Propiedades básicas
+∞
∫
𝛿(𝑡)𝑥(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑥(0)
−∞
+∞
∫
𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑥(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑥(𝑡0 )
−∞
cos(𝜃) =
𝑒 𝑗𝜃 + 𝑒 −𝑗𝜃
2
𝑒 𝑗𝜃 − 𝑒 −𝑗𝜃
sin(𝜃) =
2𝑗
Transformada de Fourier
La transformada de Fourier aplicada para señales en el dominio del tiempo, nos entrega información en el plano
de la frecuencia, donde podemos apreciar sus frecuencias primordiales y el ancho de banda respectivamente.
Al ser aplicada a un sistema LTI, también esta puede ser aplicada inversamente. De la forma:
Resumiendo, para obtener el especto de una señal, debemos pasar al plano de la frecuencia. Ósea, aplicar la
Transformada de Fourier.
Densidad Espectral de Potencia, PSD
Se puede obtener de varias formas, utilizaremos las siguientes:
Función de Autocorrelación
Apunte MEGA – Materia Profesor Arias
Un sistema de comunicación permite el intercambio de información desde el lugar donde es generado hasta donde
ésta es recibida. En general todos los sistemas de comunicaciones poseen los siguientes componentes básicos:
Transmisor: Conexión de componentes y circuitos diseñados para convertir la señal de información en alguna
forma adecuada para transmitirse a través del canal de comunicación ya determinado.
Codificador: Dispositivo que traduce la información en un código el cual depende del tipo de codificador.
Modulador: Modifica la señal de información a una señal apta para ser transmitida por el canal.
Canal de transmisión: Es el medio por el cual pasa la información trasmitida de un lugar a otro. Es la parte más
sensible al ruido. Acá es donde se aplican los filtros. Dadas las características de los medios de transmisión, un
hecho esencial de estos es que la señal transmitida es afectada aleatoriamente por el ruido.
Modelos matemáticos para canales de comunicación
Al diseñar un sistema de comunicación para transmitir información a través de canales físicos es conveniente
construir modelos matemáticos que reflejen las características más importantes del medio de transmisión.
1. Canal con ruido aditivo: Corresponde al modelo matemático más simple para definir un canal de
comunicación. En este modelo la señal s(t) es degradada por un proceso aleatorio aditivo n(t) el cual puede
surgir desde los componentes electrónicos en el receptor o bien interferencias encontradas en la
transmisión como es el caso de las señales de radio.
Si el ruido es introducido desde los componentes electrónicos del receptor, este puede ser caracterizado
como ruido térmico, el cual posee una distribución Gaussiana. Por esta razón el canal es también llamado
Canal de Tipo Gaussiano Aditivo
𝑟(𝑡) = 𝑎𝑠(𝑡) + 𝑛(𝑡)
Con a coeficiente de atenuación.
2. Canal tipo filtro lineal: En algunos casos, como canales de telefonía, en el canal son utilizados filtros para
asegurar que la señal transmitida no exceda limitaciones de ancho de banda y de esta manera no interfiera
con otro canal.
𝑟(𝑡) = 𝑠(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) + 𝑛(𝑡)
3. Canal tipo filtro lineal variante en el tiempo: Algunos canales físicos como los canales acústicos
submarinos y canales de radio vía ionósfera poseen propiedades variables a lo largo del tiempo. Estos
canales son caracterizados por una respuesta impulso que varía en el tiempo ℎ(𝜏, 𝑡), donde ℎ(𝜏, 𝑡) es la
respuesta a impulso aplicado al tiempo t.
𝑟(𝑡) = 𝑠(𝑡) ∗ ℎ(𝜏, 𝑡) + 𝑛(𝑡)
Señales
Las señales son usadas para transmitir información sobre un canal de comunicación
Ejemplos de señales:
-
-
Tiempo Continuo – Tiempo Discreto
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃)
𝑥(𝑛) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓0 𝑛 + 𝜃)
Real – Compleja:
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑗(2𝜋𝑓0 𝑡+𝜃)
-
-
Periódicos – No periódicos:
𝑥(𝑡 + 𝑇0 ) = 𝑥(𝑡)
𝑥(𝑛 + 𝑁0 ) = 𝑥(𝑛)
Causal – No causal
Determinísticos – Aleatorios
Par – Impar:
𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡)
𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡)
Sistema
Del punto de vista de las comunicaciones, un sistema es una entidad que es excitada por una señal de entrada y
como resultado de esta excitación produce una señal de salida.
