Notas trabajadas en pizarra
(31-03-2022)
1. Diapositiva 6 (Varianza y desviación estándar)
Ejemplo: X tiene distribución de Bernoulli. Toma valores 1 con probabilidad 𝑝 y 0 con
probabilidad (1 − 𝑝). El valor esperado es 𝑝. Su varianza es: 𝜎𝑋2 = (0 − 𝑝)2 × (1 − 𝑝) +
(1 − 𝑝)2 × 𝑝 = 𝑝(1 − 𝑝).
• Calculemos el valor esperado de la variable X con distribución de Bernoulli
Si sabemos que la esperanza de una variable aleatoria discreta se calcula como la
media ponderada de los posibles resultados de la variable aleatoria (donde las
ponderaciones son las probabilidades de ocurrencia de esos resultados, entonces:
𝐸[𝑋] = (0)(1 − 𝑝) + (1)(𝑝)
𝐸[𝑋] = 𝑝
• Ahora, calculemos la varianza
Si sabemos que la varianza de una variable aleatoria 𝑋 (denominada como 𝜎𝑋2 ) se define
como 𝜎𝑋2 = 𝐸[𝑋 − 𝜇𝑋 ]2 , entonces:
𝜎𝑋2
𝜎𝑋2
𝜎𝑋2
𝜎𝑋2
𝜎𝑋2
= (0 − 𝑝)2 (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2 (𝑝)
= 𝑝2 (1 − 𝑝) + (1 − 2𝑝 + 𝑝2 )(𝑝)
= 𝑝2 − 𝑝3 + 𝑝 − 2𝑝2 + 𝑝3
= 𝑝 − 𝑝2
= 𝑝(1 − 𝑝)
2. Diapositiva 20 (Otros ejemplos de estimadores de uy)
1
1
3
1
3
𝑌̂ = (𝑁) [2 𝑌1 + 2 𝑌2 + ⋯ + 2 𝑌𝑛−1 + 2 𝑌𝑛 ] es la media ponderada de 𝑌𝑖 con pesos
es par.
1
2
3
y 2. 𝑁
̂ ] = 𝝁𝒀 :
• Comprobamos 𝑬[𝒀
Sabemos que 𝑁 es par, por lo tanto, ambos pesos usados en la media ponderada se
𝑛
aplican para 2 , entonces:
1
1 𝑛
3 𝑛
𝐸[𝑌̂] = ( ) [( ) ( ) 𝜇𝑌 + ( ) ( ) 𝜇𝑌 ]
𝑛
2 2
2 2
1
𝑛
3𝑛
𝐸[𝑌̂] = ( ) [( ) 𝜇𝑌 + ( ) 𝜇𝑌 ]
𝑛
4
4
1
4𝑛
𝐸[𝑌̂] = ( ) [( ) 𝜇𝑌 ]
𝑛
4
𝐸[𝑌̂] = 𝜇𝑌
2
̂ ) = 𝟏.𝟐𝟓𝜎𝑌
• Comprobamos 𝐯𝐚𝐫(𝒀
𝑵
𝑛
Dado que 𝑁 es par, ambos pesos usados en la media ponderada se aplican para ,
2
entonces:
1
1
1 𝑛 2
9 𝑛 2
)
)
(
)
𝜎
+
(
)( )𝜎 ]
[(
𝑌
𝑛2
4 2
4 2 𝑌
1
𝑛
9𝑛
var(𝑌̂) = ( 2 ) [( ) 𝜎𝑌2 + ( ) 𝜎𝑌2 ]
𝑛
8
8
1
10𝑛 2
var(𝑌̂) = ( 2 ) [(
) 𝜎𝑌 ]
𝑛
8
10 1
var(𝑌̂) = ( ) ( ) 𝜎𝑌2
8 𝑛
1.25𝜎𝑌2
var(𝑌̂) =
𝑁
var(𝑌̂) = (
2