Estadística General
Medidas de dispersión
Msc. Dennis Gabriela Alvaron Robles
1
PLAN DE CLASE
Inicio
Construcción
Cierre
• Motivación
• Competencias
• Saberes previos
• Rango
• Desviación media
• Varianza y coeficiente de variación
• Retroalimentación
• Autoevaluación
MOTIVACIÓN
En la siguiente figura se muestra gráficas de puntos de tres
muestras con las mismas media y mediana (= 50), ¿Qué pueden
observar? ¿Para comparar las tres muestras es suficiente la
media?
competencias
Calcula e
interpreta las
medidas de
dispersión
para datos no
agrupados
Realiza
ejercicios
aplicados a
su carrera.
Medidas de
dispersión
Calcula e
interpreta las
medidas de
forma y
concentración
Calcula e
interpreta las
medidas de
dispersión
para datos
agrupados
Saberes Previos
 ¿Qué es una varianza?
 ¿Qué es una desviación estándar?
 ¿Cuál es el uso de estas medidas de dispersión?
Las medidas de dispersión
Las medidas de dispersión o variabilidad miden el grado
de concentración de los datos con respecto a un valor
central. Para medir el grado de concentración de los
datos se tienen en cuenta las desviaciones.
•El rango
•La varianza
•Desviación estándar
• Coeficiente de variación.
El Rango
El rango se define como la diferencia entre los dos valores extremos que de
los datos. Es la medida de dispersión más sencilla y también, por tanto, la que
proporciona menos información.
Comparemos, por ejemplo, estas dos series ambas con 50 observaciones
LA VARIANZA (NO AGRUPADOS)
Es una medida muy usada para el estudio de la dispersión o variabilidad de los datos.
Varianza de la poblacional
Varianza muestral
2
𝜎 =
𝑉 𝑋 =
𝑆2
𝑁
2
𝑖=1(𝑥𝑖 −𝜇)
𝑁
=
=
𝑛
2
𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥)
𝑛−1
𝑁
2
𝑖=1 𝑥𝑖 −
𝑁(𝜇)2
𝑁
=
𝑛
2
2
𝑖=1 𝑥𝑖 −𝑛 (𝑥)
𝑛−1
Propiedades de la Varianza
•La varianza es siempre un número no negativo;
es decir: V(X)≥0.
•La varianza de una constante es igual a cero; es
decir: V(k)=0, k es una constante.
EJEMPLO 1
La siguiente información corresponde a una muestra de 5 docentes que reciben una
bonificación adicional (soles) mensual por brindar clases de tutoría.
116.4 115.9 114.6 115.2 115.8
Calcule la varianza.
Solución:
Media aritmética
Varianza
͞x = 115.58 bonificación en soles
66795.61 − 5 ∗ 115.58
𝑉 𝑥 =
5−1
2
= 0.482
LA VARIANZA (AGRUPADOS)
Población
2
𝜎 =
𝑘
𝑖=1(𝑥𝑖
− µ)2 𝑓𝑖
=
𝑁
2
𝑖=1(𝑥𝑖 ) 𝑓𝑖
− 𝑁(µ)2
𝑁
Muestra
𝑆2
=
𝑘
𝑖=1(𝑥𝑖
− 𝑋)2 𝑓𝑖
=
𝑛−1
𝑛
2
𝑖=1(𝑥𝑖 ) 𝑓𝑖
− 𝑛(𝑋)2
𝑛−1
donde:
xi
Son los diferentes valores (en el caso discreto) o las marcas de
clase (en el caso continuo),
fi
Son las frecuencias absolutas de una tabla de frecuencia.