Un sistema es una ley que asigna señales de salida a varias señales de entrada. En su definición es importante que
esta señal de salida debe ser definida inequívocamente por una entrada legítima.
𝑦(𝑡) = ℎ[𝑥(𝑡)]
a) Sistema Continuo o Discreto
𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) − 𝑥(𝑛 − 1)
b) Sistema Lineal o No Lineal
Un gran número de sistemas de comunicaciones puede ser modelado por un sistema lineal (Filtros,
Amplificadores, ecualizadores, etc.).
Un sistema lineal es definido en término de las siguientes 2 propiedades:
ℎ[𝑥1 (𝑡) + 𝑥2 (𝑡)] = ℎ[𝑥1 (𝑡)] + ℎ[𝑥2 (𝑡)]
ℎ[𝛼𝑥1 (𝑡)] = 𝛼ℎ[𝑥, 𝑡]
c) Variante o Invariante en el tiempo
𝑦(𝑡) = ℎ[𝑥(𝑡)]
𝑦(𝑡 − 𝑡0 ) = ℎ[𝑥(𝑡 − 𝑡0 )]
d) Sistemas LTI (Linear Time Invariable)
Esta clase de sistemas juega un rol importante en las comunicaciones dado que la relación entrada-salida es
relativamente siempre y puede ser expresada en términos de la convolución
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ 𝑦𝛿 (𝑡)
∞
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏) ∙ 𝑦𝛿 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
−∞
Por lo tanto, para un sistema LTI la respuesta a impulso caracteriza completamente al sistema conteniendo la
información necesaria para describir sus parámetros.
Serie de Fourier
Nuestro objetivo es desarrollar métodos y herramientas necesarias para analizar sistemas LTI.
Cuando analizamos un sistema deseamos determinar la señal de salida, una correspondiente señal de entrada y al
mismo deseamos conocer las características del sistema.
Hemos visto que la entrada y la salida de un sistema LTI están relacionados con la convolución
∞
∞
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)𝑦𝛿 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = ∫ 𝑥(𝑡 − 𝜏) 𝛿(𝜏)𝑑𝜏
−∞
−∞
Sin embargo, existen algunas desventajas en la aplicación de la convolución, la primera es la integración y la
segunda es que el resultado (y(t)) no entrega información de cada una de las partes del sistema.
Una función x(t) puede ser expandida en términos de exponenciales complejas si cumple con las condiciones de
Dirichlet, las cuales son las siguientes:
1. x(t) debe ser absolutamente integrable sobre un periodo. Es decir, si se cumple
𝑇
∫ |𝑥(𝑡)|𝑑𝑡 < ∞
0
2. El máximo y mínimo de x(t) en cada periodo debe ser finito.
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces x(t) puede ser expandida en sus términos complejos:
∞
𝑥(𝑡) ∑ 𝑥𝑛 𝑒
𝑗2𝜋
𝑛
𝑡
𝑇0
𝑛=−∞
1
Tal que 𝑇 = 𝑓0 es la frecuencia fundamental de x(t).
0
Donde
𝑥𝑛 =
𝑛
1 𝛼−𝑇0
−𝑗2𝜋 𝑡
𝑇0 𝑑𝑡
∫
𝑥(𝑡)𝑒
𝑇0 𝛼
es el coeficiente de Fourier de x(t).
Transformada de Fourier
Como se ha observado, la serie de Fourier puede ser usada para representar una señal periódica en términos de
exponenciales complejas, esto se debe a que las exponenciales complejas son funciones de un sistema LTI.
La transformada de Fourier corresponde a la aplicación de la serie de Fourier a señales no periódicas.
