z ) = tgx − x + 3sin y − sin3 y + z + ctgz
   
в точке M 0  ; ;  .
4 3 2
Р е ш е н и е. Учитывая, что в декартовой системе координат
u → u → u →
 u = e1 + e 2 + e 3 ,
x
y
z
→
находим частные производные функции в произвольной точке:
u
1
u
1
u
2
,
,
.
=
−
1
=
1
−
=
3cos
y
−
3sin
y

cos
y
2
2
x cos x
z
sin z
y
9
УРФУ: ФТИ
Рис. 3.
Вычисляя значения частных производных в точке
   
M0  ; ; 
4 3 2
2
 3  1 3 u
u 3
u
= − 3 
= 2 − 1 = 1,
= 1 −1 = 0 ,
  = ,
y 2
2
2
8
x

z


запишем вектор-градиент в этой точке:
→
→
3→
 u = e1 + e 2 .
8
Найдём орт вектор-градиента
1 → 3→ 
8 →
3 →
h (M0 ) = → u =
e1+
e 2,
 e1 + e 2  =
8 
73 
73
73
u
64
→
1
→
его координаты и будут направляющими косинусами вектор-градиента. Таким
образом, направляющие косинусы вектор-градиента в данной точке – координаты орта вектора, равны
cos1 =
8
3
, cos 2 =
, cos3 = 0 . 
73
73
Касательная плоскость и нормаль поверхности,
заданной неявным уравнением
Пример 2.7. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности параболоида вращения
10
z = f ( x, y )  z = x + y
2
УРФУ: ФТИ
2
в точке M 0 (1; 1; 2).
Р е ш е н и е. Функция, задающая поверхность, имеет вид (график функции – соответствующая поверхность, представлен на рисунке 4)
F ( x, y, z ) = f ( x, y ) − z = x2 + y 2 − z .
Рис. 4.
Соответственно неявное уравнение поверхности
F ( x, y, z ) = 0  x2 + y 2 − z = 0 .
Частные производные функции F ( x, y, z ) в произвольной точке легко находятся и имеют вид
F
F
F
( x, y, z ) = 2 x , ( x, y, z ) = 2 y , = −1.
x
z
y
Значения частных производных в отмеченной точке
F
F
F
,
,
M
=
2
= −1.
M
=
2
( 0)
( 0)
x
z
y
Таким образом, вектор-градиент в точке
→
→
→
→
M 0 (1; 1; 2):
M 0 (1; 1; 2) имеет вид:
 F = 2 e1 + 2 e 2 − e 3 .
Уравнение нормали записывается теперь в каноническом виде
11
x − x0 y − y0 z − z0
x −1 y −1 z − 2
.

=
=
=
=
n1
n2
n3
2
2
−1
УРФУ: ФТИ
Текущий вектор касательной плоскости имеет вид:
→
→
→
→
M 0 M = ( x − 1) e 1 + ( y − 1) e 2 + ( z − 2 ) e 1 .
Уравнение касательной плоскости поверхности в точке M 0 (1; 1; 2) записываем
из условия ортогональности текущего вектора и нормального вектора – векторградиента в этой точке:
 → →

M
M
,

F
M
(
)
 0
0  = 0  2x + 2 y − z − 2 = 0. 


Пример 2.8. Написать уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности
x 2 + y 2 + z 2 = 26
в точке M 0 (3; 4; 1).
Р е ш е н и е. Полагая
F (x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 26 , получаем:
F
F
F
= 2x ,
= 2z ,
= 2y ,
x
z
y
F
F
F
(3, 4,1) = 6 , (3, 4,1) = 8, (3, 4,1) = 2 .
x
z
y
Уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в указанной точке
принимают соответственно вид:
x − 3 y − 4 z −1
, 3x + 4 y + z − 26 = 0 . 
=
=
3
4
1
Пример 2.9. Написать уравнения семейства касательных плоскостей к
поверхности
3x 2 + 2 y 2 + z 2 = 21,
параллельных плоскости с уравнением 6 x − 4 y − z = 0 .
Р е ш е н и е. Плоскость 6 x − 4 y − z = 0 имеет нормальный вектор
→
→
→
→
N = 6 e1− 4 e 2 − e 3.
Координаты вектор-градиента
F
F
F
( x, y, z ) = 6 x , ( x, y, z ) = 4 y , ( x, y, z ) = 2 z .
x
z
y
В произвольной точке поверхности M 0 ( x0 , y0 , z0 ) выполняется условие
ортогональности текущего вектора и нормального вектора:
12
УРФУ: ФТИ
 → →

M
M
,

F
M
(
)
 0
0  = 0.


Из этого условия получаем общий вид уравнений касательных плоскостей в отмеченной точке поверхности
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) :
(
)
6 x0 x + 4 y0 y + 2 z0 z + − 6 x02 − 4 y02 − 2 z02 = 0 .
Откуда имеем представление нормальных векторов касательных плоскостей
→
→
→
→
n = 6 x0 e 1 + 4 y0 e 2 + 2 z0 e 3 ,
где переменные x0 , y0 , z 0 − не определены и являются параметрами.
Рис. 4.
→
→
Плоскости параллельны, если N  n , то есть для номеров
k = 1,2,3,... нормальных векторов касательных плоскостей, параллельных
данной плоскости должны выполняться соотношения (Рис. 4)
→
→
n k ( M 0 ) =   N , k = 1,2,3,...
→
→
 →

n k = 6 x0 e 1 + 4 y0 e 2 + 2 z0 e 3 =   6 e 1 − 4 e 2 − e 3  ,


→
→
→
→
13
→
→
→
→
→
→
УРФУ: ФТИ
1
x0 e 1 + y0 e 2 + z0 e 3 =  e 1 −  e 2 −  e 3 .
2
Подставляя x0 =  , y0 = − , z0 = − 1  в уравнение касательной
2
плоскости, получаем уравнение семейства касательных плоскостей:
1
6 x − 4 y − z − 10  = 0 . 
2