EJEMPLO 2
FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES
Los resultados de un test de habilidades sociales
a todos
los 45 trabajadores de una
EDUCACION
Y DE LA COMUNICACIÓN
empresa de la ciudad de Cusco se muestran a continuación. Calcular la varianza
Puntaje de
habilidades
sociales
[26 - 34[
[34 - 42[
[42 - 50[
[50 - 58[
[58 - 66[
[66 - 74[
[74 - 82]
TOTAL
Xi
fi
30
38
46
54
62
70
78
1
2
4
10
16
8
4
45
EJEMPLO 2
Puntaje de
habilidades
sociales
[26 - 34[
Solución
1. Hallando la media:
µ=
[34 - 42[
30∗1 + 38∗2 + ….+(78∗4)
45
=
Xi
fi
Xi*fi
30
1 SOCIALES
30
FACULTAD
DE CIENCIAS
EDUCACION
Y DE LA COMUNICACIÓN
38
2
76
=
𝑁
=
900
900
1444
2888
46
4
184
2116
8464
[50 - 58[
54
10
540
2916
29160
[58 - 66[
62
16
992
3844
61504
[66 - 74[
70
8
560
4900
39200
[74 - 82]
TOTAL
78
4
45
312
2694
6084
24336
166452
30+76+184+540+992+560+312
2694
=
=
45
45
𝑥𝑖2 𝑓𝑖 −𝑁(𝜇2 )
𝒙𝟐𝒊 *fi
[42 - 50[
59.86
2. Hallando la varianza:
σ2
𝒙𝟐𝒊
166452−45(59.862 )
45
= 115.71
EJEMPLO 2
Puntaje de
habilidades
sociales
Solución
1. Hallando la media:
µ=
30∗1 + 38∗2 + ….+(78∗4)
45
=
Xi
fi
σ2 =
𝑁
𝒙𝟐𝒊 *fi
[26 - 34[
30FACULTAD1DE CIENCIAS
30 SOCIALES
900
900
[34 - 42[
38
2
76
1444
2888
[42 - 50[
46
4
184
2116
8464
[50 - 58[
54
10
540
2916
29160
[58 - 66[
62
16
992
3844
61504
[66 - 74[
70
8
560
4900
39200
[74 - 82]
TOTAL
78
4
45
312
2694
6084
24336
166452
EDUCACION Y DE LA COMUNICACIÓN
30+76+184+540+992+560+312
2694
=
=
45
45
2. Hallando la varianza:
𝑥𝑖2 𝑓𝑖
𝒙𝟐𝒊
Xi*fi
− (𝜇2 ) = 166452
− 3583.2196 = 115.71
45
59.86
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Nos informa sobre la dispersión de los datos respecto al
valor de la medina.
Es igual a la raíz cuadrada de la varianza.
Desviación estándar de la muestra
Desviación estándar de la población
σ=
𝜎2
Coeficiente de Variación
El Coeficiente de variación es una medida de dispersión relativa que nos
permite comparar la variabilidad de dos o más conjuntos de datos que se
encuentran en unidades de medidas diferentes.
𝑺
𝑪𝑽 = 𝒙𝟏𝟎𝟎%
𝒙
Para tener en cuenta:
Casos:
CV ≤ 10%
10% < CV ≤ 30%
CV > 30%
Conclusión:
El conjunto de datos es homogéneo.
El conjunto de datos es variable.
El conjunto de datos es heterogéneo.
EJEMPLO 3
Del ejemplo 2 calcular la desviación
coeficiente de variación e interpretar
estándar,
σ = 𝜎 2 = 10.76
Interpretación:
Los puntajes de habilidad social de los trabajadores
varían respecto al puntaje promedio en 10.76 puntos.
Calculando el coeficiente de variación
𝜎
𝐶𝑉 =
𝜇
∗ 100 =
10.76
59.86
∗ 100 = 18%
Interpretación:
La variabilidad de los puntajes respecto al promedio es
igual a 18%. Se observa que los puntajes son variables
EJEMPLO 04:
Los datos que se muestran a continuación se refieren a la distribución de 40
constructoras de la ciudad de Huaraz que ganaron licitaciones por montos en
dólares durante el año 2019. Determinar la desviación estándar y el
coeficiente de variación.
MONTOS $
Marca de Clase
mi (Xi)
Nº de
Constructora
s fi
Xi * fi
Xi 2 * fi
300 – 350
325
8
2600
845000
350 – 400
375
9
3375
1265625
400 – 450
425
6
2550
1083750
450 – 500
475
7
3325
1579375
500 – 550
525
4
2100
1102500
550 – 600
575
6
3450
1983750
40
17400
7860000
TOTAL
SOLUCIÓN:
Promedio:
x  17400 / 40  435
Varianza:
k
S2 
 (x  X )
i 1
i
n
n
2
fi

 (x )
i 1
i
n
2
fi
 ( X )2
7860000
S 
 435^ 2  7275
40
2
Desv. Estándar:
S
7275  85.294
SOLUCIÓN:
Coef. Var.:
85.294
CV 
x100  19.6%
435
Interpretación: …………………
Ejercicios autónomos
Del libro Probabilidades y
Estadística (Jay Devore, 2008) ,
resolver los ejercicios de las
paginas del 44 al 46 y del 80 al 83
https://matemovil.com/medidas-dedispersion-o-variabilidad/