Cumpliendo las mismas condiciones de Dirichlet:
∞
𝑥(𝑡) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡
−∞
Y su inversa
∞
𝑥(𝑡) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡
−∞
Repaso de la función Delta Dirac 𝜹(𝒕)
𝛿(𝑡) = {
+∞,
0,
𝑡=0
𝑡≠0
∞
∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1
−∞
Propiedades:
∞
1) ∫−∞ 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑥(0)
∞
2) ∫−∞ 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑑𝑡 = 𝑥(𝑡0 )
3) 𝑥(𝑡) ∗ 𝛿(𝑡) = 𝑥(𝑡)
Luego, la 𝐹{𝛿(𝑡)} es:
∞
𝛿(𝑡) = 𝐹{𝛿(𝑡)} = ∫ 𝛿(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 = 1
−∞
∞
𝑦𝐹
−1 {𝛿(𝑓)}
= ∫ 𝛿(𝑡)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 = 1
−∞
Transmisión sobre sistemas LTI
El teorema de convolución es la base para el análisis de sistemas LTI en el dominio de la frecuencia. Hemos visto
que la salida de un sistema LTI es igual a la convolución de la entrada con la respuesta impulso del sistema en el
plano del tiempo. Si trasladamos esta relación al dominio de la frecuencia:
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ 𝑦𝛿 (𝑡)
→ 𝑦(𝑓) = 𝑥(𝑓) ∙ 𝑦𝛿(𝑓)
∞
→ 𝑦(𝑡) = ∑ 𝑥𝑛 𝑦𝛿 𝑒
𝑗2𝜋
𝑛
𝑡
𝑇0
𝑛=−∞
Composición de la señal de salida en función de la entrada y respuesta impulso.
∞
𝑦(𝑓) = 𝑥(𝑓) ∙ ∫ 𝑦𝛿 (𝑡) 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡
−∞
Si la entrada es periódica, la salida también lo es, ya que depende de los armónicos de la entrada.
Sólo los componentes de frecuencia que están presentes en la señal de entrada pueden estar presentes en la salida.
Esto significa que un sistema LTI no puede introducir nuevos componentes de frecuencia. En otras palabras, todo
sistema capaz de introducir nuevas componentes de frecuencia no es un sistema lineal o de parámetros variables.
Los cambios en amplitud de la salida y(t) dependen de la amplitud de los armónicos de la entrada y de la respuesta
a impulso.
El Teorema de Modulación es dual con el Teorema de Desplazamiento Temporal. Este teorema indica que un
desplazamiento en el dominio del tiempo resulta en la multiplicación por una exponencial compleja en el dominio
de la frecuencia. El teorema de modulación indica que la multiplicación en el dominio del tiempo por una
exponencial resulta en un desplazamiento en el dominio de la frecuencia.
Teorema de Fourier de Señales Reales, pares e impares
Transformada de Fourier
∞
𝐹{𝑥(𝑡)} = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡
−∞
Puede ser reescrita como:
∞
∞
𝐹{𝑥(𝑡)} ∫ 𝑥(𝑡)cos(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 − 𝑗 ∫ 𝑥(𝑡)𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡
−∞
−∞
Analizaremos los siguientes casos:
1. Si x(t) es real (par o impar), entonces ambas integrales son reales. Por lo tanto:
∞
∫−∞ 𝑥(𝑡)cos(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 denota la parte real de x(f)
∞
∫−∞ 𝑥(𝑡)sen(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 denota la parte imaginaria de x(f)
Dado que la función coseno es función par y la función seno es impar, entonces para funciones x(t) reales, la parte
real de x(f) es una función par en el plano de la frecuencia y la parte imaginaria de x(f) es una función impar en
el plano de la frecuencia.
En otras palabras, si x(t) es real y par, entonces el espectro x(f) será real y par. Por otro lado, si x(t) es real e
impar, entonces el espectro de x(f) será imaginario e impar.
Ancho de Banda de una señal
Representa el rango de frecuencias presentes en la señal. En general se define el ancho de banda de una seña x(t)
como el rango de frecuencias positivas de una seña. Para obtener el ancho de banda de x(t) primero debe obtenerse
x(f) y luego encontrar el rango de frecuencias positivas que ocupa x(f).
El ancho de banda BW es:
𝐵𝑊 = 𝜔𝑚𝑎𝑥 − 𝜔𝑚𝑖𝑛
Donde 𝜔𝑚𝑎𝑥 es la frecuencia positiva más alta de x(f) y 𝜔𝑚𝑖𝑛 es la frecuencia positiva más baja de x(f).